Y = x +2 - matehato

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Ciencia, Virtud y amor
Lic. Adalberto Paternina A
Matemática grado 9º
Guía # 1 :
Tema: Relaciones y funciones
Fechas:
Alumnos:
Competencias: -Con diagramas cartesianos Diferencia una relación de una función
- Determina la pendiente de una función lineal, gráfica y analíticamente
Relación: En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un
segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno
o más elementos del Recorrido o Rango
Para que exista relación se requiere un conjunto de partida un conjunto de llegada y una condición que deben cumplir
todos los elementos de la relación
Dominio: Son todo los elementos del conjunto de partida que están relacionados
Rango: Son todos los elementos del conjunto de llegada que están en la relación
En A
B Dom de F {1, 2, 3, 4,} Rango de F: {3, 5, 7, 9 }
PRODUCTO CARTESIANO: Es el conjunto de todos los pares ordenados que surgen de una relación en donde la primera
componente corresponden al conjunto de partida y las segundas componentes al conjunto de llegada.
En los casos anteriores surgen los siguientes pares ordenados
A x B= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9) }
X. Y= {( 1, d), (2, d), (3, c)}
FUNCION: Para que una relación sea función se requieren:
a.
b.
Que todos los elementos del conjunto de partida estén relacionados
Que cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el condominio ejemplos:
A
B
C
D
M
N
1
2
3
4
2
4
6
M x N = {(1, 2), (2, 6), (3, 4), (4, 6) }
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION:
Toda Función se puede representar en un plano cartesiano Tomando toda Las parejas y llevándolas al plano teniendo el
cuidado de colocar las Primeras componentes en el eje de las X y las segundas componentes en
El eje de las Y
Y = x +2
X
1
2
3
4
Y
3
5
7
9
Tabla de datos
Representación grafica
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TALLER EN CLASE # 1
Desarrollar el siguiente taller en grupo de 2 alumnos en clase, teniendo en cuenta la teoría antes vistas, pida asesoría al
docente si es necesario
1.
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el
doble de x” o “y = 2x”,
a. Construir los diagramas sagitales?
b. ¿Encontrar dominio y rango de la relación?
c. ¿Encontrar el producto de A x B?
2.
Dado : A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
a. Hallar el dominio de la relación?
3.
b. Hallar el rango de la relación?
¿Diga cuál de las siguientes parejas representa una función y cuales no y por que?
4. Representa las siguientes rectas:
A. y =
B. y = ¾
C y = 2x
D.
4 y = −¾x – 1
_ En cada una de ellas haga una tablas de valores, represéntelas en un plano cartesiano, y
diga cual es el dominio y cual es el rango
5. Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4 cm³ de agua. Forma una tabla
de valores de la función, tiempo -capacidad de agua. Representa la función y encuentra la ecuación .
Nota: Las graficas hágalas en papel cuadriculado o milimetrado, anéxeles su respectiva tabla de valores, el
nombre de la grafica y las escalas de traficación que está utilizando
Suerte
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FUNCION LINEAL
Son las funciones de la forma f(x) = mx + b donde
m es la constante de proporcionalidad, denominado
Pendiente y b es el punto de corte sobre el eje de las y.
si las graficamos siempre produce una línea recta ejemplos
y = 2x + 5
f(x)= -3x + 2, F(x)= -5x + 6
LÍNEA RECTA: Es el conjunto de puntos que se encuentran uno detrás del otro
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la inclinación de una recta respecto al eje de las X Se representa por
M. si m> 0 entonces el ángulo es positivo lo que significa que la función
es creciente y si m <0 significa que el ángulo es negativo o sea la función
es decreciente
m>0
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), en un plano cartesiano
la pendiente Queda determinada por
m
m< 0
y 2  y1
x 2  x1 para hallar el ángulo de inclinación se usa tangente (ángulo de inclinación ) = m
Ejemplos
Una línea recta pasa por los puntos (2, 5) y (-3, 2) hallar su pendiente
Solución
m
X1= 2
x2= -3 y1= 5
2−5
y2= 2 m=?
Como
−3
M= −3−2 = −5 = 0,6 luego tan ( 𝜃) = 0,6 entonces
y 2  y1
x 2  x1 - remplazando tenemos
𝜃= arcó tan 0,6= 30,9º
-DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
Por 2 puntos podemos trazar una línea recta y para hallar la distancia que separa esos 2 puntos en el plano se usa la
formula
ECUACION PUNTO PENDIENTE: Si se conoce un punto y la pendiente se puede hallar la ecuación que
representa la recta usando la formula:
Ejemplos:
1. Dados los puntos P1( 2, 5) p2(-3, 4) ¿determinar: a) la distancia entre los 2 puntos, b) la pendiente de la
recta que pasa por estos puntos, c) la ecuación de de la recta?
Solución:
Se sabe que x1= 2,
x2= -3
y1= 5,
y2= 4
remplazando tenemos d= √(−3 − 2)2 + (4 − 5)2 luego
Si
D= √25 + 1 =
𝑦 −𝑦
Si m=𝑥2 −𝑥1 remplazando m=
2
1
4−5
−3−2
−1
= −5 = 1/5 por lo tanto la ecuación nos queda
Y- y1 = m( x – x1) remplazando Y – 5 = 1/5( X – 2) luego 5y – 25 = X – 2 entonces
-X + 5y = 23
Luego la distancia entre los dos puntos es √26 la pendiente es 1/5 y la ecuación es -x + 5y = 23
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TALLER EN CLASE # 2
Resolver el siguiente taller en grupo de 2 alumnos utilizando las teorías relacionadas anterior mente, pedir
asesoría al docente si es necesario.
Materiales a utilizar:
-Reglas
-transportador
-Hojas milimetradas o cuadriculadas
-calculadoras
-Lápiz
1.
Dadas las funciones a) f(x)= 2x - 5
b) f(x)= -5x + 3
c) f(x)= 1/3 x -8 con cada uno de ellos debe
A) Llenar la siguiente tablas
X
F(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
B) Representar las tablas anteriores en un plano cartesiano usando hojas cuadriculadas o milimetrada ( que la
grafica quede lo más grande posibles en cada hoja utilizada
C) Medir cada uno de los ángulos que se forman entre las rectas y el eje de las X
D) Anotar en cada grafica las escalas utilizadas en cada hoja
2.
Dados los puntos 1) P (-5, 2) y Q (3, 4),
A)
B)
C)
D)
E)
2) M( 4.2) y N(-3 1)
3)T(2, 6) y k(2, -5)
Represente cada pareja en un plano cartesiano y trazar la recta que los une además
Hallar la distancia entre los 2 puntos en cada pareja
Hallar la pendiente de la recta que las une cada pareja
Hallar el ángulo de inclinación de las rectas con respecto al eje de las X
Hallar la ecuación de cada una de las rectas
Suerte
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de 2 x 2
Dos o más ecuaciones lineales tomadas en forma simultáneas configuran un sistema de ecuaciones lineales ejemplos
X + 2y = 5
2x + y = 3
2x + 3y + 2z = 6
x + 5y – 2z= 7
5x - 7y = 8
3x - 2y = 4
Los sistemas de ecuaciones se pueden solucionar por métodos gráficos o por métodos algebraicos
SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DE 2 X 2 POR MÉTODO GRAFICO
Para solucionar sistemas de ecuaciones de 2 x 2 por métodos gráficos se deben representar gráficamente en un mismo
plano artesiano las dos ecuaciones lineales y la solución será el punto donde se corten las 2 ecuaciones teniendo en
cuenta que se pueden presentar los siguientes casos:
1) Que se corten en un solo punto en ese caso se dice que tienen una sola solución
2) Que no se corten en ningún punto o sea que las rectas sean paralelas en ese caso se dice que no tienen solución
3) Que se corten en todos los puntos o sea que quede una recta sobre otra e ese caso se dice que tienen múltiples
soluciones
Ejemplos:
1. Dados x + y = 6
x- y = 2
x
y
-3
9
despejando nos queda
Y = 6– x
-1 0
1
7
6
5
-2
8
2
4
3
3
4
2
X
Y
-3
-5
-2
-4
Y=X-2
-1 0
1
-3 -2 -1
2
0
3
1
4
2
Podemos concluir que el sistema tiene una única solución y es cuando X = 4 y Y = 2
Ejemplo # 2
Sean -2x + y = 2
-2x + y = -3
X
Y
despejando
Tabla # 1
-2
-1
2
0
-3
-4
Y = 2x + 2
0
1
2
2
4
6
3
8
4
10
X
Y
-3
-9
Tabla # 2
-2
-1
-7
-5
0
-3
y = 2x -3
1
2
-1
1
3
3
4
5
Podemos concluir que El sistema no tiene solución
Ejemplo # 3
Dados x + y = 2
3x + 3y = 6
despejando tenemos
Tabla # 1
Y=2– x
X
Y
-1
3
-2
4
0
2
Tabla # 2
1
1
2
0
3
-1
X
Y
y=
-2
4
6 −3𝑥
3
-1
3
0
2
1
1
2
0
3
-1
TALLER # 3
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por método gráficos, trabajar en grupo de 2 estudiantes y en clase usando
papel milimetrado, reglas y lápices, pida asesoría al docente si es necesario
1) 2x - 3y = -2
X +y = 3
2) 3x + y = 5
6x + 2y = 4
3)
x + y = -1
2x + 2y = -2
4) 2x + 3y = 1
6x + 9y = 3
Recuerde que en la hoja milimetrada debe aparecer nombre de la funciones, tabla de valores, representación grafica del
sistema en un solo diagrama cartesiano por sistema, escalas, y nombre de los estudiantes participantes
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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2 (MÉTODOS ALGEBRAICOS)
Para solucionar sistemas de ecuaciones de 2 x 2 se usan también métodos algebraicos los mas conocidos son:
Método de reducción, método de determinantes, método de igualación y método de sustitución. Veamos algunos de ellos:
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Para aplicar el método de reducción debemos buscar la manera de que una de las variables tenga la misma cantidad
numérica pero con diferentes signos para ellos debemos multiplicar o dividir toda la ecuación o ecuaciones por los números
que sean necesarios luego sumamos las 2 ecuaciones eliminando una de las variables y despejamos la variable que queda
incluida, mas tarde remplazamos esa variable en las ecuaciones iníciales y encontramos el valor de la otra variable ejemplos
1.
2x + 5y = 9
3x + y = 7
Multiplicando X (1)
Multiplicando X (-5)
2x + 5y = 9
-15x + (-5y) = -35
-13 x
Remplazando el valor de x en
3x + y = 7 tenemos que
Sumando términos semejantes
= -26 despejando x nos queda que X =
−26
−13
=2
3(2) + y = 7 de donde y = 7 -6 entonces Y = 1
Lo que implica que el conjunto tiene solución en el punto (2, 1)
2.
-3x + 2y = 5
2x - 5y = 2
Multiplicando X (2)
Multiplicando X (3)
-6x + 4 y = 10
6x - 10y = 6 Sumando semejantes nos queda
------------------6y = 16 luego Y = 16/-6 simplificando Y = -8/3 remplazando
en 2x - 5y = 2 nos queda
𝟔−𝟒𝟎
−𝟑𝟔
3x – 5( -8/3) = 2 luego 3x = 2 -40/3 luego 3x =
entonces x =
entonces x= -4 el sistema tiene
𝟑
𝟗
solución en ( -4. -8/3)
SITUACIONES PROBLEMAS
Los sistemas de ecuaciones nos sirven para solucionar muchas situaciones de la vida diaria veamos por ejemplos
1.
6 boletas de cine y 5 de futbol costaron 22700 pesos y 5 boletas de cine y 4 de futbol cuestan 18800 pesos
¿Cuánto cuesta una boleta de cine y una de futbol?
Solución
Sea X lo que cuesta una boleta cine
Sea Y lo que cuesta una boleta de futbol
Interpretando la situación problema tenemos
6X + 5Y = 22700
5y + 4Y = 18800
Multiplicando X (-4)
Multiplicando X ( 5)
-24 X + (-20 Y) = -90 800
25 X + 20 Y = 94 000
1X
= 3 200
X = 3 200 sustituyendo en las ecuaciones iníciales tenemos
Sumando términos semejantes
6X + 5Y = 22700 remplazando el valor de X tenemos 6(3 200) + 5Y = 22 700 luego 19 200 + 5Y = 22 700
entonces 5y = 22 700 – 19 200 entonces y =
3 500
5
entonces Y = 700
Luego las boletas de cine valen 3 200 pesos y las boletas de futbol valen 700 pesos
2.
Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella ¿qué edad tiene cada
uno?
Solución
Sea X la edad actual del hombre y sea Y la edad actual de la esposa
X=Y+7
X - 10 = 2(Y -!0)
X -y =7
X - 10 = 2Y - 20
X - Y = 7 Mult (-1)
X - 2Y =- 10 Mult (1)
-1X + Y = -7
1 X -2y = -10
-y = -17
Y = 17 lo que implica que la esposa tiene 17 años y el padre tiene
X = Y + 7 o sea X = 17 + 7 entonces X=24 lo que implica que el esposo tiene 24 años
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TALLER # 4
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Use el método de Reducción. trabajar en
clase en grupo de 2 estudiantes pida asesoría al docente donde sea necesario
a)
c)
x  y  15
x y5
3x  2 y  12
5x  3 y  1
e) 3x + 2y = 5
-2x -5y = -7
b)
d)
x y 9
2x  y  6
6 y  3 x  10
4 x  3 y  6
f) 7x – 2y = 1
2x -5y
=0
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Resuelva las siguientes situaciones problemas teniendo el cuidado de identificar cada una de las
variables y aplique el método de reducción
2.
La suma de dos números es 15 y su diferencia es 1. ¿Cuáles son esos números?
3. Si
1
1
1
de un número se suma a
de otro, el resultado es 9. Si se resta
del segundo a los
4
3
2
5
del primero, el resultado es 1. Encuentro ambos números.
6
4. Si se suma 3 al numerador y 5 al denominador de una fracción, su valor resulta ser
se resta 2 tanto al numerador como al denominador, se obtiene
4
. Si
5
5
. Encuentre la fracción.
6
5. Un hombre tiene 6 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella.
¿Cuántos años tiene él?
6. Un curso planea ir a la piscina como paseo de fin de año. Los precios son de $ 1.500 para
los varones y $ 1.000 para las damas. El valor total de las entradas vendidas fue de $
50.000 y se vendieron 45 entradas. ¿Cuántos varones fueron a la piscina?
7. Carlos sacó un cierto número de fotocopias por $ 240. Se da cuenta que en otro lugar
podría haber sacado tres fotocopias más por el mismo dinero y que cada fotocopia le habría
costado $ 4 menos. ¿Cuántas fotocopias sacó? ¿Cuál es el costo de cada fotocopia?
Bibliografía
Matemática 9º Universal, Autor Israel Berrio, editorial Bedout
www.portaleso.com/portaleso/trabajos/matematicas/.../sistemas_sol.do
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MÉTODO DE IGUALACIÓN
Para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 por método de igualación se deben seguir los siguientes
pasos:
1. Reducir las operaciones indicas despejando una misma variable en las dos ecuaciones
2. Igualar los resultados existentes que contengan una misma variable
3. Hacer las operaciones necesarias hasta despejar la variable involucrada
4. Remplazar el valor de la variable hallada en cualquiera de las ecuaciones iníciales y hacer los despejes para
encontrar el valor de la otra variable Ejemplos
Ejemplo # 1: Hallar el conjunto solución de
x+y=7
3x – 2y= 1
Solución
En 1) y = 7-x
en 2) y=
𝟑𝒙−𝟏
𝟐
igualando nos queda
𝟕−𝒙
𝟏
=
𝟑𝒙−𝟏
𝟐
resolviendo
14 - 2x = 3x – 1
14 + 1 = 3x + 2x
15 = 5x
𝟏𝟓
X = entonces X = 3 remplazando en x + y = 7 tenemos que 3 + y = 7 de donde y = 4 luego el conjunto solución es
𝟓
(3,4)
Ejemplo # 2 Hallar el conjunto solución de 2x -3y = 1
-2x + y =-3
Despejando X en ambas ecuaciones tenemos
X=
1 +3𝑦
2
𝑦+3
en 2) X =
2
igualando tenemos que
1 +3𝑦
2
=
𝑦+3
2
despejando 2 + 6y = 2y + 6 operando términos
semejantes 6y -2y = 6 -2
4y = 4
Y= 1 sustituyendo en la inicial 2x -3y = 1 el valor de y tenemos 2x -3(1)= 1
Luego x = 4/2 entonces X = 2 entonces el conjunto solución es (1, 2)
TALLER # 5
1.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando método de igualación, se debe trabajar en
grupo de estudiantes en clase y con la asesoría del docente si es necesario
2x  3y  5
3x  y  4
b) 
x  y  1
3x  5y  4
e) 
a) 
d) 
2.
3x  y  6
x  2 y  2
c) 
3x  4 y  8
2x  3y  11
x  2y  5
3x  y  6
f) 
x  3y  8
2x  4y  4
Resolver las siguientes situaciones problemas usando método de igualación
3. a Luisa tiene 225 ptas. en monedas de duro y de diez pesetas. Si tiene 29 monedas en total, ¿Cuántas
tiene de cada clase?.
4. En un avión hay 192 personas entre hombres y mujeres. El número de mujeres son los 3/5 del de los
hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?.
5. Entre la bolsa A y la B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas de la bolsa B a la A, el número de
bolas de la bolsa A es tres veces el número de bolas de la B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?.
6. La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a la cuarta parte del menor.
¿Cuáles son esos números?.
7. Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas. Sabiendo que tiene 80
habitaciones y 270 camas, ¿Cuántas habitaciones hay de cada clase?
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Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y se representa siempre entre
corchetes o entre dobles barras ejemplos:
2 3 2 matriz de 2 x 3
5 4 -1 2 filas x 3 columnas
5 -2 -4 -5 matriz de 3 x 3
4 0 0 2
3 4 0 2
2 1 3 4 0 3 1 matriz de
o 2 3 1 2 1 2 7x2
MATRIZ CUADRADA: Una matriz se dice que cuadrada cuando posee igual número de filas que de columnas
 3  3 5 
1

5

3
2

 Matriz de 3 filas y 3 columnas
 0  1 7 
matriz de 2 filas y 2 columnas
DETERMINANTES
El valor numérico de una matriz cuadrada de de 2 x 2 se llama determinante.
Para hallar el determinante de una matriz se busca el producto de los términos de la matriz principal y se le
resta el producto de los términos de la matriz secundaria ejemplo:
Diagonal secundaria
Diagonal principal
Solución
A = (2 x1) - ( 1 x (-1) ) = 2 – (-1) = 3
Hallar el determinante de:
A)
2
4
5
3
b) 3 -4
5 -2
c)
-5
-3
2
4
d)
-2
7
-8
4
e)
0
-2
5
4
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2 X 2 USANDO DETERMINANTES
Hemos vistos que los sistemas de ecuaciones de 2 x2 se pueden solucionar usando métodos graficos, de igualación , de
reducción ahora utilizaremos determinante para solucionar dichos sistema veamos un ejemplo
Dados 2x + 3y = 7
5x + 1y = 11 un sistema de ecuaciones de 2 x2 paras solucionarlos debemos crear 3 matrices así
1) Una matriz básica formada por los 4 coeficientes numéricos que acompañan a las letras
2
3
∆=
5
1
2) Una matriz con respecto a X: Formada por los 2 coeficientes independientes
y los 2 coeficientes de las Y o sea que no entran los coeficientes de las x
∆X=
7
11
3
1
3) Una matriz con respecto a Y: Formado por los 2 coeficientes de las X y los 2
Términos independientes o sea que no entran los 2 coeficientes de las Y
∆Y = 2
5
Para hallar el valor de X se divide la matriz respecto a X entre la matriz básica así:
𝟕 𝟑
(𝟕 𝒙 𝟏)−(𝟏𝟏 𝒙 𝟑)
𝟕 − 𝟑𝟑
−𝟐𝟔
𝟏𝟏 𝟏
X=
=
=
=
= 2
𝟐 𝟑
(𝟐 𝒙 𝟏)− (𝟓 𝒙 𝟑)
𝟐−𝟏𝟓
−𝟏𝟑
∆
𝟓 𝟏
Para hallar el valor de Y se divide determinante respecto a Y entre determinante básico
∆𝐗
=
7
11
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𝟐 𝟕
(𝟐 𝒙 𝟏𝟏)− (𝟓 𝒙 𝟕)
∆𝒚
Y =
= 𝟓𝟐 𝟏𝟏
= (𝟐
𝟑
𝛁
𝒙 𝟏)− (𝟓 𝒙 𝟑)
𝟓 𝟏
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=
𝟐𝟐−𝟑𝟓
𝟐−𝟏𝟓
=1
Luego el sistema tiene solución cuando x = 2 y cuando Y = 1
Taller # 6
En grupo de 2 personas y en clase realizar el siguiente taller.
1.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de determinantes
2.
Resuelva los siguientes problemas usando método de determinantes:
a. Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 €; tres barras de pan
y cuatro litros de leche cuestan 4,7 €. ¿Cuánto vale una barra de pan?
¿Cuánto cuesta un litro de leche?
b. La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte
del otro es 6. ¿De qué números se trata?
c. El perímetro de un rectángulo es de 20 cm, y su área, de 21 cm2. ¿Cuáles son
sus dimensiones?
d. . Si acortamos en 2 cm la base de un rectángulo y en 1 cm su altura, el área
disminuye en 13 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que
su perímetro es de 24 cm.
e.
A la suma de las cifras de un número es 6. Cuando las cifras se intercambian, el número resultante es 6
veces la cifra de las decenas del número original. Hallar el número.
f.
La suma de los dígitos de un número es 9. Sí las cifras se invierten, el número resultante equivale a tres veces el
número original disminuido en 9. Hallar el número original.
g.
Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es dos y el residuo 23, y si 3 veces el menor se
divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo 9.Hallar el número.