File

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ELECTROSTATICA •
LEY DE COULOMB
.c
om
CARGA ELECTRICA la o q)
og
sp
ot
• Propiedad física Inherente de un cuerpo. así como lo es su masa en reposo.
• Puede ser posluva (denclencia de electrones) y negativa (exceso de electrones).
01
3.
bl
• La carga está cuantizada en múltiplos de la carga fundamental del electrón.
nE Z
ic
a2
q = ne
.f
is
• La mate ria ordinaria es eléctricamente neutra {Igual número de rargas positivas y
w
w
w
negativas).
• La carga eléctrica total e n toda Inte racción o reacción siempre se conserva, es deci r,
no se c rea ni se destruye.
• Los clentincos tratan de encontrar particulas con carga fraccio naria, llamadas
gUARKS, aunque no hay ninguna evidencia experimental.
LEY DE COULO MB
El enunciado siguiente de la ley de Cou lomb se aplica rigurosame nte sólo a cargas
punUformes: ·'LafuerL.u entre dos cargas puntuales es directamenle proporcional a la
magnitud de cada carga, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia enl re
ellas".
En forma vectorial se tiene
F
=
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[CAP 15
FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR
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• E n el siste ma SI. la unidad de carga eléc tr ica es el Coulomb. que s e defin e como la
cantidad d e carga que exp ertme n ta u n a fuen:a d e 8.98 1 x 10 9 N. cu a n d o s e coloca
a 1 m de di s ta ncia de u na carga semej a nte.
• La constan te de proporcionalidad e n el sis te ma SI cons iderad o en este capitulo es
k "", 8,987 x 10 9 N . m 2 ¡C 2
• Las fue rzas eléctricas qu e se deben a una d iversidad ele cargas pueden s u perpone r s e, s uma ndo ve clorta lmen le la s con tribucio nes
de cad a u n a de las fu e rzas sobre u na ca rga.
= F a¡+Fa2+ F Q3+'"
..
',
F_
"
+Fcm
"
co
m
'. 2
og
sp
ot
.
CONDUCTORES Y AISLANTES
is
ic
a2
01
3.
bl
• En una sustancia conductora 105 electrones pueden move rse ron libertad , mient ras
que en u n aislante se mantienen fuertemente ligados a los átomos.
w
.f
• A las sustancias aislantes se les l1ama dleleclricos. y cuando adquieren una distribución de carga, la distribución se mantiene fija y no se altera por la In fl uencia
de alguna fuerza electrlca.
w
w
• Algunos buenos aislantes son: vidrio . hule, caucho. cera y la mayoría de los mate riales plásticos, El cuarw es un aislante por excelencia.
• Un conductor no s610 puede adquirir carga eléctrica. sino que ademas los electrones
pueden moverse libremente. Por tanto. si se somete a los electrones del interior de
un conductor a fuerzas electrostaticas externas causadas por cargas eléct ricas.
pueden fluir y en poco tiempo llegar a una condición de equilibrio. en que vale cero
la fuer/.3 resultante sobre cada electrón Interno de la sustancia.
• Las sustancias metalicas son siempre buenos conductores de la electricidad.
o.-
• Hay sustancias (graflto, silicio. german Io, etc.), que presentan un com portamiento
Intermedio entre conductores y buenos aislan tes . A este grupo de sustancias se les
denomina SEMICONDUCTORES.
,
• En los l1a mados SUPERCONDUCTORES. la carga eléctrica puede Ou lr aunq ue se
s u prima la causa de dicho fl ujo,
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CAP
15J
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3
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PREGUNTAS
1 , Indique si u n objeto puntual eli!clricamente ne utro puede experime nta r
u n a fueLLa electrlca. ¡,Sobre u n cue rpo
neutro, extenso. puede tene r efec to una
fueLLa electrica neta?
cielo nl80
+ + + +
.f
w
w
w
2, Después de frot a r un pequeno globo
contra una alfombra. puede ser adherIdo al cielo raso de una habItaCión sin
que caiga. Explique la razón. ¿Por qué
cae luego el globo?
Rp t a.: Luego que el globo es frota d o
con la alfombra queda cargado negativa·
mente.
Cuando el globo se acerca al cíelo raso
de la habitación, sucede que en la zona
de contacto se concentra carga positiva
y se establece una fueLLa de atracción;
ésto hace que el globo se quede pegado
+ + + +
bl
og
sp
ot
.
co
m
Después de r-iertn tiempo se produ r-e un
reordena miento de cargas, {los elec trones del globo pasan al cielo raso), los
cuerpos se vuelven elértrlcamente neutros y el globo cae.
is
ic
a2
01
3.
Rpt a .: En un obje to pun t ua l elec tricamente neutro no se exper imenta fuer za
eléctrica alguna , por dos razones:
1) No existe carga neta.
11) Supon iendo "separaclón de cargas"
posillva y negativa, la dtstancla entre
ellas es Insignificante, y por ello la
fueLLa de atracción y de repulsión
con cualquier otra carga son de igual
magnitud y sentido contrario; por lo
tanto estas se anulan y no existe
fuerLa neta.
En el caso de un objeto extenso. lo señalado en (ilJ no se cumple porque si se
asume "separación de cargas", la d istancía entre ellas ya no es insigni fi cante y
puede existir u na fuerza eléctrica neta.
Es importa n te seña lar que s i no existiera una ca rga ex terna. entonces en
ninguno de los dos casos habría fuerLa
eléctrica neta.
al tec ho en u n primer momento.
3. Una carga fija A ejerc-e deter minad a
fuerza coulómbica sobre la carga B.
Ind ique si se altera la fuerza qucA ejerce
sobre B al acercarse a B otras cargas.
Rpta.: Si la carga A permanece fiJa. la
fuerza que ejerce ésta sobre otra carga
B no se altera. así se acerquen a es ta última otras cargas: ésto es debido a que
la fuerza entre A y B sólo depend e de
las cargas de los dos cuerpos y de la distancia que [os separa.
4 . La carga eléctrica siempre se conserva.
Exprese si sucede igual con la masa.
Rpta.: La masa no siempre se conse rva,
puesto que como se vera en el capitulo
de la teoría de la relatividad, la masa de
un cuerpo aumenta conforme su veloci dad v se aproxime al limite de la velocidad de la luz c. o sea
m=~I_(V/C)2
•
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FUNDAMENTOS DE FISICA
SUPERIOR
¡CAP 15
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los e lectrones a la parte más baja del objeto conductor?
5. ¿Es más probable experi m en tar una
descarga e lec lrica debida a efectos
e lectros táticos cuando el aire es tá seco
que cuando es ta húmedo? Explique.
Rpta .: Esto se explica porque la ruerza
gravitaclonal es mucho menor que las
ruerzas que ac t úan sobre los electro nes.
Las rUerJ;3S que existen en la naturale 7,.3 son de cuatro tipos.
Interacción ruerte. la que es la más Intensa de todas y se da en ellnter10r de
los núcleos atómicos.
FuerJ;a electromagnética. establecidas
por interacciones electrostáticas y por
renómenos producidos por corrientes
eléctricas y campos magnéticos.
Inleracción débil entre particulas elemenlales.
Fuerza gravltaclonal. que es la más
débil de todas.
Rp t a.: La probabtlldad aumenta ("u ando
el aire está húmedo pues el agua es
"mejor conductor" que el aire seco. Como el aire humedecido tiene partlculas
de agua. es bastante probable que se expertmente una descarga electrlca de
algo.n cuerpo cargarlo electrostática mente. ya sea positiva o negativamente.
a2
01
3.
bl
og
sp
ot
.c
om
6. Los electrones de un conduclor pueden moverse libremente por acción
de cualquier fuerza que aclúe sobre
ellos, Incluyendo la de la gravedad. Entonces. ¿por que, a pesar de que cada
electr6n de un conduclor experimenta
una fuerl.a hacia abajo. no ca en tooos
w
w
.f
is
ic
PROBLEMAS
w
1. Se colocan dos cargas positivas, cada
una de magnitu d igual a 1 coulomb
Ce), en extremos opuestos de un campo de
fútbol de 90 m de longitud. Halle la fuerza
de repulsión entre ellas.
Paraq=IC
y
d = 90m
I F = 1.llx 10 6 N 1
2 . Se lanza un electron horizontalmente
SoluciÓn
Sc puede establecer el siguiente esquema
F·q
.q
,
..;,..o----<••--------------------••>----I.~
I
I
d
Las cargas ubicadas cn los cxtrem'os opuestos
del campo de fútbol experimentan una fuena
eléctrica de repulsión, la cual está dada mediante
la ley de Coulomb.
F:: k(q)(q) =
d
2
~
d
2
a una velocidad de 10 8 cm / s. Entra
luego en una región situada entre un par
de placas horizontales con carga contraria, de 5 cm de longitud, y experimenta
u na aceleración total hacia abajo de 10 16
cm-.ls'l en dicha región. (a) Calcule la fuer ·
za sobre el electrón en newtons. (h) Deter mine las componentes horizontal y
ve rtical de la velOCIdad en función del
tiempo. (e) Determine el ángulo en que ha
cambiado la veloci dad del electrón en el intervalo de tiempo durante el cual estuvo
e ntTe las placas.
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CAP.15J
ELECTROSTATICA
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DE COULOMB
- LEY
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Solución
La velocidad vertical está dada por v, =
Por condición del problema, la aceleración del
electrón es hacia abajo, lo cual indica que la fuerza tiene el mismo senlido.
Como se desconoce la separación entre placas y
la parte por donde ingresa el electrón, asumiremos una trayectoria cual{juiera (jue no choque
con la placa inferior.
J
.
O"
e)
El tiempo que tarda el electrón para salir de
las placas está dado por
Para d = 5 cm
......
¡
= dlvz
.1
= 10
8
og
sp
ot
.
co
m
"z
v. = 10 8 cm/s se tiene
= 5xlO - 8 s
cm/s
,
y v = -5x 108 cm/s
bl
El ángulo 9 está dado por
is
ic
a2
01
3.
La placa negativa ejerce sobre e - una fuerza de
repulsión hacia abajo, mientras que la placa positiva ejerce una fuerza de atracción en el mismo
sentido.
y
Utilizando los resultados de la parte (b), las
componentes de la velocidad del electrón quedan determinadas por
++++++++++++++++++
d
0 = arctan( vylvz )
Reemplazando valores se obtiene
.f
a) Como la velocidad del electrón es 300 veces
w
9 -
78,69"
w
w
menor que la velocidad de la luz, entonces se
puede aplicar sin ningún problema la teoría
de la Mecánica Clásica, específicamente la
segunda ley de Newton.
al
Reemplazando a = - I016 cm/s 2 seobtie-
¡
"...... J!I: ....
5
,
,
F = ma
Reemplazando m = 9,llxIO- 31 kg
a, = _ 10 16 cm/.r 2 = _ lO t4 m/s 2
y
3 . Obtenga la ecuación de la tr ayector ia
a lo largo de ¡a cual se mueve la partícula del problema antenor. Tome el origen
como el punto de proyección, y al eje x paralelo a la velocidad inicial.
Solución
Según el enunciado del problema
se obtiene
F, = _9,lIx]Q-tS N
b) Dado que el electrón no experimenta fuerza
horizontal alguna, la velocidad horizontal se
mantiene constante, es decir
", = 1'0 =
lO
•cm/s
".
h ..... ....
-
.....•.. .............•..
.....,
++ + + + +++ +++ + ++ +++ +
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FUNDAMENTOS DE FISICA
SUPERIOR
[CAP 15
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Las ecuaciones del movim iento en los ejes;t e y,
respectivame nte. están dadas por
;t=
vo '
e
Parecerá que la persona no tiene peso. cuando
la fuerla cJéclril:3 de repu ls ió n generada por la
carga positiva ubicada en el centro de la Tierra.
sea de igual magnitud que la de atracción gravitaciana] ejercida sobre e l mdividuo: es decir
y=~ a /2
Despejando el parámetro tiempo 1 de la pri me ra
ecuación, y recmplallindolo luego en la segunda
ecuación se obtiene
F~
= mg
Aplicando la ley de Coulomb
,'
F, =!!..!L,
R = mg
.'
q=
Sabiendo que las cargas son positiva~ y reemplazando mg
75 kgf 735,75N Y R
6,37)(
6
10 m se obtiene
=
I'
=
=
q=+1822,62C
4. Determine las car gas posi tivas ;b'1.Hl-
co
m
5 . Dos carga s puntuales experimentan
.f
is
i
ca
Solución
w
w
w
Para las condiciones propuestas
gs
po
t.
una fuerza de 0,05 N cada una cunndo están a 0,2 m de distnncia. Determine
la fuerza que experimentan cuando están:
(a) a 1 m de distancia, (h) a 0,1 m de distancia, (e) a 50 m de distancia.
lo
.b
13
20
les que deben colocarse en el cen t ro
de la Tierra y en una persona que pese
75kg{, para que ésta parezca no tener peso
en la superficie terrestre.
Solución
En este caso, como no se dice lo contrario. se
supondrá que las cargas puntuales no son de la
misma magnitud ni tienen el mismo signo.
Para una separación d cualquiera
!.q,
..•
• ............... _...._.... _
I
El DCL. de la persona es
;-q •
d----..j
La ruerza de atracción o repul sión que experimenta cada clI.rga está dada por la ley de Coulomb.
... ['"]
de donde
•
CAP.
15]
ELECTROSTATICA • LEY
DE COULOMB
7
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Reemplazando
F =: 0,05 N Y d=:O, 2 m se
tiene
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La carga eléctrica de un e lectrón es -1,602x
10 - 19 c.
La carga total será
r[-(-#-,---),-.-~-.-=--_-2-3-2-4-5,-9-2-C-'
a) Fuerza a 1 m de distancia.
Reemplazando valores en lOO] se obtiene
Se observa q ue la c arga es eJev adísima; pero
como la presilla es eléctricamente neutra, contiene una carga de p rotones igual a la anterior.
IF=2XlO - 3 N!
b) Fuerza a 0, 1 m de distancia.
Reemplazando valores en lOO] se obtiene
IF=:2XlO- 1
N)
Si estas cargas se pudieran separar una cierta distancia, la fuena de atracción entre ambas sería
e) Fuena a 50 m de distancia.
Reemplazando valo res en [oo] se obtiene
Para r = IOcm = O,lm
w
w
w
.f
og
sp
ot
.
bl
is
ic
a2
01
3.
nio tiene 0,5g de masa. Calcule e l número de electrones que contiene y la carga
total debida a éstos. También contiene un
número igual de protones, por lo que es
eléctricamente neutra. Sin embargo, si
pudieran separarse en dos grupos las cargas positivas y las negativas, determine la
fuerza de atracción que experimentarían
si las cargas positivas y las negativas estuvieran a 10 cm de distancia.
co
m
6. Una presilla de papel hecha de alumi-
Sol ución
El número de moles de átomos de aluminio está
dado por 11 = mlM, donde M representa el peso atómico de dicho elemento químico.
Para m = O,S g y M -= 26,98glmol se
tiene
11
I
F = 4.856)( 10
N
7 . Evalúe la mangitud de la fuerza de
r epulsión electrostática mfmma entre dos protones de un núcleo de carbono.
El radio del núcleo es de 3,8 x 10 13 cm.
Diga por qué los protones no salen despedidos del núcleo.
Solución
Como la fuerza electrostática varía inversamente
con el cuadrado de la distancia. la fuerza de repulsión entre dos protones de un núc!co de carbono será mínima cuando la separación entre
ellos sea la máxima.
2da. órbita
= 1.85x 10 - 2 moles
,~
"
(~ -)
I ra. órbi ta '
Se sabe que 1 mol de átomos contiene 6,023 x
10 23 átomos, y que I átomo de aluminio posee 13
electrones; entonces el número de elCl:trones que
contiene la presilla de papel es
#e- = 1,45 x 1023eleClronesl
20
(4r )
,
, , ,
"
\
\
\
\
t+
F
\
\
\
I
I
•
FUNDAMENTOS DE FISICASU
PEAIOA
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www.fisica2013.blogspot.com carga
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total que puede ser po~itiv a o negativa.
Por la ley de Coulomb
F
= k(~+)2
qt + q"2 = Q = constante
(2r)2
Por la ley de Coulo mb
P.... e+=1.602xlO- 1' C y r = 3,8xlO- ll
F=
cm =3.8xIO- IS m
1
F
= 3.99N
kq ¡ q2
d2=
1
=
En la ac tualidad se sabe que existen cuatro tipos
de interacciones de fuena. las que ordenadas de
menor a mayo r magnitud son las siguientes:
- fuen a gravi tacional
Por el CálciJlo Integral. la fuer/ll mbima se prod uce c uando se cumple
dF
- interacción débil
dq,
- fuerLft elcctromagnética
es decir
po
t.
co
m
= O
gs
de donde
.b
lo
I
13
q, =
Reemplazando qL = Q/2 en
Q12 1
1-1 se obtiene
w
w
w
.f
is
i
ca
20
- interacción fuerte
La fuena calculada antcrionnentc pertenece al
ti po de interacción débil entre partículas elementales: en cwnbio las fuenas q ue actúan dentro
del núcleo atómico son del tipo interacción fue rte. Estas útlimlU mantienen unido al núcleo porque son de atracción, y evitan que se desinte gre
violentamente debido I la fucru de repulsión
electrostática mutua entre los proto nes.
= O
8 . Dos cargas q. y q2 satisfacen la condiCIón q. +q2:: Q,en que Qesconstante_ Para que la fue rza entre ellas sea lo
más grande posible a uno separ ación fijo,
calcule Ins cargo.s q¡ y q2Sol ución
Una propiedad imporlame de la carga e1éclrica
es que se mantiene constante ames y desp ués de
toda interacción o reacción.
F
+ql
+q,
F
...........~••--------------------.. .......--<..~
l.
d
.1
La fuerza entre ellas siempre seri de repulsión,
ya que por daLO, las cargas fonnan parte de una
9. U na corriente eléctrica de 1 amper e
(A) que fluye en un alambre, implico
un flujo de carga de 1 coulomb por se gundo. En un alambre que conduce 3xl0- 3
a.mperes, ¿cuántos electrones po.son por
un punto dado en cada IKlgundo?
Soludón
Por definición
1 A = 1 Ch
Para 3 x 10 - 3 A
3xlO- 3 A = 3xlO - 3 C/s
Que circu le 3 x 10- ) A sigmfica que por un
punto dado del cond uctor pasan 3 x 10- 3 C en
•
CAP,15J
ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB
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cada segundo.
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El D. C. L. de la carga de masa m es
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9
Como la carga de un eleclron es 1,602 x 10 ~ 19 C,
entonces los 3 x 1O~ 3 C que circulan, por scgundo_ es la carga de
T
F,
# e ~ = ~_-,3,-,x~1O!;;~-.:'-"C~__
1,602x IO ~ 19 CleleClr6n
Como los ángulos 0 1 y 02 son pcqUCrlOS, la rcc·
la que une ambas cargas es aproxim,tdamcntc
horizontal.
10 . Dos bolas de corcho, una de masa m y
otra de masa 2 m, están s u spundidas
de hilos de seda de longitud 1, como se ilustra en el diagrama anexo. Cada una tiene
un cnrga q. Demuestre que su separación
respectu del equilibrio d, está dada por
d = (3 k q 2/12 mg )1 / 3, suponiendo que
lo!> nngulos 01 y 82 son pequeños.
co
m
F,
_~
F'';--;:-: = -----;-,!;m,:-'--;;--c
sen(180°
0 1)
sen(90"+O¡)
=
w
w
w
.f
is
ic
a2
01
3.
bl
og
sp
ot
.
Por equilibrio de las tres fuerzas concurrentes
De dondc
F
~
m, = tanOI
Sulución
Para las condkiones
propuc>t~~
Para 81 pequeño
F,
-mg = tanO , .. sen O,
x
... [l[
Análogamente, para la carga de masa 2 m se obtiene
, F.
d- x
= -¡-
2m,
De [1] y [2[
F~
-
mg
F~
+-- =
2mg
;t
d-x
1+ -
¡-
... [2[
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F1SlCA SUPERIOR
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Luego, la separación de las cargas respecto del
equihbrio es
La fuerza el&:uica de repulsión se calcu la med iante la ley de Coulom b.
Para ~ = 1,602x lO-I'C
10- 8 N
Finalmente
yF = 8. 1 x
r = 5.34x JO-ll m
b) Por condición
= (mvr).lu"'1~
... [11
m
(mv r )",...:!~
po
gs
lo
.b
13
ca
20
11 . Un muón es una partfcula elemental
cuya carga es igual a la del electrón,
pero cuya masa es 206 veces mayor. Si se
supone que el electrón de un átomo de hi-
t.
co
En el muón en órbila ~e equilibra la fuer7a de
atracción electrostática con ll!. fuerLa centrífuga que actua hacia afuera de la órbita, es decir
ke
-,=m",oo/l~\I!.w~
2
w
.f
is
i
dróge no se mueve e n una circunfere ncia
a lr ededor del pr otón, atrn(do por una fuerza de 8, 1 )( 10 - 8 N yque se a plica la segu nw
w
r .....6"
da ley de Newton. halle: (a ) el radio de la
órbita del electrón, (b ) el radio de la órbita
del muón que tenga la misma cantidad de
movimiento angular en un átomo consistente en un electrón que orbita alrededor
de un protón, (e) la energía cinética de cada partícula en sus órbit.e.s respectivas y
(d) la velocidad angular del electrón y la
del muón en dicha órbita.
Solución
a) La fuerza de atrlleeión entre el electrón y el
protón está dada por la ley de Coulomb.
F = kf!2/ r 2
de donde. el radio de la órbita del electrón resulta
... 121
r ,.,..¿"
En e l electrón del átomo de hidróge no también se cumple e l C(juilibrio de ambas fuerus:
entonces
de donde, la velocidad tangencial del electrón
~
v=-.JFr/m
Reemplanndo F=8,lxlO- 8 N:r=5,34x
lO - 11 m ym=9.11xl0- 31 kgscobtiene
v
= 2178984mh
De [1 ¡y [2! se deduce una expresión para el
radio de la órbita del muón, subiendo que la
masa de esta partícula es 206 veces mayor que
•
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ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB
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la del eleclrón.
ro =
Para el muón
Rccmplazando m = 9, 11 X 10 - 31 kg: Y= 2, 18
x I0 6 m/.r; r = 5,34 x l O- ll m y ~ = 1.602
19
X 10 se o btiene
e
I
r".,.,j,, = 2.59 x \O -13 m
w
I
m"
'2"07"-'-"-6mr "...6"
Calcule la ve l()cidad inicial, en dirección
de la línea que u ne a las cargas, que tiene
que darse a In primera carga para asegurar que ·'escape" de la segunda sin regresar jamás.
Con v = 2,18x 10 6 mis; r = 5,34xl0· II m
ot
= 2177463m/s
v
ic
Y
w
=
w
m
Para las cond iciones propueslas
__
~ _ m
w
.f
is
2
Para
Soludó n
a2
U C =..!my 2
9,11 X 10- 31 kg
3.
01
La energía cinélica de l eleclrón eSlá dada por
bl
og
1.'.-6"
.c
om
",..o-" = 2.59 x 10- 1J m se encuentra
sp
y r
= 8,40 x 10 U m/.!
1 2. Un pequeño c uerpo de 10,Og de m asa
con l ,OO x 10 - 6 e de car ga e léctri ca
está en r e poso a 1,00 cm de distancia de
u n a segunda carga fija de - 1,00 x 10 - 6 c.
e) De la expresión [IJ se calcula la velocidad langcncial del muón.
v "''''''" =
.....
= 2178984mls
-U-'-=--2,-1-6-X-'O---'~'-'j
CARG A
t'lJA
......,., .• ... ....................•
'q
~ '.
-------1-<
'1
La energía cinética del fiuón está dada por
,
1
2
U ",..o-.. = "2 m .....0-... v ...""...
Para
y
m",,,,,,,, =
206m = 1.877xIO- 28 kg
Y",...,.,,=2l77463m/s
I U:,..,." = 4.45xIO- 16 )
d) La velocidad angular del eleclrón es
(¡)
=,
=
2178984m/s
5,34x 10- 11 mIs
Luego q ue la carga de la ilquierda se dis para
con velocidad yO' la e nergía cinética empieza a
disminuir.
Con la velocidad mínima de escape se logra que
la carga de la izquierda llegue al reposo sin regrcsllT Jamás .
La disminución de energía cinélicll. se lransror-
ma en trabajO para vencer la fuerza de alfacción.
Al mismo tiempo di~minuye la energía potencial. que al igual que en gravitación. se hace menor al aumentar la dislancia de separación
,
~d
,2
'
•
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'2
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FUNDAMENTOS DE F1SICA SUPERIOR
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[CAP. 15
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Integrando ambos miembros
.
JU·o d U~
'"
Joo _.!!..!C.2 dr
. ,
= 2k.t¡O d t.
T
"
J
O-Uo",!!Cj,
... 1' 1
'O
,
o lo que es lo mismo
=
'.
_!i!.
\ ..
'o
sp
og
bl
ic
a2
01
= 13,41m/s I
.. Q
..
9
w
w
.f
vD
is
!
3.
Reemplazando q= 1.00 x lO-óC:'o =1.00cm
=0,01". y m = IO.Og = O,Olkg seohticnc
ot
.c
om
de donde, la velocidad mínima V o está dada por
o
w
13. 0 08 cargas igua le s de magnitu d
Q=2,40xlO- 6 C estánubicadusen
el eje de abscisa s en x=+ 10,Ocmyx =
- Ja,Oem, respectivamente. Determine la
magnitud y la di rección de la fuerza que experimentn una tercera carga de magnitud
q =1,20xlO- 6 C colocada en el eje de or·
denadas en el punto (x = 0, y = 10..f3 cm).
( '<1 ;0 )
=
(0.;0)
=
Recmplazando q
1,2xIO- 6 C; Q
2,4 x
1O-6 C; d= 1O.J3 cm=O,1 Dm ya = 10 cm
= O, 1 m sc oblicnc
Sol udón
Como se muestra en el gráfico, por simetría de
la distribución, la carga +q experimenta fuerzas
de repulsión iguales de parle de las cargas +Q;
entonces, la suma de las componentes horil.ontales de las ruenas F se anulan, y la ruen:a resultante sólo tiene componenle verlical, la que
es igual a
.
-Fa=2(Fsen9»)
14 . (a) En el problema anterior, evalúe
. las fuerzas de Coulomb que actúan
sobre las dos cargas que están en el eje x.
(b ) ¿Cuál es la suma vectorial de las fuerzas coulómbicas que actúan en las tres
cargas?
Solució n
a) Fucnas de Coulomb sobre las cargas +Q.
•
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CA
P.15J
ELECTROSTATICA • LEwww.fisicax2.blogspot.com
Y DE COU LOMB
13
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Pero, como d = 0,1 --f3 m y a
,
0, 1 m ,
e ntonces
8 = 60 °
Y r = 0 ,2 m
Luego, reemplazando valores en la expre(O;d J
'q
sión hallada para
,, \,
, ...
\
r,/
\. r
Carga u bicada en (a: O).
Proced iendo aná logamente al c aso de la
carga ubicada en (- a; o) se obtiene
"
!
!
e
'
(-a;O)
e
.:....;.::.. .--'--+---"--•
/
,
o
+QF,
..:.....-;.~.
(a;O)'" .....
Fz
...----~
b) Suma vectorial de las fuenas que Ilctúan en
Jo/¡
las tres cargas.
bl
F,
w
.f
is
ic
a2
01
3.
Por simetría, las cargas ubicadas en el eje x
están sometidas a fuerzas de igual magnitud,
pero diferente dirección y sentido.
Carga ubicada en ( -a: O).
La fueT/.a ho rizontal debida a la otra carga
+Q es
og
sp
ot
.
co
m
F2
IF 11 = + 1.62f-0.56JI
•
\
w
,, =
w
;
;,{... ......
Jo,,-
,
se obtiene
...
!
!
!
F1+Q
FII
La fuerza debida a la carga +q es
"
F2 = ~
2
(-Co.\·SIti - senS»
-
,
La fuerza total sobre la carga ubicada en
(a;O)eslasumade F t y F 2 ,osea
kQ [ ( _ ~ _ qco;.s )f 4"
Considerando dos cargas, las fuer/liS electrostálicas siempre tienen la misma dirección y
magnitud, pero sentidos opuestos; cntonces
F 3 cargas -- O
I
,
15. Dos cargas iguales de magnitud +Q
De la figura
8 = arcla/!(dla)
y
están ubicadas en el eje 1: a distancias± a del origen. Encuentre la magnitud
y la dirección de la fuerza sobre una tercera carga +-q !>ituada en el eje de las ya
In distancia y del origen.
•
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14
FUNDAMENTOS DE FISICA
SUPERIOR
[CAP 15
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Solució n
,
2 kq Q a.(\
La solución de este problema es la misma cJtprcsión [,,) obtenida en el problema 13; pero considerando la distancia y en el eje de ordenadas.
Reemplazando y en lugar de d
1 7 . Dos cargas iguales + Q están colocadas en el eje de los x u las distancias
± a del origen. Obtenga la magnitud y la
dirección de la fuerza sobre una tercera
carga + q ubicada en el eje de las absci sas
a la distancia r del origen .
16. ¿Cuál serfa la respuesta al problema
anterior cuando las cargas en el eje x
tienen valores iguales y opuestos ± Q ?
So lucl ú n
Según el enunciado del problema
Solu ción
(1)
co
m
Para las condiciones propuestas
ZONA 1
·0
og
sp
ot
.
,
•
is
ic
a2
01
3.
bl
(-0;0)
w
.f
.,
w
/
w
./
'1
,1
(2)
ZONA 11
·0
•
Cuando + q está en la zona 1.
La fuerl.a resultan te sobre +q es la suma de
las interacciones con las cargas + Q ubicadas
en los p untos (1) Y (2).
\,
'0
,
,
kqQ
( r - a)
\:\
,
-O
•
Por condiciones de simetría, la fue rza rcsuhanlc
sobre la carga + Q solamente liene componen te
horiLOntal, que es igual a
= 2(Fcos 9 )
f
~
,'
de du nde
~.--'-~~O+~~~Yt--~(-0;0)
(0 ;0)
FR
•
(0;0)
F I = F¡+F 2
\.
,
ZONA 111
F ¡ =- k qQ [
1
(x+ a )
,+
(x - 1a)
l'
,
'
Cuando+q cstácnlal.OTl8. 11.
Procediendo análogamente al c aso anterior se
obtiene
,qQ[ (r+a)2
1
_
1
( a _ r)2
1f
•
15
CAP
151
ELECTROSTATICA • LEY
DE COULOMB
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Cuando
+q está en la !.Ona 111.
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Cuando + q está en la 10na 111.
Procediendo análogarncnle al primer caso se
obtiene
-
FIII = lcqQ
[ 1
2 +
(.x + a)
(x - I a)
,
-Fm = kqQ [
En este caso se obl;cnc
t.
..~F.q¡;,•
¡;,.q
..
•
..
••• m
•••
•
.
..
mL, ~ m
I
( .x + a )2
+
w
w
FI = k. qQ [-
w
.f
is
i
ca
20
El análisIs es simil ar al rcah /ado en el problema
17.
C uando + q está en la l ona 1.
lo
gs
po
°1
Según las condiciones de l problema
•
(",;0)
m
•
Soludón
ZONA 111
.b
(- /1;0 )
-O
co
ZONA JI
·0
•
(2)
13
ZONA I
I
1 9 . (a) Determine los valores de lns caro
gas iguales que deben tener dos esferas, cada una de 10,0 kg de mosa, para que
su r epulsión eledrostática equilibre exactamente sus atracciones grnvitncionnles.
(b) ¿Cuántas cargas olectrónicas representa ese valor?
Solucl6 n
'1
l'
l''
18. Dé la respuesta al problema anterior
cuan do las cargas en el eje de ¡sal'." tienen valores iguales y opuestos ± Q.
o,
( 2I
2
( .u a)
(x - a)
+ { .I" _I O ) 2 ]
a) Por condición
F~
t
= F,
~
De donde
q = ±
J G;2
Para G = 6,673xlO - 11N.m 2/ kg 2 y
Cuando + q está en la zona 11.
-Fu = kqQ [ (
(x+o)
2+
'
I2
(a - A)
m = IO,O kg
l'
1
,-----,:-,
q = ± 8.62x lO - lO e
b) El número de electrones que contiene la carga
q está dado por
F"
•
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FUNDAMENTOS DE FISICA
SUPERIOR
(CAP 1S
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Luegowww.fisica2013.blogspot.com
lit t! -
'"
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m=M
El equivalente gramo de los iones metálicos q ue
se obtienen a partir de una rolución ionizada de
una de sus sales de la rorma
.5,38)( 1O9 deClrOfli!l!
A + (11 'o...... )
20. ¿Cuánta carga eléctrica se necesita
para depositar electrolfticame nte u n
gramo de plata metálica empleando una
solución de nitrato de pl a ta en la que hay
plata e n forma de iones Aa -+?
esta dado por
Eq-g
Solución
96500",
Eq g
o ••
[ "
]
q=
Para la solución de nitralo de plala se tiene
ConsiderllJldo 105 iones de plata
sp
ot
lo
g
.b
21. Se necesitan 289500 e de carga para
depositar un mol de determinada sustancia met.álicaa partir de una solución ionizada de una de sus sales. Determinar la
carga eléctrica que lleva cada uno de los
iones metálicos.
Solució n
8
96 :500 m
Eq-g
lIione.r=3
I
22. Cuando se ponen l O,Og de u na cier ·
ta aleación de ci nc (o zinc) e i ndio en
u na sol ución en que hay ionesZn- e iones
/ n++-+, se necesitan exactamente 26222 e
de carga eléctrica para depositar electrolíticamente todo el indio y todo el cinc de
la solución. Determine los porcentajes atómicos de cinc e indio en la aleaci6n.
Solución
Por la primera ley de Faraday
_ k:..K
m_ 96:500 q
la primera ley de Farad.ay
q =
I
01
3
Iq = 894.60C I
Oc acuerdo
_ ---'196:500
a2
.f
w
scobtiene Eq -g'" 107,878.
Luego, rccmpluando valores en [.. J
.
Iones -
is
ic
Y #iofli!s =
w
w
= \07,878/",01
(-----"L )
Para q = 289:500 e
~
Eq-g = Iliones
Con MAl
•
.c
de donde
3
96:500 M
1# iones
)-1
om
Ag ... 1 (N0
M
=-1# iones
donde M es e l peso molecu lar de la sustancia
me tálica.
Reemplazando en ["1 las expresiones halladas
Por la primera ley de Fladay
q ~
O-c- 'o ...... )
... ("J
La masa de una sustancia en función del número
de moles y el peso molecular es igual a m = nM
Como en eSle caso se considera un mol
·.·11 1
- PARA DEPOSITAR EL ZINC .
El equivalente gramo de los iones Zn + 2 es
M",
Eq-g=-.-=
11 Iones
65.37 g/mol
2
•
CAP.15j
ELECTROSTATICA • LEY
DE COULOMB
17
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Reemplazando
en [1 J
mz.. = 3,39 x 10- 4 q¡
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2 3 . A men u do conviene ignorar el hecho
de q ue las cargas viene n en unidades
cuantizudas, y considerar, una "densidad
de carga" continua p (x,y, z ), que re presenta la carga por unidad de volumen en
un elemento volu métrico infinitesimal, situado alrededor del punto (x,y, z ). Suponga q u e la densidad d e carga e n todas
partes den tro de u n a esfer a de radiaR está
da da por p (r) = A r , en q ue r es la distancia desde el centro de la esfer a y A, una
const ante de proporcionali da d. Demuestre que la carga total Q contenida en la esfera está dada por Q = 1t A R 4,
... [21
PARA DEPOSITAR EL INDIO.
El equiv alente gramo de los iones
}n +
3 es
114,82g/mol
MI"
Eq - g = - . - =
# IOnes
3
Reem plazando en [11
m l ,,=3,97xlO- 4 q2
... [3]
Sumando m 7.... y m 1" se obtiene la masa total
de la aleación.
Soludón
Considerando como e1emenlo infinitesimal un
cascarón esférico de radio r y espesor dr.
Pero, por condición
is
ic
a2
01
3.
Reemplazando estas últimas relaciones en [4 J
se obtienen
bl
og
sp
ot
.
co
m
m Z" + m l,, = 10,Og
w
w
.f
ql = 707l,28C y q2 = 19150,72C
o
La carga contenida en el elemento considerado
es igual a
w
Reemplazando q t en [21 y q2 en [31 se encuentran
mz.. = 2,40g Y mi" = 7,60g
Los porcentajes atómicos de los melales en la
aleación están dados por
2
dq = (41tr dr)p(r)
Luego, la carga lotal se obtendrá integrando to·
dos los "pequeños" elementos.
%m/" = lOO %-% m z "
Luego,para m 7.... = 2,40g; mm = 7,60g;
M z" = 65,37 g/mol y MI" = 114,82glmol
% mz...= 15,24%
%
mi ..
= 84,76%
2 4. El núcleo de un átomo de plomo (Pb )
contiene 82 protones y s u r adio es
[CAP. 15
18
FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR
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aproximadamente
igual a 7,2 x 10 - 13 cm.
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Si un protón adicional se acerca a este nú-
cleo, halle la fuerza de repulsión que se
produce cuando el protón que se aproxima
está en la superficie del núcleo. Para aplicar la ley de Coulomb, suponga que la caro
ga distr ibuida puede reemplazarse por
una sola carga en el centro del núcleo.
,,.124n
Solución
DENS IDAD DE MASA.
Esbozando un gráfico del núcleo del átomo de
plomo
./
p", =
3
4nr /3
Reemplazando m p = 1,673x 10- 21 k.g
pr o\.6n
r /'~'"
82m,+ 124m"
a di.;o",,1
m,, = 1,675x 10- 27 k.g Y r =7,2x 10 - 15 m
se oblicne
ur... ~nunt .. da . "
ot
.
co
m
el ce",t,.. d.1 nO.l ...
w
.f
"
is
k ql<kl.oqproréN
w
w
F =
ic
.b
13
a2
0
La fuer la de repulsión entre la carga concentrada
y el prot6n adicional está dada por
lo
g
sp
DENSIDAD DE CARGA.
Como los neutrones carecen de carga
82e+
Pq = 4 nr 3/3
Reemplazando e+ = 1,602xIO- 19 C
r = 7,2 x 1O -I!l m
Para e=1,602xiO- 19 C y r=7,2x iO - ISm
1 F = 364,83N I
2 5. El núcleo de plomo del problema nnterior tiene 82 protones y 124 neu -
trones. Suponiendo que es esférico y que
tiene densidad uniforme de masa y de carga, obtenga expresiones para el valor de
estas densidades.
Soluci6n
Para las nuevas condiciones propueslas
y
se o blienc
I Pq =
8,40X\024
c/ m 3
Sc obticnen dcnsidades altas debido a que el
tamaño del núcleo atómico es pcqucno.
26. Una partícula puntual con carga qJ y
. masa m se proyecta directamente
hacla el centro de un nucleo de carga q2;
ambas cargas son positivas. Si la velocidad m icial del proyectil muy leJOS del nudeo es vo• como se ilustro en e l diagrama,
demuestre que la mstancia mímma de aproxi-
mación está dada por D = 2 kq 1 q2 I mv ~ .
CAP
151
ElECTROSTATICA • lEY
DE COULOMB
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que la ca rga de enmedio, la cual está. e n
eq uilibrio, se ha lla en equilibrio establ e
con respecto a despla zamientos en la di·
rección y, pero en eq uilibri o inestable con
r especto a dosplazami entos en dirección x .
"
•
'.
..
'L
Solución
Luego que la carga puntual se dispara con veloc idad micial Vo- su velocidad empieza a disminuir, conforme avanza hacia la carga q2 .
•
La d istancia minima de apro:llóimaci6n se alcan-
zar' cuando la velocidad se anule por completo.
Al mismo tiempo que disminuye la energía ciné·
tica, éSla se transforma en trabajo para vencer la
fuerla de repu lsión electrostática; ademb, como
la distancia disminuye, I~ energía polencial aumenta . Es deci r
.,•
•
.,•
-o
Solución
El origen de coordenadas
.c
om
se puede trasladar a
donde se encuentra la carga - Q, ésto se hace
con el fin de simpl ificar las expres io nes
matemáticas.
iq] q2 dr
bl
00
3.
F dr
og
sp
ot
DESPLAZAMIENTO VERTICAL
a2
01
"
.f
is
ic
Integrando ambos miembros
w
w
Ju:o dU' ~ J.
o-
w
O
~q
L
0
d
_-1_-_
d
--J
+q
•
U~ =
de donde
I
,
2 mv o
iq ] q'l
Si la carga - Q se desplal.a hacia arriba. por
ruoncs de simetría la foena resultante sólo
tendrá componente vert ical hacia abaJO; es
decir
,
D
2FcosOJoo
Luego, la distancia mínima de separación es
~
~
27 . Tres cargas están en línea recta como
se muesLra en la figu ra. Demuestr e
... [I[
Utilizando e l lcorema del binom io de NewlOn
•
20
FUNDAME NTOS DE FISICA
SUPERIOR
[C AP 15
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d - 3 - '32 d -S y :2 +
( d'.,')-lI2
+
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Cuando 18 carga se desplaza hacia la derecha,
=
la fuer/;a resultame ená dllda por
FR= F¡+Fz
15 d-1 4
105 r 9 6
8"
J - 48
J + .. .
= k. q Q [-
Recmplaz.ando en (1 J
= _ 2kqQ (..L _
d
-
1
1051 7
I
(d+x)2
.
I
(d _ x)2
,
]'
~+.lliC
dS
d
7
=
4q Qd 'x
( d 2 _ x 2)2
t
.4
48d 9 + ...) J
= 4qQ dx(d 2 _ x 2 ) - 2 f
Pero, como y « d : entonces
... 121
Med ian te e l leorema de l binomio de Newlon
(d 2 _ x 2)- 2 = 1 _ 2d- 6 x 2 +3d- S x 4 _
_ 4d - 10x 6 + ...
Reemplazando en [2\
queños.
DESPLA7.AM IENTO HORIZONTAL
_
2x 3
F R = 4kqQd(x - - ,
po
t.
co
m
Es te resultado nos indica que el equilibri o vertical es ESTAB LE para desplazamientos pe-
Pero, como x «
d
7
d: entonces
p.
(2)
w
P,
w
w
(1)
.f
is
i
ca
20
13
.b
lo
gs
,
5
4x
,.
.3xd-8-10
+···)1
d
•
Nótese que esta fuerza rcsuhantc d epende directamente del dcsplnam ienlo horizo nta l,
debido a ésto el eq uili brio es INESTABLE.