Espacios de Banach y teorema del punto fijo de Banach dentro de

Espacios de Banach y teorema del punto fijo de
Banach dentro de las Matemáticas.
Introducción
La matemática es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a
través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre los entes
abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas
conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos
buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad
matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los
axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han
evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el
estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las
matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que
se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica,
especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron
desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las
innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos.
Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la
actualidad.
En este artículo se introducirá el Análisis funcional, dentro de éste situaremos los
espacios completos y de Banach. Estaremos, pues, preparados para introducir el
teorema del punto fijo de Banach y sus numerosas aplicaciones, sobre todo, en la
Naturaleza.
1.- Análisis Funcional. Espacios métricos. Espacios de
Banach.
El Análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del
análisis, que trata del estudio de espacios de funciones.
Cuando nosotros vamos a parques de atracciones, éstas son seguras ya essas
trayectorias han sido escogidas de entre todas las funciones posibles (espacios de
funciones).
Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como
transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones
integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una
función cuyo argumento es una función.
Su uso en general se ha atribuido a Volterra.
Vito Volterra (Ancona, 1860 - Roma, 1940) Matemático italiano cuyas investigaciones
propiciaron el desarrollo del modelo de análisis matemático. Realizó estudios de
matemáticas y física en la Universidad de Pisa bajo la dirección de Enrico Betti entre
los años 1878 y 1882. Un año más tarde era ya profesor de mecánica racional en
dicha institución.
Comenzó por entonces a trabajar en el análisis de funcionales, aplicaciones
matemáticas entre funciones reales y complejas que condujo al desarrollo de un nuevo
campo del análisis, de gran aplicación en las ecuaciones integrales e integrodiferenciales y con el que supo resolver con éxito determinados problemas físicos en
campos como la óptica, el electromagnetismo y la elasticidad de los materiales.
Tras la guerra, Volterra retornó a sus investigaciones y volcó su atención en el análisis
matemático de los modelos biológicos. Desconocedor del trabajo realizado en este
campo por los investigadores anteriores a él, la mayor parte de sus investigaciones
eran meras réplicas de aquellos, pero sus modelos matemáticos abstractos de
asociaciones biológicas y convivencia de especies diferentes en un mismo ecosistema
encontraron gran aplicación en otros campos de la ciencia, como la física. También
desarrolló modelos matemáticos de la herencia biológica.
Entre sus obras y publicaciones más importantes se encuentran Principi di calcolo
integrale (1883), Vibrazioni dei corpi elastici (1893), Variazioni e fluttuazione del
numero d'individui in specie animali conviventi (1927) y Teoria dei funzionali: ecuazioni
integrali ed integro-diferenziali (1930).
Un espacio métrico es un conjunto M (a cuyos elementos se les denomina puntos)
con una función distancia asociada (métrica)
Para todo x, y, z en M, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones:





d(x, y) ≥ 0
d(x, x) = 0 (reflexividad)
Si d(x, y) = 0 entonces x = y
d(x, y) = d(y, x) (simetría)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).
Todo espacio métrico es espacio de Haussdorff. Sean X y Y dos subconjuntos
compactos de un espacio métrico M. Entonces la distancia de Hausdorff
La distancia de Hausdorff se puede definir de la misma manera para subconjuntos
cerrados no compactos de M, pero en este caso la distancia pueden tomar valor
infinito y la topología de F(M) comienza a depender de la métrica particular de M (no
solamente de su topología). La distancia de Hausdorff entre los subconjuntos no
cerrados se puede definir como la distancia de Hausdorff entre sus clausuras. Da una
pre-métrica (o seudométrica) en el conjunto de todos los subconjuntos de M (la
distancia de Hausdorff entre cualesquiera dos conjuntos y con las mismas clausuras
es cero). En geometría euclidiana a menudo se utiliza su análogo, distancia de
Hausdorff módulo isometría. Es decir, sean X y Y dos figuras compactas en un espacio
euclidiano, entonces DH(X, Y) es el mínimo de dH(I(X), Y) sobre todas las isometrías I
del espacio euclidiano. Esta distancia mide cuan lejos están X y Y de ser isométricos.
Felix Hausdorff (8 de noviembre de 1868, 26 de enero de 1942) fue un matemático
alemán que está considerado como uno de los fundadores de la moderna Topología y
que ha contribuido significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de
conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones.
Un espacio de Banach es un espacio V donde toda sucesión de Cauchy (con
respecto a la métrica d(x, y) = ||x - y||) en V es convergente (tiene un límite en V.). La
implicación contraria se da siempre.
Recordemos que una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre
dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión.
Se llaman así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805).
El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo
todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil
verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.Una
sucesión
de números reales se dice que es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un
entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N
Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:
1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es
convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de
los números reales es un espacio métrico completo.
Formalmente, en un espacio métrico, una sucesión {xk} se dice de Cauchy si para todo
existe un N en los naturales, tal que para todos n,m > N se verifica que la
distancia entre dos términos d(xn,xm) es menor que .
En Q las sucesiones de Cauchy no tienen porque ser convergentes. El ejemplo clásico
es a(n) = (1 + 1 / n)n que es de Cauchy pero cuyo limite (e) no es racional. Al parecer
de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en
espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de
funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de
esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como
pasa con la conexidad y la compacidad.
Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se
puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es disconexo.
Formalmente,
es un conjunto conexo si
implica
Si se tiene que (X,d) es un espacio métrico, entonces, para
proposiciones son todas equivalentes:
, las siguientes
1. K es compacto
2. K es secuencialmente compacto
3. K es completo y totalmente acotado
Además, se tiene que K será siempre cerrado y acotado.
El teorema de Heine-Borel da una caracterización útil en los espacios vectoriales
normados de dimensión finita: K es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin
embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la
bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar
compacidad. Los conjuntos compactos tienen gran importancia en diversos resultados
del análisis, siendo uno de los más importantes el teorema de Weierstrass: toda
función real continua definida sobre un espacio compacto alcanza su máximo y su
mínimo. Otro resultado importante es el teorema de Heine, que indica que toda función
continua cuyo dominio sea un conjunto compacto, será uniformemente continua.
Stefan Banach (1892-1945), matemático polaco de Low (Polonia). Cuando la
Segunda Guerra Mundial comenzó, Banach era el presidente de la Sociedad
Matemática Polaca y miembro de la Academia de las Ciencias de la República
Socialista Soviética de Ucrania, y por otra parte mantenía una buena relación con los
matemáticos soviéticos, y se le permitió permanecer en su cargo a pesar de la
ocupación soviética, desde 1939, de la ciudad. Banach sobrevivió la posterior
ocupación alemana ganándose la vida alimentando un piojo con su sangre para el
Instituto de Investigación sobre el Tifus del profesor Rudolf Weigl. Su salud empeoró
durante la ocupación, y desarrolló un cáncer de pulmón. Tras la guerra, Leópolis se
incorporó a la Unión Soviética, y Banach murió allí antes de que pudiera ser repatriado
a Polonia.
2.- Teorema del punto fijo de Banach. Aplicaciones.
En matemáticas, un teorema del punto fijo es un resultado sobre si una
función f tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el que f(x) = x), bajo algunas
condiciones generales sobre la función.
Teorema del Punto Fijo de Banach: Si en un espacio métrico X completo
tenemos una función de X en X contractiva, es decir, tal que existe K<1 tal que
para cualesquiera
,
entonces existe un único punto fijo
, es decir, que satisface f(x0) = x0.
Se trata de una herramienta básica en la prueba de la existencia de soluciones de
ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las
ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Su uso es común
tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología)
o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de
una estructura es:
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que
describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que
describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales]
de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica
tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el
desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial
en derivadas parciales de segundo orden:
es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta
dónde
ecuación se le llama ecuación de onda.
Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que
tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población,
modelos caóticos, etcétera.
Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de
su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar
determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se
puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos
componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se
determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de
aspectos irrelevantes.
En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe
tener en cuenta:
1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción.
2. El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas
causales (un tipo de diagrama que muestra de gráficamente las entradas o
inputs, el proceso, y las salidas o outputs de un sistema (causa-efecto), con su
respectiva retroalimentación (feedback) para el subsistema de control).
3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al
sistema sin que éste las provoque) y las variables endógenas (afectan al
sistema pero éste sí las provoca).
Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se
reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es Xk, el año próximo será
Xk + 1. De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá
cada año, así: año inicial X0, año primero X1,........... ......, año k Xk.
Como se puede observar:
se cumple para cualquier año k; lo cual significa que la cantidad de peces se puede
determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación
representa un sistema dinámico.
Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; éstos
son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:
dónde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con éste.
Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es
expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:
donde x es la variable que cambia con el tiempo t.
La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser
un vector. Los viajes de bandadas de pájaros en su característica V se ajustan a este
tipo de ecuaciones.
Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En
los sistemas lineales, el lado derecho de la ecuación es una expresión que depende
en forma lineal de x, tal como:
Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una
solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, las soluciones
provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican
significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la
transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación
diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales
discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar
la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.
Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un
fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles; ver
también no linealidad.
También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo
numérico, por ejemplo en algunos problemas de Ingeniería y Biología.
En matemática computacional, un método iterativo trata de resolver un problema
(como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas
a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta
con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como
resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los
métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número
grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos
tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
En numerosas bandadas de pájaros se observan cambios de posición sin ningún
motivo aparente.
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo
atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de
atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la sucesión {xn}n ≥ 1 convergerá a la
solución x.
Incluso determinados fractales son puntos fijos de ciertas contracciones. En la
naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.
Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o
irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático,
que aparece en la foto, Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que
significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características



Es demasiado irregular para ser descrito en términos
tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
geométricos
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo,
la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar
carece del resto de características exigidas.Un famoso ejemplo lo da en 1915, Waclaw
Sierpinski, en el cual se observa que la semilla es un punto fijo.
Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Paso 1 (semilla)
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Otros fractales construidos con algoritmos de tiempo de escape, en que cada pixel se
colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un
color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado
tras un número grande y prefijado de iteraciones, contienen puntos fijos:
Bibliografía

Webs:
http://www.wikipedia.org
http://www.google.com

Libros y artículos de consulta:
Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama de
la Universidad de Sevilla.
Edelstein, M. “Fixed point theorems in uniformily Banach Spaces” Proc. Amer.Math.
Soc. 44 (1974), 369-374.
Beauzanmy, B. “Introduction to Banach Spaces”. North-Holland, 1982.