examen ec.diferencia..

∞
y (x ) = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c4 x 4 + c5 x 5 + c6 x 6 + c7 x 7 + c8 x8 + c9 x 9 + L =
n =0
Academ ia Técnica Universitaria
C/ M iguel de Unam uno 17, local - Tel. 976 512 839
EEEXXXAAAMMMEEENNN EEECCC... DDDIIIFFFEEERRREEENNNCCCIIIAAALLLEEESSS IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRÍÍÍAAA IIINNNFFFOOORRRMMMÁÁÁTTTIIICCCAAA(((000999...000666...000111)))
Problema 1:.
Dada la ecuación y ′′( x ) − x 2 y ( x) = 0 contesta, sin resolverla:
a) ¿Posee solución?. En caso afirmativo, ¿cuántas?.
Solución:
Una ecuación diferencial: a (x ) y ′′( x) + a ( x ) y ′( x ) + a (x ) y ( x) = F (x ) . Si las funciones
0
1
2
a (x ), a (x ), a (x ), F ( x ) son funciones reales continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b .existe solución. Como
0
1
2
las funciones f ( x) = 1, f ( x ) = − x 2 y f ( x) = 0 son continuas ∀x ∈ ℜ por lo que existirá solución
1
2
3
∀x ∈ ℜ . Estas soluciones serán infinitas ya que la solución dependerá de dos constantes.
b) Si consideramos las condiciones iniciales para la ecuación y(0) = 0,
y ′(0) = 0 , ¿cuántas soluciones tiene?, ¿cuáles son?.
Solución:
Sea x un punto cualquiera del intervalo a ≤ x ≤ b y c y c dos constantes reales arbitrarias de la
0
0
0
La solución será de la forma de series de potencias: y ( x ) =
∞
∑c x
n
n
n =0
. Lo hacemos en torno al punto
x0 = 0 ya que el PVI está en torno a este punto y además es un punto ordinario.
∞
∞
n =1
n =0
∞
∑ n(n − 1)c x
n−2
n
n=2
∞
n=2
n−2
n
∞
− x 2 ∑ cn x n = 0 ⇒
n=0
∞
∑ (n + 1)(n + 2)c
n =0
∞
∑ n(n − 1)c x
n=2
n−2
n
n=2
n=2
e∫
−Q ( x )dx
v(x ) = ∫ −P ( x )e ∫
ln y (x ) = e ∫
Q ( x )dx
−Q ( x )dx
∫ −P(x )e
dx + c0 ⇒ v( x ) = e ∫
∫ −Q ( x )dx dx + e ∫ Q ( x )dx c
Q ( x )dx
∫ −P(x )e
∫ −Q ( x )dx dx + e ∫ Q ( x )dx c ⇒
0
0
Problema 3:
Se considera la ecuación diferencial: y(4 = -6y´´-8y.
a) Escribe dicha ecuación en forma de sistema de primer orden Y´= AY.
Solución:
z1 (x ) = y (x )
z 2 ( x ) = y ′(x ) = z1′ (x )
z3 (x ) = y′′( x ) = z ′2 ( x )
z 4 ( x ) = y ′′′( x ) = z3′ (x )
b)
n =0
n=2
∞
v( x )
v′(x )e v ( x ) + P (x )e v ( x ) = Q (x )e v ( x ) ln e v ( x ) = Q (x )v( x )e v ( x ) . Como e ≠ 0 ⇒ v′(x ) − Q ( x )v(x ) = − P ( x )
Ecuación diferencial linean en v( x ).
− Q ( x )dx
−Q ( x )dx
−Q ( x )dx
−Q ( x )dx
µ (x ) = e ∫
⇒ e∫
v′(x ) − e ∫
Q( x )v(x ) = − P ( x )e ∫
⇒
 z1′ ( x )   0

 
 z 2′ ( x )  0
⇔
=
z′ (x )  0
 3  
 z ′ ( x )  − 8
 4  
0  z1 ( x ) 


0  z 2 ( x )
0 0 1  z3 ( x ) 


0 − 6 0  z 4 ( x )
1
0
0
1
∞
x n − ∑ cn − 2 x n = 0 ⇒
∞
y ′( x ) + P ( x ) y ( x ) = Q ( x ) y ( x ) ln ( y ( x )) .
− ∑ cn x n + 2 = 0 ⇒
∞
n+2
Problema 2:
Resuelve la ecuación diferencial: y ′( x) + P ( x ) y ( x) = Q( x) y ( x) ln ( y ( x )) haciendo ln ( y (x )) = v( x) , con
P(x), Q(x) funciones continuas en (0,∞).
Solución:
y (x ) = e v ( x ) ⇒ y ′(x ) = v′(x )e v ( x ) . Sustituimos en la ecuación diferencial:
z5 (x ) = y ( 4 (x ) = −6 z ′2 ( x ) − 8 z1 ( x ) = z ′4 ( x )
Sustituimos en la ecuación diferencial: y ′′( x ) − x 2 y ( x) = 0
∑ n(n − 1)c x
La solución es la solución trivial.
1
ecuación diferencial anterior entonces existirá una única solución y ( x) ∋ y (x ) = c , y ′( x ) = c y esta
0
0
0
1
solución estará definida en todo el intervalo a ≤ x ≤ b . Como x = 0 ∈ ℜ existirá solución y será única.
n −1
y ′′( x ) =
y( x ) = ∑ cn x n y ′( x ) = ∑ ncn x
1
1
1
1
c0 x 4 + c1 x 5 +
c0 x8 +
c0 x 9 + L ⇒ y (0 ) = 0 = c0
12
20
672
1440
1
1
1
1
y′( x ) = c1 + c0 x 3 + c1 x 4 + c0 x 7 +
c0 x 8 + L = y′(0 ) = 0 = c1 .
3
4
84
160
= c0 + c1 x +
2c2 + 6c3 x + ∑ (n + 1)(n + 2)cn + 2 x n − ∑ cn − 2 x n = 0 ⇒
2c2 = 0 ⇒ c2 = 0
∞

n
2c2 + 6c3 x + ∑ [(n + 1)(n + 2 )cn+2 − cn−2 ]x ⇒ 6c3 = 0 ⇒ c3 = 0
n=2
(n + 1)(n + 2 )c − c = 0 ∀n ≥ 2
n+2
n−2

cn − 2
(n + 1)(n + 2)cn + 2 − cn − 2 = 0 ∀n ≥ 2 . Fórmula de recurrencia. cn+2 =
∀n ≥ 2
(n + 1)(n + 2)
c
c
Si n = 4 ⇒ c6 = 0 Si n = 5 ⇒ c7 = 0
Si n = 3 ⇒ c5 = 1
Si n = 2 ⇒ c4 = 0
20
12
c
c
Si n = 7 ⇒ c9 = 1 L
Si n = 6 ⇒ c8 = 0
1440
672
¿Cuántas soluciones periódicas linealmente independientes se pueden
hallar?. ¿Existe alguna solución que no sea periódica?.
Solución:
y ( 4 + 6 y ′′ + 8 y = 0
m 4 + 6m 2 + 8 = 0 . Las raíces de la ecuación característica son: m = ± 2i ∧ m = ±2i
y ( x ) = c1 sen 2 x + c2 cos 2 x + c3 sen 2 x + c4 cos 2 x . Como se ve se hay cuatro soluciones
periódicas linealmente independientes, como era de esperar. No existe ninguna solución que no sea
periódica.
Problema 4:
Resuelve, aplicando la transformada de Laplace el siguiente PVI:
 x′′ − 2 x − 3 y = e 2t

 y ′′ + 2 y + x = 0
 x(0 ) = 1, y (0) = 1, x′(0 ) = 0, y ′(0 ) = 0

Solución:
{ }
L{x′′(t )}− 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = L e 2t
L{y ′′(t )} + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0
s 2 L{x(t )} − sx(0 ) − x′(0 ) − 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} =
s 2 L{y (t )} − sy(0) − y′(0 ) + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0
1
s−2
⇒ T (t ) = c3 e
s 2 L{y (t )} − s + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0
2
)
− 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = s +
(
)
L{x(t )} + s 2 + 2 L{y (t )} = s
(s
1
s−2
)
)
x(t ) =
)
21 − c3 ⇔ c3 = c4 =
µ
Ecuación característica: 4m 2 − µ 2 = 0 ⇒ m = ± µ ⇒ X ( x ) = c1e 2 + c2 e
s
1
s s 2 − 2 s 4 − 2 s 3 − 3s 2 + 6 s − 1
L{y (t )} = − 4
−
+
=
(s − 2 ) s 4 − 1
s − 1 (s − 2 ) s 4 − 1
s4 −1
−1 1
−7 1
−1 1
19 s
−1 1
L{y (t )} =
+
+
+
+
15 s − 2 4 s − 1 12 s + 1 10 s 2 + 1 5 s 2 + 1
−1
− 1 2t − 1 t − 7 −t 19
y (t ) =
e + e +
e + cos t +
sent
15
4
12
10
5
)
(
21
2
Si λ > 0 ⇔ λ = µ 2
4 X ′′( x ) − µ 2 X ( x ) = 0
− 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = s +
(
−5− 21
− 5 + 21
− 5 − 21
c3 +
2
2
−
5
+
21
−
5
−
21

21  2
u ( x, t ) = X ( x )T (t ) = c
e
+e 2 

2 

1
s−2
(
−5+ 21
ut (x,0 ) = 0 ⇔ T ′(0 ) = 0 =
1
s−2
− (s 2 − 2 )L{x(t )} − (s 2 − 2 )(s 2 + 2 )L{y (t )} = − s (s 2 − 2 )
2
−5 − 21
t
2
t
t
− 5 + 21
− 5 − 21
c3e 2 +
c4 e 2
2
2
u ( x,0 ) = 21 ⇔ T (0) = 0 ⇒ T (0 ) = c3 + c4 = 21 ⇒ c4 = 21 − c3
Resolvemos el sistema donde las incógnitas son: L{x(t )}, L{y (t )}.
(s
+ c4 e
T ′(t ) =
Sustituimos el PVI:
s 2 L{x(t )} − s − 2 L{x(t )} − 3L{y (t )} =
−5 + 21
t
2
(
)
− 22 2t − 13 t 11 −t − 113
−7
cos t +
e +
e + e +
sent
15
4
12
5
5
x
−µ
x
2
2
Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0) = X ′(2) = 0
X ′( x ) =
µ
X ′(2 ) =
µ
2
µ
x
c1e 2 −
c1e µ −
µ
2
µ
c2 e
−µ
x
2
c1e − µ =
⇒ X ′(0) =
µ
(
µ
2
c1 −
)
µ
2
c2 = 0 ⇒ c2 = c1
c1 e µ − e − µ = µc1 shµ = 0 ⇔ c1 = 0
2
2
2
u ( x, t ) = X (x )T (t ) = 0 Solución trivial.
Si λ < 0 ⇔ λ = − µ 2
4 X ′′( x ) + µ 2 X ( x ) = 0
Ecuación característica: 4m 2 + µ 2 = 0 ⇒ m = ± µ i ⇒ X ( x ) = c sen µ x + c cos µ x
1
2
Problema 5:
Resuelve el problema de contorno dado por:
utt (x, t ) + 5u t ( x, t ) + u (x, t ) = 4u xx (x, t ), 0 < x < 2, t > 0
ut ( x,0 ) = 0, t > 0
u x (0, t ) = 0, t > 0
u x (2, t ) = 0, t > 0
u ( x,0) = 21, 0 < x < 2
Solución:
Separación de variables: u ( x, t ) = X ( x )T (t ) .
Sustituimos en la ecuación diferencial: X ( x )T ′′(t ) + 5 X ( x )T ′(t ) + X ( x )T (t ) = 4 X ′′( x )T (t )
T ′′(t ) + 5T ′(t ) + T (t ) 4 X ′′( x )
=
=λ
T (t )
X (x )
Si λ = 0 ⇒ X ′′( x ) = 0 ⇒ X ( x ) = c1 x + c2
Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0) = X ′(2) = 0
X ′( x ) = c1 ⇒ X ′(0) = X ′(2) = 0 = c1 ⇒ X ( x ) = c2
2
2
Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0 ) = X ′(2 ) = 0
X ′( x ) =
µ
µ
µ
µ
µ
x ⇒ X ′(0) = c1 = 0 ⇒ c1 = 0
2
2
0
=
⇔
c
Solución
trivial

µ
X ′(2 ) = − c2 senµ = 0 ⇔  2
2
senµ = 0 ⇔ µ = nπ ∀n = 1,2,L
µ = nπ ∀n = 1,2,L . Se llaman valores propios ( o eigenvalores ) del Problema de Sturm-Liouville.
nπ . Se llaman funciones propias ( o eigenfunciones ) del Problema de SturmX n ( x ) = cn cos
x
2
2
c1 cos
2
x−
2
c2 sen
Liouville.
(
)
T ′′(t ) + 5T ′(t ) + 1 + µ 2 T (t ) = 0
Ecuación característica:
− 5 ± 21 − 4µ 2 .Como µ = nπ ∀n = 1,2,L
2
⇒ 21 − 4n 2π 2 = −α 2 ya que 21 − 4n 2π 2 < 0
⇒ Tn (t ) = an senαt + bn cosαt
nπ
un ( x, t ) = X n (x )Tn (t ) = ( An senαt + Bn cos αt ) cos
x
2
(
)
m 2 + 5m + 1 + µ 2 = 0 ⇒ m =
T ′′(t ) + 5T ′(t ) + T (t ) = 0
Ecuación característica: m 2 + 5m + 1 = 0 ⇒ m = − 5 ± 21
2
2
Por el principio de superposición: u ( x, t ) =
∞
n =1
∞
u ( x,0 ) = 21 = ∑ Bn cos
n=1
∞
n
n =1
n
n
cosαt ) cos
nπ
x
2
nπ
x
2
ut ( x, t ) = ∑ (αAn cos αt − αBn senαt ) cos
n =1
∞
∑ u (x, t ) = ∑ ( A senαt + B
nπ
x
2
nπ
x = 0 ⇔ An = 0
2
∞
nπ La serie de Fourier en cosenos de la función: f ( x ) = 21 donde
u ( x,0) = 21 = ∑ Bn cos
x
2
n =1
∞
ut ( x,0 ) = ∑αAn cos
n =1
2
Bn = ∫ 21 cos
0
2
2 21
nπ
nπ
x dx =
sen
x =0
2
nπ
2 0
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