Ultimo Teorema de Fermat Páginas Las variables y características base. 1 − 2 Ecuaciones base.. 3 − 5 Posibilidades de que a g y Z tengan factores comunes 6 nnn Unica posibilidad de que a + g = C 7 Relación de Z , con a y g. 7 Divisores de las ecuaciones.−Factores de Z.. 8 Imposibilidad de , P = (a + g) , sea múltiplo de n. 8 Relación entre P , C , con n 9 nn Imposibilidad de , L + K + 2 Z = P 10 − 11 xn−1 n Imposibilidad de , n + L + 2 Z = P .. 12 − 15 xn−1 n n Imposibilidad de , n K + L + 2 Z = P ................................ 16 El presente estudio intenta demostrar el denominado Ultimo Teorema de Fermat . Las bases en que fundamenta , son las siguientes : nnn 1º.− Su punto de partida.− a + g = C ; a + g = P ; P − C = Z en el que a g C , son primos entre sí , a g P , también , y por otra parte , n es un número primo. 2º.− Planteamiento de 5 ecuaciones.−La conexión entre las 3 primeras, es el principal fundamento del estudio .La existencia de una desigualdad o no validez de alguna 1 de ellas , supondrá la demostración del Teorema . 3º.− Para la validez de las 5 ecuaciones, es preciso que, tanto a como g ,tengan factores comunes con Z. 4º.− Imposibilidad de que a , g tengan factores comunes con Z . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1 nnn Imposibilidad de que se cumpla la relación a + g = C En relación con los valores arriba citados , a,g,n,C se pueden dar los siguientes casos : 1º.− Que n sea número compuesto. 2º− Que n sea número primo. 3º.− Que a, g, C ,tengan divisores comunes. 4º.− Que a, g, C , sean primos entre sí . nnn Supongamos que existiese una relación a + g = C , en la que n fueses un número compuesto. La igualdad no variaría dividiendo el exponente n hasta convertirlo en número primo, y al mismo tiempo elevando los valores de a,g,C . Si n fuese una potencia de 2 ,reduciríamos los exponentes n de a y de g , a la cuarta potencia y el exponente n de C le reduciríamos a a dos. Pierre de Fermat demostró la imposibilidad de descomponer un cuadrado en dos cuartas potencias. De la misma manera , en el caso nº 3 , que a , g , C tengan divisores comu− nes , les dividiríamos por dichos divisores, hasta que a , g , C , fuesen primos entre sí. Es decir, que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista : nnn 2 a+g=C en la cual los valores a, g , C , son primos entre sí, el exponente n, es un número pri− mo. A la suma de las bases a g la llamaremos P . Naturalmente , el va− lor de C ha de ser inferior a P .− A la diferencia entre P y C la llamaremos Z. a+g=PP−C=Z Como quiera que a , g , C son primos entre sí , igualmente a , g , P lo tendrán que ser. 2 En base a lo expuesto ,plantearemos unas Ecuaciones , cuya validez es necesaria para demostrar la posibilidad de que : nnn a+g=C De la misma manera consideramos que la existencia de una desigualdad en cualquiera de las Ecuaciones , es suficiente para demostrar la imposibilidad a que hace referencia el Ultimo Teorema de Fermat. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ecuación nº 1 a + g = P P − g = a lo elevamos a la potencia n. n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n n P − n P g + ( ) P g − + .. + − ( ) P g + n P g = a + g = C Ecuación nº 2 a + g = P P − a = g lo elevamos a la potencia n n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n n P − n P a + ( ) P a − +..+ − ( ) P a + n P a = a + g = C Ecuación nº 3 C + Z = P P − Z = C lo elevamos a la potencia n: n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n 3 P − n P Z + ( ) P Z − +.. − ( ) P Z + n P Z − Z = C 3 Ecuación nª 4 Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 , n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 −n P g + ( ) P g + − − ( ) P g + n P g = n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n =−nPZ+()PZ−+.−()PZ+nPZ−Z Ecuación n º 5 Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 : n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 − n P a + ( ) P a + − . −( ) P a + n P a = n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n =−nPZ+()PZ−+.−()PZ+nPZ−Z −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− La Ecuación nº 4 ,podemos representarla como sigue : Ecuación 4 B n−1 n−2 2 2 n−3 3 3 n P (g − Z) − ( ) P (g −Z ) + ( ) P ( g − Z )...+ −.....+ 2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n + ( ) P (g − Z ) − n P ( g − Z ) = Z = K L p n t n Esto nos muestra que Z es múltiplo de P , de n y también de , ( g − Z ). −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− De la misma manera , la ecuación nº 5 , la representaremos : 4 Ecuación 5 B 4 n−1 n−2 2 2 n−3 3 3 n P (a − Z) − ( ) P ( a − Z ) + ( ) P ( a − Z ) + −.........+ 2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n +()P(a−Z)−nP(a−Z)=Z=KLnpt n Igualmente esto nos indica que Z es múltiplo de P , n y También de ( a − Z ) . Es decir que : n Z=(g−Z)(a−Z)nPY n2 Z=(ag−Z(a+g)+Z)nPY n2 Z=(ag−ZP+Z)nPY n Z=[ag−Z(P−Z)]nPY n Z =(ag−ZC)nPY (recordemos que a , g, son primos entre sí con C , y también son primos entre sí con P). Vemos con ello que a ó g , o ambas tienen divisores comunes con Z . Podíamos pensar que ( a g − ZC ) = 1 .− Teniendo en cuenta que . A+g=P=Z+C para que ( a g − Z C ) = 1 , es preciso que a = g , lo cual no es posible ,puesto que 5 a g sabemos son primos entre sí. A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más simple , nnnnnn a+g=Pa+g=Ca=C−g nnn a ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C − g n a=(C−g)XC=P−Z=a+g−Z nn a=(a+g−Z)Xa=(a−Z)X5 esto exige , que Z tenga divisores comunes con a . Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de que Z tiene que tener divisores comunes con g . Con esto creemos demostrar que para que sea posible , nnn a + g = C , es preciso que Z tenga divisores comunes con a y con g . Posibilidades de que a ó g tengan divisor(es) común(es) con Z A la vista de la ecuación nº 4 B , n−1 n−2 2 2 n P ( g − Z ) − ( ) P ( g − Z ) + ..− + 2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n +()P(g−Z)−nP(g−Z)=Z=KLnpt Supongamos que g Z tengan como divisor común K g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores : n−1 n−2 2 2 2 n−3 3 3 3 6 nPK(M−T)−()PK(M−T)+()PK(M−T)−+ 2 n−2 n−2 n−2 n−1 n−1 n−1 n n +()PK(M−T)−nPK(M−T)=KT Ahora pueden darse dos casos : 1º.− Que ( M − T ) no sea divisible por K 2º.− Que ( M − T ) sea divisible por K En el caso nº 1 , todos los sumandos de la ecuación a excepción del 2 primero, son divisibles por K , lo que indica la no validez de la ecuación. En el caso nº 2 ( M − T ) , es divisible por K , como el resto de los sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro trabajo , tra − taremos de demostrar. Conviene tener en cuenta,que al ser n primo,todos los coeficien− tes de los sumandos de todas las ecuaciones, ( ) , ( ) , ( ) , son divisibles por n .6 nnn Unica posibilidad de que a + g = C Esta se limita a : 1º .− Que Z tenga factores comunes con a y con g . 2º.− Que las relaciones sean : g − Z = K g = K . M Z = K L n p t o bien , xn−1 x x g−Z=ng=n.MZ=nLpt xn−1 n x x g−Z=nK;g=nKM;Z=nKLpt y por otra parte , la relación entre a y Z : 7 n a−Z=La=L.R Relación entre Z y a g 1º.− Los factores comunes, si son potencias, serán del mismo grado. 2º.− Consecuencia de lo anterior.− Z no puede contener todos los factores de a ni de g . 3º.− El valor de la diferencia , g − Z no podrá ser " 0 ( módulo F ) g − Z solo será " 0 ( mód. K ó (y) n ) 7 Divisores de las ecuaciones A la vista de las ecuaciones nº 1 , 2 y 3 , P − C " 0 ( módulos n , P , g , a , Z ) n Pero mientras que en las 2 primeras ecuaciones el origen de C nn es a + g ( imposibilidad que tratamos de demostrar ), en la tercera , procede de la diferencia entre P − Z . El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in− compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones con la tercera. Factores de Z El origen del valor de Z. es , K y ó n = factor(es) comun(es) con g . L = factor común con a p n = contiene siempre estos factores (ver ecuación 4 ) t = resto de valores ( valor desconocido ) 8 Z siempre es par. Todos estos factores , a excepción de n , (ya lo indicamos al iniciar el estudio) pueden ser primos o compuestos. Imposibilidad de que P = a + g ,sea múltiplo de n Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo la nº 1 ,llegamos a la conclusión de que , nn C " ( módulo P ) , así como que , P = p 8 A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 , n n n+1 C " 0 ( mód. p ) , y no " 0 ( mód. p ) nnn C = p . e ; e = valor desconocido ; C = p . e en el caso de p fuese múltiplo de n , si dividimos la ecuación por P , todos los sumandos de la ecuación serían divisibles por n , a excepción n de e . Con esto sabemos que P no contiene el valor n. Si recordamos que C = P −Z , y que Z es múltiplo de n , C tampoco es divisible por n Relación entre P C , con n Dividiendo la 3ª ecuación por P , queda : n−1 n−2 n−3 2 n−1 n n P − n P Z + ( ) P Z +.... +.. + ..+ n Z − Z / P = e podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anule la ecuación : n−1 n P " 1 ( mód. n ) , luego e " 1 ( mód. n ) 9 n n−1 e = e . e = ( 8 n j + 1 ) e ; e " 1 ( mód. n ) n 2 n−1 2 e " 1 ( mód. n ), asímismo P " 1 ( mód. n ) n2 P = p " 1 ( mód. n ) ; p " 1 ( mód. n ) Como quiera que tanto P como C son función del valor de Z , los valores citados son válidos para Z " 0 ( mód. n ) , es decir , pueden ser x no válidos para Z " 0 ( mód. n ) , para x > 1 . Más adelante veremos que es condición necesaria para que Z xx sea múltiplo de n , que este n sea el factor común con g . 9 nnn Imposibilidad de L + K + 2 Z = P = p En base a que , 2 P − Z = C ; si P " 1 ( mód. n ) , y además Z " 0 ( mód. n ) n22 obliga a que , C " 1 ( mód. n ) = n J + 1 ; J = valor desconocido −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Como sabemos, el otro valor de C , es función de los valores de a y de g , será : n n−1 g=K.M;g=K+KLnpt;M=K+Lnpt x 10 M=ns+1; n a=L.R;a=L+KLnpt;R=L+Knpt x R=nf+1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− xx KM=g=K(ns+1)=Kns+K=g xx LR=a=L(nf+1)=Lnf+L=a n x n x+1 n g = ( K n s + K ) = n K q + K ............... (1) n x n x+1 n a = ( L n f + L ) = n L w + L .............. (2) nn2 según sabemos , ( K + L ) " 1 ( mód. n ) , no" 1 ( mód. n ) nnn K+L+2KLnpt=P=p nn sumando los valores arriba reseñados (1)(2) de ( a + g ) es " 1 ( mód. n) 2n pero no" 1 ( mód . n ) . Este valor de C no coincide con el calculado n2 en función de P Z , que era de C = n J + 1 Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado. 10 11 nnxn Imposibilidad de K + L + 2 K L n p t = P = p Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusivamente x en que Z es divisible por n , en vez de solamente por n . Teniendo en cuenta que : nyx p = P " 1 ( mód. n ) .− Si 2 Z" 0 ( mód. n ) , en la que tanto x como y son mayores que la unidad , para que sea válida le ecuación tendrá que darse el caso de nnxóy que , ( K + L ) " 1 ( mód. n ) A continuación vamos a ver si es posible este caso : yd P " 1 ( mód. n ) ; ( K + L ) " 1 ( mód. n ) d K=nf−(L−1) n d+1 n K=nfH+nfL−L+1 n n d+1 2 K + L = n f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n , más la unidad. Conviene tener en cuenta , que ( L−1) nunca podrá ser múltiplo de n ,porque si así lo fuera ,sería necesario que K " 0 ( mód. n ). Lo que supondría que el factor común entre g Z , sería n. Como sabe− mos ,en este caso el factor común entre g y Z , es K. Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace 12 referencia , nnx L+K+2KLnpt=P 11 xn−1 n x n Imposibilidad de n + L + 2 n L p t = P = p A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que g sea múltiplo de n , o lo que es lo mismo , que el factor común de g y Z sea n. Considera− mos que el factor común entre a , Z , es L . x xn−1 x xn−1 x g=n.M;g−Z=n;Z=nLpt;g=n+nLpt nnx a=LR;a−Z=L;a=L+nLpt estos valores de a g , determinan la ecuación del enunciado. En la página 9 , al tratar de la relación entre P C con n , hicimos n constar que p , P , P , son " 1 ( módulo n ) . Ello obliga a que también n L " 1 ( módulo n ). Por otra parte , podemos matizar , según la ecuación nº 4 B , los valores de Z: n n n xn n Z=Lpnt xn n−1 y y dividiendo dicha ecuación por n , al ser P " 1 ( mód. n ) , nos nnny 13 indica que L p t " 1 ( mód. n ) . Según esto , los nuevos valores son : n xn+x xn x 2x−1 x Z=n+n;Z=nLpt=Fn+n Asimismo , en dicha página 9 , y con referencia a la ecuación nº 3 , indica , nnn P−Z=C;C=p.e;C=p.e; x x−1 x Si P " 1 ( mód. n ) ............ p " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. n ) n−1 x n x x+1 P " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. ) n x x−1 x Si e " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n ) x−1 x−1 x Si p " 1 ( mód. n )....... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n ) 12 x−2 x−1 teniendo en cuenta que , C = p.e , si p = ( n d + n h + 1 ) , y por x−2 x−1 otra parte , si e = n j + n q + 1 , obliga a que (h + q) = n Esto último supone que si , 2x−2 x+1 x x−1 p = n Q + n j + n d + n h + 1; d < n ; h < n n−1 2x−1 x+3 x+2 x+1 x P = n H + n j + n u + n (h−d) − n h + 1 2x−2 x+1 x x−1 e=nw+nr+ni+nq+1;i<n 14 n 2x−1 x+2 x+1 x e=ny+nS+ni+nq+1 n−1 n 2x−1 x+2 x+1 P − e = n B + n D + n ( h −d−i−1 ) n Dividiendo la ecuación nº 3 por p , n−1 n−2 n P − P n Z +.. + −.. = e n−2 y como P " 1 ( mód. n ) , n−2 2x+y x+y+1 x+y x+1 "PnZ="(nS+nJ+nF+n) Resumiendo , n−1 n n−2 x+y x+2 x+1 P " e " P n Z = n W + n D + n ( h−d−i−1−1 ) ya hemos indicado que tanto h , como d ,como i son valores menores que n . Suponiendo que ( h−d−i−1−1 ) = 0 n−1 n n−2 x+2 ( P " e " P n Z ) es solo " 0 ( módulo n ) 13 el siguiente sumando de la ecuación nº 3 es , ( ya dividido por P ) : n−3 2 y 2x+2y−2 2 2x+y−1 2x ( n(n−1)/ 2 ) P Z = (n−1)/2 ( n Q + 1 ) ( n F + 2 n + n ) n 2x+1 es decir, que este sumando es " 0 ( módulo n ) Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del enunciado. 15 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación del enun− ciado , es decir , xn−1 n 2x−1 x n n+L+2nF+2n=p=P sería : n Damos a L el valor , n 2x−1 x+2 x+1 x L = n J + n j + n d + n (h−2) + 1 x 2x−1 x Ya dijimos que Z = n L p t = n F + n . Teniendo en cuenta estos va− lores, n xn−1 2x−1 x+2 x+1 x 2x−1 x p = n + n J + n j + n d + n (h−2) + 1 + 2 n F + 2 n según esto , los valores de p , y de L , serían : 2x−2 x+1 x x−1 p=nQ+nj+nd+nh+1 2x−2 x+1 x x−1 L = n H + n j + n d + n (h−2) + 1 2x−2 x−1 y por tanto , ( p − L ) = n ( Q − H ) + 2 n ; Q − H = W 14 elevado a n : n n x−1 x−1 n p − L − n p L (p−L)S = [ n ( n w + 2 ) ] 16 n xn−n x n p=n(nf+nr+2)+L+npL(p−L)S a la vista de esta ecuación y la del enunciado , xn−n x xn−1 n ( n f + n r + 2 ) − n " 0 ( módulo p ) ( * ) pues bién , xn−n+x xn−n+1 xn−n xn−1 nf+nr+n2−n"p.B teniendo en cuenta que , 2x−2 x+1 x x−1 p=nQ+nj+nd+nh+1 y aunque demos a B los valores , xn−n xn−n+1 xn−n B = n i , para ( i < n ) , ó bien B = n i + n b , (para b <n) Queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace referencia . (*) f tiene un valor alto , toda vez que , xn−n x xn−n xn−n n xn−1 n(nf+nr+2)>nnw>n 15 xn−1 n n x n Imposibilidad de n K + L + 2 n K L p t = p = P En este caso los valores serían : x x xn−1 n g=nKM;Z=nKLpt;g−Z=nK nnx 17 a=L.R;a−Z=L;a=L+nKLpt A la vista de la ecuación nº 4 B , y siguiendo la misma operativa del apartado anterior , conocemos que, 2x−1 x Z=nF+n Otro tanto podemos decir de los valores p , L , con lo que, n xn−1 n 2x−1 x+2 x+1 x 2x−1 x p = n K + n J + n j + n d + n (h−2) + 2 n F + 2 n = P en función de los valores de p , y de L , n 2x−2 x−1 n (p−L)=[nW+2n] xn−1 n xn−1 de este desarrollo restaríamos n K , en vez de n , xn−n+x xn−n+1 xn−n xn−1 n nf+nr+n2"nK"p.B por los motivos indicados en el apartado anterior . nnn Con esto hemos demostrado la imposibilidad de a + g = C , x cuando los factores comunes de g Z , son n K , y por otra parte, el factor común entre a Z es L . 16 18