UNIDAD I CONJUNTOS Y ARITMÉTICA

UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
OBJETIVO DE LA UNIDAD
Que el estudiante identifique los principales tipos de conjuntos y sus operaciones, además de
aplicar las propiedades de los números reales para realizar operaciones aritméticas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Definir e identificar los principales tipos de conjuntos.
 Realizar las operaciones entre conjuntos y representarlas gráficamente (unión,
intersección, complemento, diferencia).
 Identificar las propiedades de los números reales y aplicarlas en la realización de
operaciones aritméticas.
SITUACIÓN MOTIVACIONAL
¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar a nuestro país, afectando con sus
decisiones tu vida diaria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la
opinión y las preferencias de la gente. Desde hace varios años, cada elección política viene
precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los periódicos sobre la “intención de
voto” para cada candidato. De hecho, al final de la elección las “encuestas de salida” de los medios
de comunicación anunciar al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Si
la diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande, los resultados de las encuestas
predicen con seguridad quién es el ganador. Sin embargo, en casos donde la elección es muy
cerrada, los resultados de las encuestas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más
famoso es el de la elección presidencial del año 2000 en Estados Unidos, cuando algunos medios
de comunicación internacionales, basándose en sus encuestas, informaron erróneamente que el
candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situación
deterioró fuertemente la credibilidad del público internacional, tanto en los medios de
comunicación como en la elección misma. Como verás, es muy importante saber qué se puede
asegurar y qué no al interpretar los resultados de una encuesta.
Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven para organizar e interpretar
los resultados de las encuestas, incluso en términos de probabilidades. Cabe mencionar que la
importancia de la unidad va todavía más lejos, ya que las matemáticas, básicas o avanzadas,
tienen fundamento en la teoría de conjuntos.
CONTENIDO TEMÁTICO
Día
29 Ago
Tiempo
2 horas
30 Ago
2 horas
31 Ago
01 Sep
2 horas
2 horas
Tema
Definición y tipos de conjuntos. Operaciones con
conjuntos (unión e intersección).
Operaciones con conjuntos (complemento, diferencia y
sus posibles combinaciones).
Representación gráfica de operaciones con conjuntos.
Propiedades de los números reales y su aplicación en
operaciones aritméticas.
1
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CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
El lenguaje de conjuntos
En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En matemáticas a tal
colección se le llama conjunto y a los objetos que lo componen se les llama elementos. Para que
exista un conjunto se deben cumplir los siguientes requisitos:
a) La colección de objetos debe estar bien definida.
b) Ningún objeto del conjunto se debe contar más de una vez.
c) El orden en que se encuentran los objetos carece de importancia.
En consecuencia, el concepto de conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya
es algo común en la cotidianidad. Más aún, el desarrollo moderno de las matemáticas reposa
sobre el concepto de conuntos, así que si aprendes un poco más de la teoría de conjuntos tendrías
una comprensión mucho mayor del lenguaje de las matemáticas.
La siguiente tabla te ofrece un resumen del vocabulario básico de la teoría de conjuntos.
Símbolo
U
Nombre
matemático
Conjunto
universal
Traducción
Colección de números, objetos o ideas “del
mismo tipo” que abarca la totalidad de
elementos en una situación particular.
Cada número, objeto o idea que
comprende U es llamado elemento de U.
Es costumbre designar a los elementos con
minúsculas.
Número, objeto o idea que “no pasa” la ley
de elegibilidad que define al conjunto U.
Traducción
x  U (se lee x pertenece Pertenencia
a U)
x  U (se lee x no No
pertenece a U)
pertenencia
Símbolo
Nombre
matemático

Conjunto vacío
A
Es un conjunto que carece de elementos.
A es una parte de U determinada por una
ley de elegibilidad1. Es costumbre designar
a los conjuntos con mayúsculas.
C
A´ o A (se lee A Complemento
AC Es el conjunto de todos los elementos
de A en U
complemento)
que estando en U no pertenecen al
conjunto A.
A  B (se lee A unión B, Unión
de Este nuevo conjunto se forma con los
conjuntos
elementos que pertenecen a A o a B o a
o bien, “A o B”)
ambos.
1
Conjunto
La ley de elegibilidad para un conjunto A debe estar definida claramente, de modo que:

Sea posible examinar a cada elemento de U y decidir si pertenece o no a A.

Cada elemento de U pertenece al conjunto A o no pertenece a A.
Se usan llaves para colocar los elementos de un conjunto o la ley de elegibilidad del conjunto.
2
UNIDAD I
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A B
(se
lee
A
intersección B, o bien, “A
y B”)
A  B (se lee A diferencia
B, o bien, complemento
de B respecto de A)
Intersección
de conjuntos
Diferencia
conjuntos
Este conjunto se forma con los elementos
que son comunes tanto a A como a B.
de Este conjunto consta de los elementos que
pertenecen a A, pero no a B.
CONCEPTUALIZACIÓN:
Definición
Conjunto: es una colección de elementos.
Notación
Se utilizan las letras mayúsculas A, B, C, etc., para representar los conjuntos y las letras minúsculas
a, b, c, etc., para representar a los elementos.
Para especificar los elementos de un conjunto, se usa la escritura entre llaves. Si A es el conjunto
que consta de las letras a, b y c, se escribe
A  a, b, c
No se escribe un mismo elemento repetidas veces. Por ejemplo el conjunto de las cifras que
aparecen en el número 1212212 es 1,2 .
El orden en que aparecen los elementos de un conjunto, cuando están enlistados, es irrelevante.
Por ejemplo, 1,2,3  2,3,1  2,1,3
Para denotar que un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe x  A y cuando un
elemento x no pertenezca al conjunto A se escribe x  A .
Se usa el símbolo  para denotar al conjunto vacío, es decir, el conjunto que no tiene elementos.
Definición
Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Decimos que B es un subconjunto de A , si cada
elemento de B es también un elemento de A .
Notación
Se usará la notación B  A siempre que B sea un subconjunto de A . Así pues, B  A si y sólo
sí, x  B implica que x  A .
Si B no es subconjunto de A se emplea la notación B  A .
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN
Definición
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A  B   x x  A o x  B .
3
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Propiedades
Las siguientes propiedades se verifican a partir de la definición.
1. A  A  B , B  A  B .
2. A  B  B  A (conmutatividad).
3.  A  B  C  A   B  C  (asociatividad).
INTERSECCIÓN
Definición
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A  B   x x  A y x  B .
Propiedades
Las siguientes propiedades se verifican a partir de la definición.
1. A  B  A , A  B  B .
2. A  B  B  A (conmutatividad).
3. A   B  C    A  B   C (asociatividad).
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Definición
Sea X el conjunto universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A es el
conjunto Ac   x x  X , x  A .
Nótese que el complemento de un conjunto se define respecto al conjunto universal del cual se
están tomando los conjuntos.
Propiedades
Son propiedades básicas de la complementación las siguientes.
1.
A 
2.
3.
A  Ac  X
A  Ac  
4.
5.
c c
 A.
 A  B   Ac  B c
c
 A  B   Ac  B c
c
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Definición
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A  B   x x  A, x  B .
Propiedades
Son propiedades de la diferencia de conjuntos las siguientes.
c
1. A  B  A  B .
2. A   B  C    A  B   A  C 
4
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
Probabilidad de eventos
Definición.
El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio.
Un evento A es un subconjunto del espacio muestral.
La probabilidad del evento A, en espacios donde todos los resultados son igualmente
probables, es:
N ( A) casos a favor
P( A) 

N ( S ) casos posibles
Las propiedades de la probabilidad de un evento A son:
Si A, B y C son eventos y S es el espacio muestral, entonces:
1. P( S )  1
2. 0  P( A)  1
3.
4.
5.
6.
7.
P( A)  P( Ac )  1
Si A  B , entonces P( A)  P( B)
P( A  B)  P( A)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( A  C )  P(B  C )  P( A  B  C )
Propiedades de los Números Reales.
En la siguiente tabla se listan otras propiedades básicas para las operaciones de suma y
multiplicación de números reales.
Para los números reales
Suma
Multiplicación
ab ba
 a  b  c  a  b  c 
ab  ba
 ab c  a bc 
a0  0a  a
a 1  1  a  a
(0 se denomina elemento
idéntico aditivo)
(1 se denomina elemento idéntico
multiplicativo)
a, b y c
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad del idéntico
(aditivo o multiplicativo)
Propiedad del inverso
(aditivo o multiplicativo)
a   a    a   a  0
( a se denomina inverso
aditivo u opuesto de a )
Propiedad distributiva (de la
multiplicación sobre la suma)
a
( 1/ a se denomina inverso
multiplicativo o recíproco de a ,
a  0)
a b  c   ab  ac
5
1 1
 a 1
a a
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
USO DE LA CALCULADORA MANUAL
Una comprensión completa de la artimética resulta esencial para captar adecuadmanete
las matemáticas básicas, incluyendo el Álgebra y la Geometría.
Vivimos en la era de la computación electrónica. Es necesario saber usar la calculadora,
ya que nos permite emplear menos tiempo realizando cálculos tediosos y poder dedicar
más tiempo a la comprensión de los conceptos aritméticos. Para usos científicos y
técnicos es necesario un tipo de calculadora “científica”
Algo importante acerca de la calculadora es que ésta no puede pensar. Solamente el ser
humano posee esta habilidad. Quien está manejando una calculadora debe entender el
problema, interpretar la información e introducirla correctamente en la calculadora. Se
debe ser capaz de juzgar si la respuesta tiene sentido o no; si no lo tiene, como a menudo
sucede, se deberán entender los conceptos matemáticos lo suficientemente bien para
detectar el error. Y se deberá estimar o aproximar las respuestas, siempre que sea
posible, antes de realizar el cálculo. Esto proporciona una verificación de los resultados y
permite entender mejor los conceptos. Estas son algunas de las habilidades que se
pretende desarrolle el lector.
OPERACIONES BÁSICAS Y COMBINACIONES
El orden de las operaciones aritméticas
En Aritmética, el orden de las operaciones cuando no haya paréntesis, es primero,
multiplicación o división, en seguida adición o sustracción. La mayoría de las calculadoras
científicas están programadas para realizar las operaciones en este orden. A este hecho
se le denomina lógica algebraica o sistema algebraico de operación.
Las operaciones aritméticas y la memoria
La mayoría de las calculadoras científicas están programadas para realizar las
operaciones aritméticas básicas
 ,  ,  y  (símbolos de las teclas de la
calculadora) de acuerdo con el oden de las operaciones. A esto se le denomina lógica
algebraica o sistema algebraico de operación (SAO). La mayoría de las calculadoras
fabricadas por Texas Instruments, Casio y Sharp están programadas para emplear el
SAO.
Para verificar si la calculadora que se está utilizando trabaja con el SAO se puede realizar
el siguiente cálculo:
6
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
5  21  36  4  2   71
Al oprimir las teclas correspondientes al ejemplo en el orden que se presentó, en la
pantalla debe aparecer el número indicado por la flecha. Si la respuesta es diferente de
71, será necesario revisar el manual de instrucciones con el objetivo de conocer el
procedimiento correcto. Debido a que la mayoría de las calculadoras científicas están
programadas con el sistema SAO, este es el procedimiento que se presenta para resolver
los ejercicios que se dan a continuación.
Conforme la aritmética se vuelve más difícil, se depende más de la calculadora. Sin
embargo, es necesario disponer de alguna forma de verificar que la respuesta de la
calculadora sea aproximadamente correcta.
Ejemplo 1. Calcúlese 5  21  36  4  2 .
Si la calculadora que se está usando tiene paréntesis, el problema puede introducirse
directamente con las teclas:
5  21 

36  4

 2 =  41
Otra forma de resolver el ejemplo es empleando la memoria, la cual almacena el
resultado:
36  4  STO 5  21  RCL  2 =  85

40

40
La tecla STO almacena el resultado, 40. La tecla RCL vuelve a llamar el resultado y lo
introduce en las operaciones que se están realizando. Algunas calculadoras emplean
M in o x  M en vez de STO , y MR o RM em vez de RCL .
Ejemplo 2. Calcúlese
 64  57   320
840  50  8
La solución empleando calculadora puede obtenerse usando la memoria:
840  50  8  STO 64  57   320  RCL   88

440

440
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CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
o empleando paréntesis
( 64  57 )  320  ( 840  50  8 )   88
AUTOEVALUACIÓN
PROBLEMARIO
1. Basándose en los requisitos para tener un conjunto, identifique entre los siguientes ejemplos
cuáles pueden considerarse conjuntos y cuáles no; explique en cada caso porqué.
a) Todos los defectos del señor Hernández García.
b) Los empleados de la empresa GAMESA.
c) Los cinco mejores trabajadores de la compañía VOLKWAGEN.
d) Los hombres que han atravesado el Oceáno Atlántico nadando.
e) Las empresas de más de 500 empleados y obreros establecidos en el Distrito Federal.
2. Exprese los siguientes conjuntos utilizando el método por enumeración:
a) A   x x es una letra de la palabra extensión
b) B   x x 2  4  0
c) C  Los meses del año
3. Dados los conjuntos
A  1, 3, 5, 7, 9 , B  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y
C  2, 4, 6, 8 encuentra los siguientes conjuntos:
a)
d)
A B
A B
AC
AC
b)
e)
B C
B C
c)
f)
4. Sea el conjunto universal U  a, b, c, d , e, f , g y sean A  a, b, c, d , e , B  a, c, e, g y
C  b, e, f , g hallar:
d)
B A
Ac  B
g)
Cc  A
a)
b)
CB
e)
Bc  C
f)
Bc
c
AC
h)
A B 
i)
 A A 
c)
c c
8
c c
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CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
5. En un salón de clase de matemáticas se encuentran 102 alumnos. Sean los conjuntos
siguientes:
A   x x es un alumno que obtuvo 9 o 10 en el examen final
B   x x es un alumno que obtuvo 7 u 8 en el examen final
C   x x es un alumno que obtuvo 6 en el examen final
D   x x es un alumno que obtuvo menos de 6 en el examen final
a) Defina el complemento del conjunto D con respecto al conjunto de los alumnos del salón
de clase de matemáticas.
b) Si 12 alumnos obtuvieron la calificación 9 o 10, 23 la calificación 7 u 8 y 56 la calificación
de 6, en el examen final de matemáticas, ¿cuál es el número de elementos del
complemento del conjunto D?
c) ¿Cuál es el complmento del conjunto de los alumos que pasaron con éxito el examen final
de matemáticas?
6. Un juego de azar, similar al juego de la ruleta, arroja 12 posibles resultados numerados como
1, 2, 3….12. Dos jugadores, Antonio y Blanca, participan y deciden jugar con los números:
1,2,3,4 y 3,5,6 , respectivamente; esto es, si en el juego sale alguno de los números
elegidos entonces el jugador correspondiente gana. Cabe decir, que entre más números
escojan, más costosa será su partida. Determina cada uno de los siguientes conjuntos:
a) El conjunto universal y los conjuntos de números con que ganan Antonio o Blanca.
b) El conjunto de números con que no ganan ni Antonio ni Blanca.
c) El conjunto de números con los que gana exactamente uno de los jugadores.
d) El conjunto de números con los que gana por lo menos uno de los jugadores.
7. Competencia Automotriz. Una revista de automovilismo está interesada en estudiar la
preferencia que la gente de la zona metropolitana tiene en cuanto a las marcas de
automóviles disponibles en el mercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las
marcas Ford, Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un
auto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 tienen un Ford, 900 un
Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un
Chevrolet y un Chrysler, 310 un auto de cada una de las tres marcas y el resto de los
encuestados algún auto de las marcas restantes.
Usen notación de conjuntos y sus operaciones para trasladar, al lenguje matemático, cada una
de las siguientes descripciones dadas en el lenguaje coloquial. El conjunto de propietarios:
a) De sólo una marca de vehículo.
b) De exactamente dos marcas de vehículo.
c) Que no poseen ninguna de las tres marcas de vehículo.
d) Con al menos un vehículo de alguna de las tres marcas.
e) De un vehículo cuando mucho de dos marcas.
8.
Una universidad tiene 1050 alumnos de primer ingreso. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664
física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos
una de las tres asignaturas.
9
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
a) ¿Cuántos alumnos cursan física y matemáticas pero no redacción?
b) ¿Cuántos alumnos cursan matemáticas y no llevan física ni redacción?
9. En una encuesta aplicada a 5000 personas se encontró que 330 no trabajan ni estudian (ninis),
2607 sólo trabajan y 220 trabajan y estudian. Si se escoge una al azar
a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie pero no trabaje?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie?
10. En cierta población hay tres periódicos, El Sol del Bajío, el AM y Correo. Al Sol del Bajío están
suscritas el 60% de las familias de esa población, al AM el 40%, al Correo el 30%; al Sol del
Bajío y al AM el 20%, al Sol del Bajío y al Correo el 10%, al AM y al Correo el 20% y a los tres
periódicos el 5% de la población. Determina la probabilidad de que una familia seleccionada al
azar
a) Esté suscrita al menos a uno de los tres periódicos.
b) No esté suscrita a ningún periódico.
13
15 

6. Liste los elementos del conjunto 1.001,0.333.....,  , 11,11, , 16,3.14,  que
15
3

son
a)
b)
c)
d)
Números naturales
Enteros
Números racionales
Números irracionales
12. Determina si el resultado de la operación es un número racional o irracional.
a)

2 4

2
b)

3 5

3 5

c)

2  4

2
d)
1  2 
4
13. Establece la propiedad de los números reales que se está usando:
a) 7  10  10  7
b) 2(3  5)  (3  5)2
c)
d)
e)
f)
g)
h)
 x  2 y   3z  x   2 y  3z 
2  A  B  2 A  2B
5x 1 3  15x  3
 x  a x  b   x  a  x   x  a  b
2x  3  y    3  y  2x
7  a  b  c   7  a  b  7c
14. Utilizando las propiedades de los números reales, resuelve las siguientes ecuaciones.
10
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
a) x 
8  x  45 
11
b)
x
3

176  x 5
15. Determina la mejor aproximación decimal para cada una de las siguientes
operaciones.
a)


3 1
3
b)  3.1415 
1/ 2
c)
8.9 2 1  3
16. El árbol llamado General Sherman en California tiene una altura de casi 270 pies y
promedia alrededor de 16 pies de diámetro. Estima el número de tablones de madera
de 1 pulgada por 12 pulgadas por 12 pulgadas que podrían fabricarse con este árbol,
suponiendo que no haya desperdicie e ignorando las ramas.
17. El documental Gold. Durante la producción del filme documental Gold, el equipo
experimentó drásticos cambios en la temperatura. En una mina de oro de Sudáfrica, 5
kilómetros bajo la superficie de la tierra, la temperatura era de 60C . En una montaña
próxima a Cuzco, Perú, la temperatura era de 4C . Determina la diferencia de las
temperaturas entre estos dos escenarios de la filmación.
Fuente: Sitio web de la empresa televisiva History Chanel.
18. Impuestos estimados. En 2002, Juana Beltrán realizó cuatro pagos trimestrales, de
$3,000 cada uno, sobre los impuestos estimados. Cuando llenó los formularios de
impuestos sobre los ingresos del año 2002, se percató de que su impuesto total era de
$10,125.
a. ¿Juana tendrá derecho a un reembolso o tendrá que pagar más impuestos?
Explica.
b. ¿Cuánto recibirá de reembolso o cuánto tendrá que pagar en impuestos?
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Preferencias Televisivas.
En esta actividad organizarás con tu equipo cierta información conforme a los siguientes
lineamientos:
a) Cada miembro del equipo (considerando equipos con cuatro integrantes en
promedio) hará una entrevista a 20 personas e investigará sus preferencias
televisivas en el horario de 9 a 10 de la noche. De manera más específica,
investigará si la persona entrevistada ve algún programa de TV Azteca, Televisa o
televisión privada (sin distingo de la señal contratada).
b) Respondan a las siguientes preguntas:
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UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
 ¿Cuántas personas ven en el citado horario algún programa únicamente de
TV Azteca? ¿Cuántos ven sólo televisión privada?
 ¿Hay personas que ven dos programas de televisoras diferentes? ¿Hay
quienes ven los tres tipos de televisión?
 ¿Hay personas que no ven televisión?
c) Sean A: el conjunto de personas que ven TV Azteca, B: el conjunto de personas que
ven Televisa y C: el conjunto de personas que ven televisión privada. El símbolo
N(X) (léase cardinalidad del conjunto X) representa el número de elementos que
contiene el conjunto X. Coloquen la información del inciso (a) en un diagrama de
Venn adecuado.
 Determinen la cardianlidad de cada uno de los siguientes conjuntos:
A  ( B  C ) ; ( A  B  C)C ; A  B  C ; A  B ;
 Sin utilizar símbolos matemáticos, expresen en sus propias palabras el
significado de cada uno de los conjuntos del punto anterior.
RECURSOS
Álgebra de Conjuntos
http://matematica.laguia2000.com/general/algebra-de-conjuntos
Teoría de Conjuntos
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm
Números reales, sus propiedades y operaciones
http://www.youtube.com/watch?v=13PmSi8e3NU
Operaciones con los números reales
http://www.vitutor.com/index.html
BIBLIOGRAFÍA
Precálculo (Matemáticas para el cálculo)
James Stewart/Lothar Redlin/Saleem Watson
Quinta edición (CENAGE Learning)
Precálculo (Enfoque de resolución de problemas)
Prado/Santiago/Aguilar/Rodríguez/Quezada/Gómez/Ruíz/Florido
Pearson (Prentice Hall)
12
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA CLASE:
Escribe cada conjunto en notación desarrollada.
1. A = {x | x es un número natural entre 3 y 8}
2. B = {x | x es un número entero par entre 5 y 10}
3. C = {x | x es un número entero par mayor o igual que 6 y menor o igual que 10}
4. D= {x | x es un número natural mayor que 5}
5. E = {x | x es un número natural menor que 0}
6. F = {x | x es un entero mayor que -5}
Inserta  o  en el espacio libre para que el enunciado sea verdadero.
7. 6 _____ {1,3,6,9}
8. 72 _____ {1,2,3,4,……80}
9. 4 _____ {1,2,3}
10. -12 _____ {1,2,3,…….}
11. 0 _____ {-1,1,3,5}
12. {5} _____ {1,2,3,4,5,6}
13. {0} _____ {-3,-2,-1,0,1,2,3}
14. {3} _____ {1,2,3,4 }
15. {- 5} _____ {- 4,- 3,- 2}
13
16. En
los
conjuntos
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
A  1, 3, 5, 7, 9 , B  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,
C  2, 4, 6, 8 encuentra los conjuntos que se indican a continuación
enumerando sus elementos y representa cada uno de estos conjuntos por
enumeración:
a)  A  B   C
b)  A  C   B
c)  B  C    A  B 
d)  A  B    B  C 
e)  A  C   B
d) A   B  C 
17. Dados los conjuntos P  a, b, c, d , e , Q  d , e, f , g, h, k y R  l , m, h, k , encuentra
los conjuntos que se indican a continuación enumerando sus elementos:
a) P  Q
f) P  Q  R
b) Q  R
g) R  P  Q
c) P  R
h) Q  P  R
d) P  Q  R
i) P  Q  R
e) P  Q  R
j) R  Q  R
18. Si U  es el conjunto de los enteros negativos mayores que -12 y considerando los
conjuntos A, B y C definidos en el problema 1, encuentra los conjuntos que se indican
a continuación enumerando sus elementos:
c) B '  C
a) A  A '
b) A ' B '
d)
AC '
e)
B'  A
d)
C ' A '
19. Encuentra todos los subconjuntos del conjunto H  K si H  1, 2,3, 4 y K  7,8,9
Llama a este conjunto M.
20. En
los
conjuntos
A  1, 3, 5, 7, 9 ,
B  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,
C  2, 4, 6, 8 encuentra los conjuntos que se indican a continuación y
representa cada uno de estos conjuntos utilizando diagramas de Venn:
a)  A  B   C
b)  A  C   B
c)  B  C    A  B 
d)  A  B    B  C 
e)  A  C   B
d) A   B  C 
21. Dados los conjuntos P  a, b, c, d , e , Q  d , e, f , g, h, k y R  l , m, h, k , encuentra
los conjuntos que se indican a continuación y representa cada uno de estos conjuntos
utilizando diagramas de Venn:
c) P  R
a) P  Q
b) Q  R
d) P  Q  R
e) P  Q  R
f) P  Q  R
g) R  P  Q
h) Q  P  R
i) P  Q  R
j) R  Q  R
22. Si U  es el conjunto de los enteros negativos mayores que -12 y considerando los
conjuntos A, B y C definidos en el problema 20, encuentra los conjuntos que se
14
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
indican a continuación y representa cada uno de estos conjuntos utilizando diagramas
de Venn:
c) B ' C
a) A  A '
b) A ' B '
AC '
d)
e)
B ' A
d)
C ' A '
En los siguientes ejercicios encontrar la unión o intersección pedidas, en dos formas a)
usando la notación por extensión y b) la notación por comprensión.
 x  N 0  x  8   x  N 2  x  6
24. 2, 4,5   y  N 4  y
25.  x  N x  10   x  N 5  x  12
26.  x  N x  10   x  N 9  x
27.  x  N x  10   x  N 9  x
23.
Sea el Universo
U  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 . Sean
H  1, 2,3, 4 ,
J  3, 4,5 ,
K  7,8,9 y L  5,6,7,8,9,10 . Encuentra los conjuntos siguientes, escribiendo los
elementos del conjunto y representa cada uno de estos conjuntos utilizando diagramas de
Venn:
28. H '
31. K  L
29. H  J
32. H ' J '
30. K  L
33.  H  J  '
34. H ' K '
35. H '  '
36. H   J  K 
37.  H  J   L
38.  J  K   L
39.  H  K    J  K 
40. En la figura, los números representan los elementos contenidos en los diferentes subconjuntos.
Determina:
a)
n  A
b)
n  A  B
c)
n A B C
d)
n U 
e)
n  A ' B 
f)
n  B ' C '
g)
n B C
h)
n  A ' B ' C '
15
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
U
30
150
200
A
B
70
60
20
100
200
C
41. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas para determinar qué interés hay en
conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas ven las noticias en forma regular
por televisión, 300 personas regularmente escuchan las noticias por la radio, y 275 personas,
por lo regular se enteran de las noticias a través de ambos medio, la TV y la radio.
a) Construye un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación.
b) ¿Cuántos de los investigados ven las noticias sólo por TV?
c) ¿Cuántos escuchan las noticias sólo por la radio?
d) ¿Cuántos investigados no escuchan las noticias ni por la radio ni por TV? Describe este
grupo en relación con su acceso a las noticias.
42. Se investigó un grupo de 5000 personas en relación con la estrategia a seguir con objeto de
conservar el combustible. De las 5000 personas, 2000 opinaron que lo aceptable era el
racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado sería fijar una sobretasa federal de $5 por litro, y
750 personas indicaron que lo apropiado sería la aplicación de ambos procedimientos, el
racionamiento y la sobretasa.
a) Construye un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación.
b) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el racionamiento, pero no la sobretasa?
c) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria la sobretasa, pero no el racionamiento?
d) ¿Cuántos de los investigados no aceptarían en forma voluntaria ninguna o de ambos
cursos de acción
43. Se hicieron tres preguntas a un grupo de 5000 estudiantes de un colegio en relación con sus
experiencias en el mismo. 4000 estudiantes dijeron que estaban satisfechos con la calidad de
la instrucción; 3000 manifestaron estar satisfechos con lo que el curso ofrece en el campo de
estudio de su preferencia; 3800 dijeron que se encontraban satisfechos por completo con las
experiencias que en su totalidad brinda el colegio (académicas y no académicas). Un análisis
más a fondo indicó que 2500 estaban satisfechos tanto con la calidad de la instrucción como
con la totalidad de experiencias en el colegio; 2000 estaban satisfechos con lo que el curso les
ofrece, así como con la totalidad de experiencias y 1800 estaban satisfechos con las tres
áreas.
a) Construye un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación.
b) Determina el porcentaje de estudiantes satisfechos sólo con la calidad de la instrucción.
16
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
c) Determina el porcentaje de estudiantes satisfechos sólo con lo que el curso les ofrece.
d) Determina el porcentaje de estudiantes satisfechos sólo con la totalidad de experiencias
del colegio.
e) Determina el porcentaje de estudiantes no satisfechos con ninguna de las áreas.
44. El Departamento de Transporte investigó a 100,000 personas para determinar sus diferentes
formas de emplear el transporte público durante el año anterior. Los resultados de la
investigación indicaron que 25,000 han viajado en avión, 41,000 han viajado en autobús,
20,000 han viajado en trenes, 7,000 han viajado tanto en aviones como en autobuses, 9,000
han viajado tanto en autobuses como en trenes, 8,000 han viajado tanto en aviones como en
trenes y 5,000 han viajado en las tres formas. Construye un diagrama de Venn que resuma los
resultados y determina el porcentaje de investigados quienes:
a) Viajaron sólo en avión.
b) Viajaron sólo en avión y autobús.
c) Viajaron sólo en avión y en tren.
d) Viajaron sólo en autobús y en tren.
e) Viajaron sólo en autobús.
f) No hicieron uso de ninguna de las tres formas de transporte.
45. El Departamento de Justicia investigó, por la vía postal, a 1000 expertos en el sistema de
justicia de lo criminal para determinar en dónde se confrontaban las necesidades más
inmediatas, el área de cumplimiento de la ley, el sistema de los tribunales, ó el área correctiva
(cárceles y prisiones). A todos los investigados se les pidió indicaran el o los sectores que
tuvieran las mayores necesidades. Los números de expertos, citando las diferentes áreas de
mayor necesidad fueron como sigue: 625 expertos citaron el área del cumplimiento de la ley,
625 expertos citaron el sistema de los tribunales, 525 expertos citaron el área correctiva, 450
expertos citaron lo relativo al cumplimiento de la ley y a los tribunales, 400 expertos citaron lo
relativo a los tribunales y al área correctiva, 375 expertos citaron el cumplimiento de la ley y el
área correctiva y 300 expertos citaron las tres áreas. Determina el número de expertos que:
a) Citaron sólo el cumplimiento de la ley.
b) Citaron sólo los sistemas de los tribunales.
c) Citaron sólo el área correctiva.
d) Citaron sólo el cumplimiento de la ley y los tribunales.
e) Citaron sólo el cumplimiento de la ley y el área correctiva.
f) Suponiendo que cada investigación remitida al Departamento de Justicia citó por lo menos
una de las tres áreas, ¿cuántas investigaciones no fueron remitidas?
Utilizando los diagramas de Venn comprobar las siguientes leyes del álgebra de
conjuntos.
46.  A  B   A  B '  A
47. A   A  B   A
48.  A U    A   
49.  A  B    B  C    A  C   B
50. A   A ' B   A  B
51. A   A '  B   A  B
52. A   A  B   A
53. A   A  B   A
54.  A  B '  A ' B '
55.  A  B  '  A '  B '
17
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
56. Utiliza los términos entero, racional e irracional para calificar el número dado.
b) 8
27
5
f) 3  2
a)
g)
3
27
c) 1.25252525..
d)
h) 0.375
i)  16
 3
e) 0
j) 0.21211211121111...
57. Señala el nombre de cada una de las propiedades ilustradas:
a) c  d  d  c
b) 5  v  w  5v  5w
c)  x  3  6  x  3  6
d) x  1 x
58. En un mal juego, un equipo de futbol americano se ve obligado a retroceder 8 yardas.
Después el equipo completa un pase, ganando 12 yardas, pero incurre en una
penalización de 5 yardas. Exprésense estos cambios como números con signo y
combínense para determinar si el equipo ha ganado o perdido terreno.
59. La corriente en un circuito varía de -10 ampers a 20 ampers. ¿Qué número con signo
representa este cambio de corriente?
60. Obtenga la velocidad del sonido V en metros por segundo en el aire cuando la
0
temperatura del aire es t  30.5 C si V  331.5  0.607t .
61. La resistencia total R de un circuito serie-paralelo está dada por
1
 1
1 
R      R3
 R1 R2 
Obténgase R cuando R1  0.80 , R2  0.20 y R3  0.50  .
Para cada uno de los siguientes ejercicios, anote la secuencia de las teclas de la
calculadora que utilizó para realizar el cálculo.
62. Calcule
63. Calcule
64. Calcule
65. Calcule
66. Calcule
6  8   4  1
.
4  1 2
3 1

.
11 22
1 2 11
  .
6 3 20
16 1 1
  .
9 2 4
4
1 1 
  8   .
3
 2 3 
18
UNIDAD I
CONJUNTOS Y ARITMÉTICA
67. Calcule 3 
1 7 4
  8.
6 2 5
68. Calcúlese la longitud focal de una lente dada por f 
1/10  3/ 20
.
 3/ 2 11/10  3/ 20 
Para cada uno de los siguientes ejercicios, anote la secuencia de las teclas de la
calculadora que utilizó para realizar el cálculo.
69. Calcule 20.2  1560  230  28.0 .
70. Calcule
71. Calcule
72. Calcule
3.03 27.6  8.40

.
2.02
30.0
 0.301  0.271 0.0504

1.261.60
.
 288 
 24.0   32.8 
65.6
73. Calcúlese la resistencia de un circuito en serie-paralelo dado por
R
1
3
1/12  1/ 4
74. La resistencia total R de tres resistencias R1 , R2 , R3 en paralelo, está dada por
R
 R1  R2  R3 
 R1  R2    R2  R3    R1  R3 
Calcúlese R cuando R1  15.0  , R2  36.0  y R2  48.0  .
ESTRATEGIAS
a) Estrategias de enseñanza
b) Estrategias de aprendizaje
ACTIVIDADES DE LOS ALUMNOS
EVALUACIÓN
19