1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural DISEÑO

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
DISEÑO VELOZ DE MARCOS
Armando Flores Victoria
1
RESUMEN
Se describe un método de diseño sencillo, práctico, eficiente y rápido de trabes y columnas óptimas o
mínimas de marcos con sus trabes de cimentación. Se establecen los desplazamientos máximos admisibles y
se ilustra como confirmar de inmediato el diseño. Esto permite minimizar los costos de los edificios.
ABSTRACT
An easy, práctical, efficient and fast regular frames design method for lateral loads is stated, and optimal or
minimal beams and columns are obtained including foundation beams. Allowable displacements are
satisfied and design verification is showed immediately. This allows to obtain minimal costs for buildings.
INTRODUCCIÓN
En edificios regulares de varios entrepisos y claros, se igualan o limitan en todos los niveles, sin exceder, sus
desplazamientos horizontales prefijados ante las cargas dominantes de sismo o de viento. Se ilustra como
confirmar de inmediato la respuesta de la estructura con Kani Veloz. Este método de diseño es manual y
rápido con ventajas para estudiar opciones, facilitando proponer y obtener relaciones aceptables entre trabes
y columnas, lo que permite identificar secciones que minimicen costos.
RIGIDEZ Y DESPLAZAMIENTO LATERAL
En el método de Kani (Kani, 1968), la rigidez de un entrepiso es
ij
V
V
6·EI
R = ─── = - ────── ( ¦ ────── )
ij δ
ΣΜ
h²
(1)
de nivel i al j consecutivos, con Σ indica suma. En una columna:
EI
δ
M” = - 6·( ──── ) ───
ij
h
h
(2)
y la suma Σ en la ec. 1 es en todas las columnas del entrepiso, V es el cortante total en él, y δ su
desplazamiento lateral relativo. El valor de EI es el de la columna y h su longitud.
1
Dr., M.I., Ing.Civil, Ave. R.Honduras 225 Col.Cuauhtémoc sur Mexicali, Baja Cal. CP 21200, tel (686) 568
31 58
Universidad Autónoma de Baja California UABC., Colegio I. C. de Mexicali, ITT: Posgrado,
Tijuana, B.C. [email protected], [email protected] .
1
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
SIMPLIFICACIÓN
En marcos regulares elásticos, con sólo carga lateral, conviene usar el "Principio de los Múltiples" de E.
Lightfoot, (Horne y Merchant, 1965 ), que supone giren lo mismo todos los nudos de un nivel dado,
logrando operar con un marco simplificado de 2 columnas con igual carga horizontal, como en la fig. 1, donde
se tiene un marco de "m" niveles con "n" entrepisos, en cada nivel “i” se aplica una carga lateral Fi y en
ese nivel se tiene una rigidez representativa de sus trabes dada por la suma:
Ti= Σ EI/L
(3)
con i=0 correspondiendo a las trabes de cimentación y cada L es la longitud de trabe en el marco original,
con esto, en el marco simplificado ya no se necesita la separación entre columnas; mientras que en cada
entrepiso "i" de altura ahi se tienen las rigideces de columnas, denominadas Ci, y dadas por:
Ci= ½ ⋅ Σ EI/h
(4)
donde conviene hacer notar que Ci se obtiene con la mitad de la suma de EI/h de las columnas de ese
entrepiso.
Fn ───>
Tn┐
...
....
F3 ───>
Cn
F2 ───>
C3
F1 ───>
C2
Cn
hn
T2┐
C3
h3
T1┐
C2
h2
C1
T0┐
C1
--- ╘════════════════╛--░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░ suelo
h1
Figura. 1 Marco simplificado
ECUACIONES ESPECIALES DE KANI VELOZ (FLORES, 1986)
En la fig. 1 se identifican los valores de Cj, Ci y Ti que son las propiedades de columnas y trabe,
respectivamente, y que concurren al nudo i, definiéndose los factores (Apéndice “A” ) :
Ci
Ui = ──────────────
Cj + Ci + 6· Ti
┐
│
├─>
Cj
Uj = ──────────────
Cj + Ci + 6·Ti
T
6·Ti
Ui = ½·( ────────────── )
Cj + Ci + 6·Ti
(5)
│
┘
(6)
que poseen la propiedad especial de:
T
Ui + Uj + 2·Ui = 1
(7)
2
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donde todos los términos son positivos. En las expresiones anteriores, la "i" se emplea para indicar la trabe
del nivel y a la columna inmediata inferior, mientras que "j" es la columna arriba del nudo. Lo previo
implica que sólo se opera y maneja un medio marco que posee una sola columna, dada la igualdad de giro en
los extremos de trabes de ese nivel. Además, para cada nudo se tiene:
Vi·hi
Vj·hj
½( Σ Vh )i = ───── + ──────
2
2
(8)
siendo "i" y "j" dos entrepisos consecutivos de abajo hacia arriba, donde "i" indica abajo con su
correspondiente Vi·hi/2 de entrepiso y el "j" es del entrepiso de arriba, con su Vj·hj/2. El factor ½ proviene
de tratar con un marco simplificado de una columna.
FÓRMULA DE RECURRENCIA
Análogamente al tradicional método de Kani, se tiene ahora:
┌
┐
M' = U ·│ ½( ΣVh )i + M' + M' │
ij
ij └
ji
ki ┘
(9)
donde “j” y “k” son los nudos del extremo lejano de las columnas concurrentes al nudo "i" y además se usa ½(
ΣVh)i de la ec. 8. En especial, se cumple en la ec. 9, con "i" arriba y "j" abajo:
M'ij
M'ij
θi = ────────── = ────────
2·(EI/h)
2·Ci
( 10 )
siendo θi la rotación representativa de nudos del nivel i.
DESPLAZAMIENTOS Y RIGIDECES LINEALES
El momento M"ij de la ec. 2 se puede obtener con:
┌ Vi·hi
┐
M" = - ½·│──── + 3·( M' + M' ) │
ij
└ 2
ij
ji ┘
( 11 )
y el desplazamiento resulta de la misma ec. 2:
δ
M"ij
M"ij
─── = - ─────── = - ─────────
h
6·(EI/h)i
6·Ci
( 12 )
y la ec. 1 da la rigidez lateral del entrepiso para el estado de carga lateral considerado.
3
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
MOMENTOS FINALES
El momento final del extremo de cada trabe del marco de la fig. 1 se obtiene con la ec. 13.
T┌
Mii =
┐
Uii·│ ½·( Σ Vh )i + M'ji + M'ki │= 6·Ti·θi
└
┘
( 13 )
mientras que en los extremos de las columnas resulta:
Vi·hi
Mij = - ½·( ───── - M'ij + M'ji )
2
( 14 )
y las ecuaciones anteriores, que son parte del Kani Veloz, son útiles en verificar al instante los resultados del
DISEÑO VELOZ.
DISEÑO VELOZ
El principio de los Múltiples lleva a un marco de "n" incógnitas de desplazamiento y "n+1" de giros de nudos;
en total da "2·n+1" al incluir rotación de nudos de la cimentación, y es la misma cantidad de n columnas y
n+1 trabes por proponer o diseñar. Al fijar los desplazamientos máximos de entrepisos, admisibles por el
Reglamento local y, si también se proponen los giros máximos aceptables de los nudos, se lograrán obtener
las piezas mínimas que los admiten, al tener como incógnitas las dimensiones de las piezas en el sistema de
ecuaciones. La solución no es única para los desplazamientos especificados. El sistema de ecuaciones es
lineal en términos de Ti de trabes y de Ci de columnas, pero las longitudes Li de trabes y hi de columnas
participan en forma no lineal. Esto permite proponer, entre otras, una relación entre trabes y columnas con
las siguientes condiciones:
1. En cargas laterales de diseño, los nudos consecutivos de un entrepiso pueden cumplir ø=δ/h fija; que es
igual a que los nudos de un eje vertical se desplacen en recta inclinada.
2. Los giros θ de los nudos serán iguales. Corolario: Conviene que:
Ø
2/9
G = ─── > 1 + ────────────
θ
( 1 + Ck/Cj)
( 15 )
para ser Estructura Tipo I y no posea trabes muy esbeltas ya que el Reglamento establece Tipo I si Rn=
½·Tj/Cj > 1/9 (un noveno). Con lo anterior las Ci resultan de (Apéndice "A"):
Ci= ½·(Vi·hi)/[12·( Ø - θ )]
( 16 )
y luego, eso conduce a
Ti= ( Cj + Ci )·( G - 1 )
( 17 )
que se verifica total y rápidamente en un ciclo de Kani Veloz.
4
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
EJEMPLO DE DISEÑO VELOZ
En la fig. 2 está un marco de ejemplo de cuatro entrepisos con 2 columnas y toda trabe se considera de una
longitud Ls tal que en marcos de claros con trabes de sección constante resulta:
1
1
─── = Σ ────
Ls
Li
F
Ton
17.9───>
13½───>
9 ───>
4½───>
┌──────────┐
│
│
├──────────┤
│
│
├──────────┤
│
│
├──────────┤
│
│
╘══════════╛
( 18 )
h
M
H=Σh
m
W
Ton
W·H
t-m
┬
3.2
┼
3.4
┼
3.6
┼
4.0
┴
14.2
19.9
282.58
11.0
22.03
242.33
7.6
21.22
161.272
4.0
20.183
Suma Σ
83.333
80.732
V basal=
766.914
V
ton
Vh/2
t-m
17.9
28.7
31.4
53.465
40.4
72.810
44.9
89.9
Cs= .54
▓▓╠——▓ Le ▓——╣▓▓
Figura 2. Tabla 1, alturas h y estimación de cargas F en Marco
cuando las trabes son de igual EI. En la fig. 2 están los datos del marco de ejemplo con la obtención de sus
cargas laterales a partir de los pesos W de los niveles y considerando el Método Estático del Reglamento
con un coeficiente Cs= .54 sin reducir por la ductilidad Q, donde la estimación de las fuerzas se hace en
proporción a una distribución de aceleraciones lineal con la altura en donde el 5 porciento de la carga se
adiciona en la azotea, que da un cortante basal de V= Cs·ΣW, donde, excepto la azotea, en cada nivel
Fi=.95·Cs·ΣW·Wi·Hi/(Σ[W·H] y en la azotea se suma al menos .05·Cs·ΣW. Aquí no se considera la ductilidad
Q porque gobiernan desplazamientos, las F se indican en la fig. 2. Con eso se construye la Tabla 2, donde
hay un renglón por cada nivel y tres renglones consecutivos en cada entrepiso, ellos van numerados desde
abajo hacia arriba en la columna 1. Luego, en la columna 2 se están las fuerzas laterales totales F, sin reducir,
en cada nivel del edificio y a medio entrepiso va la distancia h entre niveles consecutivos, la columna 3 se
forma con ½F en cada nivel, luego, en cada entrepiso V/2 es la suma, descendiendo, de ½·F. En la columna
4 va V·h/2 de cada entrepiso al multiplicar V/2 por el h en la columna 1 y luego la suma de los entrepisos
adyacentes ½·ΣVh va en cada nivel; estos valores son ejemplos en otras publicaciones, ( Flores, 1986 y 1987
). En la columna 5 se proponen Ø = 0.006 iguales con θ = 0.0048 en la forma mil· Ø = 6.00 mil· θ = 4.80 que
cumplen con G= 1.25 en la ec. 15, y con la ec. 1 resulta la rigidez de cada entrepiso que va en la columna 6.
En la columna 7, la obtención de Ci se hace con la ec. 16, y con ello las Ti salen de la ec.17, así, en especial,
para el segundo entrepiso, Ci de la ec. 16 resulta 72.81/[12·(0.0060-0.00480)]= 5056.25, la del tercero da el
valor 53.46/[12·(0.0060-0.00480)] = 3712.85 y el cuarto da 1994.4, mientras que el primero es con 6243.05
tom/cm. Luego con la ec. 17 resultan las propiedades de las trabes: para el nivel 1 da Ti= 11299·(G-1)= 2825
con G= 1.25 usado, y así sucesivamente, a su vez de inmediato se puede hacer la comprobación, que con las
ecs. 5 de Kani Veloz, se quedan los factores U en la columna 8 de la tabla y luego, sin iterar se obtienen las
columnas 9 y 10 con las ecs 10 y 11 y la columna 11 con la ec. 14, que en este método los momentos en
extremos de la columna dan -½·V·h/2. Los valores de los momentos en las trabes son Mjj= 6·Tj· θ de la ec.
13 donde θ es dato y dan Mjj= Σ ½·V·h/2.
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Acapulco, Gro., 2004
El DISEÑO VELOZ obtenido en columna 7 cumple con la condición de estructura Tipo I, dado que las
½·Ti/Ci superan 1/9. así, en el entrepiso 1 da 2.04/9=½·2824/6243, el 2 da 1.95/9, el 3: 1.73/9.
Con las T y C obtenidas el Kani Veloz confirma θ y Ø sin iterar. El efecto de la carga vertical se le suma a
todo lo anterior. Al método se le puede adicionar el aproximado efecto P-delta o esbeltez aumentando V·h
usado en cada entrepiso, desde R de P=0, que es el efecto de Inestabilidad ( Horne y Merchant, 1965 ). La
estructura de ejemplo tiende ser a mal condicionada al tener las trabes no muy robustas al especificarse G=
1.25, el que se puede aumentar; por ejemplo a G= 2.50 en la Tabla 3, las R no cambian.
CONCLUSIONES
Este método de diseño es directo y sin iterar, el comportamiento de la solución se mejora con trabes mas
robustas, que aumentan con G de la ec. 15. El Kani Veloz queda de un ciclo y con el se confirma el DISEñO
VELOZ. Esto permite optimizar la solución al revisár de inmediato toda propuesta con Kani Veloz, ya que él
si difiere con el de Kani en que no usa los mismos factores ni sus fórmulas, es iterativo en M' y sus resultados
son útiles en Kani normal, principalmente los valores de M'' o δ, los cuales, se pueden usar para considerar
el efecto P-delta y no se usan en los ciclos normales, que se refleja en las Tablas 2 y 3. Además, en las
primeras 9 columnas de toda Tabla, cada valor es positivo. En lo que corresponde al diseño óptimo se
presenta una ruta práctica que facilita minimizar la función objetivo de los costos o peso de las piezas de la
estructura, trabes y columnas.
Los métodos son rápidos de hacer a mano, son fáciles de enseñar, son sencillos de aprender, no es
indispensable programarlos en computadora y si se hace las soluciones son instantáneas.
Tabla2. N.=Nivel, E.=Entrepiso, con G= 1.25, mil θ = 4.8, mil Ø = 6
1
N
E
N4
2
F
h
17.9
3
½·F
V/2
8.97
4
½··ΣVh
Vh/2
28.72
5
mil·θ
mil·Ø
4.8
4E
3.2
8.97
28.72
6.0
N3
13.5
6.75
82.18
4.8
3E
3.4
15.72
53.46
6.0
N2
9..0
4.50
126.27
4.8
2E
3.6
20.22
72.81
6.0
N1
4.5
2.25
162.71
4.8
1E
4.0
22.47
89.90
6.0
N0
N:
E:
o
ton
m
o
t-m
89.9
t-m
4.8
1/mil
6
R
9.349
7
T
C
498.61
8
9
U
M’
0.400
19.147
0.140
19.147
0.260
35.643
0.169
35.643
0.231
48.540
0.179
48.540
0.221
59.933
0.400
59.933
1994.44
10
(Verificación)
(M’’)
(-71.80)
-14.360
41.092
-26.732
1426.82
15.417
3712.85
(-133.66)
-26.732
63.137
-36.405
2192.27
18.727
5056.25
(-1182.02)
-36.405
81.355
-44.950
2824.83
18.729
ton/cm
6243.05
1560.76
t-m
11
Mtr
Mcol
14.360
-14.360
(-224.75)
t-m
(t-m)
-44.950
44.950
t-m
Tabla 2. Iteraciones en DISEÑO VELOZ, G= 1.25
6
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Tabla 3 con G= 2.5
1
N
E
N4
2
F
H
17.9
3
½·F
V/2
8.97
4
½··ΣVh
Vh/2
28.72
5
mil·θ
mil·Ø
2.4
4E
3.2
8.97
28.72
6.0
N3
13.5
6.75
82.18
2.4
3E
3.4
15.72
53.46
6.0
N2
9..0
4.50
126.27
2.4
2E
3.6
20.22
72.81
6.0
N1
4.5
2.25
162.71
2.4
1E
4.0
22.47
89.90
6.0
6
R
9.349
7
T
C
997.22
8
9
U
M’
0.100
3.191
0.035
3.191
0.065
5.941
0.42
5.941
0.058
8.090
0.045
8.090
0.058
9.989
0.100
9.989
664.81
10
(Verificación)
(M’’)
(-23.93)
-14.360
41.092
-26.732
2853.64
15.417
1237.62
(-44.55)
-26.732
63.137
-36.405
4384.55
18.727
1685.42
(-60.67)
-36.405
81.355
-44.950
5649.65
18.729
2081.02
N0
o
o
89.9
2.4
3121.53
N: ton
t-m
t-m
1/mil ton/cm
t-m
E:
m
Tabla 3. DISEÑO VELOZ con G= Ø / θ = 2.5 y su verificación
11
Mtr
Mcol
14.360
-14.360
(-34.47)
t-m
(t-m)
-44.950
44.950
t-m
REFERENCIAS
1. Flores A. (1986), "Kani Veloz", Método simplificado de análisis de marcos ante cargas laterales. V
Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. 30 de abril a 3 de mayo, Veracruz Ver. pp B1-01 a B1-10
2. Flores A. (1987), "Los falsos modos superiores de vibración", VII Congreso Nacional de Ingeniería
Sísmica. Queretaro, Queretaro, 19 a 21 de noviembre. pp 185-192
3. Horne M.R., y Merchant W. (1965), The Stability of Frames Pergamon Press., 179 pp
4. Kani G. (1968), "Cálculo de pórticos de varios Pisos" Editorial Reverté, S. A., 95 pp
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Acapulco, Gro., 2004
APÉNDICE A. DEDUCCIÓN DE ECUACIONES
Las siguientes ecuaciones son exactas en marco de dos columnas y las primeras, hasta la (e), son del tipo
pendiente-deformación, de nudos i, j, k consecutivos en los entrepisos j y k de la fig. A. Los θi, θj y θk son
giros de esos nudos y además Øj= δj/hj con Øk= δk/hk corresponden a cada entrepiso, siendo δj y δk los
desplazamientos relativos de i a j y de j a k, respectivamente.
Entrepiso ║ Nivel
╫ θk ╠═════ k
k

║Ck
Øk  hk ║
Tj
╫ θj ╠═════ j
j

║Cj
Øj  hj ║
╫ θi ╠═════ i
i

║
Figura A. Eje de columna.
Los momentos finales en las piezas que
llegan al nudo j son:
Mjk= 4·Ck·θj + 2·Ck·θk - 6·Ck·Øk
(a)
Mji= 4·Cj·θj + 2·Cj·θi - 6·Cj¨Øj
(b)
Mjj= 6·Tj·θj
(c)
Mientras que las fuerzas cortantes en columnas j y k cumplen:
Vk·hk/2= -6·Ck·[ θj + θk ] + 12·Ck·Øk
(d)
Vj·hj/2= -6·Cj·[ θi + θj ] + 12·Cj·Øj
(e)
despejando Øk y Øj y sustituyéndolas en (a) y (b) se tiene
Mjk= Ck·θ
θj - Ck·θ
θ k - Vk·hk/4
(f)
Mji= Cj·θj - Cj·θi - Vj·hj/4
(g)
y como todo nudo debe cumplir equilibrio de momentos en la forma
Mjk + Mji + Mjj = o
(h)
y la carga vertical se superpone luego. De (c), (f) y (g) en (h)
[ Ck+ Cj+ 6·Tj ]· θj- Ck·θ
θ k- Cj·θ
θi- Vk·hk/4- Vj·hj/4= o
(i)
y despejando θj de (i)
θj= ½[ 2·Ck·θk+ 2·Cj·θi+ ½·(Vk·hk+ Vj·hj) ]/(Ck+Cj+6·Tj)
(j)
con la notación de Kani de
M'ji= 2·Cj·θj y M'jk=2·Ck·θj
da:
M'jk= Ck/[Ck+Cj+6·Tj]·[½·(Vj·hj+Vk·hk)+ M'kj + M'ij ]
(k)
(l)
que permite definir el factor de distribución de Kani Veloz
Ujk= Ck/[Ck+Cj+6·Tj]
( m)
al ser i,j,k consecutivos y con las ecs. 5, 6 y 8 resulta la 9.
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Lo previo siempre da un edificio estable y al optimizarlo se admite, que con carga lateral, todo entrepiso
adquiera su ·Ø=δ/h igual al máximo del Reglamento. En viento Ø máx= .002 al no dañar elementos adosados
no estructurales ligados o Ø de .004 en otros casos. En sismo y según el tipo de suelo, el valor de Ømáx es de
.006, .007. y .008 en suelo tipo I=bueno, tipo II= regulas y tipo III= malo o blando, respectivamente, y aquí se
agrega, además del Principio de los Múltiples, que todo nudo gire lo mismo:
θ = θi = θj = θk
(n)
12·Tj·θ= ½·(Vj·hj + Vk·hk)
(o)
hace que la ecuación (i) tome la forma
que define un apropiado valor mínimo Tj de trabe en el nivel j. Además de mismo θ de ( n ) y con igual Ø en
todo entrepiso
Ø =Øi=Øj
(p)
para el nudo de Tj, con ( o ) y ( p ), la ecuación ( d ) da
12· Ck·( Ø - θ )= ½·Vk·hk
(q)
con esta condición ( q ) con indices j y k en la ( o ), resulta
Tj· θ = ( Cj + Ck )·( Ø - θ )
(r)
Como el Reglamento de Construcciones, Requisitos Estructurales define estructura Tipo I si Rn= ½·Tj/Cj
> 1/9 ( un noveno), y Tipo II cuando Rn < 1/9; por lo que para ser del Tipo I se debe de cumplir:
Ø
2
─── > 1 + ─────────────
θ
9 • ( 1 + Ck/Cj )
(s)
y exige Ø / θ > 10/9, aún con columnas consecutivas iguales
9