Ejercicios sobre integración numérica

TALLER SOBRE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
1. a)
Calcular un valor aproximado para la longitud de la curva f ( x) = x 3 desde x = 0 hasta
x = 1 . Hacer un gráfico de la función f. Usar: Regla trapezoidal y Simpson
1
3
.
Hacer un cambio de variable que lleve su intervalo de integración al intervalo de la
Cuadratura Gausssiana.
Consultar en una tabla de Cuadratura Gaussiana los
coeficientes y los nodos, para n = 1 , n = 2 y n = 3 . Calcular, comparar los resultados.
c) Calcular el valor exacto de la longitud de arco. De ser necesario, usar tablas de
integración. Comparar. Calcular errores relativos.
b)
2. Lo mismo que en el problema 1. pero para la función f ( x) = e − x .
Con relación al literal c), si considera que el valor exacto no lo puede obtener, hallar los tres
primeros términos de la serie de Taylor para el integrando, alrededor de x 0 = 12 . Calcular
y comparar.
3. Formular la integral que da el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar la
región bajo la curva y = f ( x) , alrededor del eje x, y para cada una de las siguientes
funciones: f ( x) = x 3 , x ∈ [0,1] y f ( x) = e − x , x ∈ [0,1] .
Proceder en la misma forma que en el problema 1.
4. Calcular un valor numérico para ln 2 , usando una integral.
b
5. Para
∫ f (x )dx deducir: 1) La fórmula trapezoidal simple, y 2) la fórmula para el término de
a
error de esta aproximación.
6. Usar el método de coeficientes indeterminados para deducir la fórmula de Simpson
1
3
que
b
aproxima
∫ f (x )dx .
a
b
7. Expresar
∫ f (x )dx
como una integral en [0,1] , usando un cambio de variable lineal (sin
a
cambiar su valor).
8. De una cierta cantidad física Q(t ) , se obtuvo en el laboratorio la siguiente información:
t
Q(t )
0
3
0.5
2
1.0
2.5
1.5
2.8
2.0
2.9
2
i.
Escoger un método para aproximar
∫ Q(t ) dt .
0
seleccionado.
Dar la fórmula general de método
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
2
ii.
Hallar un valor aproximado para
∫ Q(t ) dt , usando el método definido en i.
Que use los
0
cinco datos dados en la tabla.
iii.
Exhibir con claridad el paso que corresponde a la situación numérica en la fórmula.
1
9. Mostrar que
∫
0
sent
dt =
t
1
1
2π ∫
10. Mostrar que
1
∫
−1
t2
−
e 2 dt
 1+ x 
sen

 2 
dx .
1+ x
1
2π ∫
=
11. Mostrar que
∫
a
e
−
(x +1)2
−1
0
b
1
8
dx .
2
1
∫ (12 (b − a)t + 21 (b + a))dt .
1
f (x ) dx = (b − a ) f
2
−1
12. Calcular el término de error E para que
b
∫ f (x )dx =
a
b −a
[ f (a) + f (b) ] + E
2
Precisar la fórmula para E, y dar una cota para el error absoluto, correspondiente a E.
Suponer que f(x) tiene sus dos primeras derivadas continuas en [a, b ] .
+∞
13. Usar la regla de Simpson
1
3
para calcular una aproximación de
x2
∫ 1 + x 5 dx .
2
b
14. Deducir la fórmula trapezoidal simple para aproximar
∫ f (x )dx .
Dividir el intervalo [a, b ] en
a
N subintervalos, aplicar regla trapezoidal simple en cada uno de los subintervalos, totalizar,
buscar regularidades. Compare lo obtenido por usted con lo que presenta el texto de su
confianza.
1
15. Deducir la fórmula simple de Simpson
1
3
para aproximar
∫ f (x )dx , exigiendo que la fórmula
−1
Af (−1) + Bf (0 ) + Cf (1) sea exacta para polinomios hasta de grado 2.
Cómo extiende la
b
fórmula anterior para que sea aplicable para aproximar
∫ f (x )dx ?
a
ideas del problema 14.
2
Continuar con las mismas
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
16. Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B c y C tales
que la fórmula Af (0 ) + Bf (c ) + Cf (1) es exacta para calcular
1
∫ f (x )dx , cuando f(x) es un
0
polinomio hasta de grado 3. Verificar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson
1 satisfacen el sistema. Existirán otras soluciones?
3
17. Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B, c, C, d y D
tales que la fórmula Af (0 ) + Bf (c) + Cf (d) + Df (1) es exacta para calcular
1
∫ f (x )dx , cuando
0
f(x) es un polinomio hasta de grado 5.
18. Hallar un coeficiente C y nodos x 0 , x1 y x 2 para que la fórmula C[f (x 0 ) + f (x1 ) + f (x 2 )]
1
sea exacta para calcular
∫ f (x) dx
cuando f(x) es un polinomio cuadrático. Verificar, con
−1
algunos casos particulares, que la fórmula obtenida funciona.
19. Usar el método de coeficientes indeterminados para encontrar las abscisas x1 y x 2 y los
1
∫ f (x) dx ≅ w1f (x1 ) + w 2 f (x 2 )
pesos w 1 y w 2 tales que la fórmula
sea exacta para todos
−1
los polinomios de grado a lo más tres.
20. Usar
J0 (x) =
una
fórmula
de
Cuadratura
Gaussiana
para
estimar
el
valor
π
de
1
cos (xsen θ) dθ en x = 1 . ( J0 (x) : Función de Bessel de orden cero). Compare
π
∫
0
su respuesta con la conseguida en tablas para J0 (1) (*) en calculadora o en DERIVE.
(*) Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas, M. R. Spiegel.
21. Usar la fórmula simple de Simpson
1
3
(únicamente) para aproximar la integral:
2
∫ ∫ (4 − y )dydx
2 2
0 2x
¿ Es exacto el valor calculado? Justificar.
22. Usar solamente la regla simple de Simpson
1
2
4 − x2
∫ ∫ (x
2
0
1
3
2
para calcular un valor aproximado de
)
+ 4 y 2 dydx
0
¿Es aceptable la aproximación? Justificar su respuesta.
3
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
23. Calcular los coeficientes A, B y C tales que la fórmula de Cuadratura:
1
 1
∫ f (x )dx ≅ Af (0) + Bf  2  + Cf (1)
(1)
0
sea exacta para polinomios de grado menor o igual que dos. Verificar que la fórmula
obtenida también resulta exacta para polinomios de grado tres. Obtenga la fórmula
b
equivalente de (1) para
∫ f (x )dx .
a
24. En algunas aplicaciones aparece la función H(x) definida por:
H( x) =
π
2
1
1− x
2
1 − x 2 sen 2 θ dθ , para x ∈ [0,1)
∫
0
 1
 1
para obtener una aproximación de H(x) y H  . Para H 
2
 
 2
consultar en tablas el valor y comparar.
Usar la regla de Simpson
1
3
π
25. Considerar la integral
∫ sen
2
x dx .
0
i)
Usar las fórmulas simple de los Trapecios y Simpson
1
3
y Cuadratura Gaussiana de 4
1
3
y Cuadratura Gaussiana de 4
nodos para hallar valores aproximados de la integral.
ii) Calcular el valor exacto de la integral.
iii) Calcular los errores relativos. Analizar.
2
26. Considerar la integral
∫ arctan x dx .
0
i)
Usar las fórmulas simple de los Trapecios y Simpson
nodos para hallar valores aproximados de la integral.
ii) Calcular el valor exacto de la integral (Usar tablas, calculadoras, DERIVE).
iii) Calcular los errores relativos. Analizar.
27. Obtener un valor aproximado de la integral
∫ ∫ (2x
)
3 2
2
− 3 y dxdy
1 −1
4
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Usar únicamente la regla de Simpson
1
3
. Dar el valor exacto del error que se comete en la
aproximación. Justificar.
28. Obtener un valor aproximado de la integral
∫ ∫ (x
)
24
2 2
y − 17 dxdy
02
Usar únicamente la regla de Simpson
1
3
. Dar el valor exacto del error que se comete en la
aproximación. Justificar.
29. Construir una regla de integración de la forma
1

1
 1
∫ f (x )dx ≅ A 0 f  − 2  + A1f (0) + A 2 f  2 
−1
que sea exacta para todos los polinomios hasta de grado menor o igual que dos.
30. Considerar la integral doble
21
∫∫y
1 − x 2 dxdy
00
¿En qué orden aplicar las reglas trapezoidal y Simpson
1
3
? Calcular el error relativo.
31. Calcular una aproximación al volumen de la octava parte de una esfera de radio uno. Usar
fórmula de Simpson 31 , únicamente. Calcular el error relativo.
32. Considerar la integral impropia:
+∞
∫
1
 1
sen 
t
 t2
1
2

 dt

2
∫ sen(x )dx .
1
i.
Convertir la integral dada en
ii.
Calcular una aproximación de la integral dada usando la regla de Simpson
0
1
3
, y a partir
( )
de los cuatro primeros términos de la expansión en serie de Taylor de sen x 2 .
Comparar con los resultados de su calculadora y de un paquete computacional como
DERIVE.
1
33. Usar la regla de Simpson
1
3
para calcular
∫
ex
0
5
x
dx .
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
π
2
34. Mostrar que
∫ tan xdx
es divergente. ¿Qué valores darían la regla de Simpson
1
3
y la
0
Cuadratura de Gauss para dos puntos?
1
35. Muestre que
∫
0
dx
es convergente.
Obtener una aproximación con el método de
x
Cuadratura Gaussiana para dos puntos. ¿La regla de Simpson
1
3
le da algún resultado
numérico? Si es posible, en ambos casos calcular el error relativo.
36. Considerar la integral impropia
3
dx
∫ (x − 1)2
0
i.
ii.
Analizar la convergencia o divergencia de la integral dada.
Analizar el resultado numérico que se consigue aplicándole la regla simple de Simpson
1.
3
37. Considerar la integral
4
∫
1 + t dt
0
Obtener aproximaciones con distintas fórmulas de cuadratura y su calculadora. Calcularla
también exactamente. Calcular los errores relativos.
38. Probar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson
sistema no-lineal conseguido en el problema 16.
6
1
3
forman la única solución al