JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ 1 RESUMEN El

UNIVERSIDAD DE CUENCA
RESUMEN
El presente trabajo de graduación es una propuesta didáctica para el abordaje
teórico y práctico de la Física en el primer año del Bachillerato común, con una
metodología constructivista basada en el aprendizaje por destrezas y criterios
de desempeño. Los contenidos están estructurados de acuerdo a la propuesta
de malla curricular para el nuevo bachillerato unificado, que se centra en el conocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, elevando a nivel de
categorías científicas los fenómenos más relevantes.
La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve descripción de la teoría de métodos, relacionando aquellos usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie de propuestas y recomendaciones
metodológicas para el estudio guiado de cada unidad y subunidad estructural.
En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de
estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) y MOVIMIENTO DE
LOS CUERPOS (CINEMÁTICA). Cada una de ellas contiene subunidades con
los temas más relevantes para un estudio ordenado y sistematizado por parte
del usuario. En cada tema de estudio se expone una breve reseña teórica
acompañado de una serie de demostraciones, ejercicios guía, preguntas y
ejercicios de comprensión y de razonamiento, además de una plantilla donde el
estudiante deberá registrar un informe investigativo de una situación problémica real de aplicación práctica, la cual puede ser planteada luego del abordaje
de cada tema, como parte de su formación científica.
PALABRAS CLAVE
Metodología
Estática
Magnitud
Unidades
Vectores
Fuerza
Torque
Equilibrio
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
Í N D I C E
Certificado……………..…………………………………………………………...
Dedicatoria……………..…………………………………………………………..
Agradecimiento…………………………………………………………………….
1. Introducción…….……………………………….…………………………......
2. Objetivos generales…………………………………………….…………......
3. Esquema resumen de contenidos: Estructura de la Guía...…...…………..
4. CAPÍTULO I
Metodologías a seguirse para la correcta utilización de la Guía.......................
4.1 Teoría de métodos…………………………………………………….............
4.2 Lista de métodos recomendados…..…..…………………………...............
4.3 Recomendaciones y sugerencias metodológicas….............……...............
5 CAPÍTULO II
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Equilibrio de los cuerpos. Estática………………………………........................
5.1 Primera subunidad
Magnitudes físicas....…………………………………………….........................
5.1.1 Medidas instrumentos y errores…….….……….....................................
5.1.2 Sistema internacional de Unidades..........…………………….................
5.1.2.1 Reseña histórica...............................................…..................................
5.1.2.2 Magnitudes fundamentales……………………………………………....
5.1.2.3 Magnitudes derivadas……………………….…………………………….
5.1.2.4 Prefijos SI…………………………………………………………………...
5.1.2.5 Normas para el manejo del SI…………………………………………….
5.1.2.6 Reducciones y conversiones SI…………………………………………..
5.2 Segunda subunidad
Elementos de Algebra Vectorial ….…..…………………………........................
5.2.1 Expresión trigonométrica de vectores….............………………………...
5.2.2 Suma trigonométrica de vectores en el plano……………………………
5.2.3 Resta trigonométrica de dos vectores en el plano...…………………….
5.2.4 Vectores unitarios…….….………............................................................
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5.2.5 Expresión analítica de vectores..........…………………….......................
5.2.6 Suma y resta analítica de vectores...............................................….......
5.2.7 Producto de un escalar por un vector………………………………….....
5.2.8 Producto escalar de vectores……………………….……........................
5.2.9 Producto vectorial de vectores……………………………………...........
5.3 Tercera Subunidad:
Estática Traslacional………………………………………………….……...........
5.3.1 Fuerzas……………………………………………………………………...
5.3.2 Composición de fuerzas aplicadas sobre una partícula…..…..…………..
5.3.3 Equilibrio traslacional de una partícula….............………………..…..........
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5.4 Cuarta Subunidad:
Estática Rotacional……………………………….....................…………..............
5.4.1 Torque de una fuerza.……………………………………………................
5.4.2 Torque de un sistema de fuerzas…….….………......................................
5.4.3 El sólido rígido.……………………………………………............................
5.4.4 Centros de masa...............................................….....................................
5.4.5 Equilibrio del sólido rígido…………………………………………….……...
5.5 Quinta Subunidad
Los fluidos en reposo. Hidrostática….............………………………..…...............
5.5.1 Introducción……………………….………………………………………......
5.5.2 Ecuación fundamental de la hidrostática……………………………………
5.5.3 Principio de Pascal ………………………………………………….……......
5.5.4 Principio de Arquímedes………………………………………………………
5.5.5 Flotación…..…..…………………………......................................................
5.5.6 Tensión superficial….............……………………….....................................
5.5.7 Capilaridad……………………………….....................…………..................
5.6 Sexta Subunidad
Las máquinas simples...……………………………………………..........................
5.6.1 Palancas…….….………...............................................................................
5.6.2 Poleas..........……………………....................................................................
5.6.3 Plano inclinado.............................................................................................
6 CAPÍTULO III
El movimiento de los cuerpos: Cinemática.............................................................
6.1 Primera Subunidad. Los sistemas de referencia……………………………….
6.1.1 Sistema cartesiano tridimensional……………………….……………………
6.1.2 Sistema cartesiano bidimensional…………………………………………….
6.1.3 Sistema cartesiano unidimensional....……………………………………......
6.2 Segunda subunidad
El movimiento rectilíneo….…..…………………………..........................................
6.2.1 Conceptos fundamentales de Cinemática Lineal......……………………….
6.2.2 Movimiento rectilíneo uniforme. ….............………………………................
6.2.3 Movimiento rectilíneo uniformemente variado. ….............…………………
6.2.4 Caída libre. ….............………………………..….............……………………
6.3 Tercera subunidad:
Los movimientos en el plano. ….............………………………..….............…........
6.3.1 Movimiento de un proyectil. ….............………………………..….................
6.3.2 Conceptos fundamentales de Cinemática Angular.......................................
6.3.3 Movimiento circular uniforme. .............………………………..….................
6.3.4 Movimiento circular uniformemente variado. .............………………...........
6.3.5 Relaciones entre movimientos rectilíneo y circular. .............………............
6.3.6 Movimiento relativo. .............………………………..….................................
6.4 Cuarta subunidad:
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HIDRODINÁMICA….............………………………..….............…………………....
6.4.1 Movimiento de un fluido. Continuidad. ….............………………………..….
6.4.2 Teorema de Bernoulli. ….............………………………..….............…..........
6.4.3 Aplicaciones del teorema de Bernoulli. ….............………………………..…
6.4.4 Viscosidad y rozamiento viscoso.….............………………………..….........
CONCLUSIONES….............………………………..….............……………………
RECOMENDACIONES. ….............………………………..….............…………....
BIBLIOGRAFÍA. ….............………………………..….............……………………..
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
“GUÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DE LA FÍSICA EN EL PRIMER
AÑO DE BACHILLERATO COMÚN”
Tesina previa a la obtención del título de
Licenciado en Ciencias de la Educación en
la especialidad de Matemáticas y Física
DIRECTOR:
Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA
AUTOR:
JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
CUENCA-ECUADOR
2011
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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CERTIFICADO
Yo, Jorge Patricio Mogrovejo Hernández,
certifico que todo el contenido
del presente trabajo es
de exclusiva responsabilidad del autor.
…………………………………..
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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DEDICATORIA
A Dios, fuente inagotable de toda sabiduría y proveedor de vida.
A mi familia, sostén y apoyo moral durante mi carrera, brazo leal y cálido
que lleva el peso de los problemas y la satisfacción por los logros alcanzados.
A mis maestros de la carrera, por su incansable afán de enseñanza, por
su paciencia y sus consejos.
Gracias a la preocupación y amor de todos ellos,
hoy este proyecto es una realidad.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
AGRADECIMIENTO
Al Todopoderoso encomiendo mi más grande gratitud por permitirme estar en este mundo y hacer realidad este anhelo
A mis familiares que me apoyaron económica y psicológicamente con un
espíritu de prosperidad y deseo de triunfos.
Como olvidar a mis queridos maestros que moldearon mi personalidad
con la enseñanza de conocimientos y valores, que servirán de base fundamental para orientar a la juventud por el sendero del aprendizaje acorde
a las exigencias de la Educación del tercer milenio.
Finalmente quiero expresar un sentimiento de cordialidad y estima a mis
queridos compañeros y nuevos colegas, ya que de ustedes aprendí muchas cosas útiles para mi vida profesional futura.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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INTRODUCCIÓN
Esta guía didáctica ha sido, mentalizada, proyectada y elaborada para ser utilizada como material de apoyo en el aprendizaje o auto aprendizaje de la Física
en el primer año del nuevo bachillerato ecuatoriano, en los centros de enseñanza media del país.
El presente trabajo pretende ajustarse a las innovaciones de carácter pedagógico que se están impulsando últimamente en al país, de ahí que los métodos
utilizados están enfocados al desarrollo de destrezas, más que a los contenidos cognitivos, dando importancia al aprendizaje por criterios de desempeño.
Por ello, los contenidos están estructurados de acuerdo a la nueva malla curricular para el bachillerato unificado, la que se centra en el conocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, de tal manera que los fenómenos
más relevantes sean elevados al nivel de categorías científicas, las cuales deberán ser aprendidas conservando su unidad científica.
La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve
descripción de la teoría general de métodos, haciendo una especie de comparación con los usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie
de metodologías alternativas que serán empleadas en cada unidad didáctica,
culminando con recomendaciones y sugerencias metodológicas que los destinatarios de la obra podrán seguir para su correcta utilización.
En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de
estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) Y MOVIMIENTO DE
LOS CUERPOS (DINÁMICA). Cada una de ellas comprende las subunidades
correspondientes más relevantes para un estudio progresivo, ordenado y sistematizado por parte del alumno.
Las subunidades se encuentran divididas a su vez en secciones o temas de estudio. Cada tema empezará con el desarrollo de una base teórica mínima la
cual servirá de sustento para el planteo y resolución de situaciones problémicas o retos que el maestro pueda proponer y de esta manera alcanzar los objetivos indicados al principio del tema.
En todos los temas se incluyen ejemplos ilustrativos, y un grupo de ejercicios
propuestos que revisten una cierta dificultad, justamente para ayudar al estudiante en el razonamiento.
El repaso constituye un estudio dirigido, donde los estudiantes deben procurar
responder a las preguntas luego de estudiar el capítulo.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
La guía requerirá de la orientación del maestro, el cual pondrá en juego su
creatividad y experiencia docente para plantear según el caso, la situación
problémica y relacionarla con el tema, con unidades anteriores y otras ramas
de la Física, así como con otras ciencias.
Dado que la carga horaria de la asignatura es limitada (4 horas semanales), es
conveniente que el alumno profundice por su cuenta los contenidos conceptuales expuestos en cada subunidad, para lo cual se ha diseñado una serie
de actividades de refuerzo y de retroalimentación, las cuales van como actividades de fin de tema.
Esta Guía Didáctica pretende ser un instrumento de ayuda pedagógica que
centre el interés de los estudiantes en los temas básicos del curso, orientándoles en el estudio sobre los aspectos fundamentales que garantizarán el éxito.
Se recomienda, pues, que la primera labor del estudiante sea leer con detenimiento esta Guía.
Esperemos que esta obra contribuya a mejorar en algo los deficientes métodos
de enseñanza de la Física e incentivar en los alumnos la capacidad de investigación, tan venida a menos en nuestros días.
OBJETIVOS GENERALES
1.
Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas de la
vida cotidiana, relacionando los contenidos de la Física con los de otras disciplinas científicas, como forma de entender y poder abordar los temas planteados.
2.
Comprender los principales conceptos de la Física, su organización en
leyes, teorías y modelos matemáticos, usados para abordar la solución de determinadas interrogantes y problemas.
3.
Desarrollar en los estudiantes la capacidad de investigación crítica.
4.
Proporcionar al estudiante nuevas alternativas metodológicas que lo induzca adaptar nuevos hábitos de aprendizaje.
5.
Potenciar en el alumno sus habilidades innatas y específicas, para que
él mismo se convierta en el objeto de su propio aprendizaje.
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6.
Generar interés en los alumnos el manejo correcto de los principios físicos y sus expresiones matemáticas.
7.
Adquirir autonomía suficiente para utilizar en distintos contextos, con
sentido crítico y creativo, los aprendizajes adquiridos.
8.
Apreciar la importancia de la participación activa y la interacción en los
equipos de trabajo.
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ESQUEMA RESUMEN DE CONTENIDOS
FÍSICA I
EQUILIBRIO DE
LOS CUERPOS
MAGNITUDES FÍSICAS
ELEMENTOS DE ALGEBRA VECTORIAL
ESTÁTICA
EQUILIBRIO TRASLACIONAL
EQUILIBRIO ROTACIONAL HIDROSTÁTICA MÁQUINAS SIMPLES MOVIMIENTO DE
LOS CUERPOS
SISTEMAS DE REFERENCIA MOVIMIENTO RECTILÍNEO CINEMÁTICA
MOVIMIENTOS EN EL PLANO HIDRODINÁMICA
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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METODOLOGÍAS A UTILIZARSE PARA LA CORRECTA UTILIZACIÓN DE
LA GUÍA
1.1. Teoría de métodos.
1.2. Lista de métodos recomendados.
1.3. Sugerencias
gicas.
1.1.
y recomendaciones metodoló-
Teoría de métodos
En los tratados didácticos, se distingue con frecuencia, distintos tipos de métodos o enfoques de enseñanza, según los diferentes patrones de comunicación
que se manifiesten dentro del trabajo en el aula. Para Belt (1971), los modelos
educacionales son lo que nosotros conocemos como estilos o métodos de enseñanza, es decir esquemas mediadores entre la teoría escrita en libros, folletos o guías y la práctica de aprehender y comprender tal teoría.
Dado que el método es un camino recorrido para llegar a un fin, su aplicación
persigue una finalidad determinada. En el contexto educativo, la finalidad es la
formación a más de intelectual, integral del educando.
Por lo tanto es de vital importancia la fijación de propósitos antes de formular
un determinado método, de forma que exista una conexión lógica entre las finalidades que se persigue con la aplicación del método formulado y la práctica
educativa. En otras palabras, “la acción didáctica o metodología debe ser coherente con los propósitos planteados, es decir debe responder a intenciones
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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educativas explícitas”. (Piaget, 1998).
La acción didáctica debe ajustarse al contexto real o entorno del alumno, a sus
capacidades, intereses, necesidades y aptitudes, partiendo de un enfoque individualista que promueva el desarrollo cognitivo en base al aprendizaje significativo del alumno.
El método se manifiesta en la dinámica del proceso de educacióncomunicación, ya que la razón de ser de la educación es la comunicación. Por
esto, es de vital importancia la comunicación biunívoca entre profesores y
alumnos, para “discernir las estrategias que adoptan profesores y alumnos en
el proceso de interacción educativa” (Sara Delamont, 1985).
Las estrategias que regulan el proceso educativo son múltiples y complementarias, debido a la diversidad de aspectos o variables que se presentan dentro del
trabajo en el aula tales como: la edad de los educandos, la homogeneidad o
heterogeneidad del grupo- clase, el grado de formación básica, el bagaje de
conocimientos anteriores, el grado de motivación y sobre todo, la experiencia y
la capacitación del maestro y los recursos didácticos disponibles.
La existencia de variadas formas de enfocar el proceso de enseñanzaaprendizaje obliga al maestro a no centrarse en un único método, el escogitamiento de estrategias metodológicas debe ir de la mano con la finalidad a seguir, con quien y en qué circunstancias.
En todo caso es aconsejable un enfoque metodológico integrador, que propicie
la utilización de unos métodos u otros en función de las necesidades de los diferentes momentos de la etapa o nivel, de las distintas tareas o situaciones, de
la diversidad del alumnado, etc.
Al respecto se va a desarrollar algunos métodos y técnicas que se van a utilizar
en el desarrollo de la guía de manera que el maestro pueda llevarlos a la
práctica para el desarrollo del proceso didáctico dentro o fuera del aula.
1.2.
Lista de métodos recomendados.
1.2.1. MÉTODO DEL APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO.
Dichas propuestas se centran en un trabajo experimental y autónomo de los
alumnos, dando preferencia a los "procesos de la ciencia" sobre los contenidos.
Este método propone la combinación de la explicación teórica con la labor experimental, con el fin de que los alumnos a partir de la abstracción vayan encontrando por sí mismos nuevas formas de relacionar la teoría con la práctica
en el laboratorio.
1.2.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Gran parte de los ejercicios y problemas de la guía pueden llevarse a discusión y resolución por este método, el cual debe partir de la traducción del problema a la vida real, de tal manera que se use la imaginación para trasladar la
situación concreta al campo matemático y luego volver a la idea inicial expreAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
sada por los resultados.
1.2.3. MÉTODO DE PROYECTOS.
Método activo en el que se utiliza material del medio para la búsqueda de información y auto elaboración de los conocimientos, bajo la guía del maestro.
Va acompañado de un problema a resolver o una aplicación técnica o tecnológica de un determinado tema.
Se debe organizar un trabajo por equipos con un cronograma establecido y
rígido, de tal manera que los objetivos se cumplan en un tiempo determinado
por el maestro.
1.2.4. MÉTODO EXPERIMENTAL.
Tiene como finalidad reproducir un fenómeno natural en forma artificial para
que los alumnos en base a sus propias experiencias puedan formular hipótesis
que permitan a través del proceso didáctico, hacer comparaciones con otros
fenómenos, las cuales dan lugar a generalizaciones científicas, las cuales permiten una relación entre conceptos, entre ramas de la Física y una relación de
la Física con otras ramas.
Como la metodología del nuevo bachillerato es el estudio de los contenidos en
bloques temáticos, desde el punto de vista fenomenológico, este método tiene
una gran riqueza didáctica l, sobre todo si se quiere aplicar criterios de desempeño, tal como señala la Reforma Curricular.
Este método tiene varios pasos, los cuales se detallan a continuación.
9
Observación libre: donde el estudiante a través de montajes experimentales obtiene impresiones visuales del fenómeno objeto de estudio, se puede
complementar con descripciones y análisis de las observaciones o aspectos
comunes.
9
Generación de hipótesis o preguntas problema: que van acompañadas
de su posible solución. El maestro tiene la función de guiar al alumno a la reflexión del problema a fin de formular la situación problémica.
9
Comparación: la cual establece una relación entre la situación problémica y el resultado experimental, se puede extender el análisis a situaciones similares.
9
Generalización: que son las conclusiones a las que se llega luego de la
labor experimental. Aquí se puede relacionar teorías, campos y ciencia.
1.3. Sugerencias y recomendaciones metodológicas para el manejo de
la guía.
Las sugerencias dadas a continuación no pretenden cambiar la enseñanza de
la Física, pero sí ofrecer unas metodologías alternativas a lo que llamaríamos
el sistema tradicional.
Para la enseñanza-aprendizaje de la Física teórica no hay demasiadas alternativas, puesto las leyes físicas son irreemplazables, es decir, si comparamos disAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
tintos libros de texto veremos que en todos se exponen dichas leyes, en algunos habrá más ilustraciones, mejor o peor presentación, etc.
En cuanto a la realización de ejercicios habitualmente al final de cada capítulo
hay una lista relacionada con el tema.
Se puede elegir esta metodología alternativa basada en una especie de algoritmo con algunas etapas, las cuales enumero a continuación:
1)
Análisis del enunciado para ver que información ha sido proporcionada y
que es lo que el problema pide que calcule.
2)
Estudio de las interacciones que van a tener lugar entre partículas, sistemas de partículas o cuerpos, utilizando para ello gráficas y/o diagramas de
cuerpo libre.
3)
Elección de un sistema de coordenadas de acuerdo a las necesidades
del ejercicio.
4)
Representación gráfica de todas las relaciones que están explicitadas en
el enunciado del problema, las cuales deberán contener los datos y las incógnitas.
5)
Expresión matemática de la ecuación o del sistema de ecuaciones matemáticas y/o trigonométricas de cada componente.
6)
Resolución de las expresiones, interpretación física y comprobación.
A la vista de todo lo expuesto me gustaría resaltar que existe una concepción
de la física por parte del estudiante que asocia cada ejercicio con una ecuación
o expresión matemática resultante de la ley o teoría física demostrada en la teoría, y que habría que intentar eliminar. Por ese motivo se intenta con esta metodología sustituir el tópico de que la física son un conjunto de expresiones físico-matemáticas, por el hecho de que la física es un conjunto de conceptos y
que los ejercicios hay que realizarlos con una metodología.
Otra propuesta sugerida en esta guía se basa en la comprensión y profundización que el estudiante realice al estudiar cada tema, para ello he introducido
al final de cada tema preguntas de comprensión y profundización además de
talleres que van desde simples experimentos hasta demostraciones y profundizaciones acerca de una determinada temática relacionada con el tema de estudio. Estas preguntas se pueden utilizar como instrumentos de evaluación
continua y están sujetas a cambios a criterio del maestro.
Se debe usar números significativos para abordar los contenidos teóricos, los
cuales pueden ser obtenidos de mediciones de valores significativos, de la vida
real.
Partir siempre de una relación entre un contenido con el anterior, para luego relacionar una rama con otra y finalizar con una relación de la Física con otras
ciencias.
En la formulación de ejemplos y problemas físicos, utilizar la realidad del entorno (situaciones, vivencias, necesidades, actividades, problemas).
Complementar el estudio con un asiduo manejo de animaciones informáticas y
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
software, para reforzar el manejo de las magnitudes cinemáticas descriptoras
de los movimientos.
Las prácticas de laboratorio deben desarrollarse conjuntamente con el avance
teórico y deben servir de base para el planteamiento de situaciones
problémicas, estas prácticas pueden ser realizadas fuera del aula, con
materiales del medio, todo dependerá del ingenio y la creatividad del maestro.
El maestro debe poseer un sustento teórico amplio, de manera que pueda
responder y profundizar en las preguntas y aplicaciones problémicas que los
estudiantes planteen, las cuales deben tener un asidero real y ser concebidas
luego de exponer los contenidos conceptuales.
Una última sugerencia al maestro es que adiestre al alumno a afrontar los
conceptos que este erróneamente se forja, invitarlo a que los corrija mediante
la experimentación, pues la Física es una ciencia cuyos conceptos deben ser
correctamente formulados y enunciados, pues en el aula “suele ser útil crear
una situación donde los estudiantes deban pensar como el matemático que
ideó el algoritmo e intenten desarrollar por su cuenta una fórmula adecuada”
(Gardner; 2 000).
Finalmente, es el maestro el que debe escoger el método de enseñanza que
más se adapte a la realidad del aula y al avance académico de sus educandos,
ya que este documento está abierto a cualquier modificación, siempre que se
crea conveniente.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
PRIMERA UNIDAD
EL EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS
ESTÁTICA
Primera Unidad
ESTÁTICA
Subunidades:
1.
MAGNITUDES FÍSICAS
2.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
3.
EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN
4.
EQUILIBRIO DE ROTACIÓN
5.
LOS FLUIDOS EN REPOSO : HIDROSTÁTICA
6.
MÁQUINAS SIMPLES
Objetivos específicos:
1. Entregar al estudiante los conceptos físicos referidos a fenómenos de estática para que sus integre a su acervo cognitivo anterior.
2. Desarrollar en el alumno la capacidad para interpretar fenómenos físicos y
llevarlos a la práctica cotidiana.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
3. Introducir al estudiante en la investigación entendiéndola como un proceso
fundamentado en la exploración y en el desarrollo de la capacidad para el
pensamiento científico, crítico y reflexivo.
4. Habilitar al estudiante en la comunicación oral y escrita para que pueda desenvolverse en sus tareas académicas.
En esta primera unidad se desarrollan seis subunidades básicas o bloques
temáticos. En la primera se aborda la introducción a la física, las magnitudes
físicas, así como las unidades de medida y los patrones de medición de los
fenómenos físicos. En la segunda se abordan los contenidos de álgebra vectorial como una especie de nivelación matemática para estudiar el equilibrio traslacional y rotacional de partículas y cuerpos rígidos, los cuales serán analizados en la tercera y cuarta subunidad. La quinta es una aplicación de los
principios de equilibrio a los fluidos y la sexta es un estudio de algunas aplicaciones de le estática, como es el caso de las palancas, poleas y más máquinas
simples.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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Primera Subunidad MAGNITUDES FÍSICAS
MAGNITUDES FÍSICAS MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES INTRODUCCIÓN
MAGNITUDES DERIVADAS
MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS
MAGNITUDES FUNDA‐
MENTALES REDUCCIONES Y CON‐
VERSIONES SI
PREFIJOS SI
NORMAS PARA EL MANEJO DEL SI
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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Primera Subunidad
MAGNITUDES FÍSICAS
La Física es una ciencia experimental que tiene por objeto el estudio y descripción del comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro
universo.
Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su
objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que
permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que la Física se relaciona íntimamente con las matemáticas; por otra parte, las leyes físicas tienen su aplicación en otras ciencias, lo
que establece relaciones entre la Física y la Biología, la Química, la Anatomía,
etc.
9.1.1. MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES
OBJETIVOS DEL TEMA. Identificar correctamente los conceptos básicos y aplicarlos
al planteamiento, resolución e interpretación de la situación problémica propuesta.
Despertar el interés por esta metodología.
La física es una ciencia experimental. Estudia los procesos del mundo físico y
establece un cierto número limitado de leyes con las cuales se puede explicar
la mayor variedad posible de los fenómenos observados y predecir el resultado
de experiencias nuevas.
Que sea ciencia experimental significa que los fenómenos en análisis deben
observarse y medirse.
Decimos que una magnitud es una realidad física capaz de ser medida. La
medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental.
Las magnitudes o cantidades físicas se subdividen en magnitudes escalares y
vectoriales.
Una medición escalar se expresa con un número seguida de un símbolo de la
unidad usada. El número expresa cuantas veces el patrón está contenido en la
medición. Algunas de las cantidades escalares son: masa, tiempo, longitud,
temperatura, etc.
Las cantidades vectoriales requieren para su completa determinación tres daAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
tos, la magnitud, la dirección y el sentido: la magnitud es el tamaño de la cantidad medida (número +unidad), la dirección es una línea imaginaria sobre la
cual actúa la fuerza y el sentido hacia dónde actúa la cantidad estudiada.
Ejemplos de estas magnitudes son: desplazamiento lineal, velocidad lineal,
aceleración lineal, fuerza, torque, campo eléctrico, etc.
Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una
sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas
tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc.
Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de
la magnitud llamada patrón o unidad de medida.
El proceso de medición es un proceso físico, una operación física experimental,
en la que intervienen necesariamente tres sistemas:
9
El sistema objeto al cual queremos medir.
9
El sistema de medición o aparato de medición.
9
El sistema de comparación, que definimos como unidad, y que suele
venir unido o estar incluido en el aparato o instrumento de medición.
Por ejemplo: en el llamado “medición de longitud” interviene:
9
El objeto cuya medición queremos medir: ejemplo, una viga.
9
El instrumento, por ejemplo, una regla.
9
La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra
patrón).
Medir temperaturas significa: tomar un instrumento llamado termómetro, ponerlo en contacto térmico con el sistema que queremos medir, esperar que se establezca el equilibrio térmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc.
Medir la masa de un cuerpo significa: tomar el cuerpo, ponerlo sobre el platillo
de un instrumento llamado balanza, colocar masas unidad en el otro platillo
hasta equilibrar la balanza, leer el número de masas unidad.
La medición exige instrumentos los cuales
han ido surgiendo como resultado de invento de algunos genios físicos importantes. La
fig. 1 nos muestra instrumentos conocidos:
la balanza mida masas y el calibrador, longi- Fig.-1 Algunos instrumentos de medición.
tudes.
Al realizar medidas se comenten multitud de errores, tanto por falta de sensibilidad del aparato como por deficiencias del observador. Por ello el número que
resulta de una medición nunca es el valor exacto o verdadero, sino un valor
aproximado.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
22
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Lee, razona y resuelve:
Organízate en grupos de estudio:
Con la base teórica propuesta, intenta realizar mediciones de objetos que se
encuentran en el aula. Cada vez que midas un objeto, indica en voz alta el concepto y luego el valor de la medición.
¡Profundiza en tus conocimientos: Consulta bibliografía y páginas de Internet!
¡No te olvides de preguntar en clase!
9.1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.
9.1.2.1.
RESEÑA HISTÓRICA.
OBJETIVOS DEL TEMA. Dotar al alumno de una base teórica mínima para ser utilizada por éste en la resolución e interpretación de aplicaciones propuestas. Despertar
el interés por la investigación dentro y fuera del aula.
Con objeto de tener constancia de la cuantía de todas y cada una de las unidades, estas se materializaron mediante objetos, que recibieron el nombre de
unidades patrón, siendo fijadas mediante convenios internacionales.
El metro patrón fue definido en 1790 por la revolución Francesa, de la manera
siguiente:” El metro es la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre”.
Mas tarde, con la utilización de mejores instrumentos se redefinió al metro varias veces hasta la actualidad.
En 1875, se conforma, la convención del metro, conformada por veinte países,
decidiendo acoger el metro y el kilogramo como unidades de medida. Se conformó la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas con sede en París,
Francia. Posteriormente se incluyó al segundo como unidad de tiempo, al amperio como unidad de intensidad de corriente eléctrica, al kelvinio como unidad de temperatura, al mol, como unidad de cantidad de sustancia y a la candela como unidad de intensidad luminosa. Con estas seis unidades básicas el
nuevo sistema de unidades así formado tomó el nombre de SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, SI. Recién en 1971 se incluye al mol dentro del SI
como nueva unidad básica. En Ecuador, se crea el Instituto Nacional de Normalización, en 1973-74, como un organismo encargado de implantar e incentivar el uso del SI en el país. Actualmente el SI se usa en casi todos los países
del mundo.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
23
UNIVERSIDAD DE CUENCA
9.1.2.2.
MAGNITUDES FUNDAMENTALES
Las leyes físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren
una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa.
Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma
independiente de cualquier otra magnitud física.
Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir
una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida.
El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones
de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas
fundamentales en Mecánica, son las que se dan en la tabla 1.1.2.1. Este se
conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el
centímetro, gramo y segundo. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas
las áreas de las ciencias.
Magnitud Física
Longitud
Unidad de medida
Metro
Símbolo
m
Tiempo
Segundo
s
Masa
Kilogramo
kg
Tabla 1.1.2.1. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en mecánica.
La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales se da
a continuación.
Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero
se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que
la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s.
Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9
192631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj
atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una precisión de una parte en 10E12, lo que equivale a una incertidumbre menor que un
segundo cada 30000 años.
Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se
define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el
Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Francia.
Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la tabla 1.1.2.2.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
24
UNIVERSIDAD DE CUENCA
MAGNITUDES
NOMBRE
SÍMBOLO
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
amperio
A
Temperatura termodinámica
kelvinio
K
mol
mol
candela
cd
Longitud
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Ángulo plano
radián
Ángulo sólido
estereorradián
Tabla 1.1.2.2. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales.
9.1.2.3.
MAGNITUDES DERIVADAS
En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como
una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales.
Algunas de las magnitudes derivadas tienen unidades que han sido “bautizadas” con nombres especiales, de acuerdo a convenios internacionales.
Algunas de estas unidades se muestran a continuación:
UNIDADES SI DERIVADAS CON NOMBRES ESPECIALES
Magnitud
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Frecuencia
hertzio
Hz
s-1
Fuerza
newton
N
kg·m/s2
Presión
pascal
Pa
N/ m2
Energía,
trabajo,
cantidad de calor
julio
J
N/ m
Potencia
vatio
W
J/s
Flujo
eléctrico
culombio
carga eléctrica
C
A·s
Potencial
V
W/A
eléctrico
voltio
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
25
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Diferencia de potencial
Resistencia eléctrica
ohm
W
V/A
Capacitancia eléctrica
faradio
F
C/V
Flujo magnético
weber
Wb
V·s
tesla
T
Wb/ m2
henrio
H
Wb/A
Densidad de
magnético
flujo
Inductancia
Otras unidades derivadas se toman el nombre de la magnitud asociada con el
fenómeno físico al cual describen, algunas de las cuales van a continuación:
UNIDADES SI DERIVADAS SIN NOMBRES ESPECIALES
Magnitud
Unidad SI
Símbolo
Velocidad lineal
metro por segundo
m /s
aceleración
metro por segundo cuadrado
m/ s2
velocidad angular
radián por segundo
rad/s
aceleración angular
radián por segundo cuadrado
rad·s-2
área
metro cuadrado
m2
volumen
metro cúbico
m3
torque
newton-metro
N.m
momento lineal
kilogramo. metro por segundo
Viscosidad dinámica
pascal-segundo
Pa·s
julio-segundo
J. s
momentum
angular
angular,
impulso
kg m s-1
kg /m3
densidad volumétrica de masa
kilogramo por metro cúbico
campo eléctrico
voltio por metro
V/ m
entropía
julio por kelvinio
J /K
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
26
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Algunas magnitudes han adoptado unidades de otros sistemas, tales como del
CGS o del sistema inglés, los cuales por costumbre circulan actualmente.
Algunas de éstas están en la siguiente tabla:
Magnitud
Unidad SI
Símbolo
masa
tonelada
libra
t
lb
tiempo
minuto
hora
día
min
h
d
60 s
3600 s
86 400 s
temperatura
grado Celsius
°C
1K
ángulo plano
grado sexagesimal
°
volumen
litro
l
9.1.2.4.
DEL SI
Equivalencia
1000 kg
0,454 kg
rad
0,001
PREFIJOS QUE FORMAN LOS MÚLTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS
Teniendo en cuenta que la física estudia el comportamiento del universo, los
valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio,
desde cantidades muy pequeñas a muy grandes, los valores numéricos de la
física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que
generalmente se expresan en potencias de E, que es la notación científica.
Si el exponente de la potencia de E es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes
o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de E y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de E.
Los prefijos se muestran a continuación en la siguiente tabla:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
27
UNIVERSIDAD DE CUENCA
PREFIJOS SI
NOMBRE
SÍMBOLO
FACTOR
Yotta
Y
1E24
Zetta
Z
1E21
Exa
E
1E18
Peta
P
1E15
Tera
T
1E12
Giga
G
1E9
Mega
M
1E6
kilo
K
1E3
hecto
h
1E2
deca
da
1E1
UNIDAD
-
1E0
deci
d
1E-1
centi
c
1E-2
mili
m
1E-3
1E-6
micro
nano
n
1E-9
pico
p
1E-12
femto
f
1E-15
atto
a
1E-18
zepto
z
1E-21
yocto
y
1E-24
Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como
por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a
9.45 1E15 m, o el Angstrom que es igual a 1E-10 m.
Orden de magnitud.
El orden de magnitud es la potencia de E más cercana al valor verdadero de
una magnitud física conocida cuyo valor numérico se conoce. Cuando se comAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
28
UNIVERSIDAD DE CUENCA
para entre magnitudes físicas similares, se dice que una magnitud física difiere
de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de
E.
La forma de determinar el orden de magnitud de una medición o cantidad es la
siguiente:
Se expresa la medición en forma de notación decimal, recordando que el coeficiente te de E debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10. Si el exponente es
mayor a 5,5, se incrementa en una unidad el exponente de E, caso contrario,
se mantiene. Esta potencia de E es el orden de magnitud de la cantidad o medición analizada.
Ejemplo 1. El orden de magnitud de 1 es 1E0, el orden de magnitud de 10 es
1E1, el orden de magnitud de 100 es 1E2.
Ejemplo 2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo
valor es aproximadamente 6E 24 kg. b) Si la masa del Sol es
cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra?
Solución:
a) Considerando que
, ¿en
su orden de magnitud es 1E1, por lo tanto el or-
den de magnitud de la masa de la Tierra es
b) Si la masa del Sol es 1E30 kg, ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de
la masa de la Tierra?
Masa de la Tierra=
Masa del Sol =
Por lo tanto la masa del Sol es 6 órdenes de magnitud mayor (un millón de veces más grande) que la masa de la Tierra.
9.1.2.5.
REGLAS PARA EL USO DEL SI
1.-Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del
ohm (Ω), se escriben usando las letras del abecedario, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de
nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de amperio, J de julio, etc.
2.-Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por
ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs.
3.-Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva
exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
29
UNIVERSIDAD DE CUENCA
cuadrado que tiene un km de lado, o sea 10E6 metros cuadrados y nunca k
(m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados.
4.-El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo,
cm, mm, etc.
5.-El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo,
newton-metro se puede escribir N.m.
6.-Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar
la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el
denominador:
7.-No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos
complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas: m/s2 o bien m·s-2
pero no m/s/s. (Pa·s)/ (kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3.
8.-Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por
la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio,
julio, ohmio, voltio, vatio, hertzio.
9.-En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera
del decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en
grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los
números de cuatro cifras que designan un año.
9.1.2.6.
REDUCCIONES Y CONVERSIONES SI.
Para convertir una cantidad dada en un prefijo SI en otra expresada en otro
prefijo SI, se dividirá la cantidad con el prefijo dado para la cantidad cuyo prefijo
se desea obtener; este resultado se multiplica por la cantidad dada. Esto lo
demostramos a través de los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Reduzca 23
a
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
30
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El prefijo dado es Y, cuyo factor es 1E24, el prefijo pedido es M, cuyo factor es
1E 6
Entonces:
=1E4
Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 23 y obtenemos
1E4.23 = 23E4 = 2.3E2 kHz = 230 kHz.
Ejemplo 2. Reduzca
El prefijo dado es P, cuyo factor es 1E15, el prefijo pedido es m, cuyo factor es
1E-3
Entonces:
=1E18
Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 6,5E-8 y obtenemos
1E18.6, 5E-8 = 6.5E10 = 65E9 = 65 GW.
Ejemplo 3. Reduzca
El prefijo dado es a, cuyo factor es 1E-18, el prefijo pedido es P, cuyo factor es
1E15
Entonces:
=1E-33
Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 354E-30 y obtenemos
1E-33.354E30 = 3.54E-3 = 3,54 mN.
Lee, razona y resuelve:
Escribe usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud de la
línea ecuatorial, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la
Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cercana a la Tierra (después del Sol).
La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado
sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equivalente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra?
Transforma
a
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
31
UNIVERSIDAD DE CUENCA
a
Transforma
Transforma
a
Investiga y demuestra como transformar
a
Taller 5.1.2
Crea tu propio sistema de unidades: Para ello utiliza unidades o patrones de
medida creados por ti mismo, así: para la longitud utiliza el largo de alguna parte de tu cuerpo, para el tiempo, el que tardas en dar una vuelta a la cancha,
etc. Luego arma tu propia tabla de magnitudes fundamentales y compáralos
con el SI.
Utiliza tu sistema de Unidades para realizar mediciones de algunos objetos de
tu aula. Al final obtén las equivalencias correspondientes. Registra tu informe
en tu cuaderno de ejercicios usando la siguiente plantilla:
INVESTIGACIÓN 5.1.2.- APLICACIÓN DEL SI A MEDICIONES COMPARATIVAS REALES.
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
32
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Proyecto
Haz un agujerito en un cartón y sostenlo a los rayos del sol. Observa la imagen
del sol que se forma abajo. Para convencerte de que la mancha redonda de luz
es una imagen del Sol redondo, prueba con agujeros de distintas formas. Un
agujero cuadrado y uno rectangular producirá una imagen redonda si la distancia a la imagen es grande en comparación con el tamaño del agujero. Cuando
los rayos del Sol forman un ángulo con la superficie de la imagen, ésa imagen
es un circulo estirado, es decir una elipse. Deja que la imagen del sol caiga cobre una moneda. Coloca el cartón de modo que la imagen apenas cubra la moneda. Es una forma cómoda de medir el diámetro de la imagen; es del mismo
diámetro de la moneda, que se puede medir con facilidad. A continuación mide
la distancia entre el cartón y la moneda, utiliza unidad creada por ti mismo:
puede ser la longitud de un dedo, una oreja, etc.,
La relación del tamaño de la imagen entre la distancia a la imagen debe ser de
más o menos 1/110.Es la relación del diámetro del Sol entre la distancia del Sol
a la Tierra. Con el dato de que el Sol está a 150 000 o 1,5E8 km de la Tierra,
calcula el diámetro del Sol y exprésalo en tus unidades y en unidades
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
33
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
a)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Física
→
Relación entre la física y las ciencias.
→
Magnitud
→
Sistemas de Unidades
→
Orden de Magnitud
b)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales temas tratados en esta unidad.
Resuelve las siguientes situaciones:
Transforma
a
Transforma
a
Transforma
a
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
34
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Segunda Subunidad
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES INTERCAMBIOS EN LA EXPRESIÓN DE UN VECTOR
VECTORES UNITARIOS RESTA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES
SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
35
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Segunda Subunidad
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
El Álgebra vectorial es una rama de la matemática, en la que las cantidades no
son aritméticas o algebraicas, sino otros entes matemáticos llamados “vectores”, los cuales son utilizados para simbolizar representar las magnitudes vectoriales. El álgebra vectorial es una de las más importantes ramas de las matemáticas utilizadas para el estudio de la Física, lo cual hace que sea
estudiada previamente al abordaje de la Física propiamente dicha.
5.2.1 EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y aplicar la expresión trigonométrica de un vector.
Valorar e incrementar el interés por esta nueva metodología.
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Un vector es la expresión geométrica que proporciona la medida de cualquier
magnitud vectorial. Los elementos de un vector son los siguientes (figura
5.2.1.1.):
•
Un origen o punto de aplicación: A.
•
Un extremo: B.
•
Una dirección: Una recta imaginaria que contiene al vector.
•
Un sentido: indicado por la punta de flecha en el extremo B.
•
Un módulo, expresado por la longitud del segmento AB.
Fig.5.2.1.1. Elementos de un vector.
Para nombrar un vector se utiliza una letra o símbolo cualquiera con una flechita en su parte superior, por ejemplo
,…
Hay varias maneras de expresar la magnitud de un vector: utilizaremos dos; en
la primera el nombre del vector va encerrado entre barras, por ejemplo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
36
UNIVERSIDAD DE CUENCA
y la segunda, en la que
plo
.
nombre del vector va sin la flechita, por ejem-
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección,
como muestra la figura 5.2.1.2.
Fig. 5.2.1.2. Igualdad de vectores.
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Los vectores se pueden expresar de varias formas, de estas estudiaremos
dos: la forma trigonométrica y la forma analítica.
Un vector queda expresado trigonométricamente mediante su magnitud o valor
numérico, su dirección y sentido está determinado por dos ángulos llamados
ángulos directores.
Los ángulos directores de un vector son los ángulos planos formados entre el
vector y cada uno de los ejes positivos del plano o sistema de referencia utilizado. En el plano bidimensional, los vectores tienen dos ángulos directores de.En el plano tridimensional (espacio) los
signados con las letras griegas
vectores tienen tres ángulos directores
.
La expresión trigonométrica de dos vectores está determinado por:
Ejercicio Resuelto 1
Se tiene un vector de módulo 25 y de ángulos directores
presa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica.
El vector expresado en la forma trigonométrica es:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
Ex-
37
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El vector expresado en la forma gráfica es:
Para el vector de módulo 25 y de ángulos directores
Expresa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica.
El vector expresado en la forma trigonométrica es:
El vector expresado en la forma gráfica es:
Evalúa tu comprensión:
Un vector es un………………………….. que representa…………………
En la forma trigonométrica los vectores se expresan mediante………. y
sus…………………………………..
Lee, razona y resuelve:
¿Por qué a la longitud se le considera cantidad escalar y a la velocidad se le
considera cantidad vectorial?
Representa los siguientes vectores en el sistema de referencia mostrado:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
38
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5. 2.1
Usa tu aula como referencia. Construye vectores que indiquen la posición de
las lámparas, de los marcos superiores de puertas y ventanas, de los extremos
del pizarrón y de tu pupitre con respecto a un punto arbitrario. Registra los datos en la siguiente tabla:
VECTORES
MAGNITUD
ÁNGULOS
RES.
DIRECTO-
Usa esta plantilla para registrar tu informe y disértalo a tus compañeros:
INVESTIGACIÓN 5.2.1.REALES
Tema:
APLICACIÓN DE VECTORES A SITUACIONES
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
39
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
5.2.2 SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES EN EL PLANO
OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la suma
trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a
esta operación con vectores.
Los vectores, al igual que los números, son entidades matemáticas sobre las
cuales se efectúan algunas operaciones. En esta guía se desarrollarán algunas de estas operaciones, las más elementales y necesarias para el estudio de
la Física.
Empezaremos con la suma de dos vectores expresados en forma trigonométrica, la cual se puede realizar mediante dos métodos:
9
Método del triángulo.
Este método combina la labor gráfica con conocimientos de trigonometría y
geometría, por lo que se recomienda refrescarlos antes de abordar este tema.
El método del triángulo tiene algunos pasos los cuales vamos a detallar con la
ayuda de un ejemplo:
Sumar los siguientes vectores:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
40
UNIVERSIDAD DE CUENCA
1.
Se dibujan los vectores en el plano cartesiano.
2.
Se determina el ángulo
entre ellos, para ello se suma o se resta los
ángulos directores de los vectores.
Del gráfico se observa que:
3.
Se traslada el vector cuyo ángulo director
es mayor al extremo del
otro vector; este vector debe quedar a continuación del otro.
4.
Se junta el origen del primer vector con el extremo del otro mediante un
tercer vector que será el vector suma o vector resultante. De esta manera se
forma un triángulo de vectores.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
41
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.
Se aplica la ley de cosenos al triángulo de vectores OPQ para obtener la
magnitud del vector resultante. Aquí hay que percatarse bien en el valor del
ángulo entre
y
, en este caso es el suplementario de
Del gráfico se tiene que:
Con los datos:
Y el vector resultante es:
6.
Se aplica la ley de senos al triángulo de vectores para obtener el ángulo
entre el vector resultante y el de vector no trasladado.
Del gráfico se tiene que:
Es decir:
Resolviendo se tiene que:
Con lo que:
7.
Con el ángulo así obtenido, se obtienen los ángulos directores. Aquí hay
que proceder con sumo cuidado para elegir correctamente los ángulos, en el
ejemplo, hay que sumar
para obtener
:
para obtener el ángulo director
y restar
El vector resultante queda expresado en la forma trigonométrica y gráfica de la
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
42
UNIVERSIDAD DE CUENCA
siguiente manera:
9
Método de superposición.
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo
vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del
primer vector, luego un segundo, un tercero, etc., siguiendo la misma lógica.
La suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del último, de la siguiente manera:
Sumar los siguientes vectores utilizando el método de superposición.
Sumar los siguientes vectores:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
43
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Primero dibujamos un sistema de referencia con el primer vector en el origen.
Como la suma es una operación conmutativa, se puede colocar a los vectores
en el orden que queramos sin que se altere el resultado.
Es necesario establecer una escala adecuada y dibujar con la mayor exactitud
posible, recuérdese que es un método puramente gráfico, el resultado depende
de la calidad del gráfico.
Luego se va dibujando los vectores tomando como centro de referencia la punta de la flecha del vector precedente, con esto, se logra lo siguiente:
Al final se mide el tamaño del vector resultante y sus ángulos. En el ejemplo, se
tiene que:
Evalúa tu comprensión:
El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecuación…………………cuya
magnitud
se
obtiene
mediante……………………………………………..
Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del………..
Lee, razona y resuelve:
Para los siguientes vectores:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
44
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Calcular por los dos métodos:
a)
b)
c)
Dibujar los vectores y los resultados.
Taller 5.2.2
Suma los vectores del taller anterior en la forma trigonométrica.
Trata de obtener la suma trigonométrica de dos vectores que puedes encontrar
en tu establecimiento. Socializa los resultados.
INVESTIGACIÓN 5.2.2.- APLICACIÓN REAL DE SUMA DE VECTORES EN
LA FORMA TRIGONOMÉTRICA
2
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
45
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
5.2.3 RESTA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO
OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la resta
trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a
esta operación con vectores.
Se conocen dos métodos: por reducción a suma y por diferencia de vectores.
9
Por reducción a suma:
al vector sustraendo. Para ello se resta
a cada uno de los
Se gira
ángulos directores y se toma su valor absoluto. Se escribe el nuevo vector sustraendo y se le suma el minuendo con el método de la suma trigonométrica.
Para ello seguiremos el siguiente ejemplo Ilustrativo
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
46
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Para los siguientes vectores:
Halla
1.
Se halla -
2.
Se dibuja los vectores y se procede como en la suma:
Del gráfico se obtiene el ángulo
entre los vectores:
Por la ley de los cosenos:
Por la ley de los cosenos se obtiene el ángulo
:
Con lo que:
Luego:
El vector resultante queda expresado de la siguiente manera:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
47
UNIVERSIDAD DE CUENCA
9
Por diferencia de vectores:
Se sigue el siguiente algoritmo:
1.
Se dibujan los dos vectores en el plano y se determina el ángulo entre
ellos.
2.
Se traza un nuevo vector, el cual va desde el extremo del sustraendo
hasta el extremo del vector minuendo. De esta forma obtenemos un triángulo
de vectores.
3.
Se traslada el vector resultante al origen.
4.
Se resuelve el triángulo de vectores: mediante la ley de cosenos se halla
el módulo del vector resultante y con la ley de los senos el ángulo entre el vector minuendo y el resultante.
5.
Los ángulos directores se determinan mediante un análisis cuidadoso
del triángulo de vectores.
Para ello seguiremos ejemplo Ilustrativo anterior:
Halla
Del triángulo de vectores OMN obtenemos
la magnitud y ángulos directores del vector
resultante:
Por la ley de los cosenos:
Trasladamos el vector resultante al origen del sistema coordenado.
Por ley de cosenos obtenemos el ángulo N:
Calculamos los ángulos directores:
Con o que el vector resultante queda expresado de la siguiente manera:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
48
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión:
Compara los algoritmos para la suma y resta trigonométrica de los vectores en
el plano. Extrae algunas conclusiones importantes.
Investiga y responde: ¿cuándo la magnitud de la suma o resta de dos vectores
de reduce a la suma o resta de sus magnitudes?
Lee, razona y resuelve:
Para los siguientes vectores:
Calcular por los dos métodos
a)
b)
c)
Dibujar los vectores y los resultados.
Taller 5.2.3
Con la ayuda de cuerdas, sal al patio y realiza una práctica de resta de vectores. Dibuja un sistema de referencia y mide el vector resultante. Luego haz los
cálculos y obtén el valor de dicho vector. Compáralo con el medido y saca el
error de medición. Usa la siguiente ecuación:
En donde:
valor medido y
valor calculado
¡Multiplica por cien y has obtenido el error porcentual!
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
49
UNIVERSIDAD DE CUENCA
INVESTIGACIÓN 5.2.3.- APLICACIÓN REAL DE RESTA DE VECTORES EN
LA FORMA TRIGONOMÉTRICA.
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
5.2.4 VECTORES UNITARIOS
OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender, relacionar y aplicar correctamente los conceptos dados. Resaltar la importancia de la interrelación asertiva en el equipo de trabajo.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
50
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Se denomina vector unitario a un vector, cuyo punto de partida es el origen del
sistema de referencia, su módulo es 1 y su dirección y sentido siempre apuntan
al lado positivo del sistema.
Los vectores unitarios en el plano XY suelen representarse respectivamente
por
como se muestra en la figura.
Los vectores unitarios en el espacio XYZ suelen representarse respectivamente por
También es posible especificar vectores unitarios en cualquier dirección o en
direcciones de cualquier otro vector. Por ejemplo, el vector unitario en la dirección de un vector
dado es:
Ejercicio Guía
Calcula y grafica el vector unitario correspondiente a la dirección de los siguientes vectores.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
51
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Como la dirección del vector es arbitraria, tenemos que:
Para :
Para :
Para :
Evalúa tu comprensión:
Se llaman vectores unitarios…………………………………………………………...
Expresa todos los vectores unitarios del plano a la forma trigonométrica.
Expresa todos los vectores unitarios del espacio a la forma trigonométrica.
Lee, razona y resuelve:
Grafica el vector unitario correspondiente a los siguientes vectores. Obtén su
magnitud:
.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
52
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.2.4
Investiga una situación real donde se apliquen los contenidos de este tema.
Pide ayuda a tu profesor. Luego comparte con tus compañeros el informe correspondiente.
INVESTIGACIÓN 5.2.4.- APLICACIÓN REAL DE VECTORES UNITARIOS
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
53
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.2.5 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR. EXPRESIÓN
ANALÍTICA DE VECTORES
OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir los conceptos y aplicarlos en los ejercicios y actividades propuestas. Plantear situaciones reales de aplicación. Despertar el espíritu de
colaboración en el grupo de trabajo.
A un vector podemos proyectarlo en la dirección de uno de los ejes coordenados. Este vector puede ser considerado como resultado de la suma de las tres
proyecciones, las cuales son perpendiculares entre sí.
De este modo:
y se denominan componentes del vector.
Los escalares o coeficientes,
Para un vector
yección de
dado,
es la proyección de
sobre el eje
sobre el eje
;
es la pro-
. Esto para el plano. En el espacio se tienen,
además de las dos anteriores, la componente
es la proyección de
sobre el
eje .
También puede representarse de la siguiente
forma:
Los vectores proyección ,
y
se
obtienen a través de relaciones trigonométricas en la figura 5.2.5.1:
fig. 5.2.5.1. Componentes rectangulares de un vector
Los coeficientes son:
;
;
y son los ángulos directores del vector.
,
y
De donde
son los cosenos directores del vector, los cuales son expresados de la siguiente manera:
;
;
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
54
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La expresión analítica de vectores es la representación de un vector como la
suma de sus componentes rectangulares.
En el espacio, un vector en la forma analítica se expresa de la siguiente forma:
En el plano, la expresión es la siguiente:
La magnitud está dada por:
y la dirección está determinada por
los ángulos directores, obtenidos de los cosenos directores:
;
Reemplazando datos se llega a la conclusión de que el ángulo director es obtuso si el coseno director es negativo.
Con las herramientas anteriores podemos cambiar la expresión de un vector
de la forma trigonométrica a la analítica. Para ello calculamos las componentes
rectangulares del vector dado y lo expresamos como la suma analítica de sus
componentes.
Para cambiar de la forma analítica a la trigonométrica se calcula la magnitud y
los ángulos directores del vector dado y se expresa el vector en forma trigonométrica: magnitud y ángulos directores.
Ejercicio Guía
Hallar los ángulos directores de un vector cuyas componentes en los ejes X, Y
y Z sean 4, 6, 8, respectivamente, y cuyo módulo sea
Del enunciado tenemos que:
Con lo que el vector queda expresado de la siguiente manera:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
55
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Por otro lado:
, entonces:
, por lo que:
, entonces:
por lo que:
, entonces:
, por lo que:
68,2° 56,15°
42,03°
Evalúa tu comprensión:
Las componentes rectangulares de un plano son:…………………………………
…………………………………………………………………………………………….
Se llaman cosenos directores a:………………………………………………………
…………………………………. y cuyas ecuaciones son:…………………………..
Un vector se expresa analíticamente en el espacio por medio de la ecuación:
…………………………..
Lee, razona y resuelve:
Para los siguientes vectores:
Determinar:
→
Las componentes rectangulares y sus magnitudes.
→
Los cosenos directores.
→
Los ángulos directores.
Taller 5.2.5
Con la ayuda de cuerdas construye algunos vectores en el patio. No olvides
establecer primero un sistema de referencia. Luego, con la ayuda de un flexómetro y un graduador de costurera, mide la magnitud y ángulos directores de
cada vector construido. En base a estos datos, obtén las componentes rectangulares de los vectores construidos.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
56
UNIVERSIDAD DE CUENCA
INVESTIGACIÓN 5.2.5.- APLICACIÓN REAL DE COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Y EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
¡No te olvides de participar en clase!
5.2.6 SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES
OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir la manera de relacionar vectores en la forma analítica. Aplicarlo correctamente al desarrollo de las aplicaciones prácticas propuestas.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
57
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Despertar el interés por el trabajo en equipo.
Si tenemos varios vectores y queremos compararlos (sumarlos o restarlos):
Primero vemos si todos se encuentran en la forma analítica. Vemos que el último vector no lo está. Lo expresamos, pues, dicha forma:
Luego los encolumnamos de tal manera que las componentes queden en una
misma columna.
Luego se comparan (suman o restan) entre sí las componentes para obtener
la expresión analítica del vector resultante.
Ejercicio Guía
Calcula la suma de los siguientes vectores:
Primero expresamos el último vector en la forma analítica:
Luego los encolumnamos y sumamos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
58
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El vector resultante viene dado por:
Evalúa tu comprensión:
Compara la suma vectorial con la suma aritmética ¿Qué conclusiones obtienes?
Investiga otros métodos para sumar vectores. Compártelos con tus compañeros.
Lee, razona y resuelve:
¿La magnitud de la suma de dos vectores dados siempre será menor que el
módulo de la diferencia de esos vectores?
Un vector de 5 unidades apunta en la dirección positiva del eje X y otro de 3
unidades se orienta formando un ángulo de 44º con ese mismo eje. Determine
la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente.
Un vector
nadas
se extiende desde el origen hasta un punto que tiene por coordeotro
se extiende desde el origen hasta el punto,
se extiende desde el origen hasta el punto
otro
res y determine su suma y resta, analíticamente.
y
.Grafique los vecto-
Taller 5.2.6
Arma un equipo de investigación y pide asesoría a tu profesor para encontrar
una situación relacionada con el tema. Socializa los resultados.
INVESTIGACIÓN 5.2.6.- APLICACIÓN REAL DE SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES
Tema:
Situación Problémica:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
59
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
5.2.7 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
OBJETIVOS DEL TEMA: Aprender e interpretar correctamente este concepto. Relacionarlo con los conceptos previos. Motivar al trabajo individual.
El resultado de multiplicar un escalar
sado por
por un vector
es otro vector expre-
con las siguientes características:
1.
Tiene la misma dirección que .
2.
Si
es positivo, tiene el mismo sentido que
; si
es negativo, tiene
sentido contrario a .
3.
El módulo de
es
veces mayor que
Para un vector expresado en forma trigonométrica, el vector
mediante:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
queda definido
60
UNIVERSIDAD DE CUENCA
si
si
Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector.
El producto de un escalar por un vector cumple con las siguientes propiedades:
1.-Conmutativa:
2.-Distributiva:
Ejercicio Guía
multiplíquelo por
Dado el vector:
La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces
como indica el escalar.
Evalúa tu comprensión:
es otro vector expreEl resultado de multiplicar un escalar por un vector
sado por ……………..con las siguientes características:…………………...
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Lee, razona y resuelve:
y
Dado el escalar:
Dado el escalar:
Dado el escalar:
y
, hallar
, hallar
y
, hallar
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
61
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.2.7
Demuestra que si a un vector orientado en la diagonal de un cubo de lado l se
le multiplica por un escalar cualquiera k, el lado del cubo que contiene al vector aumenta en k. Puedes construir el modelo en cartulina y exponerlo a tus
compañeros.
INVESTIGACIÓN 5.2.7.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
62
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
5.2.8 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir y conocer correctamente los conceptos. Deducir
aplicaciones. Colaborar con el trabajo en equipo.
El producto escalar de dos vectores, conocido como producto interno o producto punto, es una operación cuyo resultado es un escalar. Esta operación está
.
expresado como
En forma gráfica, el producto escalar de dos vectores está dada por:
En donde
es el ángulo formado por los dos vectores (ver figura)
En forma analítica el producto escalar de vectores se obtiene de la suma de los
productos de los coeficientes de las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores
das:
y , expresados en un mismo sistema de coordena-
Teniendo en cuenta el producto escalar de los vectores unitarios:
El resultado de multiplicar escalarmente
por
es:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
63
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El producto punto de vectores cumple con las siguientes propiedades:
Conmutativa:
Distributiva con respecto a la suma:
siendo
Asociativa:
escalar.
Si, y sólo sí
Si
= 0,
es perpendicular a .
Ejercicio Guía
Calcular
el
producto
escalar
de
los
vectores
y
. Hallar el ángulo que forman.
Primero hallamos el producto escalar de los vectores:
Ahora calculamos el ángulo que forman:
Sabemos que:
, nos queda que hallar el producto de sus módulos
Como ya calculamos
para poder realizar el cociente:
22,17
Entonces:
y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.
Evalúa tu comprensión:
el producto escalar de dos vectores en el plano es……………………. y está
expresado por ……………..con las siguientes propiedades :…………………...
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Lee, razona y resuelve:
Para:
man
los
y
dos
calcula el producto escalar y el ángulo que forvectores.
Dibuja
todos
los
vectores
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
64
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Para:
y
que forman los dos vectores. Dibuja los vectores.
Demuestra que:
res. Argumenta tu respuesta.
y
calcula el ángulo
son perpendicula-
Taller 5.2.8
Realiza la demostración del producto escalar de los vectores unitarios.
¿Qué ángulo formarán dos vectores; el uno orientado desde el marco inferior
izquierdo de la puerta hacia el marco inferior derecho del pizarrón y el otro
orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco superior izquierdo del pizarrón? Puedes tomar el marco inferior izquierdo de la
puerta como referente. Socializa los resultados.
INVESTIGACIÓN 5.2.8.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO ESCALAR DE
VECTORES
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
65
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
5.2.9 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
OBJETIVOS DEL TEMA Comprender de manera cabal los conceptos y ecuaciones
involucradas. Utilizarlos para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación.
Captar la metodología de trabajo.
Sean
y
dos vectores. Entonces definimos el vector
vectorial de
y
que es el producto
por:
De la ecuación podemos afirmar que el producto vectorial, externo o cruz de
dos vectores una operación cuyo resultado es otro vector. Decimos que es
producto cruz, porque el operador es la cruz de San Andrés
Ahora bien, si
vectorial,
Donde
y
están expresados en la forma trigonométrica, el producto
está expresado por:
es el ángulo más pequeño entre los vectores
perpendicular al plano engendrado por los vectores
y
es un vector
.
es el que da la dirección al vector . El sentido del vector es el que
El vector
se obtiene usando la regla de la mano derecha. Se extienden los dedos en sentido del primer vector, se los empuña en el sentido del segundo vector, se extiende el pulgar, el cual señala el sentido del vector resultante.
Una característica del producto cruz es que no es conmutativo, más bien, al
cambiar el orden del producto se invierte el sentido del vector resultante.
El producto cruz es distributivo respecto a la suma vectorial:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
66
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Si analizamos el producto vectorial entre los vectores unitarios cartesianos,
tendríamos que:
De esto se desprende la siguiente propiedad:
El producto vectorial de un vector por sí mismo es igual a cero:
Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores
analítica:
Sean
expresados en forma
dos vectores:
Entonces se tiene que:
+
Resolviendo se obtiene:
Considere un paralelogramo cuyos lados son los vectores
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
tal como
67
UNIVERSIDAD DE CUENCA
muestra la figura:
El área de tal paralelogramo viene dado por la magnitud del producto vectorial
de
; es decir:
Ejercicio Guía
Sean y dos vectores unitarios en el plano XY, que
forman ángulos
con el eje X, respectivamente
(ver figura). Evalué el producto cruz de estos vectores
de dos maneras: usando la definición y usando la expresión en términos de las coordenadas cartesianas, y
de esta manera encuentre una expresión para
El ángulo entre los vectores
es
luego:
Por otra parte:
=
Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que:
Evalúa tu comprensión:
El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es otro vector expresado por ……………..con las siguientes características:…………………...
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
68
UNIVERSIDAD DE CUENCA
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Lee, razona y resuelve:
Para:
forman
los
y
dos
calcula el producto escalar y el ángulo que
vectores.
Dibuja
todos
los
vectores.
Para:
y
calcula el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja los vectores.
Demuestra que la magnitud del área del paralelogramo cuyos lados son los
y
vectores
mismos. Argumenta tu respuesta.
corresponde al producto vectorial de los
Taller 5.2.9
Demuestra en clase que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a los anteriores. Utiliza materiales del medio. Pide asesoría a tu profesor.
INVESTIGACIÓN 5.2.9.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO VECTORIAL
DE VECTORES
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
69
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
c)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Vector
→
Vector Unitario.
→
Componentes rectangulares de un vector.
→
Producto escalar de vectores.
→
Producto vectorial de vectores.
d)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
70
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resuelve las siguientes situaciones:
Un vector
de coordenadas (1; 2; 3). Otro vector
componente de X el valor 1. Encuentre
de módulo
tiene por
de tal manera que sea perpendicular
a
Dado los vectores:
a)
Encuentre el ángulo entre
encuentre los ángulos directores que forma el vector
b)
para el vector
con los ejes X, Y Z, respectivamente.
Un triángulo tiene por coordenadas (1; -1), (5; 4), (-1; 8). Usando vectores, calcula la magnitud de sus lados, sus ángulos y su área. Un arquitecto desea conocer el área de un terreno en forma de un paralelogramo. Con un GPS determina las coordenadas del terreno: A (-6; -4), B (-2;
2), C (6; --6), D (2; 4).Ayúdalo a calcular dicha área.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
71
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tercera Subunidad
ESTÁTICA TRASLACIONAL
ESTÁTICA TRASLACIONAL
FUERZAS COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCULA EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
72
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tercera Subunidad
ESTÁTICA TRASLACIONAL
La Estática es la parte de la Física que establece las condiciones que deben
cumplir las fuerzas que se aplican a una partícula o sistema de partículas
(cuerpo) para que éstas se hallen en equilibrio.
La Estática traslacional hace referencia a la primera Ley de Newton para la
traslación, la cual establece el equilibrio de partículas debidas a agentes externos o internos que originan traslación. Estos agentes son llamadas “fuerzas”, y
son las causantes del movimiento de la mayoría de los cuerpos y sistemas
físicos que existen en el universo.
5.3.1. FUERZAS.
OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una correcta aprehensión y comprensión de los conceptos expuestos. Relacionarlos y aplicarlos a situaciones del quehacer cotidiano.
Despertar el interés por la comunicación e interacción entre equipos de trabajo.
Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de
un cuerpo, o de producir una deformación en el mismo.
Las fuerzas se clasifican en:
Fuerzas de contacto.-son ciertos tipos de fuerzas que se presentan en los objetos que interactúan y que están físicamente en contacto (Por ejemplo: la fuerza
con que se empuja un objeto, la fuerza de fricción, etc.)
Fuerzas de acción a distancia.-Este tipo de fuerzas se caracterizan por presentarse en los objetos no se encuentran físicamente en contacto (Ejemplos típicos
de este tipo de fuerzas son la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza
magnética, etc.)
Por su disposición geométrica, las fuerzas se clasifican en: concurrentes, paralelas, perpendiculares, coplanares, etc.
Los elementos de una fuerza son: magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación.
El punto de aplicación de una fuerza es primordial, ya que va a determinar el
movimiento que causa dicha fuerza.
La unidad de la fuerza en el SI es el Newton.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
73
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Para representar gráficamente una fuerza se emplean vectores. El módulo del
vector (medida del segmento OB) es la magnitud de la fuerza; la dirección, es
la recta imaginaria (recta directriz) por la que pasa el vector el sentido la cabeza de la flecha y el punto de aplicación O corresponden a los de la fuerza.
Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas
direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la
fuerza resultante, equivalente a la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas.
Pero no siempre tenemos las coordenadas cartesianas de los vectores de las
fuerzas aplicadas, sino que en la mayoría de los casos las encontramos como
un módulo y un ángulo, lo que suele llamarse coordenadas polares.
Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es descomponer a
las fuerzas proyectándolas sobre los ejes por medio de relaciones trigonométricas simples, tales como seno, coseno y tangente. Una vez que tenemos cada
componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una resultante. Las principales ecuaciones son:
Componentes rectangulares de una fuerza:
Ángulos directores de una fuerza:
;
Ecuación vectorial de las fuerzas:
La fuerza de rozamiento es un tipo particular de fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos, es decir, su valor no puede incrementar NUNCA la fuerza que es aplicada, por lo que no cambia el sentido del movimiento del cuerpo,
solo lo frena.
Ejercicio Guía
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
74
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Un automóvil está tomando una curva, la cual tiene un ángulo de inclinación
con respecto a la horizontal. Hallar la resultante de las fuerzas que actúan sobre el automóvil al momento de tomar dicha curva.
Vemos que las fuerzas que actúan sobre el automóvil son: el peso
y la fuerza normal
. La resultante de estas dos fuerzas es
.
De tal manera que:
.
Ordenando tenemos que:
.
Evalúa tu comprensión:
Cuando empujas los dedos contra un muro, se doblan, porque están sometidos
a una fuerza. Identifica esa fuerza.
Un boxeador puede golpear con gran fuerza un saco de arena. ¿Por qué no
puede golpear un trozo de papel en el aire, con la misma fuerza?
Compara la fuerza que experimenta un camión para subir una cuesta y la que
experimentas cuando levantas este libro. Pon por escrito las semejanzas y diferencias.
Lee, razona y resuelve:
Dos alumnos ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un
carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de
30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino. a) Calcular la magnitud
de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro. b) Calcular la
fuerza necesaria para que el carro se mueva en la dirección del camino.
El asta de la bandera de tu colegio se mantiene fija mediante una cuerda fija al
asta, a 8 m de altura y clavado en el suelo a una distancia de 6 m de la base
del poste. Si la fuerza (tensión) que soporta la cuerda es 2 560 N, halle magni-
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
75
UNIVERSIDAD DE CUENCA
tud de las componentes de la tensión que la cuerda ejerce sobre el asta.
Taller 5.3.1
Investiga acerca de los diferentes tipos de fuerzas que existen en el Universo.
Luego haz una exposición sobre el tema.
INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE FUERZAS
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
76
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
5.3.2. COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA
LA.
PARTÍCU-
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y manejar correctamente los conceptos. Generalizarlos y relacionarlos con situaciones parecidas.. Despertar el interés por la organización y la participación.
Si al pesar de un cuerpo colocamos en el platillo las siguientes pesas: 500 g,
250 g, 200 g, 50 g, en ese platillo concurren varias fuerzas (sistema de fuerzas), pero sí por el contrario, colocamos una sola pesa de 1 000 g se aplicarás
una fuerza con el mismo resultado. Es decir, varias fuerzas aplicadas a un
mismo cuerpo pueden ser reemplazadas por una sola, que es la resultante de
la composición de las anteriores.
Composición de fuerzas significa suma vectorial de las mismas.
Composición de fuerzas concurrentes.-Se denominan fuerzas concurrentes a
aquellas fuerzas cuyas rectas directrices se cortan en un punto del plano o del
espacio llamado punto de concurrencia C
Siempre el origen del sistema de referencia es
el punto C.
La composición de fuerzas concurrentes (figura 5.3.2.1) es otra fuerza llamada fuerza resultante y está determinada por la siguiente
ecuación:
Fig.5.2.1.1. Fuerzas concurrentes
Composición de fuerzas paralelas.-Se denominan fuerzas paralelas a aquellas
fuerzas que, dentro de un plano de referencia, tienen la misma dirección.
La fuerza resultante o composición de fuerzas paralelas (figura 5.3.2.2) está
dada por la suma vectorial de las fuerzas parciales:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
77
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Composición de fuerzas perpendiculares.-Son fuerzas cuyas directrices se cruzan formando un ángulo recto.
La fuerza resultante o composición de fuerzas perpendiculares se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de fuerzas, es decir:
Composición de fuerzas coplanares.- Se denominan fuerzas coplanares a
aquellas fuerzas cuyas directrices están en un mismo plano de referencia (figura 5.3.2.3). Para nosotros, el plano de referencia es el plano cartesiano bidimensional o plano XY.
La fuerza resultante o composición de fuerzas coplanares está dada por la suma vectorial de las fuerzas parciales:
Fig. 5.3.2.3. Fuerzas coplanares
Ejercicio Guía
Un grupo de obreros intenta desplazar una caja aplicando varias fuerzas:
Indica la resultante de las fuerzas.
Fig.5.3.2.2. Fuerzas paralelas
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
78
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La resultante viene dada por la suma vectorial de todas las fuerzas, es decir: Evalúa tu comprensión:
Fuerzas
concurrentes
son:…………………………………………………………….…………………………
La composición de fuerzas coplanares, paralelas y concurrentes está dado por
la ecuación:……………………………………………………………………………
Lee, razona y resuelve:
Sobre un plano inclinado liso de 5 m de largo y 6 m de altura se encuentra un
bloque de 5 680 N en reposo atrancado por un tope. Calcule las fuerzas que el
bloque ejerce sobre el plano inclinado y sobre el tope.
Dos obreros conducen una carga de 60 kg con una barra de 2,50 m de largo
de masa despreciable.. La carga pende a 1,50 m de uno extremo. Calcula la
fuerza que debe hacer cada obrero si conducen la barra sostenida por uno de
sus extremos.
Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre una lámina de latón. La primera, de
240 N actúa hacia la derecha, la segunda, de 549 N forma un ángulo de 24º
con respecto a la primera, la tercera, de 876 N forma un ángulo de 30º con respecto a la segunda y la cuarta, de 1200 N forma un ángulo de 45º con la tercera. Halle la fuerza resultante y el ángulo que forma con la segunda fuerza.
Analiza el rectángulo de la figura. Calcula la resultante.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
79
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.3.2
Responde experimentalmente la siguiente pregunta: ¿Porque puedes ejercer
mayor fuerza en los pedales de una bicicleta si te aferras al manubrio?
INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCULA
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
80
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
5.3.3. EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA.
OBJETIVOS DEL TEMA: Aplicar los conceptos propuestos a situaciones del
quehacer cotidiano. Incitar la motivación al trabajo grupal.
Supongamos una partícula P sujeta a la acción de varias fuerzas, como se
muestra en la figura:
Como P es tan pequeña, distinguimos solamente el movimiento de traslación,
pues el de rotación en torno a su propio eje, es imperceptible.
La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en
equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella
sea cero.
Matemáticamente, esta ecuación se expresa así:
Generalizando tenemos:
Descomponiendo tenemos:
Naturalmente con esta condición la partícula está en reposo o se mueve sobre
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
81
UNIVERSIDAD DE CUENCA
una trayectoria rectilínea con velocidad constante.
Si ahora observamos un sistema de partículas sujeta a la acción de varias
fuerzas, como se muestra en la figura:
Para que un sistema de partículas permanezca en
equilibrio, cada una de sus partículas debe permanecer en equilibrio. Ahora las fuerzas que actúan
sobre cada partícula son, en parte de interacción
con las otras partículas del sistema y en parte
proveniente del exterior
.
Un sistema de partículas está en equilibrio si la suma de las fuerzas que actúan
sobre cada partícula es cero, es decir:
Generalizando:
Diagrama de cuerpo libre:
Un diagrama de cuerpo libre muestra a un cuerpo aislado con todas las fuerzas
en forma de vectores que actúan sobre él (incluidas, si las hay, el peso, la
normal, el rozamiento, la tensión, etc.).
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
82
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ejercicio Guía
El sistema de la figura se encuentra en equilibrio. Los cables forman ángulos
de 30º y 60º con la horizontal y la partícula pesa 250 N. Calcular la tensión en
los cables.
Se aplica la condición
de equilibrio:
Del DCL del bloque y en el nudo se
obtienen las ecuaciones:
Bloque:
Nudo:
De la ecuación (3) se obtiene:
De la ecuación 1 : Reemplazando en las ecuación (2):
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
83
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Simplificando y despejando:
Finalmente:
Evalúa tu comprensión:
¿Qué significa decir que algo está en equilibrio mecánico?
Una bola de boliche en reposo está en equilibrio ¿Está también en equilibrio
cuando se mueve con rapidez constante sobre una trayectoria rectilínea?
Lee, razona y resuelve:
Un disco de amoladora de 750 N se mantiene en equilibrio por medio de la cuerda AB de 2,8 m de largo, y una
fuerza horizontal F como muestra en la figura. Si la distancia entre la pared y la piedra es 1,4 m. Calcule la
magnitud de F y la tensión de la cuerda
Una piedra de 1 000 N es sostenida por dos cuerdas, como indica la figura. Halla las tensiones de dichas cuerdas
sabiendo que
= 45º.
Taller 5.3.3
Investiga y responde: ¿Qué mantiene a la Tierra moviéndose alrededor del
Sol?
INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA
Tema:
Situación Problémica:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
84
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
85
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
e)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Fuerza.
→
Relación entre fuerza y entorno.
→
Componentes rectangulares de una fuerza.
→
Composición de fuerzas.
→
Equilibrio de traslación de una partícula.
f)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
86
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ejercicio 4.2 Una barra de masa M y de largo L se equilibra como se indica en
la figura. No hay roce. Determine:
9 Las fuerzas que intervienen.
9 El ángulo que hace la barra con la horizontal cuando hay equilibrio.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
87
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Cuarta Subunidad
ESTÁTICA ROTACIONAL
ESTÁTICA ROTACIONAL
TORQUE DE UNA FUERZA
TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS EQUILIBRIO DE ROTACIÓN
SÓLIDO RÍGIDO
CENTROS DE MASA
EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
88
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Cuarta Subunidad
ESTÁTICA ROTACIONAL
La Estática rotacional estudia las condiciones de equilibrio de rotación de los
cuerpos. En esta subunidad veremos la causa de la rotación de una partícula o
sistema de partículas, así como las condiciones de equilibrio de rotación de una
partícula y de un cuerpo rígido.
5.4.1. TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA.
OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un conocimiento y comprensión correcta de los conceptos. Generalizarlos y caracterizarlos a situaciones cotidianas. Despertar la motivación por la investigación.
El torque o momento de una fuerza con respecto a un eje O es una medida de
la efectividad de la fuerza para producir una rotación alrededor de dicho eje.
Matemáticamente, es un vector resultante del producto vectorial del vector posición por el vector fuerza, es decir:
Donde r es el “vector posición”, es decir, es un vector que parte del origen del
sistema de referencia o de un punto o eje
Fig. 5.4.1.1 Torque de una fuerza
cualquiera y llega al punto P de aplicación
Z
de la fuerza F, ver figura 5.4.1.1.
El torque es la magnitud responsable de
hacer girar a los objetos, por lo tanto el
torque es en el movimiento de rotación lo
que la fuerza es en el de traslación.
Si el torque es un producto vectorial, entonces su dirección es perpendicular a
Y
X
y a en el sentido dado por la regla
de la mano derecha (si los dedos empuñados indican el sentido de la rotación entonces el pulgar extendido apunta a lo largo del eje de giro).Su magnitud está
dada por
, en donde
es el ángulo formado por los vectores
y .
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
89
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Note que el torque que ejerce una fuerza depende de la posición del punto Q
donde ésta se aplica y del punto P respecto al cual estamos evaluando el torque.
Por convención se considera el torque positivo si la rotación que produciría la
fuerza es en sentido antihorario y negativo si es horario, esto se ilustra en la
figura. La unidad de medida del torque en el SI es el N.m
Ejercicio Guía
Calcular el torque
respecto
al
origen,
producido
, que se aplica a un objeto en la posición
por
una
fuerza
m.
Por definición de torque:
Particularizando:
Operando:
Y:
Finalmente:
N.m
Evalúa tu comprensión:
El torque es una cantidad……………….. definida por………………………
Explica porque la puerta se abre con más facilidad si la tiramos del extremo
opuesto de las bisagras que si la tiramos del centro.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
90
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Lee, razona y resuelve:
Un mecánico aplica una fuerza de 32 N a una llave de 14 cm de largo, para
apretar un perno. Si el ángulo entre la llave y la mano del mecánico es 32º.
Halla el torque.
aplicada en el punto
Halla el torque producido por la fuerza
con respecto a) al punto
b) al punto
Taller 5.4.1
Cuando pedaleas una bicicleta, el torque máximo se produce cuando los pedales están en posición horizontal y es nulo cuando los pedales están en posición
vertical. Explica por qué.
INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UNA FUERZA
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
92
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5.4.2. TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS
OBJETIVOS DEL TEMA: Ampliar el conocimiento anterior con el actual .Compararlo y
establecer analogías y diferencias. Desarrollar el espíritu de investigación y análisis.
Supongamos ahora que tenemos un sistema de varias fuerzas. Cada una de
ellas tendrá un punto de aplicación. Ahora bien, si las rectas directrices de dichas fuerzas se cortan en un punto común C (son concurrentes), la fuerza resultante es la suma vectorial de todas ellas, es decir:
Cada fuerza generará un torque con respecto a un eje o punto O. El torque resultante es la suma vectorial de los torques parciales correspondientes a las
fuerzas parciales:
Como las fuerzas son concurrentes, se las puede desplazar para que todas
actúen en un punto de concurrencia C. Luego se puede hallar el vector resultante y el vector posición que va del punto de concurrencia C al punto o eje O
con respecto al cual se evalúa el torque. Hallado estos dos elementos se puede
hallar el torque total:
Si tenemos dos fuerzas cuyas directrices o líneas de acción son paralelas, del
mismo módulo y sentido contrario, estas reciben el nombre de par. Un par aplicado a un cuerpo solo puede hacerle rotar. El módulo del torque de un par de
fuerzas es igual al producto de una de ellas por la distancia entre sus líneas de
acción (brazo del par)
Ejercicio Guía
Una barra AC de un metro de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas
verticales como indica la figura. Suponiendo que el peso de dicha barra es
despreciable, calcula:
La suma algebraica de las fuerzas aplicadas.
El torque resultante del sistema.
Primero obtenemos la fuerza resultante:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
93
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Calculamos los torques parciales, para ello elegimos como eje al punto A:
De este modo calculamos el torque resultante:
Evalúa tu comprensión:
El torque resultante de varias fuerzas con respecto a un punto O es
la…………………………………………………………………………………………
………………….cuya ecuación es
…………………………………………….
Lee, razona y resuelve:
Demuestra que el torque total ejercido por las
dos fuerzas que actúan sobre la barra de la figura, en torno al punto O, es nulo.
Para las siguientes fuerzas:
Que actúa en el punto
Que actúa en el punto
Que actúa en el punto
Calcula el torque resultante con respecto:
→
Al punto
→
Al punto
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94
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.4.2
Demuestra por que cuando un automóvil cae por un acantilado, gira hacia adelante al caer. Ten en cuenta el torque ejercido por el auto al dejar el acantilado.
INVESTIGACIÓN 5.4.2.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UN SISTEMA
DE FUERZAS
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
95
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.4.3. EL CUERPO RÍGIDO
OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una comprensión y aplicación correcta del concepto.
Generalizarlo a situaciones del quehacer cotidiano. Despertar el interés por el trabajo
en diadas o parejas.
Un sólido rígido es un cuerpo extenso constituido por partículas cuyas posiciones relativas son fijas y que no experimenta deformación. En realidad no
existen sólidos completamente rígidos, pero hay muchos en la práctica y para
fuerzas no muy grandes, se comportan como tales.
Tomemos como ejemplo el sólido rígido de la figura 5.4.3.1.
Si sobre el cuerpo actúan varias fuerzas en diferentes puntos de aplicación, podemos obtener
la fuerza resultante expresada como la suma de
las fuerzas parciales, esto es:
Fig. 5.4.3.1. Cuerpo rígido.
Si se toma un punto arbitrario O y aplicamos cada una de las fuerzas parciales de manera que se produzca un torque con respecto a O, el torque resultante es expresado como la suma de los torques parciales, esto es:
Ejercicio Guía
Halla la fuerza y el momento resultante con respecto a los extremos de la barra sometida al sistema de fuerzas indicado en la figura:
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96
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Calculamos la fuerza resultante:
Calculamos el torque resultante con respecto a los puntos O y A:
Los torques resultantes son:
Evalúa tu comprensión:
El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecuación…………………cuya
magnitud
se
obtiene
mediante……………………………………………..
Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del………..
Lee, razona y resuelve:
,
,
aplicaLa figura muestra las fuerzas
das a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Calcular el torque resultante.
Dos fuerzas
actúan a lo largo de los lados de un triángulo equilátero de
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
97
UNIVERSIDAD DE CUENCA
lado a, como se muestra en la figura. Encuentre una tercera fuerza
que aplicada en el vértice a lo largo del lado produzca un torque neto en torno a O igual
a cero.
Taller 5.4.3
Con la ayuda de cuerdas trata de arrastrar un bloque de concreto o alguna
piedra localizada cerca al colegio. Con un dinamómetro mide las fuerzas aplicadas. Con estos datos, calcula la fuerza resultante.
INVESTIGACIÓN 5.4.3.- APLICACIÓN REAL DE SÓLIDO RÍGIDO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
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98
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
99
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5.4.4. CENTROS DE MASA
OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender correctamente los conceptos. Caracterizarlos
y aplicarlos para plantear y resolver situaciones problémicas Animar al alumno al estudio guiado.
Si tenemos dos masas,
unidas por una barra de masa despreciable, tal
como se muestra en la figura 5.4.4.1
Este sistema tendrá un punto P, externo o interno, tal que si sostenemos al sistema en ese
punto, no existan fuerzas ni torques que lo
obliguen a desplazarse o a girar.
Este punto P de equilibrio es denominado Fig. 5.4.4.1
centro de masa de un cuerpo rígido o deformable; en este punto se supone que se concentra
toda la masa del sistema.
El centro de masa es de vital importancia para analizar el movimiento de cuerpos cuya geometría no
facilita definir una trayectoria, esta es definida desde
el centro de masa, reduciendo el análisis al movimiento del centro de masa.
Si ahora obtenemos el vector posición
masas:
que va desde P a cada una de las
Si multiplicamos el segundo miembro de la ecuación por:
una masa:
tendríamos, para
Para varias masas:
Si los sistemas son láminas planas, las consideraremos asentadas en el plano
XY; el vector centro de masa queda definido de la siguiente manera:
S analizamos experimentalmente algunas figuras geométricas planas y algunos sólidos macizos, podemos compararlos con los centros de masa indicados
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
100
UNIVERSIDAD DE CUENCA
en la siguiente tabla:
Centros de masa de algunos cuerpos
FIGURA PLANA O SÓLIDO
POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA
Cuadrado, rombo, rectángulo, paraleCentro de diagonales planas
logramo
Círculo, polígonos regulares.
Centro geométrico de la figura
Centro de las medianas, sobre una
Triángulos
mediana a un tercio de la base
Cubo, prisma, paralelepípedo
Centro geométrico del sólido
Conos, pirámides
Sobre la altura a un cuarto de la base
Ejercicio Guía
Demostrar que el CM de un sistema de dos partículas materiales está más
cerca de la partícula de mayor masa.
Nos guiamos de la siguiente figura:
Consideramos el origen de distancia en m. La posición del CM vendrá dada
por:
La distancia del CM a la partícula pequeña será:
Como
entonces
Como
el centro de masa del sistema se encuentra cerca de la partícula con mayor masa, que es lo que queríamos demostrar.
Evalúa tu comprensión:
En el centro de masa de un sistema de partículas parece:………………………
……………………………………………………………………………………………
Lee, razona y resuelve:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
101
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En cinco de los seis vértices de un hexágono regular hay una masa
cuentre la posición del centro de masas del hexágono.
. En-
Calcula las coordenadas del centro de masa de esta guía. Luego encuentra el
vector centro de masa con respecto a un punto de tu pupitre.
Taller 5.4.4
Pide a un amigo que se para de cara a una pared. Con los dedos de los pies
contra la pared, pídele que se pare de puntas sin carece. No lo podrá hacer.
Explícale exactamente porque no lo puede hacer
INVESTIGACIÓN 5.4.4.- APLICACIÓN REAL DE CENTROS DE MASA
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
102
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
5.4.5. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.
OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un dominio de la base teórica y del método empleado para la resolución de ejercicios .Generalizarlo y relacionarlo con situaciones de la
vida diaria. Despertar el interés por el descubrimiento en base a la investigación
Consideremos un cuerpo rígido formado por algunas masas situadas en una
posición
respecto a un origen O y unidas por barras rígidas de masa des-
preciable (ver figura 5.4.4.1). Sea
la fuerza externa que actúa sobre cada
una de las masas.
A continuación, usando la figura 5.4.4.1 demostraremos dos resultados importantes:
Un cuerpo o sólido rígido que en cierto instante está
en reposo, seguirá en tal estado si la fuerza resultante o fuerza neta que actúa sobre él es nula.
Fig. 5.4.4.1
La condición bajo la cual un cuerpo rígido permanece en equilibrio de rotación
es que el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario es nulo.
La ecuación:
Garantiza el equilibrio de traslación, en este caso, el sólido permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (primera ley del equilibrio).
La ecuación:
Garantiza el equilibrio de rotación; el sólido permanece en reposo o se mueve
con movimiento circular uniforme. (Segunda ley del equilibrio).
Cuando un cuerpo es trasladado sobre una superficie cualquiera, después de
cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
103
UNIVERSIDAD DE CUENCA
debido a la interacción del cuerpo con la superficie sobre la que se desliza
Esa resistencia cambia el estado de movimiento del cuerpo, por lo tanto se trata de una fuerza, más exactamente, de una fuerza de roce o de fricción.
Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario.
Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto.
No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza de
las sustancias.
Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en movimiento.
Son muy importantes en la vida cotidiana, ya que por ejemplo nos permiten
caminar y son necesarias para que se realice el movimiento de vehículos.
La fuerza de roce estático, es la fuerza que se presenta entre cuerpos en equilibrio, dicha fuerza es paralela a la superficie en el punto de contacto y su dirección es opuesta a la fuerza aplicada, nunca ayudan al movimiento. En la figura 5.3.3.1 se ilustra lo que acontece cuando un cuerpo se encuentra en
equilibrio bajo el sistema de fuerzas indicado.
Si aplicamos la condición de equilibrio:
Fig. 5.3.3.1
Es decir:
La fuerza de rozamiento estático es igual a la fuerza aplicada. Pero la fuerza
de rozamiento puede aumentar hasta un límite, el cual depende de la naturaleza de las superficies en contacto a través de un valor denominado” coeficiente
y del valor de la fuerza normal, es decir:
de fricción estático”
Por lo tanto, se denomina coeficiente de fricción estático al cociente entre la
fuerza de rozamiento apreciada en el momento de iniciar el movimiento y la
fuerza normal a la superficie de contacto, es decir:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
104
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Si la relación:
moverse.
se cumple, el cuerpo está en equilibrio o a punto de
La siguiente tabla muestra algunos coeficientes de rozamiento estático:
MATERIALES
μs
Acero sobre acero
Teflón sobre acero
Teflón sobre teflón
Caucho sobre asfalto
Esquí sobre nieve
Madera sobre madera
0,74
0,04
0,04
0,95
0,10
0,45
Algunos valores de los Coeficientes de rozamiento estático
A continuación se sugiere un método general para resolver ejercicios de Estática del cuerpo rígido:
EL MÉTODO GENERAL DE LA ESTÁTICA
1) Representar gráficamente el diagrama de sólido libre.
2) Plantear las ecuaciones de la estática.
3) Resolver las ecuaciones de la estática.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Consiste en dibujar sobre el contorno del sólido el conjunto de las fuerzas y pares que actúan sobre él. Es conveniente proceder con orden, representando
gráficamente:
a) el peso
b) las fuerzas y pares directamente aplicados
c) las fuerzas y pares de reacción
En el diagrama de cuerpo libre no deben dibujarse los otros sistemas que constituyen las ligaduras indicadas. Su efecto sobre el sólido queda representado
por las reacciones que experimentan y se conocen como reacciones en los
apoyos.
REACCIONES EN LOS APOYOS
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
105
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Es conveniente analizar en forma más o menos sistemática las fuerzas que
causadas por ciertos tipos de soportes, cuerdas, resortes, empotraduras, articulaciones y otros, donde en las figuras que siguen se ilustran las componentes
de fuerzas y pares que ellos causan.
No hay que olvidarse los signos de los torques, positivos los antihorarios y negativos los horarios.
Cuerda o cable:
Contacto con rodillo:
Soporte de pasador:
Contacto con superficie lisa
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106
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Contacto con superficie rugosa:
Soporte empotrado:
Nótese que, debido a que la empotradura ejerce un par de fuerzas sobre la pared, se ejerce un torque de par.
Ejercicio Guía
está articulada en O, apoyada en
La barra de la figura de longitud L y peso
A, sostiene un bloque de peso W desde a hasta b. Determine las reacciones
en O y en A. Particulariza para L=2 m, =3 kg y W= 28 kg, a=0,60 m, b=1,8
m
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107
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El correspondiente diagrama de cuerpo libre es:
Planteamos las ecuaciones de equilibrio:
(1)
Los torques con respecto al punto O:
(2)
De (1) despejamos S y sustituimos en (2), hacemos esto en forma escalar:
De donde obtenemos la expresión para la reacción en O:
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108
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Y para la reacción en A:
Reemplazando los datos numéricos, obtenemos:
La barra de la figura de masa m y largo 2a está en equilibrio apoyada sobre
una pared vertical lisa y sostenida por un extremo mediante una piola de largo
b. Determine los posibles ángulos θ de equilibrio.
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre:
A la normal la podemos desplazar de modo que
esté en el eje X
Planteamos las ecuaciones de equilibrio:
(1)
(2)
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
109
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Los torques con respecto al punto O:
(3)
Además de una relación geométrica:
De la segunda y la tercera:
Concluimos que:
Y
,…
Evalúa tu comprensión:
La condición de equilibrio está dada por la ecuación:………………………………
Sobre un paracaidista que desciende en el aire actúan dos fuerzas: su peso y
la resistencia del aire. Si desciende con rapidez uniforme ¿Cómo comparas las
magnitudes del peso y de la resistencia del aire?
Lee, razona y resuelve:
Una escalera de masa m y largo L se encuentra
), formando un
apoyada contra una pared lisa (
ángulo
con ella. Una persona de masa M se encuentra sobre la escalera. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento estático que debe existir entre
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
110
UNIVERSIDAD DE CUENCA
el suelo y la escalera para que la escalera no resbale, independientemente de
la altura a la que se encuentra la persona?
La figura muestra un letrero luminoso de masa m que cuelga de una barra (de
masa despreciable) que se mantiene horizontal
con la ayuda de una cuerda. Calcule la tensión
de la cuerda y la fuerza ejercida por la barra
contra la pared.
En
el
puente
del
Vado
están
tres
vehículos
cuyos
pesos
son
. Si el puente mide
y pesa
¿Cuáles
son las reacciones en las columnas laterales del puente si los vehículos se
encuentran a 10, 20 y 35 m respectivamente?
Taller 5.4.5
Intenta formar una torre con ladrillos sueltos, uno encima de otro (ver figura),de
manera que el ladrillo de más arriba esté desplazado en más de una unidad
con respecto al de más abajo, sin que la torre se desplome. Intenta dar una explicación físico- matemática a este modelo.
INVESTIGACIÓN 5.4.5.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO
Tema:
Situación Problémica:
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UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
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112
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Subraya lo correcto:
El torque de una fuerza es:
a)
Un escalar que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición
por la fuerza.
b)
Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición y
la fuerza.
c)
Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente la fuerza y el vector
posición.
d)
El causante de la traslación de un cuerpo.
e)
Todas las anteriores
f)
Ninguna de las anteriores.
Las condiciones bajo las cuales un cuerpo rígido permanece en equilibrio son:
a)
que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a
un origen arbitrario sean nulas
b)
que la fuerza interna resultante sea nula y el torque externo resultante
respecto a un origen arbitrario sea cualquier valor arbitrario.
c)
que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a
un origen no arbitrario sean nulas.
d)
Al menos una de las anteriores.
e)
Todas las anteriores menos una.
f)
Ninguna de las anteriores.
Las expresiones para el cálculo de las coordenadas del centro de masa de una
lámina plana homogénea son:
………………………;………………………………………;……...……………………
se encuentran en repoTres cuerpos de masa
so como muestra la figura, de tal forma que cualquier pequeña perturbación
haría que el cuerpo A subiera por el plano. Las cuerdas que unen los cuerpos
son inextensibles y de masa despreciable. Se pide
a) El diagrama de fuerzas que actúan sobre
b) El coeficiente de roce estático entre
y la superficie.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
113
UNIVERSIDAD DE CUENCA
c) Las tensiones en las cuerdas.
Se tiene un sistema formado por una barra uniforme de 6 m de longitud, de
masa 100 kg articulada en el punto A a un mástil vertical.
En el extremo B de la barra cuelga un cuerpo de masa 400 kg. La barra está
sostenida por un cable inextensible atado a los puntos C sobre la barra a distancia 1,5 m del extremo B y D sobre el mástil, de tal modo que el triángulo
ACD es equilátero. Determine
a) La magnitud de la tensión del cable CD.
b) Las componentes de la fuerza que hace el pivote en A sobre la barra.
c) El torque ejercido por la tensión del cable sobre el mástil, respecto al punto
A.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
114
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Quinta Subunidad HIDROSTÁTICA HIDROSTÁTICA INTRODUCCIÓN
DENSIDAD PRESIÓN
PESO ESPECÍFICO
PRINCIPIO DE PASCAL ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE EQUILIBRIO PARADOJA HIDROSTÁTICA TENSIÓN SUPERFICIAL
PRINCIPIO
DE ARQUÍMEDES
CAPILARIDAD
FLOTACIÓN AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
115
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Quinta Subunidad
HIDROSTÁTICA
La estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los
conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la
hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos,
puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algunas características diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de
la estática de gases. El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto
de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o
estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en
equilibrio y en particular del aire.
5.5.1 INTRODUCCIÓN.
OBJETIVOS DEL TEMA Dotar al alumno de un cimiento teórico desde el punto de vista fenomenológico. Motivar al alumno para su adaptación a esta nueva metodología.
Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. La
materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro. Los líquidos y los
gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un
volumen constante. Se dice por ello que son fluidos incompresibles (no pueden
ser comprimidos). Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan
el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles (pueden ser comprimidos).
Densidad.
Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. No obstante,
existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan
el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa.
La masa de una sustancia es directamente proporcional al volumen que ocupa,
es decir:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
116
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se
conoce por densidad y se representa por la letra griega ro ( )
Es decir:
Despejando ρ de la anterior ecuación resulta:
La densidad
de una sustancia es la masa que corresponde a un volumen
unidad de dicha sustancia. Su unidad en el SI, es el kg/m ³.
La densidad depende solamente del tipo de material de que está constituida
una sustancia y no de su forma ni tamaño. En los sólidos la densidad es
aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones de medida.
La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de
otra sustancia diferente que se toma como referencia o patrón:
Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya
densidad a 4 °C es igual a 1000
físicas.
; la densidad relativa carece de unidades
Densidad (g/cm3)
Sustancia
Densidad (g/cm3)
7.7-7.9
Oro
19.31
Aluminio
2.7
Plata
10.5
Cinc
7.15
Platino
21.46
Cobre
8.93
Plomo
11.35
Cromo
7.15
Silicio
2.3
Estaño
7.29
Sodio
0.975
Hierro
7.88
Titanio
4.5
Magnesio
1,76
Vanadio
6.02
Níquel
8.9
Volframio
19.34
Aceite
0.8-0.9
Bromo
3.12
Sustancia
Acero
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
117
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Acido sulfúrico
1.83
Gasolina
0.68-0.72
Agua
1.0
Glicerina
1.26
Agua de mar
1.01-1.03
Mercurio
13.55
Alcohol etílico
0.79
Tolueno
0.866
Tabla 5.5.1. densidades de algunos líquidos y gases a 20°C
Peso específico.
El peso por unidad de volumen o peso específico representa la fuerza con
que la Tierra atrae a la unidad de volumen de una sustancia y se define como
el cociente entre el peso de un cuerpo y su volumen:
La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre
peso y masa. En efecto:
La unidad del peso específico en el SI es el N/m ³.
Presión.
Se define presión como el cociente entre la componente normal de la fuerza
sobre un área y el valor de dicha área, es decir:
Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus
paredes y, por tanto, puede hablarse también
de presión. Si el fluido está en equilibrio las
fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes
paralelas que provocarían el desplazamiento
de la masa de fluido en contra de la hipótesis
de equilibrio. La orientación de la superficie
determina la dirección de la fuerza de presión,
Fig. 5.5.1.1. Presión.
por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces
de una magnitud escalar.
En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define
como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1
Pa equivale, por tanto, a 1 N/m ².
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún
sistema de unidades en particular han sido aceptadas por el uso y se siguen
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
118
UNIVERSIDAD DE CUENCA
usando en la actualidad junto con el Pascal. Entre ellas se encuentran la
atmósfera(at) y los milímetros de mercurio (mmHg)
La atmósfera se define como la presión que a 0 °C ejercería el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm ² de sección sobre su base.
Se llama presión barométrica o presión absoluta p
en un punto cualquiera de un fluido a toda presión
que aparece como consecuencia de presiones superficiales o hidrostáticas. Se mide con el barómetro,
el cual consta de un tubo cerrado en uno de sus extremos, con vacío entre este y una columna de mercurio que sirve de referencia (Fig. 5.5.1.2.). La presión absoluta que se desea medir se pone en
contacto con la boca abierta del barómetro.
Se llama presión manométrica a la diferencia entre
la presión absoluta o barométrica p en un punto
cualquiera del fluido y la presión superficial o atmosférica en el lugar, es decir:
.
Fig. 5.5.1.2. Barómetro
Esta presión se mide con el manómetro (Fig. 5.5.1.2),
el cual consta de un tubo con los dos extremos abiertos, uno de ellos en contacto con la superficie y el otro
con el punto cuya presión manométrica se desea medir.
Fig. 5.5.1.3. manómetro
Ejercicio Guía
Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2E30 Kg.
de esa estrella, bajo la influencia de la
¿Cuánto pesaría un volumen de
atracción gravitacional en la superficie de la Tierra? El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleración de gravedad. En
consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a través del
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
119
UNIVERSIDAD DE CUENCA
concepto de densidad, con una regla de tres simple, puesto que:
2E30
1E-6
x
Es decir, cada cm3 de la estrella tendrá una masa de 4,7E11 kg, por lo tanto en la superficie de la tierra pesará:
=4,67E12 kg
Evalúa tu comprensión:
¿Qué sucede con el volumen de un pan cuando se comprime? ¿Con la masa?
¿Con la densidad?
¿Que tiene mayor densidad, una barra de oro puro o un anillo de oro puro? Defiende tu respuesta.
Cuenta cuantas llantas tiene un tráiler que está descargando mercancías en el
supermercado más cercano. ¿Por qué tantas ruedas? Justifica científicamente
tu respuesta
Analiza la utilidad práctica de usar un barómetro de agua.
Lee, razona y resuelve:
María se encapricho por tener un par de aros de oro esféricos, grandes y sólidos de 1.25 cm de radio y le pidió a su novio que se los comprara. ¿Cuántos
gramos de oro tendrán que soportar sus orejas por caprichosa?
Cuál es la presión que experimentan los pies de una persona de 1,80 m si las
tres cuartas partes de su cuerpo están sumergidas en una piscina de 5 m de
profundidad
El tubo vertical abierto de la figura contiene dos fluidos de densi, que no se mezclan. Demuestre que la presión en
dades
el fondo del tubo está dada por la expresión
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
120
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.5.1
Investiga cual es la causa de la presión atmosférica. Pide asesoría a tu profesor. Socializa tu informe.
INVESTIGACIÓN 5.5.1.- APLICACIÓN REAL DE PRESIÓN, DENSIDAD Y
PESO ESPECÍFICO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
121
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.2 LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA.
OBJETIVOS DEL TEMA: Dotar al alumno de un cimiento teórico básico para que
pueda interpretarlo y aplicarlo correctamente. Motivar al alumno en su labor de
aprendizaje.
Cuando un líquido está contenido en un recipiente, las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un
punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima de él. Considérese un punto P cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido.
El peso de la columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre P puede
expresarse en la forma:
La presión debida al peso vendrá dada por:
Que es una presión manométrica.
Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior adicional , como
la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el punto de altura h sería:
Que es una presión barométrica.
Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de calcular la difeentre dos puntos cualesquiera del interior del líquido sirencia de presiones
tuado a diferentes alturas, resultando:
Es decir:
Que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática. Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la
presión en el interior depende únicamente de la altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
122
UNIVERSIDAD DE CUENCA
implica que ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene
influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido.
Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática, cuya explicación se deduce a modo de consecuencia de la ecuación fundamental.
Si se tienen dos recipientes comunicados (Fig. 5.5.3.)y se vierte un líquido en
uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el
mismo. Este es el llamado principio de
los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de
la hidrostática. Si se toman dos puntos A
y B situados en el mismo nivel, sus preFig. 5.5.3. Sistema de vasos comunicantes
siones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir:
Luego, si
necesariamente las alturas
y
de las respectivas superfi-
.
cies libres han de ser idénticas, es decir
Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces
las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades.
En efecto, si
, se tendrá:
De donde:
Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación
experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye,
por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno
de ellos es conocida.
Ejercicio Guía
Un submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100
m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces
supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del
agua del mar es de 1,025 kg/m ³.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
123
UNIVERSIDAD DE CUENCA
De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:
Considerando que la presión
en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfera = 101325 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta:
p = 101325 + 1,025.9,8.100= 110580 Pa
El número de veces que p es superior a la presión exterior pose obtiene hallando el cociente entre ambas:
=
= 10,5 veces
Evalúa tu comprensión:
La ecuación fundamental de la hidrostática está dada por:
……………………………………………...
Explica con tus propias palabras el concepto de paradoja hidrostática.
Lee, razona y resuelve:
Suponiendo la atmósfera y el océano homogéneos, esto es de densidad constante, calcula la presión en diferentes niveles de altura en la atmósfera hasta un
km de altura y en el océano hasta 100 m de profundidad.
Elabora un gráfico que relacione la altura con la presión.
Taller 5.5.2
Demuestra: ¿Porqué las ventanillas de un avión son más pequeñas que las de
un autobús y no se pueden abrir mientras el avión esté volando?
INVESTIGACIÓN 5.5.2.- APLICACIÓN REAL DE ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA
Tema:
Situación Problémica:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
124
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
125
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.3. EL PRINCIPIO DE PASCAL Y SUS APLICACIONES.
OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo
pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar la técnica
del descubrimiento en la resolución de problemas.
La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se
transmite con el mismo valor a todos y a cada uno de los puntos del líquido y
sobre toda el área del recipiente que lo contiene. Este enunciado, obtenido a
partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662), se conoce como principio de Pascal.
El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la
ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los
líquidos.
La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en columnas, generalmente cilíndricas de diferente área transversal comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un
líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se
ajustan, respectivamente, en cada una de las dos columnas, de modo que
estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección
se ejerce una fuerza ,la presión
que se origina en el líquido en contacto
con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del
líquido; por tanto, será igual a la presión
que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección , es decir:
En consecuencia:
De este modo:
Y:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
126
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Fig. 5.5.3. Principio de Pascal
Si la sección
es veinte veces mayor que la
la fuerza
aplicada sobre el
émbolo pequeño es veinte veces mayor en el émbolo grande, es decir
.
La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.
Ejercicio Guía
El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica
conectada a una toma de agua de la red urbana que llega a la máquina con
una presión de 5E5 N/m ². Si el radio del émbolo es de 20 cm, determinar cuál
es el valor de la carga que como máximo puede levantar el elevador.
De acuerdo con el principio de Pascal:
Que para una prensa hidráulica se
transforma en:
Y
Dado que:
=
De este modo:
El valor efectivo de la carga máxima expresado en newton será:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
127
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión:
El principio de Pascal expresa que:…………………………………………………
………………………………………………………………………………………….
La prensa hidráulica es………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
Lee, razona y resuelve:
En un elevador de carga el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño émbolo de área circular de 5 cm de radio, que se transmite por agua a otro
émbolo de 20 cm de radio. Calcular la fuerza que se debe ejercer al aire comprimido para levantar un auto de 10000 N y la presión que ejercería esa fuerza.
Dos émbolos cuyas áreas transversales son circulares de diámetros 6 cm y 8
cm se usan en una prensa hidráulica para aplicar una fuerza f y F respectivamente. ¿Qué fuerza deberá hacer el operador para suspender un auto de
25000 N
Taller 5.5.3
Haz una maqueta de una prensa hidráulica. Luego explica el fundamento
científico de ella a tus compañeros.
INVESTIGACIÓN 5.5.3.- APLICACIÓN REAL DE PRINCIPIO DE PASCAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
128
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
129
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.4. EMPUJE HIDROSTÁTICO: PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES.
OBJETIVOS DEL TEMA Caracterizar y relacionar los conceptos a situaciones medioambientales. Valorar la importancia del razonamiento en la resolución de conflictos.
El segundo principio importante de la estática de fluidos fue descubierto por el
griego Arquímedes (287-212 a. de C.) y afirma que, cuando un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas las partes de la superficie del cuerpo que están en contacto
con el fluido. La presión es mayor sobre las partes sumergidas a mayor profundidad. La resultante es una fuerza dirigida hacia arriba y llamada empuje sobre el cuerpo sumergido.
Un cuerpo total o parcialmente sumergido
en un fluido es empujado hacia arriba con
una fuerza que es igual al peso del fluido
desplazado por dicho cuerpo (Fig. 5.5.3.1.).
Para su demostración partimos de la ecuación fundamental de la hidrostática: Tenemos la ecuación para el peso del objeto
sumergido, el cual ejercerá una presión
hacia abajo:
Siendo
la superficie de la cara superior y
su altura respecto de la superficie libre del líquido. La presión del líquido estará dirigida hacia arriba y, como
en el caso anterior, su magnitud será dada por:
La resultante de ambas representará la fuerza de empuje hidrostático E.
Pero, dado que
, resulta:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
130
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su principio, ya que m.g es el peso de un volumen de líquido igual al del cuerpo sumergido.
Esto explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente
igual al peso del agua que desplaza, y el agua desplazada ejerce la fuerza
hacia arriba que mantiene el barco a flote.
El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que
producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al
centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo
que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto
mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo.
De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en
un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han de ser iguales en magnitudes, es decir E=P y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza y el torque son nulos, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = P equivale de hecho a que las
densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del
cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro
geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de
generarán un torque que hará girar el
empuje. Ello significa que las fuerzas
cuerpo hasta que ambas estén alineadas.
Si un cuerpo sumergido flota es porque el empuje es mayor que el peso (E>P).
En equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo. Si
el empuje es menor que el peso (E<P) el cuerpo se hunde.
Ejercicio Guía
de masa cuando está vacío. Para conseguir que
Un globo de goma tiene
se eleve se infla con gas liviano. Sabiendo que la densidad del aire es de
y la del gas liviano
determinar el volumen que, como mínimo,
ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse.
Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la
del peso:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
131
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En virtud del principio de Arquímedes:
Ya que en este caso el fluido desalojado es el aire.
Por otra parte, el peso P será la suma del peso del globo más el peso del gas liviano
que corresponde al volumen V, es decir:
Por tanto:
Para que el globo se eleve, se tiene que cumplir que:
Es decir:
El volumen mínimo será, por tanto, de 10,5 litros.
Evalúa tu comprensión:
El principio de Arquímedes expresa que……………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
¿Porque cuando te metes a la piscina y no sabes nadar, te vas al fondo y un
balón flota en la superficie?
Comprende, razona y resuelve:
Calcular la fracción del volumen de un cubo de hielo que sobresale del nivel de
agua, cuando flota en un vaso con agua.
Una pelota esférica de plástico flota en el agua con 50% de su volumen sumergido. Esta misma pelota flota en aceite con 40% de su volumen sumergido. Determine las densidades del aceite y de la pelota.
Calcular el área de una tabla de fibra de vidrio de espesor H y densidad ρ,
cuando flota en el mar con un nadador de masa M sobre la tabla.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
132
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.5.4
Consulta sobre la historia de Arquímedes y el tirano de Siracusa. Luego haz un
guión y dramatízalo delante de tus compañeros. Usa disfraces si es necesario.
INVESTIGACIÓN 5.5.4.- APLICACIÓN REAL DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
133
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.5. FLOTACIÓN.
OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo
pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar la técnica
del descubrimiento en la resolución de problemas.
La flotación, es la pérdida aparente de peso que tienen los objetos sumergidos
en un líquido, lo cual hace que la magnitud de la fuerza requerida para levantar
un cuerpo sumergido en agua sea menor que la requerida para levantar el
mismo objeto, si está sumergido en aire. Esto se debe a que cuando el objeto
está sumergido, el fluido ejerce una fuerza hacia arriba; dicha fuerza se la llama
fuerza de flotación y es una consecuencia del aumento de la presión con la profundidad.
Cuando un cuerpo desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. A
esto se le llama principio de flotabilidad.
Un objeto flotante desplaza fluido con peso igual a su propio peso.
Esto es el principio que rige la actividad náutica y aérea, pues un barco o un
avión son diseñados para desplazar un peso de fluido igual a su propio peso.
Para el mismo volumen de agua desplazada, los fluidos más densos ejercen
mayor fuerza de flotación que los menos densos. En consecuencia, un barco
flota más en agua dulce que en agua salada porque esta última es más densa.
De igual modo un pedazo de hierro flota en mercurio, pero se hunde en agua.
Ejercicio Guía
), sobre la que flota
Un recipiente contiene una capa de agua (
una capa de aceite, de densidad
. Un objeto cilíndrico de den-
sidad desconocida cuya área en la base es
A y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la
superficie de separación entre el aceite y el
agua, sumergido en esta última hasta la profundidad de
como se indica en la figura.
Determinar la densidad del objeto.
El cuerpo está parcialmente sumergido enaceite y
parcialmente sumergido en agua. Está siendo sujeto de la acción de tres fuerzas: El
peso, el empuje del volumen de aceite desplazado por el cuerpo y el empuje del volu-
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
134
UNIVERSIDAD DE CUENCA
men de agua desplazado por el cuerpo. Está en equilibrio por lo que las fuerzas se
anulan, es decir:
Con:
Reemplazando los datos:
Evalúa tu comprensión:
La flotación o no de un cuerpo colocado en un recipiente con un líquido depende de:……………………………………………………………………………..
Para un mismo volumen de agua ,los fluidos más densos…………………………
…………………………………………………………………que los menos densos.
Describe las diferencias entre un cuerpo sumergido y un cuerpo en inmersión.
Generaliza el principio de flotación a los cuerpos sumergidos en aire y responde:
¿Ejerce el aire fuerza de flotación en todos los objetos que haya en el o solo a
objetos como los globos, que son muy ligeros en relación con su tamaño?
¿Porque el aire sostiene cosas cuya densidad es muy baja?
Comprende, razona y resuelve:
¿Qué fracción del volumen total de un iceberg queda fuera del agua? La deny la del agua del mar es
sidad del hielo es
Calcular la densidad de una boya de plástico de radio R, si flota en agua de
mar, con 2/3 de su volumen sobre el agua
¿Qué peso de agua desplaza un barco de 100 toneladas?¿ Cuál es la fuerza
de flotación que actúa sobre un barco de 100 toneladas?
Taller 5.5.5
Investiga y explica porque cuando una persona muere ahogada, a los pocos
días su cadáver flota. Para ello profundiza los conceptos de flotación y peso
aparente.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
135
UNIVERSIDAD DE CUENCA
INVESTIGACIÓN 5.5.5.- APLICACIÓN REAL DE FLOTACIÓN
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
136
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.6. TENSIÓN SUPERFICIAL.
OBJETIVOS DEL TEMA Utilizar los contenidos teóricos para predecir respuestas
científicas a fenómenos naturales relacionados con el tema. Incitar al trabajo cooperativo.
Tensión superficial es la fuerza por unidad de longitud que presenta la capa
superficial de un líquido sobre cualquier cuerpo que esté en contacto con él.
Matemáticamente se expresa como:
Siendo l la longitud total de la membrana líquida que se adhiere al cuerpo sumergido. Su unidad SI es el
.
La tensión superficial se debe a las atracciones intermoleculares que ejercen
fuerzas en todas las direcciones. Estas atracciones tienden a tirar la molécula
hacia el interior del líquido y esta tendencia es la que minimiza el área de la
superficie. La superficie se comporta como si estuviese asegurada a una película elástica.
La tensión superficial explica la
forma esférica de las gotas de los
líquidos. Las gotas de lluvia, de
aceite y de un metal fundido son
esféricas porque sus superficies
tienden a contraerse y a hacer
que cada gota adopte la forma
que tenga la mínima superficie.
Esta figura es la esfera, la figura
geométrica que tiene la superficie
mínima para determinado volumen.
La tensión superficial es la causa de que la presión en el interior de un líquido o
de una burbuja llena de gas sea mayor que la presión exterior.
En una gota esférica:
En una burbuja esférica llena de gas:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
137
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Siendo
la diferencia de presiones exterior- interior y r el radio de la burbuja.
A continuación se expone una tabla con valores de tensión superficial para varias sustancias.
TENSIONES SUPERFICIALES
Sustancia
agua a 0°C
agua a 20°C
agua a 100°C
benceno a 20°C
glicerina a 20°C
Alcohol etílico a 20°C
Aceite de oliva a 20°C
Solución jabonosa a 20°C
0,075 6
0,072 8
0,058 9
0,027 6
0,063 1
0,022 3
0,032 0
0,025 0
Ejercicio Guía
En un aceite se coloca horizontalmente un arco de alambre de 8 cm de diámetro. La fuerza debida a la tensión superficial necesaria para separar el anillo
del líquido es de 400 dinas. Calcular la tensión superficial del aceite en cuestión.
Al separar el aro de alambre del líquido se forman dos películas cilíndricas unidas al
aro una en su superficie interior y otra en su superficie exterior. Las líneas de contacto
de ambas superficies con el aro son circunferencias concéntricas de aproximadamente
el mismo diámetro e igual al correspondiente del aro.
De este modo se cumple que:
Es decir:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
138
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión:
La tensión superficial se debe a……………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Explica porque las gotas de los líquidos tienen forma esférica
¿Qué forma geométrica tiene la mínima superficie para determinado volumen?
Comprende, razona y resuelve:
Calcula la fuerza que ejerce una membrana de alcohol etílico sobre una armadura esférica de alambre de 15 cm de radio.
Un niño genera una pompa de agua de 2 cm de diámetro. Halla la fuerza que
experimenta la pompa contra el aparato que los genera.
Taller 5.5.6
En un recipiente con diferentes tipos de sustancias coloca objetos pequeños,
por ejemplo una hoja de afeitar, una cáscara, un pedazo de cartón, etc. Intenta
sacarlos sin que el nivel del líquido se eleve. Explica porque es imposible tal
cosa.
Explica porque los insectos pequeños como las moscas, “caminan” sobre el
agua
INVESTIGACIÓN 5.5.6.- APLICACIÓN REAL DE TENSIÓN SUPERFICIAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
139
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
140
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.5.7. CAPILARIDAD.
OBJETIVOS DEL TEMA: Captar correctamente la base teórica propuesta. Comprender la importancia del fenómeno en algunos campos de la ciencia. Valorar la importancia de la interacción asertiva en los procesos de aprendizaje
Es la elevación o depresión de la superficie de un líquido en la zona de contacto con un sólido, por ejemplo, en las paredes de un tubo. Este fenómeno es
una excepción a la ley hidrostática de los vasos comunicantes, según la cual
una masa de líquido tiene el mismo nivel en todos los puntos; el efecto se produce de forma más marcada en tubos capilares, es decir, tubos de diámetro
muy pequeño. La capilaridad depende de las fuerzas creadas por la tensión
superficial y por el mojado de las paredes del tubo.
Si las fuerzas de adhesión del líquido al sólido (mojado) superan a las fuerzas
de cohesión dentro del líquido (tensión superficial), la superficie del líquido será
cóncava y el líquido subirá por el tubo, es decir, ascenderá por encima del nivel
hidrostático. Este efecto ocurre por ejemplo con agua en tubos de vidrio limpios.
Si las fuerzas de cohesión superan a las fuerzas de adhesión, la superficie del
líquido será convexa y el líquido caerá por debajo del nivel hidrostático. Así sucede por ejemplo con agua en tubos de vidrio grasientos (donde la adhesión es
pequeña) o con mercurio en tubos de vidrio limpios (donde la cohesión es
grande).
La absorción de agua por una esponja y la ascensión de la cera fundida por el
pabilo de una vela son ejemplos familiares de ascensión capilar. El agua sube
por la tierra debido en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de escritura como la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se basan en este
principio.
Se denominan meniscos a las distintas formas que adopta la superficie de los
líquidos en la zona de contacto con la pared del recipiente. Estas formas dependen del ángulo de contacto entre líquido-pared, si este es menor que 90°,
producen ascenso del líquido (el líquido moja la vasija) y si este es mayor que
90°, producen descenso del líquido (el líquido no moja la vasija). Este ángulo
puede ser alterado por sustancias ya sea detergentes (disminuyen el ángulo) o
impermeabilizantes (aumentan el ángulo).
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
141
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El valor de la fuerza de tensión superficial para el ascenso del líquido es la que
actúa en la misma dirección del tubo, cuyo valor será:
Esta fuerza es equilibrada por el peso de la columna de líquido dentro del tubo:
Expresión de la que podemos despejar h:
Esta ecuación permite enunciar la lay de Jurín:”La altura alcanzada por un
líquido en un capilar es proporcional a la tensión superficial e inversamente
proporcional al radio del tubo y a la densidad del líquido”.
En la tabla se presentan algunos ángulos de contacto para algunas parejas
líquido- pared:
ÁNGULOS DE CONTACTO
LÍQUIDO‐PARED Agua-vidrio flint
0 Agua- parafina
107
Mercurio- vidrio
128 Alcohol-vidrio flint
0 Ejercicio Guía
¿Que radio ha de tener un tubo capilar de vidrio flint para que al introducirse
en forma vertical en alcohol a 20°C ascienda 18 cm?
Podemos despejar r de la siguiente expresión:
Es decir:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
142
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Sustituyendo: Evalúa tu comprensión:
Se llama capilaridad a…………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………….
La causa de la capilaridad es………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Se llaman tubos capilares a……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Describe las fuerzas de adhesión y las fuerzas de cohesión.
Explica el fundamento científico del funcionamiento de los tubos capilares en
las plantas y en el sistema sanguíneo de los animales.
Que es lo que determina la altura que sube el agua dentro de un tubo capilar.
Lee, razona y resuelve:
Dentro de un tubo de vidrio Flint de 4 mm de diámetro se introduce un cilindro
de 2 mm del mismo material. Se sumerge el sistema en agua. Halle el ascenso
del agua dentro del sistema.
y de 0,46
de tensión superficial asciende 25 cm
Un suero de 720
por un tubo capilar de 4 mm de diámetro. Calcula el ángulo de contacto suerotubo.
Taller 5.5.7
Pon un poco de agua y aceite en una botella y agita fuertemente. Observa y
describe qué ocurre tan pronto dejas de agitar la botella. Ahora agrega a la
mezcla un poco de detergente. Agita de nuevo la botella y observa que el jabón
forma una capa delgada en torno a cada esferita de aceite y que se requiere
que más tiempo para que el aceite se separe al dejar de agitar la botella. A
partir de esta experiencia explica la forma en que trabaja el detergente en la
limpieza.
INVESTIGACIÓN 5.5.7.- APLICACIÓN REAL DE CAPILARIDAD
Tema:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
143
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
144
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
g)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Hidrostática.
→
Fluido
→
Presión.
→
Densidad
→
Principio de Arquímedes.
→
Principio de Pascal.
→
Tensión superficial
→
Capilaridad.
h)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
Demostrar que el 11% del volumen de un témpano de hielo sobresale de la superficie del mar.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
145
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El suministro de agua llega al nivel del suelo por una cañería de 5 cm de diámetro. Una llave de 2 cm de diámetro ubicada a 15 m de altura llena un envase
de 20 lt en un minuto. Calcular:
a) la rapidez con la que sale el agua de la llave,
b) la presión en la cañería principal.
Por una tubería horizontal fluye agua con una rapidez de 5 m/s. Si la presión es
de 1, 5E5 Pa en un punto donde la sección transversal del tubo es A, determine
en un punto donde el área es A/3:
a) la rapidez.
b) la presión de salida del agua.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
146
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Sexta Subunidad
MÁQUINAS SIMPLES
MÁQUINAS SIMPLES PALANCAS
POLEAS PLANOS INCLINADOS AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
147
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Sexta Subunidad
MÁQUINAS SIMPLES
Se denomina máquina simple a cualquier instrumento capaz de transmitir y/o
modificar la magnitud y dirección de una fuerza. Las máquinas simples, por su
aplicación se clasifican en palancas, poleas y planos inclinados, las cuñas, los
gatos y las roscas. En esta unidad estudiaremos las máquinas desde un punto
de vista estático, siendo éstas un instrumento por el cual unas fuerzas cuya
magnitud y dirección son conocidas, balancean o equilibran otras fuerzas que
pueden ser diferentes por su magnitud o dirección.
5.6.1. PALANCAS.
OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender críticamente los conceptos propuestos. Aplicar
las tecnologías de la comunicación y de la información en la resolución de problemas
prácticos.
La palanca es una barra rígida muy resistente que puede rotar en torno a un
punto de apoyo y que modifica la magnitud de una fuerza gracias al efecto
torque.
Los elementos de una palanca son: punto de apoyo A, llamado “fulcro”, una
fuerza potente o potencia F, una fuerza resistente, resistencia o carga Q.
q
f
Fig. 5.6.1 Elementos de una palanca
Si sobre la barra se aplica una fuerza resistente Q (o se coloca una carga), a
una distancia q del fulcro, se genera un torque
respecto de A, si se
aplica una fuerza potente F, en sentido contrario, esta, genera un torque en
(Fig. 5.6.1.1.)
sentido contrario igual a
La condición para que una palanca se mantenga en equilibrio es quela suma
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
148
UNIVERSIDAD DE CUENCA
de los torques de potencia y de la resistencia sean cero:
Es decir:
O sea:
Por definición de producto vectorial:
Pero
, de modo que
De modo que:
Lo cual representa la ley de la palanca. Las palancas se clasifican en 1ª,2ª y 3ª
clase, esto se hace según la ubicación del fulcro, de la potencia y de la carga.
En la palanca de primer género, el punto de apoyo A se encuentra entre la
fuerza potente F y la carga Q. Como se aprecia en la figura 5.6.1.1.
q
f
Fig. 5.6.1.2. Palanca de segundo género
Cuando la carga se sitúa entre el apoyo A y la potencia F, tal como se muestra
en la figura 5.6.1.2, la palanca es de segundo género. Las distancias q y f se
miden siempre a partir del apoyo A.
Cuando la potencia F queda ubicada entre el apoyo A y la carga Q, como indica la figura 5.6.1.3, la palanca es de tercer género y es una palanca que, disminuye la magnitud de la fuerza; a diferencia de las palancas de primer y segundo género que son multiplicadores de la fuerza, .
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
149
UNIVERSIDAD DE CUENCA
f
Q
Fig. 5.6.1.3. Palanca de tercer género
En la naturaleza, existen numerosas palancas de primero, segundo y tercer
género, veamos algunos ejemplos:
1.
Los alicates, tijeras, pinzas, algunos huesos, tales como la mandíbula,
etc., son palancas de primer género en los que el apoyo es el dispositivo de
armaje; las fuerzas potentes son dos, al igual que las fuerzas resistentes debido a que son dos palancas que rotan en sentido contrario, produciendo el corte
o sujeción por acción de los torques efectuados.
2.
Podemos ver que el cuerpo humano está lleno de palancas de distintas
clases, por ejemplo, la cabeza, donde su peso es contrarrestado por la acción
de la musculatura de la nuca tomando la columna vertebral como punto de
apoyo, figura 5.6.1.4.
Punto de
apoyo
Potencia
Resistencia
Fig. 5.6.1.4. La cabeza es una palanca de 1º género.
3.
Las carretillas, tornos, rompenueces las llaves que se utilizan en mecánica automotriz, etc. son palancas de segundo género.
Ejercicio Guía
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
150
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Una carretilla de masa despreciable que mide 1m, está cargando un libro de
física que pesa 2 kg. Determine la distancia que hay entre el punto de apoyo y
la carga, si la fuerza aplicada por un estudiante para trasladarla es de 10N.
Como la carretilla es una palanca de segundo género, se cumple que:
Despejando:
Por lo que:
Es decir:
Evalúa tu comprensión:
El brazo humano es una palanca de…………………………………………………
ya que……………………………………………………………………………………
¿Porque es más fácil mover una piedra usando una palanca?
Indica que tipo de palancas son las piernas de una persona y especifica la ubicación de sus elementos.
Comprende, razona y resuelve:
Un hombre quiere sacar de una cuneta una piedra de 1 280 N de peso utilizando un tablón. Si aplica una fuerza de 420 N, ¿a qué distancia deberá aplicar la
fuerza si la distancia entre la piedra y el filo de la cuneta es 35 cm?
Para levantar un tubo de concreto de 200kg, un obrero usa una barreta de
1.6m de largo, como indica la figura. ¿Dónde debe situarse el punto de apoyo
si en un extremo de la barreta el obrero ejerce una fuerza de 600 N?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
151
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.6.1
Con base en los conocimientos anteriores, intenta dar una ecuación para las
palancas, considerando el peso de las mismas.
INVESTIGACIÓN 5.6.1.- APLICACIÓN REAL DE PALANCAS
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
152
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
La polea es un tipo de maquina simple
muy utilizado en las industrias.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
153
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.6.2. POLEAS.
OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo
pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar las técnicas de la investigación y descubrimiento en la resolución de problemas.
Las poleas son pequeños discos acanalados en su contorno exterior y que
están provistos de un eje que pasa por su centro de masa, por lo que pueden
rotar en torno a su propio eje. Las poleas desempeñan la función de modificadores de la magnitud y/o dirección de una fuerza. Las podemos considerar como sistemas de masa despreciable sin rozamiento en su eje.
1.
Poleas que modifican la dirección de una fuerza.
Son poleas comúnmente fijas en las que la fuerza transmitida por la cuerda no
se altera, solamente varía la dirección de la misma, figura 5.6.2.1.
Fig. 5.6.2.12.1. Poleas fijas
2.
Poleas que cambian la magnitud de una fuerza.
La fuerza aplicada se ve aumentada o disminuida, se puede utilizar dos o más
poleas las cuales tienen los siguientes elementos, figura 5.6.2.2:
•
Fuerza aplicada al sistema, llamada fuerza potente F
•
Fuerza resistente o carga a desplazar o equilibrar.
•
Desplazamiento f del punto de aplicación de la fuerza potente.
•
Desplazamiento q del punto de aplicación de la fuerza resistente.
Para el sistema de poleas (modificadoras de una fuerza) en equilibrio, se cumple la ley de las máquinas simples; es decir:
Y:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
154
UNIVERSIDAD DE CUENCA
f
q
fig. 5.6.2.2. Poleas multiplicadoras
Un aparejo es la unión de dos o más poleas, fijas y móviles enlazadas entre sí
por medio de cuerdas en los que la fuerza resultante que actúa sobre la carga
que se desea mover es N veces la fuerza potente en donde N representa el
número de cuerdas que llegan al polipasto inferior, de modo que sobre la carga
.
actúa una fuerza
Se define a la ventaja mecánica como la fuerza contraria al peso de la carga
que se desea mover, para una polea fija, la ventaja mecánica es igual a N, para
los casos de troclas o combinaciones de poleas fijas y móviles, la ventaja
mecánica es
siendo n el número de poleas móviles.
Ejercicio Guía
Una carga de 20 kg se coloca a 60 cm de un extremo de un tablón que pesa 10
kg y mide 1.6m. El otro extremo se sujeta por medio de una polea móvil de 3.25
Kg que está unida a una fija. ¿Qué fuerza debe aplicarse en el extremo libre
del cordel para mantener el equilibrio?
Desarrollo:
Como desconocemos el valor de la resistencia (en
este caso llamado P), debemos desarrollar primero
la palanca física de segundo género, que está sujeta a la polea.
Por lo que anotamos los datos que tenemos:
Es la resistencia de
la palanca.
Brazo de la resistencia.
fuerza de la palanca hacia la tierra.
la mitad de la palanca.
brazo de la Fuerza motora (que la hace la polea móvil).
Fuerza motora.
De la siguiente ecuación:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
155
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Despejamos P:
Resolvemos:
Esta fuerza
tanto:
sumada al peso de la polea móvil, vendría siendo la resistencia, por lo
Y como la fórmula de las poleas móviles es
nos queda:
Evalúa tu comprensión:
Una polea puede actuar como……………………………………………………y….
…………………………………………………………………………………………….
Un aparejo es…………………………………………………………………
Con tus propias palabras, elabora un concepto de ventaja mecánica
Comprende, razona y resuelve:
Para las siguientes poleas, determina la fuerza potente necesaria para equilibrar la carga
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
156
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 5.6.2
Consigue una polea. Para diferentes pesos, mide con un dinamómetro la fuerza
necesaria para equilibrar la carga. Luego relaciónalos mediante un gráfico y
obtén tus propias conclusiones.
INVESTIGACIÓN 5.6.2.- APLICACIÓN REAL DE POLEAS
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
157
UNIVERSIDAD DE CUENCA
5.6.3. PLANO INCLINADO.
OBJETIVOS DEL TEMA Interpretar y aplicar los conceptos y expresiones físicomatemáticas a situaciones comunes. Valorar el sentimiento de respeto y consideración
entre grupos de trabajo
Un plano inclinado es un declive que
forma con la superficie horizontal un
ángulo agudo. Ejemplos de plano inclinado son: una escalera, una rampa, una
cuesta, un tablón inclinado, etc.
Un cuerpo apoyado en el plano recibe
una reacción N del plano perpendicular al
Fig. 5.6.3.1. Plano inclinado.
mismo y sin embargo se deslizará por él.
De este razonamiento se deduce que la carga-peso Q se puede descomponer,
en dos componentes rectangulares, figura 5.6.3.1: una perpendicular al plano
) y otra paralela a él
. ), que es la resde apoyo
ponsable del deslizamiento del cuerpo. Para alcanzar el equilibrio, se ejerce
una fuerza igual y opuesta a Qx. La condición de equilibrio se expresa por la
ecuación:
De la figura se tiene que:
Pero
Si:
= h = altura del plano inclinado
longitud del plano inclinado;
y
Entonces:
Es la ecuación del plano inclinado.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
158
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La unión por sus bases de dos planos inclinados recibe el nombre de cuña, figura 5.6.3.2; que es la encargada de transformar
una fuerza vertical en dos oblicuas coincidentes y
de sentidos contrarios; el ángulo de dicha cuña determinará la proporción entre la fuerza resultante y
aplicada.
Cuando el ángulo del plano inclinado se torna más
pequeño, con una misma fuerza aplicada seremos
capaces de levantar más peso, pero el espacio a
recorrer será mucho mayor.
Fig. .5.6.3.2 Cuña
Ejercicio Guía
Un albañil arrastra un saco de cemento de 490 N de peso hacia el interior de
un tráiler de 1,6 m de altura sobre un tablón de 3 m de largo. Determina que
fuerza emplea para lograr tal propósito.
Empleamos la ecuación del plano inclinado para encontrar el valor de la fuerza aplicada:
Evalúa tu comprensión:
Un plano inclinado es un………………………………………….............................
Explica el fundamento físico de la cuña.
Lee, razona y resuelve:
Dos obreros emplean un tablón de 1 200 N para subir un tubo de alcantarillado
a un tráiler que está a 1,50 m sobre la calle ¿Cual deberá ser el largo del tablón
para que los obreros suban el tubo aplicando solamente una fuerza de 400 N?
En un subibaja de 3 m de largo están sentados dos niños que pesan 450 N y
500 N, respectivamente. Si el niño de 450 N de peso está sentado en un extremo ¿Donde deberá sentarse el otro para que el sistema se mantenga en
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
159
UNIVERSIDAD DE CUENCA
equilibrio?
Taller 5.6.3
Investiga y resuelva: ¿Porque es más fácil dividir rajar leña con una cuña que
con un hacha?
INVESTIGACIÓN 5.6.3.- APLICACIÓN REAL DE PLANO INCLINADO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
160
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
i)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Palanca.
→
Polea.
→
Ventaja mecánica.
→
Cuña
j)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
Resuelve las siguientes situaciones:
Se unen tres poleas móviles a una fija como lo indica la figura. ¿Qué fuerza
debe aplicarse para sujetar una piedra de 568 kg, si cada polea con su armadura pesa 20 kg?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
161
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En un cementerio se intenta depositar un ataúd en el fondo del hoyo. Si la
cadáver pesa 60 Kg. El ataúd, al ser de madera fina pesa 24 Kg. Y las poleas
pesan 4 y 2 kg cada una, si la armadura pesa 7 Kg, determine la Fuerza necesaria para lograr el equilibrio.
Se tiene una piedra de 20 kg (Q), que se encuentra a 20 cm del punto de apoyo, si se usa una barra de 1m de largo, de 1 kg de peso, como palanca de 2º
género, ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza para equilibrar la palanca?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
162
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SEGUNDA UNIDAD
MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
CINEMÁTICA.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
163
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Segunda Unidad.
CINEMÁTICA.
Subunidades:
1.
SISTEMAS DE REFERENCIA
2.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
3.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
4.
HIDRODINÁMICA
Objetivos Específicos.
1.
Entregar al estudiante los conceptos teóricos para que los integre a su
acervo de conocimientos.
2.
Aplicar los conocimientos de cinemática de una partícula a problemas
cotidianos recurriendo a la experimentación y a la investigación.
3.
Generar en los alumnos el interés por la experimentación y el trabajo en
equipo.
En esta segunda unidad didáctica se iniciará con el estudio de los sistemas de
referencia como base para el posterior análisis de los conceptos de la segunda
subunidad, que son los referidos a la posición, desplazamiento, velocidad, rapidez vistos vectorialmente y requeridos para el estudio del movimiento rectilíneo con y sin aceleración. En la tercera subunidad se estudiará el movimiento
no rectilíneo en el plano, es decir el movimiento parabólico y el circular, con y
sin aceleración. La cuarta subunidad es una aplicación de los conceptos vistos
en la segunda y tercera a los fluidos, se abordará ecuaciones de continuidad,
Bernoulli y Torricelli, así como sus aplicaciones, por último se estudiará el rozamiento viscoso en los líquidos
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
164
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Primera Subunidad
SISTEMAS DE REFERENCIA
SISTEMAS DE REFERENCIA SISTEMAS DE REFERENCIA
SISTEMA COORDENADO CARTESIANO SISTEMA TRIDIMENSIONAL SISTEMA BIDIMENSIONAL
SISTEMA UNIDIMENSIONAL AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
165
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Primera Subunidad
SISTEMAS DE REFERENCIA
Para el estudio de la Física y particularmente de la Cinemática, es imprescindible el empleo de sistemas de referencia, los cuales nos facilitan el estudio de
las variables relacionadas con el movimiento de los cuerpos.
Empezaremos por estudiar algunos aspectos de los sistemas tridimensionales, por ser los que se imponen en la naturaleza. Luego, los particularizaremos a dos dimensiones (sistemas bidimensionales o llamados planos de referencia), imprescindibles para el estudio de la Cinemática. Finalmente
abordaremos el sistema unidimensional.
SISTEMAS DE REFERENCIA. SISTEMA CARTESIANO DE REFERENCIA
Hace siglos, cuando los físicos empezaron e estudiar los fenómenos de movimiento de los cuerpos, descubrieron que no podían relacionar las variables implicadas en el estudio sin considerar sistemas que sirvieran de referencia para
ello. Es así como inventaron símbolos los cuales fueron aceptados por convenios científicos. Estos símbolos pueden ser: puntos, rectas, curvas y otros. Todos estos símbolos son muy útiles y precisos, sin embargo varios de ellos son
difíciles de manipular, debido a que requieren de un nivel físico-matemático
avanzado. Entre estos sistemas tenemos:
¾
sistema cartesiano o de coordenadas rectangulares
¾
sistema de coordenadas polares
En el estudio de la Cinemática adoptaremos los sistemas cartesianos de referencia formados por rectas ortogonales y que se conocen como sistemas unidimensional, bidimensional y tridimensional.
El sistema cartesiano de referencia fue propuesto por René Descartes, filósofo
y científico francés quien fue el primero en utilizarlos.
En el estudio de la Cinemática adoptaremos los sistemas cartesianos de referencia formados por rectas ortogonales y que se conocen como sistemas unidimensional, bidimensional y tridimensional.
6.1.2. SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
166
UNIVERSIDAD DE CUENCA
OBJETIVOS DEL TEMA Redescubrir y aplicar correctamente los conocimientos propuestos. Interpretarlos a la realidad.
Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular, que se muestra en la figura 6.1.2.1, con ejes
X saliendo del plano de la figura, eje Y horizontal y eje Z vertical. En este sistema un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas
llamadas abscisas,
por
ordenadas y cotas, respectivamente, con los valores positivos
de los ejes hacia fuera del plano
de la figura, hacia la derecha y
hacia arriba, respectivamente
en cada eje, como se indica en
la figura.
Es el espacio común en el que
vivimos, se llama espacio tridimensional porque tiene tres dimensiones, para indicarlo usamos en símbolo 3D. En ocasiones bastan dos o
una coordenadas para fijar la posición del objeto, estos se llaman espacio bidimensional (2D) o unidimensional (1D), respectivamente. Las dimensiones no
son otra cosa que los planos que constituyen el espacio: un plano horizontal o
plano XY, un plano frontal, llamado plano YZ y un plano vertical llamado XZ.
El espacio tridimensional tiene ocho regiones llamadas octantes. Los puntos se
representan mediante proyecciones o sombras sobre cada plano, su construcción determina el punto a localizar. La notación se define por:
Para representar un par ordenado en un sistema de ejes coordenados cartesianos, partimos del eje de coordenadas y contamos tantas unidades en el
primer eje, como indique la primera componente y desde allí tantas unidades
en el segundo eje como indica la segunda componente, finalmente tantas unidades en el tercer eje como indica la tercera componente.
Evalúa tu comprensión:
¿Cómo utilizarías un sistema tridimensional?
¿Cómo encuentras un punto en el espacio?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
167
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Comprende, razona y resuelve:
En el plano tridimensional localiza y dibuja los siguientes puntos:
a)
A (-3; 2 ; 0) d) D (-3 ; -2 ; 2) g) G(1 ; 2 ; 0)
b)
, B (-3 ; 0 ; -4) e) E(-2 ; 1 ; -7) h)H(0 ; 3; -1)
c)
C (-3;-1 ; 6)) f) F(-4 ; 5 ; 7)i) I(-2 ; 0 ; 0)
j)
J (0 ; 0 ; 1)
En qué octante se encuentra cada uno de los siguientes puntos:
a) (-1000,8; -23)c) (0,6; 0)e) (-0,0 ; 2)
b) (5/3,-2 ; -2)d) (-3,-1 ; -5 )
Taller 6.1.2
Con la ayuda del profesor, encuentra una situación real en donde se aplique los
conocimientos anteriores. Socializa tu informe
INVESTIGACIÓN 6.1.2.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA TRIDIMENSIONAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
168
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
6.1.3. SISTEMA CARTESIANO BIDIMENSIONAL
OBJETIVOS DEL TEMA: Reconocer el plano cartesiano como sistema de referencia
necesario para el estudio de la Cinemática. Elaborar conclusiones de los conceptos
planteados. Aplicarlos a la resolución de las actividades planteadas
Si al sistema tridimensional le quitamos un eje, obtenemos el sistema bidimensional o plano, en consecuencia este sistema es una particularización del sistema tridimensional,
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
169
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares (eje X o eje de las abscisas
y eje Y o eje de las ordenadas), los cuales en donde se cortan forman un ángulo de
, por ser perpendiculares y su
punto de intersección se le conoce como origen del plano. Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este plano
cartesiano, cada punto se representa
por medio de una pareja de núme, llamado par ordenado.
ros
La notación utilizada es, entonces:
Para representar un par ordenado en un
sistema de ejes coordenados cartesianos, partimos del eje de coordenadas y
contamos tantas unidades en forma horizontal como indique la primera componente y desde allí tantas unidades en forma vertical como indica la segunda
componente.
Evalúa tu comprensión:
Compara los sistemas tri y bidimensionales. Obtén tus propias conclusiones.
¿Por qué los sistemas bidimensionales se usan para representar fenómenos
que suceden en tres dimensiones?
Comprende, razona y resuelve:
En el plano cartesiano localiza y dibuja los siguientes puntos:
d)
e)
f)
A (-3; 2) d) D (-3 ; -2) g) G(1 ; 2)j) J(5 ; 0)
, B (-3 ; 0) e) E(-2 ; 1) h)H(0 ; 3)
C (-3;-1)) f) F(-4 ; 5)i) I(-2 ; 0)
En qué cuadrante se encuentra cada uno de los siguientes puntos:
a) (-1000,8)c) (0,6)e) (0,0)
b) (5/3,2)d) (-3,1)
Taller 6.1.3
En el patio, traza un plano cartesiano bidimensional. Luego, tira en cualquiera
de los cuatro cuadrantes, bolas o piedritas. Con la ayuda de un flexómetro, encuentra las coordenadas de cada bola o piedrita.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
170
UNIVERSIDAD DE CUENCA
INVESTIGACIÓN 6.1.3.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA BIDIMENSIONAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
171
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.1.4. SISTEMA CARTESIANO UNIDIMENSIONAL.
OBJETIVOS DEL TEMA: Particularizar las aplicaciones prácticas a este sistema. Reconocer el trabajo en equipo como estrategia de comunicación científica.
Este sistema es el más básico, pues se trata solo de un eje o recta comparable
con la recta numérica, con su origen en el cero (O) y con subdivisiones positivas y negativas, como indica la figura 6.1.4.1.
Este sistema es usado comúnmente en Matemáticas, pero en Física es útil especialmente para analizar fenómenos lineales, como la caída de un cuerpo.
En este sistema, cada punto se representa por medio de un número ,al que
le podemos llamar abscisa. La notación utilizada es, entonces:
Para representar la abscisa en un sistema unidimensional partimos del origen
de coordenadas y contamos tantas unidades en forma horizontal como indique
el número.
Evalúa tu comprensión:
Compara los sistemas tri, bi y unidimensionales. Obtén tus propias conclusiones.
Comprende, razona y resuelve:
En el plano unidimensional localiza y dibuja los siguientes puntos:
A (-3)
B(-2)
C(-4 )
D(1)
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
172
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 6.1.4
Usa una regla como sistema unidimensional. Coloca objetos y anuncia en voz
alta su posición.
INVESTIGACIÓN 6.1.4.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
173
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Segunda Subunidad
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CONCEPTOS DE BÁSICOS CI‐
NEMÁTICA LINEAL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
CAÍDA LIBRE
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
174
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Segunda Subunidad
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
En este capítulo aprenderemos las reglas del movimiento, que abarcan tres
conceptos: rapidez, velocidad y aceleración. Aquí solo estudiaremos la forma
más sencilla del movimiento: la que es a lo largo de una trayectoria en línea recta: el movimiento rectilíneo. Analizaremos el movimiento rectilíneo horizontal
con y sin aceleración y el movimiento vertical o caída libre.
6.2.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA LINEAL
OBJETIVOS DEL TEMA Entregar al estudiante los conocimientos básicos necesarios
para la aplicación práctica real. Incentivar a la abstracción y a la demostración como
base para la significación de los contenidos.
Al iniciar el estudio de la Cinemática lineal es necesario definir estos tres conceptos que se utilizarán permanentemente.
¾
Posición lineal:
Es la o las coordenadas que ubican a una partícula con respecto a un observador o sistema de referencia en un instante cualquiera. En la práctica es más
común relacionar las coordenadas con un vector llamado “vector posición” de la
partícula, el cual va desde el origen O del sistema de referencia utilizado y llega hasta el punto P en el que se encuentra la partícula.
En el sistema unidimensional, fig. 6.2.1.1 para una partícula situada en el punto
P(x) su vector posición será:
Fig. 6.2.1.1 sistema unidimensional
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
175
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En el plano, (fig. 6.2.1.2), para una partícula situada en el punto P(x) su vector
posición será:
Fig. 6.2.1.2 Vector posición en el plano
En el espacio, (fig. 6.2.1.3), para una partícula situada en el punto P(x) su vector posición será
Fig. 6.2.1.3 Vector posición en el espacio
La posición lineal es diferente al desplazamiento, si bien ambos utilizan el mismo símbolo, pero sus significados físicos son diferentes: el primero ubica a la
partícula con respecto a un marco de referencia; el segundo indica cuánto se
ha movido la partícula desde una posición inicial hasta una posición final. La
magnitud del vector posición es el desplazamiento.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
176
UNIVERSIDAD DE CUENCA
¾
Rapidez lineal.
La rapidez es la medida de que tan rápido se mueve una partícula y se define
como la distancia recorrida en la unidad de tiempo, es decir:
Se llama rapidez promedio a la distancia total recorrida dividida por el tiempo
total del recorrido, esto es:
Se llama rapidez instantánea a la rapidez en un instante dado, situación que
por ahora solo es posible experimentalmente ya que no conocemos una operación matemática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos
posteriores.
¾
Velocidad lineal.
Es una magnitud vectorial que se refiere al cambio de posición lineal o desplazamiento lineal que sufre una partícula en movimiento a lo largo del tiempo, expresada por el cociente entre el cambio de posición lineal de la partícula y el
intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de
tiempo relativamente grande, tendrá una velocidad lineal media, definida por:
=
=
En donde
=
;
La velocidad lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomina
velocidad lineal instantánea pero no conocemos una operación matemática
ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores.
¾
Aceleración lineal.
Es el cambio de velocidad lineal de una partícula a lo largo del tiempo expresada por el cociente entre el cambio de velocidad lineal de la partícula y el intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de
tiempo relativamente grande, tendrá una aceleración lineal media, definida por:
=
=
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
177
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En donde
=
;
La aceleración lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomina aceleración lineal instantánea pero no conocemos una operación matemática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores.
Ejercicio Guía 1
Un automóvil viajó 86 km. si la rapidez promedio fue de 8 m/s, ¿cuántas horas
se requirieron para el viaje?
1.
Datos del problema:
2.
Análisis y resolución:
Con los datos encontrados, a partir del concepto de posición lineal tenemos que:
Despejando y reemplazando:
Haciendo la conversión a segundos, nos queda que:
3.
Respuesta e interpretación:
Para el viaje se requirieron 2,9 h.
Ejercicio Guía 2
Un camión viaja a 640 km en una ruta de Loja a Quito. El recorrido completo
tarda 14 horas, pero el conductor realiza dos paradas de 30 min para comer.
¿Cuál fue la rapidez promedio del viaje?
1.
Datos del problema:
2.
Análisis y resolución:
Recordemos la ecuación para la rapidez lineal:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
178
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Sustituyendo datos:
3.
Respuesta e interpretación:
El camión se mueve con una rapidez lineal promedio de
Ejercicio Guía 3
1. Una flecha abandona el arco 0.5 s después de que se libera de la posición
en la que se amartilla. Si alcanza una rapidez de 40 m/s en este tiempo, ¿cuál
es la aceleración promedio?
1.
Datos del problema:
2.
Análisis y resolución:
Recordemos la ecuación para la aceleración lineal. Para resolverlo vectorialmente suponemos que el movimiento se desarrolla sobre el eje horizontal:
=
; cuyo módulo es:
3.
Respuesta e interpretación:
La aceleración lineal promedio que alcanza la flecha 0,5 s luego de ser disparada es
.
Evalúa tu comprensión:
Describe las diferencias entre rapidez lineal y velocidad lineal.
¿Cuál es la rapidez lineal en kilómetros por hora, de un caballo que galopa 25
km en 45 minutos? ¿Cuál es su velocidad?
Describe las diferencias entre velocidad lineal y aceleración lineal.
Comprende, razona y resuelve:
Las multas por exceso de rapidez son, ¿por rapidez media o por rapidez instantánea?
Cuál es la velocidad y la rapidez de un auto que se mueve desde el punto
al punto
.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
179
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Taller 6.2.1
Utiliza un carrito de cuerda, un flexómetro y un cronómetro. Suelta el carrito
desde una posición dada en cualquier dirección y luego halla su posición al detenerse. Mide también el tiempo transcurrido. Con estos datos calcula la rapidez y la velocidad del carrito.
INVESTIGACIÓN 6.2.1.- APLICACIÓN REAL DE CONCEPTOS BÁSICOS DE
CINEMÁTICA LINEAL
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
180
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
6.2.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
OBJETIVOS DEL TEMA Comprender el significado físico de MRU. Generalizarlo y
aplicarlo de manera significativa. Despertar la motivación y la participación.
Es el tipo de movimiento más sencillo que ocurre, tanto por sus implicaciones
físicas, como por sus ecuaciones matemáticas relacionadas. Decimos que es
rectilíneo porque su trayectoria es una línea recta y uniforme porque su vector
velocidad lineal permanece constante a lo largo del tiempo, lo que significa que
el vector aceleración lineal es cero.
Como referencia supondremos que el movimiento ocurre sobre el eje X, por lo
tanto utilizaremos un sistema de referencia unidimensional.
Los parámetros cinemáticos de este movimiento son:
La aceleración lineal:
La velocidad lineal:
=
La rapidez es la magnitud del vector velocidad lineal:
El vector desplazamiento lineal:
De la ecuación:
=
obtengo:
Cuya magnitud es:
Y de allí:
Que es la ecuación escalar que define la posición de la partícula en cierto interAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
181
UNIVERSIDAD DE CUENCA
valo de tiempo
Dentro del MRU, hay tres gráficas aplicadas para el caso de un móvil moviéndose con rapidez en el sentido positivo del eje , tal que en
en la posición
hacia la derecha del eje:
Gráfica x-t
se ubique
(Gráfica posición-tiempo)
Es una recta cuya intersección con el eje X es
el valor de su posición inicial (posición lineal
). La tangente de su ángulo de inclipara
nación con respecto al eje t es el valor de la
rapidez lineal de la partícula. Esto nos indica
que el desplazamiento es lineal como indica la
figura 6.2.2.1.
fig. 6.2.2.1. Gráfica x-t
Gráfica v-t (Gráfica velocidad-tiempo)
Es una recta horizontal, como se ve en la figura 6.2.2.2., lo que indica que la
rapidez lineal es constante. El área comprendida entre la recta horizontal y dos verticales
correspondientes a dos valores diferentes de
tiempo representa el desplazamiento lineal
v= constanque sufre la partícula en el intervalo de tiempo
te
comprendido entre dichos valores.
Área=
fig. 6.2.2.2. Gráfica v-t
Gráfica a-t (Gráfica aceleración-tiempo)
Como la aceleración es cero, la gráfica es una
recta que coincide con el eje t, es decir
como se ve en la figura 6.2.2.3
,
fig. 6.2.2.2. Gráfica a-t
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
182
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión:
Si un coche se mueve a 90 km/h y toma una curva también a 90 km/h ¿Mantiene constante su velocidad? ¿Mantiene constante su rapidez? Defiende tus respuestas.
La luz viaja en línea recta con una rapidez constante de 3E8 m/s ¿Cuál es su
aceleración?
Lee, razona y resuelve:
Cuando Carlos viaja en la autopista de Cuenca a Azogues, pasa por la marca
de 26 km. Después sigue moviéndose hasta la marca de 15 km. y luego se devuelve hasta la marca 17,5 km. ¿Cuál es su desplazamiento resultante respecto a la marca de 26 km?
Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su
amigo a 95 km/h. ¿Cuánto tiempo tiene que esperarlo su amigo al final del viaje?
h, el auDos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante
to A tiene una posición
= 48 km y una rapidez constante de 36 km/h. Más
tarde en
el auto B está en la posición
km con una rapidez de
48 km/h. Responda las siguientes preguntas:
a), realice una gráfica de posición - tiempo;
y .) ¿En qué posición A es
b) escriba las ecuaciones para las posiciones
alcanzado por B?
c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que A estaba en su punto de referencia
hasta que B lo alcanza?
Taller 6.2.2.
Investiga y sustenta porque las ondas como la luz o el sonido, se transmiten a
velocidades constantes.
INVESTIGACIÓN 6.2.2.- APLICACIÓN REAL DEL MRU
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
183
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
184
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
OBJETIVOS DEL TEMA Conocer e interpretar científicamente los contenidos. Relacionarlos con los fenómenos naturales. Valorar la importancia de las técnicas de razonamiento en la resolución de conflictos.
Este es un tipo de movimiento en trayectoria rectilínea en el que la velocidad va
cambiando uniformemente con el tiempo: a intervalos iguales de tiempo corresponden variaciones iguales de velocidad, es decir, la velocidad es directamente proporcional al tiempo.
Este tipo de movimiento no es muy frecuente en la naturaleza, sin embargo, es
de gran utilidad el estudio de los pocos casos que existen.
Los parámetros cinemáticos para el MRUV son los siguientes:
La aceleración lineal es constante:
(1)
Cuya magnitud es:
Si un cuerpo parte del reposo y en un tiempo
Pues
alcanza una velocidad :
y
Por lo tanto
Si en
la velocidad
es distinta de cero, la velocidad en el tiempo
se llama velocidad final:
Si representamos en un sistema coordenado cartesiano la velocidad lineal y el
tiempo, sobre x e y, respectivamente, el espacio recorrido es el área del cuadrilátero OABC, como se muestra en la figura 6.2.3.1.
El cuadrilátero OABC se puede descomponer en el rectángulo OADC y el triángulo ADB.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
185
UNIVERSIDAD DE CUENCA
B
D
0
C
Fig. 6.2.3.1. Gráfica espacio- tiempo del MRUV
Si calculamos el área del cuadrilátero OABC, tenemos que:
Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por:
tenemos que:
)
Siendo
y
)
Reemplazando tenemos:
De este modo, el desplazamiento lineal viene dado por:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
186
UNIVERSIDAD DE CUENCA
(2)
Ahora bien si combinamos las ecuaciones (1) y (2), podemos obtener la tercera
ecuación que relaciona los parámetros del MRUV. Hacemos la demostración
en forma escalar:
Despejamos
de la ecuación (1):
Y reemplazamos en (2)
Resolviendo, nos queda:
De donde:
Finalmente:
Que en forma vectorial es:
Ya que en el MRUV la velocidad varía uniformemente con el tiempo, es menester el cálculo de la velocidad media para un intervalo de tiempo dado, definida como la media aritmética de las velocidades inicial y final en dicho intervalo de tiempo, es decir.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
187
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En el MRUV, son importantes las gráficas que relacionan sus parámetros, las
siguientes son las más importantes:
Gráfica
Aplicada para el caso de una partícula
que se mueve en sentido positivo del eje
, tal que en un instante dado su posición sea , ) hacia la derecha del eje:
Se trata de una curva cuadrática (pará-
Fig. 6.2.3.2. Gráfica x-t
bola), cuya intersección con el eje
marca la posición inicial del móvil (
). Esto quiere decir que el
desplazamiento lineal en el MRUV es una función dependiente del tiempo,
como muestra la figura 6.2.3.2.
Gráfica
Se trata de una recta inclinada cuya intersección con el eje
locidad
inicial
del
móvil
. La tangente del
ángulo de inclinación de la recta con
respecto al eje es el valor de la aceleración lineal de la partícula, en tanto que
el área bajo la recta, entre los valores
Área=
, representa el desplazamiento lineal que experimenta la partícula en el
intervalo de tiempo
muestra la figura 6.2.3.3.
representa la ve-
, como
Fig. 6.2.3.3. Gráfica v-t
Gráfica
Como la aceleración es constante en el
tiempo, se trata de una recta horizontal.
El área bajo la recta, entre los valores
, representa el desplazamiento lineal que experimenta la partícula en el
intervalo de tiempo
muestra la figura 6.2.3.4.
Área=
, como
Fig. 6.2.3.4. Gráfica a-t
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
188
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ejercicio Guía 1
Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 metros con la aceleración de 5 m/s2 y continuando luego
con velocidad constante.
Deduce cinemáticamente si salvará su piel el conejo.
Razona matemáticamente que sucedería si la madriguera estuviese 100 metros más lejos.
20 m/s
240 m
40 m
200 m
Datos:
a)
Análisis del enunciado y resolución:
Para el conejo:
Para el perro:
Que es el tiempo empleado por el perro para recorrer los
Que es el tiempo empleado por el perro para recorrer los
MRU: El tiempo total, es entonces:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
m con MRUV
m con
189
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Como el conejo se demoró menos en recorrer los 240 m, el perro no le coge.
b)
300 = 20 t
250 = 30 t
t = 8.33 s
Como el conejo se demora más, el perro lo cogería.
Evalúa tu comprensión.
Describe las diferencias entre MRU y MRUV
¿Cuál es mayor, una aceleración de 25 a 30 km/h o una aceleración de 96 a
100 km/h si las dos ocurren al mismo tiempo?
Lee, razona y resuelve.
Paco manejando a
entra en un túnel de un solo carril. Después observa
una camioneta que se mueve despacio
adelante viajando a
. Paco
aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a
, debido a que el camino
está húmedo. ¿Chocará? Si es así, calcular a qué distancia dentro del túnel y
en qué tiempo ocurre el choque. Si no choca, calcular la distancia de máximo
acercamiento entre el auto de Paco y la camioneta.
Un africano que se encuentra a 20 m de un león hambriento arranca con una
, alejándose en línea recta del león, que está inirapidez constante de
cialmente detenido. El león tarda 2 segundos en reaccionar cuando empieza a
, siempre en línea recta hacia
perseguir al africano con una aceleración de
el africano, que huye hacia un árbol que se encuentra más adelante en la misma recta:
•
Hacer un esquema ilustrativo de la situación.
•
¿Cuál debe ser la máxima distancia a la que debe estar el árbol para
que el africano pueda subirse justo antes que el león lo alcance?
•
Calcular la rapidez con la que el león llega al árbol.
Taller 6.2.3
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
190
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Escoge una calle con afluencia vehicular moderada. Párate en una esquina
junto a un semáforo y un compañero en la otra esquina. Guíate en el semáforo. En el momento que arranca el vehículo, haz una señal a tu compañero para
que eche a andar el cronómetro y lo pare cuando el vehículo haya llegado a la
otra esquina. Mide el largo de la calle de esquina a esquina y con el dato del
tiempo, calcula la aceleración y la velocidad final del vehículo. Puedes repetirlo
unas diez veces. Con los datos elabora gráficos que relacionen los parámetros
medidos.
INVESTIGACIÓN 6.2.3.- APLICACIÓN REAL DEL MRUV
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
191
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
6.2.4. CAÍDA LIBRE
OBJETIVOS DEL TEMA: Manejar con precisión los conceptos propuestos. Comparar
esos conceptos con los del MRUV. Utilizarlos en la demostración de las expresiones
físico-matemáticas. Aplicar la técnica de la investigación en la resolución de problemas del contexto cotidiano.
Se define a la caída libre como el movimiento en trayectoria vertical que experimenta un cuerpo, en las proximidades de la superficie de un planeta, como
resultado de la interacción gravitatoria entre el cuerpo y el planeta. Este movimiento es uniformemente acelerado si no se considera la resistencia del aire y
la trayectoria sea relativamente corta.
La aceleración en los movimientos de caída libre es la misma para todos los
cuerpos, independientemente de su forma y peso. Se conoce como el vector
“aceleración de la gravedad” o simplemente gravedad, cuya magnitud es
, siendo positiva en dirección al centro de la Tierra y negativa hacia
arriba. El desplazamiento es vertical (altura).
La ley de que los cuerpos caen en el vacío con una misma aceleración fue establecida por Galileo Galilei, el cual realizó un experimento espectacular: Desde
lo alto de la torre inclinada de la ciudad de Pisa en Italia, soltó dos balas de diferentes masas. Con este experimento preguntó directamente a la naturaleza y
esta se encargó de responder que, dentro del margen de error, los cuerpos llegan al suelo al mismo tiempo.
Las expresiones físico-matemáticas que gobiernan el movimiento de graves o
caída libre son las mismas que para el MRUV:
Es decir:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
192
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Cuya magnitud es:
El desplazamiento lineal viene dado por:
Y por la ecuación:
La velocidad media:
Ejercicio Guía 1
Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con
un intervalo de 3 s. ¿Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la
caída?
Para la primera piedra:
Para la segunda piedra:
Sólo interviene posición, velocidad y aceleración.
Se trata de caída libre, los cuerpos no recorren siempre el mismo espacio en el mismo
intervalo de tiempo, en consecuencia distancia no es constante.
•
El espacio del primero en los tres primeros segundos es:
•
El espacio del segundo será cero. Si tomo los seis primeros segundos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
193
UNIVERSIDAD DE CUENCA
El espacio del segundo en ese tiempo La diferencia en los tres primeros segundos es de 44,1 m, y la diferencia en los seis
primeros segundos es de 176,4 – 44,1 = 132,3 m
No es lo mismo.
Evalúa tu comprensión:
Se define a la caída libre como……………............................................................
…………………………………………………………………………………………….
¿Cuál es el aumento de rapidez, por segundo, de un cuerpo en caída libre?
Supón que un cuerpo en caída libre tuviera un velocímetro. ¿Cuanto aumentaría su indicador de velocidad en cada segundo de su caída, si parte del reposo.
Haz por lo menos cinco cálculos y construye un gráfico que relacione el tiempo
con la velocidad.
Lee, razona y resuelve:
Angélica deja caer una pelota de tenis desde la terraza de un edificio, y un segundo después tira verticalmente hacia abajo otra pelota con una rapidez de 20
m/s. Calcular la altura mínima del edificio para que la segunda pelota pueda alcanzar a la primera.
Cuando las ranas saltan, típicamente aceleran al alcanzar una altura vertical de
unos 10 cm, y pueden alcanzan alturas de hasta 30 cm, medidas desde el suelo. Calcular:
(a) La velocidad de despegue de la rana, y
(b) La aceleración media que ella siente entre que comienza el salto y el momento del despegue. Suponga una aceleración constante.
Una llave de agua deja caer gotas a razón de 6 por segundo. Si la llave está a
20 m por encima del suelo ¿Cuándo una gota llega al suelo, a que distancia del
suelo estará la siguiente gota?
Taller 6.2.4
Párate junto a un muro y haz una marca que indique tu estatura. A continuación salta verticalmente y marca lo más alto que puedas. La distancia entre tus
dos marcas es la altura de tu salto. Con ella calcula tu tiempo en el aire.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
194
UNIVERSIDAD DE CUENCA
INVESTIGACIÓN 6.2.4.- APLICACIÓN REAL DE CAÍDA LIBRE
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
195
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
k)
Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Trayectoria.
→
Rapidez lineal
→
Posición lineal
→
velocidad lineal.
→
Aceleración lineal.
→
MRU.
→
MRUV
→
Caída libre.
l)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a)
El desplazamiento se define como el número de metros que recorre un
móvil en un tiempo determinado.
b)
Si se dejan caer al mismo tiempo una pluma y una bola de acero desde
una misma altura, no llegan al suelo a la vez porque tienen diferente masa.
c)
La unidad de la velocidad en el Sistema Internacional es el km/h.
d)
Una velocidad negativa indica que el móvil está frenando.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
196
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La siguiente tabla, da la posición en distintos instantes de tiempo, de un cuerpo
que se mueve con movimiento rectilíneo. Determinar si el movimiento es uniforme.
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x(m) 1 12 17 22 28 33 38 44 49
En un momento determinado dos coches se encuentran en la misma posición
pero moviéndose en sentidos contrarios en una recta de una autopista. Sus
velocidades son 72 km/h y 90 km/h y se mantienen constantes. ¿Qué distancia
recorre cada uno de ellos en 2 minutos?, ¿qué distancia les separa en ese
momento? (2400 m, 3000 m, 5400 m)
Desde lo alto de un acantilado se deja caer una piedra. El sonido de la piedra
de oye a los 6,5 s de soltarla. Determine desde que altura cae. (Velocidad del
sonido en el aire =1224 km/h; g =9,8 m/s2)
La distancia de Quito a Loja es de 681 km. Un automóvil hace el recorrido en
12 horas, 20 minutos, ¿Cuál es la velocidad media del recorrido? La velocidad
instantánea que el velocímetro marcó en un momento dado fue 80 km/h, ¿En
cuánto tiempo hubiera hecho el recorrido si hubiera conservado constante esa
velocidad?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
197
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tercera Subunidad
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
MOVIMIENTO PA‐
RABÓLICO
CONCEPTOS BÁSICOS DE CI‐
NEMÁTICA ANGULAR
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNI‐
FORMEMENTE VARIADO
RELACIONES ENTRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR
MOVIMIENTO RELATIVO
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
198
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tercera Subunidad
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
En este capítulo veremos el movimiento parabólico como la unión de movimientos horizontales (MRU) y verticales (caída libre). Luego aprenderemos las leyes que rigen el movimiento circular, que abarcan tres conceptos: rapidez, velocidad y aceleración angular; los conceptos vistos en la subunidad anterior son
indispensables en el estudio de estos fenómenos de la Cinemática Angular. Al
final analizaremos la relatividad del movimiento ya que absolutamente todas las
formas de movimiento son relativas.
6.3.1. MOVIMIENTO PARABÓLICO
OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender y aprehender estos conceptos y ecuaciones
básicas para el estudio de esta subunidad. Despertar el interés por el descubrimiento
de fenómenos relacionados con movimientos parabólicos.
Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición vectorial de dos movimientos rectilíneos simultáneos: uno de trayectoria horizontal
con velocidad constante (MRU) y otro de trayectoria vertical con aceleración
constante (caída libre).Por lo tanto su análisis se realiza en el plano de referencia bidimensional.
¾
Movimiento en el eje horizontal.- Este movimiento es rectilíneo uniforme
(sin aceleración), con velocidad horizontal constante
¾
:
Movimiento en el eje vertical.- Es el de caída libre, con velocidad vertical
variable
, y cuyas ecuaciones son:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
199
UNIVERSIDAD DE CUENCA
(
MRU
Caída libre
Fig. 6.3.1.1. Movimiento parabólico (en dos dimensiones)
La figura 6.3.1.1. expresa el caso particular de un proyectil disparado con una
velocidad inicial
la cual forma un ángulo con el eje .
Como representamos el movimiento en el plano, la velocidad se descompone
en una componente horizontal
De acuerdo con el triángulo:
y una vertical
.
El movimiento está dado por:
(1)
Velocidades.Eje X.- Como en tal eje no hay aceleración:
Constante.
Eje Y:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
200
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La velocidad total está dada por:
Cuyo ángulo es igual a:
Aceleraciones:
Eje X:
Eje Y:
Además de las velocidades, existen otros parámetros que rigen el movimiento
parabólico, algunas de ellos son:
Altura máxima h.- Significa la máxima altura a la que puede llegar el proyectil.
Como el proyectil se detiene momentáneamente al llegar al punto más alto de
su trayectoria, entonces:
De la ecuación:
Obtenemos:
Cuando
la altura será la mayor posible.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
201
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tiempo de vuelo.- Es el tiempo que el proyectil permanece en el aire:
De la ecuación
nemos que:
recordando que
en el punto más alto, te-
Este es el “tiempo de subida”. El tiempo de vuelo es el doble del de subida, es
decir:
Alcance horizontal máximo R.- Es la distancia máxima horizontal que puede
cubrir el proyectil.
De la ecuación del MRU horizontal:
Pero
Así que:
Según la ecuación, cuando
el alcance es el mayor posible.
Posición del proyectil.- Las coordenadas de posición(x; y) del proyectil en cierto instante dado están dadas por.
Como las coordenadas de posición dependen del tiempo, la posición es también dependiente del tiempo.
Luego:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
202
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Por otro lado, despejando t de la coordenada x y sustituyendo en la coordenada y, tenemos que:
Ya que
son constantes, esta ecuación es de segundo grado que corresponde a una parábola. Por consiguiente, la trayectoria del proyectil es parabólica.
Ejercicio Guía
Un avión que vuela a 2 000 m de altura con una velocidad de 300 m/s, deja caer una bomba. Calcular:
El tiempo que tardará la bomba en llegar al suelo.
El alcance máximo del disparo.
La velocidad de la bomba en el instante de llegar al suelo.
a)
Las componentes de la velocidad son:
2000 m
b) Por lo tanto:
x
c)
Con lo que:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
203
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión.
El ángulo de disparo para que el proyectil experimente un mayor alcance posible es:……………………… ¿Porqué?
El ángulo de disparo para que el proyectil experimente una mayor altura posible
es:……………………… ¿Porqué?
Lee, razona y resuelve:
Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre
una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo.
Calcular:
a) La rapidez inicial del balón;
b) el tiempo que permanece en el aire y
c) la altura máxima que alcanza.
En el próximo partido de Ecuador con la selección de Chile, el Toño Valencia
deberá patear un tiro libre desde un punto a 25 m del arco cuya altura es 2.5 m.
Cuando patea, la pelota sale del césped con una rapidez de 20 m/s en un
ángulo de 20º sobre la cancha. Suponiendo que la pelota no sufre ninguna alteración de su trayectoria:
a) ¿se convierte o no el gol?
b) ¿Con qué velocidad cruza por el arco?
c) Obtenga la ecuación de la trayectoria de la pelota.
Un alumno tira una pelota al aire lo más fuerte que puede y luego corre como
una liebre para poder atrapar la pelota. Si lanza la pelota a 20 m/s y su mejor
tiempo para recorrer 20 m es 3 s, calcular la altura de la pelota para que pueda
tomarla sabiendo que la trayectoria de la misma es parabólica.
Taller 6.3.1
Utilizando dos escuadras, un pedazo de jebe (pallca), una bola pequeña y un
pedazo de tabla delgada, intenta recrear en el patio el movimiento parabólico.
Con la ayuda de un cronómetro, registra el tiempo que tarda la bola al llegar al
suelo y mide su alcance. Haz esto varias veces. Luego, a partir de estos datos,
halla las velocidades de lanzamiento para cada caso.
Luego lo puedes generalizar para los casos de rebotes usando bolas de tenis o
golf y canicas.
INVESTIGACIÓN 6.3.1.- APLICACIÓN REAL DE MOVIMIENTO PARABÓLICO
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
204
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
205
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
6.3.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA ANGULAR
OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender y aprehender estos conceptos básicos para el
estudio de esta subunidad. Comparar esos conceptos con los conceptos del movimiento rectilíneo y establecer analogías y diferencias. Despertar el interés por el descubrimiento de fenómenos relacionados con movimientos curvilíneos
Los parámetros que entran en juego en el movimiento curvilíneo y particularmente, el circular son: posición, velocidad y aceleración angulares.
POSICIÓN ANGULAR:
Empezamos analizando el movimiento de un punto P a lo largo de una línea
curva, tal como se muestra en la figura 6.3.1.1.
Un vector que tiene origen en el centro de la línea curva y su extremo está
sobre el punto móvil en dicha línea,
recibe el nombre de radio vector.
Podemos ubicar al punto en cualquier
instante si, establecemos primero un
sistema de referencia, ya que no es
posible ubicar con coordenadas cartesianas, vamos a establecer nuevas
coordenadas, llamadas coordenadas
Fig. 6.3.1.1. Movimiento curvilíneo
curvilíneas o más precisamente, coordenadas polares.
Las coordenadas polares son un par ordenado de valores, el primero es el radio vector, el cual asignamos por R y el segundo es un ángulo que indica el
grado de giro de la partícula al describir la trayectoria rectilínea.
Con las nuevas coordenadas P queda ubicada en el punto de coordenaA las coordenadas las llamaremos radial y angular o azimutal, resdas
pectivamente.
El radio vector indica la distancia desde el origen de nuestro sistema de referencia al punto P, por lo tanto, es siempre positivo, en tanto que el ángulo es
medido desde el eje X positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
La posición angular expresado como vector posición angular, queda determinada por la ecuación siguiente:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
206
UNIVERSIDAD DE CUENCA
En donde la dirección
es perpendicular al plano de referencia, por lo tanto el
vector posición es perpendicular a dicho plano.
Ahora, vamos a establecer las relaciones entre las coordenadas polares y cartesianas. Para ello analizamos el triángulo rectángulo OPQ de la figura 6.3.1.2:
Por funciones trigonométricas:
Por el teorema de Pitágoras:
Con esto se obtiene las siguientes relaciones:
O
Q
Fig. 6.3.1.2. Movimiento curvilíneo
RAPIDEZ:
La rapidez de una partícula que se mueva describiendo una trayectoria curva o
circular se llama rapidez tangencial, porque la dirección del movimiento es tangente a la curva. La rapidez tangencial depende de la distancia radial R, mientras mayor es R, mayor es la rapidez tangencial y viceversa.
La rapidez de rotación o rapidez de giro indica la cantidad de vueltas, rotaciones o revoluciones por unidad de tiempo.
La rapidez tangencial y la rapidez de rotación se relacionan: se dice que la rapidez tangencial es proporcional a la rapidez de rotación para una distancia radial fija.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
207
UNIVERSIDAD DE CUENCA
VELOCIDAD ANGULAR:
Es una magnitud vectorial que se refiere al cambio de posición angular que
sufre una partícula en movimiento a lo largo del tiempo, expresada por el cociente entre el cambio de posición angular de la partícula y el intervalo de
tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de tiempo relativamente grande, tendrá una velocidad angular media, definida por:
=
La velocidad angular de una partícula en un instante dado es lo que se denomina velocidad angular instantánea pero no conocemos una operación matemática ideada para esta cuestión, su estudio
se realizará en cursos posteriores.
El vector velocidad angular es perpendicular a
la trayectoria, tal como lo muestra la figura
6.3.1.3
Fig. 6.3.1.3 velocidad angular
ACELERACIÓN ANGULAR:
Es el cambio de velocidad angular de una partícula a lo largo del tiempo expresada por el cociente entre el cambio de velocidad angular de la partícula y el
intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de
tiempo relativamente grande, tendrá una aceleración angular media, definida
por:
=
=
En donde:
La aceleración lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomina aceleración lineal instantánea pero no conocemos una operación matemática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores.
Para definir de manera única la posición, velocidad y aceleración angular se utiliza por convención la regla de la “mano derecha”, se encorvan los dedos en el
sentido del incremento respectivo, se extiende el pulgar, el cual marca el sentido del vector definido.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
208
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión
¿Qué quiere decir rapidez tangencial?
Describe la diferencia entre rapidez tangencial y rapidez de rotación.
¿Cuál es la relación entre la rapidez tangencial y la distancia desde el centro
del eje de rotación? Describe un ejemplo.
Lee, razona y resuelve.
¿Cuál es el vector radial de un cuerpo que se encuentra en el punto
una trayectoria curva? ¿Cuál es su ángulo?
de
Calcule la variación angular que sufre un cuerpo que se mueve siguiendo una
trayectoria circular desde la posición
hasta la posición
Taller 6.3.2
Elabora un torno casero. Puedes utilizar un pedazo circular de cartón o madera. Con un cronómetro toma el tiempo que tarda el torno en completar tres vueltas. Con los datos recogidos, calcula la rapidez de rotación. Luego hazlo girar
en posición horaria y antihoraria. En ambos casos indica la dirección de los
vectores posición y velocidad angular.
INVESTIGACIÓN 6.3.2.- APLICACIÓN REAL DE CONCEPTOS BÁSICOS DE
CINEMÁTICA ANGULAR
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
209
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
210
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.3.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las ecuaciones básicas del MCU. Utilizar los modelos matemáticos para realizar trabajos prácticos con materiales del medio.
Este movimiento ocurre sobre una trayectoria plana circular con una rapidez
constante (el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales) y al ser uniforme
su vector velocidad angular permanece constante a lo largo del tiempo, lo que
significa que el vector aceleración angular es cero.
Como referencia supondremos que el movimiento ocurre sobre el eje X.
Los parámetros cinemáticos de este movimiento son:
La aceleración angular:
La velocidad angular:
=
La magnitud de la velocidad angular:
El vector desplazamiento angular:
De la ecuación:
=
obtengo:
Cuya magnitud es:
Y de allí:
Que es la ecuación escalar que define la posición de la partícula en cierto intervalo de tiempo.
La rapidez de rotación o rapidez de giro indica la cantidad de vueltas, rotacioAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
211
UNIVERSIDAD DE CUENCA
nes o revoluciones por unidad de tiempo, es decir:
El valor de la rapidez de giro se conoce como frecuencia:
El tiempo requerido para completar una vuelta es conocido como período:
Es
decir:
Como el MCU se repite una y otra vez, en cada vuelta habrá girado un ángulo
radianes, con una velocidad uniforme; de esto se deduce que, para
de
una frecuencia conocida, es posible calcular la magnitud de la velocidad angular por la siguiente ecuación:
Al igual que en el MRU, el movimiento circular puede ser analizado gráficamente. Algunas de estas gráficas son las siguientes.
Gráfica -t (Gráfica posición angular -tiempo)
Es una recta cuya intersección con el eje X es el valor de su posición angular
inicial (posición angular para t=0).
La tangente de su ángulo de inclinación con respecto
al eje t es el valor de la magnitud de la velocidad angular de la partícula, como indica la figura 6.2.2.1.
Gráfica v-t
(Gráfica velocidad angular-tiempo)
fig. 6.3.2.1. Gráfica
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
-t
212
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Es una recta horizontal, como se ve en la figura 6.3.2.2., lo que indica que la
velocidad angular es constante. El área comprendida
el eje horizontal, la recta constante dos valores de
= constiempo representa el desplazamiento lineal que sufre
tante
la partícula en el intervalo de tiempo comprendido
Área=
entre dichos valores.
fig. 6.3.2.2. Gráfica -t
Gráfica v-t (Gráfica aceleración angular-tiempo)
Como la aceleración angular es cero, la gráfica es una recta que coincide con
tal como se ve en la figura 6.3.2.3.
el eje
Evalúa tu comprensión:
Compara el MCU con el movimiento de rotación de
la Tierra con respecto al Sol. ¿Se trata de un MCU?
¿Cuál es su período? ¿y su frecuencia y velocidad
angular? Haz lo mismo con el movimiento en torno Zfig. 6.3.2.2. Gráfica
a su propio eje.
-t
Ejercicio Guía
Calcular la rapidez orbital de la traslación terrestre alrededor del Sol si la diskm. La Tierra completa
tancia media entre el Sol y la Tierra es
días.
una vuelta en torno al Sol en un año o
En este caso la rapidez orbital es:
Así que:
La rapidez de giro de la Tierra es
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
213
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Lee, razona y resuelve:
Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante
hasta una rapidez angular de 12 rad/s en 3 s. Calcular: a) la aceleración angular del disco, b) el ángulo que describe.
Un disco de 8 cm de radio, gira con una rapidez angular constante de 1 200
r.p.m. Calcular:
a)
la velocidad angular del disco en 2 s.
b)
La posición final y la distancia total recorrida por un punto del borde en 2
s.
Las llantas de un automóvil giran a 1 434 r.p.m. Calcula la velocidad angular y
la distancia recorrida por una piedra incrustada en uno de sus bordes, al cabo
de 5 s.
Taller 6.3.3
Toma un trompo y hazlo “bailar”. Cuenta el número de vueltas cada diez segundos hasta completar un minuto. Con estos datos elabora una gráfica que relacione su velocidad angular con el tiempo.
INVESTIGACIÓN 6.3.3.- APLICACIÓN REAL DE MCU
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
214
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
215
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las ecuaciones básicas del MCUV.
Utilizar los conocimientos teóricos para realizar demostraciones de las ecuaciones del
MCUV.
Suponemos que la trayectoria del movimiento es una circunferencia situada
sobre el plano cartesiano o plano XY.
La velocidad angular varía de manera uniforme; esto implica que la aceleración angular es constante a lo largo del tiempo.
Los parámetros cinemáticos involucrados en el MCUV son los siguientes:
La aceleración angular es constante:
La magnitud de la aceleración angular es:
O lo que es lo mismo:
(1)
Si un cuerpo parte del reposo y en un tiempo t alcanza una velocidad angular
:
y
Pues:
Por lo tanto
Si en
tiempo
la velocidad
es distinta de cero, la velocidad angular en el
se llama velocidad angular final:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
216
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Si representamos en un sistema coordenado cartesiano el tiempo y la velocidad angular, sobre x e y, respectivamente, el gráfico es una recta, la cual corta
al eje vertical (o eje
en el valor
. El área del cuadrilátero OABC formado
`por la recta, los dos ejes y una vertical tomada en cierto valor de tiempo representa el desplazamiento angular de la partícula dotada de una aceleración
angular en un intervalo de tiempo dado, como se muestra en la figura 6.3.3.1:
El cuadrilátero OABC se
puede descomponer en el
rectángulo OADC y el
triángulo ADB.
B
Si calculamos el área del
cuadrilátero OABC, tenemos que:
D
0
C
Fig. 6.3.3.1. Gráfica velocidad angular- tiempo del MCUV
Si multiplicamos el segundo término de la igualdad por:
tenemos que:
)
Siendo
y
)
Reemplazando tenemos:
De este modo, el desplazamiento angular viene dado por:
(2)
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
217
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ahora bien si combinamos las ecuaciones (1) y (2), podemos obtener la tercera
ecuación que relaciona los parámetros del MRUV. Hacemos la demostración
en forma escalar:
Despejamos
de la ecuación (1):
Y reemplazamos en (2)
Resolviendo, nos queda:
De donde:
Finalmente:
Que en forma vectorial es:
Ya que en el MCUV la velocidad angular varía uniformemente con el tiempo,
es menester el cálculo de la velocidad angular media para un intervalo de
tiempo dado, definida como la media aritmética de las velocidades angulares
inicial y final en dicho intervalo de tiempo, es decir:
En el MCUV, son importantes las gráficas que relacionan sus parámetros, refe, su
ridas a un móvil que describe un MCUV con velocidad angular inicial
aceleración es
:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
218
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Gráfica
Se trata de una curva cuadrática (parábola), cuya intersección con el eje
marca su posición angular
inicial
. Esto quiere decir que el
desplazamiento angular es una función
dependiente del tiempo, como muestra la
figura 6.3.3.2.
Fig. 6.3.3.2. Gráfica x-t
Gráfica
Se trata de una recta, cuya intersección con el eje
marca su posición inicial
. Esto quiere decir que la tangente del ángulo que la recta
forma con el eje es el valor de la aceleración lineal de la partícula, en tanto
que el área bajo la recta, entre los valo, representa el desplazamiento
res
angular que experimenta la partícula en
el intervalo de tiempo
muestra la figura 6.3.3.3.
, como
Área=
Fig. 6.3.3.3. Gráfica
-t
Gráfica
Como la aceleración angular es constante en el tiempo, se trata de una recta
horizontal. El área bajo la recta, entre
los valores
, representa el desplazamiento angular que experimenta la
partícula en el intervalo de tiempo
, como muestra la figura
6.3.3.4.
Área=
Fig. 6.2.3.4. Gráfica
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
219
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ejercicio Guía
Un volante que gira a 3000 rpm logra detenerse mediante la acción de un freno
después de dar 50 vueltas.
a) ¿Qué tiempo empleó en el frenado?
b) ¿cuánto vale su aceleración?
Si ahora relacionamos la posición final:
Si aplicamos la ecuación:
Reemplazando en la ecuación del desplazamiento:
Utilizamos este dato para encontrar la aceleración:
Evalúa tu comprensión.
Describe la diferencia entre MCU y MCUV.
¿Es correcto decir que en un cuerpo que gira con MCUV aumenta constantemente su frecuencia y disminuye constantemente su período? Fundamenta tu
respuesta.
Lee, razona y resuelve
Una partícula comienza a girar desde el reposo hasta una rapidez angular de
15 rad/s en 3 segundos. Calcular a) su aceleración angular, b) el número de
vueltas en ese tiempo.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
220
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Un volante de 2 m de diámetro, comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante de 4 rad/s2. En el instante inicial un punto P del borde
del volante forma un ángulo de 57.3º con la horizontal. Calcular para el instante
2 s:
a) su rapidez angular,
b) la rapidez lineal de P,
c) la aceleración lineal de P,
d) la posición de P.
Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante
de 5 rad/s2 por 8 s. Luego el disco se lleva al reposo con una aceleración angular constante en 10 revoluciones. Calcular:
a) su aceleración angular,
b) el tiempo que demora en detenerse.
Taller 6.3.4.
Es correcto decir que un disco que gira con MCUV aumenta constantemente
su frecuencia y reduce constantemente su período. Argumenta científicamente
tu respuesta
INVESTIGACIÓN 6.3.4.- APLICACIÓN REAL DE MCUV
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
221
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
222
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.3.5. RELACIONES ENTRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las relaciones entre los dos tipos de
movimientos. Utilizar los conocimientos teóricos para realizar demostraciones de las
relaciones existentes.
Considere una partícula que gira en con MCU (efectúa una traslación circular)
. La partícula se mueve desde una posición inicial
con una velocidad orbital
a una posición final
en un intervalo de tiempo
El ángulo descrito por
el radio vector
será
(ver figura 6.3.5.1.).
Un movimiento circular uniforme es un movimiento acelerado, aún cuando el
móvil recorra la trayectoria con rapidez constante. La dirección del vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento
y esta variación que afecta solo a su dirección, da lugar a una aceleración. La
rapidez es la longitud del arco de circunferencia (distancia) recorrido en la unidad de tiempo.
Si
es:
está medido en radianes, la longitud del arco
y para el arco recorrido en la unidad de tiempo es:
Fig. 6.3.5.1
Generalizando:
Pero:
y
Reemplazando tenemos:
Como
son vectoriales, es preciso expresarlos como tal. Sabiendo que el
producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector, tenemos que:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
223
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Que es la ecuación vectorial que relaciona la velocidad orbital con la velocidad
angular de la partícula.
Ahora bien, el cambio en la dirección de la velocidad se debe a un tipo de aceleración que no cambia la magnitud del vector velocidad, sino únicamente su
dirección; esta aceleración recibe el nombre de “aceleración normal o centrípeta, ”, la cual apunta siempre al centro de la trayectoria.
Para su análisis, nos remitimos al triángulo de velocidades que se muestra en
la figura 6.3.5.2.
Para encontrar la magnitud de
senos:
usamos la ley de co-
Realizando operaciones algebraicas tenemos que:
Si multiplicamos ambos miembros por
Pero
Fig. 6.3.5.2.
:
, con lo cual la ecuación se transforma en:
Haciendo los cálculos pertinentes, tenemos que:
Que en forma vectorial es:
Para una partícula que gira con MCUV, la variación en el módulo de la velocidad orbital está asociada a una aceleración llamada “aceleración orbital o tangencial” que es tangente a la trayectoria y cuya ecuación es:
Que en forma vectorial es:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
224
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Como en el MCUV, la velocidad orbital varía en magnitud y dirección, entonces
existen simultáneamente las dos aceleraciones lineales: la centrípeta, dirigida
al centro de la trayectoria y la tangencial, por lo tanto siempre son perpendiculares entre sí, tal como vemos en la figura
6.3.5.3.
La aceleración resultante o aceleración lineal total es:
Fig. 6.3.5.3.
Cuya magnitud es:
Por último se debe decir que se usa comúnmente como unidad de medida de la
variación angular el término revolución, que corresponde a una vuelta completa, ó
ó
Y para velocidad angular se usan las vueltas o revolu-
ciones por minuto, con unidad de medida
. Siempre se debe tener en mente
que las vueltas o revoluciones son medidas de ángulo, por lo tanto son un
número adimensional. Tomemos el siguiente ejemplo:
Transformar 12
a
Para este caso, proponemos el siguiente método:
Como
y
Ejercicio Guía
Un disco de 10 cm de radio que gira a
nerse cuando se lo frena. Calcular:
a) su aceleración angular,
b) el número de revoluciones hasta detenerse,
demora un minuto en dete-
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
225
UNIVERSIDAD DE CUENCA
c) la rapidez tangencial de un punto del borde del disco antes de empezar a
frenar,
d) la aceleración centrípeta, tangencial y total para un punto del borde del disco.
Datos:
Primero se transforman las
a
a) Usando las ecuaciones de cinemática de rotación:
peja , cuando se detiene
b) Se pide calcular
se des-
, usando la ecuación
Reemplazando los datos, se obtiene:
c) Se puede calcular la rapidez con la ecuación:
d) La aceleración centrípeta, tangencial y total es:
Lee, razona y resuelve:
La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular, con un
radio promedio de
. La Luna completa una revolución en torno a la
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
226
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Tierra y en torno a su eje en 27.3 días. Calcular:
a) la rapidez orbital media de la Luna,
b) la rapidez angular,
c) aceleración centrípeta.
Una rueda de bicicleta de 30 cm de radio comienza a girar desde el reposo con
una aceleración angular constante de 3 rad/s2. Después de 10 segundos calcular:
a) su rapidez angular,
b) el desplazamiento angular,
c) la rapidez tangencial de un punto del borde,
d) su aceleración total para un punto del borde.
Taller 6.3.5.
Investiga y sustenta la relación de movimiento circular entre el engranaje pequeño y el grande del sistema de transmisión de la bicicleta, al accionar los pedales.
INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE RELACIONES DE TRANSMISIBILIDAD DEL MOVIMIENTO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
227
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
228
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.3.6. MOVIMIENTO RELATIVO.
OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender la relatividad de los diferentes tipos de movimientos. Utilizar los contenidos teóricos para plantear y solucionar problemáticas que
se dan dentro y fuera de clase.
Si vamos en un vehículo y dejamos caer un objeto, nosotros lo vemos caer verticalmente, pero un transeúnte parado en la esquina lo ve moverse con movimiento parabólico. Si midiéramos alguna variable cinemática, obtendríamos
resultados distintos, aunque el movimiento es el mismo.
Este mismo movimiento, visto por uno o más observadores en sistemas de referencia diferentes, es lo que llamamos movimiento relativo.
Suponemos dos sistemas de referencia: uno es el sistema A en reposo y el otro
es el sistema B, el cual está en movimiento relativo respecto a A. Una partícula
P en movimiento es observada desde los sistemas A y B. Los vectores posición relativos quedan definidos de la siguiente manera:
P
B
A
En el diagrama de vectores se cumple que:
De donde:
= vector de posición de B con relación a A.
= vector de posición de la partícula con relación a A.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
229
UNIVERSIDAD DE CUENCA
= vector de posición de la partícula con relación a B.
Es decir, la posición de la partícula respecto al sistema en reposo es igual a la
suma vectorial de los vectores posición de la partícula respecto al sistema en
movimiento y del sistema en reposo con respecto sistema en movimiento.
De esta manera, si los vectores posición cambian en el tiempo, encontramos
para las velocidades:
De donde:
= velocidad de B con relación a A.
= velocidad de la partícula con relación a A.
= velocidad de la partícula con relación a B.
Ejercicio Guía
La rapidez del agua de un río es 5 km/h uniforme hacia el este. Un bote que se
dirige hacia el norte cruza el río con una rapidez de 10 km/h respecto al agua.
a) Calcular la rapidez del bote respecto a un observador en la orilla del río. b)
Calcular la dirección donde debe dirigirse el bote si se quiere llegar justo al
frente en la orilla opuesta. c) Calcular ahora su rapidez respecto a la tierra.
El sistema de referencia fijo es la tierra, el sistema de referencia móvil el río y la partícula es el bote, entonces:
:
: Rapidez del bote (partícula) respecto al agua (SR móvil)
: Rapidez del agua (SR móvil) respecto a tierra (SR fijo)
Rapidez del bote (partícula) respecto a tierra (SR fijo)
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
230
UNIVERSIDAD DE CUENCA
a) Es conveniente hacer el diagrama de vectores de velocidades, que se muestra
en la figura:
La magnitud de la velocidad del bote respecto a tierra
, que tiene una componente
a favor de la corriente, se puede calcular del triángulo rectángulo de vectores de la figura de la izquierda.
Su dirección es:
b) Si quiere llegar justo al frente desde donde sale, como la corriente del río lo
arrastra hacia el este, haciendo el diagrama de vectores de la derecha, se observa que debe apuntar en dirección hacia el noroeste, entonces:
c) Ahora, la rapidez
es:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
231
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Como debe remar con una componente de la velocidad en contra de la corriente, la
velocidad resultante del bote en este caso es menor que en la parte a), donde una
componente de la velocidad es a favor de la corriente.
Evalúa tu comprensión:
Si estás parado en un autobús que se mueve con trayectoria horizontal y dejas
caer una pelota, observas que su trayectoria es una recta vertical. ¿Cómo verá
esa trayectoria un amigo parado en la acera?
Mientras lees esta guía ¿Con que rapidez te mueves con relación a la silla en
que te sientas? ¿Y con relación al sol?
Lee, razona y resuelve.
Un cóndor vuela hacia el este con una rapidez de 12 km/h respecto del aire, en
presencia de un viento que sopla hacia el noreste (a 45º) con una rapidez de 5
m/s. a) Calcular la rapidez resultante del cóndor.
b) ¿Qué distancia se desvía cada minuto respecto a la dirección este?
Taller 6.3.5
Investiga y demuestra porqué los árboles “caminan” en sentido contrario a nosotros, cuando viajamos en auto.
INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE MOVIMIENTO RELATIVO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
232
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
233
UNIVERSIDAD DE CUENCA
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Trayectoria.
→
Rapidez tangencial.
→
Posición angular.
→
velocidad angular.
→
Aceleración angular.
→
MCU.
→
MCUV
→
Movimiento relativo.
b)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los
principales conceptos tratados en esta unidad.
c) Resuelve las siguientes situaciones:
Los puntos A y B, está sobre la misma vertical, pero A está 512 m más arriba.
Desde A se deja caer una bola y 4,3 s más tarde se deja caer otra desde B y
ambas llegan al suelo simultáneamente. Determinar:
a) a qué altura está B
b) el tiempo que dura la caída de A
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
234
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con
una velocidad de 20 m/s. Calcular:
a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después?
b) ¿Qué velocidad tienen en ese instante?
c) ¿Cuánto tiempo tarde en llegar a la superficie del agua?
d) ¿Qué velocidad tiene en ese instante?
e) ¿Cuánto vale el alcance máximo?
f) ¿En que punto de la trayectoria la velocidad forma un ángulo de 45º con
la horizontal?
Dos aviones están situados en la misma vertical. La altura en la que se encuentra uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden bombardear un
objetivo común. ¿Que relación debe de haber entre las velocidades de ambos
aviones?
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
235
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Cuarta Subunidad
HIDRODINÁMICA
HIDRODINÁMICA
MOVIMIENTO DE UN FLUIDO. CONTINUIDAD.
VISCOSIDAD Y ROZA‐
MIENTO VISCOSO
TEOREMA DE BERNOULLI.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
236
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Cuarta Subunidad
HIDRODINÁMICA
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en
movimiento; estas leyes son enormemente complejas, la hidrodinámica tiene
una importancia práctica mayor que la hidrostática.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo
pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido
es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de
los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden
servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son
pequeños.
6.4.1. MOVIMIENTO DE UN FLUIDO. CONTINUIDAD.
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacionados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de
aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación.
El movimiento de un fluido puede ser descrito en términos de un flujo. Este flujo
es conducido según tres regímenes de distinta naturaleza, denominados:
Régimen sin rozamiento o de Bernoulli.- Las líneas de corriente son líneas de
flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas
individuales de fluido. Este régimen no es común en la naturaleza.
Régimen turbulento o de Venturi.-Se presenta cuando la velocidad del líquido
es muy grande o cuando la conducción presenta cambios bruscos de dirección.
Se caracteriza por la presencia de torbellinos y porque las líneas de corriente
se cortan entre sí, constituyendo un movimiento totalmente caótico, por lo cual
la teoría es tan compleja que no se desarrollará en esta Guía.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
237
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Régimen laminar o de Pouseuille.- Un flujo líquido es laminar cuando la velocidad con la que fluye es la misma en todos los puntos de su trayectoria. Por lo
tanto, podemos idealizar este régimen como un conjunto de láminas o capas
líquidas moviéndose cada una con una cierta velocidad y conservando su posición relativa. Lamentablemente este régimen solo se puede lograr en el laboratorio o en canales controlados por el hombre.
En la naturaleza los regímenes de flujo son turbulentos debido a ciertos factores, como la imperfección de los canales o tubos y a un tipo de rozamiento entre el líquido y las paredes del tubo o entre capas contiguas de líquido llamado
rozamiento viscoso.
Se llama línea de corriente a la trayectoria curva que experimenta una partícula
dentro de un flujo laminar estable. Una línea de corriente es paralela a la velocidad de las partículas de fluido en cualquier punto.
Un número finito de líneas de corriente constituyen una región tubular denominada” tubo de corriente”.
(2)
(1)
En la figura anterior se ha considerado un tubo de flujo con dos regiones, la rey la región (2) de área transversal . Si un
gión (1) de área transversal
atraviesa la regiones (1) y (2) con rapideces
fluido de densidad constante
y
respectivamente. Luego de un intervalo
, un punto cualquiera del
fluido se ha desplazado una distancia
Como la masa del fluido que cruza por las regiones (1) y (2) será constante,
se tiene que:
Es decir:
Con lo que se tiene que:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
238
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Para toda región de un tubo de flujo continuo se cumple que:
La ecuación anterior se llama ecuación de continuidad la cual expresa la ley
de conservación de la masa.
es denominada caudal, gasto o flujo de volumen y se represenLa cantidad
ta con la letra Q, es decir:
El caudal se mide en
En una pared estrecha de una tubería, las líneas de corriente están más próximas entre sí, de modo que su rapidez es mucho mayor que en una pared ancha donde las líneas de corriente están más separadas. Por otra parte, si hay
variación en la rapidez de un punto a otro, este puede ser provocado por una
diferencia de presiones entre las secciones del tubo, lo cual provoca una aceleración a lo largo del tubo.
Ejercicio Guía
Se desea extraer agua de una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a razón de 0,25 litros por cada segundo.
¿Cuál es la velocidad del agua en la manguera si el orificio de la llave es de 1,0
cm de diámetro interior?
¿Cuál es la velocidad de salida del agua?
Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s,
de tal manera que:
Por lo tanto, la velocidad del agua en la manguera está dado por:
De donde:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
239
UNIVERSIDAD DE CUENCA
La ecuación de continuidad permite calcular la velocidad de salida del agua
por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que
pasa por la boquilla.
Es decir, se debe cumplir la relación:
De donde se tiene:
O sea:
Evalúa tu comprensión:
¿Que son líneas de flujo? En las zonas donde las líneas de flujo están más
cercanas entre sí ¿La presión es mayor o menor?
Describe la diferencia entre flujo laminar y flujo turbulento
Analiza la utilidad práctica de usar un barómetro de agua.
Lee, razona y resuelve:
Por un tubo de 10 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 8 m/s. Calcula la velocidad de agua al atravesar una reducción de 6 cm de diámetro conectado al tubo. ¿Cuál es el caudal de entrada?
Un jardinero desea regar el pasto con una mariposa de un solo orificio, de 0,6
cm de diámetro, conectado a una manguera de 2,5 cm de diámetro. ¿Con que
velocidad saldrá el agua? ¿Cuál será el diámetro del orificio de la mariposa para que el agua salga con un tercio de esa velocidad?
Taller 6.4.1.
Investiga porque las uniones de las tuberías son más propensas a sufrir daños
si se aumenta el caudal de agua, en una cantidad considerable.
INVESTIGACIÓN 6.4.1.- APLICACIÓN REAL DE ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Tema:
Situación Problémica:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
240
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
241
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.4.2. TEOREMA DE BERNOULLI
7.4.2.
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacionados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de
aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación.
Si para un flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, podemos evaluar la ley de conservación de la masa a lo largo de una línea de corriente.
Fig. 6.4.2.1
Recordar que:
De esto se desprende:
Sabemos que las líneas de flujo se acercan en regiones más angostas, donde
la rapidez de flujo es mayor, por lo tanto, su presión interna disminuye.
El científico suizo Daniel Bernoulli estudió el flujo de los fluidos en tubos y llegó
a la conclusión de que donde aumenta la rapidez de un fluido, su presión interna disminuye.
Para la demostración partimos de la ecuación principal de la hidrostática y el
análisis del gráfico 6.4.2.1:
(6.4.2.1)
Del MRUV tenemos que:
Como
, variación de presión
Con lo que la ecuación 6.4.2.1 toma la forma:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
242
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Por otra parte,
tanto:
(1)
hace referencia al cambio de presión con la altura, por lo
(2)
Si comparamos (1) con (2) tenemos que:
Reacomodando:
Si sobre el fluido actúan presiones externas:
Para todos los puntos de un fluido sin fricción:
Que es la ecuación de Bernoulli.
Ejercicio Guía 1
Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 E3 Kg/m3
es horizontal en
m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar
hacia arriba, hasta alcanzar una altura de
. El tubo tiene área
transversal constante. Si la presión en la sección inferior es
E5 Pa,
calcule la presión
en la parte superior.
Solución:
Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal
constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto:
En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernoulli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene:
De
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
donde:
243
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Ejercicio Guía 2
Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de
Su velocidad en el extremo de entrada es
.
, y la presión allí es
de
, y el radio de la
sección es
El extremo
de salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la
sección allí, es
. Encontrar la presión
en ese extremo.
La presión se puede encontrar mediante la ecuación de Bernoulli; sin embargo,
con la ecuación de contipreviamente necesitaremos calcular la velocidad
nuidad:
De donde:
Ahora, según Bernoulli:
De donde:
La presión en el extremo derecho d la manguera es
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
244
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Evalúa tu comprensión:
El principio de Bernoulli, ¿se refiere a cambios en la presión interna de un fluido o a presiones que el fluido puede ejercer sobre objetos, o a ambas cosas?
Para un mismo caudal de líquido. ¿Por qué sale el líquido con mayor velocidad
por los tubos más angostos que por los más anchos?
Lee, razona y resuelve:
Se quiere subir agua por una manguera de 3 cm de diámetro al tercer piso de
caluna casa. Si la velocidad del fluido al entrar en la manguera es 0,008
cule la velocidad al llegar si la altura al tercer piso es 7,5 m y la manguera termina en una llave de 2 cm de diámetro.
Un canalón recolector de aguas lluvias colocado en el techo de un edificio de
25 m de altura, tiene un diámetro de 3,6 cm. En un fuerte aguacero, el canalón
de agua con una velocidad de 11 m/s. Halle la velocidad
recoge 0,000 7
del agua al caer en un tanque situado a 1,25 m por encima del suelo.
Un bombero situado en el techo de una casa de 15 m de altura, bombea agua
con una presión inicial de 5 680 Pa. Si el caudal de agua que sale de la tubería
de 5 cm de diámetro es de 0,006
si el diámetro del mismo es 2,8 cm.
. Calcula cuál será la presión del chorro
Taller 6.4.2.
Al contestar una pregunta de porque una bandera ondea en el aire, un amigo
tuyo dice que ondea por el principio de Bernoulli. No es una explicación muy
convincente ¿Verdad? ¿Cómo contestarías tú esa pregunta?
INVESTIGACIÓN 6.4.2.- APLICACIÓN REAL DE TEOREMA DE BERNOULLI
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
245
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
Respuesta e interpretación física:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
246
UNIVERSIDAD DE CUENCA
6.4.3. APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacionados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de
aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación.
El teorema de Bernoulli se puede aplicar a una gran cantidad de fenómenos
físicos relacionados con Hidrodinámica. Entre estos constan dispositivos que
han sido diseñados para obtener ciertos parámetros en experimentos de laboratorio y en la industria, así como también principios que se derivan de este importante teorema. Veremos algunos de ellos:
1.- Si consideramos un fluido en reposo, tal como muestra la figura 6.4.3.1 y
aplicamos el teorema de Bernoulli a dos puntos diferentes, tenemos que:
Pero
, de tal manera que:
Es decir:
De este modo, la Hidrostática viene a
ser un caso particular de la hidrodinámica.
Efecto Venturi. Se basa en la aplicación del teorema de Bernoulli y la ecuación
de continuidad.
Sea un tubo (venturímetro) como el que se muestra en la figura 6.4.3.1 por el
que circula un líquido de
densidad .
Si aplicamos el teorema de
Bernoulli a dos puntos situados en la misma línea
de corriente, tenemos que:
Por otro lado, aplicando la ecuación de continuidad a los mismos puntos:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
247
UNIVERSIDAD DE CUENCA
De acuerdo al gráfico:
Puesto que:
De esto se desprende que:
y
Tenemos que:
De manera general:
Que es la ecuación para hallar la velocidad del fluido en cualquier punto del
venturímetro, relacionándolo con la velocidad en otro punto.
Para medir la velocidad de flujo de un fluido, especialmente gaseoso, se suele
colocar un manómetro en la tubería de flujo. El manómetro es llenado generalentre las ramas del fluido no sea muy granmente de mercurio, para que la
de. Este dispositivo es conocido como tubo de Pitot. Y es el que se muestra en
la figura 6.4.3.2
Aplicando Bernoulli y continuidad a los dos puntos, los cuales están a una
misma altura, tenemos que:
(1)
(2)
Despejando
de (2) y reemplazando en (1) encontramos:
Despejando
se tiene:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
248
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Por otro lado, usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones,
Como los puntos están a la misma altura:
Vemos que
Luego:
. Entonces:
De
donde:
Teorema de Torricelli
Un caso especial, particularmente importante, del Teorema de Bernoulli, se
aplica se aplica a la salida de un líquido por un orificio practicado en la pared
del recipiente que lo contiene.
Si tenemos un tanque como el que se muestra la figura 6.4.3.3 y queremos calcular la velocidad de salida del líquido por el mencionado orificio,
Podemos aplicar el teorema de Bernoulli
Como los puntos (1) y (2) están localizados en superficies libres del líquido, entonces:
Si tomamos el fondo del tanque como nivel de referencia y si en (1) el líquido está en reposo:
De donde, despejando
se obtiene:
Debido al rozamiento viscoso, la velocidad sufre alteraciones que deben ser
corregidas multiplicando la ecuación por un factor denominado coeficiente de
gasto C el cual depende de la viscosidad del líquido y de la disposición geométrica del orificio.
Se tiene, entonces:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
249
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Esta es la ecuación que define el teorema de Torricelli. A partir de ella se puede inferir una ecuación para el caudal de salida del líquido:
Evalúa tu comprensión:
Enuncia con tus propias palabras el teorema de Torricelli.
¿Cómo se aplica el efecto Venturi a la medición de caudales en sistemas de
agua?
¿Cómo afecta la viscosidad de un fluido a su velocidad de salida por un orificio
practicado en el recipiente que lo contiene?
Lee, razona y resuelve:
Un estanque de agua tiene un pequeño agujero en su costado a una altura h
debajo del nivel de agua, por donde sale agua con un flujo de Q lt /min. Calcular: a) la rapidez con la que sale el agua por el agujero, b) el diámetro del agujero.
La figura muestra una tubería de sección transversal circular, la cual sufre un
estrangulamiento en la región 2. Si la diferencia de alturas en el manómetro diferencial es de 60 cm, determine la velocidad del agua al salir del estrangulamiento.
Un mosquito que chocó con un tanque cúbico de 8 m de lado lleno de agua le
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
250
UNIVERSIDAD DE CUENCA
hizo un agujero en un punto a 4.25 m debajo del nivel superior de agua, por el
cual se ha medido un flujo de agua de 60 lt/min. Calcular: a) la rapidez de salida del agua, b) el radio del agujero.
Taller 6.4.3
Investiga y describe como se aplica el teorema de Bernoulli al vuelo de los
aviones.
INVESTIGACIÓN 6.4.3.- APLICACIÓN REAL DEL TEOREMA DE BERNOULLI
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
251
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
6.4.4. VISCOSIDAD Y ROZAMIENTO VISCOSO
OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer cómo influye la viscosidad en el movimiento de los
fluidos. Relacionarla con el movimiento de los sólidos. Incitar el interés por la investigación.
La viscosidad es la propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo
cuando se le aplica una fuerza.
Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos
de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido
en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su
viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio
de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el
orificio es una medida de su viscosidad.
La viscosidad, que resulta como efecto combinado de la adhesión y la cohesión, es lo contrario de la fluidez. Son fluidos muy viscosos el aceite, la miel,
etc.
Si se considera el movimiento de las partículas de un fluido, las que están en
contacto con la pared del recipiente tienen menor velocidad que aquellas que
están más alejadas de la pared.
Se llama caída de velocidad a la relación entre la diferencia de velocidades entre dos partículas y la distancia que las separa:
De modo que para desplazar con velocidad constante una partícula situada en
la superficie libre de un líquido viscoso contenido en un recipiente se requiere
la acción de una fuerza externa, la cual es proporcional a la velocidad y al área
e inversamente proporcional a la profundidad de la columna líquida, es decir:
El coeficiente
recibe el nombre de coeficiente de viscosidad o simplemente
viscosidad y depende del fluido y de la temperatura. En el SI se mide en
.
A hora bien, la viscosidad provoca una disminución de presión en el flujo dentro de un recipiente o tubería, lo cual provoca a su vez, un cambio en la velocidad de salida del fluido de acuerdo al teorema de Torricelli. La ecuación para el caudal de salida de un líquido viscoso por un orificio se transforma en:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
252
UNIVERSIDAD DE CUENCA
siendo
donde H es la altura total perdida por rozamiento viscoso a lo largo del tubo.
Fig. 6.4.4.1
Si analizamos un fluido viscoso en reposo, tal como muestra la figura 6.4.4.1,
tenemos que la presión hidrostática se reduce a la expresión:
la altura a la que alcanza el fluido con respecto a la base del tubo.
Siendo
Comparando con la figura, se obtiene la expresión:
Al observar un cuerpo en movimiento dentro de un fluido viscoso, nos damos
cuenta que existen varias vistas o frentes, dependiendo de si el cuerpo se
acerca o se aleja de nosotros. Existe un factor geométrico que indica estas vistas el cual se expresa mediante:
coso toma la siguiente forma:
con lo cual la fuerza de rozamiento vis-
Si analizamos el caudal conducido suponiendo que el tubo sea cilíndrico, vemos que la ecuación está dada por:
A continuación exponemos una tabla con los coeficientes de viscosidad dinámica para algunos fluidos:
SUSTANCIA
Pa·s
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
253
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Aceite de ricino a 20°C
agua a 0°C
agua a 20°C
agua a 100°C
sangre a 37°C
Aire a 20°C
Mercurio a 20°C
0,986
1,792 E-3
1,005 E-3
2,840 E-4
2,084 E-3
1,810 E-5
1,560 E-3
Ejercicio Guía
El factor K para el perfil que presenta una bala de pistola de 61 g y 2 es 11 m. Si se la deja caer en un balde de aceite de ricino ¿Qué velocidad
límite alcanzará?
La expresión que relaciona el perfil con la velocidad límite o final que alcanzará la bala
al pasar por el medio viscoso es:
Obteniéndose para la velocidad:
Pero por equilibrio sabemos que:
ya que la partícula por el rozamiento
viscoso tiende a situarse en reposo a una profundidad determinada.
En este caso:
De modo que:
Con estos datos obtenemos v:
Evalúa tu comprensión:
Explica con tus propias palabras porque fluye más fácilmente agua por un tubo
que aceite por ese mismo tubo.
¿Porque el coeficiente de viscosidad depende de la temperatura?
Relaciona la viscosidad con el rozamiento. Expone cuáles son sus semejanzas
y diferencias.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
254
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Lee, razona y resuelve:
Que caudal de agua saldrá por un tubo de 8 cm de diámetro proveniente de un tanque de 25 m de profundidad si la presión es de 105 678 Pa.
Taller 6.4.4
Indica porque las rodaduras (rulimanes) no engrasados se deterioran más rápido
que los engrasados.
INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE VISCOSIDAD Y ROZAMIENTO
VISCOSO
Tema:
Situación Problémica:
Objetivos Generales:
Objetivos Específicos:
Metodología de trabajo:
Resolución:
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
255
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Respuesta e interpretación física:
AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
MIDE TUS CONOCIMIENTOS
Integra tus conocimientos:
a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario.
→
Continuidad.
→
Caudal.
→
Teorema de Bernoulli.
→
Velocidad de salida de un líquido por un orificio.
→
Viscosidad.
b)
Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.
Resuelve las siguientes situaciones:
Analizar desde el punto de vista de la Física el siguiente comentario de un accidente
(sin víctimas, afortunadamente):
“El conductor de la furgoneta de la panadería “EL PANADERO FELIZ” declaró a este
corresponsal “vi cómo el poste de teléfonos se estaba acercando y cuando maniobraba para salirme de su camino, choqué de frente”. Como efecto del choque, las
puertas traseras se abrieron y las barras de pan salieron disparadas hacia atrás, por
lo que al tráfico estuvo interrumpido durante varias horas”.
Un avión que vuela a 500 m de altura, con velocidad de 180 km/h, desea dejar caer
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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un paquete de víveres sobre los náufragos de una isla. Si en el instante del lanzamiento la fuerza del viento comunica al paquete una aceleración de 0,5 m/s2. El piloto te pide calcular:
a) ¿A qué distancia de la isla debe soltar el paquete?
b) ¿Con qué velocidad (vector y módulo) se producirá el impacto?
c) ¿Dónde se encontrará el avión en el momento que el paquete impacto contra el
suelo?
Proyecto
LA CAÍDA DE UN CUERPO CON ROZAMIENTO Y SIN ROZAMIENTO
Formar equipos de 4 a 6 alumnos, dos o tres estarán en el patio y el resto en el aula.
Mide la distancia de la ventana del aula al suelo. Calcula la masa de una hoja de papel y prepara una bola de plastilina de 2 gramos.
Comprueba que una hoja arrugada, hecha una bola prieta, cae con aceleración parecida a una bola de plastilina de dos gramos. Analiza el tiempo de caída. En la caída libre todos los cuerpos caen con una aceleración igual a g, aceleración que es independiente de la masa del cuerpo que cae, del material de que está constituido y
de su forma. Esto sólo es rigurosamente correcto cuando se supone que la caída se
produce en ausencia de aire o, al menos, cuando el rozamiento se puede considerar
despreciable.
Comprueba que si tiras una hoja que no está arrugada cae más despacio que una
arrugada y hecho una bola.
Si se tiene en cuenta el rozamiento que ejerce el aire sobre cualquier cuerpo que
caiga en su interior, la aceleración de caída será diferente de un cuerpo a otro, y
menor que g. Afecta más a unos cuerpos que a otros. Esto no ocurriría en ausencia
de aire o, en general, en ausencia de rozamiento.
Deja caer una hoja de papel apoyada en un libro desde una altura pequeña. Comprueba que la hoja no queda retardada o desacelerada en su movimiento sino que
llega al suelo junto al libro.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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CONCLUSIONES
¾
La Física es una ciencia puramente experimental la teoría debe
ser complementada y comprobada mediante el trabajo práctico.
¾
El método de la investigación despierta en al alumno al espíritu
científico, lo cual puede ser provechoso si se combina con el trabajo de razonamiento.
¾
En la actualidad la educación debe estar basada en el constructivismo, ya que permite al estudiante ser el actor principal de su propia educación, poniendo en juego sus experiencias, capacidades y habilidades para construir y descubrir los conocimientos y luego utilizarlos en la resolución de problemas.
¾
La Física exige el trabajo en equipo para potenciar entre los alumnos la labor mancomunada y el espíritu de cooperación, acciones fundamentales
del pensamiento científico
¾
El uso de este tipo de documento hace que la comunicación asertiva entre profesor-alumno se incremente debido a que se establece un asesoramiento más cercano y continuo.
¾
Los proyectos y retos ayudan al estudiante a buscar nuevas vías
de aplicación y relación de la parte conceptual y procedimental y facilita el desarrollo
de la creatividad y la inventiva.
¾
Las situaciones problémicas posibilitan el desarrollo de la creatividad, el pensamiento, la inteligencia y el razonamiento.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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RECOMENDACIONES
¾
El manejo de este documento se puede complementar con material informático, para ello existen excelentes trabajos de graduación que contienen
animaciones en Modellus, que pueden servir como material de apoyo
¾
Es muy importante y necesario que el maestro que adopte este proyecto como material de apoyo tenga amplio conocimiento teórico de la asignatura
para poder asesorar a sus alumnos.
¾
Es aconsejable que el estudiante por su cuenta, amplíe y profundice los contenidos utilizando para ello material bibliográfico e informático.
¾
Es vital la complementación práctica traducida a situaciones del
quehacer cotidiano con materiales del medio, para que el alumno construya su
aprendizaje
¾
Es muy importante que el estudiante revise los temas anteriores y
evalúe su comprensión, solo así podrá tener un aprendizaje significativo.
¾
Es recomendable que el alumno tenga un cierto dominio de la terminología empleada en la guía como base para aprehender los contenidos teóricos.
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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BIBLIOGRAFÍA
¾ AVECILLAS JARA, Alberto Santiago, Física, Tomo I, Colección de obras
científico – didácticas, Cuenca-Ecuador., 2008.
¾ VARIOS AUTORES, Enciclopedia temática estudiantil, Tomo I, Océano, Grupo Editores S.A, Barcelona, 1999.
¾ AVECILLAS JARA, Alberto Santiago, Física, Tomo II, Colección de obras
científico – didácticas, Cuenca-Ecuador., 2008.
¾ HEWITT, Paul, Física conceptual, 9º Edición, Pearson Educación, México,
2004.
¾ VARIOS AUTORES, Sistemas de Unidades, Universidad Técnica Nacional,
Argentina, 2002.
¾ PIAGET, Jean, De la pedagogía, Editorial Paidós, Argentina, 1 999
¾ BRUER, J. Escuelas para pensar, una ciencia de aprendizaje en el aula, Ediciones Paidós, Madrid, 1999
¾ GIL PÉREZ, D. “El modelo constructivista de enseñanza/aprendizaje de las
ciencias: una corriente innovadora fundamentada en la investigación”, en
<http://campus-oei.org/oeivirt/ciencias.htm>, 2002.
¾ Universidad Andina Simón Bolívar, Nuevo Bachillerato Ecuatoriano, 2010.
¾ Contreras, Carlos, Apuntes de Física, Universidad Federico Santa María, Chile, 2 001
DIRECCIONES EN INTERNET
™ http://www.fisicanet.com/user/cinematica.php
™ http://www.fisicanet.com/user/estáticadefluidos.php
™ http://www.fisicanet.com/user/máquinassimples.php
™ http://www.ieslaasuncion.org/fisicayquimica/cinema.htm
™ http://www.ditutor.com/sistemasdeunidades.html
™ http://www.uasb.edu.ec/user/reforma.htm
™ http://www.fisicapractica.com /estatica.php
™ http://www.slideshare.net/fryoli/metodos-y-tecnicas-docentes
AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ
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™ http://www.fisicapractica/cinemática.com
™ http://www.juntadeandalucía.es/averroes/física.html
™ http://www.monografías.com/estática de fluidos.html
™ http://campus.usal.es/cinematica/ Diccionario.php?b=id:54
™ http://www.oei.es/consultaoei.htm
™ www.pearsoneducacion.com
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