Presentación

Repaso de Conceptos Estadísticos Básicos
CONCEPTOS PREVIOS:
PARÁMETROS: Valores que definen la distribución de una o más
variables en una población. Se representan con caracteres griegos
Ejemplos: Media μ, Varianza σ2, Coeficiente de regresión ρ
ESTADÍSTICOS: Valores que definen la distribución de una o más
variables en una muestra. Se representan con caracteres latinos.
Ejemplos: Media , Varianza s2, Coeficiente de regresión b
Se utilizan como estimadores de los parámetros de la distribución
poblacional
Inferencia: Descripción de características (parámetros, por
ejemplo) de una población a partir de una muestra
Estimación: De un parámetro poblacional con un estadístico
muestral
Método de estimación: Procedimiento para obtener un estimador
Ejemplos: Mínimos cuadrados Máxima verosimilitud.
Distribución muestral de un estimador: Es la distribución que se
obtendría con los valores del estimador (estadístico) de un número
infinito de muestras extraídas de la población en la que se estima
el parámetro.
Ejemplo: Distribución muestral de las medias, es la distribución
de infinitas medias maestrales
Sesgo Diferencia entre el valor medio de la distribución muestral de un determinado estimador y el parámetro que estima
Ejemplo:
N~ ∞ muestras de tamaño n, extraídas de una población
Distribución muestral de las medias: Media= media de todas las 
medias muestrales = media paramétrica= x  

x =µ→ Es
mador insesgado
Distribución muestral de las varianzas:
Seudovarianza

xs  
2
La varianza muestral es:
s2 


xs  
2
2


x  x


n

2
2
→ Estimador
 2
Sesgado



x
x





2
s 
 Seudovarianza
n 1
→ Insesgado
Precisión de una estimación (error típico) Es la desviación típica de la distribución muestral del estimador.
Ejemplo: Si la varianza de la distribución muestral de las medias es La precisión de error típico de la media de una muestra (como estimador de µ) es 2
 
x
que se estima con 


n
n
s2
s

n
n
s 
x
La precisión de la estima
^

  xs
X
Es s
X
Estimación por intervalo:
Es la estimación de un valor paramétrico obtenida con una
probabilidad dada (α) de que dicho valor se encuentre entre un
máximo y un mínimo determinados.
Ejemplo:
El intervalo de confianza del valor paramétrico.de la media con un
α=0,05 (95% de probabilidad) es (si el tamaño muestral n es grande):





 x  1,96 S x , x  1,96 S x 




Porque en el intervalo comprendido entre 1,96 σ por encima y por
debajo de la media μ de una distribución normal se encuentran el
95% de las observaciones. A α se le denomina nivel de significación
Muy frecuentemente la inferencia estadística; es decir, la estima de
valores paramétricos a partir de una muestra se hace mediante
una Prueba o Contraste de Hipótesis
Para poder probar las hipótesis hay que realizar varios pasos
previos:
1) Lo primero es decidir cual es la variable que puede cuantificar el
carácter y poner de manifiesto el factor expresado en la hipótesis,
que solo se podrá observar a partir de sus manifestaciones
2) Lo segundo es decidir cual es el modelo que explica la
variabilidad de la variable elegida, es decir, cual es la población de
esta variable
3) El tercer paso es traducir la hipótesis planteada al lenguaje
estadístico, lo que implica la elección del estadístico de prueba
4) El cuarto paso es tomar la muestra y decidir las regiones de
aceptación (Ho) y rechazo (Ha) de la hipótesis
5) El quinto paso es establecer la rebla de decisión y la
probabilidad de error (nivel de significación)
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un modelo
probabilístico (población) que una vez asumido, la única o únicas
constantes desconocidas son los parámetros de la distribución
(población) correspondiente
Una prueba de hipótesis es un método para dictaminar sobre la
probabilidad de esa afirmación, usando muestras como
instrumento
Para probar una hipótesis estadística se divide el espacio de valores
posibles del parámetro, en el que se esta interesado, en dos
subconjuntos; uno de ellos es el espacio definido por la hipótesis
nula que constituirá la región de aceptación y el otro espacio es el
definido por la hipótesis alternativa que constituirá la región de
Rechazo
Una vez tomada la muestra se decide que, con ciertas
probabilidades de error,el parámetro en cuestión pertenece a uno
de esos dos subconjuntos. Pero no existe certeza de que no se
cometerá un error
Ejemplo del examen tipo test con diez preguntas y cinco posibles
respuestas. Cada pregunta se puede considerar una repetición del
experimento.
Se trata de un experimento que se ajusta a una distribución
Binomial donde, si se llama éxito (variable X) a un acierto del
alumno , el parámetro de la distribución es p, la probabilidad de un
acierto. Por lo que se tiene que decidir sobre al magnitud de p, para
ello se puede adoptar la hipótesis de que el alumno no conoce la
materia, o hipótesis nula (Ho). y simplemente trata de adivinar la
respuesta por puro azar. Traducido al lenguaje probabilístico, se
tiene una función de probabilidad binomial con p=1/5; mientras
que A pretende que su p es mayor de 0.2. Se tiene, entonces, una
partición natural del espacio de posibles valores para p. Los valores
de p ≤ 0.2, corresponden a la hipótesis H0, mientras que los valores
p>0.2 corresponden a la hipótesis alternativa de que el alumno si la
conoce (Ha). La distribución de probabilidades de X depende del
valor de p. Se rechaza Ho si el alumno acierta más veces que las
que acertaría diciendo al azar un número del 1 a 5
Al tomar una decisión se puede estar errando de dos maneras: decidiendo que
el alumno conoce la materia cuando no la conoce o decidiendo que no conoce
la materia cuando si la conoce.
Estadísticamente: se puede rechazar la Ho cuando es cierta y se puede no
rechazar la Ho cuando es falsa.
α = P(Error Tipo I) = P(rechazar la Ho cuando es cierta)
β = P(Error Tipo II) = P(aceptar la Ho cuando es falsa)
Si δ(p) = P(rechazar Ho cuando el verdadero valor del parámetro es p), para
todos los valores de p en la Ho δ(p) = Probabilidad de Error Tipo II = β y para
todos los valores de p en la H1 d(p) = 1 - Probabilidad de Error Tipo II =1- β
Puesto que δ(p) es la probabilidad de rechazar una hipótesis dada,
dependiendo del verdadero valor del parámetro, se la llama función de
potencia de la prueba.
Prueba de hipótesis sobre la media de una distribución normal
La media de la distribución muestral de las medias es una variable con la
siguiente distribución:
Si se quiere contrastar una hipótesis
Porque la región de rechazo es
O bien
Siendo
Si la muestra es pequeña
Este es un contraste de hipótesis relativo a la media para la cola derecha:
De forma similar sería para la cola izquierda:
Y para las dos colas:
En la tabla de valores de t el valor para un contraste de medias de una cola para
gl=9 y α =0,05 es 1,8331, por tanto para el contraste de cola izquierda
Comparación de las medias de dos grupos de observaciones
La media de la distribución muestral de la diferencia de las medias es:
Ejemplo de comparación de medias mediante una prueba t de Student y
mediante un ANOVA de un factor (Ejemplo1)
Datos:
G1
6
9
8
7
G2
5
3
4
3
Resultados:
t-Student = 4,666
P≤0,003
ANOVA 1 Factor
Origen Var. Suma de cuadrados
Inter-grupos
28,125
Intra-grupos
7,750
Total
35,875
gl
1
6
7
F=t2
Media cuadrática F
P≤
28,125
21,774 0,003
1,292
Comparación de más de dos medias: ANOVA de 1 Factor (Ejemplo2)
Datos:
G1
G2
6
5
9
3
8
4
7
3
Cálculos:
G3
1
3
2
1
Grupos Gi para i = (1,2,3)
Número de grupos g = 3
Número de observaciones por grupo n=4
Número total de observaciones: N = g*n = 12
G1→ x11 = 6
x12 = 5 x13 = 1
G2→ x12 = 9
x22 = 3 x23 = 3
x32 = 4 x33 = 2
G3→ x31 = 8
G4→ x41 = 7
x42 = 3 x43 = 1
Suma de las observaciones de cada grupo:  x1  30;  x2  15;  x3  7



Medias de los grupos: x1  7, 5; x 2  3, 75; x 3  1, 75
Media general:
x  x ..  4, 333....
Suma de cuadrados:
Suma de cuadrados total sin corregir por la media: Es la suma de los
cuadrados de todas las observaciones
No se puede mostrar la imagen en este momento.
Suma de cuadrados total corregida por la media: Es la suma de cuadrados
total a la que se le resta el término de corrección (T.C.):
No se puede mostrar la imagen en este momento.
No se puede mostrar la imagen en este momento.
El término de corrección es:
No se puede mostrar la imagen en este momento.
= Suma de cuadrados de la media
Suma de los cuadrados de las medias de los grupos referida a la suma de
cuadrados de la media → Es la suma de cuadrados “entre grupos”:
2
SCG   x i 

(  x i )2
g
2
xi2 (  x ..)


 293, 5
n
gn
Resto = Suma de cuadrados Residual o del Error → Es la suma de
cuadrados “intragrupos”:
SC I  SC Re sidual  SC Error  SCTC  SCG  10, 5
Las sumas de cuadrados son aditivas:
SCT  SCG  SC I
Grados de libertad:
Dependen de los tamaños muestrales
g.l. “Entre Grupos” = Nº Grupos -1 = 3-1 = 2
g.l. “Intra Grupos” = Nº Grupos * (Tamaño Grupo -1) = g (n-1) = 3*(4-1) = 9
g.l. Totales = Nº Observaciones -1 = 12-1 = 11
Cuadrados medios o medias cuadráticas:
-Entre grupos:
CM G 
SCG
 97, 833
2
-Intra grupos, residual o error:
F 
CM G
97, 833

 83, 857
1,167
CM residual
CM I  CM Re sidual 
SC Re sidual
 1,167
9
F es un estadístico cuya distribución muestral es una “F de Snedecor”
Buscando en la tabla de valores de la F de Snedecor los correspondientes a 2 g.l.
(numerador) y 9 g.l. (denominador)
α
Valores de F
Probalidad de
0,1
F=3,01
encontrar un
0,05
F=4,26
azar
0,01
F=8,02
0,005 F=10,11
Todos son menores que F= 29,26, lo que quiere decir que el valor de F
encontrado tiene una probabilidad de haber salido por azar y no porque
pertenece a la distribución F correspondiente a la hipótesis nula de igualdad de
varianzas. Es, por lo tanto, un valor correspondiente a un cociente de varianzas
diferente se la unidad y, consecuentemente, entre las medias comparadas
EL MODELO LINEAL ADITIVO:
Las observaciones del ejemplo anterior se pueden expresar con el siguiente
modelo:
x ij     i   ij


 2  2   estimado por x  x  3, 75  4,33  0,58
2

-
 1  1 -  estimado por x1 - x  7,5 - 4,33  3,17


 3  3   estimado por x 3  x  1, 75  4,33  2, 58
Los
 ij son
xij     i
Ejemplo, para la primera observación:
11  5  4, 33  ( 0, 58)  1, 25
i  0
Lo que significa que las medias de los distintos grupos son iguales, ya que, por
ejemplo:
1  2  2   1   2  0
ALGUNOS MODELOS DE ANOVA
A) ANOVA de 1 FACTOR –ModeloI
Modelo:
(Factores fijos)
xij     i   ij
O.V.
g.l.
Entre grupos
a 1
a
Intra grupos (error o residual)
 ni  a
C.M.E. Estima___
a
 res  no  ai2
2
 res 2
a
Total
 ni  1
a

2 
i
n
 
1  a
  ni  a
 , siendo a el número de grupos. Si ni igual
no 
a 1 
 en todos, n0=n
i
n





Si se considera un modelo de efectos fijos, los cuadrados medios
estiman:
CM I  Estima I2
g
CM G  Estiman  n  i2
2
I
i
i
son los efectos de los grupos (diferencias entre las medias
paramétricas de cada grupo y la media paramétrica general)
En este caso, podemos comparar medidas:
Para saber si
i
son diferentes de cero –Contraste de hipótesis-se
comparan los dos C.M., ya que:
2
2
CM G  I  n  i
F

CM I
 I2
nos permite saber si los valores
i
son significativamente diferentes de cero
DISEÑO EXPERIMENTAL
Cuando se quiere contrastar una determinada hipótesis, es necesario
plantear un diseño experimental adecuado. El diseño experimental es la
manera de elegir las muestras y establecer los grupos que van a servir
para realizar el contraste de la hipótesis. El diseño experimental va a
permitir generar los resultados experimentales (datos) con los que,
siguiendo un determinado modelo, se pueden realizar los contrastes de
hipótesis.
Cuando se quieren hacer contrastes de hipótesis relativos a la
comparación de las medias de varios grupos entre sí, o relativos a la
comparación de las varianzas de dichos grupos, recurrimos a los modelos
lineales aditivos como el que hemos visto anteriormente. La solución de
estos contrastes de hipótesis se obtiene mediante el análisis de varianza.
Este análisis de varianza se denomina “unifactorial”, porque solamente
existe un factor de clasificación de las observaciones.
Existen otros contrastes de hipótesis posibles y, por lo tanto, otros modelos
lineales, como los que veremos a continuación.
El ANOVA anterior, de efectos fijos, da lugar a una descomposición de la
suma de cuadrados total de una variable en dos componentes, intra y entre
grupos. Los cuadrados medios correspondientes estiman la varianza residual
(varianza de las observaciones) y el efecto debido a la diferencia entre las
medias de los grupos, respectivamente. Nos sirve para comparar las medias
de más de dos grupos.
El ANOVA sirve también para estimar componentes de varianza, cuando el
factor de clasificación de los grupos que se está considerando es aleatorio.
En este caso el cuadrado medio entre grupos no estima el efecto debido a la
diferencia de las medias, si no la varianza entre ellas.
La naturaleza fija o aleatoria de un factor de clasificación no es una propiedad
intrínseca de dicho factor si no una propiedad asignada a dicho factor en el
diseño experimental que, a su vez, es consecuencia de la hipótesis que se
está contrastando.
Así, por ejemplo, se pueden estar contrastando la diferencia entre tres líneas
consanguíneas de animales (o tres líneas puras de plantas) concretas,
elegidas a propósito (factor línea fijo), para comparar sus medias, o se
pueden haber elegido esas tres líneas al azar en un conjunto de líneas para
saber si hay una varianza asociada al factor línea (factor aleatorio) y
cuantificarla.
A) ANOVA de 1 FACTOR –Modelo II
Modelo:
(Factores aleatorios)
x ij     i   ij
C.M.E. estima
 res 2  no a2
 res
2
^`
COMPONENTES DE LA VARIANZA:
 res 2  sres 2  CMresidual  C.M .ERROR
C.M .GRUPOS  C.M .ERROR
  sa 
no
^
2
a
% VARIACIÓN ENTRE GRUPOS:
%VARIACIÓN INTRA GRUPOS:
2
sa2
*100
2
2
sres  sa
sres 2
*100
2
2
sres  sa
En el ejemplo anterior
^
 2  s2  C.M .ERROR1,167
C.M .GRUPOS C.M.ERROR 97,833  1,167
  sa 

no
4
^
2
a
2
  24,167
2
Varianza total:
2
2
2
 Total   a   i  24,167 1,167  25,334
% VARIACIÓN ENTRE GRUPOS:
sa2
24,167
*100 
*100  95,39%
2
2
25,334
s  sa
%VARIACIÓN INTRA GRUPOS:
sres 2
1,167
*100 
*100  4,61%
2
2
sres  sa
25,334
B) ANOVA MULTIFACTORIAL:

Ejemplo de ANOVA de dos factores (diseño equilibrado)
COLUMNAS(C)
FILAS (F) (factor A)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(factor B)
C= nº filas f= nº columnas n= número de observaciones por casilla o subgrupo
 ModeloI  Yijk     i   j   ij   ijk
 Fijo 
O.V.
g.l.
CME
f-1
nf c 2
 


c 1
Entre columnas
c-1
nc f 2
 


f 1
Interacción
(f-1) (c-1)
 
Entre filas
Error
fc(n-1)
2
2
2
2
n
c  1 f
cf
 1
2




 ModeloI I  Yijk    Ai  B j   AB ij   ijk
 Aleatorio 
CME
Entre filas
  n AB  nf  A
Entre columnas
 2  n AB 2  nc B 2
2
2
Interacción
  n
Error

2
2
2
AB
2
 Modelo mixto  Yijk    Ai   j   A ij   ijk
CME
Entre filas
c
nf
2
 2  n 2 B 


c 1
Entre columnas
 2  nc 2 B
Interacción
  n
Error

2
2
2
B
SIGNIFICADO DE LOS EFECTOS Y DE LAS INTERACCIONES:
Factor B columnas (C)
Niveles
B1
B2

A1
Factor A
filas (f)
Media marginal
A1

A2
A2


B1
B2
(B2-B1)1
(B2-B1)2
_______
 B2  B1 
_______
Media marginal
(A2-A1)1 (A2-A1)2
 A2  A1 
(A2-A1)1 y (A2-A1)2
________
A2  A1
efectos simples
(B2-B1)1 y (B2-B1)2
________
B2  B1
Tres posibles situaciones:
1.- No hay interacción
B1
B2
B2 – B1
A1
2
A2
2
A2 – A1
6
6
efectos principales
(B2-B1)1
(B2-B1)2
A1
A2
Lo mismo sería si consideramos las diferencias (A2–A1)1 y (A2–A1)2
2.- Hay interacción debida al cambio de orden de los niveles de un
factor según el nivel del otro factor considerado
B1
B2 – B1
A1
2
A2
-10
A2 – A1
(B2-B1)2
B2
6
6
(B2-B1)1
A1
A2
3.- Hay interacción debida al cambio de magnitud de la diferencia
entre los dos niveles de un factor en función del nivel del otro factor que
estemos considerando
B1
B2
B2 – B1
A1
2
A2
8
A2 – A1
6
2
(B2-B1)2
(B2-B1)1
A1
A2
Importante: La presencia o ausencia de efectos principales no nos dice nada
sobre la posible existencia o no de interacción y viceversa.
Tipos de diseños con respecto al número de observaciones en cada casilla
(subgrupo)
A.- Constante o equilibrado: Número igual de observaciones por subgrupo o
casilla
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
B.- Desequilibrado: Número diferente de observaciones por subgrupo
3 6 9
2 4 6
B1.- Proporcional: Números múltiples en filas o columnas
B2.- Irregular: Número de observaciones diferentes
6
4
8
3
4
2
5
1
1
5
3
6
4 8 12
El proporcional se resuelve como el equilibrado con pequeñas variantes en el
cálculo de la S.C. El irregular exige el ajuste de los valores de los efectos por el
método de mínimos cuadrados: → Modelo Lineal General
EL DISEÑO DE BLOQUES ALEATORIZADOS
Supongamos cinco tratamientos: A,B,C,D,E, y F
En cuatro bloques (4 Repeticiones/ Tratamiento) se asignan
aleatoriamente los tratamientos en los bloques
Bloque 1
A
D
E
B
C
F
E
F
A
B
C
Bloque 2
D
A, B, C,D E, F son los tratamientos (hasta un nº=t)
Puede haber bloques (hasta un nº=b)
Suponemos 1 observación por tratamiento y bloque
Modelo:
yij     i   j   ij
Variación
Bloques
g.l.
b-1
Tratamientos
t-1
Error
Total
(r-1) (t-1)
rt-1
C.M. Esperado
 2  t 2 b
b t
2
2
 


i
t 1
2
Se debe suponer que no existe interacción
→ Si hay más de una observación por tratamiento y bloque →Se
puede estimar el error independiente de la interacción = Factorial de
dos factores.
C) ANOVA ANIDADO O JERÁRQUICO
Es el análisis de varianza correspondiente a un diseño factorial en el que
uno de los factores (el factor subordinado o anidado) es siempre aleatorio
(sus categorías han sido elegidas al azar en un universo infinito de
posibles categorías) y están subordinadas al factor principal, que puede
ser fijo o aleatorio.
Ejemplo :
Experimento para comparar distintos genotipos (estirpes) de gallos de
una raza de gallinas. Se tienen las ganancias medias de peso diario en
gramos de una muestra de 4 hijas por gallina apareada con un gallo de
cada una de las tres estirpes distintas.
El factor gallo (estirpe) se considera un factor fijo, porque lo que interesa
es conocer si hay diferencia entre las medias de tres estirpes concretas.
El factor gallina (anidado a el factor gallo) es aleatorio. Se eligen tres
gallinas al azar para aparear con cada gallo.
Diseño:
Gallos
♂1
Gallinas: ♀1
♀9
♀2
111
Id. hijas 112
113
114
121
122
123
124
♂2
♀3
131
132
133
134
241
242
243
244
♂3
♀4
251
252
253
254
♀5
261
262
263
264
♀6
371
372
373
374
♀7
381
382
383
384
♀8
391
392
393
394
Tipos de modelo de diseño anidado:
Modelo I: Mixto
Factor principal: Gallos (efectos medios a comparar)
Factor Subordinado: Gallinas (varianza entre gallinas). Siempre aleatorio
 ijk     i  Bij   ijk
B 
j i
Variación
G.L.
Entre grupos
Entre Subgrupos
Dentro de Subgrupos
Total
C.M. Esperado
a-1
 2  n B   nb
a(b-1)
  n
ab(n-1)
abn-1
2
2
2

 i
a 1
B 
2
Modelo II: Puro
Ambos factores son aleatorios. En el ejemplo anterior, los gallos se elegirían al
azar, siendo una muestra representativa de un universo de infinitos posibles
genotipos. Se estiman las componentes de varianza entre gallos y entre
gallinas anidadas a gallos (o entre los grupos de hijas de los distintos gallos y
entre los grupos de hijas de las diferentes gallinas apareadas con cada gallo.
Se trata de un diseño frecuentemente utilizado para estimar parámetros
genéticos.
 ijn    Ai  Bij   ijk
Variación
Entre grupos
g.l.
a-1
C.M. Esperado
 2  n 2 B  A  nb 2 A
Entre subgrupos
Intra grupos
a(b-1)
 2  n 2 B  A
Dentro de subgrupos
(Error)
ab(n-1)
Total
abn-1
 2
Si el tamaño muestral de los subgrupos no es igual para todos, en
lugar de n, se utiliza n0
 bi
2
ij
n

a
bi
a

  nij    bi
  nij

no 
g .l .subgrupos






Pruebas de significación:
Si F = CMsubs es significativo se calcula F=
CMerror
Si
“
CMgrupos
CMsubgr
no es significativo ver reglas en libro de estadística
Descomposición de la varianza:
CMError = S2
% Variación entre subgrupos:
CM Sub  CM Error
 S2 B  A
n
S2 B  A
x100
= 2 2
2
S  S B A  S A
CM Grupos  CM Subg
nb
 S2 A
% variación entre grupos:
S2 A
= S2  S2
2

S
B A
A
En el ejemplo:
Origen
Numerador gl Denominador gl Valor F
Sig.
Intersección
1
24
122157,176 0 ,000
DIETA
2
24
6,882 0,004
FAMILIA(DIETA)
9
24
17,137 0 ,000
Estimación de la varianza:
Estimaciones de parámetros de varianza
Parámetro
Residuos
FAMILIA(DIETA)
Estimación Error tipico
1,4166667 0,4089564
6,7398990 3,0782787
Procedimiento en el SSPS para estimar las componentes de varianza:
ANOVA anidado o jerárquico
ANALIZAR – MODELOS MIXTOS – LINEAL – CONTINUAR
Establecer VARIABLE DEPENDIENTE Y FACTORES – ALEATORIOS
En ventana nueva: CONSTRUIR TÉRMINOS ANIDADOS –Entrar factor
principal con flecha hacia la casilla “construir término” y AÑADIR – Entrar factor
anidado con flecha hacia la casilla “construir término” DENTRO – factor
principal con flecha hacia casilla “construir término” y AÑADIR – CONTINUAR
En la ventana anterior: PEGAR: aparece el archivo Sintax. En este archivo
cambiar
/RANDOM dieta familia(dieta) | COVTYPE(VC) .
Por
/RANDOM familia(dieta) | COVTYPE(VC) .
Quedaría:
MIXED
crecimie BY dieta familia
/CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1)
SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0,
ABSOLUTE)
PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE)
/FIXED = | SSTYPE(3)
/METHOD = REML
/RANDOM familia(dieta) | COVTYPE(VC) .
Comparación de medias
Tres planteamientos:
1.- Comparaciones “a priori”
Las comparaciones están planificadas al iniciar el experimento,
independientemente del resultado del ANOVA. Ejemplo: la comparación
de un conjunto de tratamiento con un tratamiento control
2.- Comparaciones múltiples o “a posteriori”
Son comparaciones no planificadas al iniciarse el experimento, dependen
del resultado del ANOVA; una vez realizado éste y obtenido un valor de F
significativo se quiere saber cuales son las medias distintas entre si
3.- Contrastes ortogonales
Son contrastes de medias que se realizan cuando los niveles numéricos
de un factor cuantitativo están igualmente espaciados y se quieren
conocer tendencias. Ejemplo: los tratamientos consisten en dosis
proporcionales de un determinado producto
Comparación de medias planificada “a priori”
Tres planteamientos:
1.- Obtención de una suma de cuadrados y un cuadrado medio para cada
comparación y contraste de dicho cuadrado medio con el cuadrado
medio del error o el cuadrado medio de contraste que corresponda
Ejemplo5:
Se quiere saber si hay diferencia en la producción de piezas hechas por
cuatro trabajadores diferentes. Los datos son:
El ANOVA es:
Antes de realizar el análisis se sabía que de los cuatro trabajadores, dos
son mujeres (M) y dos hombres (H) y que dos tienen un C.I. Alto (A) y
dos bajo (B) y “a priori” se quería saber si existe un efecto del sexo y un
efecto del C.I. en la producción y si existe interacción entre ambos
efectos
Antes de realizar el análisis se sabía que de los cuatro trabajadores, dos
son mujeres (M) y dos hombres (H) y que dos tienen un C.I. Alto (A) y
dos bajo (B) y “a priori”, antes de hacer el ANOVA, se quería saber si
existe un efecto del sexo y un efecto del C.I. en la producción y si existe
interacción entre ambos efectos. Es decir, se quiere comparar el número
medio de piezas producido por los hombres con el producido por las
mujeres (efecto del sexo); la producción de los individuos con C.I. alto
con la de los individuos con C.I. bajo (efecto del C.I.) y la producción
media de HA y Mb con la media de HB y MA.
Para obtener las SC correspondientes a estos contrastes se consideran
los siguientes coeficientes :
Con los que se calculan:
siendo nSc2 = 5x4 = 20
siendo nSc2 = 5x4 = 20
El ANOVA correspondiente a estos contrastes de medias es:
Otros posibles contrastes de medias por ejemplo, comparar M de CI alto
(MA) con H de CI bajo (CB) y viceversa, HA con MB. Los coeficientes de
estos contrastes serían :
Y las SC:
El ANOVA de estos contrastes:
Resolver estos dos últimos contrastes con el SPSS
Los contrastes que se han resuelto anteriormente son los relativos a las
hipótesis nulas:
1) Ho: - m1 - m2 + m3 + m4 = 0
2) Ho: + m1 + m2 - m3 - m4 = 0
3) Ho: + m1 - m2 - m3 + m4 = 0
4) Ho: + m2 - m3 = 0
5) Ho: + m1 - m4 = 0
Las pruebas planeadas o a priori, se pueden formar con los diferentes
niveles de un tratamiento, asignándole a cada nivel un coeficiente de
forma que se cumplan las condiciones de ortogonalidad que son:
1) Dentro de una misma comparación, la suma de coeficientes ha de ser
cero.
2) Entre los varios contrastes que se puedan formar dentro de un mismo
factor, la suma de productos ordenados de los coeficientes ha de ser
nula, tomando todas las comparaciones dos a dos
De manera que cada comparación o contraste sea independiente de los
demás
Las reglas para la determinación de los coeficientes son:
1) Si se van a comparar dos grupos de igual tamaño, simplemente se
asignan coeficientes +1 a los miembros de un grupo y -1 a los integrantes
del otro grupo. No importa a qué grupo se le asigne los coeficientes
positivos o negativos.
2) En la comparación de grupos que contienen distintos números de
tratamientos, asígnese al primer grupo tantos coeficientes como número
de tratamientos tenga el segundo grupo; y a este último, tantos
coeficientes, del signo opuesto, como número de tratamientos tenga el
primer grupo. Por ejemplo, si entre cinco tratamientos se quiere comparar
los dos primeros con los tres últimos, los coeficientes serían +3, +3, -2,
-2, -2.
3) Redúzcanse los coeficientes a los enteros más pequeños posibles. Por
ejemplo, en la comparación de un grupo de dos tratamientos con un
grupo de cuatro se tendrá (regla segunda) los coeficientes +4, +4, -2, -2, 2, -2 pero éstos pueden reducirse, dividiendo por dos, a los coeficientes
+2, +2, -1, -1, -1, -1.
4) Los coeficientes de la interacción siempre pueden determinarse
mediante la multiplicación de los coeficientes correspondientes de los
efectos principales.
Modelos con más de un factor
Si se tiene un modelo con más de un factor y se quiere hacer pruebas
planeadas de uno o mas factores, todo se haría lo mismo teniendo en
cuenta que habría que utilizar como término de error el mismo del factor
que se esta descomponiendo
Ejemplo6.Se han probado cuatro tratamientos en cuatro rebaños elegidos al azar.
Los cuatro tratamientos son cuatro piensos que tienen las siguientes
características:
Se quieren comparar las medias de los piensos con distinto nivel
energético , las medias de los piensos con distinto nivel proteico y la
interacción entre ambos. Los coeficientes serán:
-1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
+1 -1 -1 +1
En este caso los contrastes de los cuadrados medios de los dos factores
y de la interacción se deben hacer dividiendo dichos cuadrados medios
por el cuadrado medio del error, porque la interacción no es significativa
A continuación se muestra cuales serían las instrucciones a seguir en el
SPSS para realizar los contrastes y para indicar que el término de
comparación sea distinto del error:
Con el procedimiento MODELO LINEAL GENERAL UNIVARIANTE:
1ª VENTANA: ANALIZAR – MODELO LINEAL GENERAL –
UNIVARIANTE
2ª VENTANA: Establecer variable dependiente y factores – MODELO
3ª VENTANA: Establecer modelo (con intersección) y tipo de SC –
CONTINUAR
Vuelve a la 2ª VENTANA: CONTRASTES
4ª VENTANA: Elegir un modelo y CAMBIAR – CONTINUAR
Vuelve a 2ª VENTANA: PEGAR – Aparece un archivo “Sintaxis1”
En Sintaxis1: En la fila de CONTRAST poner:
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 -1 1 -1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 1 -1 -1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 -1 -1 1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (0 1 -1 -0)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 0 0 -1)
El archivo Sintaxis1 quedaría:
UNIANOVA
npiezas BY t
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 -1 1 -1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 1 -1 -1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 -1 -1 1)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (0 1 -1 -0)
/CONTRAST (t)=SPECIAL (1 0 0 -1)
/METHOD = SSTYPE(1)
/INTERCEPT = INCLUDE
/CRITERIA = ALPHA(.05)
/DESIGN = t .
y EJECUTAR – TODO
Para realizar el contraste de un cuadrado medio con otro que determinamos:
En el archivo “Sintaxis1”:
Incluir las filas:
/TEST=tratamie VS tratamie*rebaño
/TEST=rebaño VS tratamie*rebaño
El archivo Sintaxis1 quedaría:
UNIANOVA
dato BY rebaño tratamie
/METHOD = SSTYPE(3)
/INTERCEPT = INCLUDE
/CRITERIA = ALPHA(.05)
/TEST=tratamie VS tratamie*rebaño
/TEST=rebaño VS tratamie*rebaño
/DESIGN = rebaño tratamie rebaño*tratamie .
Con los contrastes sería:
UNIANOVA
dato BY rebaño tratamie
/CONTRAST (tratamie)=SPECIAL (1 -1 1 -1)
/CONTRAST (tratamie)=SPECIAL (-1 -1 1 1)
/CONTRAST (tratamie)=SPECIAL (1 -1 -1 1)
/METHOD = SSTYPE(3)
/INTERCEPT = INCLUDE
/CRITERIA = ALPHA(.05)
/TEST=tratamie VS tratamie*rebaño
/TEST=rebaño VS tratamie*rebaño
/DESIGN = rebaño tratamie rebaño*tratamie .
Si se quieren contrastar los CM de los contrastes con el término de interacción
hay que hacerlo a mano
Comparación de medias “a posteriori” o comparación múltiple
Este tipo de comparación se realiza cuando no existe una idea previa al
comienzo del experimento sobre los contrastes entre los diferentes
niveles de los tratamientos o cuando el objetivo es comparar todos los
posibles pares de medias
Los contrastes pueden realizarse en cualquier tipo de diseño para los
diferentes niveles de cada uno de los factores, utilizando el CM del error
del ANOVA realizado con todos los factores
Procedimiento
1) Se ordenan todas las medias de mayor a menor
X4 > X3 > X1 > X2 > X5 > X6
2) Se hace un cuadro de doble entrada en el que se ordenan las medias
de mayor a menor en vertical y de menor a mayor en horizontal y se
realizan las diferencias disponiéndolas en triángulo, de forma que a
medida que se desciende en las columnas o se mueve hacia la derecha
en las filas el número de medias comprendidas entre las dos que se
comparan (ambas inclusive) disminuye de uno en uno, conforme se
expresa en la p de cada casilla de la tabla siguiente:
Prueba DMS o diferencia mínima significativa (LSD-Least-Significant-Difference)
También llamada prueba t múltiple. Se puede usar, también, para pruebas a
priori. Para el cálculo de la región crítica se usa la tabla t de la misma forma que
se utiliza para contrastar dos medias, comprobando, al nivel a que fijemos, si las
diferencias de medias tomadas dos a dos cumplen:
Donde
es el error típico combinado, es decir, la raíz cuadrada del cuadrado
medio del error dividido por el tamaño de submuestra. Esto es:
En el caso de que los tamaños de las submuestras sean diferentes (experimento
desequilibrado), se utiliza como n el valor de la media armónica de las t
submuestras. El contraste sería entonces:
Prueba Tukey
Es como la anterior solo que no es secuencial y utiliza un solo rango crítico, que
es el correspondiente a la p del número total de medias. Para el cálculo de este
valor crítico se necesita el valor de q que se encuentra en la Tabla 8 (ver el
archivo) según la expresión:
Siendo:
el error típico combinado, es decir, la raíz cuadrada del cuadrado medio del
error dividido por el tamaño de submuestra
q el valor que se encuentra en la tabla 8 para p=número total de medias y gl del
error
-No se incluye el término
porque va incluido en los valores de q de la tabla
En el caso de tamaños de submuestras diferentes se utilizaría como n el valor
de la media armónica de las dos submuestras, siendo la prueba:
Prueba de Student-Newmans-Keuls o SNK
Se basa en el valor q (tabla 8), de recorrido Studentizado, pero en lugar de tomar
un solo valor para la región crítica, correspondiente a la p del número total de
medias que se van a comparar, la región crítica cambiará, dentro de la misma
prueba, con arreglo a la distancia, en número de medias, entre las dos medias
que se comparan. Por tanto, los valores de p dentro de una misma prueba
cambiaran de un mínimo de p=2, correspondiente a dos medias contiguas, hasta
un valor máximo de p=t-1, correspondiente a las dos medias de valor más
alejado. Por lo que para cada valor de q se calcula su región crítica multiplicando
el valor q de la tabla por el error típico combinado de las medias, quedando la
prueba de la siguiente manera:
Siendo el error típico combinado, es decir, la raíz cuadrada del cuadrado medio
del error dividido por el tamaño de submuestra y q los valores de la tabla 8 para
p=número de medias entre las dos que se están contrastando y los gl del error
En el caso de tamaños de submuestras diferentes se utilizaría como n el valor de
la media armónica de las dos submuestras, siendo la prueba:
Prueba de Duncan o de amplitudes múltiples
Se parece a la prueba SNK en que usa amplitudes múltiples y regiones críticas
variables que dependen del número de medias que entran en cada etapa. Se usa
la tabla r (Tabla 7) para los rangos críticos. Para efectuar las comparaciones
múltiples entre t medias, se necesita, como en las anteriores pruebas, el
cuadrado medio del error sus grados de libertad y el número de observaciones
(n) en cada nivel del factor
El contraste consiste en:
Siendo:
el error típico combinado, es decir, la raíz cuadrada del cuadrado medio del
error dividido por el tamaño de submuestra y r los valores de la tabla 7 para
p=número de medias entre las dos que se están contrastando y los gl del error.
En el caso de tamaños de submuestras diferentes se utilizaría como n el valor
de la media armónica de las dos submuestras, siendo la prueba:
Prueba de Scheffe
Es muy general en el sentido de que todas las posibles comparaciones pueden
probarse en cuanto a significación, es decir que no solamente se pueden
establecer contrastes entre dos medias sino entre ciertas combinaciones lineales
de ellas, no siendo necesario que el número de elementos por tratamiento sea
igual para todos ellos. El contraste consiste en:
Siendo:
En el caso de tamaños de submuestras diferentes se utilizaría como n el valor
de la media armónica de las dos submuestras, siendo la prueba
Contrastes ortogonales con factores cuantitativos
Son comparaciones planeadas de los tratamientos cuando éstos tienen
niveles numéricos igualmente espaciados. Se estudia la tendencia que
presenta la variable analizada al aumentar progresivamente los niveles
del tratamiento. Esta tendencia puede ser lineal, cuadrática, cúbica, etc., y
una vez establecida servirá para interpretar los resultados
El cálculo de los coeficientes para estos contrastes se puede realizar
teniendo en cuenta el tipo de función a la que se quiere ajustar los puntos
obtenidos. Los coeficientes para las sumas cuadrados para las funciones
lineal, cuadrática y cúbica se encuentran en la Tabla 6 y no hay más que
aplicarlos directamente para la obtención de las SC
Ejemplo
Se han aplicado cuatro dosis,15, 20, 25 y 30 de un determinado producto
a un cultivo celular, habiéndose obtenido las siguientes respuestas:
El resultado del ANOVA es:
Como F(3,12; 0.05) = 4.49 los tratamientos son significativos. Para saber si el
efecto de la dosis es lineal cuadrático o cúbico se toman los coeficientes
dados en la Tabla 6 para dichas funciones y 3 gl (nº de tratamientos -1):
Las SC son:
El ANOVA correspondiente será:
La respuesta es, por tanto, lineal
Se
Se
Se