Análisis Sintáctico Descendente

Análisis Sintáctico Descendente
CI4721 – Lenguajes de Programación II
Ernesto Hernández-Novich
<[email protected]>
Universidad “Simón Bolívar”
Copyright ©2012-2016
Hernández-Novich (USB)
Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Motivación
Reconocedor descendente no determinístico
Sea G = (N, Σ, P, S) una CFG cualquiera. Entonces el PDA extendido
Desc(G) = ({q0 , q1 }, Σ, N ∪ Σ, δ, q0 , {q1 })
con δ definida según
δ(q0 , λ, λ) = {(q1 , S)}
(1)
δ(q1 , λ, A) = {A → α ∈ P : (q1 , α)}, ∀A ∈ N
(2)
δ(q1 , a, a) = {(q1 , λ)}, ∀a ∈ Σ
(3)
¿Cuál es la razón del no-determinismo?
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Motivación
Eliminando la ambigüedad
“Husmear” antes de decidir
• El reconocedor pretende encontrar
∗
S ⇒ w
Left
• En cualquier forma sentencial intermedia
∗
S ⇒ uAα
Left
es natural que u sea un prefijo de w .
• Como w = uax podemos “espiar” a y eso ayuda . . .
• . . . a decidir cuál regla A → wi expandir.
• . . . a notar que ninguna regla aplica – ¡Error de sintaxis!
Vamos a generalizar el “espiar”.
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Lookahead
“Espiar” es el nombre técnico para “lookahead”
¿Qué podemos obtener de un no terminal?
Sea G = (N, Σ, P, S) libre de contexto y A ∈ N.
Definimos el lookahead de A como
∗
∗
LA(A) = {x |S ⇒ uAα ⇒ ux ∈ Σ∗ }
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Lookahead
“Espiar” es el nombre técnico para “lookahead”
¿Qué podemos obtener de un no terminal?
Sea G = (N, Σ, P, S) libre de contexto y A ∈ N.
Definimos el lookahead de A como
∗
∗
LA(A) = {x |S ⇒ uAα ⇒ ux ∈ Σ∗ }
LA(A) está constituido por todas las cadenas de terminales derivables a
partir de Aα cuando uAα es una forma sentencial más izquierda.
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Lookahead
“Espiar” es el nombre técnico para “lookahead”
¿Qué podemos obtener de una regla particular?
Sea G = (N, Σ, P, S) libre de contexto y A ∈ N.
Definimos el lookahead de la regla A → α ∈ P como
∗
∗
LA(A → α) = {x |αβ ⇒ x ∈ Σ∗ ∧ S ⇒ uAβ}
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Lookahead
“Espiar” es el nombre técnico para “lookahead”
¿Qué podemos obtener de una regla particular?
Sea G = (N, Σ, P, S) libre de contexto y A ∈ N.
Definimos el lookahead de la regla A → α ∈ P como
∗
∗
LA(A → α) = {x |αβ ⇒ x ∈ Σ∗ ∧ S ⇒ uAβ}
∗
LA(A → α) ⊆ LA(A) en el cual las derivaciones Aβ ⇒ x comienzan
expandiendo la regla A → α.
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2016
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Lookahead
El conjunto y sus partes
Sean A → α1 , . . . A → αn las reglas para A, si se cumple
1
LA(A) =
n
S
LA(A → αi )
i=1
2
LA(A → αi ) ∩ LA(A → αj ) = ∅ cuando 1 ≤ i < j ≤ n
decimos que los LA(A → αi ) particionan LA(A)
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Lookahead
El conjunto y sus partes
Sean A → α1 , . . . A → αn las reglas para A, si se cumple
1
LA(A) =
n
S
LA(A → αi )
i=1
2
LA(A → αi ) ∩ LA(A → αj ) = ∅ cuando 1 ≤ i < j ≤ n
decimos que los LA(A → αi ) particionan LA(A)
• La primera condición siempre se cumple para una gramática libre de
contexto directamente por la definición de LA(A).
∗
• Si la segunda condición se cumple, y tenemos S ⇒ uAβ tratando de
derivar w = ux , entonces:
• x es elemento de exactamente uno de los LA(A → α) – tenemos la
regla a expandir.
• x no pertenece a ninguno de los LA(A → α) – es imposible derivar w .
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Lookahead
Un ejemplo trivial . . .
¿Cómo expandir el no terminal S?
Para el no-terminal S tenemos
S → Aabd
S → cAbcd
A→a
A→b
A→λ
Hernández-Novich (USB)
LA(S) = {aabd, babd, abd, cabcd, cbbcd, cbcd}
partido por los conjuntos
LA(S → Aabd) = {aabd, babd, abd}
LA(S → cAbcd) = {cabcd, cbbcd, cbcd}
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Lookahead
Un ejemplo trivial . . .
¿Cómo expandir el no terminal S?
Para el no-terminal S tenemos
S → Aabd
S → cAbcd
A→a
A→b
A→λ
LA(S) = {aabd, babd, abd, cabcd, cbbcd, cbcd}
partido por los conjuntos
LA(S → Aabd) = {aabd, babd, abd}
LA(S → cAbcd) = {cabcd, cbbcd, cbcd}
Basta lookahead de un símbolo para determinar
cuál regla S expandir en cada caso.
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Lookahead
Un ejemplo trivial . . .
¿Cómo expandir el no terminal A?
Para el no-terminal A tenemos
S → Aabd
LA(A) = {aabd, abcd, babd, bbcd, abd, bcd}
S → cAbcd
partido por los conjuntos
A→a
A→b
A→λ
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LA(A → a) = {aabd, abcd}
LA(A → b) = {babd, bbcd}
LA(A → λ) = {abd, bcd}
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Lookahead
Un ejemplo trivial . . .
¿Cómo expandir el no terminal A?
Para el no-terminal A tenemos
S → Aabd
LA(A) = {aabd, abcd, babd, bbcd, abd, bcd}
S → cAbcd
partido por los conjuntos
A→a
A→b
A→λ
LA(A → a) = {aabd, abcd}
LA(A → b) = {babd, bbcd}
LA(A → λ) = {abd, bcd}
Hace falta lookahead de tres símbolos para determinar
cuál regla A expandir en cada caso.
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Lookahead
Si la gramática no es trivial . . .
• Tanto LA(A) como LA(A → α) pueden contener cadenas de longitud
arbitraria . . .
• . . . y una cantidad arbitraria de cadenas.
• El lookahead termina siendo un prefijo más corto que permita
distinguir el LA(A → α) de interés.
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Lookahead
Prefijos de longitud k
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N definiremos la función
trunck :: Σ∗ → Σ∗
llamada prefijo de longitud k como
(
trunck (w ) =
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w
u
if |w | ≤ k
if w = uv ∧ |u| = k
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2016
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Lookahead
Prefijos de longitud k
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N definiremos la función
trunck :: Σ∗ → Σ∗
llamada prefijo de longitud k como
(
trunck (w ) =
w
u
if |w | ≤ k
if w = uv ∧ |u| = k
que podemos extender a conjuntos
trunck :: P(Σ∗ ) → P(Σ∗ )
como
trunck (X ) = {trunck (w )|w ∈ X }
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10 / 27
Lookahead
Lookahead de longitud k
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N definiremos
• Lookahead de A de longitud k
LAk (A) = trunck (LA(A))
• Lookahead de la regla A → α de longitud k
LAk (A → α) = trunck (LA(A → α))
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11 / 27
Lookahead
Lookahead de longitud k
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N definiremos
• Lookahead de A de longitud k
LAk (A) = trunck (LA(A))
• Lookahead de la regla A → α de longitud k
LAk (A → α) = trunck (LA(A → α))
Aún necesitamos un método más eficiente
para calcular los LAk
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11 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
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12 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
Lemma
1
FIRSTk (λ) = {λ}
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12 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
Lemma
1
FIRSTk (λ) = {λ}
2
FIRSTk (a) = {a}
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12 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
Lemma
1
FIRSTk (λ) = {λ}
2
FIRSTk (a) = {a}
3
FIRSTk (aα) = {aw |w ∈ FIRSTk−1 (α)}
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12 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
Lemma
1
FIRSTk (λ) = {λ}
2
FIRSTk (a) = {a}
3
FIRSTk (aα) = {aw |w ∈ FIRSTk−1 (α)}
4
FIRSTk (αβ) = trunck (FIRSTk (α)FIRSTk (β))
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12 / 27
FIRST y FOLLOW
FIRST – Prefijos derivables de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀α ∈ (N ∪ Σ)∗ definiremos
∗
FIRSTk (α) = trunck ({w |α ⇒ w })
Lemma
1
FIRSTk (λ) = {λ}
2
FIRSTk (a) = {a}
3
FIRSTk (aα) = {aw |w ∈ FIRSTk−1 (α)}
4
FIRSTk (αβ) = trunck (FIRSTk (α)FIRSTk (β))
5
Si A → α ∈ P entonces FIRSTk (α) ⊆ FIRSTk (A)
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2016
12 / 27
FIRST y FOLLOW
Calculando FIRSTk
FIRST1 (S) = {a, b, c}
S → Aabd
S → cAbcd
A→a
A→b
A→λ
FIRST1 (A) = {a, b, λ}
FIRST2 (S) = {aa, ba, ab, ca, cb}
FIRST2 (A) = {a, b, λ}
FIRST3 (S) = {aab, bab, abd, cab, cbb, cbc}
FIRST3 (A) = {a, b, λ}
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2016
13 / 27
FIRST y FOLLOW
FOLLOW – Prefijos que continúan derivaciones de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀A ∈ N definiremos
∗
FOLLOWk (A) = {x |S ⇒ uAα ∧ x ∈ FIRSTk (α)}
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2016
14 / 27
FIRST y FOLLOW
FOLLOW – Prefijos que continúan derivaciones de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀A ∈ N definiremos
∗
FOLLOWk (A) = {x |S ⇒ uAα ∧ x ∈ FIRSTk (α)}
Lemma
1
λ ∈ FOLLOWk (S)
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2016
14 / 27
FIRST y FOLLOW
FOLLOW – Prefijos que continúan derivaciones de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀A ∈ N definiremos
∗
FOLLOWk (A) = {x |S ⇒ uAα ∧ x ∈ FIRSTk (α)}
Lemma
1
λ ∈ FOLLOWk (S)
2
Si A → αB ∈ P entonces FOLLOWk (A) ⊆ FOLLOWk (B)
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2016
14 / 27
FIRST y FOLLOW
FOLLOW – Prefijos que continúan derivaciones de A
Sea G = (N, Σ, P, S) y k > 0 ∈ N. Entonces, ∀A ∈ N definiremos
∗
FOLLOWk (A) = {x |S ⇒ uAα ∧ x ∈ FIRSTk (α)}
Lemma
1
λ ∈ FOLLOWk (S)
2
Si A → αB ∈ P entonces FOLLOWk (A) ⊆ FOLLOWk (B)
3
Si A → αBβ ∈ P entonces
trunck (FIRSTk (β)FOLLOWk (A)) ⊆ FOLLOWk (B)
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Análisis Sintáctico Descendente
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14 / 27
FIRST y FOLLOW
Calculando FOLLOWk
FOLLOW1 (S) = {λ}
S → Aabd
S → cAbcd
A→a
A→b
A→λ
FOLLOW1 (A) = {a, b}
FOLLOW2 (S) = {λ}
FOLLOW2 (A) = {ab, bc}
FOLLOW3 (S) = {λ}
FOLLOW3 (A) = {abd, bcd}
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
15 / 27
FIRST y FOLLOW
Podemos calcular los lookaheads
Theorem
Sea G = (N, Σ, P, S).
Para todo k > 0 ∈ N, A ∈ N y A → α ∈ P podemos calcular
1
LAk (A) = trunck (FIRSTk (A)FOLLOWk (A))
2
LAk (A → α) = trunck (FIRSTk (α)FOLLOWk (A))
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2016
16 / 27
FIRST y FOLLOW
Podemos calcular los lookaheads
Theorem
Sea G = (N, Σ, P, S).
Para todo k > 0 ∈ N, A ∈ N y A → α ∈ P podemos calcular
1
LAk (A) = trunck (FIRSTk (A)FOLLOWk (A))
2
LAk (A → α) = trunck (FIRSTk (α)FOLLOWk (A))
Como α = r1 r2 . . . rn siendo ri ∈ (N ∪ Σ), entonces
LAk (A → α) = trunck (FIRSTk (α)FOLLOWk (A))
= trunck (FIRSTk (r1 ) . . . FIRSTk (rn )FOLLOWk (A))
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
16 / 27
FIRST y FOLLOW
Calculando LAk usando FIRSTk y FOLLOWk
S → Aabd
S → cAbcd
A→a
A→b
A→λ
LA3 (S → Aabd) = trunc3 (FIRST3 (A)FIRST3 (a)FIRST3 (b)FIRST3 (d)FOLLOW3 (S))
= trunc3 ({a, b, λ}{a}{b}{d}{λ})
= trunc3 ({aabd, babd, abd})
= {aab, bab, abd}
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
17 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Gramática Fuertemente LL(k)
Sea G = (N, Σ, P, S) con marcador de final (endmarker) $k .
Diremos que G es fuertemente LL(k) si siempre que existan dos
derivaciones más izquierdas
∗
∗
∗
∗
S ⇒ u1 Aα1 ⇒ u1 βα1 ⇒ u1 zv1
S ⇒ u2 Aα2 ⇒ u2 γα2 ⇒ u2 zv2
con ui , vi , z ∈ Σ∗ y |z| = k, entonces β = γ.
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Análisis Sintáctico Descendente
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18 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Gramática Fuertemente LL(k)
Sea G = (N, Σ, P, S) con marcador de final (endmarker) $k .
Diremos que G es fuertemente LL(k) si siempre que existan dos
derivaciones más izquierdas
∗
∗
∗
∗
S ⇒ u1 Aα1 ⇒ u1 βα1 ⇒ u1 zv1
S ⇒ u2 Aα2 ⇒ u2 γα2 ⇒ u2 zv2
con ui , vi , z ∈ Σ∗ y |z| = k, entonces β = γ.
• El marcador $k se agrega a todas las entradas para garantizar que
siempre habrá k símbolos en el lookahead.
• Si S no es recursivo, se agrega $k al final de cada regla de S.
• Si S es recursivo, se agrega la regla S 0 → S$k
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Análisis Sintáctico Descendente
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18 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
19 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇐).
1
Supongamos que LAk (A → αi ) particionan LAk (A).
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Análisis Sintáctico Descendente
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19 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇐).
1
Supongamos que LAk (A → αi ) particionan LAk (A).
2
Sea z ∈ Σ∗ con |z| = k que aparece en dos derivaciones
∗
∗
∗
∗
S ⇒ u1 Aα1 ⇒ u1 βα1 ⇒ u1 zv1
S ⇒ u2 Aα2 ⇒ u2 γα2 ⇒ u2 zv2
Así, z ∈ LAk (A → β) y z ∈ LAk (A → γ)
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
19 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇐).
1
Supongamos que LAk (A → αi ) particionan LAk (A).
2
Sea z ∈ Σ∗ con |z| = k que aparece en dos derivaciones
∗
∗
∗
∗
S ⇒ u1 Aα1 ⇒ u1 βα1 ⇒ u1 zv1
S ⇒ u2 Aα2 ⇒ u2 γα2 ⇒ u2 zv2
Así, z ∈ LAk (A → β) y z ∈ LAk (A → γ)
3
Como LAk (A → αi ) particionan LAk (A), entonces β = γ
Por tanto, G es fuertemente LL(k).
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2016
19 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
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2016
20 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇒).
1
Supongamos que G es fuertemente LL(k) y sea z ∈ LAk (A).
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20 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇒).
1
Supongamos que G es fuertemente LL(k) y sea z ∈ LAk (A).
2
Entonces solamente existe una regla A que puede usarse a partir de
formas sentenciales uAα para derivar cadenas uzw ∈ Σ∗
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2016
20 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇒).
1
Supongamos que G es fuertemente LL(k) y sea z ∈ LAk (A).
2
Entonces solamente existe una regla A que puede usarse a partir de
formas sentenciales uAα para derivar cadenas uzw ∈ Σ∗
3
Necesariamente z estará en exactamente un LAk (A → αi ).
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
20 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Relación con los lookaheads
Theorem
G es fuertemente LL(k) ⇔ ∀A ∈ N, LAk (A → αi ) particionan LAk (A)
Demostración (⇒).
1
Supongamos que G es fuertemente LL(k) y sea z ∈ LAk (A).
2
Entonces solamente existe una regla A que puede usarse a partir de
formas sentenciales uAα para derivar cadenas uzw ∈ Σ∗
3
Necesariamente z estará en exactamente un LAk (A → αi ).
4
En consecuencia los LAk (A → αi ) particionan LAk (A).
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
20 / 27
Gramáticas fuertemente LL(k)
Ambigüedad gramatical
Theorem
Si G es fuertemente LL(k) para algún k entonces G no es ambigua.
• El reconocedor para la gramática es determinístico –
Hay exactamente una regla aplicable para cada paso de derivación.
• La demostración queda como ejercicio.
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2016
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Algoritmos
Algoritmo de cálculo de FIRSTk
Inicialización
input: G = (N, Σ, P, S) CFG
{ Aplicación del Lema 2 de FIRST }
for each a ∈ Σ do
F 0 (a) ← {a}
end for
{ El FIRST de un no terminal comienza vacío o con λ si hay una
λ-producción – Aplicación del Lema 1 de FIRST }
for each A (
∈ N do
{λ} if A → λ ∈ P
F (A) ←
∅
otherwhise
end for
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Algoritmos
Algoritmo de cálculo de FIRSTk
Cómputo
repeat
{Conservar conjuntos de la iteración anterior}
for each A ∈ N do
F 0 (A) ← F (A)
end for
{Actualizar FIRST para todo A aplicando el Lema 4 para FIRST }
for each A → u1 u2 . . . un with n > 0 do
F (A) ← F (A) ∪ trunck (F 0 (u1 )F 0 (u2 ) . . . F 0 (uk ))
end for
{Detenerse cuando deje de haber actualizaciones}
until F (A) = F 0 (A) for all A ∈ N
output: FIRSTk (A) = F (A)
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2016
23 / 27
Algoritmos
Algoritmo de cálculo de FOLLOWk
Inicialización
inputs: G = (N, Σ, P, S) y FIRSTk (A) for all A ∈ N
{ Aplicación del Lema 1 para FOLLOW }
FL(S) ← {λ}
{ El FOLLOW del resto de los no terminales comienza vacío }
for each A ∈ N − {S} do
FL(A) ← ∅
end for
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
24 / 27
Algoritmos
Algoritmo de cálculo de FOLLOWk
Cómputo
repeat
{Conservar conjuntos de la iteración anterior}
for each A ∈ N do
FL0 (A) ← FL(A)
end for
for each A → w = u1 u2 . . . un do
{ Aplicación del Lema 2 para FOLLOW }
L ← FL0 (A)
if un ∈ N then
FL(un ) ← FL(un ) ∪ L
end if
{ Aplicación del Lema 3 para FOLLOW }
for i = n − 1 to 1 do
L ← trunck (FIRSTk (ui+1 )L)
if ui ∈ N then
FL(ui ) ← FL(ui ) ∪ L
end if
end for
end for
until FL(A) = FL0 (A) for all A ∈ N
output: FOLLOWk (A) = FL(A)
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Consideraciones
Consideraciones
• Una gramática ambigüa no puede ser fuertemente LL(k).
• Demuestre que una gramática que contiene producciones de la forma
A → aα
A → aβ
con α 6= β, no puede ser fuertemente LL(1).
¿Puede encontrar alguna condición para generalizar a LL(k)?
• Demuestre que una gramática que incluye algún no terminal A
recursivo por izquierda no puede ser fuertemente LL(k) para ningún
k > 0.
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Análisis Sintáctico Descendente
2016
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Referencias Bibliográficas
Bibliografía
• [Sudkamp]
• Secciones 19.1 a 19.6
• Ejercicios 19.2 a 19.6
• Practique las técnicas de transformación de gramáticas que permiten
factorizar producciones por izquierda y eliminar la recursión izquierda
generalizada.
Hernández-Novich (USB)
Análisis Sintáctico Descendente
2016
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