TAREA Investigacion de operaciones

RAUL BAUTISTA HERNANDEZ
N.DE CONTROL: 10300245
INVESTIGACION DE OPERACIONES
1.1
DEFINICIÓN, DESARROLLO Y TIPOS DE MODELOS DE LA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción de un
problema de decisión con la restricción de recursos limitados. El término
investigación de operaciones muy a menudo está asociado casi en exclusiva con la
aplicación de técnicas matemáticas, para representar por medio de un modelo y
analizar problemas de decisión, aunque las matemáticas y los modelos matemáticos
representan una piedra angular en la investigación de operaciones, la labor consiste
mas en resolver un problema que en construir y resolver modelos matemáticos.
¿Qué es la investigación de operaciones?
La investigación de operaciones es un método científico, esto es completamente
erróneo, porque hace suponer la existencia de muchos métodos científicos, cuando en la
realidad solo existe uno.
La Toma de decisiones queda incluida dentro de la investigación de operaciones. Esto
también es falso puesto que la investigación de operaciones es una de las tantas
herramientas que existen para la toma de decisiones. Otras herramientas pueden ser por
ejemplo, las técnicas clásicas que aportan la Ingeniería Industrial, o la Estadística, o el
Análisis de decisiones, etc.
La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del
método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o
sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los
objetivos de toda la organización.
Construcción Del Modelo.
En la investigación de operaciones existen tres tipos de modelos: icónicos, analógicos
y simbólicos.
Los modelos icónicos son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere
resolver. Por ejemplo, las fotografías, las maquetas, dibujos y modelos a escala de
barcos, automóviles, aviones, canales, etc., son modelos icónicos.
Los modelos analógicos se basan en la representación de las propiedades de un
sistema cuyos problemas se quieren resolver utilizando otro sistema cuyas
propiedades son equivalentes, por ejemplo las propiedades de un sistema hidráulico
son equivalentes a las de un sistema eléctrico o inclusive económico.
Los modelos simbólicos son conceptualizaciones abstractas del problema real a base
del uso de letras, números, variables y ecuaciones, éste tipo de modelos son fáciles de
manipular y se puede hacer con ellos un gran número de experimentos.
1.2 FORMULACIÓN DE MODELOS
Una vez que nos aseguramos que la definición del problema ha sido construida de
manera específica y correcta, continuamos con la formulación del modelo. El modelo,
usualmente matemático, debe ser formulado de tal manera que exprese la esencia del
problema:
El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades establecidas en
términos de variables, las cuales expresan la esencia del problema a resolver; las
cuales son definidas en función del modelo del problema.
Después de localizar las variables en función del problema, se procede a determinar
matemáticamente las dos partes que constituyen el modelo:

La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y
generalmente es una función llamada función objetivo.

Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son un conjunto de
igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la
consecución del objetivo.
1. Un modelo matemático es una idealización abstracta de un problema, lo cual
mayormente nos lleva a aproximaciones y suposiciones. Por lo que debemos
cuidar que el modelo siempre sea una representación valida del problema.
La valides de un modelo requiere que exista una alta correlación entre las
predicciones del modelo y la realidad; para lograr esto es importante hacer un
número considerable de pruebas al modelo y caso de ser necesario, las
pertinentes modificaciones. Aun cuando la validación del modelo se incluyera al
final de este documento, la mayor parte de la validación del modelo se hace
durante la etapa de la construcción del modelo.
La construcción de un modelo de programación lineal debidamente planteado que
represente un problema real es un arte. La mayoría de la gente que lo intenta tiene
más dificultades en ello que con los otros aspectos de esta técnica pues se requiere
de imaginación e inventiva. Esto se puede mejorar con paciencia y práctica,
ajustándose a la estructura dada como modelo general.
El siguiente procedimiento puede ser útil antes de pretender la estructura matemática
del problema en estudio:



Concentrar la atención en identificar el objetivo general como puede ser, el
máximo de: utilidades, rendimientos, audiencia; o bien, el mínimo de: costos,
personal, distancias, tiempo, materia prima, o contaminación.
Identificar las decisiones (variables controlables) en forma cuantitativa con la
unidad precisa de medición, como # de personas, # de pesos, # de toneladas.
Identificar las constantes conocidas como coeficientes Cj que aportan al valor
del objetivo, o coeficientes a que contribuyen al consumo de materia prima o al
requerimiento de recurso.
1.3 MÉTODO GRÁFICO.
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL,
representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos
con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es
llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones
tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los
pasos
necesarios
para
realizar
el
método
son
nueve:
1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que
satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en
primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de
una línea recta.
4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción
cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la
línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen
todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la
solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la
función objetivo.
7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la
cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
1.4 FORMAS ESTÁNDAR Y CANÓNICAS.
Un problema de programación lineal puede ser establecido en diferentes formas
equivalentes a través de manipulaciones apropiadas. Dos formas en particular serán
de bastante utilidad. Estas son las formas Estándar y Canónica. Un problema lineal se
dice que está en la forma estándar si :
a) Todas las restricciones son igualdades
b) Todas las variables son no-negativas
c) Las limitaciones ( lado derecho de la restricción) son positivas
El Método Simplex, está diseñado para ser aplicado únicamente hasta que el
problema se encuentre en la forma Estándar. La forma Canónica es también de
bastante utilidad, especialmente en explorar la relación de Dualidad. Un problema de
P.L. está en la forma canónica si para un problema de:
Maximización, las variables son no-negativas y las restricciones son del tipo ≤
Minimización, las variables son no-negativas y las restricciones son del tipo ≥
Considere el siguiente problema de P.L. en forma canónica
Donde:
A= Matriz de coeficientes de las variables en el sistema de ecuaciones de (mxn)
a = coeficiente de la variable j en la restricción i
ij
x=Vector solución (nx1)
x = Variable j
j
b = Lado derecho de la restricción i (Limitación i )
i
C=Vector de costos o utilidades (1xn)
c= Coeficiente de la variable j en la función objetivo
Los motivos para que un problema no esté en la forma estándar son:
1. Algunas restricciones son desigualdades
2. Algunas b son negativas
i
3. Algunas variables de decisión x pueden ser negativas.
j
1.5 MÉTODO SIMPLES
1. trazar en un plano las restricciones
2. identificar la región factible
3. trazar la dirección de max ascenso
4. identificar el punto óptimo
NOTAS:
- En modelos con 2 variables:
- Una restricción de exacta igualdad se representa por una recta
- Una restricción “mayor igual” ó “menor igual” divide el espacio de soluciones en dos
semiplanos.
- La Región factible es el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones
- Los Vértices ocurren en la intersección de 2 ó más restricciones
- Los Vértices siempre están localizados en la frontera de la región factible
- Toda función lineal f(x1, x2,. . .) se puede expresar como el producto escalar del
vector de coeficientes c = (c1, c2, … ) y el vector de variables de decisión x = (x1, x2,
… ).
Es decir f(x1, x2) = c1x1 + c2x2 = c×x.
- La dirección de max ascenso sobre la función objetivo f es la dirección del vector c.
- El punto óptimo es aquel en la región factible asociado con el vector que tiene la
mayor proyección sobre el vector c.
- De existir, una solución óptima de un modelo de PL siempre ocurre en un vértice de
la región factible.
Existen varias formas de resolver un modelo de programación lineal. El método más
comúnmente usado es el método simplex. Este método encuentra la solución óptima
de un modelo de PL, evaluando la función objetivo, en cada vértice de la región
factible.
La primera solución básica del simplex en tal caso, debe de incluir a todas las
variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programación
lineal por resolver esto último porque las variables artificiales se utilizan precisamente
para tomar la primera solución básica. A medida que se cumplen las etapas de cálculo
en el simplex, las variables artificiales deberán de ir saliendo de la misma, en
consecuencia del coeficiente ‘M’ muy grande.
1.6 TÉCNICAS CON VARIABLES ARTIFICIALES.
Ésta construye un problema artificial más conveniente introduciendo una
variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restricción que lo requiera.
Esta nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica
inicial para esa ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también
se aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para que
imponga una penalización exorbitante en el caso de que adquieran valores
mayores que cero. Las iteraciones del método símplex automáticamente
fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una,
hasta que todas quedan fuera de la solución; después de esto se resuelve el
problema real.
Para ilustrar la técnica de las variables artificiales, primero se considerará el
caso en que la única forma no estándar en el problema es la presencia de una
o más restricciones en forma de igualdad.
Restricciones en forma de igualdad.
En realidad, cualquier restricción en forma de igualdad:
ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi
es equivalente a dos restricciones de desigualdad:
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn £ bi,
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ³ bi
Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitución e incrementar
con ello el número de restricciones, es más conveniente usar la técnica de la
variable artificial. Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado
y resuelto en la sección anterior. El único cambio que sufre el modelo de
programación lineal es que la tercera restricción, 3x1 + 2x2 £ 18, se convierte en
una restricción de igualdad:
3x1 + 2x2 = 18
Aplicando la técnica de las variables artificiales se introduce una
variable artificial no negativa (denotada por x5) en la última ecuación, como si
fuera una variable de holgura:
3x1 + 2x2 + x5 =18
En resumen si tenemos una restricción funcional en forma de
igualdad y deseamos “pasarla a su forma de igualdad”, únicamente debemos
sumar una variable artificial.
1.6.1 MÉTODO DE LA M.
Como su nombre lo indica, consiste en penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de
maximizar es ‘- M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.
La primera solución básica del simplex en tal caso, debe de incluir a todas las
variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programación
lineal por resolver esto último porque las variables artificiales se utilizan precisamente
para tomar la primera solución básica. A medida que se cumplen las etapas de cálculo
en el simplex, las variables artificiales deberán de ir saliendo de la misma, en
consecuencia del coeficiente ‘M’ muy grande.
Si se presenta el caso de que las variables artificiales no se logren sacar de la base y
por lo tanto se anulen, ello significará que tal problema no tiene solución factible.
El método de la M Grande incluye variables de apoyo con un coeficiente muy grande
(M) o muy pequeño (-M) en la función objetivo.
Esto da lugar a problemas numéricos que conducen a soluciones erróneas. Esto es
especialmente grave en problemas de cierto tamaño.
A las El término independiente (RHS) debe ser ³0.  Restricciones del tipo £ se
añade una variable de holgura con coeficiente +1
A las restricciones del tipo ³, se añade una variable de holgura con coeficiente −1 y
una variable artificial con coeficiente +1
A las restricciones del tipo = se añade una variable artificial con coeficiente +1 ¿ La
contribución de las variables de holgura a la función objetivo es 0 . La contribución de
las variables artificiales a la función objetivo se fijan:
• Min: + M • Max: - M
La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría resultar de
asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores
de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta dificultad el
problema se puede resolver en 2 fases.
1.6.2 MÉTODO DE LAS DOS FASES.
FASE I
Se realiza la minimización de una función que está compuesta por la
suma de los valores de las variables artificiales; para el sistema aumentado del
problema original. (Independientemente de qué función objetivo tenga el
problema original). -Si en la solución óptima de la FASE I, el valor de las
variables artificiales es de cero, se procede con la FASE II tomando la solución
básica factible resultante. -Si alguna de las variables artificiales tiene un valor
distinto a cero, el problema original es infactible.
Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de
las variables artificiales.
La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema
original. Si el problema tiene un espacio factible el valor mínimo de la función
objetivo óptima será cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son
cero.
* Si el valor mínimo de la función objetivo óptima es mayor que
cero, el problema no tiene solución y termina anotándose que no existen
soluciones factibles
FASE II
-Utilizando la solución básica factible final de la FASE I, se resuelve el
problema original, esto es, se resuelve para la función objetivo del problema
original; si se desea, se pueden eliminar las columnas artificiales. —Nótese que
primeramente debe actualizarse correctamente el renglón cero para el conjunto
de variables básicas que definió la FASE I. -Con la tabla en forma correcta se
procede a optimizar de forma habitual siguiendo el algoritmo Simplex.
Utilice la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema
original. En este caso, la función objetivo original se expresa en términos de las
variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales Gauss-Jordán.
Con base en la tabla óptima de la fase uno, se elimina de las restricciones las
variables artificiales, y se reemplaza la función objetivo, por la función objetivo
original y se resuelve a partir de ahí, con el método Simplex tradicional.
BIBLIOGRAFIA
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Hillier, Frederick S. y Lieberman, Gerald J. (1997) Introducción a la
Investigación de Operaciones; sexta edición; México: Mc. Graw-Hill.
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Sasieni, Maurice; Yaspan, Arthur y Friedman, Lawrence (1992) Investigación de
Operaciones (Métodos y Problemas); México: Limusa.
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Taha, Hamdy (1995); Investigación de Operaciones quinta edición; México: Alfa
omega.
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Thierauf, George y Grosse, Richard (1982); Toma de Decisiones por medio de
Investigación de Operaciones; México: Limusa Wiley.