Guía de Matemática N°1

2014
GUIA N° 1
Matemática – 5° Año
A) Repaso.
1) Realizar las siguientes operaciones:
a) [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =


b) 6   1  12 : 2   1   1  2 2 
2
c) 18   1 



2
43
64  36    1 

0
d)
 
3 
 1
1    0,3   1,3   
10 
 4

1
 3
2
 1 1
 2 
 2 5
e) 5     0,2 1  
2) Traducir a lenguaje simbólico los siguientes enunciados y obtener el valor de x:
a) Si a un número le sumamos su siguiente, da por resultado su anterior.
b) El doble de un número más el triple de su siguiente es igual -12.
c) ¿Cuál es el número que al sumarle el doble de su anterior da por resultado (-8)?
d) El doble del siguiente de un número es igual triple del anterior de ese número disminuido en
cuatro unidades, ¿cuál es el número?
3) Dados los siguientes números complejos:
z 1  3  2i
z 2   4 ;4 
z 3  590º
a) Escribirlos en forma binómica.
b) Resolver las siguientes operaciones.
a )z 1
b) z 1  z 3  z 2 
d ) z1  z 2  z 3 
)c
z
2
 z1  z 3 
e) :z 3 z 2 
4) Dada la siguiente función de R  R:
si  4  x  1
 2
 2
f  x    x  1 si  1  x  3
 x 8
si x  3

1
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a) Graficar f(x)
b) Establecer el Dominio e Imagen, con notación de intervalos, de f(x)
c) Calcular:
i) f ( – 3)
ii) f ( 3)
iii) f ( 2)
iv) sí f(x) = 2 ¿cuánto vale x?
v) sí f(x) = 14 ¿cuánto vale x?
5) Hallar el valor de x
4
8
4
1
3
3x  1
7
a)2 x   
b) x  5   x 
c)

5
9
3
9
7
4
3
1
32
1
 2
d ) x  3   x  1  x 
2
15
5
 3
e)
5x  2
1
x 0
4
8
6) Combinatoria:
a) Hallar el factorial de 11 y 8 (mostrar el desarrollo)
b) Calcula:
12   7  18 
 2    3   4  
     
c) ¿Cuántos números de 4 cifras no repetidas se pueden formar con 3,4,5 y 6?
d) ¿Cuántas parejas distintas de tenistas se pueden elegir para disputar un torneo donde
hay 9 inscriptos?
e) Un club tiene 20 miembros. ¿De cuantas formas se puede elegir una comisión
directiva de tres miembros?
f) Calcular el valor de m para que Vm,3 = 2 Vm,2
g) Resolver la ecuación 3 Cx,4 = 5 Cx,2
7) Desarrolle las siguientes potencias, aplicando Binomio de Newton
a)3a  2 
b)x  4 y  
5
6
8) Resolver los siguientes triángulos.
A
I
2
B
20 cm
C
16 cm
II
10.5 cm
12cm
III
6 cm
8 cm
IV
12 cm
V
15 cm
α
γ
90º
53º
90º
100º
9 cm
β
72º
10 cm
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B) Lógica Proposicional:
1) Escriba las afirmaciones siguientes en forma simbólica:
a) El coche que escapo era rojo o marrón.
b) Hay un error en el programa o la entrada es errónea.
c) Él es alto y elegante.
d) Si el sol brilla iré a la playa.
e) Si un producto es importado, entonces es caro.
f) No se trabaja, no hay paga.
g) María es alta, pero Jaime es pequeño y ágil.
h) Dos niños tienen los mismos tíos si y solo si tienen la misma madre y el mismo padre.
i) Si la liebre esta alerta y es rápida, ni el zorro ni el lince podrán atraparla.
2) Sean las proposiciones:
p: Hoy es lunes.
q: Está lloviendo.
r: Hace calor.
Escriba las siguientes proposiciones en lenguaje corriente:
a) p ᴠ q
d) ( p ᴧ q ) ᴧ - ( r ᴠ p )
g) -q ⇒ ( r ᴧ p )
b) –p ᴧ ( q ᴠ r )
e) [ p ᴧ ( q ᴠ r ) ] ᴧ [ r ᴠ ( q ᴠ p ) ]
h) -p ⇒ ( q ᴠ r )
c) – ( p ᴠ q ) ᴧ r
f) p ⇒ q
i) - ( p ᴠ q ) ⇔ r
3) Construya las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones e indique
proposiciones equivalentes, si existen, además, señalen cuales son tautologías,
contradicciones y contingencias:
d) ( p ᴠ q ) ᴠ -p
e) – ( p ᴧ -q )
i) - ( p ᴧ q ) ᴠ - (q ⇔ p )
a) ( p ᴧ q ) ᴧ -p
f) – ( -p ᴠ -q )
j) - ( p ᴠ q ) ⇔ ( -p ᴧ -q )
b) p ⇒ q
g) ( -p ᴧ -q ) ᴧ p
k) [(p ⇒ q) ᴧ (q ⇒ r )] ⇒ (p ⇒ r)
c) ( p ᴧ q ) ⇒ ( p ᴠ q )
h) p ᴧ ( q ᴧ p )
l) - [p ᴠ (q ᴧ r)] ⇔ [(p ᴠ q) ᴧ (p ᴠ r)]
4) Suponiendo que p y r son falsas y que q y s son verdaderas, determine los valores de verdad
de cada proposición:
a) p ⇒ q
e) (p ⇒ q) ⇒ r
b) -p ⇒ -q
f) p ⇒ (q ⇒ r )
c) –(p ⇒ q)
g) [s ⇒ (p ᴧ -r)] ᴧ {[p ⇒(r ᴠ q)] ᴧ s}
d) (p ⇒ q) ᴧ (q ⇒ r )
h) [(p ᴧ -q) ⇒ (q ᴧ r)] ⇒ (s ᴠ -q)
5) Determine, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de
verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
a) (p ⇒ q) ⇒ r
r es V
b) ( p ᴠ q ) ⇔ ( -p ᴧ -q )
q es V
c) p ᴠ (q ᴧ r)
p es V, q es V, r es F
d) (p ⇔ r) ᴧ (-q ⇒ s )
q es V, s es F
6) Formule los argumentos en forma simbolica y determine si cada uno es valido. Sean:
p: Estudio mucho.
q: Obtengo un 10.
r: Me vuelvo rico.
a) Si estudio mucho, entonces obtengo un 10.
Estudio mucho.
Obtengo un 10.
b) Si estudio mucho, entonces obtengo un 10.
Si no me vuelvo rico, entonces no obtengo un 10.
Me vuelvo rico.
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c) Si estudio mucho o me vuelvo rico, entonces obtengo un 10.
Obtengo un 10.
Si no estudio rico, entonces me vuelvo rico.
7) Analice la validez de los siguientes razonamientos:
a) p ⇒ q
b) p ᴠ - q
c) p ⇒(q ᴠ r)
-p
-q⇔r
p ᴠ-q
q
p ᴠ-r
rᴠq
p
q
8) Escriba simbólicamente usando cuantificadores:
a) Todo número entero es par o impar.
b) Existen números enteros que son pares.
c) Todo numero entero elevado al cuadrado da siempre un resultado no negativo.
d) Existen abogados que son honestos.
e) Algunos números primos son pares.
9) Niegue las siguientes proposiciones y escriba simbólicamente la proposición equivalente.
Analice, además, el valor de verdad de las mismas.
a) ∀ x ∈ R : ⎸x ⎸= x
b) ∃ x ∈ R / x² = x
c) ∀ x ∈ R : x + 1 ˃ x
d) ∃ x ∈ R / x + 2 = x
e) ∃ x ∈ R / ∀ y ∈ R : x² ˂ y + 1
f) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R / x² + y² ˂ 12
10) Indique las condiciones necesarias y suficientes entre p y q en las siguientes situaciones:
a) p: el triángulo abc es rectángulo.
q: el triángulo abc tiene un lado cuyo cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos.
b) p: un rombo es un cuadrado.
q: un rombo es un rectángulo.
c) p: dos ángulos son suplementarios.
q: dos ángulos son adyacentes.
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