Elementos de Espacios de Hilbert y Mecánica Cuántica

Introducción
La Matematica de la Teoría Cuántica de la Información
Postulados de la Mecánica Cuántica
Elementos de Espacios de Hilbert y Mecánica
Cuántica
M. Loreto Ladrón de Guevara
Departamento de Física, Universidad Católica del Norte
Arica, Octubre de 2015
ESANFI
M. Loreto Ladrón de Guevara
Elementos de Espacios de Hilbert y Mecánica Cuántica
Introducción
La Matematica de la Teoría Cuántica de la Información
Postulados de la Mecánica Cuántica
Contenidos
1
Introducción
2
La Matemática de la Teoría Cuántica de la Información:
Espacios de Hilbert
3
Postulados de la Mecánica Cuántica.
M. Loreto Ladrón de Guevara
Elementos de Espacios de Hilbert y Mecánica Cuántica
Introducción
La Matematica de la Teoría Cuántica de la Información
Postulados de la Mecánica Cuántica
Introducción
Los espacios de Hilbert son el fundamento matemático de la
Mecánica Cuántica (MC) y de la Teoría Cuántica de la
Información (TCI).
La MC es la estructura en que se enmarcan las leyes de la
naturaleza. Ésta da el marco conceptual y matemático para el
desarrollo de las leyes que la rigen.
A fines del S. XIX existian dos entidades separadas: las ondas
y las partículas, descritas por las teorías clásicas (Maxwell y
Newton).
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La MC surgió como resultado de una serie de descubrimientos
ocurridos en los siglos XIX y comienzos del XX , que ponían en
duda la validez de las teoría clásica (Newton) a escala atómica
y en ciertos experimentos con luz interactuando con átomos.
No se entienden, a la luz de las teorías clásicas, experimentos
como Radiación de Cuerpo Negro (Kirchhoff 1859), el efecto
fotoeléctrico Hertz (1887), la estabilidad de átomos y la
existencia de líneas espectrales (Modelo de Rutherford) y
otros.
Surgen modelos para estos efectos: radiación de cuerpo negro
fue explicada por Planck (1900), el efecto fotoeléctrico por
Einstein (1905), y estabilidad atómica y líneas espectrales por
Bohr (1913).
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Antes de 1925 la MC era un conjunto de hechos basados en
evidencias experimentales que dominaban el comportamiento
a escalas atómica y moleculares, y un conjunto fragmentado
de explicaciones.
Entre esos hechos estaban: la naturaleza dual de la luz y las
partículas (dualidad onda-partícula para ambas) y la existencia
de movimientos cuantizados (periódicos) y no cuantizados (no
periódicos).
Pero la MC carecía de un marco teórico formal y conceptual
que sirviera para explicar todos esos hechos a la vez (una
única teoría).
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Esa Teoría se inició en 1925 y fue desarrollada por Werner
Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en lo que llamaron
"mecánica de matrices". Tiempo después Schrödinger
desarrolló la teoría de la "mecánica ondulatoria", desde un
punto de partida distinto.
Paul Dirac y Pascual Jordan mostraron la equivalencia
matemática de ambas teorías, en la llamada "teoría de la
transformación".
John von Neumann se dio cuenta, en 1927, de que un marco
natural para la teoría cuántica eran los espacios de Hilbert,
desarrollados por David Hilbert (1909).
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David Hilbert
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John von Neumann
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En TCI, el qubit es la unidad básica para almacenar
información. Corresponde a un sistema físico que se rige por
las leyes de la Mecánica Cuántica.
El estado mas general de un qubit es descrito por el "vector
de estado"
|ψi = a|0i + b|1i, a, b ∈ C.
El vector |ψi vive en un espacio abstracto que llamamos
espacio de estados E del sistema, que es un espacio de Hilbert.
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Objetivos
Revisar las propiedades más importantes de los espacios de
Hilbert que son útiles a la MC y particularmente a la TCI.
Conocer los postulados de la MC que dan una base física a la
TCI.
Conocer y aplicar las herramientas matemáticas de la MC en
sistemas sencillos en el contexto de la TCI.
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Espacios vectoriales lineales y sus propiedades
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal complejo.
Espacio vectorial lineal
Un espacio vectorial lineal sobre un campo C es un conjunto V de
objetos matematicos llamados vectores. Ese espacio es cerrado
bajo la adición y la multiplicación por un escalar.
Si u, v ∈ V y a ∈ C,
u+v∈V
au ∈ V.
La rama de la matemática que estudia estos espacios y las
operaciones lineales sobre ellos es el álgebra lineal.
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Para vectores u, v y w vectores en V y a, b escalares en C se
cumple:
(u + v) + w = u + (v + w) (asociatividad de la adición)
u + v = v + u (conmutatividad de la adición)
∃ 0 ∈ V : u + 0 = u (neutro aditivo)
∀ u ∈ V, ∃ (−u) ∈ V : u + (−u) = 0 (inverso aditivo).
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Para u, v vectores en V y a, b escalares en C se cumple:
a(u + v) = a u + a v (distributividad de escalar respecto a
adición vectorial)
(a + b)u = au + bu (distributividad de vector respecto a
adicion escalar)
a(bu) = (ab)u
1u = u (elemento identidad en multiplicacion escalar)
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Los espacios vectoriales lineales pueden ser diversos en naturaleza;
existen compuestos de vectores ordinarios en R3 , así como de
funciones, polinomios, matrices, y otros.
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal en el campo de
los números complejos C, con una dimensionalidad que puede ser
finita o infinita y que tiene definido un producto interno.
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El álgebra lineal tambien estudia las transformaciones entre
espacios vectoriales que preservan la estructura del espacio
vectorial. Esas transformaciones se denominan transformaciones
lineales u operadores lineales.
Operadores Lineales
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo, un
operador lineal es un mapeo T : V → W tal que:
T (u + v) = T (u) + T (v) y T (au) = aT (u), con a escalar.
También: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), con a, b escalares.
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Funcional lineal
Un funcional lineal F es una operación lineal que asocia a cada
vector u en V un escalar en C:
Fu ∈ C
F (au + bv) = aF u + bF v, a, b escalares.
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Producto interno o escalar
Si V es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos C, el
producto interno es un escalar, denotado por hv|ui, que tiene las
siguientes propiedades
hv|ui ∈ C
hv|ui = hu|vi∗
hv|au1 + bu2 i = ahv|u1 i + bhv|u2 i, a, b ∈ C.
hv|ui = 0 ↔ u ⊥ v.
El producto escalar es un funcional lineal.
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Norma
Dado el vector u, se define su norma como ||u|| =
p
hu|ui.
Se cumple que: hu|ui ≥ 0. hu|ui = 0 ↔ u = 0.
Un vector u se dice normalizado cuando ||u|| = 1.
Un vector se normaliza dividiéndolo por su norma:
u
û = p
hu|ui
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Indepedencia lineal
Un conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . . } se dice linealmente
independiente (L. I.) si no es posible escribirlos de la forma
a1 u1 + a2 u2 + . . . aN uN = 0,
a menos que a1 = a2 = . . . aN = 0. En otras palabras, ninguno de
los vectores ui puede ser expresado como una combinación lineal
de los otros.
Dimensión
Un espacio vectorial lineal tiene dimensión N si admite a lo más N
vectores L. I.
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Base del espacio vectorial
Un conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . . N} forman una base del
espacio vectorial V si y sólo si:
Los ui son L. I.
Y si todo vector u ∈ V puede escribirse de la forma
u=
N
X
ci ui .
(1)
i=1
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Base ortonormal
Una base es ortonorormal cuando hui |ui i = 1 y hui |uj i = 0 para
i 6= j.
Para una base ortonormal
u=
N
X
ci ui =
i=1
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N
X
hui |uiui .
(2)
i=1
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Espacio euclídeo en R2 .
Sean u y v dos vectores en R2 .
Existen dos vectores L. I., se
elige base ortonormal {î, ĵ}.
u = 2î + 3ĵ,
v = 5î + ĵ
hv|ui = 2 × 5 + 3 × 1 = 13
√
||u|| = √ 4 + 9 = 3,6
||v|| = 25 + 1 = 5,1
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Notación de Dirac y notación matricial
Notación de Dirac
Fue introducida por Paul Dirac, y es muy útil en la TCI. En esta
notación, el producto interno es una multiplicación de dos objetos:
hu|vi = hu| |vi
|{z} |{z}
”bra” ”ket”
El ket |vi es un vector en V, mientras el bra pertenece al llamado
espacio dual V ∗ , que es el conjunto de todos los funcionales
lineales definidos en V.
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Conjugación hermítica
Para ir del espacio vectorial V al espacio dual V ∗ debemos
transponer y conjugar.
|ψi† = hψ|
(A|ψi)† = hψ|A†
(a|ψi + b|ϕi)† = hψ|a∗ + hϕ|b ∗ = a∗ hψ| + b ∗ hϕ|.
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El espacio vectorial que más nos interesa para la TCI está
compuesto por vectores en CN . El espacio vectorial de los qubits es
C2 , y nos concentraremos en ese.
Notación matricial
Los elementos del espacio, los vectores o kets, los escribiremos
como una matriz columna:
|ψi =
z1
z2
!
,
donde z1 , z2 ∈ C son las componentes del ket.
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Suma
|ψi + |φi =
z1
z2
!
+
w1
w2
!
=
z1 + w1
z2 + w2
!
.
Multiplicación por escalar
a|ψi = a
z1
z2
M. Loreto Ladrón de Guevara
!
=
a z1
a z2
!
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Operador lineal
A=
A00 A01
A10 A11
!
Operador transpuesto conjugado
†
T ∗
A = (A ) =
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A∗00 A∗10
A∗01 A∗11
!
.
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Bras
Los elementos del espacio dual, los bras, están representados por
una matriz fila
hψ| = z1∗ z2∗ ,
donde z1∗ y z2∗ son los complejos conjugados de z1 y z2 .
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Producto escalar
hφ|ψi =
w1∗ w2∗
z1
z2
!
= w1∗ z1 + w2∗ z2
Operador de Proyección
|ψihψ| =
z1
z2
!
z1∗
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z2∗
=
|z1 |2 z1 z2∗
z1∗ z2 |z2 |2
!
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Base lógica
|0i =
1
0
!
,
|1i =
0
1
!
.
Representación de un ket
|ψi =
a
b
!
=
a
0
!
+
0
b
!
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=a
1
0
!
+b
0
1
!
= a|0i+b|1i.
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Producto externo, operadores
!
|0ih0| =
1
0
!
|0ih1| =
1
0
|1ih0| =
A=
A00 A01
A10 A11
0 0
1 0
1 0
0 1
!
=
1 0
0 0
!
=
0 1
0 0
!
,
|1ih1| =
0 0
0 1
!
!
= A00 |0ih0|+A01 |0ih1|+A10 |1ih0|+A11 |1ih1|.
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Ejercicio
Conseidere los kets |v1 i = (1, −1) y |v2 i = (1, 1).
Normalícelos.
Muestre que |v1 i ⊥ |v2 i
Muestre que |v10 ihv10 | + |v20 ihv20 | = I donde I es el operador
identidad,
!
1 0
I=
,
0 1
donde |vj0 i es el ket |vj i normalizado.
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Matrices de Pauli
Los operadores o matrices de Pauli son cuatro operadores
extremadamente útiles en la computación y la información
cuántica y están definidas como:
σ0 = I =
σ2 = σy = Y =
1 0
0 1
0 −i
i 0
!
,
σ1 = σx = X =
!
,
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σ3 = σy = Z =
0 1
1 0
!
1 0
0 −1
!
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Ejercicio: Escriba las matrices de Pauli en notación de Dirac.
σx =
σy =
σz =
I=
1 0
0 1
!
0 1
1 0
0 −i
i 0
= |0ih1| + |1ih0|
!
1 0
0 −1
= i(|1ih0| − |0ih1|)
!
= |0ih0| − |1ih1|
!
= |0ih0| + |1ih1| =
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X
|jihj|
j=0,1
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Operador Unitario
Un operador U se dice unitario cuando U † = U −1 , donde U −1 es
el operador inverso de U.
Un operador es unitario cuando UU † = U † U = I.
M. Loreto Ladrón de Guevara
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Ejemplos:
Muestre que σy es unitario.
Veamos:
σy† σy
=
0 −i
i 0
!
0 −i
i 0
!
=
−i 2 0
0
−i 2
!
=
1 0
0 1
!
Muestre que un operador unitario preserva la norma de un ket.
|||ψi||2 = hψ|ψi = 1.
Interesa demostrar que ||U|ψi||2 = 1. En efecto,
||U|ψi||2 = hψ|U † U|ψi = hψ|I|ψi = hψ|ψi = 1.
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.
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Operador Hermítico
Un operador A se dice hermítico si A† = A.
Ejemplos:
El operador identidad I es hermítico.
Las matrices de Pauli σx , σy y σz son hermíticas.
Los operadores hermíticos son de gran importancia en mecánica
cuántica, porque toda cantidad física observable es representada
un operador de este tipo. Los operadores que representan
cantidades físicas son llamados observables.
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Valores y vectores propios de on operador
Un escalar an se dice valor propio del operador A : V → V si para
algún ket diferente de cero |an i ∈ V se cumple lo siguiente:
A|an i = an |an i.
El ket |an i se dice vector propio de A con valor propio an .
El conjunto de vectores propios asociados con un valor propio an
dado de A se denomina supespacio propio de an :
n
o
Vn = |ani i ∈ V tal que A|ani i = an |ani i, i = 1, 2, . . . , gn .
donde gn es la degeneración de an .
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Ejemplo:
Calcule los valores y vectores propios del operador σy .
σy |φi = λ|φi →
−λ
i
−i
0
0
i
c
d
=λ
c
d
−i = 0 → λ2 + i 2 = 0 → λ1 = 1, λ2 = −1.
−λ Vactores propios:
0 −i
c
c
=λ
↔ −id = λc → d = iλc
i
0
d
d
|ψ1 i = c
1
i
,
|ψ2 i = c
1
−i
.
√
Normalizando esos vectores obtenemos la constante c: c = 1/ 2.
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Operador de espín S para partícula de spin 1/2
El spin es una propiedad intrínseca de las partículas, que se asocia
con el momento magnético intrínseco de éstas. El 1921, en el
experimento de Stern y Gerlach, se evidenció que el electrón es una
partícula con spin 1/2, lo que significa que su estado de spin vive
en un espacio de Hilbert de 2 dimensiones.
El operador de espín S está dado por
S=
~
(σx , σy , σz ) ,
2
donde σi , i = x , y , z son las matrices de Pauli.
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Observaciones
Sz = (~/2)σz es diagonal en la base |0i ≡ |+i, |1i ≡ |−i, con
valores propios ~/2 y −~/2.
Los operadores Sx = (~/2)σx y Sy = (~/2)σy tienen cada uno
los mismos valores propios que Sz , ~/2 y −~/2 y sus vectores
propios son
1
|±ix = √ (|0i ± |1i).
2
1
|±iy = √ (|0i ± i|1i).
2
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El spin de la partícula en la dirección arbitraria
û = (sin θ cos φ, sin θ sin θφ, cos θ) tiene la forma:
Su = S · û =
~
(σx sin θ cos φ + σy sin θ sin φ + σz cos θ) .
2
Sus valores propios son ~/2 y −~/2 y sus vecores propios se
pueden escribir como:
θ
θ
|+iu = cos |0i + e φ sin |1i
2
2
θ
θ
|−iu = − sin |0i + e φ cos |1i
2
2
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(3)
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Funciones de operadores
Funciones de operadores f (A) pueden ser definidas como una serie
de potencias de la función f (x ). Si
f (x ) =
∞
X
Cn x n ,
n=0
f (A) =
∞
X
Cn An .
n=0
n
Por ejemplo, la serie de la función exponencial es e x = ∞
n=0 x /n!,
de manera que la exponencial de un operador tendrá la forma
P
eA =
∞
X
An
n=0
M. Loreto Ladrón de Guevara
n!
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Observables
Todo operador hermítico A tiene valores propios reales.
han |A|an i = an ,
han |A† |an i = an∗ = han |A|an i.
Comparando la primera y última ecuaciones notamos que
an = an∗ , y por lo tanto an es real.
Si los valores propios de un operador hermítico son no
degenerados, sus vectores propios serán ortogonales.
Si los vectores propios del operador hermítico forman una base
ortonormal de ese espacio, a ese operador hermítico se le
llama observable y puede ser usado para representar a una
cantidad física observable.
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Observables compatibles
En general, no todos los operadores conmutan, i.e, AB 6= BA.
Se define el conmutador de dos operadores A y B como
[A, B] = AB − BA.
Si dos observables conmutan, siempre es posible construir una
base de vectores propios comunes de ambos observables. Esos
observables se dicen compatibles.
Si dos observables no conmutan, los observables son
incompatibles, lo que tiene implicancias físicas importantes:
existe un principio de incertidumbre entre ellos.
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Sistemas compuestos
El producto tensorial es una forma de combinar dos espacios de
Hilbert y formar un espacio vectorial más grande. Se debe usar
para describir sistemas compuestos en MC.
Producto tensorial
Supongamos que V y W son dos espacios de Hilbert de
dimensiones N y M respectivamente. El espacio producto tensorial
V ⊗ W es un espacio de Hilbert de N × M dimensiones.
Los elementos de V ⊗ W son combinaciones lineales de vectores
producto tensorial de la forma |v i ⊗ |w i donde |v i ∈ V y |w i ∈ W.
Notación: |v i ⊗ |w i = |v i|w i = |v , w i = |vw i
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Si {|0i1 , |1i1 } es una base en V1 y {|0i2 , |1i2 } es una base en V2 ,
el conjunto
{|0i1 |0i2 , |0i1 |1i2 , |1i1 |0i2 , |1i1 |1i2 }
donstituye una base del espacio de estados productoV1 ⊗ V2 y
cualquier ket |ψ_12 en ese espacio puede escribirse de la forma:
|ψi12 = a|0i1 |0i2 + b|0i1 |1i2 + c|1i1 |0i2 + d|1i1 |1i2 ,
con a, b, c, d complejos.
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Estados separables
Dos estados se dicen separables si los puedo factorizar de la
forma
|ψi12 = |ϕi1 |φi2 .
|ψi12 = (c1 |0i + d1 |1i)(c2 |0i + d2 |1i)
= c1 c2 |00i + c1 d2 |01i + d1 c2 |10i + d1 d2 |11i.
Para que un estado sea separable, debe cumplirse que:
a = c1 c2 , b = c1 d2 , c = d1 c2 y d = d1 d2 , esto es ab = cd.
pace0.1cm
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Postulados de la Mecánica Cuántica
Estados entrelazados
Dos estados están entrelazados si lo anterior no es posible.
Ejemplo: estados de Bell
1
|β00 i = √ (|00i + |11i)
2
1
|β01 i = √ (|01i + |10i)
2
1
|β10 i = √ (|00i − |11i)
2
1
|β11 i = √ (|01i − |10i).
2
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Postulados de la Mecánica Cuántica
Si aplicamos un operador lineal sobre uno de los sistemas, digamos
el primero, ¿cómo transforma el estado del sistema compuesto?
Operadores sobre V ⊗ W
Un operador general Q de un sistema de dos qubits tendrá un
operador representado por una matrix 4x 4 en la base producto
tensorial
{|00i, |01i, |10i, |11i} ≡ {|0i, |1i, |2i, |3i} ,
o bien puede escribirse en la notación de Dirac como
Q=
3 X
3
X
Qnm |nihm|.
n=0 n=0
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Postulados de la Mecánica Cuántica
Hay muchas formas de formular los postulados de la mecánica
cuántica. Aquí buscaremos una forma útil para la TCI.
Primer postulado: sobre el estado de un sistema
A todo sistema físico aislado se le asocia un espacio vectorial lineal
complejo con un producto interno (esto es, un espacio de Hilbert)
conocido como espacio de estados E del sistema. El estado del
sistema queda completamente descrito por un vector de estado
|ψi, que es un vector unitario perteneciente a dicho espacio.
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Segundo postulado: sobre la evolución temporal de un sistema
La evolución de un sistema cerrado está descrita por la ecuación de
Schrödinger
d
i~ |ψ(t)i = H|ψ(t)i,
dt
donde H es un operador hermítico llamado hamiltoniano del
sistema cerrado y ~ la constante de Planck. H es el observable
asociado a la energía total del sistema.
Conocer el hamiltoniano del sistema y su estado a algún tiempo
dado es conocer la dinámica completa del sistema. La evolución
temporal del sistema es determinista.
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Segundo postulado: formulación alternativa
La evolución de un sistema cerrado está descrita por una
transformación unitaria. Esto es, el estado del sistema en un
instante t, |ψ(t)i es el resultado de una transformación unitaria
con el estado del mismo sistema en un instante anterior
|ψ(t)i = U(t, t0 )|ψ(t0 )i,
donde operador U(t, t0 ) es llamado operador de evolución del
sistema.
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Cualquier compuerta lógica en computación cuántica es el reflejo
de algún proceso físico que ocurre sobre el qubit y está
representada por algún operador U.
Si el sistema es conservativo, i.e., H no depende del tiempo, el
operador de evolución tendra la forma
U(t, t0 ) = e −iH(t−t0 )/~ .
Claramente, éste es un operador unitario
U(t, t0 )U(t, t0 )† = e −iH(t−t0 )/~ e iH
† (t−t )/~
0
= e −iH(t−t0 )/~ e iH(t−t0 )/~ = I.
(Esa simplificación de las exponenciales se puede hacer sólo
cuando los exponentes de cada una conmutan unos con otros).
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Ejemplo:
Supongamos que tenemos a tiempo t = 0 un qubit en la
superposición lineal de la base computacional |ψ(0)i = a|0i + b|1i,
donde |0i y |1i son vectores propios del Hamiltoniano. ¿Cuál será
el estado del sistema a tiempo posterior?
Tenemos que H|0i = E0 |0i y H|1i = E1 |1i.
|ψ(t)i = U(t, 0)|ψ(0)i = e −iHt/~ |ψ(0)i
= e −iHt/~ (a|0i + b|1i) = a e −iHt/~ |0i + b e −iHt/~ |1i
= a e −iE0 t/~ |0i + b e −iE1 t/~ |1i = a e −iω0 t |0i + b e −iω1 t |1i
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Estados estacionarios
Notamos que si un sistema se encuentra en uno de los estados
propios del hamiltoniano del sistema, su estado no cambiará en el
tiempo.
Supongamos que H|ψn i = En |ψn i y |ψ(0)i = |ψn i.
|ψ(t)i = e −iHt/~ |En i = e −iEn t/~ |ψn i =
iγ(t)
|e {z }
|En i.
fact. de fase global
A los estados propios del hamiltoniano se les llama estados
estacionarios y a la ec. H|ψn i = En |ψn i ecuación de Schrödinger
estacionaria.
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Tercer postulado: sobre resultados posibles de una medición y su
predicción
Consideremos un observable A, tal que A|ϕn i = an |ϕn i y una
partícula en un estado |ψi.
Si se mide el observable A, los únicos resultados posibles de la
medición serán los valores propios an , y la probabilidad de obtener
cada uno de estos será
P(an ) =
q
hψ|Pn |ψi,
donde Pn = |ϕn ihϕn | el operador proyector al subespacio propio de
an . Si el autovalor an no es degenerado, esa probabilidad se reduce
a:
P(an ) = |hϕn |ψi|2 .
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Cuarto postulado: sobre el efecto de una medición sobre el estado
de una partícula
Si la medición de un observable A en un sistema en el estado |ψi
da como resultado el valor an , el estado inmediatamente después
de la medición es la proyección normalizada de |ψi en el
subespacio propio asociado al valor propio an :
p
Pn |ψi
.
hψ|Pn |ψi
Si el resultado an no es degenerado, y el estado del sistema antes
P
de la medición es | n cn |ϕn i, el estado inmediatamente después
de la medición será
|ϕn i.
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Ejemplo sencillo: Consideremos un sistema de spin 1/2 en el estado
s
|ψi =
1
|0i +
3
s
2
|1i,
3
donde {|0i, |1i} es la base de autoestados de σz .
a) Si se mide Sz , ¿cuáles son los valores posibles a obtenerse y qon
qué probabilidad?
b) Si como resultado de la medida se obtiene −~/2 ¿cuál estado
del sistema inmediatamente después de la medición?
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Solución. Notamos que el estado está escrito en términos de los
autoestados
q de Sz , |0i y |1i, y que está normalizado:
||ψi|| =
Como
1
3
+
2
3
= 1..
s
|ψi =
1
|0i +
3
s
2
|1i,
3
a) Los valores posibles son ~/2 con probabilidad
P(~/2) = |h0|ψi|2 = 31 y −~/2 con probabilidad
P(−~/2) = |h1|ψi|2 = 23
b) Si al medir Sz se obtiene −~/2, el sistema queda en
p
P− |ψi|
|1ih1|ψi
=p
∝ |1i,
hψ|P− |ψi
hψ|1ih1|ψi
es decir, el vector propio asociado al valor propio obtenido.
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El codificado superdenso es un ejemplo muy simple de de una
tarea de información uántica usando las ideas de mecánica
cuántica que hemos visto.
Codificado superdenso
Este protocolo involucra dos partes, Alice y Bob, ubicadas lejos
uno del otro. Alice debe transmitir cierta información clásica a Bob
que está almacenada en dos bits clásicos, pero sólo puede enviarle
un qubit individual. ¿Se puede realizar esta tarea? ¿Cómo?
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Solución: Se puede resolver mediante un qubit maximamente
entrelazado que comparten Alice y Bob:
1
|ψi = √ (|00i + |11i) = |β00 i
2
Alice está el posición del primer qubit y Bob del segundo (podría
ser que no se han visto y que recibieron cada qubit por parte de un
tercer individuo).
Alice nota que mandándole su qubit puede hacerle llegar el
mensaje de dos bits que desea. ¿Cómo lo hace?
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Mensaje
00
01
10
11
Alice Transforma
|ψi
σz |ψi
σx |ψi
iσy |ψi
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Bob recibe
|β00i
|β01 i
|β10 i
|β11 i
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Bibliografía
Mecánica Cuántica
1 "Quantum Mechanics", Claude Cohen-Tannoudji, Bernad Diu,
Franck Laloe, 1st Edition (Wiley, 1991).
2
"Quantum Mechanics"(Lecture Notes) Martin Plenio, Imperial
College (2002)
www3.imperial.ac.uk/pls/portallive/docs/1/613904.
PDF
3
"Quantum Mechanics - Lecture Notes", Eyal Buks, Technion,
Israel (2015)
http://webee.technion.ac.il/labs/Quantum_
Engineering/files/papers/qm_lecture_notes.pdf
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Información y computación cuántica
1
"Quantum Computation and Quantum Information". M.
Nielsen and I. Chuang (Cambridge, 2010)
2
"Quantum Computer Science, An Introduction". N. David
Mermin (Cambridge, 2007)
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Álgebra lineal
1
Ïntroduction to linear algebra". Gilbert Strang, 4th Ed.
(Wellesley - Cambridge, 2009)
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