Pág. 1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LA ADMINISTRACIÓN.

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LA
ADMINISTRACIÓN.
1.- Una compañía ha descubierto que el ingreso total es una función del precio fijado a
su producto. En concreto, la función del ingreso total es
R = -20p² + 1960p
Donde p es el precio en dólares.
a) Determine el precio p que produce el máximo ingreso total.
b) Cuál es el valor máximo del ingreso total.
Rta: 1) $ 49 2) $ 48020
2.- La función de demanda del producto de una firma es
q = 300000 – 75 p
Donde q representa el numero de unidades demandadas y p indica el precio en dólares.
a) Determine el precio que deberá cobrarse para maximizar el ingreso total.
b) Cuál es el valor máximo del ingreso total.
c) Cuántas unidades se espera que se demanden
Rta: a ) $2000 b) $ 300 000 000 c ) 150 000 Unidades
3.- La utilidad anual de una compañía depende del número de unidades producidas.
Específicamente , la función que describe la relación existente entre la utilidad U (
expresada en dólares ) y el número de unidades producidas q es
U = - 0.12 q² + 6000 q – 25000000
a) Determine el número de unidades q que producirá, la utilidad máxima
b) Cuál es la utilidad máxima esperada.
Rta: a ) 25 000 Unidades b ) $ 50 000 000
4.- Una comunidad, situada en una zona vacacional, está tratando de escoger una tarifa
de estacionamiento que fijará a la playa del pueblo. En la zona hay otras playas, y todas
ellas compiten por atraer bañistas. El municipio ha optado por la siguiente función que
expresa el número promedio de automóviles por día q en términos de la tarifa de
estacionamiento p expresada en centavos.
q = 10000 – 20 p
a) Determinar la tarifa que debería cargarse para maximizar los ingresos diarios de
la playa.
b) Cuál se espera que sea el máximo ingreso diario de la playa
c) Cuántos automóviles se esperan en un día promedio
Rta: a ) $ 250 b ) $ 2 495 000
c ) 5000 autos
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5.- Una compañía estima que la demanda d su producto fluctúa con su precio. La
función de la demanda es
q = 180000 – 250 p
Donde q es el número de unidades demandadas y p el precio en dólares. El costo total
de producir q unidades se estima con la función
C = 350000 + 300 q + 0.001 q ²
a) Determine cuántas unidades q deberían producirse con objeto de maximizar la
utilidad anual.
b) Que precio debería fijarse
c) Cuál se espera que sea la utilidad anual
Rta: a ) 42000 unidades b ) $ 552
c ) $ 8470000
6.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son
C(q) = 50000 + 20 q + 0.0001 q ²
R(q) = 60 q – 0.004 q ²
a) Determine el nivel de producción que maximice las utilidades
b) Cuál es la utilidad máxima
c) Cuál es el ingreso máximo
Rta: a ) 4878 unidades b ) $ 47561 c ) $ 225 000
7.- Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares de colección.
Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los
paneles dependerá del precio al que se venden. La función de su demanda ha sido
estimada así:
q = 100000 – 200 p
Donde q es el número de unidades demandadas al año y p el precio en dólares. Los
estudiantes de ingeniería indican que el costo total de la producción de q panales está
representado por la función.
C = 150000 + 100 q + 0.003 q ²
a) Cuál es el nivel de producción que maximice la utilidad
b) Cuál es el precio que maximiza el ingreso
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Rta: a ) 3 125 Unidades b ) $ 250
8.- Las autoridades de tránsito de una gran área metropolitana han aprobado la
estructura de tarifas que rige el sistema de autobuses públicos de la ciudad. Se abandonó
la estructura de tarifas por zona en la cual la tarifa depende del número de zonas por las
cuales cruza el pasajero. El nuevo sistema tiene tarifas fijas: el pasajero puede viajar por
el mismo precio entre dos puntos cualesquiera de la ciudad.
Las autoridades de tránsito han encuestado a los ciudadanos a fin de determinar el
número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa fija admitiera
diferentes importes. Basándose en los resultados de la encuesta, los analistas de
sistemas han determinado una función aproximada de la demanda, la cual expresa el
número diario de pasajeros en función de la tarifa. En concreto, la función de demanda
es.
q = 10000 – 125 p
Donde q representa el número de pasajeros por día y p la tarifa en centavos.
a ) Determine la tarifa que se cobraría con objeto de maximizar el ingreso diario
por la tarifa de los autobuses
b) Cuál es el ingreso máximo esperado
c) Cuántos pasajeros por día se esperan con esta tarifa
Rta: a ) p = 40 ctvos b) 200000 ctvos ó $ 2000 c ) 5000 pasajeros por día
9.- Una firma vende cada unidad de un producto en $ 400. La función de costo que
describe el costo total C en términos del número de unidades producidas y vendidas q
es
C = 250 + 40 q + 0.25 q ²
a) Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la utilidad
total
b) Cuál es el ingreso total en este nivel de producción
c) Cual es el costo total en este nivel de producción
Rta: a ) 720 Unidades b) $ 288 000 c ) $ 158 650
10.- Un agente viajero está organizando una excursión en avión a un conocido lugar
vacacional. Ha cotizado un precio de $500 por persona si 100 o más se inscriben en el
vuelo. Por cada persona que rebase esa cifra, el precio que se cobrará a todas disminuirá
$5. Por ejemplo, si 101 personas se inscriben, cada una pagará $ 495. Sea q el número
de personas después de 100.
a) Que valor de q aumentará al máximo el de R
b) Cuál es el valor máximo de R
c) Que precio por boleto produce el máximo R
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Rta: a ) 100 personas b) $ 50 000 c ) $ 500
11.- El fabricante de un producto perecedero ofrece un incentivo salarial a los
conductores de sus camiones de carga. Una entrega normal tarda un promedio de 20
horas. A los conductores se les paga una tarifa de $10 por hora hasta un máximo de 20
horas. Si el viaje tarda más de 20 horas, los conductores reciben una remuneración de
apenas 20 horas. Se les da un incentivo por hacer el viaje en menos de 20 horas. Por
cada hora de ahorro, el sueldo por hora aumenta $1
a) Determine la función w = f ( x ) cuando w es igual al sueldo por hora en dólares
y x indica el número de horas requeridas para realizar el viaje.
b) Que tiempo de viaje x maximizará el sueldo del conductor por viaje
c) Cuál es el sueldo por hora relacionado con este tiempo de viaje
d) Cuál es el sueldo máximo
e) Que relación guarda este salario con el recibido por un viaje de 20 horas
Rta: a ) w = 10 ; w = 10 + 1( 20 – x ) b) 15 horas c) $ 15 d ) $ 225 e ) El sueldo de $
225 por un viaje de 15 horas es $ 25 más que el que se paga por un tiempo de viaje de
20 horas o más.
12.- La función de demanda para el fabricante de un producto es p = 1200 – 3 q , donde
p es el precio en dólares por unidad cuando se demandan q unidades por semana.
Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y
determine este ingreso.
Rta: 200 Unidades $ 239 400
13.- La función de demanda para una línea de reglas de plástico de una compañía de
artículos de oficina es q = ( 0.9 – P ) / 0.0004 , donde p es el precio en dólares por
unidad cuando los consumidores demandan q unidades diarias. Encuentre el nivel de
producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
Rta: 1125 Reglas $ 1 012,05
14.- La función de demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p –
2400 + 6 q = 0 , donde p es el precio en dólares por unidad cuando se demandan q
unidades por semana. Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total
del fabricante y determine este ingreso.
Rta: 200 Unidades $ 478 800
15.- Una compañía de teléfonos hala que obtienen una ganancia líquida de 15 dólares
por aparato si la central tienen 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados
dicha ganancia por aparato instalado disminuye 1 centavo por cada abonado que
sobrepasa ese número. Cuantos abonados darían la máxima ganancia líquida.
Rta: 1250 abonados