maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 04

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº. 04
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
II. Aprendizajes Esperados:
1.
2.
3.
4.
Definir Medidas de posición: media, moda, mediana.
Calcular Medidas de posición: media, moda, mediana.
Interpretar Medidas de posición: media, moda, mediana.
Resolver ejercicios que involucren los contenidos vistos
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
III. Síntesis esquemática de Contenidos
reconocer y
determinar
mediam moda y
interpretar cada
una de las
anteriores
mediana
generalizar y
dar significancia
a cada
referencia
IV. Actividades ( individuales o grupales)
Ejercicios.
Ejercicio 1:
En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los envejecientes
que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes
edades.
69 73 65 70 71 74 65 69 60 62
Ejercicio 2:
Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió
que calificaran del 1 al 5 un programa televisivo.
(5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno
1 = Fatal)
Estos fueron los resultados:
1 3 3 4 1
2 2 2 5 1
4 5 1 5 3
5 1 4 1 2
2 1 2 3 5
Buscar la media, la moda y la mediana.
Ejercicio 3:
Se ha realizado una encuesta a 30 personas en la que se les pregunta el nº de personas que
conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes:
1 4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3.
a) Calcule la tabla de frecuencias de la variable con las frecuencias absolutas, relativas y sus
correspondientes acumuladas.
b) Dibuje el diagrama de barras.
c) Agrupe por intervalos de amplitud 2 los valores de la variable y represente el
histograma correspondiente.
Ejercicio 4:
Tenemos la siguiente información sobre el gasto semanal en ocio de un grupo de
estudiantes universitarios.
NIVEL DE GASTO
Nº DE JÓVENES
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
4
11
16
22
8
6
a) Dibuje el histograma de frecuencias absolutas.
b) Dibuje el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
Ejercicio 5:
En un estudio sobre consumo de gasolina en una gran ciudad se eligió una muestra de
100 vehículos y se observó el número de litros que consumían en un día, obteniéndose
la siguiente distribución de frecuencias.
Nº de litros
1-7
7-10
10-12
12-14
14-18
18-25
Nº de automóviles
4
8
35
30
20
3
Represente gráficamente la distribución de frecuencias mediante un histograma.
Ejercicio 6:
Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 años y el número de hijos
de las mismas. El resultado ha sido:
Nº hijos
0
1
2
3
4
5
6
Nº mujeres
13
20
25
20
11
7
4
Se pide:
a) Calcular el número medio de hijos, la mediana y la moda. b)
Calcular los cuartiles y el decil 7.
Ejercicio 7:
La siguiente distribución expresa el número de coches vendidos durante una semana por cada
uno de los 50 concesionarios que una determinada firma tiene en España:
número de coches vendidos
1
3
4
6
10
Se pide:
a) Media, mediana y moda.
b) Desviación típica y coeficiente de variación.
número concesionarios
5
12
20
8
5
Ejercicio 8:
En un centro hospitalario de la provincia de Sevilla se ha tratado, con un nuevo medicamento
llamado SINDOLORCABEZON, durante 5 días a un grupo de pacientes, todos ellos padecen de
jaqueca crónica (se despiertan todos los días con dolor de
cabeza). Se realiza un estudio sobre el nº de días que un paciente sufre mejoría con el anterior
medicamento obteniendo la tabla:
Valores
Frecuencias
0
100
1
250
2
300
3
500
4
450
5
2000
a) Halla la media, la moda, y la mediana.
b) Calcula el decil 3.¿Qué significado tiene?
Ejercicio 9:
Los motores con menos de 55 CV se apartan de los demás y se estudia el número de piezas
defectuosa que han motivado la pérdida global de potencia, obteniéndose la siguiente tabla:
Valores Frecuencias
1
40
2
30
3
20
4
10
Calcula la moda y el recorrido intercuartílico.
Ejercicio 10:
Se ha realizado una estadística en el centro comercial CONTINENTOL sobre los gastos
(en miles de pesetas) que una familia tiene cuando realiza sus compras un día cualquiera
de la semana. Este estudio nos aporta la siguiente tabla:
Intervalos
0-5
5-10
10-20
20-50
50-100
Frecuencias
1000
1100
1600
1000
300
a) Representa el histograma de la distribución.
b) Hallar el primer cuartil. ¿Qué significado tiene?
Ejercicio 11:
Una vez finalizado este segundo curso, se realiza un examen a los alumnos
obteniéndose las siguientes notas:
Notas
4
5
5.5
6
6.5
8
Nº Alumnos
8
12
15
14
6
5
Se pide:
¿Por qué no se agrupan los datos en intervalos?
Halla la media, la mediana, la moda, el recorrido intercuartílico.
V. Evaluación de la actividades
Los alumnos deberán desarrollara cada uno de los ejercicios
VI. Síntesis de los contenidos :
1. Centrales:
1.1.
Medias:
1.1.1.
Aritmética
1.1.2.
Geométrica
1.1.3.
Armónica
1.2.
Medianas
1.3.
Moda
2. No central
2.1.
Cuartiles
2.2.
Deciles
2.3.
Centiles o percentiles
Medidas de Tendencia Central
Es aquella que intentan identificar el dato central de la distribución, las más importantes
son las que hemos indicado en la introducción, esto es: media, mediana, moda
Promedio o Media aritmética: Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el
número total de elementos
Para datos no tabulados:
Sea una distribución de datos dados por, luego la media será:
X 
x1  x2  x3  ....xn1  xn
n
Para datos tabulados:
Caso tabla simple:
xi
fi
xi*fi
x1
f1
x1*f1
x2
f2
x2*f2
:
:
:
xi
fi
xi*fi
:
:
:
xp
fp
xp*fp
Donde n es el tamaño de la muestra
p
X
x1  f1  x2  f 2  ...  f i  xi  ....  f p  x p
n

x  f
i
i 1
i
n
Caso tabla con intervalos:
xi-xi+1
x’i
fi
x’i*fi
x1-x2
x’1
f1
x’1*f1
x3-x4
x’2
f2
x’2*f2
:
:
:
:
xi-xi+1
x’i
fi
x’i*fi
:
:
:
:
xp-xp+1
x’p
fp
x’p*fp
p
X
x '1  f1  x '2  f 2  ...  x 'i  f i  ....  x p  f p
n

 x'  f
i
i 1
i
n
Ejemplos:
1) A un grupo de estudiante se le consulta por su edad y se obtiene la siguiente distribución
15
16
18
16
19
15
18
19
14
16
19
17
17
17
Se pide calcular la edad media de la muestra:
x
15  16  18  16  ......19  14  ...  17  17  17 236

 16,857
14
4
2) Tenemos la siguiente distribución de datos discreto y se pide hallar la media aritmética, de los
siguientes datos expresados en Kg.
X
xi
fi
xi fi
54
2
108
59
3
177
63
4
252
64
1
64
n =10
601
x  f
i
n
i

601
 60.1 kg.
10
3) La tabla muestra la distribución de datos correspondiente al sueldo promedio, en miles de
pesos, de un grupo de empleados fiscales.
[Li-1,Li)
x’i
fi
x’i *fi
[30, 40)
35
3
105
[40, 50)
45
2
90
[50, 60]
55
5
275
10
470
X
 x'
i
fi
n

470
 47
10
Mediana Me: Será el valor de la variable que separa en dos grupos los valores de las variables,
ordenadas de menor a mayor. Por tanto es el valor que se encuentra en el centro de la
distribución.
Para los datos no tabulados
1. Se ordenan los datos de menor a mayor
2. Luego
 xn 1

2

Me   xn  xn
1
 2
2

2
si n : impar
si n : par
Para el caso de datos tabulados
Caso tabla simple:
xi
fi
x1
f1
x2
f2
:
:
xi
fi
:
:
xp
fp
n
Luego
 xn 1

2

Me   xn  xn
1
 2
2

2
si n : impar
si n : par
Esto es, si hay un número impar de valores de la variable, la mediana será justo el valor de
orden central, aquel cuya frecuencia absoluta acumulada coincida con. Es decir:
Fi 
n
 Fi 1  Me  xi . Por tanto la mediana coincide con un valor de la variable.
2
El problema está cuando haya un número par de valores de la variable. Si al calcular
n
resulta que
2
es un valor menor que una frecuencia absoluta acumulada, el valor de la mediana será aquel valor
de la variable cuya frecuencia absoluta cumpla la misma condición anterior:
Fi 
n
 Fi 1  Me  xi . Por el contrario si coincide que, para obtener la mediana realizaremos
2
el siguiente cálculo: Me 
x i  x i 1
2
Caso tabla con intervalos:
Li - Li+1
x’i
fi
x1-x2
x’1
f1
x3-x4
x’2
f2
:
:
:
xi-xi+1
x’i
fi
:
:
:
xp-xp+1
x’p
fp
En distribuciones tabuladas en intervalos, hay que determinar el intervalo mediano [Li,
Li+1), la forma de hacerlo será calcular el valor de la mitad de n, y observar que intervalo tiene una
frecuencia absoluta acumulada que cumpla.
Luego:
n
 Fi 1
Me  xi  2
  xi 1  xi 
fi
Donde:
xi : Límite inferior del intervalo donde se encuentra la Me
Fi-1: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo donde está Me
fi: Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra Me
xi+1-xi: Amplitud del intervalo donde encuentra Me
Ejemplos:
1) Dada la distribución de datos determine la mediana
3
2
3
4
5
6
1
4
5
Como son datos no tabulados debemos ordenarlos de menor a mayor
1
2
3
3
4
4
5
5
6
Luego
9
 4,5  5  Me  x5  4 pero si sólo consideramos la distribución
2
1
Luego
2
3
3
4
x  x41 3  4
8
 4  Me  4

 3,5
2
2
2
2) Para la tabla de datos determine la Mediana
xi
fi
Fi
1
3
3
2
4
7
5
9
16
7
10
26
10
7
33
13
2
35
n = 35
Aquí se encuentra el dato de posición 17,7
Lugar que ocupa
n 35

 17,5
2 2
Como se produce que, por lo tanto Me = 7
4
5
5
3) Si la distribución tuviera un tamaño de muestra par él calculo sería
xi
fi
Fi
1
3
3
2
4
7
5
9
16
7
10
26
10
6
32
n = 32
Aquí se encuentra el dato de posición 16
Lugar que ocupa = 32/2 = 16 ==>
Me 
x 1  x i 1 5  7

6
2
2
Notar que en este caso se podría haber producido que hubiera una frecuencia absoluta acumulada
superior a 16. En este caso se calcularía como en el ejemplo anterior.
Siendo: [ Li-1, Li) el intervalo que contiene a la frecuencia acumulada N/2
ai = amplitud de dicho intervalo.
4) Obtener la mediana de los valores que se muestran en la siguiente tabla de frecuencia
[ Li-1, Li)
fi
Fi
[20, 25)
100
100
[25, 30)
150
250
[30, 35)
200
450
[35, 40)
180
630
[40, 45]
41
671
N = 671
Como es una tabla con intervalos luego debemos aplicar
El criterio de. Y luego calcular
n
 Fi 1
2
Me  xi 
( xi 1  xi )
fi
n/2 = 671/2 = 335.5 ==> Fi-1 < 335,5  Fi
Luego la Me estará en el intervalo [30 - 35). Por tanto realizamos el cálculo:
n
 Fi 1
33,5  250
2
Me  xi 1 
( xi  xi 1 )  30 
* 5  32,138
fi
200
VII. Glosario
Media : promedio: x 
a  a  ..  an
1 n
ai  1 2

n i 1
n
Moda : dato que mas veces se repite
Mediana: Termino central de un listado ordenado de datos en una sola variable
Links de interés
http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html
http://www.vadenumeros.es/sociales/moda-mediana-variable-continua.htm
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/c_4.html