27/06/2011 Página 1 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez

CURSO: ELECTROTECNIA II
UNIDAD 5
RESPUESTA EN FRECUENCIA
CONTENIDO
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
APLICACIONES
DEFINICIÓN
IMPORTANCIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CON RELACIÓN A LA FRECUENCIA VARIABLE EN
LOS ELEMENTOS SIMPLES
5.7 ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CON RELACIÓN A LA FRECUENCIA VARIABLE EN
LOS ELEMENTOS COMPUESTOS
5.8 FUNCIONES DE LA RED
5.9 DIAGRAMA DE BODE
5.10 EJEMPLOS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA PARA ALGUNOS CIRCUITOS SIMPLES
5.11 RESPUESTA EN FRECUENCIA PARA UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN
GENERAL
5.12 CIRCUITOS RESONANTES
5.12. 1 CIRCUITO RLC EN SERIE
5.12.1.1 RESONANCIA DE UN CIRCUITO
5.12.1.2 FRECUENCIA DE RESONANCIA
5.12.1.3 VOLTAJES EN LA RESONANCIA
5.12.1.4 POTENCIAS Y FACTOR DE POTENCIA EN LA RESONANCIA
5.12.1.5 COMPORTAMIENTO DEL ÁNGULO DE FASE CON LA VARIACIÓN DE LA
FRECUENCIA PARA EL CIRCUITO RLC EN SERIE
5.12.2 EL FACTOR DE CALIDAD Q
5.12.3 LA SELECTIVIDAD
5.12.3.1 CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE CORRIENTE
5.12.3.2 CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS DE BANDA
5.12.4 LAS FRECUENCIAS DE BANDA EN FUNCIÓN DEL FACTOR DE CALIDAD Y DE LA
DE RESONANCIA
5.12.5 ANCHO DE BANDA Bw
5.12.6 LA GANANCIA DE VOLTAJE Y LA TRANSADMITANCIA EN FUNCIÓN DEL
FACTOR DE CALIDAD Y DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA
5.12.7 LA SELECTIVIDAD EN FUNCIÓN DEL FACTOR DE CALIDAD
5.12.8 CIRCUITO RLC EN PARALELO
5.12.8.1 EQUIVALENTE DEL CIRCUITO RL EN SERIE
5.12.8.2 RESONANCIA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO
5.12.8.3 IMPEDANCIA MÁXIMA - ADMITANCIA MÍNIMA
5.12.8.4 SELECTIVIDAD PARA LOS CIRCUITOS EN PARALELO
5.12.8.5 DETERMINACIÓN DE LAS FRECUENCIAS DE CORTE
5.12.8.6 FÓRMULAS PARA QL ≥ 10
27/06/2011
Página 1 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
RESPUESTA EN FRECUENCIA
5.1 INTRODUCCIÓN.
La razón existente entre una salida y la entrada en una red o circuito eléctrico recibe el nombre de
función de transferencia y en particular de ganancia si para la entrada y la salida se considera el
mismo tipo de variable.
Como las reactancias varían con la frecuencia de la función de excitación en los circuitos, resulta
conveniente, analizar el comportamiento del circuito en la medida en que varía la frecuencia, es por
eso, que en esta unidad se estudiará la relación que existe entre la razón de entrada - salida (ganancia
o función de transferencia) y la frecuencia para un circuito o red excitada en corriente alterna.
El comportamiento de la función de transferencia, tanto en magnitud como en fase, con relación a la
variación de frecuencia, recibe el nombre de Respuesta en Frecuencia.
5.2 OBJETIVOS DE LA UNIDAD
5.2.1 . Se describirá gráficamente el desarrollo de la respuesta en frecuencia en relación con los valores
de la ganancia logarítmica y del ángulo de fase, dibujados en una escala semilogarítmica
(Diagrama de Bode).
5.2.2. Se desarrollará la respuesta en frecuencia de circuitos seleccionados que poseen ciertas
cualidades y proporcionan características adecuadas de filtrado.
5.2.3. Se examinarán los circuitos resonantes en paralelo y en serie
5.3 APLICACIONES
5.3.1. Se examinarán algunas de las aplicaciones en los sistemas de comunicaciones como filtros,
sintonizadores y amplificadores, se analizarán algunos diseños de redes reales.
5.3.2. Se examinarán redes con propiedades de filtrado especiales como filtros pasa baja, pasa alta,
pasa banda, rechazo de banda y algunas técnicas para diseños de filtros activos.
5.4 DEFINICIÓN:
La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente de la frecuencia, entre una entrada
senoidal de estado estable y una señal de salida senoidal de estado estable.
5.5 IMPORTANCIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
Es importante porque relaciona información del efecto del circuito sobre senoides de frecuencias
específicas. Supóngase que la señal de entrada a un circuito consiste en senoides de frecuencias en un
intervalo de 20 a 5000 hz, intervalo propio de la voz humana promedio, si para cada gama de frecuencias,
el circuito proporciona una salida del doble de la magnitud de la entrada y si el desfasamiento entre la
entrada y la salida es proporcional a la frecuencia, se tendrá una reproducción fiel de la señal original.
5.6 ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CON RELACIÓN A LA FRECUENCIA VARIABLE EN
LOS ELEMENTOS SIMPLES
Determinemos como varía la impedancia en los elementos simples a medida que se varía la frecuencia:
Resistencia: La impedancia de la resistencia en el dominio de la frecuencia es
ZR = R ∠ 0°, luego las gráficas de la magnitud y ángulo de fase en función de la frecuencia w serán:
θZR
[ZR]
R
0°
w
27/06/2011
w
Página 2 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
El comportamiento de la impedancia resistiva con la variación de la frecuencia es tal que, su magnitud y
ángulo de fase son constantes e independientes de la frecuencia.
Inductancia: La impedancia de la inductancia en el dominio de la frecuencia es
ZL = j wL = wL ∠ 90°, luego las gráficas de la magnitud y ángulo de fase en función de la frecuencia w
serán:
θZR
[ZL]
90°
w
w
El comportamiento de la impedancia inductiva con la variación de la frecuencia es tal que, su magnitud
tiende a cero para valores pequeños de la frecuencia y se hace grande para valores altos de la frecuencia,
el ángulo de fase es constante e independiente de la frecuencia.
Para valores pequeños de frecuencia la inductancia se comporta como un corto circuito y para valores
altos como un circuito abierto.
Capacitancia: La impedancia de la capacitancia en el dominio de la frecuencia es
−j
1
=
∠ - 90°, luego las gráficas de la magnitud y ángulo de fase en función de la
ZC =
wC
wC
frecuencia w serán:
θZR
[ZC]
-90°
w
w
El comportamiento de la impedancia capacitiva con la variación de la frecuencia es tal que, su magnitud
se hace muy grande para valores pequeños de la frecuencia y tiende a cero para valores altos de la
frecuencia, el ángulo de fase es constante e independiente de la frecuencia.
Para valores pequeños de frecuencia la capacitancia se comporta como un circuito abierto y para valores
altos como un corto circuito.
5.7 ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CON RELACIÓN A LA FRECUENCIA VARIABLE EN
LOS ELEMENTOS COMPUESTOS
Circuito RL en serie: La impedancia total del circuito RL en serie en el dominio de la frecuencia es ZT =
R + j wL = R 2 + ( wL) 2 ∠ tan- 1( wL
R ), luego la magnitud y el ángulo pueden ser expresadas de la
manera siguiente:
27/06/2011
Página 3 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
L
w
R 1
=
), en donde wo =
se le da el nombre de frecuencia media, o
) = R(1+j
R
wo
L τo
L
es la constante de tiempo del circuito, o sea que la magnitud y la fase
de corte, o de quiebre y τo =
R
quedarán expresadas por:
[ZT] = R 2 + ( wL) 2 = R 1 + ( ww0 ) 2
;
θZT = tan- 1( wL
= tan- 1( ww0 )
R )
ZT = R(1 + j w
Por lo tanto, las gráficas de la magnitud y ángulo de fase en función de la frecuencia w, serán:
θZT
[ZT]
90°
R
0°
Resistivo
Inductivo
Resistivo
w
Inductivo
w
El comportamiento de la impedancia total en el circuito RL en serie con la variación de la frecuencia es tal
que, su magnitud se hace R para valores pequeños de la frecuencia y tiende a infinito para valores altos de
la frecuencia, el ángulo de fase se hace cero para valores pequeños de la frecuencia y es igual a 90° para
valores altos de la frecuencia.
Para valores pequeños de la frecuencia el circuito se comporta como un circuito resistivo puro y para
valores altos como un circuito inductivo puro.
Circuito RC en serie: La impedancia total del circuito RC en serie en el dominio de la frecuencia es
−j
1
−1
1 2
ZT = R +(
) = R- j(
) = R 2 + ( wC
) ∠ tan- 1( wRC
), luego la magnitud y el ángulo de fase pueden
wC
wC
ser expresadas de la manera siguiente:
w
1+ j
w0
1
1 + jwRC
1
1
ZT = R +
=
=
=
, se le da el nombre de frecuencia
en donde wo =
jwC
jwC
jwC
RC
τo
media, o de corte, o de quiebre y τo = RC es la constante de tiempo del circuito, o sea que la magnitud y
la fase quedarán expresadas por:
[ZT] =
θZT
=
R +(
2
-1
tan (
1 2
wC
−1
wRC
)
=
1 + ( ww0 ) 2
wC
) = tan (wRC) – 90° = tan- 1( ww0 ) – 90°
-1
[ZT]
θZT
-90°
R
0°
Capacitivo
27/06/2011
Resistivo
w
Capacitivo
Resistivo
w
Página 4 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
El comportamiento de la impedancia total en el circuito RC en serie con la variación de la frecuencia es tal
que, su magnitud se hace infinito para valores pequeños de la frecuencia y tiende a R para valores altos de
la frecuencia, el ángulo de fase se hace –90° para valores pequeños de la frecuencia y tiende a cero para
valores altos de la frecuencia.
Para valores pequeños de la frecuencia el circuito se comporta como un circuito capacitivo puro y para
valores altos como un circuito resistivo puro.
Circuito RLC en serie:
La impedancia total del circuito RLC en serie puede expresarse de la manera siguiente:
j w C R + (j w) 2 CL + 1
1
ZT = R + j w L +
=
jw C
jw C
S C R + S 2 CL + 1
, en donde, el término del numerador es un
Haciendo S = j w, la expresión quedará:
SC
polinomio cuadrático en función de w, la cual mas adelante se indicará como se dibuja la gráfica para este
término, sin embargo, la gráfica para la magnitud de este circuito se puede bosquejar a partir de las
gráficas de los comportamientos de los elementos simples, esto es:
∞ ), luego la impedancia
Para muy bajas frecuencias el capacitor aparece como un circuito abierto (ZT
es muy grande a esta escala.
Para muy altas frecuencias el capacitor tiene un efecto muy pequeño y la impedancia total está
representada por la reactancia inductiva, la cual es muy grande, por lo tanto, la impedancia también
aumenta con la frecuencia y la gráfica se puede bosquejar de la forma siguiente:
[ZT]
Resistivo
R
Inductivo
Capacitivo
wo
fo
Resonancia
w
f
En general cualquier relación de la impedancia, u otra función de transferencia para elementos compuestos
o circuitos eléctricos, en función de la frecuencia variable, podrá presentarse como la razón de dos
polinomios en donde la variable es S = jw, esto es:
N (S) a m S m + a m -1 S m-1 + a m-2 S m-2 + .... + a 1 S + a 0
Z(jw) = Z(S) =
=
D ( S)
b n S n + b n -1 S n -1 + b n -2 S n -2 + .... + b1 S + b 0
Cuya gráfica podrá obtenerse mediante la conformación de las gráficas individuales de cada uno de los
polinomios lineales en que puede descomponerse tanto el numerador como el denominador.
5.8 FUNCIONES DE LA RED
En un circuito o red se analizará la relación que existe entre una entrada y una salida en función de la
frecuencia, a esta relación se le da el nombre de función de transferencia y dependiendo de las variables en
la relación recibirán un nombre específico y un determinado símbolo, los cuales se prtesentan en la tabla
siguiente:
27/06/2011
Página 5 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
ENTRADA
SALIDA
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
VOLTAJE
VOLTAJE
GANANCIA DE VOLTAJE
GV (jw)
CORRIENTE
VOLTAJE
TRANSIMPEDANCIA
Z (jw)
CORRIENTE
CORRIENTE
VOLTAJE
CORRIENTE
GANANCIA DE CORRIENTE
TRANSADMITANCIA
SÍMBOLO
G I (jw)
Y (jw)
5.9 DIAGRAMA DE BODE
Sí las características de la red son trazadas en una escala semilogarítmica, es decir, una escala lineal para
la ordenada y una escala logarítmica para la abscisa, se conocen como gráficas de Bode (Hendrik W.
Bode). Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y el diseño de sistemas dependientes de la
frecuencia y de las redes, como filtros, sintonizadores y amplificadores
Al trazar las gráficas lo hacemos con la magnitud de la función de transferencia en decibeles, o sea,
db = 20 log 10(FT(jw) ), pero la escala de las ordenadas en la gráfica sigue siendo lineal. Luego, hacemos
gráficas de 20 log 10(FT(jw) ) contra log 10(w) en vez de FT(jw) contra w.
La ventaja de esta técnica es que más que trazar las características punto por punto, podemos emplear
aproximaciones en línea recta para obtener la característica de manera muy eficiente.
La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (db). Esta unidad fue empleada originalmente
para medir la razón de potencias; es decir:
P
Número de db = 10 log 10 2
P1
Sí las potencias son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces
2
Número en db = 10 log 10
V2 / R
2
= 20 log 10
V1 / R
2
I2 R
V2
V1
= 20 log 10[Gv (jw)] = 20 log 10 [FT(jw)],
I2
= 20 log 10[GI (jw)] = 20 log 10 [FT(jw)]
I1
I1 R
luego la magnitud de la función de transferencia en el nivel de decibeles queda definida por
db = 20 log 10[Func. de transf.]
o, número en db =10 log 10
2
= 20 log 10
5.10 EJEMPLOS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA PARA ALGUNOS CIRCUITOS SIMPLES
CIRCUITO RC EN SERIE:
A continuación determinaremos el modelo matemático de la ganancia en función de la frecuencia para un
circuito que contiene un resistor y un capacitor conectados en serie con una fuente de voltaje en corriente
alterna.
ENTRADA: Fuente de excitación de voltaje en corriente alterna Ve
SALIDA: Voltaje a través del capacitor Vc
V
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Ganancia de voltaje Gv(jw) = c
Ve
VOLTAJE DE SALIDA A TRAVÉS DEL CAPACITOR:
27/06/2011
Página 6 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Vc
1
=
Ve
1 + jwRC
R
+
Sí: τo = RC,(seg.) constante de tiempo del circuito, o,
Ve
Vc
C
1
1
, (seg- 1) frecuencia media o de corte, entonces, la
=
wo =
τ o RC
V
1
ganancia quedará expresada por: Gv(jw) = c =
w
Ve
1+ j
wo
Por lo tanto, la expresión para la ganancia de voltaje quedará:
1
∠ - tan - 1 ( ww ) .
Gv(jw) =
w 2
1 + ( w0 )
Gv(jw) =
En donde la magnitud de la ganancia es : [Gv(jw)] =
1
1 + ( wwo ) 2
,
y el ángulo de fase quedará expresado por: θGv = ∠ - tan - 1 ( wwo )
La magnitud de la ganancia se puede expresar en decibeles, quedando:
Db = 20 log 10[Gv(jw)] = 0 - 10 log 10 [ 1 + ( wwo ) 2 ]
La función de transferencia presenta un polo en w = wo
EJEMPLOS NUMÉRICOS:
1º Determine la función de transferencia (Ganancia de Voltaje) para el circuito RC en serie, si R = 500Ω
y C = 0.1 uf.
La constante de tiempo quedará: τo = RC = (500)* (0.1 * 10- 6) = 0.05 ms
1
La frecuencia media o de corte o de quiebre quedará: wo =
= 20 000 seg- 1, f = 3183 Hz
0.05 ms
La ganancia de voltaje quedará expresada por:
1
1
1
=
=
=
Gv(jw) =
1 + jwRC 1 + jw(r/s) (0.05 ms) 1 + jw(0.00005 seg)
1
Gv(w) =
∠ - tan - 1 ( 0.00005 w )
-5
2
1 + [5x10 w]
1
1
1
1
=
=
Gv(jw) =
=
rad.
w
w( seg. )
⎡ 1 ⎤
⎡
⎤
1
1+ j
(rad)
1+ j
1 + jw(r/s) ⎢ 1 ⎥ 1 + jw(r/s) ⎢
⎥
1
20 000
1
20
000
(
)
20
000
(
)
seg.
⎣ 0.05 ms ⎦
⎢⎣
seg. ⎥
⎦
1
w
Gv(jw) =
∠ - tan - 1 (
) , finalmente:
20000
w
2
1+[
]
20 000
1
w
1
; θGv = ∠ - tan - 1 ( 0.00005 w ) = ∠ - tan - 1 (
[Gv(jw)] =
=
)
-5
2
20000
w
1 + [5x10 w]
2
]
1+[
20 000
Luego wo = 20 000 rad./seg. = 3 183 Hz, es la frecuencia media,
τo = RC = 0.00005 seg.= 5x10-5seg. = 0.05 ms
Cuando w = wo = 20000 rad./seg.., se presenta la frecuencia media o de corte o de quiebre
27/06/2011
Página 7 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
La función de transferencia presenta un polo en w = 20000 rad./seg. = 3183 hertz
SIMULACIÓN
A partir de los modelos encontrados, podremos graficar la magnitud de la ganancia y de la ganancia en
decibeles, como también el ángulo de fase de la ganancia en grados, contra la frecuencia en radianes o en
hertz o el logaritmo de la frecuencia, obteniéndose de esta forma el Diagrama de Bode.
A continuación se presentan el dibujo del circuito que se ingresa al espacio de trabajo del programa
Pspice de OrCAD , con el propósito graficar la ganancia y la fase en función de la frecuencia en el
circuito RC del ejemplo anterior.
R1
Vent
1
2
Vsal
500ohm
1
V1
0.1uF
1Vac
0Vdc
2
C1
Analysis type: AC Sweep/Noise
Options: General settings
AC Sweep Type: Linear
Start Frequency: 10 Hz
End Frequency: 100KHz
Total points:
50
0
RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN:
GRÁFICOS DE GANANCIA (Adimensional) Y FASE (En grados) CONTRA FRECUENCIA (En
hertz)
Se observa que los gráficos de la ganancia y la fase están presentados en función de un barrido lineal de la
frecuencia, resultando gráficas en la cual es dispendioso caracterizar sus propiedades
A continuación se presentan el tipo de análisis que se ingresa al espacio de trabajo del programa Pspice
de OrCAD, con el propósito graficar la ganancia y la fase en función del logaritmo de la frecuencia en
el circuito RC del ejemplo anterior.
Analysis type: AC Sweep/Noise ; Options: General settings
AC Sweep Type: Logarithmic: Start Frequency: 10 Hz ; End Frequency: 100KHz ; Total points: 50
RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN:
27/06/2011
Página 8 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
GRÁFICOS DE GANANCIA (Adimensional) Y FASE (En grados) CONTRA EL LOGARITMO DE
LA FRECUENCIA (En hertz)
Se observa que el gráfico de la ganancia V(sal) / V(ent) y el ángulo de fase P(V(sal) / V(ent)) están presentados
en función de un barrido logarítmico de la frecuencia.
Con el mismo programa se puede presentar la ganancia en decibeles, la cual corresponde al DIAGRAMA
DE BODE, mediante la instrucción 20*log(V(sal) / V(ent)).
GRÁFICOS DE GANANCIA (En decibeles) Y FASE (En grados) CONTRA EL LOGARITMO DE
LA FRECUENCIA (En hertz)
27/06/2011
Página 9 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
El diagrama de Bode, graficado en esta página, se puede bosquejar utilizando las aproximaciones
asintóticas, que para este caso corresponde a dos rectas que se cruzan en el punto wo , una es horizontal en
el punto 0 db y la otra inicia en el punto wo con pendiente negativa de 20 db por década.
Estas rectas se pueden determinar a partir de la expresión para los decibeles en función del logaritmo de la
frecuencia, esto es: Db = 20 log 10[Gv(jw)] = 0 - 10 log 10 [ 1 + ( wwo ) 2 ]
Para valores de w <<< wo , Db = 0 – 10 log 10[1+0] = 0 – 0 = 0, que corresponde a la recta horizontal a
partir del menor valor utilizado para la frecuencia.
Para el valor de w = wo , Db = 0 – 10 log 10 [1+1] = 0 – 3.010 = - 3.010 db
Lo que significa que para este valor de frecuencia, la magnitud en decibeles de la ganancia disminuye del
valor máximo en 3 db y para este punto es donde más se aleja el valor real del cruce de las dos rectas.
Para valores de w >>> wo , Db = 0 – 10 log 10[1+ (w)2] = 0 – 20 log 10[ w ], que corresponde a la recta
Db = - 20 X , ya que X = log 10[ w ]. La gráfica corresponde a una recta con pendiente negativa de 20 db
por década a partir del valor de w = wo .
De la gráfica se observa que para analizar el comportamiento de la salida, puede ser determinado a partir
de la aproximación asintótica (rectas asíntotas) sin tener que recurrir a la gráfica real.
El ángulo de fase de la ganancia en grados estará expresado por: θGv = ∠ - tan - 1 ( 20w000 )
VOLTAJE DE SALIDA A TRAVÉS DEL RESISTOR:
+ VR -
Voltaje de salida es el voltaje a través del resistor:
VR
RC jw
=
Ve
1 + jwRC
Ve
C
Sí: τo = RC,(seg.) constante de tiempo del circuito, o,
1
1
, (seg- 1) frecuencia media o de corte, entonces, la
=
wo =
τ o RC
V
RC jw
ganancia quedará expresada por: Gv(jw) = R =
w
Ve
1+ j
wo
Por lo tanto, la expresión para la ganancia de voltaje quedará:
RC w
0.05x10 −3 w
w
∠ 90º - tan - 1 ( WWO ) . =
∠ 90º - Tan - 1 (
)
Gv(jw) =
20000
w
1 + ( WWO ) 2
2
1+[
]
20 000
La magnitud de la ganancia en decibeles estará expresada por:
Db = 20 log 10[Gv(jw)] = 20 log(0.05x10-3 w) - 10 log 10 [ 1 + ( 20w000 ) 2 ]
R
Gv(jw) =
El ángulo de fase de la ganancia en grados estará expresado por: θGv = ∠ - tan - 1 ( 20w000 )
La función de transferencia presenta un cero en el origen y un polo en w = 20000 rad./seg. = 3183 hertz
RESULTADOS DE LA SI MULACIÓN:
GRÁFICOS DE LA GANANCIA (En decibeles) y LA FASE (En grados) CONTRA EL
LOGARITMO DE LA FRECUENCIA (En hertz)
27/06/2011
Página 10 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
CIRCUITO RL EN SERIE:
A continuación determinaremos el modelo matemático de la ganancia en función de la frecuencia para un
circuito que contiene un resistor y un inductor conectados en serie con una fuente de voltaje en corriente
alterna.
ENTRADA: Fuente de excitación de voltaje en corriente alterna Ve
SALIDA: Voltaje a través del inductor VL
V
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Ganancia de voltaje Gv(jw) = L
Ve
VOLTAJE DE SALIDA A TRAVÉS DEL INDUCTOR:
Determine la función de transferencia (Ganancia de Voltaje) para el circuito RL en serie, si R = 15Ω y L =
0.1 H.
Vent
R1
1
2
Vsal
15ohm
1
V1
L1
0.1H
1Vac
0Vdc
2
ACPHASE = 0
0
Ganancia de voltaje sobre el inductor: GV(jw) =
Reemplazando valores: GV(jw) =
27/06/2011
jw RL
jwτ1
jwL
=
=
=
R + jwL 1 + jw RL
1 + jwτ1
jw RL
w
1+ j
wo
jw(0.1)
jw(0.00666)
jw(0.00666)
=
=
w
15 + jw(0.1) 1 + jw(0.00666)
1+ j
150
Página 11 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Frecuencia media o de quiebre wo = 150 rad/seg. = 23.873 Hz
Expresión para la ganancia: GV (jw) =
(0.00666) w ∠ 90º
(1) 2 + (w 0.00666) 2 ∠ tan -1 ( w ( 0.100666 ) )
La magnitud de la ganancia en decibeles estará expresada por:
Db = 20 x [ Log(0.00666 w) - Log( 1 + (0.00666) 2 w 2 )]
El ángulo de fase de la ganancia en grados estará expresado por: θGv = ∠ 90° - tan - 1 ( 20w000 )
La función de transferencia presenta un cero en el origen y un polo en w = 150 rad/seg. = 23.87 hertz
Algunos valores: Para f = 0.1 Hz ; w = 0.6283 rad/seg
Db(0.1Hz) = 20x[Log(0.00666x0.6283) – Log( 1 + (0.00666) 2 (0.6283) 2 )]
Db(0.1Hz) = 20x[Log(0.0041844) – Log(1)] = 20x [-2.3783] = - 47.56 db
Db(23.873Hz) = 20x[Log(0.00666x150) – Log( 1 + (0.00666) 2 (150) 2 )]
Db(23.873Hz) = 20x[Log(0.999) – Log(1.4135)] = 20x [- 0.1507] = - 3.014 db
Db(1000Hz) = 20x[Log(0.00666x1000) – Log( 1 + (0.00666) 2 (1000) 2 )]
Db(1000Hz) = 20x[Log(6.66) – Log(6.7346)] = 20x [- 0.0048375] = - 0.096 db
RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN
GRÁFICOS DE LA GANANCIA (En decibeles) y LA FASE (En grados) CONTRA EL
LOGARITMO DE LA FRECUENCIA (En hertz)
27/06/2011
Página 12 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
VOLTAJE DE SALIDA A TRAVÉS DEL RESISTOR:
1
1
R
=
Ganancia de voltaje sobre el resistor: GV(jw) =
=
=
L
R + jwL 1 + jw R
1 + jwτ1
Reemplazando valores: GV(jw) =
15
1
=
=
15 + jw(0.1) 1 + jw(0.00666)
1
1+ j
w
wo
1
1+ j
w
150
Frecuencia media o de quiebre wo = 150 rad/seg. = 23.87 Hz
La magnitud de la ganancia en decibeles estará expresada por:
w 2
)]
150
w
) = ∠ - tan - 1 (0.00666 w )
El ángulo de fase de la ganancia estará expresado por: θGv = ∠ - tan - 1 ( 150
La función de transferencia presenta un polo en w = 150 rad./seg. = 23.87 hertz
Db = - 20xLog( 1 + (0.00666) 2 w 2 ) = - 10 x Log(1+(0.00666 w)2 = - 10 x Log[1+(
NOTA: Las curvas correspondientes al diagrama de Bode y ángulo de fase para el circuito RL en serie con
salida en el resistor, son muy similares a las curvas para el circuito RC en serie con salida en el capacitor,
en donde solo cambia el valor de la frecuencia media.
27/06/2011
Página 13 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
FRECUENCIA DE POTENCIA MEDIA
2
V
Sí el voltaje de salida está sobre una resistencia R, la potencia de salida estará expresada por: sal ,
R
En el circuito anterior, para w = 1.0, la ganancia es uno y Vsal = 1.0 v, por tanto, la potencia de salida es
1
Watt.
R
Si aumentamos la frecuencia a w = wo, la ganancia es 2 = 0.707 y Vsal = 0.707 v, por tanto, la potencia
0.5
de salida es
Watt, luego al variar la frecuencia de 1.0 a wo , la potencia de salida se reduce a la mitad,
R
por tanto, a wo se le da el nombre de Frecuencia de Potencia Media
Circuito RLC en serie:
Para el circuito RLC enserie podremos determinar diferentes funciones de transferencia, dependiendo de
la variable que se seleccione como la salida.
La impedancia del circuito quedará definida por:
XL
IT
( jw ) 2 CL + ( jw )CR + 1
Z(jw) =
jwC
VR
VL XC
VC La ganancia de voltaje, cuando la salida es el voltaje
sobre la capacitancia, quedará definida por:
Ve
V
1
Gv(jw) = C =
2
Ve ( jw ) LC + ( jw )CR + 1
La ganancia de voltaje, cuando la salida es el voltaje sobre la inductancia, quedará definida por:
V
− LCw 2
Gv(jw) = L =
Ve ( jw ) 2 LC + ( jw )CR + 1
La ganancia de voltaje, cuando la salida es el voltaje sobre la resistencia, quedará definida por:
V
RC( jw )
Gv(jw) = R =
2
Ve
( jw ) LC + ( jw )CR + 1
Se observa que todas las funciones de transferencias presentadas contienen el mismo polinomio
cuadrático, en la variable jw = S, ya sea en el numerador, como en la impedancia, o en el denominador,
como en las ganancias de voltaje.
Por lo anterior, resulta práctico analizar este factor cuadrático y como puede ser su descomposición en dos
polinomios lineales, para dibujar el diagrama de Bode asintótico de acuerdo con el polinomio lineal
dibujado en el ejemplo anterior.
El polinomio cuadrático en términos de jw = S se puede escribir de la forma siguiente:
R
1
R
= S2 + S +Wo2 = 0
(jw)2 LC +(jw) CR +1 = S2 LC +S CR +1 = S2 + S +
L LC
L
En donde la frecuencia de resonancia del circuito RLC en serie estará expresada por:
1
1
= LC , y la constante de
Wo =
, la constante de tiempo del circuito queda definida por: τ =
Wo
LC
tiempo al cuadrado será : τ2 = LC
Reemplazando estos términos en el polinomio cuadrático, éste podrá escribirse como:
S2 τ2 + S CR +1 = (jw)2 τ2 + (jw) CR +1, y éste a su vez, podrá ser modificado de la forma siguiente:
27/06/2011
Página 14 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
El término lineal (jw) CR, puede modificarse multiplicándole por un quebrado igual a la unidad. Como el
2τ
término
es igual a la unidad, entonces:
2 LC
R C
2τ
CR
(jw) CR = 2 τ (jw)
= 2 τ (jw)
(jw) CR =
2 L
2 LC
2 LC
R C
, el cual recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento, el término lineal
2 L
puede quedar expresado por: (jw) CR = 2 ξτ (jw)
Por lo tanto el polinomio cuadrático podrá expresarse de la forma siguiente:
2ξ
2ξ
(jw)2 τ2 + 2 ξτ (jw) + 1 = (jw)2 +
(jw) + wo2 = S2 +
S + wo2
τ
τ
Sí hacemos ξ =
RAÍCES DEL POLINOMIO
Con base en el polinomio cuadrático expresado anteriormente, podremos determinar si un polinomio tiene
raíces reales o imaginarias a partir del valor de su coeficiente de amortiguamiento.
Sí el coeficiente de amortiguamiento es igual a uno, las raíces son reales e iguales. Sí el coeficiente de
amortiguamiento es mayor a uno, las raíces son reales y diferentes. Sí el coeficiente de amortiguamiento
es menor a uno, las raíces son imaginarias.
Sí las raíces son reales, el polinomio cuadrático podrá ser expresado como la multiplicación de dos
polinomios lineales y el diagrama de Bode podrá ser bosquejado como el polinomio lineal bosquejado en
el circuito RC en serie, esto es:
Sí ξ > 1.0, las raíces son reales y diferentes, entonces:
w
w
(jw)2 τ2 + 2 ξτ (jw) + 1 = 0 = [(jw)+A][(jw)+B] = AB [1+ j ] [1+ j ]
A
B
Sí ξ = 1.0, las raíces son reales e iguales, entonces:
w
(jw)2 τ2 + 2 ξτ (jw) + 1 = 0 = [(jw)+A]2 = A2 [1+ j ]2
A
Sí ξ < 1.0, las raíces son imaginarias, entonces la forma de dibujar el diagrama de Bode se verá mas
adelante.
EJEMPLOS NUMÉRICOS
1°. Para el siguiente polinomio, 2.53x10-4 S2 + 0.03785 S +1 = 0, determine las raíces y descomponga el
polinomio en dos polinomios lineales.
2.53x10-4 S2 + 0.03785 S +1 = 0 = S2 + 150 S + 3 952.56 o
2.53x10-4 (jw)2 + 0.03785 (jw) +1 = 0 = (jw)2 + 150 (jw) + 3 952.56
De cualquiera de los polinomios podremos determinar que, τ2 = 2.53x10-4, luego,
0.03785
τ = 0.01590, y que, 0.03785 = 2 ξτ , por lo tanto, ξ =
= 1.19, o sea que las raíces son reales y
2τ
diferentes
Determinando las raíces del polinomio quedarán: S1 = - 115.8 y S2 = - 34.5,
luego, S2 + 150 S + 3 952.56 = (S1 + 115.8) (S2 + 34.5) = (jw + 115.8) (jw + 34.5) =
w
w
w
w
) 34.5 (1+ j
) = 3 952.56 (1+ j
) (1+ j
)
115.8 (1+ j
115.8
34.5
115.8
34.5
27/06/2011
Página 15 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Por lo tanto, el polinomio cuadrático tendrá un término constante y dos polinomios lineales de la forma
expresada en el circuito RC visto anteriormente, o sea que, tendrá dos frecuencias medias o de quiebre,
estas son:
f1 = 5.49 Hz
t1 = 0.0289 seg
w1 = 34.5 rad/seg
f2 = 18.43 Hz
t2 = 0.00863 seg
w2 = 115.8 rad/seg
2° Determine las clases de raíces que tiene el polinomio siguiente: 0.01 S2 + 0.04 S + 1 = 0
0.01 S2 + 0.04 S + 1 = 0 = 0.01 (jw)2 +0.04 (jw) + 1 = S2 + 4 S + 100
De cualquiera de los polinomios podremos determinar que, τ2 = 0.01, τ = 0.1, wo = 10 y que, 2 ξτ = 0.04
0.04
= 0.2, o sea que las raíces son imaginarias y su forma de dibujar el diagrama de
, por lo tanto, ξ =
2τ
Bode para el polinomio cuadrático se verá mas adelante.
5.11 RESPUESTA EN FRECUENCIA PARA UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN
GENERAL
Para el caso senoidal en estado estable, las ecuaciones de funciones de transferencia en función de la
frecuencia se pueden expresar de una manera general como la razón de polinomios de la forma:
k (jw) ± N (1 + jwτ1 ) [1 + 2 ξ 2 (jwτ 2 ) + ( jwτ 2 ) 2 ]
FT (jw) = o
(1 + jwτ a ) [1 + 2 ξ b (jwτ b ) + ( jwτ b ) 2 ]
En donde la expresión tiene los siguientes valores típicos:
1°. Constante ko independiente de la frecuencia
2°. Polos y ceros en el origen de la forma (jw)± N
Ceros: (jw)+ N, términos en el numerador; Polos (jw)- N, términos en el denominador
3°. Polos y ceros lineales de la forma (1+ j w τ), el término del denominador es polo y el término del
numerador es cero
4°. Polos y ceros cuadráticos de la forma [1 + 2 ξ (jwτ ) + ( jwτ ) 2 ]
Como el diagrama de Bode es una gráfica de la ganancia en decibeles y del ángulo de fase en grados con
respecto al logaritmo de la frecuencia, encontraremos los decibeles para la función de transferencia
presentada en la expresión inmediatamente anterior, esto es:
Db = 20 log 10 [FT(jw)] = 20 log 10 [ko] ± 20 N log 10 [j w] + 20 log 10 [1+ j w τ1]
+ 20 log 10 [1 + 2 ξ 2 (jwτ 2 ) + ( jwτ 2 ) 2 ] +........- 20 log 10 [1+ j w τa]
- 20 log 10 [1 + 2 ξ b (jwτ b ) + ( jwτ b ) 2 ] -........
El ángulo de fase de la función de transferencia en función de la frecuencia quedará definida por:
2 ξb w τb
2 ξ w τ2
θFT(jw) = 0 ± N(90°) + tan- 1(w τ1) + tan- 1[ 2
] + .... – tan- 1(w τa) - tan- 1[
] - .....
2
1 - (w τ 2 )
1 - (w τ b ) 2
Para dibujar el diagrama de Bode, tendremos en cuenta que el comportamiento de los polos y ceros en el
origen y los polos y ceros lineales, ya han sido analizados en los temas anteriormente vistos, lo mismo que
los polos y ceros cuadráticos cuando las raíces son reales.
POLOS Y CEROS CUADRÁTICOS QUE TIENEN RAÍCES IMAGINARIAS
Para los polos y ceros cuadráticos que tienen raíces imaginarias se presenta el análisis siguiente:
El polinomio cuadrático se puede expresar de la forma siguiente:
[1 + 2 ξ (jwτ ) + ( jwτ ) 2 ] = [(1 − ( wτ ) 2 ) + 2 ξ (jwτ )] , por lo tanto,
db = 20 log 10 [1 + 2 ξ (jwτ ) + ( jwτ ) 2 ] = 20 log 10 [(1 − ( wτ ) 2 ) + j 2 ξ w τ ]
27/06/2011
Página 16 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
2ξw τ
]
1 - (w τ) 2
Sí el coeficiente de amortiguamiento es menor a uno (ξ < 1.0) las raíces son complejas, entonces, el
polinomio se analiza de la forma siguiente:
1
1°. Para w τ1 <<< 1.0, o, para w <<< w1, en donde τ1 =
, entonces db = 0, o, para w
0,
w1
= 20 log 10 [ [1 − ( w τ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ] 2
]
θpol = tan- 1[
y
entonces db = 20 log 10 [ [1 − ( w τ1 ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ] 2 ] = 0
La cual corresponde a una recta horizontal que pasa por 0 db, igual que el polinomio lineal
2°. Para w τ1 >>> 1.0, o, para w >>> w1, en donde τ1 =
1
, entonces, (w τ1)2 >>> 2 ξ w τ1 o, para
w1
∞ , entonces db = 20 log 10 [ [1 − ( w τ1 ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ] 2 ] = 20 log 10 [(w τ1)2]
w
db = 40 log 10 [(w τ1)] = 40 log 10 [
]
w1
La cual corresponde a una recta con variación de 40 decibeles por década, de tal manera que, sí es un cero
la magnitud crece y sí es un polo la magnitud decrece.
3°. Para w τ1 = 1.0, o, para w = w1, o sea en el cruce de las dos rectas, el comportamiento de la función
depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, presentando una curva lisa sin alguna
protuberancia, como la del polinomio lineal, para (ξ = 1.0) y una marcada protuberancia para cuando el
coeficiente de amortiguamiento se acerca a cero, de acuerdo con la figura siguiente
w
Mag(db)
1
2
3
4
20
27/06/2011
20
30
40
100 Rad/Seg
ξ=0
ξ = 0.1
0
-20
10
ξ = 1.0
ξ = 0.4
Página 17 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
5.12 CIRCUITOS RESONANTES
Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados en serie o
en paralelo para obtener una respuesta selectora de frecuencias.
5.12.1 CIRCUITO RLC EN SERIE
Para un circuito RLC en serie, que está alimentado por una fuente de voltaje senoidal, en estado estable,
de frecuencia w, la impedancia total en función de la frecuencia quedará expresada por:
1
ZT(jw) = R + j ( XL – XC ) = R + j ( w L )
wC
X − XC
1 2
w 2 LC - 1
Z T = R 2 + (X L - X C ) 2 = R 2 + (wL )
θZ = tan- 1( L
) = tan- 1 (
)
R
wCR
wC
La gráfica de la impedancia se puede construir a partir de las graficas de la resistencia y de las reactancias
por aparte, esto es:
a
ZT
b
θ
XC > XL
+ 90°Z
XL > XC
XC > XL
0°
R
XL
XC
XL > XC
- 90°
wResonancia
wResonancia
w
w
La gráfica de la resistencia R es una recta horizontal que tiene un valor constante R y no depende de la
frecuencia w.
La gráfica de la reactancia inductiva XL = L w ∠90°, corresponde a una recta que atraviesa por cero y
tiene pendiente cero, luego el comportamiento de la inductancia es tal que, para bajas frecuencias, w
∞, se comporta como un circuito
0, se comporta como un corto circuito y para altas frecuencias, w
abierto.
1
La gráfica de la reactancia capacitiva XC =
∠- 90°, corresponde a una hipérbola equilátera, la cual
wC
tiene como asíntotas los ejes coordenados, luego el comportamiento de la inductancia es tal que, para
∞, se
bajas frecuencias, w
0, se comporta como un circuito abierto y para altas frecuencias, w
comporta como un corto circuito.
La gráfica de la impedancia total está predominada por la reactancia capacitiva para valores pequeños de
w (XC > XL, zona a) y está predominada por la reactancia inductiva para valores grandes de w (XL > XC, zona
b), o sea que, la impedancia se comporta como un circuito abierto para bajas y altas frecuencias.
En el cruce de las curvas de las tres impedancias individuales, la reactancia capacitiva se hace igual a la
inductiva, o sea, XL - XC = 0, por lo tanto, la impedancia total es igual a la resistencia, ZT = R + j 0, para
este punto, se define la condición de resonancia y al valor de la frecuencia para este punto se le da el
nombre de frecuencia de resonancia wR.
La gráfica de la derecha corresponde al ángulo de fase asociado con la impedancia del circuito, en donde
se puede observar que para frecuencias bajas el ángulo es negativo, o
sea , se comporta como capacitivo y para frecuencias altas el ángulo es positivo, o sea, se comporta como
inductivo, el ángulo de fase 0°, corresponde al punto en donde XL = XC,
o sea, el punto donde se define la condición de resonancia.
27/06/2011
Página 18 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
5.12.1.1 RESONANCIA DE UN CIRCUITO
Se dice que un circuito está en resonancia, cuando en la impedancia total del circuito la reactancia total
inductiva es igual a la reactancia total capacitiva, o sea, cuando la impedancia no tiene parte imaginaria,
solo parte real, para el caso del circuito RLC en serie, cuando la impedancia total es solamente la
resistencia, porque la reactancia inductiva se ha contrarrestado con la reactancia capacitiva.
5.12.1.2 FRECUENCIA DE RESONANCIA
La frecuencia de resonancia de un circuito en serie se define como la frecuencia wR a la cual la
impedancia total del circuito no es reactiva, o sea, no existe el término imaginario de la impedancia, luego,
a partir de la condición de resonancia, podremos obtener el valor de la frecuencia wR que cumple con esta
condición en el circuito RLC en serie.
1
Para: XL – XC = 0 = w L , existe un valor de frecuencia wR, que cumple con la condición, o sea:
wC
1
1
1
= 0, la cual produce una frecuencia de resonancia dada por: wR =
wR L fR =
wR C
LC
2π LC
Para este valor de frecuencia la relación entre el voltaje aplicado y la corriente que circula por el circuito
V∠ 0°
V
es: V = I ZT = I R ∠0° , luego, I =
∠ 0°
=
R ∠0°
R
Se observa que la corriente del circuito estará en fase con el voltaje aplicado, para la frecuencia de
resonancia.
5.12.1.3 VOLTAJES EN LA RESONANCIA
En la condición de resonancia, los voltajes de los elementos individuales, para el circuito RLC en serie,
estarán dados por: VR = I R = V ; VL = I XL = I XL ∠90° ; VC = I XC = I XC ∠- 90°
Como XL = XC, entonces: [VL] = [VC] , o sea que, el voltaje sobre la inductancia tiene igual magnitud
que el voltaje sobre la capacitancia, pero están desfasados 180°, es por eso que se eliminan en resonancia
quedando el voltaje aplicado igual al voltaje sobre la resistencia.
5.12.1.4 POTENCIAS Y FACTOR DE POTENCIA EN LA RESONANCIA
En la condición de resonancia, la potencia total y la de los elementos individuales, para el circuito RLC en
serie, estarán dados por:
QL = I XL ; QC = I XC , como, XL = XC, entonces: QT = (QL- QC) = 0
Por lo tanto, S = P + j QT = P, luego, la potencia total aparente es igual a la potencia resistiva y el
P
factor de potencia estará dado por: Cos (θZ) =
= 1.0, lo que indica que, en resonancia el circuito se
S
comporta como si fuera solamente resistivo.
5.12.1.5 CARACTERÍSTICAS DEL CIRCUITO RLC EN RESONANCIA
♦ La magnitud de la impedancia es mínima e igual a la resistencia. ZT = R
♦ La corriente del circuito es máxima para un voltaje determinado.
♦ La corriente del circuito y el voltaje aplicado están en fase
♦ El factor de potencia es unitario.
♦ La potencia aparente es igual a la potencia promedio o real.
♦ La potencia reactiva total es igual a cero, o sea que, la potencia almacenada por la inductancia es igual a
la potencia producida por la capacitancia.
5.12.1.6 COMPORTAMIENTO DEL ÁNGULO DE FASE CON LA VARIACIÓN DE LA
FRECUENCIA PARA EL CIRCUITO RLC EN SERIE
27/06/2011
Página 19 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Diagramas Fasoriales:
FRECUENCIAS
BAJAS
W < WR
CAPACITIVO
FRECUENCIA DE
RESONANCIA
W = WR
RESISTIVO PURO
VL
FRECUENCIAS
ALTAS
W > WR
INDUCTIVO
VL
VL
VR
0
θz
V
Vc
VL - VC
0
VR = V
θz = 0°
V
θz
0
Vc
Vc
V L- V C
VR
5.12.2 EL FACTOR DE CALIDAD Q
El factor de calidad de un circuito resonante se define como la proporción de la potencia reactiva del
inductor o del capacitor entre la potencia promedio del resistor en la resonancia; es decir:
QL QC
Potencia Reactiva
=
=
QS =
Potencia Real
P
P
El factor de calidad es también una relación de cuanta energía se almacena (intercambio entre los
elementos almacenadores) en comparación con la que se disipa.
Un factor de calidad elevado, significa que la potencia reactiva almacenada es mayor o que es mas bajo el
nivel de potencia disipada.
Formulas del Factor de Calidad
w L
I2 XL XL I2 XC XC
1
1 L
QS = 2
=
= 2
=
; Q = R =
=
R
wR C R R C
R
R
I R
I R
Voltajes en Función del Factor de Calidad
Los voltajes en función del factor de calidad quedarán expresados por:
VL = I XL = I R QS = V Q ; VC = I XC = I R QS = V Q ; VR = V
NOTA: Debido a que, por lo general Q es mayor a uno, el voltaje a través del capacitor o el inductor de un
circuito RLC en serie resonante puede ser significativamente mayor que el voltaje de entrada.
EJEMPLOS RESUELTOS:
1°. Para un circuito RLC en serie que tiene las características siguientes: V = 10 ∠0° v ;
R = 6 Ω ; XL = 480 Ω ; XC = 480 Ω , determine: a) el factor de calidad; b) el voltaje a
través de cada elemento ; c) la frecuencia de resonancia.
Desarrollo:
El circuito se encuentra en resonancia, ya que la reactancia inductiva es igual a la
Capacitiva.
X L 480
=
= 80
a) Factor de Calidad: Q =
R
6
b) Voltaje a través de los Elementos: VL = VC = Q V = 80 10 ∠0° = 800 ∠0° v;VR = V = 10 ∠0°
c) Frecuencia de Resonancia:
La frecuencia de resonancia depende principalmente de L y C, también se puede expresar en
términos del factor de calidad, esto es:
1
1
; (2) Q = wR L ; (3) Q =
(1) wR =
wR C
LC
De las fórmulas anteriores se puede observar que la # 1 es linealmente dependiente de las fórmulas
# 2 y # 3 ,por lo tanto, para determinar la frecuencia de resonancia, podremos utilizar la fórmula # 1
o las fórmulas # 2 y # 3.
27/06/2011
Página 20 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Por cualquiera de los dos métodos, encontramos tres variables a resolver que son:
wR , L y C, por lo tanto, para obtener la frecuencia de resonancia wR, por cualquiera de los dos
métodos, se requiere asignar a L o a C un valor determinado.
2°. Para un circuito RLC en serie que tiene las características siguientes: V = 10 ∠0° v ; R = 3 Ω ;
L = 100 mh , determine: a)el valor de C que colocará al circuito en resonancia para
wR =1 800 rad. / seg. ; b) el factor de calidad del circuito ; c) la corriente en resonancia ; d) el
voltaje a través de cada elemento.
Desarrollo:
a) Capacitancia Para la Resonancia:
1
1
C=
= 3.086419 x 10- 6 F = 3.09 uF
=
2
2
-3
w R L (1 800) 100 x 10
b) Factor de Calidad:
w R L 1 800 100x10 - 3
Q =
=
= 60
R
3
c) Corriente en Resonancia:
V 10 ∠ 0°
=
I =
= 3.33 ∠ 0° A
R 3 ∠ 0°
d) Voltaje a través de los Elementos:
VC = VL = Q V = 60 10 ∠ 0° = 600 ∠ 0° v
Nota: el voltaje sobre el capacitor o inductor es significativamente grande comparado con el
voltaje de entrada.
5.12.3 LA SELECTIVIDAD
El voltaje a través de la resistencia o voltaje de salida, dividido por el voltaje de entrada, determina la
función de transferencia Ganancia de Voltaje, sí el voltaje de entrada lo constituye una señal con una
amplia escala de frecuencias, solamente las componentes de la frecuencia dentro de un ancho de banda
( escala de frecuencias) no estarán atenuados en el voltaje de salida, o sea, solo hacen presencia en el
voltaje de salida las componentes que están dentro de esta banda. A este proceso se le denomina
SELECTIVIDAD, porque selecciona una escala de frecuencias para no atenuarlas o para amplificarlas.
En un circuito RLC en serie, la función de transferencia Transadmitancia, es apropiada para analizar las
características de un filtro pasabanda, principalmente la selectividad.
( L1 ) j w
V , o
La corriente estará dada por: I = Y(jw) V =
1
(j w) 2 + j w ( RL ) + LC
( L1 ) S
I =
V , Luego, la función de transferencia Transadmitancia, estará dada por:
1
S 2 + S ( RL ) + LC
( L1 ) j w
( L1 ) S
I
Y(jw) =
=
=
1
1
V
(j w) 2 + j w ( RL ) + LC
S 2 + S ( RL ) + LC
El voltaje a través de la resistencia estará dada por: VR = I R
V
La ganancia de voltaje estará dada por: Gv(jw) = R = Y(jw) R
V
27/06/2011
Página 21 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
La gráfica de la corriente en función de la frecuencia para un voltaje determinado de un circuito RLC en
serie, puede ser esbozada como la de la figura siguiente:
I
Imax
XL > XC
XL < XC
I max =
V
R
I max
0.707 Imax
2
wb wR
wa
Bw
w
De la figura se puede observar que,
Para la frecuencia de resonancia wR
se presenta la corriente máxima igual
V
, o sea cuando la impedancia
a
R
adquiere su valor mínimo, ZT = R
La curva presentada tiene la misma
forma de la Transadmitancia, solo que
aquí está multiplicada por el voltaje, la
cual se supone constante, I = Y(jw) V.
ANCHO
DE
BANDA
La forma de la curva es igual al de la admitancia, por ello, en la resonancia, cuando se presenta el
valor máximo de la admitancia, corresponde el valor mínimo para la impedancia.
5.12.3.1 CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE CORRIENTE
♦ Existe un intervalo de frecuencias en la cual la corriente está cerca de su valor máximo y la impedancia
está en su mínimo.
♦ Las frecuencias que corresponden a una salida mayor a 0.707 de la corriente máxima, se denominan:
-Frecuencias de Banda
-Frecuencias de Corte
-Frecuencias de media potencia
Estas frecuencias están comprendidas entre wb (baja) y wa (alta)
♦El intervalo de frecuencias entre wb y wa, se conoce como el ancho de banda Bw del circuito resonante.
♦ A wb y wa se les denomina frecuencia de potencia media porque la potencia proporcionada a la
resistencia es la mitad de la potencia proporcionada en resonancia.
PWb = PWb = (0.707 Imax)2 R = 0.5 (Imax)2 R = 12 PRES
PRES = (Imax)2 R ;
5.12.3.2 CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS DE BANDA
V
ZT
Para un valor determinado de V, la corriente varía si lo hace la impedancia ZT
V
En resonancia, para w = wR, ZT = R y la corriente es máxima: Imax =
R
Para un valor de la frecuencia de banda, w = wb o w = wa, la corriente disminuye a:
I max
, este valor de corriente se consigue con un aumento en la impedancia, luego, para
0.707 Imax, o
2
I
V
, o sea que, la impedancia aumentó en 2
w = wb o w = wa, max =
2
2R
En el circuito RLC en serie, la corriente está determinada por I =
27/06/2011
Página 22 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
Por lo tanto, para w = wb o w = wa, ZT =
2R =
R 2 + (X L − X C ) 2
Desarrollando esta última expresión de la impedancia, encontraremos el valor de las frecuencias de banda
en función de los elementos del circuito.
Elevando al cuadrado ambos lados de la expresión, para eliminar las raíces cuadradas, y agrupando
términos, la expresión quedará: R2 = (XL- XC)2 (A)
Como la diferencia entre las reactancias está elevada al cuadrado, esta expresión también puede escribirse
como R2 = (XC- XL)2 (B) , y continúa siendo válida.
La frecuencia de banda alta wa se presenta cuando XL > XC, para este caso, desarrollamos la ecuación (A),
sacando la raíz cuadrada de ambos miembros de la expresión, considerando solo los signos positivos, y
1
reemplazando el valor de wa, tendremos: R = wa L ,
wa C
1
= 0, cuyas raíces estarán dadas por:
o wa R = wa2 L - C1 , o wa2 - wa RL - LC
wa =
− (− RL ) ± ( RL ) 2 +
4
LC
, se descarta el signo negativo de la raíz porque el término de la derecha es
2
mayor que el de la izquierda y este arrojaría una raíz negativa, la cual no representaría un resultado real,
por lo tanto, el valor de la frecuencia de banda alta quedará expresada por:
2
2
R 1 ⎛⎜ R ⎞
R
1 ⎛⎜ R ⎞
4
4
wa =
; fa =
+
+
+
+
⎟
⎟
2 L 2 ⎜⎝ L ⎠
4π L 4 π ⎜⎝ L ⎠
LC
LC
La frecuencia de banda baja wb se presenta cuando XC > XL, para este caso, desarrollamos la ecuación(B),
sacando la raíz cuadrada de ambos miembros de la expresión, considerando solo los signos positivos, y
1
reemplazando el valor de wb, tendremos: R =
- wb L,
wb C
1
= 0, cuyas raíces estarán dadas por:
o wb R = C1 - wb2 L, o wb2 + wb RL - LC
wb =
(− RL ) ± ( RL ) 2 +
4
LC
, se descarta el signo negativo de la raíz porque el término de la derecha es
2
mayor que el de la izquierda y este arrojaría una raíz negativa, la cual no representaría un resultado real,
wb
=
por lo tanto, el valor de la frecuencia de banda alta quedará expresada por:
-
2
R 1 ⎛⎜ R ⎞
4
+
⎟ +
⎜
2L 2 ⎝ L ⎠
LC
;
fb = -
R
1
+
4π L 4 π
⎛ R ⎞2
⎜ ⎟ + 4
⎜L⎠
LC
⎝
5.12.4 LAS FRECUENCIAS DE BANDA EN FUNCIÓN DEL FACTOR DE CALIDAD Y DE LA
FRECUENCIA DE RESONANCIA
Con base en las fórmulas presentadas para el factor de calidad y para la frecuencia de resonancia
R wR
1
=
y wR =
podremos expresar que:
L
Q
LC
Reemplazando estas fórmulas en las expresiones anteriormente obtenidas, las frecuencias de banda
quedarán expresadas por:
27/06/2011
Página 23 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
wa
wb
2
⎤
⎡ 1
1 ⎞
⎛
+ ⎜
= wR ⎢
⎟ + 1⎥
⎥
⎢2 Q
⎝ 2Q⎠
⎦
⎣
2
⎤
⎡ 1
⎛ 1 ⎞
⎢
= wR −
+ ⎜
⎟ + 1⎥
2Q⎠
⎥
⎢ 2Q
⎝
⎦
⎣
fa =
;
;
2
⎤
⎡ 1
1 ⎞
⎛
⎢
+ ⎜
⎟ + 1⎥
⎥
⎢2Q
⎝ 2Q⎠
⎦
⎣
2
⎤
wR ⎡ 1
⎛ 1 ⎞
⎢−
+ ⎜
⎟ + 1⎥
2π ⎢ 2Q
2Q⎠
⎥
⎝
⎦
⎣
wR
2π
fb =
5.12.5 ANCHO DE BANDA Bw
El ancho de banda viene expresado por la diferencia entre las dos frecuencias de banda, o sea, Bw = wa –
2
2
⎡ 1
⎤
⎡ 1
⎤ w
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
+ ⎜⎜
+ ⎜⎜
wb = w R ⎢
⎟⎟ + 1⎥ - w R ⎢−
⎟⎟ + 1⎥ = R
Q
⎢2 Q
⎥
⎢ 2Q
⎥
⎝2Q⎠
⎝2Q⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
wR
Luego, Bw =
Q
Si se multiplican las frecuencias de banda resulta: wb wa = wR2 , de donde wR = w a w b , por lo tanto, la
frecuencia de resonancia es la media geométrica de las frecuencias de banda o de potencia media.
5.12.6 LA GANANCIA DE VOLTAJE Y LA TRANSADMITANCIA EN FUNCIÓN DEL
FACTOR DE CALIDAD Y DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA
Con base en las fórmulas presentadas para el factor de calidad y para la frecuencia de resonancia,
R wR
1
=
y wR =
, por lo tanto, reemplazando estas fórmulas en las
podremos expresar que:
L
Q
LC
expresiones anteriormente obtenidas para la ganancia de voltaje y la transadmitancia, éstas quedarán
expresadas por:
wR
S
( RL ) S
VR
Q
=
Gv(jw) =
= Y(jw) R =
2
1
V
S 2 + S ( RL ) + LC
S 2 + S ( wQR ) + w R
( )
Y(jw) =
( L1 ) S
I
= 2
V
S + S ( RL ) +
1
LC
=
( L1 ) S
S 2 + S ( wQR ) + w R
2
EJEMPLO NUMÉRICO:
1°. Para un circuito RLC en serie que tiene las características siguientes: V = 10 ∠0° v ;
R = 3 Ω ; L = 100 mh , determine: a)el valor de C que colocará al circuito en
resonancia para wR = 1 800 rad. / seg. ; b) el factor de calidad del circuito ; c) las
frecuencias de banda ; d) el ancho de banda.
Desarrollo:
a) Capacitancia Para la Resonancia:
1
1
C=
= 3.086419 x 10- 6 F = 3.09 uF
=
2
2
-3
(1
800)
100
x
10
wR L
b) Factor de Calidad:
w R L 1 800 100x10 - 3
Q =
=
= 60
R
3
27/06/2011
Página 24 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
c) Las frecuencias de banda:
wb = 1 800 [ − 2 160 + ( 2 160 ) 2 + 1 ] = 1 785 rad/seg = 284 hz
wa = 1 800 [ 2 160 + ( 2 160 ) 2 + 1 ] = 1 815 rad/seg = 288.8 hz
d) Ancho de Banda:
Bw = 1 815 - 1 785 = 30 rad/seg = 4.8 hz
5.12.7 LA SELECTIVIDAD EN FUNCIÓN DEL FACTOR DE CALIDAD
wR
, podremos determinar que, para una
Q
frecuencia de resonancia determinada, el ancho de banda aumenta con la disminución del factor de calidad
Q, o que, el ancho de banda disminuye con el aumento del factor de calidad Q ; en la medida en que el
factor de calidad aumenta el circuito se hace mas selectivo, o sea, es menor el rango de frecuencias que
deja pasar o que no atenúa o que amplifica.
Con base en la fórmula desarrollada anteriormente, Bw =
Si pasamos una señal con amplia escala de frecuencias a través de un circuito con Q alta, solamente las
componentes de la frecuencia dentro del ancho de banda, pequeño, de la red no estarán atenuadas; o sea
que la red actúa como un filtro pasabanda.
Y
Q1
Q2
Q3
Bw1
Bw2
Bw3
Q1 > Q2 > Q3
Bw1 < Bw2 < Bw3
w
5.12.8 CIRCUITO RLC EN PARALELO
Cuando una inductancia se conecta en paralelo, es necesario considerarla como un elemento real, o sea,
como una bobina, que tenga inductancia y resistencia interna en serie y cuyo factor de calidad es:
QL =
XL
RL
5.12.8.1 EQUIVALENTE DEL CIRCUITO RL EN SERIE
La impedancia equivalente del circuito siguiente viene dada por:
ZRL = RL + j XL y su respectiva
1
XL
admitancia por : YRL =
, la cual
RL
R L + j XL
RL
X
1
1
se puede simplificar a :
-j 2 L 2 =
2
2
2
2
2
2
R L + XL
R L + XL
R L + XL
R L + XL
[
] j[
]
RL
XL
27/06/2011
Página 25 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
R L + XL
R L + XL
; XLP =
, la admitancia quedará indicada por la expresión
RL
XL
1
1
+
, la cual corresponde a la admitancia de un circuito en paralelo,
siguiente: YRL =
R p j X LP
conformado por una resistencia RP y una inductancia XLP.
Lo anterior significa que los siguientes circuitos son equivalentes, sí se cumple que:
2
2
2
2
Sí hacemos : Rp =
R L + XL
Rp =
RL
2
2
R L + XL
y XLp =
,
XL
2
2
XL
RL
XLp
RP
A continuación se dibuja el esquema eléctrico del circuito RLC en paralelo excitado con una fuente real
independiente de corriente alterna y su respectivo equivalente al lado derecho.
RL
I
Rs
C
I
Rs
Rp
XLp
C
XL
CIRCUITO ORIGINAL
CIRCUITO EQUIVALENTE
Como las resistencias Rs y Rp están en paralelo el circuito
se puede reducir a un equivalente, reemplazando las resistencias por:
R=
Rs *Rp
Rs + Rp
Luego el circuito equivalente, el cual se puede tomar como el formato básico del circuito resonante,
quedará representado por:
Para el circuito presentado, las admitancias individuales
de cada elemento viene dada por:
1 1
= ;
Y1 =
I
C
R
XLp
Z1 R
1
1
1
=-j
Y2 =
=
Z 2 j X Lp
X Lp
1
1
1
=
= j
CIRCUITO RLC EN PARALELO
Y3 =
Z2 - j XC
XC
La admitancia total del circuito quedará expresada por: YT = Y1 + Y2 + Y3 , la cual, reemplazando las
1
1
1
admitancias individuales resultará YT =
) + j
+ (- j
, y simplificando, obtendremos la
R
X Lp
XC
siguiente expresión :
1
1
1
YT =
]
+j[
R
X C X Lp
27/06/2011
Página 26 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
5.12.8.2 RESONANCIA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO
El circuito entra en resonancia cuando el factor de potencia del circuito es la unidad, o cuando la parte
imaginaria de la admitancia total del circuito es cero, o la admitancia total del circuito está compuesta de
1
1
pura conductancia, luego en resonancia
= 0 ; o sea que, XLp = XC, indicando con esto que para
X C X Lp
resonancia la reactancia inductiva es igual a la capacitiva.
FRECUENCIA DE RESONANCIA
A partir de la condición de resonancia, podremos obtener el valor de la frecuencia que cumple con la
condición en el circuito RLC en paralelo.
Reemplazando los respectivos valores para XLp y XC, la expresión quedará:
2
R L + (w L) 2
1
L
=
, que se puede simplificar a : (w L)2 = - RL2
wL
wC
C
1 L
2
- R L , la cual se puede simplificar,
Despejando la variable de frecuencia w quedará : wp =
L C
L
2
multiplicando y dividiendo por
dentro de la raíz, o sea que,
en radianes.
R C
1
C
1- L
wp =
L
LC
1
= w s , o,
1
= f s es el valor de la frecuencia de resonancia de los elementos conectados
LC
2π LC
en serie.La frecuencia de resonancia en paralelo y en radianes quedará definida por:
Como
2
wp = w s 1 -
RL C
L
La frecuencia de resonancia en paralelo y en hertz quedará definida por:
fp =
1
2π LC
2
1-
2
RL C
R C
, o, fp = f s 1 - L
L
L
5.12.8.3 IMPEDANCIA MÁXIMA - ADMITANCIA MÍNIMA
Cuando el circuito está en resonancia se presenta la máxima inpedancia o la mínima admitancia, sin
embargo, al determinar analíticamente la frecuencia de resonancia con base en esta condición,
encontraremos que el valor de resonancia es ligeramente diferente al obtenido en el paso inmediatamente
anterior, para ciertos valores del factor de calidad de la bobina.
A partir de la ecuación de la impedancia para el circuito RLC en paralelo, derivamos la expresión con
respecto a la frecuencia e igualando a cero, determinaremos el valor dela frecuencia para la cual se
presenta la impedancia máxima, resultando:
2
wm = w s 1 - 14
2
RL C
R C
, en radianes, o , fm = f s 1 - 14 L
,en hertz
L
L
De acuerdo con los valores obtenidos anteriormente, tendremos tres valores de frecuencia que se pueden
presentar en el circuito RLC en paralelo, la diferencia entre estos valores depende de la magnitud de lo
que está dentro del radical, esto es, como se puede establecer que:
27/06/2011
Página 27 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
2
1.0
>
RL C
1L
1
4
en donde ,
1
fs =
;
2π LC
2
>
R C
1- L
, entonces, fs > fm > fp
L
frecuencia de resonancia como si los tres elementos estuvieran conectados en serie.
2
fp = f s
R C
; frecuencia de resonancia cuando los tres elementos están conectados
1- L
L
en paralelo.
2
RL C
;frecuencia de máxima impedancia cuando los tres elementos están conectados en
L
paralelo.
Mas adelante se determinará que estos valores de frecuencia son iguales, si el factor de calidad de la
bobina es mayor o igual a 10, o sea, QL ≥ 10
fm = f s 1 - 14
5.12.8.4 SELECTIVIDAD PARA LOS CIRCUITOS EN PARALELO
Para el circuito RLC en paralelo, podremos establecer que los voltajes de cada elemento son iguales, esto
es, VC = VXLp = VR = Vp = I * ZT
V2p
X Lp
Pot. Re activa
R
El factor de calidad del circuito estará definido por: Qp =
=
=
2
Pot. Real
X Lp
V p
R
Luego, Qp = R
X Lp
es el factor de calidad del circuito RLC en paralelo,
y en resonancia,
Qp =
R
XC
Cuando la fuente de corriente, con la cual se excita el circuito, es ideal, o sea, Rs es muy grande, o, Rs ≅
Rp
∞, la resistencia R ≅ Rp , por tanto, Qp =
.
X Lp
R L + XL
RL
2
Reemplazando los valores ; Rp =
El factor de calidad del circuito quedará:
2
R L + XL
XL
2
y XLp =
Qp =
Rp
X Lp
=
2
X
R
= L = QL
RL
XC
lo que indica , que el factor de calidad del circuito es igual al factor de calidad de la bobina, cuando la
resistencia de la fuente de excitación es muy grande.
En general, el ancho de banda todavía se relaciona con la frecuencia resonante y el factor de calidad
mediante la fórmula:
f
Bw = f2 – f1 = P
QP
27/06/2011
Página 28 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
5.12.8.5 DETERMINACIÓN DE LAS FRECUENCIAS DE CORTE
Cuando la función de transferencia que se presenta en el circuito RLC en paralelo es una transimpedancia,
el circuito se comporta como un pasa banda, en donde la impedancia es máxima en resonancia ( R ) y para
R
las frecuencias medias o de corte esta impedancia se reduce a 0.707 R , o,
.
2
A partir de esta afirmación podremos encontrar los valores de las frecuencias de corte o frecuencias
medias.
1
La impedancia total del circuito está expresada por: ZT =
1
1
1
+ j(
)
R
X C X Lp
Por tanto, como se procedió en el circuito RLC en serie, las frecuencias de corte se obtienen cuando la
R
impedancia total se reduce a 0.707 R , o,
.
2
Luego, las frecuencias de corte w1 y w2 , se determinarán a partir de la ecuación siguiente
1
R
=
1
1
1
2
+ j(
)
R
X C X Lp
1
en el denominador y rescribiendo
R
R
R
nuevamente este término, la expresión quedará:
=
1
1
2
1+ j R (
)
X C X Lp
Simplificando el termino de la derecha, al sacar factor común de
Consideremos primero el caso en donde XLp > XC, entonces,
1
1
<
, lo cual se relaciona con f2 o
X Lp X C
frecuencia de corte alta falta
Dividiendo por R ambos términos de la igualdad y reemplazando los valores delas reactancias, la
1
1
expresión quedará:
=
1
2
1 + j R (w 2 C )
w2 L
Para que estas expresiones sean iguales se requiere que los denominadores sean iguales, esto es:
1
1
1 + j R (w 2 C ) = 2 = 1 + j 1, por tanto, R (w 2 C )= 1
w2 L
w2 L
Simplificando la expresión, encontramos un polinomio cuadrático en términos de la variable frecuencia w2
1
1
, w2 2 – w2
= 0, desarrollando esta ecuación encontraremos los valores de la frecuencia de
CR
LC
1
1 2
4
m (
], en donde, se ignora el signo menos del radical debido a que este
corte, w2 = 12 [
) +
CR
CR
LC
1
término es mayor que el primer término, finalmente, extractando el factor común
del paréntesis y
C
expresando el valor de la frecuencia en hertz, la frecuencia de corte alta estará dada por:
27/06/2011
Página 29 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
f2 = falta =
1 ⎡1
1
4C ⎤
+
⎢ +
⎥
2
4πC ⎣ R
L ⎦
R
FRECUENCIA DE CORTE ALTA
Consideremos ahora el caso en donde XLp < XC, entonces,
frecuencia de corte baja fbaja , la relación quedará :
R
2
=
1
1
, lo cual se relaciona con f1 o
>
X Lp X C
R
1
1
1+ j R (
)
X Lp X C
Dividiendo por R ambos términos de la igualdad y reemplazando los valores delas reactancias, la
1
1
expresión quedará:
=
1
2
1+ j R (
- w1 C )
w1 L
Para que estas expresiones sean iguales se requiere que los denominadores sean iguales, esto es:
1
1
- w 1 C ) = 2 = 1 + j 1, por tanto, R (
- w1 C ) = 1
1+ j R (
w1 L
w1 L
Simplificando la expresión, encontramos un polinomio cuadrático en términos de la variable frecuencia w1
1
1
= 0, desarrollando esta ecuación encontraremos los valores de la frecuencia de
, w1 2 + w1
CR
LC
1
1 2
4
m (
], en donde, se ignora el signo menos del radical debido a que la
corte, w1 = 12 [ ) +
CR
CR
LC
1
del paréntesis y expresando el
frecuencia resultaría negativa, finalmente, extractando el factor común
C
valor de la frecuencia en hertz, la frecuencia de corte baja estará dada por:
f1 = fbaja =
4C ⎤
1
1 ⎡ 1
+
+
⎢⎥
L ⎦
4πC ⎣ R
R2
FRECUENCIA DE CORTE BAJA
fP
1
=
, y la forma de la curva del filtro pasabanda dependen
QP
2πRC
de la relación entre RL , L y C, tal como aparece en la figura siguiente.
El ancho de banda , Bw = f2 – f1 =
L
RL , fija
, fijas
C
ZP
RL1 < RL2 < RL3
0
27/06/2011
fR
f
L3
ZP
C3
0
fR
>
L2
C2
>
L1
C1
f
Página 30 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
5.12.8. 6 FÓRMULAS PARA QL ≥ 10
Para un factor de calidad de la bobina, QL ≥ 10, las expresiones anteriores pueden ser simplificadas.
LA REACTANCIA INDUCTIVA XLp
2
2
2
R + XL
X
R *X
= L 2 L + X L = L + XL , luego, para QL ≥ 10, entonces:
XLp = L
XL
QL
XL
y en resonancia
X ≅X
X ≅ X
Lp
L
L
C
LA FRECUENCIA RESONANTE fP
2
2
R C
R C
fp = f s 1 - L
y fm = f s 1 - 14 L
L
L
2
R C
1
1
1
Por otro lado, L
=
=
=
, como en resonancia XL ≅ XC , entonces:
L
wL
XL XC
L
2
2
2
RL C
RL w C
RL
2
RL C
1
=
2
L
QL
Por tanto, fp = f s 1 -
1
1
y fm = f s 1 - 14
, y para QL ≥ 10,
2
2
QL
QL
fs = fP = fm
Luego para QL ≥ 10, la frecuencia de resonancia en paralelo fp es igual a la frecuencia de resonancia en
serie fs y a la frecuencia a la cual adquiere su impedancia máxima fm
LA RESISTENCIA EQUIVALENTE Rp
R L + XL
Rp =
RL
2
2
= RL + QL2 RL = RL ( 1+ QL2 ) , como para QL ≥ 10, ( 1+ QL2 ) ≅ QL2 , entonces:
Rp = RL QL2 =
L
RL C
Las aplicaciones así obtenidas producirá un equivalente mucho mas limpio para QL ≥ 10
Donde:
I
Rs
Rp=
QL2
RL
XLp ≅XL
C
Rp = RL QL2 =
L
RL C
y XLp ≅ XL
27/06/2011
Página 31 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS
EL ANCHO DE BANDA Bw
1
Bw = f2 – f1 =
Bw =
2
1-
fP
2π LC
, como para Rs ≅ ∞ , Qp = QL, entonces, Bw =
QP
QL
RL C
L
RL
1
1
1
1
1=
, que para QL ≥ 10, Bw =
2
QL
2π LC Q L
2π LC Q L 2 π L
1
Finalmente,
Bw =
Por otro lado, Bw =
Bw =
RL
2πL
Bw =
1
2πRC
1
1
1
]
=
[
Rs Rp
2πR C 2π
C
Rs + Rp
1
1 RL
1
1
1
[
] =
[
]
+
+
2 π Rp C Rs C
2π L
Rs C
LAS CORRIENTES IC e IL
Para QL ≥ 10, en resonancia, ZTp = Rp = RL QL2, con Rs ≅ ∞ y XL ≅ XC, entonces;
El voltaje en paralelo a través de la red es : VC = VL = VR = I ZTp = I RL QL2
Y las corrientes quedarán:
IC ≅ Q L I
IL ≅ Q L I
27/06/2011
Página 32 de 32 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS