2008 - Universidad de los Andes

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Cálculo Diferencial MATE1203-5
Parcial 2
9 de Abril de 2008
Tiempo: 80 minutos. Justifique todas sus respuestas.
1. (0,8) Halle la ecuación de la recta tangente al cı́rculo x2 + y 2 = 2 en el punto (1, 1)
2. (0,8) Un niño dibujó un Mickey Mouse con la cara cuadrada y dos orejas circulares iguales,
de tal manera que el diametro de una oreja es la mitad del lado de la cara. Por la magia de
Disney el dibujo enpezó a crecer manteniendo las proporciones a una tasa de 1cm2 /seg.
¿ A qué velocidad está creciendo el lado del cuadrado, cuando este es de 10cm?
3. (0,8) Usando derivadas demuestre que sin2 x + cos2 x = 1 ∀x ∈ R
Pista: Demuestre primero que sin2 x + cos2 x es constante y luego que esta constante es 1
4. (0,8) Halle lı́m (1 + sinh x)1/x
x→0
2
5. (1,8) Grafique f (x) = x x+1 . Haciendo explı́citos el dominio, la simetrı́a, máximos y mı́nimos relativos, concavidades y ası́ntotas.
1
SEGUNDO PARCIAL–CÁLCULO DIFERENCIAL
Universidad de los Andes, Bogotá
1. a) Calcule la derivada de : y = 3x+2
b) Calcule la derivada de : y = sec(x2 + 1)
(consejo: considere las funciones
f (x) = secx, g(x) = x2 + 1 y aplique la regla de la cadena a la función f (g(x)))
c) Calcule: lı́mx→0 x2 cos x12
10 −1
d) Calcule: lı́mx→0 (x+1)x
ción en un punto)
(consejo: use el teorema del emparedado)
(consejo: recuerde la definición de derivada de una fun-
Si los lı́mites no existen explique porqué.
2. Encuentre los números en los cuales f es discontinua


si x ≤ 0,

0
f (x) = sin(x) si 0 < x < 2π,


1
si x ≥ 2π.
x
Haga el gráfico de f.
3. Encuentre las ası́ntotas verticales y horizontales de la curva:
x3 + 1
y= 3
x +x
4. Hallar la ecuación de la recta tangenta a la curva y = f (x) en el punto (0, 2), donde
y está definida como una función de x implı́ticamente por la ecuación y − 3xy =
2 + sin(2 − y).
5. Sea f (x) = x3 − x2 + x. Muestre que existe un número c tal que f (c) = 10.
sejo: use el teorema del valor intermedio)
Date: Septiembre 23, 2008.
1
(con-
PARCIAL 2. CALCULO DIFERENCIAL SEC.34
viernes 19 de Agosto de 2008
El parcial es completamente individual, estan prohibidas las ayudas y cualquier intento de fraude será
tratado bajo el reglamento de la universidad. El tiempo de duración del examen es de 50 minutos.
1. [2 pts] Sea f (x) =
√ −x
xe
a ) [1 pts] Usando los teoremas del libro sustente que f (x) es continua.
b ) [1 pts] Muestre que existe un valor de x tal que f (x) = f ((x + 1)2 )
[ayuda: emplear el
Teorema del Valor Medio
]
2. [2 pts] Sea y = −2x + 1 y sea la familia de funciones que cumple la que f (x) =
constante (Como se muestra en la gura).
1
,
(x−k)2
con k una
Fig. 1: Grácas del ploblema 2.
a ) [1 pts] Encuentre el valor de k para que la recta tangente a f (x) sea justamente y .
b ) [1 pts] Encuentre la pareja (x, y) en donde se da la tangencia.
3. [3 pts] Calcule los siguientes límites:
a ) [1 pts] lı́m
x→∞
√
1 √
x−1− x
x2 cot(7x)
x→0 sin(4x)
b ) [1 pts] lı́m
x2 −3x+6
x→−2 x−2
c ) [1 pts] lı́m
dy
4. [3 pts] Encuentre y 0 = dx
para los siguientes casos:
a ) [1 pts] y = sin(sin(sin(x)))
b ) [1 pts] y = cos(23x )
q p
√
c ) [1 pts] y = x x x
Mucha Suerte!!
1
Parcial 2
Calculo Diferencial Sección 31
Justifique todas sus respuestas,
1. Conteste verdadero o falso, respuesta sin justificación no vale.[6 puntos](en caso de ser
falso una buena justificación es un ejemplo en el que lo que se afirma no ocurre.)
a. Toda función continua es diferenciable.
b. Existe una función tal que f 0 (x) = f (x) para todo x en Dom(f ).
c. Si f 0 (a) = 0 entonces f (a) es un máximo global.
d. limx→0 sin(x)
=1
x
e. La función f (x) = x3 + 1 es creciente en el intervalo (1, 2).
f. La función f (x) = x3 siempre es cóncava hacia arriba
2. Diga si la función dada es derivable en el punto a. En caso de que la respuesta sea
afirmativa encuentre f 0 (a).[5 puntos]
a. f (x) = cosh(x2 + 2x)
b. f (x) = e|x+1|
a=0
a = −1
2
c. f (x) = ln(tg(x − 1))
a=
pπ
4
+1
3. Grafique la siguiente función f (x) = x3 + x2 , indique el procedimiento paso a paso.[6
puntos]
4. Escoja uno de los siguientes problemas:[5 puntos]
i. Dos autos parten de un mismo punto, uno de ellos viaja hacia el norte a una velocidad dy
= 15km/h el otro viaja hacia el oriente a una velocidad dx
= 100km/h,
dt
dt
encuentre la velocidad relativa entre los dos autos cuando el auto viaja hacia el norte
se encuentra a 30Km del origen.
ii. Sea f (x) = x+1
demuestre que no hay un valor c tal que
x−1
0
f (2)−f (0) = f (c)(2−0).¿Porque esto no contradice el teorema del valor intermedio?.
Ayuda:
sin( π4 ) = cos( π4 ) =
dtgx
= sec2 (x)
dx
√
2
2
1
Parcial 2
Cálculo Diferencial
09 de Abril de 2008
Tiempo: 80 minutos. Justifique todas sus respuestas.
1. Halle la derivada de las siguientes funciones
a) g(x) =
sin x
x .
2x
b) f (x) = 2
c) h(x) = sinh3 (πxex )
2. Considere una ventana que tiene una base cuadrada y en la parte superior
un semicı́rculo como lo muestra la figura. Supongamos que se aumenta la
longitud de la diagonal del cuadrado manteniendo la forma de la ventana.
m
La diagonal del cuadrado aumenta a razón de 4 min
.
a) Halle la razón de cambio en el tiempo del lado x cuando x = 5
b) Halle la razón de cambio del área de la ventana cuando x = 5
3. a) Calcule el siguiente lı́mite
lim
x→∞
1
1+
1
x
x
b) El siguiente lı́mite expresa la derivada de una función en un punto,
diga cual es la función y cual es el punto.
lim
h→0
sin h
h2 − h
4. Haga la gráfica de la derivada de la siguiente función
x
5. Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (x) = ex . Para esto halle el
dominio de la función, los puntos crı́ticos, las ası́ntotas verticales y horizontales, los intervalos de crecimiento y decrecimiento usando la primera
derivada, y determine la concavidad usando la segunda derivada.
2
SEGUNDO PARCIAL–CÁLCULO DIFERENCIAL
Universidad de los Andes
Respuestas sin justificar no serán tenidas en cuenta. Si va a aplicar algún teorema
escriba claramente dónde lo va a hacer y verifique cada una de las condiciones que
se deban satisfacer.
1. Un avión vuela a una velocidad constante de 300 km/h, pasa a una altura
de 1 km sobre un radar y se eleva un ángulo de 30 grados. A qué velocidad
crece la distancia del avión al radar un minuto después?
2. (a) Encuentre cada uno de los siguientes lı́mites:
sin x
lı́m
lı́m x(log 2)/(1+log x)
x→∞
x→0 sinh x
(b) Enuncie el teorema de Rolle.
3. (a) Usando el teorema del valor medio, muestre que la ecuación 2x − 1 −
sin x = 0 tiene exactamente una raı́z real.
(b) A las 2:00 pm el velocı́metro de un carro marca 30 millas/h. A las 2:10
pm marca 50 millas/hora. Muestre que en algún instante entre las 2:00
y las 2:10 la aceleración del carro es exactamente 120 millas/h2 .
4. Haga el gráfico de la función f (x) = x expx
(a) el dominio de la función son los reales positivos? en qué puntos no
está definida la derivada? tiene ası́ntotas?
(b) en qué intervalos es la función creciente y en cuáles es decreciente?
(c) en qué intervalos la función es cóncava hacia arriba y en cuáles cóncava
hacia abajo?
Date: Octubre 24, 2008.
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Abril 10 de 2008
Cálculo Diferencial
Parcial 2
1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ex
punto (0, 1).
2y
= x + y en el
2) Calcular las derivadas de:
a) f (x) = arcotan(x)
b) g(x) =
(x−1)4 (x+1)7 (2x−1)6
(3x−1)3 (2x+1)5
3) Calcular
lı́m (xe1/x − x)
x→∞
4) Un tractor descarga arena en el suelo a razon de 25m3 /min de tal forma
que el monticulo siempre tiene forma de cono circular recto y en cada
instante de tiempo, la altura del cono y el diametro de la base son iguales.
¿Que tan rápido varia la altura del cono cuando esta es de 10m?
5) Sea g(x) =
1
(x+3)(x−1)
a) Encontrar las asintotas.
b) Encontrar los puntos criticos y clasificarlos.
c) Encontrar los intervalos de crecimiento de g.
d) Encontrar los intervalos de concavidad de g.
e) Esbozar la grafica de g.
6) Bono: Demuestre que la ecuación x5 + 4x3 + 15x + 1 = 0 tiene una única
raı́z real.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Segundo Parcial de Cálculo Diferencial-1203(24)
6 de Marzo de 20081
1. Encuentre todas las ası́ntotas de la siguiente función y bosqueje su
gráfica:
2x2 − 8x
y= 2
x −9
2. Determine donde la siguiente función es discontinua,
y
√
−x,



3 − x,
qué tipo de discontinuidad de presenta f (x) =

(x − 3)2 ,



5,
3.
en tal caso
si x < 0,
si 0 ≤ x < 3,
si x > 3,
si x = 3
a) Calcule los siguientes lı́mites
x2 + x − 2
x→1 x2 + 2x − 3
lı́m
b)
4.
√
√
x− x+1
lı́m √
x→∞
x2 − 4 − x
√
a) Si f (x) = sen(tan( 1 + x3 )), halle
df
dx
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = y(x), la
cual está definida implı́citamente por
y
3x3 y 2 − xy 3 = + 1
x
en el punto (x, y) = (1, 1)
Nota: Todos los puntos tienen igual valor=1.25 cada uno
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compaẽros o de la misma
Universidad”
U NIVERSIDAD DE LOS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
MATE 1203-24 Cálculo Diferencial
Parcial 2.
1. Evalúe los limites siguientes:
sin θ
.
θ →0 θ + tan θ
cos x + 1
b) lı́m
.
x →π x − π
a) lı́m
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x ) =
punto (−1, 0).
3. Considere la función

2

si x ≤ 0
 x ,
f (x) =
0,
si 0 ≤ x ≤ 1


1 − x, si x > 1.
a) ¿En qué puntos de la recta real, es f discontinua?
b) ¿En qué puntos de la recta real, es f diferenciable?
c) Dibujar la función f ′ ( x ).
4. Derivar las siguientes funciones:
x2 sin x
.
1−x
q
√
3
b) g( x ) = 1 + x3 .
a) f ( x ) =
1
que pasa por el
1−x
U NIVERSIDAD DE LOS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
MATE 1203-03 Cálculo Diferencial
Parcial 2.
1. Evalúe los limites siguientes:
sin θ
.
θ →0 θ + tan θ
a) lı́m
x1000 − 1
.
x →1 x − 1
b) lı́m
2. Encontrar todos los puntos x en los cuales la recta tangente a la curva y =
es pararlela a la recta 6x − 2y = 1.
2
1 − 3x
3. Considere la función
√

 − x,
f ( x ) = 3 − x,


( x − 3)2 ,
si x < 0
si 0 ≤ x < 3
si x > 3.
a) ¿En qué puntos de la recta real, es f discontinua?
b) ¿En qué puntos de la recta real, es f diferenciable?
c) Dibujar la función f ′ ( x ).
OPCIONAL:
4. Suponga que f es una función tal que | f ( x )| ≤ x2 , ∀ x. Mostrar que f (0) = 0 y
que f ′ (0) = 0.
1. PARCIAL 2
(1) Diga en que puntos la siguiente función es continua y diferenciable,
justifique:

3
 |x| 2 .sin x1
si x 6= 0
f (x) =

0
si x = 0
√
(2) Suponga que un cohete espacial sigue la trayectoria g(x) = 2 x − 1
en un sistema de coordenadas donde la tierra se encuentra en el
origen (punto (0,0)), y la luna esta en el punto (0,1).(Ver Grafico
anexo)
(a) Si el cohete dispara un misil en el punto (5,4) este misil impacta
la luna???
(b) En que punto tiene que disparar el cohete para destruir la
tierra????
(3) Mixto (escoja dos de tres).
(a) Si 8x − 11 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 3 para cualquier x del intervalo
0 < x < 4, calcule limx→2 f (x).
(b) Halle b en terminos de a para que f (x) sea continua y diferenciable en
punto, donde
todo
x2 −a
 x−a si x 6= a
f (x) =

b
si x = a
Calcule f 0 (a).
(c) Halle todas las asintotas de
√
4x6 + x3
f (x) =
x(x2 − 1)
(4) Halle la derivada de las siguientes funciones (escoja dos de tres).
2/3
(a) g(x) = sen( cos(tan(csc2 (x)))
).
1
(b) h(x) = ex .e− x2 .2ln(x) .
2
(c) i(x) =
tan(x2 +x).etan(x
x2 +x
2 +x)
.
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Abril 10 de 2008
Cálculo Diferencial
Parcial 2
1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ex
punto (0, 1).
2y
= x + y en el
2) Calcular la derivada de:
f (x) = arctan(x)
3) Calcular
lı́m (xe1/x − x)
x→∞
4) Un tractor descarga arena en el suelo a razon de 25m3 /min de tal forma
que el monticulo siempre tiene forma de cono circular recto y en cada
instante de tiempo, la altura del cono y el diametro de la base son iguales.
¿Que tan rápido varia la altura del cono cuando esta es de 10m?
5) Sea g(x) =
1
(x+3)(x−1)
a) Encontrar las asintotas.
b) Encontrar los puntos criticos y clasificarlos.
c) Encontrar los intervalos de crecimiento de g.
d) Encontrar los intervalos de concavidad de g.
e) Esbozar la grafica de g.
Bono: Demuestre que la ecuación x5 + 4x3 + 15x + 1 = 0 tiene una única
raı́z real.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Segundo Parcial de Cálculo Diferencial-1203(15)
11 de Abril de 20081
1. Construya la gráfica de la siguiente función:
√
3
y = 6x2 − x3
indicando claramente: dominio, ası́ntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, máximos y mı́nimos, intervalos de concavidad y puntos
de inflexión.
2. En un cı́rculo de radio R = 5cm se inscribe un rectángulo de tal manera
que dos de sus vértices se encuentran en el eje x, y los otros dos vértices
se encuentran en la circunferencia. Si el lado perpendicular al eje x
cambia a razón de 5cm/min, cuando y = 3cm, con qué rapidéz cambia
la diagonal del rectángulo en ese instante?.
3.
a) Calcule
1
lı́m x 1−x
x→1
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = y(x), en
el punto (x, y) = (1, 0), la cual está definida implı́citamente por
x2 y 3 + ey
2 /x
= xcos(xy 2 ) + x + y
c) Si y = x2 senh(cosh(x2 )), halle y ′′
d ) Muestre que la ecuación x3 − 15x + 5 = 0 tiene máximo una raı́z
en el intervalo [-2, 2]
Nota: Los puntos 1 y 2 tienen un valor de 1.5 cada uno, y el
punto 3 un valor de 2.0
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compaẽros o de la misma
Universidad”
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Mate 1203-14 Cálculo diferencial
Parcial 2 — (06/03/2008)1
1. Halle las derivadas de las siguientes funciones
2
esen(3x +1)
a) f (x) =
tan (3x2 +2x )
p
2 csc(x2 + x)
b) g(x) = x(x + sec x) +
x+1
2. Encuentre el valor de la constante k para que la recta y = 4x − 9 sea
tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 − kx
3. Encuentre los valores de a y b para que la función sea diferenciable en
toda parte
 3
x
,
si x < a
f (x) = 3
x2 + b, si x ≥ a
4. Encuentre un polinomio p(x) de grado tres que tiene como tangente
en el punto (1, 1) a la recta y = 14x − 13, y además tiene como recta
tangente y = −2x − 5 en el punto (−1, −3).
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma
Universidad”
Cálculo Diferencial - Parcial 2
Sección 10
Abril 14, 2007
Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas.
1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a) [7 puntos] f (x) =
x2 +x
x3 −2
b) [7 puntos] f (x) =
p
3
sen(ex )
2. [14 puntos] Considere la curva 2xy 3 + tan(y + 1) = x. Halle la ecuación de la
recta tangente a la curva en el punto (0, −1).
3. Encuentre los siguientes lı́mites:
1
a) [7 puntos] lı́mx→0 (cos x) x
1
1
b) [7 puntos] lı́mx→−1
− 2
x+1 x −1
4. [28 puntos] En el siguiente dibujo se muestra un cuadrado en el que el lado
superior se empieza a contraer hacia la derecha.
Si el área del cuadrado es 25 cm2 y la velocidad a la que el lado superior se
contrae es 2 cm/min, calcule la velocidad a la que está cambiando el área de la
figura.
1
5. Considere la función f (x) = −2x3 − 15x2 − 36x.
a) [3 puntos] Encuentre los x-interceptos y y-interceptos.
b) [5 puntos] Encuentre los intervalos en los que la función es creciente y en
los que es decreciente.
c) [5 puntos] Encuentre los intervalos en los que la función es cóncava hacia
arriba y en los que es cóncava hacia abajo.
d ) [3 puntos] Encuentre los puntos de inflexión de la función.
e) [5 puntos] Encuentre los máximos y mı́nimos locales de la función.
f ) [9 puntos] Grafique la función.
No se permite el uso de calculadoras o apuntes.
2
Parcial 2
Cálculo Diferencial
l
14 de Abril
Tiempo: 70 minutos. Justifique claramente todas sus respuestas; respuesta sin justificación sera tomada como nula.
1. (1 punto)Halle las derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = xx .
b) h(ψ) = cos3 (3ψ 2 )sinh(4ψ ).
2. (2 puntos) Grafique, con el analisis pertinente (Dominio, cortes, ası́ntotas,
0
análisis de f (z) y puntos singulares), la siguiente función:
f (x) =
e−x
x(x − 1)
0
3. (1 punto) La siguiente gráfica representa la derivada f (x) de f (x),
grafique f (x).
1
5. Encontrar los siguientes lı́mites:
x2 − x − 2
x2 + x − 6
|x − 8|
b) lı́mx→8−
x−8
√
√
x + 2 − 2x
c) lı́mx→2
x2 − 2x
e5+h − e5
d ) lı́mh→0
h
a) lı́mx→2
2 1
e) Usando el teorema del sánduche, lı́mx→π (x − π)2 ecos x−π + 1 .
Sugerencia: Empiece acotando la función cos2
ción buscada.
2
1
x−π
para “ensanduchar” la fun-
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Cálculo Diferencial
Parcial 2
Tiempo: 90 min.
Responda justificando matemáticamente cada punto.
1. [3−puntos]. Calcular los siguientes lı́mites:
−x3 + 1
a) lı́m √
x→∞ 9x6 − x2
b) lı́m tan−1 (x2 − x6 )
x→∞
c)
lı́m
+
x→( π
2)
etan(x)
2. [3−puntos].
a) Calcular los puntos de la curva y =
igual a −2
x+2
tales que la pendiente de la recta tangente es
x
b) Calcular la recta de la recta tangente en (0, 1) de
f (x) = (x2 + 1)ex .
3. [4,5−puntos]. Derivar las siguientes funciones
x2
1 + ex cos(x)
√
x x + 2x
d ) f (x) =
x2
a) f (x) = sec(x)
b) f (x) =
c) f (x) =
1
x sec(x)
sen(x)
= 1. Utilizar este hecho para calcular los siguientes
x→0
x
4. [3−puntos]. Recuerde que lı́m
lı́mites:
cos(x) − 1
x→0
x
a) lı́m
sen2 (3x)
x→0
x2
b) lı́m
c) lı́m
x→0
tan(6x)
x
5. [3−puntos]. Calcular los puntos para lo cuales las siguientes NO son diferenciables, es decir
la derivada en tal punto NO existe.
|x|
x
b) f (x) = |x − 2|
a) f (x) =