Cálculo Diferencial e Integral I Dr. Humberto Carrillo Calvet Tarea 1

Cálculo Diferencial e Integral I
Dr. Humberto Carrillo Calvet
Tarea 1: Conjuntos y Funciones (Conceptos y De…niciones)
1. Dé dos ejemplos de conjuntos cuyos elementos sean tambien conjuntos.
2. Diga con palabras el signi…cado de:
i) X = fa; bg
ii) Y = ffa; bgg
3. Siendo X y Y los de la pregunta anterior, indica cuáles de las a…rmaciones
siguentes son ciertas:
i) a 2 X
v)
ii) fag
X
a2Y
vi) fa; bg
Y
4. Sean A = f1g, B = ff1gg. ¿Cuáles de las siguientes a…rmaciones son
ciertas?
i)
12A
v)
ii) f1g 2 A
i) f1g
12B
vi) f1g 2 B
A
v)
¿Será A un subconjunto de B?
f1g
vi) f?g = ?
B
5. Di cuantos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos:
a) ?
b) f?g
c) ff?gg
d) f?; f?gg
6. Sea X = ffa; bg; c; dg. ¿Cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas?
i)
c2X
v)
ii) fdg 2 X
iii) fa; b; cg
iv) fa; bg
d2X
vi) fa; bg 2 X
X
vii) ffa; bg; dg
X
X
7. Diga cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas para X; Y y Z
tres conjuntos cualesquiera. En caso de que sea falsa la a…rmación dibuje
un ejemplo:
i)
X
X[Y
xv) X Y = X \Y C
ii) X\Y
X[Y
xvi) X
iii) X[Y
X\Y
xvii) X Y = X (X\Y )
iv) X [ Y = Y
v)
(X C )C = X
? =) X = ?
xviii) X * Y () X \ Y C 6= ?
xix) X [ Y = X () X
1
Y
vi) X \ ? = ?
vii) X \X
C
xx)
xxi) Y
?
C
X
C
viii) (X[Y ) = X [Y
C
Y () X \ Z
Y \Z
X () (X [Y ) (X \Y ) = X
xxii) X
Y
C
() X\Y = ? () Y
ix) (X [ Y )C = X C \ Y C
C
C
C
xxiii) X \ Y = X \ Z () Y = Z
C
C
C
xxv) X [ Y = X [ Z () Y = Z
x)
(X \ Y ) = X [ Y
xi) (X \ Y ) = X \ Y
xii) X
C
Y
C
XC
Y () X
xiii) X
Y () Y
xiv) X
xxiv) X
C
Y () P X
Y
XC
PY
Y () X [ Y = Y
8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones de R en R son funciones?:
a) f(2; 1); ( 1:5); (0; 0); (6; 2)g
b) f( 3; 1); ( 3; 0); (4; 2); (7; 5)g
p
d) f(0; 2); ( 12 ; 32 ); ( 13 ; 25 ); ( 14 ; 3)g
c) f( 5; 2); (1; 2); (3; 2); (5; 2)g
9. Si f es una función con dominio R y regla de correspondencia f (x) =
x3 3x + 2;encuentra:
p
c) f ( 23 )
d) f ( 2);
a) f (2)
b) f ( 21 )
e) f (x2 )
f) f (x + 1)
g) f (x
2)
h) f (x + h)
10. Determinar todas las funciones que tienen como dominio el conjunto f1; 2; 3g
y como rango fa; b; cg. ¿Cuáles son inyectivas? ¿Cuáles son suprayectivas?
¿Cuáles son biyectivas?
11. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia:
a) f (x) = x2
p
e) f (x) = x
b) f (x) =
1
x
f) f (x) =
c) f (x) =
p
1
3x
x
x 1
d) f (x) =
g) f (x) =
p
x2
x2 +2x+1
p
x2 1
p
5 3x x
Determina el máximo dominio de de…nición.
12. Sean f = f(1; 2); (2; 3); (3; 5); (4; 7)g y g = f(0; 3); (1; 2); (2; 1); (3; 4)g :Determina
f g . ¿Por que no es posible determinar gof ?
13. Dar un ejemplo de dos funciones f y g de R a R tales que f 6= g, pero
que f g = g f .
14. Demuestra o da un contraejemplo de las siguientes proposiciones:
a) f
c)
(g + h) = (f
1
f
g
=
( f1 )
15. Determina f
g) + (f
h)
g
b) (g + h) f = (g f ) + (h f )
d)
1
f
g
=f
( g1 )
g y g f si:
a) f = I + 2; g = I 2
b) f = I 3 ; g = I 2
2
3I
16. Determina el dominio y la regla de correspondencia de las siguientes funciones:
1
1
1
a) I 2 I 2
1
b) I 2
1
I2
17. Sean f = x2 + 2x 8; g(x) =
regla de correspondencia de:
a) f + g
g f
i)
f
h
b) f + h
j)
h
f
c) g
k) f h
1
x
f
l) h
1
1
c) I 2 I 2
d) I 3 I 2
p
y h = x . Determinar el dominio y la
d) f g
f
18. Da un ejemplo de una función tal que:
a) Sea 1 a 1 y no sea sobre.
b) Sea sobre y no 1 a 1.
c) no sea sobre ni 1 a 1.
3
m)
e)
g
h
f
g
f)
n)
h
g
g
f
g) f
ñ) h g
g
h)
o) g h