polinomios y ecuac. polinomicas

POLINOMIOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS
INTRODUCCIÓN
Polinomios en una indeterminada.
Definiciones.
Una expresión de la forma:
, siendo n un entero no negativo
;
son números reales o complejos se llama : Polinomio de coeficientes en  ( o
en C ) y con indeterminada x.
A los polinomios suele denotárseles por: p(x) , q(x) , r(x), etc. Así ,se hablará del polinomio:
.
: se llama término independiente del polinomio p(x).
: es el coeficiente principal. En particular, cuando
Si
 0 , se dice que p(x) es un polinomio de grado n.
Al polinomio :
Si
= 1 , el polinomio se llama mónico.
se le llama polinomio nulo
 0 , al polinomio
se le llama polinomio constante.
A un polinomio, cuyo grado es un entero positivo, se le llama polinomio no constante.
Observaciones.
i) Al polinomio nulo O(x) = 0 no se le asigna grado. Algunos autores, sin embargo,le asignan
grado -1. En otros casos ,se le asigna grado infinito.
ii) Al polinomio constante p(x) =
, se le asigna grado cero
iii) Un polinomio con a lo sumo un término no nulo, se denomina: monomio.
Así, por ejemplo, las expresiones:
y
son polinomios con
coeficientes reales, el primero de grado 3 y el segundo de grado 2; mientras que
,y,
no son polinomios.
Se denotará por K[x] al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x y cuyos
coeficientes pertenecen al campo K.
En lo sucesivo, a menos que se especifique lo contrario, el término polinomio se usará para
hacer referencia a los polinomios con coeficientes reales o complejos.
3.1.1 Igualdad de polinomios.
Definición.
Sean
entonces :
p(x) = q(x) 
y
dos polinomios,
para cada i = 0,1,2,3,….,n.
Note que de acuerdo con la definición , los polinomios
y
son iguales.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Sean
y
polinomios, entonces, se definen las siguientes operaciones :
dos
i) SUMA :
,donde r=
máx(m,n)
ii) DIFERENCIA :
,donde r=
máx(m,n)
iii) PRODUCTO :
Si p(x)
0(x) y q(x)
,
Donde
0(x) , entonces
.
para j = 0,1,2,…,m + n.
Si p(x) = 0(x) ó q(x) = 0(x) , entonces, p(x).p(x) = 0(x).
Observaciones
i) Si p(x) + q(x)
1.d).
0(x), entonces : grado(p(x) + q(x))
ii) Si p(x) × q(x)
0(x) , entonces : grado(p(x) × q(x))
máx(m,n). (Ejercicio
grado(p(x)) +
grado(q(x)).
Algoritmo de la división.
El siguiente teorema, conocido como el algoritmo de la división, y que se
enuncia sin demostración, es de gran importancia en el álgebra, puesto que
permite, por ejemplo, calcular el M.C.D. de dos polinomios por el método de
divisiones sucesivas.
Teorema.
Sean p(x), q(x) dos polinomios con q(x)
únicos: c(x) y r(x) tales que :
0(x); entonces, existen polinomios
p(x) = c(x) . q(x) + r(x),
donde r(x) es el polinomio nulo o grado (r(x)) < grado (q(x)).
El teorema anterior justifica el algoritmo comúnmente empleado para dividir dos
polinomios. A los polinomios c(x) y r(x), se les llama respectivamente cociente y
residuo de dividir p(x) (dividendo) entre q(x) (divisor).
Así, por ejemplo, para obtener el cociente c(x) y el residuo r(x) de dividir el
polinomio
desarrollar la siguiente
forma práctica:
Como grado[
entre
] = 1 < grado(
,se puede
) = 2 , entonces, la división
culmina en ese punto y ,por tanto, el cociente de la división es : c(x) =
y el residuo es : r(x) =
.
Caso particular: Si el dividendo p(x) es de grado n y el divisor q(x) es de
grado 1, es decir,
, entonces, de acuerdo con el algoritmo de la
división, el cociente c(x) es de grado (n-1) y el residuo r(x) es el polinomio
nulo ó bien es de grado cero; es decir, r(x) puede identificarse como una
constante r, y, así, se tiene:
p(x) = c(x)(
)+r.
Cuando
, es posible obtener el cociente c(x) y el residuo r(x)
mediante el procedimiento conocido como división sintética ó regla de
Ruffini, el cual se explica a continuación:
Si
,y
, siendo
a=, entonces, los coeficientes
del cociente c(x) y r
de residuo, que se obtienen utilizando el procedimiento del ejemplo anterior,
son:


::
::
Estos resultados pueden obtenerse con la siguiente disposición práctica:
1
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
En la sección 3.2, se consideró la siguiente situación: dados dos
polinomios p(x) y q(x), su producto h (x) = p (x) . q(x) es
nuevamente un polinomio. Ahora, se considerará la situación
inversa: dado el polinomio h(x), se desea determinar si existen
los factores p(x) y q(x) que lo componen. Este proceso conocido
como la factorización de polinomios no se presentará en detalle,
solo superficialmente para el estudio de la ecuación polinómica.
Antes de considerar e ilustrar algunos casos de factorización de
polinomios, se darán algunas definiciones preliminares.
Definiciones.
i) Sean f(x) y g(x) dos polinomios con g(x) ¹ 0(x) . Si existe un
polinomio h(x) tal que f(x) = g(x) . h(x) , se dice que g(x) es
un divisor o un factor de f(x) ó que f(x) es un múltiplo de
g(x).
ii) Un polinomio f(x) se llama reducible , factorizable o
compuesto si existen polinomios no constantes y no nulos g(x) y
.
h(x) tales que f(x) = g(x) h(x).
iii) Un polinomio f(x) es irreducible o primo si f(x) es de grado
positivo y no reducible.
iv)Dos polinomios no nulos son relativamente primos si los únicos
divisores comunes, que ellos poseen, son constantes.
Observaciones.
i) Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles, pues ningún
polinomio de la forma :
, con
, puede
descomponerse en el producto de dos polinomios de grado mayor
que cero.
ii) La irreducibilidad de un polinomio depende del conjunto al cual
pertenecen sus coeficientes. Así ,por ejemplo,
es
irreducible en Q[x], mientras que en  [x] puede factorizarse
así:
.
iii) La factorización de un polinomio significa que deben
determinarse los factores relativamente primos que lo componen.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, y conocido
como el teorema fundamental de la descomposición factorial o
teorema de la factorización única; establece que todo polinomio no
constante puede factorizarse.
Teorema (factorización única).
Sea p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 2; entonces,
xisten polinomios únicos irreducibles:
tales
que:
Es decir, la factorización de un
polinomio no constante,como un producto de polinomios irreducible,
es única, excepto por el orden de los factores.
De acuerdo con el algoritmo de la división, si el
polinomio f(x) es el dividendo y (x-a) es el divisor,
entonces, existen polinomios c(x) y r(x) tales que:
f(x)=(x-a).c(x)+r(x),donde, r(x)=0(x) (polinomio nulo) ó grado
r(x)< grado (x-a) = 1.
De esta forma, si r(x)
0(x), se sigue, entonces, que grado de r(x)
= 0, en cuyo caso, r(x) es un polinomio constante, es decir, r(x) =
k, con k ÎÂ ; en consecuencia,
(1)
Del análisis hechop anteriormente, es inmediato el siguiente
resultado, que permite, juntamente con su corolario, determinar con
facilidad los factores lineales de un polinomio f(x).
Teorema (del factor).
Sea f(x) un polinomio y a un número real o complejo. Si f(x) se
hace cero, cuando se sustituye x por a en el polinomio, entonces, (x
-a) es un factor de f(x).
Demostración.
Sustituyendo x por a ,en ambos miembros de (1), se tiene :
(2) y como por hipótesis , f(a) =
0 (3) ,
se concluye, entonces, de (2) y (3) que k = 0 y de esta forma
, lo cual indica que (x-a) es un factor de f(x).
Corolario (teorema del residuo).
Sea f(x) un polinomio; entonces, el residuo de dividir f(x) entre (xa) es f(a).
Así, por ejemplo ,(x+2) es un factor de
.
En efecto,
.
Como
, entonces, de acuerdo al teorema del factor , x-(-
2) = x + 2 es factor de.
.
Para determinar una primera descomposión en factores de f(x) se
usa la división sintética, así :
1
0
-6
0
0
-16 | -2
-2
+4
+4
-8
+ 16
____________________________________
1
-2
-2
4
-8
0
De esta forma,
r(x) = 0.
En
consecuencia,
.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
Introducción histórica
Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven
problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de
los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales
problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las
antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y
geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la
geometría.Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la
solución de la ecuación: x2-x = 870
"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y
cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, para obtener
3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4 para
obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que
es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una
solución de la ecuación".
Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los
siguientes pasos:
Del ejemplo mencionado anteriormente, se deduce que el
método empleado para la solución era el de
completación de cuadrados, el cual se sigue
empleando y enseñando actualmente en la escuela
secundaria.
A continuación, se describen los resultados teóricos más
importantes relacionados con las ecuaciones de segundo
grado.
Definiciones.
i) La ecuación:
, donde a, b y c son
números reales y a
¹ 0, se llama ecuación cuadrática o
ecuación de segundo grado en la variable x .
ii) Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama
completa o afectada; incompleta, en caso contrario.
Así, las ecuaciones:
y
son
cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones:
y
son cuadráticas incompletas.
iii) En la ecuación cuadrática:
, la
cantidad:
es llamada discriminante de la ecuación
y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo
afirma el siguiente teorema.
Teorema.
Considere la ecuación cuadrática:
;a
0.
Si
, entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si
, entonces, las raíces son reales e iguales.
Si
conjugadas.
, entonces, las raíces son complejas
3.4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática,
usarse cualquiera de los siguientes métodos:
puede
Método 1. Solución por factorización .
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una
ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de
segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el
polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede
así:
Si ,
, entonces, la
ecuación
es equivalente a:
(1).
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del
sistema de los números reales:
.
Método 2. Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las
soluciones de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación:
equivalente a la ecuación cuadrática:
,con a
0 ,es
(1).
Sumando
obtiene:
en ambos miembros de la ecuación (1), se
ó
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última
igualdad (lo cual tiene sentido solo si
obtiene:
), se
,de donde
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada
signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la
ecuación :
.
Metodo 3 solucion por la formula general
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre
que la solución de la ecuación cuadrática :
con a
,
0 viene dada por :
(1).
Solución :
La ecuación:
ecuación :
Sumando
se obtiene:
, con a
0 ,es equivalente a la
,en ambos miembros de la igualdad anterior,
O equivalentemente,
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última
igualdad(si b2-4ac >= 0), se obtiene:
De donde :
(2)
La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver
la ecuación cuadrática :
; con a
0.
3.5 FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE
CUBOS
Use el teorema del factor para demostrar que:
a) Si n N ,entonces, (x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces, (x + y ) es factor
de
.
c) Si n es natural impar, entonces, (x + y ) es factor
de
Solución:
Considere el polinomio
a) Como
teorema del factor que
.
, se sigue, entonces, por el
(x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces,
Así que
con k N .
Como
se sigue, entonces, por el teorema del factor que
(x -(- y) ) = (x + y ) es factor de
c) Considere el polinomio
Entonces,
y, por lo tanto,
.
con n impar.
. Como n esimpar,
,
. En consecuencia , (x -(- y) ) = (x +
y ) es factor de
.
Del ejemplo anterior y usando la regla de Ruffini, se pueden
deducir las siguientes fórmulas que permiten factorizar la
suma y la diferencia de potencias n-simas.
si n E N,
(1)
si n natural par,
(2)
si n natural impar,
(3)
Casos Particulares: Sumas y Diferencias de Cubos
Cuando n = 2, se obtiene de la formula (2):
x2-y2=(x-y)(x+y) (4)
La Fórmula (4) se usa para factorizar cualquier diferencia de
cuadrados.
Cuando n = 3, las fórmulas (1) y (3) sea transforman,
respectivamente en:
x3-y3= (x-y)(x2+xy+y2) (5)
x3 + y3= (x+y)(x2-xy+y2) (6)
Las fórmulas (5) y (6) se usan respectivamente para
factorizar, una diferencia o una suma de cubos