Conceptos generales

Física - Ingreso 2013
Docente Fernando Giacomelli
Vectores
De fi ni c i ón de ve c tor : Un ve ct o r f ijo
p u n to A (o rige n ) a l p u nt o B ( e xt re m o ).
Módul o de
e s u n se gm en t o o rie n t ad o qu e va de l
: E s la lo n git u d de l se gmen t o AB , se re p re sen t a p o r
Di r e c c i ón de l ve c tor
: E s la d ire cció n d e la re ct a qu e co n t ie ne a l
ve ct o r o d e cu a lquie r re ct a pa ra le la a e lla .
S e nti do de l ve c tor
: E l qu e va d e l o rige n A a l e xt re m o B .
Do s p un t o s A y B d e te rm ina n d o s ve ct o re s f ijo s
y
, co n se n t ido d ist in t o , qu e se lla m an ve ct o re s
o p ue st o s .
Un ve ct o r f ijo e s n u lo cu a nd o e l o rige n y su
e xt re m o co in cid e n.
V e c tor de pos i c i ón de un punto e n e l pl a no de c oorde na da s
E l vector
qu e u n e e l origen d e co o rd en a da s O
co n un punto P se lla ma vector de posición d e l
p u n to P .
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Coor de na da s o compone nte s de un ve c tor e n e l pl ano
S i la s co o rde na d as d e A y B so n :
L a s coordenadas o componentes del vector
so n
la s coordenadas del extremo menos las coordenadas
del origen.
E je m pl os
Ha lla r la s componentes de un vector cuyo s e xt re mo s so n:
Un ve ct o r
t ie n e d e componentes (5 , −2). Ha lla r la s coordenadas d e A si se
co n o ce e l e xt re mo B (1 2 , −3 ).
V e c tor es e qui pole nte s
Do s ve ct o re s so n e qui pol e nte s cu a nd o t ien e n igu al
módul o, di re cc i ón y s e nti do .
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Si
y
so n
ve c tore s
e qui pol e nte s ,
el
cu a d rilá t e ro A B CD e s un pa ra l e l ogramo .
E j e m pl o : Ca lcu la la s co o rde na d a s d e C p a ra qu e e l cu a d rilá t e ro d e vért ice s:
A (-3 , -4 ), B (2 , -3 ), D(3 , 0 ) y C; se a un p a ra le lo gra m o .
V e c tor l i bre
E l co n jun t o d e to d o s lo s ve ct o res e qu ip o len t e s
e n t re sí se lla m a ve c tor l i bre . Ca d a ve c tor fi jo e s
u n re p re se n ta n te de l ve c tor l i bre .
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Módul o de un ve c tor
E l m ódul o d e u n ve c tor e s la l ongi tud d e l se gme nto o rie n t ad o qu e lo
d ef ine .
E l m ódul o d e u n ve c tor e s u n núme ro sie m p re pos i ti vo y so la m e nt e e l
ve c tor nul o t ie n e m ó du lo c e ro .
Cá l c ul o del módul o c onoc i e ndo s us c ompone nte s
E je m pl o
Cá l c ul o del módul o c onoc i e ndo l a s c oorde na das de los puntos
E je m pl o
Di s ta nc i a e ntre dos puntos
L a di s ta nc i a e ntre dos puntos e s igu a l a l módul o del ve c tor qu e t ie n e
d e e xt re mo s d ichos p u nt o s.
E je m pl o
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S um a de ve c tore s
P a ra s uma r do s ve c tore s l i bres
y
se e sco ge n
co m o re p re se n ta n te s d o s ve ct o re s t ale s qu e e l
e x tre mo de un o co in cid a co n e l ori ge n d e l o t ro ve ct o r.
Re gl a de l pa ral e logra mo
S e t oma n co mo rep re se n ta n te s do s ve c tore s co n e l
ori ge n e n c omún , se t ra za n re c ta s pa ra l el a s a lo s
ve c tore s o b t en ié nd o se u n pa ra le l ogra mo cu ya
d ia go n a l co in cid e co n la su ma de lo s ve ct o re s.
P a ra s uma r dos ve c tore s s e s uma n s us re s pe c ti va s c ompone nte s.
P r opi e da des de la s uma de ve c tore s
As oc i a ti va
+ (
+
) = (
+
=
+
+
=
Conmuta ti va
E l e me nto ne utro
E l e me nto opues to
+ (−
+
) +
) =
Re s ta de ve c tores
P a ra re sta r d o s ve ct o re s lib re s
o p ue st o d e
y
se su m a
co n e l
.
L a s com po ne n te s d e l ve ct o r re st a se o b t ien e n
re st a n do la s co mpo n en t e s d e lo s ve ct o re s.
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E j e m pl o
P r oduc to de un núme ro por un ve c tor
E l pr oduc to de un núme ro k p o r un ve c tor
e s o t ro ve c tor :
De i gua l di re cc i ón qu e e l ve ct o r
.
De l m i s mo se nti do qu e e l ve ct o r
s i k e s pos i ti vo .
De s e nti do c ontrari o d e l ve ct o r
s i k e s ne ga ti vo .
De m ódul o
L a s com p on en t e s d e l ve ct o r re su lt a n t e se o b t ien en
m u lt ip lican d o p o r K la s com po n en t e s d e l ve ct o r.
E j e m pl o
P r opi e da des de l produc to de un núme ro por un ve c tor
A so cia t iva :
k · (k' ·
) = (k · k') ·
Dist rib u t iva re sp e ct o a la sum a : k · (
+
) = k ·
Dist rib u t iva re sp e ct o a lo s e sca la re s : (k + k') ·
E le me n to n eu t ro :
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1 ·
+ k ·
= k ·
+ k' ·
=
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Coor de na da s del punto me di o de un s e gme nto
S i la s co o rde na d as d e lo s p un t o s e xt re m o s, A y B , so n:
Las
co o rde n ad a s
del
p u n to
m edio
de
un
se gme n to
co in cid e n co n la se m isum a d e la s coo rd e na d a s d e d e lo s
p u n to s e xt re mo s .
E j e m pl o
Ha lla r la s c oordena da s d e l punto me di o de l s e gmento A B .
Condi c i ón pa ra qué tre s puntos e sté n a l i nea dos
L o s pu n to s A (x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) y C( x 3 , y 3 ) e st á n a lin ead o s
sie m p re qu e l o s vect o re s
t e n ga n la mism a d ire cción .
E st o o cu rre cua n do su s co o rd en ad a s so n p ro p o rcion a les .
E j e mpl o
Ca lcu la r e l va lo r de a p a ra qu e lo s puntos e s té n al i nea dos .
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V e c tores . E je rc ic ios
1 Da d o e l ve ct o r
= (2 , -1 ), d e t e rm in a r d o s ve ct o re s e qu ip o le n te s a
sa b ie nd o qu e A (1 , -3 ) y D(2 , 0 ).
2 Ca lcu la e l va lo r d e k sa b ie nd o que e l mó d u lo de l ve ct o r
,
= (k, 3 ) e s 5 .
3 Si
e s u n ve ct o r d e com p on e nt e s (3 , 4 ), h a lla r un ve ct o r u n it a rio de su
m isma d ire cción y se n t ido .
4 Da d o s lo s vé rt ice s d e u n t riá n gulo A (1 , 2 ), B (-3 , 4 ) y C( -1 , 6 ), h a lla r l a s
co o rd en a da s de l ba rice n t ro .
5 Ha lla r la s co o rd e na d a s de l p u nto C, sa b ie n do qu e B (2 , -2 ) e s e l p u n to
m e d io de A C, A ( -3 , 1 ).
6 A ve rigu a r si e st án a lin ea d o s lo s pun t o s: A ( -2 , -3 ), B (1 ,0 ) y C(6 , 5 ).
7 Ca lcu la la s coo rd e na d a s d e D p a ra qu e e l cua drilá t e ro d e vé rt ice s:
A (-1 , -2 ), B (4 , -1 ), C(5 , 2 ) y D; se a un p a ra le lo gra m o .
8 L a s co o rd e na d as d e lo s e xt re m o s d e l se gm en t o A B so n : A (2 , -1 ) y B (8 , -4 ).
Ha lla r la s coo rd en a da s de l pu n to C qu e d ivid e a l se g m e n to A B e n d o s
p a rt e s ta le s qu e AC e s la m it a d d e CB .
9 S i e l se gm e nt o A B d e e xt re mo s A(1 , 3 ), B (7 , 5 ), se d ivid e e n cu a t ro pa rt e s
igu a le s, ¿cu á le s so n la s co o rde n ad as d e lo s p un t o s d e d ivisió n ?
1 0 Ha lla r e l sim é t rico d e l p u n to A (4, -2 ) re sp e cto de M(2, 6 ) .
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