Volumenes.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Grado 11
Taller # 5
Nivel II
TALLER # 5. VOLÚMENES
RESEÑA HISTORICA
Los Egipcios en geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y
trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de
un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14). Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y
de los egipcios. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista
Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates
de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares
son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la
cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante
conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo
(construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos,
mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo,
hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver
utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados
sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del
conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de
polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la
teoría elemental de áreas y volúmenes.
ELEMENTOS TEO6cms RICOS
Volumen: es la extensión del espacio ocupado por un sólido o limitado por una superficie cerrada.
Geometría del espacio, rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas
en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el
cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la
geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la
geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en
ciencias naturales.
Para la geometría los cuerpos tienen formas definibles e indefinibles
SON DEFINIBLES
1.
2.
Los poliedros: son cuerpos limitados por superficies planas.
1.1. Prisma: es un poliedro comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos, y cuyos conos laterales
con paralelogramos.
1.2. Paralelepípedo: es un prisma cuyas bases son paralelogramos.
1.3. Pirámide: es un poliedro limitado por la superficie de un ángulo sólido y un plano que corta a todas
sus aristas.
Cuerpos redondos: llamados también sólidos de revolución.
2.1. Cilindro: es el sólido generado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de un rectángulo
alrededor de uno de sus lados
2.2. Cono: es el sólido generado por la revolución completa de un triangulo rectángulo alrededor de uno de
sus catetos.
2.3. Esfera: es un sólido limitado por una superficie cuyos puntos equidistan de otro interior llamado
centro.
Lo anterior se puede resumir en el siguiente esquema.
1
F: formas de los cuerpos
D: Definibles
I: Indefinibles
P: Poliedro
Q: Prisma
S: Paralelepípedo
T: Pirámide
R: Redondos
C: Cilindro
E: Esfera
K: Cono
o: Otros
Formulas para calcular algunos volúmenes:
•
•
•
•
•
Prisma: V = B × h
1
Pirámide: V = × B × h
3
Cilindro: V = π × R 2 × h
1
Cono: V = × π × R 2 × h
3
4
1
Esfera: V = π × R 3 = × D 3
3
6
PALABRAS CLAVES: Arista, cara, vértice, apotema, ángulo diedro, paralelepípedo, cubo, cono, pirámide,
esfera, cilindro, sólido oblicuo, sólido truncado, poliedro, tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
2
EJERCICIOS CON ILUSTRACIÓN
1-.Cuál es la profundidad de una piscina
5-.Si el volumen anterior lo fuésemos a
cuyo piso rectangular es de 7m de ancho
llenar con cubitos de 1,5 cms de arista,
por 20m
cabria exactamente:
y cuyo contenido de agua pesa
280 toneladas?
A. 6
A. 1 m
B.12
B. 1,5m
x x
C. 24
C. 2 m
7
D. 48
D. 2,5m
1,5
20
6-.Un cilindro y un cono tienen igual base e
2-.En el problema anterior: si fuésemos a
igual altura, entonces del volumen del cono
verter el contenido de la piscina llena en
puede decirse que:
un tanque cilíndrico de 10 m de diámetro;
A. Es la mitad del volumen del cilindro.
hasta que altura llegaría el nivel del agua?
B. Es igual al volumen del cilindro.
A. 0,356 m
C. Es 1/3 parte del volumen del cilindro.
B. 3,5 6 m
D. Es el doble del volumen del cilindro.
C. 35,6 m
D. 356
m
7-.Se vende café en dos tipos de recipientes
h
cilíndricos: el más alto tiene el doble de
altura que el otro, pero su diámetro es la
3-.Cuántas bolas de cristal de 1,5 cm de
mitad del diámetro del más bajo. El más
radio caben exactamente en una caja de 162
alto cuesta $ 8.000 y el más bajo $12.000.
centímetros cúbicos?
¿Cuál es más económico?
A. 3
A. El más bajo.
B. 6
B. El más alto.
C. 9
C. Cuestan igual.
D. 12
D. Faltan datos.
8-.Con una cartulina de 12 cms de ancho
4-.En el problema anterior, para que quepan
por 22 cms de largo, pretendo hacer una
exactamente
bolas
caja sin tapa. Para ello recorto cuadrados
encontrado; las dimensiones de caja deben
de 2 cms de lado en sus en cuatro extremos.
ser:
La caja así armada tiene un volumen de:
el
número
de
2
A. 2cmX9cmx9cm
B. 3cmx6cmx9cm
A. 264 cms cúbicos,
C. 2cmx3cmx27cm
B. 288 cms cúbicos.
C. 400 cms cúbicos.
D. 3cmsx6cmx6cm
D. 528 cms cúbicos.
3
2
22
9-.Al introducir un trozo de metal de 20
14-.Cuál es la longitud máxima que puede
cms de largo por 10 cms de ancho, en un
tener una barra de acero contenida en una
tanque rectangular en parte lleno de agua, el
caja cúbica de 12
nivel del agua aumenta en 2,5 cms. ¿Cuál
cms de arista?
es el volumen del trozo de metal?
A. 20,76 cms
A. 450 cms cúbicos.
B. 17,32 cms
B. 550 cms cúbicos.
C. 13,84 cms
C. 250 cms cúbicos.
D. 8, 63 cms
D. 500 cms cúbicos.
15-.En un cubo lleno de agua se introduce
10-.Con una lámina rectangular de 10 cms
una pirámide de igual base que el cubo y
de largo y 6 cms de ancho, se quiere hacer
cuyo vértice llega al mismo nivel del agua.
un cilindro. ¿Cuál el mayor radio de la base
¿Qué porción de agua ha quedado en el
que se puede lograr sin cortar la lámina?
cubo después de introducida la pirámide?
A. 2,5 cms
A. ¼
B. 1,59 cms
B. ¾
C. 1,66 cms
C. 1/3
D. 2 cms
D. 2/3
11-.calcular el
volumen de la figura
compuesta, sabiendo que la parte superior
16-.El volumen contenido en un cilindro
es un semiesfera, la central un cilindro y la
circular recto de radio r y altura h, equivale
inferior un cono.
al volumen de tres conos rectos de igual
r =2cms
radio y altura que la del cilindro.
A. 72,25 cms cúbicos.
B. 24,08 cms cúbicos.
6cms
C. 0,409 cms cúbicos.
r =2cms
D. 9,424 cms cúbicos.
A. Depende del líquido.
B. No siempre.
.
C. Siempre.
3cms
D. Nunca.
12. Un cono de radio 3 cms , se cortado
17-. Una esfera de radio R = 1 cm está
horizontalmente a 4 cms de la base donde el
inscrita dentro de un cilindro. ¿Cuál es el
radio del circulo es 2 cms.
volumen del cilindro?
¿Cuál es el
volumen del tronco de cono así formado?
A. 25,3 π
A. 3/2π
π cms cúbicos.
B. 24 π
B. 2π
π cms. Cúbicos.
4
C. 12 π
D. 23,5 π
C. 4/3π
π cms cúbicos.
D.2/3π
π cms cúbicos
R= 3
4
19-. En el problema anterior, el espacio
puerta de 2m de alto por 1 m de ancho, y
disponible dentro del cilindro es igual a:
una ventana de 1,5 m de alto por 3 m de
A. 2π
π cms cúbicos.
ancho. Si cada rollo de papel mide 4 m de
B. 4/3π
π cms cúbicos.
largo por 1 m
C. 2/3π
π cms cúbicos.
número x de rollos que se necesitarán es tal
D. 3/2π
π cms cúbicos
que.
de ancho; entonces el
A. 10 < X < 11
20-. Se desea empapelar
una
B. 11 < X < 12
pieza
(ortoedro) de 4 m de largo, 3 m de ancho,
C. 8 < X < 9
por 2 m de alto. La habitación tiene una
D. 24 < X < 35
EJERCICIOS SIN ILUSTRACIÓN.
1.
•
A.
B.
C.
D.
E.
2.
3.
Se tienen, un tetraedro de 6 cm. de arista y una
esfera inscrita en el.
Hallar la relación entre el volumen de la esfera
y el volumen del tetraedro
32 π
2
2π
32
6π
1
π
6
5π
18
Un recipiente cilíndrico de 30 cm. de diámetro
se llena con agua. A continuación se sumerge
en el una roca, provocando que se derrame algo
de agua. Cuando se saca la roca el nivel del
agua en el cilindro descendió 25 cm. ¿Cuál es
el volumen de la Roca?
A. 17671.459 cm3
B. 2356.1945 cm3
C. 14062.500 cm3
D. 16771.459 cm3
E. 18761.0302 cm3
Una bola metálica hueca y de forma esférica
tiene un diámetro interior de 11cm y su espesor
es de ½ cm. Hallar el volumen del metal en la
bola
A. 207.869 cm3
B. 180.450 cm3
C. 218.415 cm3
D. 209.208 cm3
E. 190.005 cm3
5
4.
Una pieza de fundición, una vez colocada se
contrae el 1% en sus dimensiones al enfriarse
hasta 20ºC, es decir que, 100mm de longitud se
reducen al 99. ¿Cuántos cm3 se contraerá la
pieza, por decímetro cúbico?
A. 29.701 cm3
B. 31.003 cm3
C. 21.413 cm3
D. 30.508 cm3
E. 27.400 cm3
5.
Que profundidad de corriente de agua
corresponderá a un caudal de 1200 litros por
segundo, en un cauce de 1.20m de ancho, si la
velocidad de aquella es de 2.20 m/seg.
A. 0.455 m
B. 0.545 m
C. 0.305 m
D. 1.105 m
E. 0.256 m
6.
Un cubo tiene tantos
Calcular su arista.
A. 0.6 m
B. 1.8 m
C. 0.3 m
D. 0.9 m
E. 0.36 m
7.
a un tanque rectangular de 180m de largo por
80m de ancho afluye el agua por una tubería de
40cm de diámetro, con velocidad de 4.50m por
segundo. Calcular el tiempo que se necesitara
para elevar el nivel del tanque 5cm.
A. 21.22 minutos
B. 40.00 minutos
C. 12.11 minutos
D. 18.21 minutos
E. 22.21 minutos
dm3
de volumen.
8.
Calcular la longitud de alambre de acero que
contiene un mazo de 23Kg, si el hilo mide
0.6mm de diámetro.
Asuma un peso especifico del material 7.85gr
por cm3 .
A. 1036.3 m
B. 1563.36 m
C. 3016.3 m
D. 1200 m
E. 1330.06 m
esferas tienen 20cm y 12.5cm de radio y que la
distancia entre los centros es de 25cm. Calcular
la distancia de cada uno de los centros al plano
del círculo de intersección, y el radio de este
último.
A. 17.375cm; 9.906cm y 7.625cm
B. 15.316cm; 7.001cm y 5.256cm
C. 16.106; 8.205cm y 6.125cm
D. 12.400cm; 4.200cm y 2.222cm
E. 14.123cm; 8.312cm y 5.436cm
9.
Un cubo de 6m de arista y una pirámide regular
con base cuadrada de 6m x 6m, tienen
volúmenes iguales. Calcular la altura de la
apotema y la arista de la pirámide.
A. 18m;
18.248m
y
18.493m;
respectivamente
12.12m
y
14.08m;
B. 15.35m,
respectivamente
C. 12.12m,
14.08m
y
15.32m;
respectivamente.
D. 18.493m;
12.12m
y
18.248m;
respectivamente.
14.08m
y
15.32m;
E. 12.12m;
respectivamente.
13. Dos esferas de 15 y 20 cm. de radio
respectivamente, tienen entre sus centros una
distancia de 25cm. Determinar el volumen de
la porción común a las dos esferas.
A. 2408.56 cm3
B. 1849.48 cm3
C. 2560.19 cm3
D. 2310.45 cm3
E. 2400.01 cm3
14. Se tiene un cartón cuya forma es la de un
triangulo equilátero de 24cm de lado, se pliega
en sus tres ángulos para obtener un tetraedro
regular. Hallar el volumen de este tetraedro.
A. 108 33cm3
10. Un cilindro recto de 6m de diámetro y 6m de
altura tiene igual volumen que un cono recto de
6m de diámetro. Calcular la altura y la
generatriz del cono.
A. 18m y 18.248m, respectivamente.
B. 12.60m y 12.00m, respectivamente
C. 12.60 y 18, respectivamente
D. 16.02m y 18.60m respectivamente.
E. 18.124m y 18.124m, respectivamente
B. 100 11cm3
C. 108 3cm3
D. 108cm3
E. 115 33cm3
15. En una figura (que usted debe dibujar), una
esfera esta inscrita en un cono circular recto;
AB es el diámetro de la base y C es el vértice
del cono. El triangulo ABC es equilátero.
Determinar el volumen del cono en términos de
R (el radio de la esfera)
11. En un cono recto de 20cm de base y 30cm de
altura, se hace un taladro axial de 5cm de
diámetro que llega hasta el vértice. Deduzca el
volumen de la parte sobrante.
A. 2650.715 cm3
B. 1325.751 cm3
C. 2006.56 cm3
D. 2560.715 cm3
E. 1865.058 cm3
A. 4 R 3 3(144 R 2 − 1)
B. 4 R 3 11(4 R − 1)
C. 4 R 3 5(14 R 2 − 1)
D. 3R 3 3(144 R 2 − 1)
12. Cuando dos esferas se cortan, el círculo de
intersección se halla en un plano perpendicular
a la línea de los centros. Suponga que dichas
E. 5 R 3 3(144 R 2 − 1)
6
7
8