Topología Algebraica - Universidad del Valle

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TOPOLOGÍA ALGEBRÁICA
Por Roberto Ruiz-S
Capítulo 1 Categorías y Funtores
Capítulo 2 Básicos de Álgebra
Capítulo 3 Categorías admisibles para homología
Capítulo 4 Suspensión
Capítulo 5 Triplas
Capítulo 6 Homología singular
Cambio de coeficientes: Coeficientes Homotópicos
file:///C|/Document/DEPARTO/PAGINASWEB/RRuiz/TopologiaAlgebraica.htm04/11/2006 11:08:20 a.m.
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
1
Capı́tulo 1
CATEGORÍAS Y FUNTORES
Eilemberg, Steenrod, MacLane, Ereshmann, entre otros matemáticos, concretaron la necesidad de ligar bien los objetos con los cuales trabajaban, si se
querı́a facilitar el mecanismo de ayudarse de una “una disciplina matemática”
para solucionar problemas de otra. En aquel entonces se tomaba asistencia
algebraica para responder preguntas en topologı́a. Las “disciplinas” se concretaron en el concepto de “categorı́as”.
Se puede demostrar que si se “coleccionan”, todos los conjuntos lo que resulta no es un conjunto. Las colecciones con cardinal mayor o igual que la
colección de todos los conjuntos las llamamos “clases propias” y las que no
son clases “pequeñas” o conjuntos. Las “pequeñas” y “las propias” serán llamadas “clases”. Si una clase A está contenida en B y B es pequeña, entonces
A es pequeña. Si A es propia B es propia. Si A y B son pequeñas, entonces
todas las funciones de A en B forman una clase pequeña. Si B es propia,
las funciones de A en B forman una clase propia, excepto cuando A es vacı́a.
1.1 Ejercicio: Bajo qué condiciones la clase de las funciones de A en B
(denotado
B A ) con B pequeño y A propia, es propia? Bajo qué condiciones
Q
Bi∈I con Bi pequeña e I propia, es propia?
1.2 Definición: Una categorı́a C consta de dos clases: ObjC, llamada de
los “objetos de C” y MorC llamada de los “morfismos de C” y una función
Hom : ObjC × ObjC −→ P(M orC) (P denota a “partes”) tal que:
Cat 1: Hom(A, B) es pequeña
Cat 2: Hom(A, B) ∩ Hom(C, D) 6= φ → A = C y B = D
Cat 3: M orC = ∪Hom(A, B) donde A, B recorren todo ObjC
Cat 4: Para cada tripla A, B, C de objetos de C existe una función Hom(A, B)×
Hom(B, C) → Hom(A, C) (denotado (α, β) 7→ (β o α)) tal que
a) Si α ∈ Hom(A, B), β ∈ Hom(B, C) y r ∈ Hom(C, D) entonces
r ◦ (β ◦ α) = (r ◦ β) ◦ α
b) Para cada objeto A, existe α ∈ Hom(A, A) tal que para cada β
composible con α, a derecha α ◦ β = β y si es componible a la
izquierda β ◦ α = β 2
2
Topologı́a Algebraica
Note que el α de Cat 4, b) es único (demuestrelo). Se denota 1A . En adelante
si α ∈ Hom(A, B) escribiremos α : A → B y llamaremos a A el “dominio” de
α. Para Hom(A, B) también se usa la notación HomC (A, B) o sólo C(A, B).
1.3 Proposición: si C es una categorı́a entonces también lo es C o (C a
la o) dada ası́ ObjC o = ObjC y HomC o (A, B) = HomC(B, A). La composición está dada por (α, β) 7→ α ◦ β, donde “o” es el compuesto de
C, α ∈ HomC o (A, B) y β ∈ HomC o (B, C)2
Dualidad
En adelante si un concepto está presente en una categorı́a, digamos “p”,
el mismo concepto en la categorı́a opuesta se denota Cop. Por tanto si
α : A → B en C entonces B es el codominio de α. Denotaremos domα, codα
el dominio y codominio de α respectivamente. Por tanto α : domα → codα.
Note que Cop se llama “el concepto dual de p”. A toda afirmación sobre una
categorı́a le corresponde una sobre su opuesta que se llama “la afirmación
dual”. Una afirmación y su dual son lógicamente equivalentes.
Para ilustrar un objeto S de una categorı́a se llama una suma de A y B si
i) existen α : A → S y β : A → S en M orC y ii) si existen α1 : A → T y
β1 : B → T en M orC entonces existe un único H : S → T en M orC tal que
los siguientes diagramas conmutan
H
S −→ T
α - % α1
A
H
S −→ T
β - % β1
B
Si el dual de “suma” (cosuma) se conoce como “producto” entonces un
producto de A y B es un objeto P de C tal que: i) existen α : P → A
y β : P → B en M orC y ii) si existen α1 : T → A y β1 : T → B en
M orC, entonces existe un único H : T → P tal que los siguientes diagramas
conmutan
H
T −→ P
α & . α1
A
H
T −→ P
β & . β1
B
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
3
Isomorfı́a
1.4 Definición: si α ◦ β = 1domβ (denotado α ◦ β = 1) entonces α se dice
una “sección” y β una retracción. De hecho β se dice una “retracción compañera” de α y α una “sección compañera” de la retracción β2
Una vez que α está dotada de la propiedad de sección entonces las posibilidades de secciones compañeras de α se restringen totalmente:
1.5 Proposición: Si α ◦ β = 1 y γ ◦ α = 1 entonces β = γ.
Demostración: note que α ◦ β = 1domβ y γ ◦ α = 1domα y entonces
domα = codβ, codα = domβ, codα = codγ. Por tanto domβ = domγ y
codβ = codγ. Ahora α ◦ β = 1 → γ ◦ (αoβ) = γ ◦ 1 por tanto (γ ◦ α) ◦ β = γ.
Ası́ pues 1 ◦ β = γ o sea β = γ2
1.6 Definición: En una categorı́a C,
a) Si α es una sección-retracción, entonces se dice un “isomorfismo”.
b) Si α es un isomorfismo al único isomorfismo compañero se le denota
α−1 y se llama el “isomorfismo inverso” de α.
c) Si A, B son objetos de C y existe α : A → B un isomorfismo, entonces
se dice que “A es isomorfo a B” y se denota A ∼
=B oα:A∼
= B.
d) La relación ∼
= de c) se llama la relación de “isomorfı́a” de C.
Las categorı́as con las cuales trataremos son:
Conj: Los objetos son los conjuntos, los morfismos son las funciones y la
composición es la composición corriente de funciones.
Ab: Los objetos son los grupos abelianos, los morfismos son los homomorfismos y la composición es la composición de funciones.
Top: Los objetos son los espacios topológicos los morfismos son las funciones
continuas y la composición es la composición de funciones.
Cad: Los objetos son sucesiones fn : An → An−1 de homomorfismos de
grupos abelianos tales que fn ◦ fn+1 = 0. Si a una cadena se le da el nombre genérico A entonces la notación es ∂An : An → An−1 o simplemente
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Topologı́a Algebraica
∂ : An → An−1 . Si A y B son cadenas un morfismo ϕ : A → B es una
suceción ϕn : An → Bn tal que ϕn ◦ ∂An+1 = ∂Bn+1 ◦ ϕn+1 o como se dice
normalmente, el siguiente diagrama conmuta
∂An+1
An+1 −→ An
ϕn+1 ↓
↓ ϕn
∂Bn+1
Bn+1 −→ Bn
α
La notación C → D que hemos usado es equivalente a α : C → D. En
cambio de Cad también usaremos Ch (por “chains” en inglés).
MorC : Dada una categorı́a C sus morfismos mismos forman una categorı́a
ası́: si α : A → B y β : C → D son morfismos entonces f : α → β es un
par de morfismos fd : A → C y fcd : B → D tales que el siguiente diagrama
conmuta
α
A −→ B
fd ↓
↓ fcd
β
C −→ D
Es decir fcd ◦ α = β ◦ fd . Se toma como composición f ◦ g = (fd , fcd ) ◦
(gd , gcd ) = (fd ◦ gd , fcd ◦ gcd ).
1.7 Ejercicio:
1.
Muestre que Conj, Ab, T op, Cad, M orC son categorı́as.
2.
Explique formalmente que es:
a) Una cooperación sobre un conjunto.
b) Una cocadena de grupos abelianos.
Funtores
Naturalmente uno puede esperar que las categorı́as mismas puedan ser consideradas como objetos de una categorı́a. Si tal fuera el caso cuales serı́an
los morfismos? Se llaman funtores (“functors” en inglés).
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
5
1.8 Definición:
i) Sean C y D categorı́as. Un funtor covariante F : C → D es una bifunción ObjC → ObjD, M orC → M orD tal que
F1) Si α : A → B está en C, entonces F (α) : F (A) → F (B).
F2) Para α, β componibles en C, F (α ◦ β) = F (α) ◦ F (β).
F3) Para cada objeto A de C, F (1A ) = 1F (A) .
ii) Un funtor contrariante es una bifunción F : C → D, como antes, pero
tal que
Fc1) Si α : A → B está en C, entonces F (α) : F (B) → F (A).
Fc2) Para α, β componibles en C, F (α ◦ β) = F (β) ◦ F (α).
Fc3) F (1A ) = 1F (A)
2
Cuando se hable simplemente de “funtor” se entenderá “funtor covariante”.
Las funciones ObjC → ObjD y M orC → M orD que constituyen el funtor F
se llaman las funciones “subyacentes” de F .
1.9 Proposición: si F : C → D y G : D → E son funtores entonces:
i) La composición de las funciones subyacentes determinan un nuevo funtor C → E.
ii) Si se denota G o F al funtor de i) entonces:
a) Si F, G tienen la misma varianza, G ◦ F es covariante.
b) Si F, G tienen diferente varianza, G ◦ F es contravariante
2
Hay naturalmente funtores cuya existencia es obvia, por ejemplo 1C : C → C.
d
Ası́ mismo si D es un objeto de D entonces existe C → D el funtor “constante
op
d
y de valor d”, C → D y finalmente C → C o . Determı́nelos con precisión y
asegúrese de que son funtores.
Los ejemplos más simples de funtores son aquellos que “olvidan” estructura.
Por ejmplo, cada grupo es un semigrupo y esto determina un funtor de la
categorı́a de los grupos en la de los semigrupos. Ası́ mismo un grupo es
6
Topologı́a Algebraica
un conjunto con una operación y unas propiedades. Se puede sistemáticamente tomar el conjunto con la operación únicamente (es decir olvidar las
propiedades), o bien olvidar todo, exepto el conjunto.
1.10 Ejercicio:
1) Construya 5 funtores de olvido con dominio la categorı́a de los espacios
topológicos
2) Construya un funtor no trivial Conj → T op
3) Sea A un espacio topológico. Para cada conjunto X seleccione una
función fX : X → A. Determine si existe un funtor F : Conj → T op
tal que F (X) = (X, TX ) deja continua a fx . Si existe decida si puede
escogerlo óptimo en el mismo sentido de las topologı́as iniciales y
finales 2
No es extraño que se consideren los funtores como objetos y se trate de
completar con ellos una categorı́a. Habiendo sido considerados como morfismos ya hay una manera de hacerlo usando la estructura del tipo M orA.
Sin embargo, al menos en topologı́a algebraica, los más útiles son los más
simples en el sentido de que tanto el dominio como el codominio del funtor se
mantienen constantes. Esto tiene importancia porque juega el mismo papel
estructural que la existencia del conjunto AB .
Transformaciones Naturales
Por lo general cuando se hable de algo “natural” se piensa de ello como
que “ası́ deberı́a ser”. En matemáticas tiene otro sentido: es algo ası́ como
mantener las relaciones sociales.
1.11 Definición:
1) Sean F, G : A → B funtores covariantes. Una transformación natural
λ : F → G es una familia λA : F (A) → G(A), con A ∈ objA tal que
si α : A1 → A2 es un morfismo de A, entonces el siguiente diagrama
conmuta
λA
1
F (A1 ) −→
G(A1 )
F (α) ↓
↓ G(α)
λA
2
F (A2 ) −→
G(A2 )
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
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es decir que G(α) ◦ λA1 = λA2 ◦ F (α)
2) Si cada λA es un isomorfismo entonces λ se llama un “isomorfismo
natural”
3) Un funtor F : A → B se dice una “equivalencia de categorı́as” si existe
G : B → A e isomorfismos naturales F ◦ G → 1B y G ◦ F → 1A . Se
denota A ∼
=B 2
Note que
1.12 Proposición: La relación ∼
= entre categorı́as es una relación de equivalencia. Demostración: Ejercicio obligatorio que debe entregarse por escrito.
Trabajo personal 2
1.13 Proposición: Para dos categorı́as A y B cualesquiera se tiene una
categorı́a si se toman como objetos los funtores covariantes F : A → B,
como morfismos F → G las transformaciones naturales y como composición
de λ : F → G y η : G → H ó (η ◦ λ)A = ηA ◦ λA
Demostración: Ejercicio 2
Note la categorı́a de 1.13 se denota B A o bien AB
Damos ahora ejemplos variados de los conceptos precedentes que nos permitirán familiarizarnos con los casos particulares que se usan en Topologı́a
Algebráica.
Los números naturales tienen un orden ≤ y esto hace que tenga una estructura de categorı́a Ñ:
φ
si n > m
Obj Ñ = N y Hom(n, m) =
(n, m) si n ≤ m
Dicho formalmente M orN = ≤. Ası́ pues un funtor F : Ñ → A esta constituido por una sucesión An∈N de objetos de A y para n ≤ m un morfismo
αn,m : An → Am de modo que el diagrama siguiente conmuta
αn,m
An −→ Am
αn,r & ↓ αm,r
Ar
Se acostumbra a denotar este funtor por
αn,n+1
A0 → A1 → ... → An −→ An+1 → ....
y mas aun no hay posibilidad de error si se escribe βn en cambio de αn,n+1
y se tiene algo del tipo
8
Topologı́a Algebraica
βn
A0 → A1 → ... → An −→ An+1 → ....
Naturalmente βn+1 ◦ βn = βn,n+2 .
Suponga que A y B son categorı́as. Denotamos A ⊆ B si ObjA ⊆ ObjB,
HomA (A1 , A2 ) ⊆ HomB (A1 , A2 ) para todo par de objetos A1 , A2 de A y si
α y β son morfismos componibles de A entonces α ◦ β en A = α ◦ β en B.
αn+1
Entonces Cad es la subcateforı́a de Ño Ab con objetos ...An+1 −→ An →
... → A0 tales que αn ◦ αn+1 = 0 y todas las transformaciones naturales
entre ellos que en este caso son del tipo λ : A → B. Por ser transformaciones
naturales deben cumplir que el siguiente diagrama conmuta
λn+1
An+1 −→ Bn+1
αn+1 ↓
↓ βn+1
λn
An −→ Bn
Considere ahora la categorı́a T op. Sea I = [0, 1] si X es un espacio entonces X × I, se llama el “cilı́ndro” de X. El “cilı́ndro” constituye un funtor
covariante
C : T op → T op
Dado por C(X) = X × I y si f : X → Y es continua entonces C(f ) :
0 : X → X × I, dada por
X × I → Y × I es la función f × 1I . Por otro lado EX
0
0
EX (x) = (x, 0), es una transformación natural E : 1T op → C. Igualmente lo
1 : X → X × I, E 1 (x) = (x, 1).
es E 1 : 1T op → C dada por EX
X
Finalmente la proyección π1 : X × I → X, (x, t) 7→ x constituye una transformación natural denotada s : C → 1T op .
Las transformaciones s, E 0 , E 1 cumplen además que tanto s◦E 0 como s◦E 1 ,
son la transformación natural idéntica 1T op → 1T op .
En terminologı́a “geométrica” el cilı́ndro de X es el diagrama conmutativo
(red)
X
1
E0 ↓ &
s
X ◦ I −→ X
E 1 ↑ %1
X
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
9
Note cómo ahı́ se muestran las transformaciones naturales. La tripla η =
(C, E 0 , E 1 , s) se conoces como “el sistema homotópico corriente” de los espacios topológicos.
1.14 Ejercicio: reconstruya el sistema homotópico corriente de los espacios
topológicos. Para eso, en la información que se le dió, usted debe distinguir
explı́citamente definiciones de proposiciones (teoremas) y demostrar estas
últimas. Ası́ mismo debe agregar ejemplos que ayuden a clarificar conceptos
y clasificar los sı́mbolos que allı́ aparecen.
Sistemas Homotópicos
1.15 Definición:
1.
Sea A una categorı́a. Un sistema homotópico sobre A (a izquierda) es
una cuadrupla η = (C, d0 , d1 , s) en donde C : A → A es un funtor
covariante di : 1A → C y s : C → 1A son transformaciones naturales
tales que s ◦ di es la transformación natural indéntica de 1A .
2.
En η = (C, d0 , d1 , s) C se llama “el cilı́ndro” de η y d0 , d1 las “tapas”
inferior y superior del cilı́ndro 2
Gráficamente el cilı́ndro de un objeto A de A está dado ası́:
y d0A es pues la inclusión de A en el cilı́ndro en la parte inferior y d1A en la
parte superior. En esta forma se indica que hay un paso de una cara (que es
A esencialmente) en la otra sin dañar las caracterı́sticas geométricas (topos).
Note además que si A es un objeto de A, entonces hay un diagrama conmutativo asociado a A a saber
A
1
↓ &A
sA
C(A) −→
A
d1A ↑ %1A
A
d0A
10
Topologı́a Algebraica
y si α : A → B es un morfismo de A entonces el siguiente diagrama (la “red
de α” por η) conmuta
α
A
0
dA
?
1
C(A)
6
sA
A
d0B
1
?
- C(B)
6
s
B
C(α)
- B Y
H
HH
H
α
d1A
@
I
1@
- B
d1B
HH
H
1
@
A
H
- B
α
Diagrama del cual se destacan dos partes
A
α
- B
d0A
d0B
?
C(A)
?
- C(B)
C(α)
6
6
d1A
A
d1B
α
- B
C(A)
y
C(α)
- C(B)
sA
sB
?
A
α
?
- B
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
11
Homotopı́a
1.16 Definición:
1.
Sean f, g : A → B morfismos de A. Se dice que “f es homótopo a
g por η” si existe un morfismo h : C(A) → B tal que el siguiente
diagrama conmuta
A
d0A
@
f
@
@
?
R
@
hC(A)
B
6
d1A
g
A
2.
El morfismo h de la parte 1. se llama una “homotopı́a de f en g”.
3.
“f homótopo a g por η” se denota f ∼ g y “h es una homotoı́a de f
η
en g por η” se denota h : f ∼ g2
η
η
Las propiedades básicas de ∼ son
1.17 Proposición: en todo sistema homotópico η se tiene:
η
1. sA : 1A ∼ 1A
2.
η
1C(A) : d0A ∼ d1A
η
3. ∼ es compatible con la composición: si f, g : A → B, h : B → C, k :
D → A son morfismos de A, entonces
η
η
h
f ∼g → h◦f ∼h◦g∧f ◦k ∼g◦k
η
4. ∼ es una relación reflexiva sobre M orA
5.
Si A es un objeto de A, entonces:
η
η
η
d1A ∼ d0A ↔ (∀B ∈ ObjA, ∀f, g : A → B, f ∼ g ↔ g ∼ f )
6.
Si f1 ∼ g1 y f2 ∼ g2 → f1 × f2 ∼ g1 × g2
η
η
12
Topologı́a Algebraica
Demostración: de 1) a 4) quedan como ejercicio. Note, para 5), que la parte
η
derecha de la equivalencia dice simplemente que ∼ es reflexiva. Ası́ que la
η
η
implicación ⇐= es obvia puesto que como d0A ∼ d1A si ∼ es reflexiva entonces
η
η
d1A ∼ d0A . En cuanto a la parte =⇒: supongamos que d1A ∼ d0A y suponga que
η
η A
η
f ∼ g. Por lo primero existe α : dA
1 ∼ d0 . Por lo segundo existe β : f ∼ g.
η
Entonces β ◦ α : g ∼ f . En cuanto a 6) recuerde que si f : A → B y
g : A → C entonces existe un único H : A → B × C que deja conmutativos
A
H-
B×C
@
@
f
H-
A
B×C
@
@
π1
f
@
@
R ?
π2
@
@
R ?
C
B
Este morfismo H se denota (f, g). Ahora, si f : A → B y g : E → D entonces
se tienen dos morfismos especiales
f
π1
A × E −→
A −→ B
g
π2
A × E −→ E −→ D
Entonces existe un único morfismo H : A×E → B×D que deja conmutativos
los diagramas
A×E
H-
B×D
π1
A×E
π1
?
A
π2
?
- B
B×D
π2
?
f
H-
E
?
g
- D
Tal H se denota f ×g pero esto no es simple notación puesto que en realidad
tal morfismo es producto de f con g en la categorı́a M orC.
π
π
1
2
Note ahora que A × E −→
A y A × E −→
C inducen C(π1 ) : C(A × E) →
C(A) y (π2 ) : C(A × E) → C(E) y el morfismo
(C(π1 ),C(π2 ))
C(A × E)
- C(A) × C(E)
Note ası́ mismo que se tienen dos morfismos
d0A × d0E : A × E → C(A) × C(E)
d1A × d1E : A × E → C(A) × C(E)
Estos dos morfismos son η-homótopos. En efecto note que
A×E
π1
d0A×E
- A
d0A
?
C(A × E)
?
- C(A)
C(π1 )
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
13
conmuta por ser d0 una transformación natural. Igual para
π2
A×E
- E
d0A×E
d0E
?
C(A × E)
?
- C(E)
C(π2 )
Entonces también conmuta
(π1 ,π2 )
A×E
- A×E
d0A×E
d0A ×d0E
?
?
C(A × E)
(C(π1 ),C(π2 ))
- C(A) × C(E)
pero (π1 , π2 ) es la identidad luego el diagrama es
A×E
d0 ×d0
E
A
H
HH
d0
A×E
H
HH
?
C(A × E)
H
j
H
-
(C(π1 ),C(π2 ))
C(A) × C(E)
Igual si se trabaja con d1A y d1E . Ası́ pues el siguiente diagrama conmuta
A×E
HH d0 ×d0
H A E
H
j
H
? (C(π ),C(πH))
1
- 2C(A) × C(E)
C(A × E)
d0A×E
d1A×E
6
*
1
1
dA ×dE
A×E
η
Esto muestra que d0A × d0E ∼ d1A × d1E . Ahora si se tiene (hipótesis)
14
Topologı́a Algebraica
E
A
@
@
f
d1A
f
@ 2
@
?
R
@
h2
- D
C(E)
6
@ 1
@
?
R
@
h1
- B
C(A)
6
d0A
d0E
d1C
g1
A
g2
E
entonces tambien conmuta
A×C
d0A×C
HH f ×f
HH1 2
HH
?
j
h1 ×h2
α- B×D
C(A × C)
C(A) × C(C)
*
H
YH
HH d1 ×d1 6
A
C
g1 ×g2
d1A×C H
H
d0A ×d0C
A×C
donde α = (C(π1 ), C(π2 )),con lo cual
η
(h1 × h2 ) · (C(π1 ), C(π2 )) : (f1 × f2 ) ∼ (g1 × g2 )
2
η
Es claro que ∼ no necesariamente es una relación de equivalencia en
η
Hom(A, B) pero, como hemos visto ∼ es reflexiva y compatible con la operación composición en M orA. Pero se desea trabajar con relaciones que
son directamente de equivalencia sin tener que usar la relación de equivalenη
cia generada. Ası́ que en este curso supondremos que ∼ es una relación de
equivalencia en Hom(A, B), para todo A y B en A. Para el caso que más
nos interesa todo funciona bien:
1.18 Proposición: η = (C, E 0 , E 1 , s) el sistema corriente de los espacios
topológicos es un sitema homotópico en el sentido de 1.15 y su homotopı́a
es una relación de equivalencia en Hom(A, B), para todo A, B espacios
topológicos2
η
Supongamos ahora η = (c, d0 , d1 , s) en A con ∼ de equivalencia.
1.19 Definición: Sea f : A → B en A
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
15
1.
Decimos que es una “sección homotópica”o “salvo homotopı́a”, si
η
existe g : B → A tal que g ◦ f ∼ 1A . El morfismo g se dice un “retracto
homotópico compañero de f .
2.
Si f es una sección-retracción homotópica entonces se dice que es una
“equivalencia de homotopı́a” (vı́a η) o una η-equivalencia de homotopı́a
y que su dominio es (η) homotópicamente equivalente a su codominio.
η
Se denota ' 2
1.20 Proposición: si η = (c, d0 , d1 , s) es un sistema homotópico en A con
η
η de equivalencia, entonces ' es una relación de equivalencia en ObjA 2
Objeto inicial, final
1.21 Definición: Sea A una categorı́a. Un objeto A se dice ser “final’ si
Hom(X, A) tiene un único elemento, para todo objeto X de A. El dual de
“final” es “inicial” 2
En los espacios topológicos los únicos conjuntos que tienen una sola topologı́a
son φ (vacı́o) y {x} donde x es un elemento cualquiera. Ası́ que tiene todo
el sentido hablar del “espacio φ” y del “espacio {x}”. Además internamente
en T op o categóricamente se tiene
1.22 Proposición:
i) Si A tiene objeto final, entonces es único, salvo isomorfismo.
ii) Sea A ∼
= B. Entonces A es final si y solo si B lo es
2
Por dualidad la misma afirmación es cierta para objeto inicial.
1.23 Notación:
i) El objeto inicial (salvo isomorfismo) se denotará φ
ii) El objeto final se denotará ∗
0
iii) El único morfismo φ → A se denotará φA (0 φ)
0
iv) El único morfismo A → ∗ se denotará ∗A (0 ∗)
v) Si existe un morfismo a : ∗ → A se dice que “a” es “un punto” de A
16
Topologı́a Algebraica
a
vi) Si “a” es un punto de A, entonces el morfismo A → ∗ → A se llama
“el morfismo constante y de valor a”
1.24 Ejercicio
(1A ,∗A )
i) Muestre que λA : A −→ A×∗ es un isomorfismo natural en cualquier
categorı́a con objeto final
ii) Dé la afirmación dual de la parte i)
iii) Muestre que si A tiene objeto final, entonces la aplicación A 7→ HomA (∗, A)
determina un funtor covariante A → Conj llamado el funtor “conjunto
subyacente”
∼ φ entonces el funtor conjunto subyacente es
iv) Muestre que si en A ∗ =
“trivial”. Por esta razón en homotopı́a se hace una diferencia entre el
caso ∗ φ y ∗ ∼
= φ (caso en el cual la categorı́a se dice “punteada”)
v) Qué es A × φ? Qué transformación natural induce?
vi) La misma pregunta que en v) para A + φ
vii) La misma pregunta que en v) para A + ∗
1.25 Definición: Si η es un sistema homotópico en A, con objeto final,
η
entonces un objeto A de A se dice η-homotópicamente “nulo” si A ∼
= ∗.
Por ejemplo en el caso de Top si B es un espacio convexo en Rn , dadas
funciones continuas f, g : A → B cualesquiera la función H : A × I → B
dada por H(a, t) = tf (a) + (1 − t)g(a) es una función continua. Ası́ pues
η
η
H : f ∼ g. Si b es un punto de B, entonces B ∼
= b porque la función B → {b}
b
es una equivalencia de homotopı́a con inversa homotópica {b} → B, b 7→ b.
b
b
Claramente {b} → B → {b} es la identidad y por lo dicho B → {b} → B es
homotópica con 1B : B → B.
Ahora tome el disco D1 = X ∈ R2 / kXk ≤ 1 es decir la bola cerrada de
radio 1 alrededor de 0. D1 es convexo y por tanto es homotópicamente trivial.
Ahora bien S 1 = {X/ kXk = 1} es un subespacio de D1 . Se verá, como una
aplicación del cálculo de grupos de homologı́a que S 1 no es homotópicamente
trivial. Esto muestra que ser homotópicamente trivial no es una propiedad
hereditaria. Sin embargo, podemos mostrar en donde esta la falla que no
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
17
permite que S 1 se deforme a un punto. Si pensamos en D1 y tomamos su
centro entonces de [0, 2π] → D1 esta f (t) = eπti que envia a [0, 2π] enrrollado
en una vuelta alrededor de S 1 . Por otro lado (0, 0) = 0 ∈ D1 . Se puede
deformar S 1 en 0 sin dejar D1 simplemente cambiando “continuamente”
el radio del cı́rculo alrededor de 0 desde 1 hasta 0. Es decir, usando la
homotopı́a H : [0, 2π] × I → D1 , (t, s) 7−→ seπti . Claramente H es continua
y además H(t, 0) = 0, H(t, 1) = eπti que es la deformación de S 1 en 0 en
D1 , cubriendo D1 . Es decir que ImH = D1 . En cambio si tenemos S 1 como
espacio el mismo S 1 no puede permitir este tipo de deformación a uno de
sus puntos porque esencialmente ello representarı́a hacer S 1 cada vez más
pequeño hasta llegar a tener radio 0 sin salirse de S 1 . Esto es lo que no
puede ser.
Categorı́a Homotópica
Considere una categorı́a A y η = (C, d0 , d1 , s) un sistema homotópico en A
η
con ∼ una relación de equivalencia. Denotemos [A, B]η o simplemente [A, B]
η
cuando η está bien entendido a HomA (A, B)/ ∼.
1.26 Proposición: Si se toman como objetos los objetos de A, como morfismos de A en B a [A, B] y si [f ] ∈ [A, B] y [g] ∈ [B, C] se toma [g]◦[f ] = [g ◦ f ]
entonces se tiene una categorı́a 2
1.27 Definición: La categorı́a de 1.26 se llama “la categorı́a homotópica
de (A, η) o de A cuando η es subentendida y se denota H(A, η) o H(A) 2
Naturalmente existe un funtor π : A → H(A) tomando A 7→ A y f 7→ [f ].
También es claro que los isomorfismos de H(A) son las equivalencias de homotopı́a de A y por tanto también se tiene que los objetos finales de H(A)
son los objetos homotópicamente nulos de A.
El funtor π no es el único funtor que interesa. Si A es un objeto fijo de A
entonces
1.28 Proposición: La asignación que a un objeto X de A le asigna [A, X]
y a f : X → Y le asigna la función [A, X] → [A, Y ] , [α] 7→ [f ◦ α] es un
funtor covariante A → Conj 2
18
Topologı́a Algebraica
1.29 Definición:
η
1) El funtor de 1.28 se denota πA : A → Conj o πA
si η debe aparecer
explı́citamente.
2) El objeto ∗ de A suele denotarse como 0 y a π∗ : A → Conj o
π0 : A → Conj se llama el funtor de “arco conexidad” por η.
A continuación damos una idea de la construcción de objetos A que producen una estructura de grupo en [A, B]. Recuerde que una operación, que
denotaré +, en A, es un morfismo + : A × A → A. Esta es asociativa si el
siguiente diagrama conmuta
As
(A × A) × A
- A × (A × A)
+ × 1A
1A × +
?
?
A×A
(1· 30)
A×A
@
+@
+
@
R
@
A
en donde As = (π1 ◦ π1 , (π2 ◦ π1 , π1 ))
e
Si ∗ → A es un punto de A, entonces, + tiene módulo e si el siguiente diagrama conmuta
(e,1A )
- A×A
A
(e,1A )
@
@
?
A×A
1A
(1· 31)
+
@
@
R ?
- A
+
e
en donde por abuso se denota “e” a A → ∗ → A. La operación + es invertible, con módulo e si existe un morfismo − : A → A tal que el siguiente
diagrama conmuta
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
19
(1A ,−)
- A×A
A
@
@e
@
(−,1A )
?
A×A
+
(1· 32)
+
@
R ?
- A
Si se tienen los 3, entonces (A, +, e, −) es un grupo de la categorı́a A en
donde se trabaja.
Naturalmente un cogrupo será, en resúmen
1.
2.
+ : A −→ A + A
As
(A × A) × A + × 1A
A × (A × A)
6
6
1A × +
A×A
(1· 33)
A×A
@
I
@
+@
+
@
A
3.
[e,1A ]
A+A
A [e,1A ]
6@
I
@
1A
6
+
(1· 34)
@
@
A + A + A
4.
[1A ,−]
A+A
A [−,1A ]
6@
I
@
e
6
+
(1· 35)
@
@
A + A + A
1.30 Definición: Sea A una categorı́a con un sistema homotópico η =
(c, d0 , d1 , S) y A un objeto de A. Se dice que A es un η-grupo (o un grupo
salvo η, o salvo η-homotopı́a) si 1.30, 1.31, 1.32 conmutan salvo η-homotopı́a.
A es un η-cogrupo si (1.33), (1.34), (1.35) conmutan salvo η-homotopı́a 2
20
Topologı́a Algebraica
Aquı́ se está usando la manera coloquial asi: dadas f, g : A → B se dice que
η
η
“f es igual a g salvo ∼” si f ∼ g. Ası́ pues, por ejemplo, el diagrama
f
A
- B
@
g
h@
R ?
@
D
η
η
conmuta salvo η-homotopı́a (o salvo ∼) si g ◦f ∼ h. En tal caso denotaremos
aquı́
f
- B
A
η
h
@
∼
g
@
R ?
@
D
1.31 Proposición:
1.
Sea Σ un funtor A → A que preserva sumas y objeto inicial. Si A es
un cogrupo entonces también lo es ΣA
2.
Si B es un cogrupo, entonces,
Hom(B, X) : A −→ Gr
es un funtor covariante (note el codominio).
3.
Si B es un η-cogrupo, entonces
[B, X] : A −→ Gr
es un funtor covariante (note el codominio)
4.
Para Σ como en 1 y B un η-cogrupo
[Σn B, X] : A −→ Gr
es un funtor covariante.
Demostración: Si A es un cogrupo entonces, bajo las hipótesis de que F sea
covariante y preserve sumas y objeto inicial se tiene que, salvo isomorfismo,
+
como F (A + B) ≈ F (A) + F (B) entonces A −→ A + A tiene imagen
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
21
F (+)
F (A) −→ F (A + A) ∼
= F (A) + F (A)
e
que es una cooperación en F (A). La imagen de A ←− φ ←− A tiene imagen
F (e)
F (A) ←− φ ←− F (A) y 1.35 aparece como
[1F (A) ,F (−)]
F (A) F (A) + F (A)
[F (−),1F (A) ]
Q
Q
6 k
Q
F (e)
6
F (+)
Q
Q
Q
F (A) + F (A) F (+)
F (A)
Los demás diagramas son transmitidos por F en los correspondientes que
hacen de (F (A), F (+), F (e), F (−)) un cogrupo. Como el funtor Hom( , X)
es contravariante si B es un cogrupo Hom(B, X) es un grupo en Conj, es
decir un grupo corriente.
Los detalles de 1.31 se dejan como ejercicio 2
Note que F no tiene que ser restringido a ser un funtor A → A, bien podı́a
op
F
ser F : A → B. Si F : A → B es contravariante entonces A −→ B −→ B 0 es
un funtor covariante opF (φ) = φ ↔ F (φ) = ∗
opF (A + B) ∼
= A + B ↔ F (A + B) ∼
= F (A) × F (B) y por tanto si F es
contravariante, F (A + B) ∼
F
(A)
×
F
(B) y F (φ) = ∗ entonces si A es un
=
cogrupo entonces F (A) es un grupo.
1.32 Definición: Si A es una categorı́a con un sistema homotópico η, entonces para un objeto cualesquiera B, [B, X] : A → Conj se denota πB ,
0 . En tal caso si F : A → A es covariante se denota π n al funtor
o bien πB
B
[Σn B, X] 2
1.33 Ejemplo: Un espacio “punteado” es una pareja (X, x) en donde x ∈ X,
y X es un espacio topológico. Un morfismo f : (X, x) → (Y, y) es una función continua f : X → Y tal que f (x) = y. La composición es la corriente
de funciones y todo esto determina una categorı́a denotada T op∗ . En T op∗
{{x} , x} es tanto objeto final como inicial y algunos autores lo denotan 0.
Para ilustrar el caso de los funtores [B, X] de manera “autocontenida” en
T op∗ , ajustamos la homotopı́a. Queda como tema para trabajo de grado
(INV) dar el sistema homotópico de T op∗ y completar el bosquejo que se
hace a continuación, hasta el final del capı́tulo.
22
Topologı́a Algebraica
Note que una homotopı́a H de f en g (f, g : A → B) es una “familia continua
en t”, Ht : A → B tal que H0 = f y H1 = g. En T op∗ se toma usualmente
para f, g : (A, a) → (B, b) que una homotopı́a H de f en g es una “familia
continua” Ht : (A, a) → (B, b) tal que H0 = f y H1 = g.
La parte interesante de esta definición es que muestra que papel juegan “a”
y “b”: deben preservarse, es decir, que Ht es un morfismo de T op∗ . Pero por
supuesto no sabemos que significa que una familia es “continua”. La familia
Ht∈I determina una función H : A × I −→ B tomando H(x, t) = Ht (x). Se
tiene que Ht (a) = b, ∀t. Ası́ pues H(a, t) = b, ∀t ∈ I o bien H(a × I) = b o
si lo desea H(C(a)) = b ↔ H|C(a) = b.
1.34 Definición: Sean f, g : (A, a) → (B, b) morfismos de T op∗ . Decimos
que f ∼ g (f homótopa a g) (en T op∗ ) si existe H : f ∼ g en T op tal que
H|a×I es la función constante y de valor b 2
Naturalmente en T op∗ la relación de homotopı́a es una relación de equivalencia y se tiene, también como antes, HT op∗ , la categorı́a homotópica de T op∗ .
En esta categorı́a mostraremos cogrupos y siguiendo 1.31 mostraremos funtores tipo [B, X], y Σ.
1.35 Proposición: si para (X, x) en T op∗ se toma
1. x̄ = X × {0} ∪ X × {1} ∪ ({x} × I)
2.
Σ(X, x) = (X/x̄ , x̄)
3.
Para f : (X, x) → (Y, y), Σf : Σ(X, x) → Σ(Y, y), [u] 7→ [f (u)] para
todo u ∈ X
entonces
a) Σ : T op∗ → T op∗ es un funtor covariante
b) Σ(0) ∼
=0
c) Σ((X, x) + (Y, y)) ∼
= Σ(X, x) + Σ(Y, y)
Demostración:
Ejercicio. (Recuerde que en T op∗ (X, x) + (Y, y) = X + Y /{x,y} , {x, y}
en donde X + Y denota la suma categórica en T op: X × {1} ∪ Y × {2}
con topologı́a de la forma A ∪ B con A abierto en X × {1} y B abierto y
Y × {2}. Si se tiene X ∩ Y = φ entonces X + Y = X ∪ Y con la topologı́a
Capı́tulo 1. Categorı́as y funtores
23
{A ∪ B/ A abierto en X, B abierto en Y }
2
Recuerde además que en T op∗
Sn =
X ∈ Rn+1 / kXk = 1 , (1, 0, ..., 0)
Gráficamente se ve que ΣS 0 ∼
= S 1 , ΣS 1 ∼
= S2.
1.36 Proposición:
1.
Para todo n, ΣS n ∼
= S n+1
2. S 1 es un cogrupo homotópico
3. S 2 es un cogrupo homotópico abeliano
4. S n (n ≥ 2) es un cogrupo homotópico abeliano
Demostración:
Si S 1 es cogrupo entonces también lo es S n , para todo n. Si S 2 es abeliano
también lo es S n para n ≥ 2. En cuanto que hay una cooperación en S 1 ,
π
note que al menos se tiene S 1 / {(1, 0), (−1, 0)}. Tome ahora (S 1 , (1, 0)) →
S 1 /{(1,0),(−1,0)} , [(1, 0)]. Según nuestra notación es una función continua S 1 −→
S 1 + S 1 , es decir una cooperación (en T op∗ ) de S 1 .
Queda como trabajo completar detalles y hacer 1) y 2) 2 .
1.37 Definición: [S n , ] se llama el n-ésimo funtor “objeto de homotopı́a’
y se llama grupo de homotopı́a para n ≥ 1 2
Problemas Suplementarios
1.
R
S
Considere la pareja de funtores A → B → A covariantes. (R, S) se
dice un “par adjunto’ si existe un “isomorfismo natural’
λ(A,B) : HomB (R(A), B) → HomA (A, S(B))
a) Identifique los funtores entre los cuales se está estableciendo el isomorfismo natural
b) Si (R, S) es un par adjunto demuestre que R(φ) ∼
= φ y S(∗) ∼
=∗
24
Topologı́a Algebraica
c) Si (R, S) es un par adjunto demuestre R(A + B) ∼
= R(A) + R(b) y
S(A × B) ∼
= S(A) × S(B)
d) Muestre que × A : Conj → Conj y ( )A : Conj → Conj son funtores
adjuntos para cada conjunto A.
e) Muestre que
⊗ A : Ab → Ab y ( )A : Ab → Ab son funtores adjuntos. Aquı́ si B es un
grupo abeliano B A =
{f : A → B/ f es un homomorf ismo} con (f + g)(a) = f (a) + g(a).
f) Σ : T op∗ → T op∗ tiene como adjunto un funtor conocido como el “espacio de lazos’ Ω. Muestre que entonces (Σn , Ωn ) es un par adjunto
y que Πn (X, x) ∼
= Πn−1 (Ω(X, x)). Ayúdese de que Σ y Ω son funtores adjuntos para demostrar que Ω(X, x) es un grupo homotópico
(Sugerencia: analice [S 0 , Ω(X, x)]).
Capı́tulo 2. Básicos de Álgebra
25
Capı́tulo 2
BÁSICOS DE ÁLGEBRA
En lo que sigue trabajamos en la categorı́a Ab de los grupos abelianos. Recuerde que aquı́ los grupos con un solo elemento son objetos iniciales y finales
y se denotan 0 (cero).
f
g
Una pareja componible de morfismos A → B → C se dice “semiexacta”
(ó semiexacta en B) si g ◦ f = 0. Por supuesto esto sucede si y sólo si
Imf ⊆ kerg. En tal caso el grupo kerg|Imf se llama “el grupo derivado”
de (f, g). Si la pareja tiene nombre digamos T entonces el grupo derivado se denota H(T ). Se tiene entonces que H(T ) = 0 ↔ Imf = kerg
caso en el cual T se dice “exacta” o exacta en B. En una composición
f1
f2
fn
A1 → A2 → A3 → ... → An , que será llamada “una sucesión” de homomorfismos en Ab; A2 , ..., Aṅ se llaman los grupos intermedios y A1 y An los extremos. Por supuesto si la sucesión se extiende hasta infinito en alguno de los
lados allı́ no existe extremo. Nosotros daremos por sabidos las propiedades de
las sucesiones exactas pero las mencionaremos en las sucesiones semiexactas.
Cuando no queremos la idea de numeración (que más adelante tendrá influf
g
encia en lo que hacemos) la denotamos: ... → A → B → C → o algo por el
estilo.
2.1 Definición:
1.
Si en una sucesión de grupos abelianos y homomorfismos cada una de
las composiciones es semiexacta, la sucesión misma se dice semiexacta.
2.
Los grupos derivados de las composiciones de una sucesión semiexacta
se llaman los “grupos derivados” de la sucesión.
3.
Una sucesión → An → An−1 → ... → A0 se llamará una cadena de
grupos abelianos cuando es semiexacta. Si es del estilo A0 → ... →
fn
fn
An → An+1 → ... es entonces una “cocadena”. Naturalmente toda
sucesión exacta es semiexacta y una sucesión semiexacta A es exacta
si y solo si todos los grupos derivados de A son 0.
En adelante usaremos nombre genérico A para las cadenas (o cocadenas) caso en el cual:
26
Topologı́a Algebraica
2.2 Definición:
1.
Los grupos de la cadena se denotan An , n ∈ N.
2.
El morfismo An → An−1 se denotara ∂n . Cuando se requiere mas
exactitud (que se indique que se habla de A) se denotará ∂nA . Cuando
esto no importa y tampoco la posición se denota ∂; An → An−1 .
3.
Los elementos de An se llaman las “n-cadenas de A”.
4. ∂ : An → An−1 se llama “el operador (morfismo)” frontera (o nfrontera).
5. ker∂n se denota Zn (A) y sus elementos se llaman los “n-ciclos de A”.
6. Im∂n+1 se denota Bn (A) y sus elementos se llaman “n-fronteras” de
A.
7.
El grupo derivado en An se llama el “n-ésimo grupo de homologı́a de
A” y se denota Hn (A)
8.
Si el grupo derivado en An es finitamente generado, entonces A se dice
“de tipo finito”.
9.
Si A es de tipo finito, y la descomposición de Hn (A) es Zr ⊕ Zq1n ⊕
nm con los qi primos qi ≤ qi+1 y si qi = qi+1 , ni ≤ ni + 1
Zqn2 ⊕ ... ⊕ Zqm
2
entonces r se llama el “n-ésimo número de Betti” de A y se denota
βn (A) y (q1n1 , ..., q mn ) se llama la torsión n-ésima de A y se denota por
tn (A)
10. A se dice “finita” si existe N ∈ N tal que m > N → An = 0
2
Recuerde que el rango de un grupo finitamente generado se denota r(G)
y su torsión numérica se denota t(G) ademas G ∼
= H ↔ (r(G) = r(H) y
t(G) = t(H)).
2.3 Proposición: (Teorema de Euler-Poincaré), si A es una cadena finita
y de tipo finito se tiene que :
n
X
i=1
βn (A) =
X
(−1)n r(An )
n
Zn (A)
) = r(Zn (A)) − r(Bn (A)). Ahora bien
Demostración: βn (A) = r( B
n (A)
∂
An+1 −→ An y por P T H de grupos (An+1 /ker∂ ∼
= Im∂) ↔ An+1 /Zn+1 (A) ∼
=
Bn+1 luego r(An+1 ) − r(Zn+1 (A)) = r(Bn (A)), reemplazando este último se
Capı́tulo 2. Básicos de Álgebra
27
tiene la igualdad pedida2
Note: Σn (−1)n βn (A) se llama “la caracteristica de Euler-Poincaré” de una
cadena finita y de tipo finito, A.
Recuerde que si A y B son cadenas, entonces un morfismo f : A → B es
una sucesión fn : An → Bn tal que:
An+1
∂-
fn+1
An
fn
?
Bn+1
∂
?
- Bn
commuta. Es decir que fn ◦ ∂ = ∂ ◦ fn+1
2.4 Proposición: Las cadenas junto con morfismos de cadenas forman una
categorı́a 2
La categorı́a de 2.4 se denotará por Ch (Chains en inglés).
Recuerde que si C es una categorı́a punteada entonces para un morfismo
k
f : A → B existe un kernel de f es decir un morfismo K → A tal que
k
f ◦ k = 0 y si K1 →1 A es tal que f ◦ k1 = 0, entonces existe un único morfismo h : K1 → K tal que k ◦ h = k1 . Nosotros denotaremos por K(f ) al kernel
de f y 0 = 0f al morfismo K(f ) → A y llamaremos ker(f ) = (K(f ), 0f ).
2.5 Ejercicio:
1.
Halle el kernel de f en la categoria Ab de los grupos abelianos.
2.
Defina directamente cokernel y demuestre que el cokernel en los
grupos abelianos está dado ası́: si f : A → B, entonces coker(f ) es
B
B → f (A)
la proyección.
3.
Llame Im(f ) = ker(cokerf ). Calcule Im f en Ab.
4.
Defina coimagen y calcúlela en Ab.
28
Topologı́a Algebraica
2.6 Proposición: Sean A y B cadenas y f : A → B un morfismo de cadenas
entonces el kernel de f existe en Ch y esta dado por:
K(fn+1 )
ō -
∂\
?
K(fn )
ō
fn+1
An+1
- Bn+1
∂
∂
?
- An
?
- Bn
fn
Demostración. Ejercicio.
Ahora veremos el primer funtor de homologı́a, pero restringido a las cadenas.
2.7 Proposición: Si f : A → B es un morfismo de cadena, entonces:
Zn (A)
1. fn∗ : B
→
n (A)
grupos
f
Zn (B)
Bn (B)
dado por fn∗ [an ] = [fn (an )] es un homorfismo de
g
2.
Para A → B → C, (g ◦ f )∗n = gn∗ ◦ fn∗
3.
(1A )∗n = 1Hn (A) es decir Hn (1A ) = 1Hn (A)
Demostración: Para que un homomorfismo f : A1 → A2 de grupos abelianos
A1
A2
pase el cociente f : B
→ B
es necesario y suficiente que f (B1 ) ⊆ B2 .
1
2
Aquı́ debemos dar dos cosas: primero, si f : A → B entonces f (Zn (A)) ⊆
Zn (B) para asi tener fn | : Zn (A) → Zn (B) y segundo fn (Bn (A)) ⊆ Bn (B).
Consideremos pues:
An+1
∂-
fn+1
An
∂-
fn−1
fn
?
Bn+1
∂
?
- Bn
An−1
∂
?
- Bn−1
Si an ∈ An y an ∈ Zn (A) entonces ∂(an ) = 0 y por tanto fn−1 ∂(an ) = 0.
Es decir que ∂fn (an ) = 0 y por tanto fn (a) ∈ Zn (B). Por tanto f |Zn (A) :
Zn (A) −→ Zn (B).
Suponga ahora que an ∈ Bn (A) entonces existe an+1 tal que ∂(an+1 ) = an
por tanto fn (an ) = fn ∂(an+1 ) = ∂fn+1 (an+1 ) ∂(Bn+1 ) = Bn .
Capı́tulo 2. Básicos de Álgebra
29
Las partes 2, 3 quedan como ejercicio
2
Note:
Para simplificar la escritura si f : A → B entonces Hn (A) → Hn (B), [an ] 7→
[fn (an )] se denota Hn (f ) o bien simplemente f∗ , sin el n, (lo cual permite
usar la ∗ abajo y dejar f ∗ para cocadenas).
Por tanto se tiene que Hn : Ch → Ab define un funtor covariante.
2.8 Definición: Sean f, g : A → B en Ch. Decimos que f ∼ g (f es
homótopa a g) si existe hn : An → Bn+1 tal que
gn (x) − fn (x) = ∂hn (x) + hn−1 [∂(x)]
es decir que gn − fn = ∂B ◦ hn + hn−1 ◦ ∂A
2
Note que existe un funtor Ct : Ch → Ch dado por Ct (A)n = An+1 es decir que
corta A0 . Esto claramente se completa en un funtor covariante tomándolo de
manera obvia entre las flechas. Además existe 1Ch : Ch → Ch y se tiene que
∂ : Ct → 1Ch es una transformación natural. Es decir que ∂n+1 : An+1 → An
es un morfismo Ct (A) → A que en realidad es una transformación natural.
Ahora, la homotopı́a h de 2.8 es en realidad un morfismo h : A → Ct (B). Se
h
∂
tiene por tanto el compuesto A → Ct (B) → B y por tanto existe también
∂
h
Ct (∂ ◦ h) : Ct (A) → Ct (B). Por otro lado existe Ct (A) → A → Ct (B). La
igualdad de 2.8 es
Ct (g − f ) = Ct (∂ ◦ h) + (h ◦ ∂)
Normalmente las propiedades de esta homotopı́a, como si es (o no) relación
de equivalencia, o si viene o no de un sistema homotópico no se tocan. Se
pasa directamente a que soporte el futuro axioma de homotopı́a:
2.9 Proposición: Si f ∼ g entonces Hn (f ) = Hn (g) para todo n.
Zn (A)
Zn (D)
Demostración: Suponga f, g : A → D. Entonces f ∗, g∗ : B
→ Bn(D)
.
n (A)
∗
∗
Tomamos z + Bn (A) en el dominio. Entonces z ∈ Zn (A) y (f − g )(z +
Bn (A)) = (fn − gn )(z) + Bn (D) = ∂hn (z) + hn−1 (∂(z)) + Bn (D) = ∂hn (z) +
Bn (D) = 0 puesto que ∂(hn (z)) ∈ Bn (D). Por tanto f ∗ = g ∗ 2
30
Topologı́a Algebraica
Note que la cadena → 0 → ... → 0 es la cadena inicial y final de Ch. Es decir
es el 0 de Ch y Hn (0) = 0, para todo n. Ahora si f : A → B es el morfismo
0, entonces
f
- B
A
@
R
0@
0
0
Conmuta. Por tanto se tiene
Hn (A)
Hn (f )
@
- Hn (B)
Hn (0) @
R
@
Hn (0)
0
Por tanto Hn (A → 0) = 0, Hn (0 → B) = 0 y en el caso que nos ocupa
Hn (f ) : Hn (A) → Hn (B) es 0 : Hn (f ) = 0, para todo n.
Dos comentarios entán en un orden es ésta parte. En la práctica cuando
se trata de dar un “funtor de homologı́a” sobre una categorı́a A lo que
realmente se hace (normalmente) es construir, en esencia, un funtor
F : A → Ch
y tomar Hn (A) = Hn (F (A)). Es decir se usa la homologı́a de Ch para definir
la de A. En segundo lugar este papel de sitio de pagos, en la construcción de
homologı́as no ha hecho que la parte de bondad como estructura homológica
se haya consolidado. Mas exactamente, en lo que viene se axiomatizarlo que
es una “categorı́a admisible” para homologı́a y qué es una homologı́a en una
categorı́a admisible. En Ch se tiene una “homologı́a” pero digamos, informal.
No se conoce si ella resulta ser la homologı́a de una “categorı́a admisible para
homologı́a” determinada, en Ch. Buscar una respuesta es un tema abierto
para trabajo de grado (INV).
Problemas Suplementarios
1.
Sean A y B cadenas. Demuestre que la relación de homotopı́a es una
relación de equivalencia en Hom(A, B).
2.
Demuestre que en Ch la relación de homotopı́a es compatible con la
composición: es decir que si f, g : A → B, k : B → C y f ∼ g entonces
l
k ◦ f ∼ k ◦ g y que si D → A, entonces f ◦ l ∼ g ◦ l.
Capı́tulo 2. Básicos de Álgebra
31
3.
Cierto o falso: Si f, g : A → B, u, v : C → D y f ∼ g, u ∼ v, entonces
f ⊕ u ∼ g ⊕ v. Inicie mostrando que f ⊕ u (y g ⊕ v) existen.
4.
Determine si en Ch existe la suma algebraica f + g de morfismos de
cadenas. Si + existe decida si ∼ es compatible con +.
5.
Determine si para A ∈ Ch de tipo finito existe descomposición primario, o racional y si f : A → B preserva torsión y parte libre. Son
homotópicamente equivalentes dos cadenas con la misma “torsión” y
el mismo “rango” (INV).
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
31
Capı́tulo 3
CATEGORÍAS ADMISIBLES PARA
HOMOLOGÍA
Sea C una categorı́a. Asumimos que en C existe un sistema homotópico y su
η
homotopı́a se denota ∼ o ∼ si el sistema se denota η = (C, d0 , d1 , s). Normalmente C es una subcategorı́a de T op y ∼ es la homotopı́a corriente de
T op restringido a C. Esto supone mı́nimo que si A ∈ C entonces el cilindro
de A (la red completa) debe estar en C. Cuando se trata de “admisibilidad”
se trata de establecer el mı́nimo de cerraduras para que los mecanismos no
fallen por falta de ellas.
Recuerde que si C es una categorı́a entonces M orC también es una categorı́a. Los objetos “admisibles” están en M orC. La admisibilidad exige que
en cada HomC (A, B) se tome una única flecha. La selección debe respetar
la composición : es decir que α ∈ Hom(A, B) y β ∈ Hom(B, C) han sido
seleccionados, entonces β ◦α ∈ Hom(A, C). Diremos, en tal caso, que la subcategorı́a de M orC que se toma debe ser “cerrada para la composición”. Por
i
ejemplo en los espacios topológicos se toman inclusiones A → X en donde
A es un subespacio de X. Evidentemente la composición de inclusiones es
una inclusión.
Puesto que se selecciona una única flecha A, B digamos α : A → B ella
está únicamente determinada por A y B (en ese orden) entonces los sı́mbolos A y B son los únicos requeridos para determinarla. Por similaridad con el
caso topológico denotaremos a α por (B, A) que en el caso topológico indica
que B es un espacio topológico y A es un subespacio y en nuestra escritura
(B, A) denotarı́a la inclusión i : A → B es decir i = (B, A).
Seleccionados estos objetos de M orC tenemos a nuestra disposición los morfismos entre ellos en la categorı́a M orC. Es decir para dos objetos (X, A) y
(Y, B) un morfismo f : (X, A) → (Y, B) es una pareja F : X → Y, f : A → B
de C tales que el diagrama que sigue conmuta.
A
f
(X,A)
- B
(Y,B)
?
X
F
?
- Y
32
Topologı́a Algebráica
En el caso corriente de T op el diagrama serı́a
f
A
- B
i
i
?
?
X
F
- Y
3.1 Definición: Una categorı́a C ′ de M orC se dice admisible para homologı́a
(sobre (C, η)) si
AH1. Para cada A y B de C, hay a lo más un morfismo de Hom(A, B) en
C ′ (denotado(B, A)).
AH2. Si (X, A) está en C ′ entonces
también están
(φ, φ), (A, φ), (X, φ), (A, A), (X, A), (X, X).
AH3. Si (X, X) ∈ C ′ entonces (X, X) = 1X
AH4. Si (X, A) está en C ′ entonces en M orC ′ está la red de (X, A)(R(X, A))
a saber
*
©©
(X, φ)
2
(φ, φ)
1
- (A, φ)
©
H
HH
j
H
©
3
4
HH
j
©
©*
(X, A)
6-
(X, X)
5
(A, A)
en donde los morfismos 1 a 6 son evidentes. Por ejemplo el morfismo
1 será
φ
1φ =(φ,φ)
?
φ
φφ
- φ
(A,φ)=φA
?
- A
φA
es decir que 1 = (φA , φφ ) = (φA , 1φ ).
El morfismo 5 será
A
1A
- A
1A =(A,A)
(X,A)
?
A
es decir que 5 = ((X, A), 1A )
?
- X
(X,A)
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
33
AH5. Si (X, A) y (Y, B) ∈ ObjC ′ , entonces todas las transformaciones naturales
de la red de (X, A) en la de (Y, B) están en M orC ′ . Ası́ si (f, g) :
(X, A) → (Y, B) es un morfismo en M orC es decir que si
g
A
- B
(X,A)
(Y,B)
?
?
X
f
- y
commuta en C, entonces el diagrama correspondiente a la parte de las
redes de (X, A) y (Y, B) será
(A, A)
5(X,A)
- (X, A)
(g,g)
(f,g)
?
(B, B)
?
- (Y, B)
5(Y,B)
y entonces (g, g) : (A, A) → (B, B) y (f, g) : (X, A) → (Y, B) están en
M orC ′
AH6. Para η = (C, d◦ , d1 , s) el sistema homotópico seleccionado en C, si
α = (X, A) : A → X entonces C(α) : C(A) → C(X) y el cilindro
(completo) de α = (X, A) es la red (se omite el nombre de las identidades)
α
A
A
d0A
A
? A
C(A) A
d0X
C(α)
A
6@ A
sA @ A
RAU
@
A
d1A
¡
A
- X
A
? A
- C(X) A
A
6@ A
@ A
d1X
sX @
RAU
- X
α
¡
µ
¡
α
A
- X
¡
µ
¡
¡
Ası́ que (diX , diA ) : (X, A) → (C(X), C(A)) y (sX , sA ) : (C(X), C(A)) →
(X, A) son transformaciones naturales. Si se toma C(α), (d0X , d0A ),
(sX , sA ) entonces se tiene un sistema homotópico que denotaremos
M orη en M orC. La condición sobre homotopı́a es la siguiente. Si
34
Topologı́a Algebráica
(X, A) está en C ′ entonces también está su cilindro que se denotará
(X, A)
d0(X,A)
Q
?
C(X, A)
d1(X,A)
Q
Q
- (X, A)
s
s(X,A)Q
6
´
1
Q
´
´
3́
´
1
(X, A)
AH7. C ′ admite al menos un objeto (∗, φ) y admite entonces todos los morfismos (a, φ) : (∗, φ) → (X, φ)
Nota.
a) Por abuso del lenguaje se denotará por X a (X, φ) y por
f : X → Y a (f, φ) : (X, φ) → (Y, φ).
b) Estando C ′ definida, en cambio de decir que α = (X, A) está en
C ′ diremos que “α es admisible”. Igual cosa para morfismos de
morfismos de C.
3.2 Ejercicio:
1.
Determine si los espacios punteados forman una categorı́a admisible
sobre T op con la homotopı́a corriente.
2.
Suponga que (C, η) y (D, S) son categorı́as con sistemas homotópicos
(η y S respectivamente).
Un funtor F (C, η) → (D, S) es un funtor
F : C → D tal que CS ◦ F = F ◦ Cη (caso en el cual se dice que F
preserva homotopı́as). Suponga además que C ′ es una categorı́a admisible para homologı́a sobre (C, η). Determine si F (C ′ ) es admisible
sobre (D, S).
3.
Suponga que C ′ es admisible sobre (C, η). Sea A una subcategorı́a de
C. Dé sentido a la notación C ′ |A (C ′ restringida a A) y a (A, η|A ) y
determine si C ′ |A es admisible sobre (A, η|A ).
4.
Suponga que una categorı́a D es equivalente a una subcategorı́a de C.
En este caso se identifica a D como la subcategorı́a de C y se acepta
D ⊆ C.
35
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
a) Demuestre que las parejas (X, A) de espacios topológicos (X espacio, A subespacio) es una categorı́a admisible sobre T op con la
homotopı́a corriente.
b) Decida si la categorı́a T op es identificable con la subcategorı́a
plena de los pares de espacios de la forma (X, φ).
Axiomas de Homologı́a
(Siguiendo Eilemberg-Steenrod y Sze-Tsen Hu)
En la red de un par (X, A) la parte
(A, φ) → (X, φ) → (X, A)
será la parte “esencial” y usaremos la notación genérica i : (A, φ) → (X, φ)
y j : (X, φ) → (X, A). Cuando se haga necesario usaremos con más precisión
i(X,A) y j(X,A) , o bien lo escribimos ((X, A), φA ) y (1X , φA ). De manera que
la parte esencial de la red de (X, A) es:
j
i
(A, φ) → (X, φ) → (X, A)
que es ((X, A), φA ). Nosotros, para propósitos de homologı́a identificamos el
par (X, A) con la parte esencial de la red de (X, A).
3.3 Definición: Sea C ′ admisible para homologı́a sobre (C, η). Una teorı́a
de homologı́a sobre (C ′ ) es un funtor covariante
H : C ′ → Ch
j∗
i
∂
∗
Hq (X, φ) → Hq (X, A) → Hq (A))
(Denotado (X, A) 7→ ... → Hq (A, φ) →
(o (i∗ )q , (j∗ )q , ∂q cuando sea necesario) tal que
H1. (Axioma de exactitud) H(X, A) es una sucesión exacta
η
H2. (Axioma de homotopı́a). Si f ∼ g en C ′ , entonces H(f ) = H(g) en Ch
H3. (Axioma de dimensión). Si q 6= 0 entonces Hq (∗, φ) = 0
H4. (Axioma de compatibilidad)
H4.1 En la q-ésima parte esencial de (X, X)
i
j∗
∗
Hq (X, φ) → Hq (X, X)
Hq (X, φ) →
i∗ es la identidad
36
Topologı́a Algebráica
H4.2 En la q-ésima parte esencial de (X, φ)
j∗
i
∗
Hq (X, φ) → Hq (X, φ)
Hq (φ, φ) →
j∗ es la identidad
H4.3 Para el morfismo i : (A, φ) → (X, φ), H(i)q : Hq (A, φ) → Hq (X, φ)
es (ix )q : Hq (A, φ) → Hq (X, φ), de la q-ésima parte esencial de
H(X, A)
H4.4 Para el morfismo i : (X, φ) → (X, A) el morfismo
H(j)q : Hq (X, φ) → Hq (X, φ)
(de la q-ésima parte esencial de (X, φ) en la q-ésima parte esencial
de (X, A)) es la identidad
H5. Recuerde que en una categorı́a C un cuadrado
X
β
- Y
α
α
?
Z
β
?
- W
se dice “cocartesiano” si conmuta y si
X
β
- Y
γ
α
?
Z
S
?
- T
h
conmuta entonces existe un único morfismo W → T tal que h◦α = γ y
h◦β = S. En tal caso X se dice “la cobase de β”, β se llama un cambio
de cobase de β y que el cambio de cobase se hace vı́a α. Si cada par
β
α
fuente Z ← X → Y se cierra en un cuadrado cocartesiano entonces la
categorı́a se dice “cerrada para cuadrados cocartesianos”, o “cerrada
para cambios de cobase”. Por ejemplo T op es cerrada para cambios de
α
β
cobase: si Z ← X → Y son continuos entonces W = Z + Y /≈ donde
β(x) ≈ αx para cada x ∈ X, α : Y → W está dada por α(y) = [y] y
β(Z) = [Z].
En el caso importante de espacios topológicos Z y Y con Z ∩ Y = X,
entonces β : X → Y es la inclusión y α : X → Z es la otra inclusión.
37
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
W = X + Y /∼ queda Z + Y = (Z × {1}) ∪ (Y × {2}) y se toma
α
β
X → Z × {1} x → (x, 1), X → Y × {2} x → (x, 2) Ahora en
Z × {1} ∪ Y × {2}/(x, 1) ∼ (x, 2) se identifica (x, 1) ∼ (x, 2) es decir
que lo que se habı́a separado se une de nuevo. Aquı́ la Topologı́a es
W ⊆ Z ∪Y es abierto en Z ∪Y W ∩Z es abierto en Z y W ∩Y es abierto en Y . Este espacio se denota Z ∪X Y o bien Z +X Y o bien Z VX Y .
Naturalmente si X = φ se tiene la suma corriente Z Vφ Y = Z + Y .
Nosotros tomamos (X, A), (Y, A) en C ′ y pedimos
e
H6. Si (X, A), (Y, A) y (X ∨A X, A) están en C ′ , entonces (X, A) → (X ∨A
Y, A) induce un isomorfismo
H(l) : H(X, A) → H(X ∨A Y, A)
En el caso de que (X, A), (Y, A) estén en T op, es decir son parejas de
espacios, entonces X ∨A Y es “el espacio X ∪Y con la topologı́a suma y
X ∩ Y = A y entonces se tendrá que H(l) : H(X, A) → H(X ∪ Y, A) es
un isomorfismo. Igualmente si se da X, el espacio, X1 , X2 subespacios
con X = (intX1 ) ∪ (intX2 ) para la inclusión i : (X1 , X1 ∩ X2 ) →
(X, X2 ) se tiene que H(i) es un isomorfismo.
3.4 Proposición: Para una teorı́a de homologı́a H sobre C ′ se tiene:
1. X 7→ Hq (X, φ) define un funtor covariante de C en Ab, para cada q.
2.
(X, A) → Hq (X, A) define un funtor covariante de C ′ en Ab, para cada
q.
3.
(X, A) → Hq (A, φ) define un funtor covariante de C ′ en Ab para cada
q2
3.5 Definición: En la proposición precedente el funtor de 1) se llama el
q-ésimo funtor de homologı́a (de H) sobre C; el funtor de 2) se llama el qésimo funtor de homologı́a sobre C ′ y el de 3) se llama el q-ésimo “funtor de
proyección (2)” y se denotará por P Rq : C ′ → Ab 2
Note en 1) el funtor esta definido C → Ab y se denota Hq . Por tanto
Hq (X) = Hq (X, φ) y no requiere identificaciones, entre X y (X, φ).
2) P Rq : C → Ab esta dado por P Rq (X, A) = Hq (A)
38
Topologı́a Algebráica
3.6 Proposición: ∂q define una transformación natural P Rq (X, A) : Hq (X, A) →
Hq−1 (A) del funtor Hq : C ′ → Ab en P Rq−1 : C ′ → Ab 2
η
3.7 Proposición: Si (X, A) ∼
= (Y, B) entonces H(X, A) ∼
= H(Y, B).
Demostración: Si f : (X, A) → (Y, B) y g : (Y, B) → (X, A) son las equivaη
η
lencias de (η) homotopı́a compañeros entonces g ◦f ∼ 1(X,A) y f ◦g ∼ 1(Y,B) .
Luego H(g) ◦ H(f ) = 1H(X,A) y H(f ) ◦ H(g) = 1H(Y,B) . Luego H(g) y H(f )
son isomorfismos inversos el uno del otro 2
3.8 Proposición:
η
1.
Si en C X ∼
= Hq (Y ).
= Y entonces para cada q, Hq (X) ∼
2.
Si (X, A) es una η-equivalencia de homotopia en C, entonces
Hq (X, A) = 0 para todo q.
3. Hq (X, X) = 0, para todo q.
Demostración:
η
η
1.
Si en C X ∼
= (Y, φ) y el resultado sigue
= Y entonces en C ′ (X, φ) ∼
2.
En H(X, A), i∗ : Hq (A, φ) → Hq (X, φ) es isomorfismo, ∂ = 0 y j∗ = 0.
Ası́ que Hq (X, A) = kerg = Im j∗ = 0.
η
3. X ∼
=X
2
Note Hq (∗, φ) = Hq (∗) es un grupo abeliano que se llamará “el grupo de
coeficientes de H” y se denotará por G.
η
3.9 Proposición: Si X ∼
= ∗ (es decir que X es contractible a un punto)
entonces Hq (X) = 0 si q 6= 0 y H0 (X) ∼
= G (el grupo de coeficientes) 2
Secciones Admisibles
Consideramos ahora el caso en el cual (X, A) de C ′ es una sección en C.
En tal caso diremos que (X, A) es una sección admisible. Supongamos pues
que r es una retracción compañera de (X, A) en C. Como es evidente que la
39
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
imagen de una sección por un funtor covariante es una sección y en nuestro
caso esa imagen está en los grupos, entonces resumimos primero este caso
f
g
3.10 Proposición: En los grupos abelianos si el compuesto A → B → A
es la identidad entonces:
1. B = Imf ⊕ kerg
2. kerg ∼
= B/Imf
Demostración: Ejercicio
Por otro lado
3.11 Proposición: Si (X, A) es una sección en C entonces
1. i : (A, φ) → (X, φ) es una sección en C ′ con retracción compañera
(r, φ) : (X, φ) → (A, φ)
2. H(i) es una sección en la categorı́a Ch de las cadenas con retracción
compañera H(r, φ)
3.
Para cada q ∈ N∗ , (i∗ )q : Hq (A, φ) → Hq (X, φ) es un monomorfismo
4. H(X, φ) = Im H(i) ⊕ ker H(r) en el sentido que para cada q
Hq (X, φ) = Im(i∗ ) ⊕ kerHq (r) ∼
= Im(i∗ ) ⊕ Hq (X, φ)/Im(i∗ )
Demostración: Ejercicio
2
Ahora usamos la red de (X, A) con la siguiente notación
(φ, φ)
- (A, φ)
©
*
©©
(X, φ)
i
HH
k
HHj
j
H
*
©
©©l
H
j
(X, A)
- (X, X)
(A, A)
lo cual, aplicado a (A, φ) da como resultado
(A, φ)
i
(φ, φ)
- (φ, φ)
´
´
Q
´3́
Q
j
QQ
s
(A, φ)
Q
Q
k
QQ
s
´
(A, φ)
´3́
´l
- (A, A)
40
Topologı́a Algebráica
por tanto, en este caso, j = l = 1(A,φ) y también i = k. En particular se
tiene que H(e)q : Hq (A, φ) → Hq (A, φ) es la identidad.
3.12 Proposición: Si (X, A) es una sección en C con retracción r, entonces
1. k : (A, φ) → (A, A) es un retracto de j : (X, φ) → (X, A) en M orC ′ ,
es decir el siguiente diagrama conmuta y las filas son las identidades
(A, φ)
i
- (X, φ)
- (A, φ)
j
k
?
(A, A)
2.
(r,φ)
l
?
- (X, A)
H(l)
k
?
- (A, A)
(r,A)
H(r,A)
En el desarrollo de H(A, A) −→ H(X, A) −→ H(A, A) del gráfico
H(A, A) ... - Hq (A, φ)
H(l)
?
l∗
?
- Hq (A, φ)
i∗
l∗
?
j∗
∂
- Hq (A, A) Hq−1 (A, φ)
j∗
l∗
?
H(X, A) ... - Hq (A, φ) - Hq (X, φ) - Hq (X, A)
H(r)
?
r∗
?
H(A, A) ... - Hq (A, φ)
i∗
r∗
?
- Hq (A, φ)
i∗
j∗
r∗
?
- Hq (A, A)
∂
-
∂
-
l∗
?
Hq−1 (A, φ)
r∗
?
Hq−1 (A, φ)
- ...
- ...
- ...
a) Todas las composiciones verticales son la identidad.
b) En la columna izquierda l∗ es la identidad.
c) En la columna izquierda r∗ es la identidad es decir que r∗ : Hq (A, φ) →
Hq (A, φ) es la identidad.
d) En la columna de la derecha ∂ : Hq (X, A) → Hq−1 (A φ) es 0
e) Hq (X, φ)/Im(i∗ ) ∼
= Hq (X, A)
Demostración:
En la parte 1 es inmediata la conmutatividad, k, j verticales son morfismos
de C ′ . Además claramente las filas son las identidades (seguimiento que se
hace por coordenadas).
En la parte 2:
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
41
a) Evidente por ser imágenes por funtores Hq , de identidades.
b) l∗ = H(l)q : Hq (A, φ) → Hq (A φ) sabemos que es la identidad.
c) Inmediato por a) y b)
d) La columna de la derecha es la misma de la izquierda, pero en la q − 1
posición, ası́ que el cuadrado inferior derecho es
Hq (X, A)
∂-
r∗
Hq−1 (A, φ)
1
?
Hq (A, A)
∂
?
- Hq−1 (A, φ)
el cual conmuta y Hq (A, A) = 0. Luego ∂ : Hq (X, A) → Hq−1 (A, φ)
es 0.
e) Hq (X, φ)/Imi∗ = Hq (X, φ)/kerj∗ ∼
= Imj∗ = ker∂ por un seguimiento
sobre la segunda fila que es exacta. Ahora bien como ∂ = 0,
ker∂ = Hq (X, A) y por tanto Hq (X, φ)/Imi∗ ∼
= Hq (X, A) 2
3.13 Corolario:
Si (X, A) es una sección en C entonces H(X, φ) ∼
= H(A, φ) ⊕ H(X, A) es
decir que H(X) ∼
= H(A) ⊕ H(X, A)
Demostración: Para cada, tenı́amos Hq (X, φ) ∼
= Im(i∗ ) ⊕ Hq (X, φ)/Im(i∗ ) .
Además i∗ : Hq (A, φ) → Hq (X, φ) es un monomorfismo, por tanto, Hq (A, φ) ∼
= Im(i∗ ) en Ab y por la proposición precedente
Hq (X, φ)/Imi∗ ∼
= Hq (X, A) luego el resultado sigue 2
Existen situaciones de retracción simples pero importantes y casos básicos
del axioma de escición. Estos los resumimos a continuación.
3.14 Proposición:
1.
Si X, Y son admisibles entonces H(X) ∼
= H(X + Y, Y )
2.
Si X admite un punto, entonces H(X) ∼
= H(∗) ⊕ H(X, ∗) es decir que
Hq (X) ∼
= Hq (X, ∗) si q 6= 0 y H0 (X) ∼
= G ⊕ H0 (X, ∗)
3.
Si, en C, A es una deformación retracción de X; es decir si A es un
retracto homotópico de X, entonces H(X) ∼
= H(A) ⊕ H(X, A)
42
4.
Topologı́a Algebráica
Si uno de los dos X ó Y es un retracto homotópico de X + Y entonces
H(X + Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(Y )
Demostración:
En cuanto a la parte 1) sigue del hecho que X + Y = X ∨φ Y . La parte 2)
α
α
sigue del hecho que si ∗ → X existe, entonces ∗ → X → ∗ es la identidad
(X,A)
y ∗ es un retracto de X. En cuanto a la parte 3) si A −→ X −→ A es
homótopo a la identidad entonces el diagrama de 3.12 parte 2 es todavı́a
válido. En cuanto a 4) suponga que X es un retracto de X + Y . Entonces
en 3) H(X + Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(Y ). Igual afirmación
= H(X) ⊕ H(X + Y, X) ∼
para el caso homotópico 2
α
β
Si X y Y admiten un punto cada uno digamos ∗ −→ X y ∗ −→ Y entonces
denotamos por X∨ Y la suma amalgamada de α con β. Por tanto el diagrama
que sigue es cocartesiano
β
∗
- Y
α
α
?
X
β
?
- X∨ Y
3.15 Proposición: Si X ∨ Y existe en C, entonces X (respectivamente Y )
es un retracto de X ∨ Y .
Demostración: Existe una única h que cierra conmutativo el siguiente
diagrama
β
- Y
∗
@
α
α
@
@
@
R
@
∗
X
X ∨Y
HH
@
HH
HH @ h
h
1
HH@
@
HH
R ?
@
j
?
β
?
X
Ahora podemos ampliar el teorema de suma de objetos ası́
43
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
3.16 Proposición: Suponga que X ∨ Y existe en C y que su diagrama
está en C ′ . Entonces
1. H(X, ∗) ∼
= H(X ∨ Y, Y )
2. H(X ∨ Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(Y, ∗)
α
β
Demostración: La parte 1) es la aplicación de H5 a X ←− ∗ −→ Y . En
cuanto a la parte 2) puesto que X es un retracto de X ∨ Y entonces por
3.13 H(X ∨ Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(X ∨ Y, X) ∼
= H(X) ⊕ H(X, ∗) 2
3.17 Corolario: Bajo las condiciones de proposición precedente se tiene
que
1.
Si q 6= 0, entonces Hq (X ∨ Y ) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq (Y )
2. H0 (X ∨ Y ) ∼
= G ⊕ H0 (X, ∗) ⊕ H0 (Y, ∗)
Demostración: Puesto que H(X ∨ Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(Y, ∗) entonces
Hq (X ∨ Y ) ∼
= Hq (Y )
= Hq (X) ⊕ Hq (Y, ∗). Ahora si q 6= 0, entonces Hq (Y, ∗) ∼
y 1) sigue. Si q = 0, entonces H0 (X ∨ Y ) ∼
H
(X)
⊕
H
(Y,
∗)
y como
= 0
0
∼
H0 (X) = G ⊕ H(X, X) la parte 2) sigue 2
3.18 Corolario: Si C es una categorı́a punteada entonces
1. X ∨ Y ∼
=X +Y
2. H(X, ∗) = H(X, φ) = H(X)
3. X (resp Y ) es un retracto de X + Y y H(X + Y ) ∼
= H(X) ⊕ H(Y )
Demostración: Si C es punteada entonces ∗ ∼
= φ y la parte 1) sigue. Por
la misma razón la parte 2). En cuanto a la parte 3) X es un retracto de
X ∨Y ∼
=X +Y.
Note: si H0 (∗) = 0, entonces H se dice una “teorı́a de homologı́a reducida”.
3.19 Corolario: Si una categorı́a punteada admite una teorı́a de homologı́a
H, entonces H es reducida.
44
Topologı́a Algebráica
Retracciones Admisibles, η-deformaciones
Suponga que C ′ es admisible sobre (C, η).
3.20 Definición: Si (X, A) es admisible y (X, A) es una retracción entonces
diremos que “X es retraible a A”. Si (X, A) es una retracción η-homotópica
diremos que “X es deformable a A vı́a η”, o que “X es η-deformable a A” 2
3.21 Proposición:
1.
Si (X, A) es una retracción entonces (X, φ) es un retracto de (A, φ)
en C ′ .
2.
Si (X, A) es una retracción η-homotópica, entonces (X, φ) es un retracto η-homotópico de (A, φ) 2
La proposición precedente implica que las retracciones en C permanecen (en
C ′ ) si se identifica C con la subcategorı́a de C ′ de los objetos de la forma
(X, φ), como es costumbre.
3.22 Proposición: Suponga que (X, A) : A → X es un retracto admisible
con sección compañera s : X → A en C. Entonces
1. m : (X, A) → (X, X) de la red de (X, A) es un retracto con sección
compañera (1, s) : (X, X) → (X, A)
2. Hq (s, φ) : Hq (X, φ) → Hq (X, φ), de H(1, s) : H(X, X) → H(X, A) es
la identidad
3. i∗ : H(A, φ) → H(X, φ) es un epimorfismo y (s, φ)∗ : H(X, φ) →
H(A, φ) es un monomorfismo
4.
Para cada q, Hq (A) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, A)
Demostración: 1) es evidente. En cuanto a 2) la composición
Hq (s,φ)
i
∗
Hq (X, φ)
Hq (X, φ) −→ Hq (X, φ) −→
es la identidad. Además i∗ : H(X, A) → H(X, X) induce la identidad i∗ :
Hq (X, φ) → Hq (X, φ) por el axioma de compatibilidad. Por tanto Hq (s, φ) =
1Hq (X,φ) . La parte 3) es evidente de 3.21. En cuanto a la parte 4), puesto
que el compuesto
s
i
∗
∗
Hq (X, φ)
Hq (A, φ) →
Hq (X, φ) →
45
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
es la identidad entonces
Hq (A, φ) ∼
= s∗ (Hq (X, φ)) ⊕ keri∗
∼
= Hq (X, φ) ⊕ Im(∂q+1 )
= Hq (X, φ) ⊕ ∂q+1 (Hq+1 (X, A))
Ahora bien se tiene la sucesión de (X, A) ası́:
i
∂
j∗
∂
∗
Hq (X, φ) → Hq (X, A) → Hq−1 (A, φ)
Hq+1 (X, A) → Hq (A, φ) →
j∗ = 0 puesto que i∗ es sobreyectivo y entonces ∂ tiene kernel 0 y es un
monomorfismo. Ası́ que
∂(Hq+1 (X, A) ∼
= Hq (X, φ) ⊕ Hq+1 (X, A)
= Hq+1 (X, A) y Hq (A, φ) ∼
2
3.23 Corolario: Si A → X es admisible (es decir (X, A) ∈ C ′ ) entonces
para cada q Hq (A) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, A) 2
3.24 Proposición:
1.
Si X es deformable en A y A → B y B → X son admisibles, entonces:
a) X es deformable a B
b) Hq (B) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, B), ∀q
2.
Si X es contractible a un punto, entonces
a) Si B admite un punto y (X, B) es admisible entonces X es deformable en B
b) Hq (B) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, B), ∀q
Demostración:
partes a).
Las dos partes b) son inmediatas de las respectivas
s
(X,A)
En cuanto a 1) a), como X es deformable a A entonces X −→ A −→ X es la
identidad. Pero además puesto que (B, A) y (X, B) son admisibles entonces
s
(X, B) ◦ (B, A) = (X, A) por tanto X → A → B → X es la identidad. 2) a)
sigue de 1) a) tomando A = ∗ 2
3.25 Proposición: Si X es deformable en B y B lo es en A ((X, B), (B, A)
admisibles) entonces:
1. X es deformable en A
46
Topologı́a Algebráica
2. Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, A) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, B) ⊕ Hq−1 (B + A)
3.
Si Hq (A) es finitamente generado entonces
Hq (X, A) ∼
= Hq (X, B) ⊕ Hq (B, A)∀q 6= 0
Demostración: La parte 1) es inmediata. En cuanto a 2) sigue de las
fórmulas
Hq (B) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, B)
Hq (A) ∼
= Hq (B) ⊕ Hq+1 (B, A)
Hq (A) ∼
= Hq (X) ⊕ Hq+1 (X, A)
Para 3) se sigue que si Hq (A) es finitamente generado también lo son todos los grupos de las tres fórmulas. Por tanto en la parte 2) Hq (X) serı́a
cancelable y la fórmula de 3 sigue 2
Homologı́a Reducida
Recuerde que si X, Y son cadenas y f : X → Y es un morfismo de cadenas
entonces el kernel de f , ker(f ) es una cadena que en el nivel n es
Of
fn
n
Xn −→ Yn
K(fn ) −→
donde K(fn ) es el kernel de fn y Of es la inclusión. Se tiene además que
∂(K(fn )) ⊆ K(fn−1 ) y por tanto
∂|
∂|
... K(fn ) −→ K(fn−1 ) −→ K(fn−2 ) −→ ...
es una cadena y que Of : K(f ) → X dada por (Of )n = Of n : K(f n) → Xn
es un morfismo de cadenas.
Se tiene en el caso de C ′ admisible sobre (C, η), que
3.26 Proposición: C ′ tiene como objeto final (∗, ∗)2
La relevancia de sto es que, entonces, para cada (X, A) de C ′ , existe un único
morfismo (X, A) → (∗, ∗) en C ′ .
Recuerde que H(∗, ∗) es
47
Capı́tulo 3. Categorı́as Admisibles para Homologı́a
j∗
i
j∗
i
∂
∗
∗
H0 (∗, φ) → H0 (∗, ∗)
H1 (∗, φ) → H1 (∗, ∗) → H0 (∗, φ) →
→ H1 (∗, φ) →
o bien
1
→0→0→0→G→0
Por tanto para cada (X, A), es decir para cada (X, A) → (∗, ∗) se tiene
Φ(X,A) : H(X, A) → H(∗, ∗) un morfismo de cadenas exactas a saber
∂
- H1 (A, φ) - H1 (X, φ) - H1 (X, A) H0 (A, φ) - H0 (X, φ) - H0 (X, A)
?
?
-0
α
?
-0
β
?
-0
?
-0
-0
El kernel de Φ(X, A) será entonces
i˜
j˜∗
i˜
∂˜
j˜∗
i˜
∗
∗
∗
→
H1 (A, φ) →
H1 (X, φ) → H1 (X, A) → kerα →
ker(β) → H0 (X, A)
la cual es una cadena, según sabemos.
3.27 Proposición: puesto que kerΦ(X,A) es una sucesión exacta.
Demostración: puesto que kerΦ(X,A) es igual a H(X, A) hasta el nivel 1,
resta demostrar exactitud en H0 . Como los morfismos son restricciones los
de H(X, A) entonces las composiciones son 0. Ası́ que resta demostrar que
keri˜∗ ⊆ Im∂˜ y kerj˜∗ ⊆ Imi˜∗ . Las dos cosas son fáciles de demostrar.
En adelante kerΦ(X,A) será denotado por H̃(X, A) y su notación será
j˜∗
i˜
∂˜
∗
H̃q (X, φ) → H̃q (X, A) → H̃q−1 (A, φ) → ...
→ H̃q (A, φ) →
Naturalmente H̃q = Hq si q > 1 o q = 0. Queremos ahora considerar
H̃(∗, ∗). El morfismo Φ : (∗, ∗) → (∗, ∗) es la identidad. Por consiguiente
Φ(∗,∗) : H(∗, ∗) → H(∗, ∗) es la identidad. Ası́ pues kerΦ(∗,∗) = 0 por tanto
todos los grupos en la siguiente cadena son cero
∂¯
i˜
j˜∗
∗
H̃0 (∗, φ) → H̃0 (∗, ∗)
... → H̃1 (∗, ∗) → H̃0 (∗, φ) →
por tanto H̃0 (∗, φ) = 0
3.28 Proposición:
1.
Si H es una teorı́a de homologı́a sobre C ′ entonces también lo es H̃.
?
-0
48
Topologı́a Algebráica
2. H̃ es una teorı́a de homologı́a reducida.
3.
Si X admite un punto admisible ((X, ∗) ∈ C ′ ) entonces H̃q (X) ∼
=
H̃q (X, ∗), para todo q.
4. H̃(X ∨ Y ) ∼
= H̃(X) ⊕ H̃(Y )
5.
Si X es contractible a un punto, entonces H̃q (X) = 0, ∀q
6.
Para todo q, H̃q (X, A) = Hq (X, A) cuando A ∼
= φ y H̃q (X) = Hq (X)
si q 6= 0.
Ejercicios Suplementarios
1.
Demuestre que en T op, X es una retracción de X + Y
2.
Demuestre que si X, Y son espacios topológicos y X ∩ Y = A, entonces
X ∨A Y es la suma “topológica” de X con Y .
3.
Demuestre que ∂q de 3.6 es en efecto una transformación natural.
4.
Denotamos X ∨ Y ∨ Z a (X ∨ Y ) ∨ Z:
a) Decida si X ∨ Y ∨ Z ∼
= X ∨ (Y ∨ Z).
∼
b) Decida si X ∨ Y = Y ∨ X.
c) Decida si existe un objeto E tal que X ∨ E ∼
= X para todo X.
5.
Calcule la homologı́a de X ∨ Y ∨ Z en términos de la de X, Y , Z.
Hágalo para homologı́a y homologı́a reducida.
49
Capı́tulo 4. Suspensión.
Capı́tulo 4
SUSPENSIÓN
Suponga que η es un sistema homotópico en C. Recuerde que
4.1 Definición:
1.
Si el diagrama
A
α-
X
∗A
∗A
?
∗
α
?
- T
es cocartesiano entonces T se dice “la identificación” de la imagen de
α a un punto y se denotará X|α(A) .
2.
Si (X, A) es admisible y α = (X, A) entonces se dirá que T es “la
identificación de A a un punto” y se denotará X|A . Además ∗A se
llamará “la proyección” de X sobre X|A , denotada π.
En lo que sigue consideramos una categorı́a admisible C ′ sobre (C, η) tal que
para cada A, C(X)|d0 (X) y C(X)|d1 (X) existen.
4.2 Definición: C(X)|d0 (X) se llama “el cono inferior de X”y C(X)|d1 (X)
se llama “el cono superior de X”. Se denotarán C 0 n(X) y C 1 n(X) repectivamente.
4.3 Proposición: para i = 0, 1, C i n : C → C es un funtor covariante si se
toma para f : X → Y como C i n(f ) al único morfismo C i n(X) → C i n(Y )
que deja conmutativo el siguiente diagrama
diX -
X
C(X)
A
iA
πX
∗◦f
∗
A
A i
- C i n(X) A πY ◦C(f )
A
HH
HHC i n(f )@ A
H
@ A
diY H
HH @ A
H
RAU
j@
H
?
diX
?
C i n(Y )
2
50
Topologı́a Algebráica
Para los dos objetos distinguidos de C, ∗ y φ se tiene
4.4 Proposición
1. Cni (∗) ∼
= C(∗) para i = 0, 1
2. Cni (φ) para i = 0, 12
Recordemos ahora que en el diagrama de definición de Cn0 (X) se tiene el
morfismo πx0 : C(X) → Cn0 (X) y que por tanto el “cono o” de X se obtiene
del cilı́ndro identificando “la copia” d0X , de X a un punto. Gráficamente
−→
Note que la copia d1X sobrevive en Cn0 (X) y que ∗ d0X Cn0 (X) es el punto
obtenido al identificar d0X a un punto. Ası́ que el punto inferior (vértice) del
cono es d0X . Igual cosa para Cn1 (X).
El d1X que dijimos que sobrevive en el cono cero de X es el morfismo
d1
π0
X
X
X −→
C(X) −→
Cn0 (X). Este morfismo será llamado “la copia de X en
0
Cn (X)” y será denotado por Φ0X : X → Cn0 (X). Der igual forma se define
Φ1X : X → Cn1 (X).
4.5 Proposición: ΦiX : X → Cni (X) define una transformación natural
Φ : 1C → Cni 2
Ahora estamos interesados en que ΦiX para i = 0, 1 estén en C ′ .
4.6 Definición: Diremos que C ′ admite conos si ΦiX es un objeto de C ′ para
i = 0, 1 2
Tenemos entonces en C ′ (Cn0 (X), X) y (Cn1 (X), X) y por tanto existe (Cn1 (X)∨X
Cn1 , X) en C ′ .
4.7 Definición: Cn0 (X) ∨X Cn1 (X) se llma “la suspensión de X y se denota
ΣX 2
51
Capı́tulo 4. Suspensión.
Recuerde que
Φ1X
X
- C 1 (X)
n
Φ0X
Φ0X
?
Cn0 (X)
?
- ΣX
Φ1X
es un diagrama cartesiano y que la diagonal es (ΣX, X).
4.8 Proposición: Suponga que C ′ admite conos. Si f : X → Y es admisible
(ie(f, φ) : (X, φ) → (Y, φ) es admisible) entonces existe un morfismo
Σ(f ) : Σ(X) → σ(Y )
único tal que Φ0Y ◦ Cn1 (f ) = Σ(f ) ◦ Φ0X y Σ(f ) ◦ Φ1X = Φ1y ◦ Cn0 (f ).
Demostración: Sigue del siguiente diagrama cuyo cuadrado central es cocartesiano
Φ1X
X
- C 1 (X)
n
Φ0X
@
Φ0X
?
@
?
Φ1X
Cn0 (X)
@
0 (f )
Cn
- Σ(X)
@
@
R
@
Cn0 (Y
@
@
R
@
Cn1 (Y )
@
Σ(f )
)
1 (f )
Cn
Φ1Y
Φ0Y
@
R ?
@
- Σ(Y )
y del hecho de que las composiciones externas coinciden. Esto último sigue
del siguiente diagrama con cuadrados cerrados commutativos
X
Φ1X
Q
Qs
Φ0X Q
- C 1 (X)
n
Q
Φ0X
s
Q
Φ1XQ
- Σ(X)
pp
1 (f )
pp
Cn
?
pp
?
Φ1Y
pp Σ(f )
- C 1 (Y )
Y
pp
n
Φ0Y
Q
pp
0 (f )
Q
C
Q
n
p?
Q
s
?
s
Q
Φ0Y Q
- Σ(Y )
Cn0 (Y )
1
f
Cn0 (X)
ΦY
52
Topologı́a Algebráica
(1)
de donde se recibe que Φ0Y ◦Cn1 (f )◦Φ1X = Φ0Y ◦(Cn1 (f )◦Φ11 ) = Φ0Y ◦(Φ1x ◦f ) =
(2)
(Φ0Y ◦ Φ1X ) ◦ f = (Φ1Y ◦ Φ0Y ) ◦ f donde (1) sigue de que Φ1 es una transformación natural y (2)sigue la definición de Σ aplicada a Y . Se tiene entonces que
Σ(f ) es el único morfismo que cierra el paralelipipedo conmutativamente 2
4.9 Proposición:
P
P
P
(f ◦ g) = f ◦ g
P
2.
(1X ) = 1P X
P
P
y Φ0 : Cn1 →
son transformaciones naturales.
3. Φ1 : Cn0 →
1.
4.10 Definición:
1.
2.
P P
Diremos que C ′ admite suspensión si (X, A) ∈ C ′ → ( X, A) ∈ C ′ .
Si C ′ admite suspensión diremos que C ′ tiene conos nulos si Cni (X) es
contractible al vertice 2
4.11 Proposición: Suponga que C ′ admite
P suspensión y tiene conos nulos.
∼
Entonces para cada q, H̃q (X) = H̃q+1 ( (X)).
P
Demostración: Por el axioma de excisión se tiene que H̃( X, Cn0 (X)) ∼
=
1
1
H̃(Cn (X), X). Por ser Cn (X) contractible entonces es deformable en X y
por tanto H̃q (Cn1 (X)) ⊕ H̃q+1 (Cn1 (X), X) ∼
= H̃q (X).
P
P
Ahora bien como Cn0 (X) es contractible, entonces H̃( X, Cn0 (X)) ∼
= H̃( X).
⊕ H̃q+1 (Cn1 (X), X) ∼
Ası́ pues
≈ H̃q (Cn1 (X))
=
= H̃q+1 (Cn1 (X), X) ∼
P H̃q (X)
P
0
H̃q+1 ( X, Cn (X)) ∼
H̃
(
X)
= q+1
2
η - esferas
Note que (∗, φ) es admisible. Entonces se puede hacer un cambio de la cobase
φ via φ → ∗ y el resultado admisible. El cambio de cobase se llamará “la
esfera 0 de C ′ ”. Entonces se tiene que el siguiente diagrama es cocartesiano
φ
?
∗
- ∗
?
- S0
53
Capı́tulo 4. Suspensión.
y por ende S 0 = ∗ + ∗.
P n ∼ n+1
. Nosotros definAhora bien, en el caso topológico se tiene que
S =S
0
imos en P
(C, η) las η esferas
P como S (que no depende de η) y por recurrencia
S n+1 = S n o bien η S n .
4.12 Proposición: Si C ′ no es punteada, admite suspensión y tiene conos
nulos. Entonces H̃q (S q ) = G para todo q y H̃q (S n ) = 0 si q 6= n.
Demostración: Por el axioma de excisión H(S 0 , ∗) ∼
= H(∗, φ) y por con0
0
∼
siguiente Hq (S , ∗) = 0 si q 6= 0 y H0 (S , ∗) = G.
∼ H̃(S 0 , ∗), obviamente (∗ es contractible a ∗). Además
Ahora bien H̃(S 0 ) =
H̃(X, A) = H(X, A) si A SIM BOLO φ. De manera que supuesto que
C no es punteada entonces H̃(S 0 , ∗) = H(S 0 , ∗) y por ende
H̃q (S ) ∼
= H̃q (S 0 , ∗) = Hq (S 0 , ∗) =
0
½
0 si q 6= 0
G si q = 0
en resumen H̃0 (S 0 ) ∼
= G y H̃q (S 0 ) = 0 si q 6= 0. Por tanto
X
G = H̃0 (S 0 ) ≈ H̃1 (
S 0 ) = H̃1 (S 1 ) ∼
= H̃n (S n )
= H̃2 (S 2 ) ∼
= ... ∼
Ahora consideramos n 6= q. H̃q (S n ) ∼
= H̃q−n (S 0 ). Puesto que q − n 6= 0,
n
entonces H̃q (S ) = 0 2
4.13 Corolario: Si H es cualquier homologı́a sobre una categorı́a admisible
de espacios topológicos (en el sentido de Hu : Homology Theory Holden Day
1970); entonces H̃n (S n ) ∼
= G y H̃q (S n ) = 0 si q 6= n 2
En cualquiera de los casos 4.12 y 4.13 se tiene que
(sn )
∼
= H̃q (S n ) =
½
0 si q 6= n
G si q = n
1.
Si q 6= 0, Hq
2.
Si q = 0, entonces H0 (S n ) ∼
= G ⊕ H0 (S n , ∗) por 3.14 2). luego
½
G
si n 6= 0
n
n
n ∼
∼
H0 (S ) = G ⊕ H̃0 (S , ∗) = G ⊕ H̃0 (S )
G ⊕ G si n = 0
54
Topologı́a Algebráica
Ejercicios
1.
Demuestre que S ′ no es contractible a un punto.
2.
Calcule H(S ′ ∨ S ′ ) en cualquier teorı́a de homologı́a que admite suspensión y tiene conos nulos.
3.
Se llama el n-simplejo topológico ∆n al subespacio de Rn+1 de los
n
X
xi = 1. Se llama la frontera
puntos (x0 , ..., xn ) tales que xi ≥ 0 y
i=0
convinatoria de
∆n ,
denotada
∂∆n ,
a los x de
∆n
con
n
Y
xi = 0.
i=0
a) Muestre que ∆n es el cubriento conexo del conjunto {e0 , e1 , ..., en }
donde ei es ek i-ésimo vector unitario de Rn+1 .
b) CalculeH(∆n , ∂∆n ) para cada n.
c) Tome ∂i ∆n al cubrimiento convexo en Rn+1
[ de e0 , e1 , ..., êi , ..., en
donde ˆ significa “eliminado” y ∆(n, i) =
∂i ∆n . Calcule
j6=i
H(∂i ∆n ), H(∆(n, i)), H(∆n , ∆(n, i))
4.
Calcule de
Lo mismo para n copias de S ′ unidos de la misma manera. Haga lo
propio para
y para
con n copias de S ′ colgando.
Capı́tulo 5. Triplas.
55
Capı́tulo 5
TRIPLAS
En lo que sigue consideramos B → A → X admisibles. Por tando estan en
C 0 , como objetos (A, B), (X, B), (X, A). Inicialmente consideramos los mor((X,A),1)
(1,(A,B))
fismos admisibles (A, B) −→ (X, B) y (X, B) −→ (X, A). Veremos
que la imagen de la compuesta es exacta. Denotemos α = ((X, A), 1) y
β = (1, (A, B))
β∗
α∗
5.1 Proposición: H(A, B) −→ H(X, B) −→ H(X, A) es exacta.
Demostración: Que β ∗ ◦ α∗ = 0 sigue de que
(A, B)
α-
(X, B)
(1,(A,B))
β
?
(A, A)
?
- (X, A)
((X,A),1A )
conmuta de manera obvia y como H(A, A) = 0. Para la parte kerβ ∗ ⊆ Imα∗ ,
el diagrama extendido de β ∗ ◦ α∗ = 0 es
Hq (B)
1
- Hq (B)
i∗(A,B)
?
Hq (A)
?
(X,A)∗
?
- Hq (X)
α∗-
?
Hq (X, B)
∗
j(X,A)
β∗
?
- Hq (X, A)
∂(X,B)
1
?
- Hq−1 (B)
i∗(A,B)
?
?
- Hq (X)
1
∗
j(X,B)
?
Hq−1 (A)
i∗(X,A)
i∗(X,A)
∂(A,B)
Hq−1 (B)
- Hq (A)
i∗(A,B)
i∗(X,A)
∗
j(A,B)
Hq (A, B)
(A,B)∗
∂(X,A)
i∗(A,B)
?
- Hq−1 (A)
∗
(A,B)
i∗(X,B)
i∗(X,A)
(X,A)∗
?
- Hq−1 (X)
i∗(X,A)
Cada una de las vertices es exacta.
1
?
- Hq−1 (X)
56
Topologı́a Algebráica
Tenemos x ∈ kerβ ∗ en Hq (X, B). Entonces ∂(X,B) (x) ∈ ker(A, B)∗ puesto
que (A, B)∗ ∂(X,B) (x) = ∂(x,A) (β∗ (x)) = 0.
Como ∂(X,B) (x) ∈ ker(A, B)∗ = Im∂(A,B) , entonces existe µ ∈ Hq (A, B)
tal que ∂(A,B) (µ) = ∂(X,B) (x). Es decir que ∂(X,B) α∗ (µ) = ∂(X,B) (x) y por
∗
tanto α∗ (µ) − x ∈ ker∂(X,B) . Ası́ pues existe t ∈ Hq (X) tal que j(X,B)
(t) =
∗
α (µ) − x.
∗
∗
Ahora bien j(X,A)
(t) = β∗ j(X,B)
(t) = β∗ (α∗ (µ) − x) = β∗ α∗ (µ) − β∗ (x) = 0.
∗
Como t ∈ kerj(X,A)
entonces existe w ∈ Hq (A) tal que i∗(X,A) (w) = t.
Note ahora que i∗(X,A) y (X, A)∗ son dos notaciones de la misma función por
los axiomas de compatibilidad.
∗
∗
Veamos ahora que α∗ (µ + j(X,A)
(w)) = x : α∗ (µ + j(X,A)
(w)) = α∗ (µ) +
∗
∗
∗
α∗ j(X,A)
(w) = α∗ (µ) + j(X,B)
(X, A)∗ (w) = α∗ (µ) + j(X,B)
(i∗(X,A) (w)) =
∗
α∗ (µ) + j(X,B)
(t) = x. Ası́ pues x ∈ Im(α∗ ) 2
∂(X,A)
(1A ,φB )∗
Tomemos ahora Hq (X, A) −→ Hq−1 (A) −→ Hq−1 (A, B). Note que
∗
∗
(1A , φB )∗ = j(A,B)
. Tomamos ∂(X,A,B) = j(A,B)
◦ ∂(X,A) : Hq (X, A) →
Hq−1 (A, B).
β∗
∂(X,A,B)
5.2 Proposición: Hq (X, B) −→ Hq (X, A) −→ Hq−1 (A, B) es exacta.
∗
∗
Demostración: ∂(X,A,B) ◦ β ∗ = j(A,B)
◦ ∂(X,A) ◦ β ∗ = j(A,B)
◦ ∂(X,A) ◦ β ∗ =
∗
∗
∗
∗
∗
j(A,B) ◦ (A, B) ◦ ∂(X,B) . Ahora bien (A, B) = i(A,B) , luego j(A,B) ◦ (A, B)∗ ◦
∗
∂(X,B) = j(A,B)
◦ i∗(A,B) ◦ ∂(X,B) = 0. Luego, Imβ ∗ ⊆ ker ∂(X,A,B) .
Veamos que ker∂(X,A,B) ⊆ Imβ ∗ .
∗
∗
Sea x ∈ ker∂(X,A,B) → j(A,B)
∂(X,A) (x) = 0 por tanto ∂(X,A) ∈ kerj(A,B)
=
∗
∗
Imi(A,B) . Por tanto existe y ∈ Hq−1 (B) tal que i (A, B)(y) = ∂(X,A) (x).
Ahora i∗ (X, A)i∗(A,B) (y) = i∗ (X, A)∂(X,A) (x) = 0 y además i∗ (X, A)i∗(A,B) =
i∗ (X, B) luego i∗ (X, B)(y) = 0, entonces y ∈ keri∗(X,B) y existe z ∈ Hq (X, B)
tal que ∂(X,B) (z) = y. Note que tanto x como β ∗ (z) ∈ Hq (X, A) y además
∂(X,A) β ∗ (z) = i∗(A,B) ∂(X,B) (z) = i∗(A,B) (y) = ∂(X,A) (x).
Capı́tulo 5. Triplas.
57
Entonces ∂(X,A) (x−β ∗ (z)) = ∂(X,A) (x)−∂(X,A) β ∗ (z) = ∂(X,A) (x)−∂(X,A) (x) =
∗
0. Ası́ pues x − β ∗ (z) ∈ ker∂(X,A) = Imj(X,A)
. Luego existe w ∈ Hq (X)
∗
∗
∗
tal que j(X,A) (w) = x − β (z). Despejando x = j(X,A)
(w) + β ∗ (z) como
∗
∗
∗
j(X,A)
= β ∗ ◦ j(X,β)
entonces x = β ∗ (j(X,A)
(w)) + β ∗ (z) ∈ Imβ ∗ 2
∂(X,A,B)
α∗
5.3 Proposición: Hq (X, A) −→ Hq−1 (A, B) −→ Hq−1 (X, B) es exacta.
∗
∗
Demostración: α∗ ∂(X,A,B) = α∗ ◦ j(A,B)
◦ ∂(X,A) = j(X,β)
◦ i∗(X,A) ◦ ∂(X,A) =
∗
j(X,B)
◦ 0 = 0. Luego Im∂(X,A,B) ⊆ kerα∗ . Veamos que kerα∗ ⊆ Im∂(X,A,B) :
Sea x ∈ kerα∗ , entonces ∂(A,B) (x) = ∂(X,B) α∗ (x) = 0 y x ∈ ker∂(A,B) =
∗
∗
∗
Imj(A,B)
. Entonces existe y ∈ Hq (A) tal que j(A,B)
(y) = x. Ahora j(X,B)
i∗(X,A) (y) =
∗
α∗ (j(A,B)
(y)) = α∗ (x) = 0.
Entonces i∗(X,A) (y) ∈ Imi∗(X,B) . Por tanto existe z ∈ Hq (B) tal que i∗(X,B) (z) =
i∗(X,A) (y). Ahora
i∗(X,A) (y − i∗(A,B) (z)) = i∗(X,A) (y) − i∗(X,A) i∗(A,B) (z) = i∗(X,A) (y) − i∗(X,B) (z) = i
Entonces y − i∗(A,B) (z) ∈ keri∗(A,B) = Im∂(X,A) . Por tanto existe w ∈
Hq+1 (X, A) tal que ∂(X,A) (w) = y − i∗(A,B) (z).
Veamos que ∂(X,A,B) (w) = x
∗
∗
∗
∗
∂(X,A,B) (w) = j(A,B)
∂(X,A) (w) = j(A,B)
(y−i∗(A,B) (z) = j(A,B)
(y)−j(A,B)
i∗(A,B) (z) =
x − 0 = x. Ası́ pues x ∈ Im∂(X,A,B) 2
5.4 Definición:
1.
Denote i(X,A),B = ((X, A), 1B ) : (A, B) → (X, B) y jX,(A,B) = (1X , (A, B))
∗
en donde (X, A) y (A, B) son admisibles y ∂(X,A,B) = j(A,B)
◦ ∂(X,A) :
Hq (X, A) → Hq−1 (A, B)
2.
La sucesión
i∗(X,A),B
∗
jX,(A,B)
∂(X,A,B)
→ Hq (A, B) −→ Hq (X, B) −→ Hq (X, A) −→ Hq−1 (A, B) →
se llama la sucesión de homologı́a de tripla (X, A, B)
2
58
Topologı́a Algebráica
5.5 Corolario: La sucesión de homologı́a de (X, A, B) es una sucesión exacta 2
5.6 Proposición:
1.
∗
∗
Si B = φ entonces i(X,A),B = i(X,A),φ = i(X,A) y jX,(A,B)
= j(X,A)
y la
sucesión exacta de (X, A, B) es la sucesión exacta de (X, A).
2.
∗
Si A ∼
: Hq (X, B) → Hq (X, A) es un isomor= B, entonces jX,(A,B)
η
η
fismo, ∀q . (Note que A ∼
= B es equivalente a que A es deformable en
B).
3.
Si X es deformable en B, entonces la sucesión exacta de (X, A, B) es
la sucesión 0.
4.
∗
Si A es contractible a un punto entonces jX,(A,B)
: Hq (X, B) →
Hq (X, A) es un isomorfismo.
5.
Si (X, A) es admisible y A admite un punto entonces
i∗
j∗
∂
∗
∗
→ Hq (A, ∗) →
Hq (X, ∗) →
Hq (X, A) →∗ Hq−1 (A, ∗) →
con los morfismos i∗∗ = i(X,A),∗ , j∗∗ = jX,(A,∗) , ∂∗ = ∂(X,A,∗) es exacta
2
5.7 Definición: La sucesión
i∗
j∗
∂
∗
∗
→ Hq (A, ∗) →
Hq (X, ∗) →
Hq (X, A) →∗ Hq−1 (A, ∗) →
se llama la sucesión exacta “punteada” de (X, A)
2
Ahora nos entendemos con morfismos entre triplas.
Supongamos que B → A → X es una tripla de C 0 entonces B → A, A → X,
B → X son admisibles.
5.8 Definición: Si (X1 , A1 , B1 ) y (X2 , A2 , B2 ) son triplas admisibles, un
morfismo admisible f : (X1 , A1 , B1 ) → (X2 , A2 , B2 ) es una tripla fX , fA , fB
con fX : X1 → X2 , fA : A1 → A2 , fB : B1 → B2 tal que (fX , fA ) y (fA , fB )
son admisibles.
5.9 Proposición: Si f : (X1 , A1 , B1 ) → (X2 , A2 , B2 ) es un morfismo admisible de triplas, entonces
Capı́tulo 5. Triplas.
1.
59
(fX , fB ) es admisible.
2.
∗
∗
∗
j
i
∂
- Hq (A1 , B1 ) Hq (X1 , B1 ) - Hq (X1 , A1 ) - Hq (A1 , B1 )
(fA ,fB )∗
(fX ,fB )∗
?
?
(fX ,fA )∗
?
-
(fA ,fB )∗
?
- Hq (A2 , B2 ) - Hq (X2 , B2 ) - Hq (X2 , A2 ) - Hq (A2 , B2 )
-
establece un homomorfismo de sucesiones de grupos (abelianos) y homomorfismo 2
Notación: La sucesión de (X, A, B) se denotará H 3 (X, A, B) y se llamará la
sucesión de homologı́a de la tripla (X, A, B). Se nota claramente que para
dar una teorı́a de homologı́a es equivalente dar sucesiones de parejas o darlas
de triplas puesto que cada una de ellas implica la otra. Algo distinto ocurre
cuando se hable del axioma de escisión. Algo más laborado debe hacerse. Sin
embargo, la parte de funtores de homologı́a tienen directamente. En efecto
5.10 Proposición: Si se toman como objetos las triplas admisibles y como
morfismos entre ellos los morfismos de 5.8 entonces se tiene una categorı́a 2
La categorı́a de la proposición precedente se denotará C30 y se tiene de inmediato que
5.11 Proposición: H 3 : C30 → Ch definido como (X, A, B) 7→ H 3 (X, A, B)
y para f : (X1 , A1 , B1 ) → (X2 , A2 , B2 ) se toma H3 (f ) el morfismo entre
cadenas de 5.9, 2, entonces H define un funtor covariante 2
Si η = (C, d0 , d1 , s) es una homotopı́a en C. Para una tripla (X, A, B) tome
como cilindro C3 (X, A, B) a
B
(A,B)
- A
d0B
(X,A)
- X
d0A
?
C(B)
?
- C(A)
C(A,B)
6
?
- C(X)
6
d1A
(A,B)
- A
(d0(X,A,C) ) = d03
C(X,A)
6
d1B
B
d0X
d1X
(X,A)
- X
(d1(X,A,B) ) = d13
60
Topologı́a Algebráica
denotaremos η3 = (C3 , d03 , d13 , s3 ).
5.12 Proposición: η3 un sistema homotópico sobre C3
2
En cuanto a la repercusión de η3 sobre la homologı́a de triplas se tiene.
5.13 Proposición:
1.
Si (X, A, B) es admisible en C30 entonces también lo es la red de C3 (X, A, B).
2.
Si f, g : (X1 , A1 , B1 ) → (X2 , A2 , B2 ) son morfismos en C30 y f ∼ g,
entonces H3 (f ) = H3 (g) 2
η3
Ejercicios Suplementarios
1.
Demuestre 1, 2, 4, 5 de 5.6.
2.
Demuestre 3 de 5.6 y compárelo con corolario 6.3 del libro de Hu.
Compatibilice los dos resultados.
3.
Concrete la existencia de una categorı́a de parejas punteadas de 5.6,
5 y funtor de homologı́a siguiendo 5.7. Dé además el correspondiente
sistema homotópico y el paralelo con el axioma de homotopı́a, como
un teorema.
4.
Proponga un paralelo al axioma de escisión para parejas punteadas con
su teorema correspondiente a nivel de homologı́a de parejas punteadas.
5.
Denote por HX (X, A) la sucesión de 5.7. Determine H∗ (X, A) cuando
X es contractible a un punto. Determine la existencia y validez de
H̃∗ (X, A).
61
Homología Singular
CAPÍTULO 6
HOMOLOGÍA SINGULAR
Objetos simpliciales y cosimpliciales
Los objetos que dan lugar a la llamada homología singular juegan un papel mucho mas
amplio en Topología Algebraica que los mostrados aquí. La presentación que usamos
permitirá al estudiante leer al respecto en libros mas avanzados.
6.1
1
2
3
6Þ#
Definición:
? es la categoría de los conjuntos {0, 1, â, n} = [n], 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞÞ y
morfismos entre ellos las funciones crecientes.
Los objetos simpliciales sobre una categoría V, son los funtores contravariantes
? Ò V.
Dados dos objetos simpliciales de V, digamos X,Y: ? Ò V un morfismo
´ natural -n : Xn Ò Yn , donde Xn œ X(n)…
- À X Ò Y es una transformacion
Proposición: Los objetos simpliciales de V forman una categoría…
Similarmente los objetos cosimpliciales sobre V son los funtores covariantes ? Ò V y
se completa una categoría con las transformaciones naturales entre ellos.
´ corriente ?‰ V para los la categoría de los
6Þ$
Notación: Usaremos la notacion
objetos simplicialers de V y ?V para la categoría de los objetos cosimpliciales de V.
Caras, degeneraciones, homomorfismo simplicial
Damos sin demostración la manera extendida de presentar los objetos simpliciales de V:
6Þ%
1
Proposición:
´ Xn , n œ 0, 1, 2, â de objetos
En ?‰ V un objeto X esta´ dado por una sucesion
s3
d3
de V junto con morfismos Xn Ò Xn+1 , i œ 0, â, n+1 y Xn Ò Xn-1 y con las
llamadas propiedades combinatorias
d3 d4 œ d4" d3 si i < j
s3 s4 œ s4" s3 si i Ÿ j
s4" .3
si i  j
si i œ j ó i œ j  1
"
d3 s4 =
s4 d3"
si i  j  1
2
Dados X y Y en ?‰ V un homomorfismo simplicial (morfismo en ?‰ V)
´ fn : Xn Ò Yn , n = 0, 1, 2, â de morfismos que
f À X Ò Y es una sucesion
conmutan con caras y degeneraciones. Es decir
.3 ‰ 08 œ 08" ‰ .3 ß a8ß a3 œ !, â , 8  "
08" ‰ =4 œ =4 ‰ 08 ß a8ß a4 œ !, â , 8  "Þ …
Las s4 son llamandas degeneraciones y las .3 son llamadas caras de \ . La proposición
y nombres duales rigen para objetos cosimpliciales. Así, para un objeto cosimplicial de V
´
se tienen los mismos niveles pero con si : Xn+1 Ò Xn , di : Xn-1 Ò Xi y las formulas
62
Homología Singular
´ Por ejemplo en cambio de di dj = dj-1 di , si i < j se tiene d j di =
combinatorias al reves.
di d j-1 , si i < j.
De acuerdo con lo precedente, como hemos denotado E, a la categoría de los grupos
abelianos, ?‰ E, denotará la categoría de los grupos abelianos simpliciales. Así pues
dados X y Y en ?‰ E, un morfismo de X en Y o, como tambien se llama, un
´ fn : Xn Ò Yn , n = 0, 1, 2, â de
homomorfismo simplicial f À X Ò Y es una sucesion
homomorfismos que conmutan con caras y degeneraciones.
Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenas
Hemos denotamos V2 la categoría de las cadenas (complejos de cadenas) de grupos
abelianos y homomorfismo entre ellos y VV2 la de las cocadenas de grupos abelianos.
$
$
$
$
Cuando las consideramos Ò E8" Ò E8 Ò ÞÞÞÞ Ò E! , es decir la numeración
comienza en !, /l siguiente resultado liga de manera directa las cadenas con grupos
abelianos simpliciales y similarmente cocadenas con grupos abelianos cosimpliciales:
6.5
´ Sea C: ?‰ E, Ò V2 dado por
Proposicion:
1
C(X)n = Xn y $n : Xn Ò Xn-1 dada por $n =
n-1
(  1)i di , si X es un grupo
i=0
abeliano simplicial
2
Si f: X Ò Y es un homomorfismo simplicial C(f)n œ fn .
Entonces C: ?‰ E, Ò V2 de 1 y 2 es una equivalencia de categorías …
De igual manera se tiene el funtor CC: ?E, Ò VV2 (la categoría de las cocadenas) el
´ una equivalencia de categorías.
cual es tambien
Funtores de homología, cohomología, singular
Por lo precedente, sera´ suficiente tener un funtor V Ò ?‰ E, para tener homología en V.
Igualmente, para cohomología sobre V es suficiente tener un funtor V Ò ?E,.
Inicialmente a los primeros los llamamos funtores de homología sobre V y a los
segundos de cohomología.
´
La homología singular con coeficiente en G sobre los espacios topologicos
corresponde a
la siguiente composición de funtores:
Top
Sing ‰
L( _,G) ‰
Ò ? G984
Ò ? E,
C
Ò
V2
De ella conocemos a C. Los demás los describimos ahora.
Proposición: Sea ] À ? Ò Tß un objeto simplicial de T , denotado en forma
34
$3
extendida por ] n" Ò Y8 , 3 œ 0, â , n  1; ] n+1 Ò Y8 , 4 œ !ß "ß ÞÞÞß 8  ".
Considere las asignaciones siguientes si E − S,4T:
1
W] ÐEÑ8 œ L97T Ð] 8 ß EÑ,
2
.3 À W] ÐEÑ8 Ò W] ÐEÑ8" dada por .3 ÐαÑ œ α ‰ $3
3
=4 À W] ÐEÑ8 Ò W] ÐEÑ8" dada por =4 (α) œ α ‰ 34
Entonces W] ÐEÑ es un conjunto simplicial …
6.6
63
Homología Singular
La construcción de 6.6 se puede extender a los morfismos así:
6.7
Proposición: Si 0 À E Ò F es un morfismo de T, entonces
W] Ð0 Ñ8 À W] ÐEÑ8 Ò W] ÐFÑ8 ß dada por α È 0 ‰ α, para 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞÞ es una función
simplicial …
Poniendo juntos los dos resultados precedentes tenemos:
6.8
Proposición: W] , construido en las proposiciones precedentes, es un funtor
covariante W] À T Ò ?‰ G984 …
6.9
Definición: W] de la proposición precedente se denomina el 0 ?8>9< =381?6+<
+=9-3+.9 + ] .
Simplejos Topológicos
Pasando al caso específico que nos ocupa, I6 0 ?8>9< =381?6+< ./ X 9: ,
W381 À X 9: Ò ?‰ G984 es precisamente W] cuando ] es el modelo corriente de los
simplejos topológicos, ? À ? Ò X 9: dado así:
?8 Ð œ ] 8 Ñ œ ˜ÐB! ß B" ß ÞÞÞß B8 Ñ − ‘8" l B3 !ß
>9:96ó13-9.
B3 œ " ™
es
el
8  =37:6/49
$3
?n" Ò ?8 , ÐB! ß B" ß ÞÞÞß B8" Ñ È ÐB! ß B" ß ÞÞÞß B3" ß !ß B3" ß ÞÞÞß B8" Ñß 3 œ 0, â , n  1
34
?n+1 Ò ?8 ,
"ß ÞÞÞß 8  ".
6.10
ÐB! ß B" ß ÞÞÞß B8" Ñ È ÐB! ß B" ß ÞÞÞß B4" ß B4  B4" ß B4# ß ÞÞÞß B8" Ñß 4 œ !ß
Proposición: ? así definido es un espacio topológico cosimplicial …
6.11 Definición: W? À X 9: Ò ?‰ G984 se denomina el funtor singular corriente de los
espacios topológicos y se denota W381 À X 9: Ò ?‰ G984 …
En cuanto a L( _ , G) esta´ dado así:
Grupos G-libres (o G  grupos)
Por similitud con el caso de los grupos abelianos libres, en particular con su
comportamiento, damos el concepto de grupo G-libre ( o G-grupo). Posteriormente lo
ligamos a aspectos de homología y cohomología.
6.11
1
2
3
Notación: En lo que sigue usaremos como equivalentes
“aa%A"
“para casi todo a en A"
´ para un numero
´
“salvo a lo mas
finito de elementos de A" …
´ Sea A un conjunto. El grupo
Definicion:
L(A,G) = {f À A Ä G | f(a) = 0, aa − A}
sera´ llamado el G-grupo sobre A o el grupo G-libre generado por A , denotado
´ por L(A) cuando el grupo subyacente G esta´ claro …
tambien
6.12
64
Homología Singular
´ denotado Š G. En los grupos abelianos se
Por razones obvias L(A,G) sera´ tambien
A
tiene, por supuesto, que Š G z G.
A
A
´
´
6.13
Proposicion:
Sea G un grupo abeliano y f À A Ä B una funcion.
Sea
´ definida así: si
L(f , G) À L(A) Ä L(B) (o´ L(f) cuando G esta´ claro), la funcion
α À E Ä K sea "α À F Ä K dada por "α (b) œ
α(a) si f -" (b) Á 9 y "α (b) œ 0 si
a%f -1 (b)
-1
f (b) = 9. Tomamos L(f,G)ÐαÑ œ "α Þ Entonces L(f,G) es un homomorfismo de grupos.
´ como (L(f)(α))(b) = 0 si f -1 (b) Á gß entonces (L(f)(α))(b) œ
Demostracion:
α(a), y
a%f -1 (b)
se tiene pues que
(L(f)(α+# ))(b) =
(α+# )(a) =
a%f -1 (b)
α(a) +
a%f -1 (b)
# (a) = (L(f)(α))(b) + (L(f)(# ))(b)
a%f -1 (b)
= ( L(f)(α) + L(f)(# ) ) (b)
Si f -1 (b) = g la igualdad se da´ trivialmente …
´ aun
´
Se tiene mas
´ L: Conj Ä AB, con A È L(A,G), f È L(f,G) es un funtor
6.14
Proposicion:
covariante.
g
f
´ sean A Ä
Demostracion:
B y B Ä C funciones. Entonces
[L(g ‰ f)(α)](c) =
α(a)
a−(g‰f)-1 (c)
α(a)
=
a−f -1 (b)•b−g-1 (c))m
=
b%g-1 (c)
=
a%f -1 (b)
α(a)‹ =
cL(f)(α)d(α) = cL(g)[L9f)(α)]d(c)
c[L(g) ‰ L(f)](α)d(c)
b%g-1 (c)
=
Š
´ porque g-1 (c) = g o bien
´ porque ab − g-1 (c), f -1 (b) = g.
Si (g ‰ f)-1 (c) = g es bien
consideremos g-1 (c) = g. Entonces
cc[L(g) ‰ L(f)]d(α)d(c) = ŠL(g)ŠL(f)(α)‹‹(c) =
L(f)(α)(b) = 0
b%g-1 (c)
-1
-1
´
Por otro lado si ab − g (c), f (b) = 9, entonces retomando la ultima
sumatoria se recibe
L(f)(α)(b) =
b%g-1 (c)
α(a)
b%g-1 (c)
= 0
a%f -1 (b)
La demostración de que L(1A ) = 1L(A) es simple …
´ equivalente, pero que facilita procesos de adjuncion
´ es la siguiente:
Una version
65
Homología Singular
6.15
Porposición: Sea G un grupo abeliano.
Para un conjunto A, sean
T(A) œ ˜ ga a | ga œ 0 
a a% A ™
a% A
ga a 
a% A
ha a œ
a% A
(ga +ha ) a
a% A
ga a œ 0 si y solo si ga œ 0ß aa%A.
a% A
´ dada por T(f)(
Para f:A Ä B sea T(f): T(A) Ä T(B) la funcion
ga a )=
a% A
ga f(a).
a% A
Entonces:
1)
T(A) es un grupo abeliano.
2)
T(f) es un homomorfismo.
3)
T: G984 Ò E, ; a È T(A) ; f È T(f) es un funtor covariante.
4)
-A : L(A) Ä T(A) ; α È α(a) a es un isomorfismo natural …
a% A
´
Como es costumbreß en la práctica los terminos
de
ga a con ga œ ! se omiten.
a% A
Dado lo precedente usaremos indiferentemente el funtor T o L en lo que sigue. En
´ de la adjuncion
´ del funtor de generación de grupos
particular se tiene la generalizacion
abelianos libres con el de olvido de la estructura de grupo:
´ Sea R: E, Ä G984 el funtor Hom(G, ). Entonces (T, R) es un
6Þ"' Proposicion:
par adjunto, en el sentido de que existe un isomorfismo natural
-\ßE : L97E, ( T(X) , A) Ä L97G984 ( X , R(A) )
´ En efecto sea - œ -\ßE : L97E, ( T(X) , A) Ä L97G984 ( X , R(A) )
Demostracion:
dada por (-(f)(x))(g)=f(gx), donde f:T(X) Ä A es un homomorfismo y g%G. Entonces es un isomorfismo natural …
´ sobre G:
Regresando al funtor L, fijamos ahora el conjunto A y permitimos variacion
´ Sea A un conjunto. Sea S : AB Ä AB definido en los objetos por
6Þ"( Proposicion:
S(G) œ Š G y en los morfismos, si f: G Ä H es un homomorfismo sea
A
S(f) œ Š f À Š G Ä Š H. Entonces S es un funtor covariante …
A
A
A
Los dos funtores se pones juntos así:
´ A † G en cambio de L(A, G) . Con lo cual se tiene
En lo que sigue usaremos la notacion
6Þ")
i)
ii)
iii)
iv)
´
Proposicion:
E † (K1 Š K2 ) z E.K1 Š E.K2
( Ei ) † K z
(Ei † K)
ÐE ‚ FÑ † K z E † ÐF † KÑ
g†K œ!
66
Homología Singular
v)
‡†K œK
vi)
E†!œ!
´
Demostracion:
i) Sea F: A.(G" Š G# ) Ä A.G" Š A.G# dada por F(α)= (α" ,α# ) en donde, para
α:A Ä G" Š G# , αi = 1i α.
Ahora
F(α  " )
œ ((α  " )" , (α  " )2 ) = ((1" (α  " ), 1# (α+" ))
œ (1" α+1" " , 1# α+1# " ) = (1" α, 1# α) + (1" " , 1# " ) = F(α) + F(" ).
´ si F(α) = 0 entonces (α" , α# ) = 0 y α = 0. Finalmente si α: A Ä G" ,
Ademas
´
" :A Ä G# entonces (α, " ): A Ä G" Š G# aplica a È (α(a)," (a) ) que claramente
pertenece a A(G" Š G# ) y F(α, " ) = (α, " ).
´ de (L,R)
ii) Sige de la adjuncion
´ biyectiva corriente del isomorfismo
iii) Usamos la funcion
GA‚B ¶ (GB )A . F: (A ‚ B)G Ä A(BG) con (F(α)(a))(b) = α(a, b).
Claramente F(α) − A(BG) y (F(α  " )(a))(b) œ (α  " )(a, b) œ α(a, b)  " (a, b) …
Como corolario se tiene, por supuesto
6.19
Corolario:
i)
Sea G un grupo abeliano finitamente generado, digamos G œ ™p8" " Š ™p8# # Š â
n
™p8m7 . Entonces L(A, G) z Š L(A, ™p8i 3 ).
i=1
ii)
L(A, G) œ L Š
{a}, G‹ œ Š L({a}, G) z Š G = Š G …
a%A
a%A
A
a% A
´
´
El calculo
de L(A,G) se reduce pues al calculo
sobre grupos cíclicos de orden de potencia
´
de primo. La parte ii) se coloca unicamente
para enfatizar que L puede ser definido como
L(‡) œ K, para cualquier objeto final ‡ y extendido “por linealidad" sobre sumas. W i
X À ? Ò G984 entonces
L( _ ,G)
X
"
L(X,G) es el funtor compuesto ? Ò G984 Ò E,. Sus caras y
degeneraciones serán:
#
di : L(X,G)n Ò L(X,G)n-1 es L(di ,G): L(Xn ,G) Ò L(Xn-1 ,G) y lo mismo para
$
sj : L(X,G)n Ò L(X, G)n+1 es L(=i ,G): L(Xn ,G) Ò L(X8" ,G). Además
%
si 0 À \ Ò ] es una función simplicial entonces L(f, G)n = L(fn , G).
Es decir se aplica L( ,G) al esquema X e igual cosa para las funciones simpliciales: si
0 À \ Ò ] es una de ellas entonces L(f, G)n = L(fn , G).
Cambio de coeficientes
Naturalmente la homología sucede cuando se toma K œ ™. Cambiar a K se puede dar de
dos maneras. Uno usando L( _, G) en cambio de L( _, ™). El otro hacer uso del siguiente
mecamismo:
6.20
Proposición: Sea J À T Ò U es un funtor covariante. Si se toma
i
ii
?‰ J À ?‰ T Ò ?‰ U dado por ] È J ‰ ] y
?‰ J Ð-Ñ À ] ‰ J Ä ^ ‰ J como ?‰ J Ð-Ñ8 œ J Ð-8 Ñ, para - À ] Ä ^
67
Homología Singular
entonces ?‰ J es un funtor covariante.
6.21
Definicion: ?‰ J À ?‰ T Ò ?‰ U de 6.20 se llama la extensión simplicial de
J ÀTÒU…
Por ejemploß la extención simplicial del funtor T: G984 Ò E, es el funtor
?‰ X œ L(_,G): ?‰ G984 Ò ?‰ E, .
´ L( _, G): ?‰ G984 Ò ?‰ E, sera´ llamado el funtor de cambio de
6.22
Definicion:
coeficientes a G …
68
Homología Singular
Problemas suplementarios
De igual manera se tiene el funtor CC: ?E, Ò VV2 (la categoría de las cocadenas) el
´ una equivalencia de categorías.
cual es tambien
Usando descomposicion de [m] Ä [n] 6Þ%
Proposición:
COEFICIENTES HOMOTOPICOS
Por Roberto Ruiz S.
Profesor Titular Universidad del Valle
Cali, Octubre de 1993
ÍNDICE
Pg
2
2
1.
GRUPOS G-LIBRES
Grupos G-libres (o G  grupos)
2.
OBJETOS SIMPLICIALES Y COSIMPLICIALES
Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos
Caras, degeneraciones
propiedades combinatorias
Homomorfismo Simplicial
Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenas
Funtores de homología, cohomología y homotopía
Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos
3.
CAT COMO FUENTE DE HOMOTO-HOMOLOGIA
Y COHOMOLOGIA
Fuente Algebaica
El funtor nervio
El funtor co-nervio
Funtores de ordenes
Funtores de Operaciones
9
9
10
10
11
12
LA TEORIA ALGEBRAICA DE LOS GRUPOS ABELIANOS
´
Sistemas geometricos
de coeficientes
12
12
4.
Bibliografía
6
6
6
6
7
7
7
8
14
1. GRUPOS G-LIBRES
Grupos G-libres (o G  grupos)
Por similitud con el caso de los grupos abelianos libres, en particular con su
comportamiento, damos el concepto de grupo G-libre (o G-grupo). Posteriormente lo
ligamos a aspectos de homología, cohomología y homotopía.
1.1.
´ Sea A un conjunto. El grupo
Definicion:
L(A,G) œ {f: A Ä G | f(a) œ 0, aa − A}
sera´ llamado el G-grupo sobre A o el grupo G-libre generado por A , denotado
´ por L(A) cuando el grupo subyacente G esta´ claro …
tambien
´ “aa%A" significa “para casi todo a en A" o, equivalentemente, “salvo a
Aquí la notacion
´ para un numero
´
lo mas
finito de elmentos de A".
´ denotado 9G. En los grupos abelianos se
Por razones obvias L(A,G) sera´ tambien
tiene, por supuesto, que 9G ¶
A
A
G.
A
´ Sea G un grupo abeliano y f: A Ä B una funcion.
´ Sea L(f,G) o´
1.2.
Proposicion:
´ definida por
L(f) cuando G esta´ claro, la funcion
L(f) : L(A) Ä L(B)
α
È "
donde " (b) es
α(a) si f -" (b) Á 9 y es 0 si f -1 (b) œ 9. Entonces L(f,G) es
a%f -1 (b)
un
homomorfismo de grupos.
´ como (L(f)(α))(b) œ 0 si f -1 (b) œ 9 o bien
´ (L(f)(α))(b) œ
Demostracion:
α(a), se
a%f -1 (b)
tiene pues que
(L(f)(α+" ))(b) œ
(α+" )(a) œ
a%f -1 (b)
α(a) +
a%f -1 (b)
" (a)
a%f -1 (b)
œ (L(f)(α))(b) + (L(f)(" ))(b) œ (L(f)(α) + L(f)(" ))(b)
Si f -1 (b) œ 0 la igualdad se da´ trivialmente …
´ aun
´
Se tiene mas
´ L: Conj Ä AB, con A È L(A,G), f È L(f,G) es un funtor
1.3.
Proposicion:
covariante.
g
f
´ sean A Ä
Demostracion:
B y B Ä C funciones. Entonces
[L(g ‰ f)(α)](c) œ
α(a) œ
a−(g‰f)-1 (c)
œ
b%g-1 (c)
α(a)
a−f -1 (b)•b−g-1 (c))m
Š
a%f -1 (b)
α(a)‹ œ
b%g-1 (c)
cL(f)(α)d(α)
œ cL(g)[L9f)(α)]d(c) œ c[L(g) ‰ L(f)](α)d(c)
´ porque g-1 (c) œ 9 o bien
´ porque ab − g-1 (c), f -1 (b) œ 9.
Si (g ‰ f)-1 (c) œ 9 es bien
-1
consideremos g (c) œ 9. Entonces
cc[L(g) ‰ L(f)]d(α)d(c) œ ŠL(g)ŠL(f)(α)‹‹(c) œ
L(f)(α)(b) œ 0
b%g-1 (c)
´
Por otro lado si ab − g-1 (c), f -1 (b) œ 9, entonces retomando la ultima
sumatoria se
recibe
L(f)(α)(b) œ
b%g-1 (c)
α(a)
b%g-1 (c)
œ 0
a%f -1 (b)
La parte de L(1A ) œ 1L(A) es clara …
´ equivalente, pero que facilita procesos de adjuncion
´ es la siguiente:
Una version
´ Sea G un grupo abeliano.
1.5.
Proposicion:
i)Para un conjunto A, sean
T(A) œ { ga a | ga œ 0 
a a%A }
a%A
ha a œ
ga a +
a%A
a%A
(ga +ha )
a%A
ga a œ 0 si y solo si ga œ 0 aa%A.
a%A
´ dada por T(f)(
ii) para f:A Ä B sea T(f): T(A) Ä T(B) la funcion
ga a) œ
a%A
ga f(a).
a%A
Entonces:
1) T(A) es un grupo abeliano
2) T(f) es un homomorfismo
3) T: CONJ Ä AB ; a È T(A) ; f È T(f) es un funtor covariante
4) -A : L(A) Ä T(A) ; α È α(a) a es un isomorfismo natural …
a%A
´
(Como es costumbre los terminos
de
ga a iguales a cero se omiten. Algo del tipo
a%A
gx,con x%X o ga con a%A es normal)
Dado lo precedente usaremos indiferentemente el funtor T o L en lo que sigue. En
´ de la adjuncion
´ del funtor de generacion´ de
particular se tiene la generalizacion
grupos abelianos libres con el de olvido de la estructura de grupo:
´ Sea R: AB Ä CONJ el funtor Hom(G,  ). Entonces (T, R) es
1.6.
Proposicion:
un par adjunto, es decir que R es adjunto a derecha de L.
´
Demostracion:
En efecto sea - : AB(T(X),A) Ä CONJ(X,R(A))
dada por
(-(f)(x))(g) œ f(gx), donde f:T(X) Ä A es un homomorfismo y g%G. Entonces - es un
isomorfismo natural …
´ sobre G:
Regresando al funtor L, fijamos ahora el conjunto A y permitimos variacion
´ Sea A un conjunto. Sea S :
1.7.
Proposicion:
por S(G) œ 9G y en los morfismos, si f: G Ä H
A
S(f) œ 9f À 9G Ä
A
A
Entonces S es un funtor covariante …
AB Ä AB definido en los objetos
es un homomorfismo entonces
9H
A
Los dos funtores se pones juntos así:
Corolario: Sea L: Conj x AB Ä AB dado por L(A, G) œ 9G y si (f, F): (A,
A
G) Ä (B, H) es un morfismo de Conj x AB entonces L(f, F): 9G Ä 9H, con ( L(f,
A
B
F)(α) ) (b) œ
F(α(a)) o´ 0 si f -1 (b) œ 9 . Entonces L es un funtor covariante …
1.8.
a%f -1 (b)
´ de L(f, F) es clara:
Una descomposicion
´ Con la notacion
´ de 1.6 se tiene que
1.9 Proposicion:
L(f, F) œ ( 9 F ) ‰ L (f, F) œ L (f, F) ‰ (9F) …
B
A
´ A † G en cambio de L(A, G) . Con lo cual se
En lo que sigue usaremos la notacion
tiene
´
1.10 Proposicion:
i)
A † (G1 Š G2 ) ¶ A.G1 Š A.G2
ii) ( Ai ) † G ¶
(Ai † G)
iii) (AxB) † G ¶ A † (B † G)
iv) 9 † G œ 0
v) * † G œ G
vi) A † 0 œ 0
´
Demostracion:
i) Sea F: A.(G" Š G# ) Ä A.G" Š A.G# dada por F(α) œ (α" ,α# ) en donde, para α:
A Ä G" Š G# , αi œ Ci α. Ahora F(α +" ) œ ((α+" )" , (α+" )2 ) œ ((C" (α+" ),
C# (α+" )) œ (C" α+C" " , C# α+C# " ) œ (C" α, C# α) + (C" " , C# " ) œ F(α) + F(" ).
´ si F(α) œ 0 Ä (α" , α# ) œ 0 Ä α" œ 0, α# œ 0. Luego α œ 0.
Ademas
Finalmente si
α: A Ä G" , " : A Ä G# entonces (α, " ): A Ä G" Š G# , a È
´
(α(a)," (a)) claramente
pertenece a A(G" Š G# ) y F(α, " ) œ (α, " ).
´ de (L,R)
ii) Sige de la adjuncion
´ biyectiva corriente del isomorfismo GAxB ¶ (GB )A . F: (AxB)G
iii) Usamos la funcion
Ä A(BG) con (F(α)(a))(b) œ α(a, b). Claramente F(α) − A(BG) y (F(α+" )(a))(b) œ
(α+" )(a, b) œ α(a, b) +" (a, b) …
Como corolario se tiene, por supuesto
1.11. Corolario:
i) Sea G un grupo abeliano finitamente generado, digamos G œ ™p" n" Š ™p# n# Š â
n
™pm nm . Entonces L(A, G) ¶ 9 L(A, ™pi ni ).
iœ1
ii) L(A, G) œ L Š
a%A
{a}, G‹ œ 9 L({a}, G) ¶ 9 G œ 9G …
a% A
a% A
A
´
´
El calculo
de L(A, G) se reduce pues al calculo
sobre grupos cíclicos de orden de
´
potencia de primo. La parte ii) se coloca unicamente
para enfatizar que L puede ser
definido como L(*) œ G, para cualquier objeto final * y extendido “por linealidad" sobre
sumas.
2. OBJETOS SIMPLICIALES Y COSIMPLICIALES
Objetos simpliciales y cosimpliciales
Recordemos que los objetos simpliciales sobre una categoría V, son los funtores
contravariantes ? Ä V donde ? es la categoría de los conjuntos {0, 1, â, n} œ [n]
y morfismos las funciones crecientes. Dados dos objetos X, Y: ? Ä V un morfismo
´ natural -n : Xn ( œ X(n)) Ä Yn . Los objetos
-: X Ä Y es una transformacion
simpliciales de V forman una categoría. Similarmente los objetos cosimpliciales sobre
V son los funtores covariantes ? Ä V y se completa una categoría con las
´ corriente ?0 V para la
transformaciones naturales entre ellos. Usaremos la notacion
primera categoría y ?V para la segunda.
Caras, degeneraciones
´ Xn , n œ 0, 1, 2, â de grupos
En ?‰ AB un elemento X esta´ dado por una sucesion
abelianos junto con homomorfismos.
si
Xn Ä Xn+1
i œ 0, â, n+1 (llamadas degeneraciones)
di
Xn Ä Xn-1
i œ 0, â , n  1 (llamadas caras)
y con las llamadas propiedades combinatorias
di dj
œ
si sj
œ
di sj
œ
dj-1 di
sj+1 si
sj-1
"
sj di-1
si i < j
si i<j
si i<j
si i œ j ó i œ j  1
si i  j  1
Homomorfismo Simplicial
Dados X y Y en ?‰ AB un homomorfismo simplicial (morfismo en ?‰ AB) f À X Ä
Y
´ fn : Xn Ä Yn , n œ 0, 1, 2, â de homomorfismos que conmutan con
es una sucesion
caras y degeneraciones. Igual cosa sucede para ?‰ V, donde V es una categoría
cualquiera. Aquí si , dj , fn son morfismos de V. Para un objeto cosimplicial ?V se
´
tienen los mismos niveles pero con si : Xn+1 Ä Xn , di : Xn-1 Ä Xi y las formulas
´ Por ejemplo en cambio de di dj œ dj-1 di si i < j se tiene dj di
combinatorias al reves.
œ di dj-1 si i < j.
Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenas
Por otro lado denotamos CAD la categoría de las cadenas (complejos de cadenas) de
grupos abelianos y homomorfismo entre ellos y CCAD la de las cocadenas de
grupos abelianos. Los objetos de ?‰ AB (respectivemente ?AB) se llaman grupos
abelianos simpliciales (respectivemente cosimpliciales) . El siguiente teorema liga
de manera directa las cadenas con ellos [1]:
2.1.
´ Si X es un grupo abeliano simplicial sea C(X)n œ Xn , dn : Xn
Proposicion:
n-1
Ä Xn-1 dada por dn œ
(  1)i di .
Si f: X Ä Y es un homomorfismo simplicial
iœ0
sea C(f)n œ fn . Entonces C: ?‰ AB Ä CAD es una equivalencia de categorías …
De igual manera se tiene el funtor CC: ?AB Ä CCAD (la categoría de las
´ una equivalencia de categorías.
cocadenas) el cual es tambien
Funtores de homología, cohomología y homotopía
Por lo precedente sera´ suficiente tener un funtor V Ä ?‰ AB para tener homología en
V. Igualmente, para cohomología sobre V es suficiente tener un funtor V Ä ?AB.
Inicialmente a los primeros los llamamos funtores de homología sobre V y a los
segundos de cohomología
´
Ejemplo: La homología singular con coeficiente en G sobre los espacios topologicos
corresponde al siguiente funtor:
L( ,G) ‰
Sing
C
Top Ä ?‰ CONJ
Ä ? AB Ä CAD
en donde Sing es el funtor singular corriente y L( , G) esta´ dado así: si X: ? Ä
L( ,G)
X
Ä AB, di : L(X,
CONJ entonces L(X, G) es el funtor compuesto ? Ä CONJ
G)n Ä L(X,G)n-1 es L(di ,G): L(Xn ,G) Ä L(Xn-1 ,G) y lo mismo para sj : L(X, G)n Ä L(X,
G)n+1 . Es decir se aplica L( ,G) al esquema X e igual cosa para las funciones
simpliciales: si f: X Ä Y es una de ellas entonces L(f, G)n œ L(fn , G).
Si H es un grupo abeliano, entonces el funtor contravariante Hom(_ ,H) :AB Ä AB,
´
se extiende a todo ?‰ AB, para producir cohomología. Por su caracter
de
‰
´ resulta un funtor ? AB Ä ?AB. Si H œ Hom(G,R(B))
contravariante la extension
entonces la cohomología
?‰ CONJ
L(_,G)
Ä
?‰ AB
Hom(_,H)
Ä
?AB
se simplifica a
R(B): ?‰ CONJ Ä ?AB
´ de (L,R)
debido a las propiedades de la adjuncion
Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos
´
2.2.
Definicion:
L(_, G): ?‰ CONJ Ä ?‰ AB sera´ llamado el funtor de cambio
de coeficientes a G …
´ son de homotopía. Esto porque, como
Pero los funtores que caen en ?‰ AB tambien
´ en ?‰ AB hay tambien
´ homotopía. De hecho tiene un
veremos a continuacion,
´ internamente) el teorema
“espacio de lazos" interno que produce (entonces tambien
de Hurewicz.
´ Sea X − ?‰ AB.
2.3.
Definicion:
i) X0 se llamara´ el conjunto subyacente de X y sus elementos “los puntos de X".
ii) X" se llamara´ el conjunto de los arcos de X y si x − X, d0 (x) se llamara´ el punto
inicial de x y d" (x) su punto final.
a y si existe z − X tal que d z œ x y d z œ y …
iii) En X0 se define x µ
"
"
0
´ Con la notacion
´ de 2.3 se tiene
2.4.
Proposicion:
a
´ de equivalencia .
i) µ es una relacion
a y entonces f (x) µ
a f (y)
ii) Si f: X Ä Y − ?‰ AB, x, y − X0 , se tiene que si x µ
0
0
en Y.
a es compatible con la estructura de grupo de X . Es decir si x µ
a y y c−X
iii) µ
0
0
a
entonces cx µ cy.
iv) Sea C0 : ?‰ AB Ä AB dado por C0 (X) œ X0 ‚ a y si f: X Ä Y en ?‰ AB, C0 (f)
µ
œ [f]: C0 (X) Ä C0 (Y), [x] Ä [f0 (x)]. Entonces C0 es un funtor covariante.
v) Para X − ?‰ AB sean
H(X)n œ {x − Xn+1 | `0 x œ 0, `i0 â`in x œ 0, 0 Ÿ ik Ÿ n+1, k œ 0,
â, n}
( di : H(X)n Ä H(X)n-1 ) œ ( di+1 : Xn+1 Ä Xn )
( si : H(X)n Ä H(X)n+1 ) œ ( si+1 : Xn+1 Ä Xn+2 )
entonces H(X) − ?‰ AB y si para f: X Ä Y − ?‰ AB se toma H(f): H(X) Ä H(Y)
como H(f)n œ fn+1 entonces H: ?‰ AB Ä ?‰ AB es un funtor covariante …
´
2.5.
Definicion:
´ generalmente:
i) H se llama el funtor “Grupo de lazos". Mas
´
ii) Hn œ Hn-1 ‰ H se llama el funtor “grupo n-esimo
de lazos"
´
iii) C0 Hn se denota Cn y se llama el funtor “grupo n-esimo
de homotopía", Cn : ?‰ AB
Ä AB
L( , G)
´
Ä ?‰ AB 1Än AB se llama el funtor “n-esimo
iv) ?‰ AB
grupo de homotopía
con
coeficientes en G", se denota Cn ( , G) …
Note que (i) no hemos “punteado" la categoría para tener H. (ii) no hemos definido
´ en H(X) que por paso al cociente produzca C" (X). Por el contrario (iii)
una operacion
hemos usado la estructura de grupo abeliano simplicial para definir C" en cambio del
´
procedimiento normal de la teoría algebraica
de los conjuntos simpliciales “de Kan"
´ de
´
(ver [1] , [2] o [6]) . En esta ultima
si x, y%H(X,*)0 , entonces, por la condicion
´ de Kan, existe w%H(X,*)" tal que d0 (w) œ x , d# (w) œ y. Se demuestra que
extension
´ definida la operacion
´ [x]+[y] œ [d" (w)]. Nosotros usamos la siguiente ventaja
esta bien
:
´ Si X%?‰ AB entonces en H(X,0)0 [x]+[y] œ [x+y].
2.6.
Proposicion:
´ El calculo
´
Demostracion:
de w da´ como resultado w œ s0(y)  s" (d0 (s0 (y))) + s" (x).
Por tanto d" (w) œ x+y …
Hemos usado pues H(X,0) como H(X). Se tiene así que un funtor V Ä ?‰ AB
produce homología y homotopía. Los denominaremos funtores de homotopía y
´ corto, de homoto-homología . Si un funtor “de lazos" existe ya
homología o , mas
en V entonces, para que sea compatible, con la estructura que produce el de ?‰ AB a
travez de F:V Ä ?‰ AB, el siguiente diagrama debe conmutar
F
V
Ä
Æ H
V
Ä
F
?‰ AB
Æ H
‰
? AB
3. CAT COMO FUENTE DE HOMOTO-HOMOLOGIA Y COHOMOLOGIA
´
Fuente Algebraica
´
La topología algebraica
incluye como partes centrales el estudio de homotopía,
homología y cohomología, los cuales Quillen [4] concreto´ dentro de un mismo
´ llamo´ “Algebra Homotopica".
´
´
esquema que el
Ahora bien,
?‰ AB tiene
característicamente los tres aspectos de los cuales hemos visto homología y
homotopía. La cohomología en ?‰ AB parece ser trivial (ver nervio). Esta´ definida,
n+1
para X − ?‰ AB por CC(X)n œ Xn y dn : Xn
Ä
Xn+1 es dn œ
(  1)si . Para
iœ 0
completar la tripla se prefieren funtores que caigan en ?AB. Si pensamos de la
´
´
´
“Topología algebraica"
como una “Teoría algebraica
sobre Top" entonces el algebra
´
´
homotopica
estudia las “teorías algebraicas
sobre V" en donde V es variable. Decimos
´
que V es una fuente algebraica
si V admite funtores V Ä ?‰ AB y V Ä ?AB. La
´ util
´ en cuanto a funtor V Ä ?‰ AB es CAT, simplemente porque hay un gran
mas
´
numero
de funtores que caen en CAT y entonces componen con CAT Ä ?‰ AB.
´ existe tambien
´ un funtor CAT Ä ?AB íntimamente
Aquí veremos que ademas
relacionado con aquel. Este no corresponde al paso corriente de homología a
´ un funtor covariante.
cohomología por medio del funtor Hom. De hecho es tambien
3.1.
El funtor nervio
~ Sean
´ Sea T una categoría pequena.
Proposicion:
α1
α2
αn
a (T)n œ {(α1 , â, αn ) | A0 Ä A1 Ä A2 Ä â Ä An con αi − T }
di :
que elimina el objeto
a (T)n Ä a (T )n-1
´
i  esimo
1
si :
que agrega Ai Ä Ai
a (T)n Ä a (T )n+1
y para F: T Ä U sea
a (F)n : a (T)n Ä a (U )n
(α1 , â, αn ) Ä (F(α1 ), â, F(αn ))
Entonces
i)
a (T) es un conjunto simplicial
´ simplicial
ii) a (F) es una funcion
iii) a : CAT Ä ?‰ CONJ es un funtor covariante …
´ de
El funtor a es conocido como el “funtor nervio". Nosotros usamos la presentacion
[5i]. Naturalmente el compuesto
L( , G) ‰
a
CAT Ä ?‰ CONJ
Ä ? AB
es “el funtor algebráico sobre CAT, con coeficientes en G. Compuesto con C:
?‰ AB Ä CAD dara´ la homología nervio sobre CAT con coeficientes en G y
compuesto con Cn : ?‰ AB Ä AB dara´ la homotopía nervio sobre CAT con
coeficientes en G. En cuanto a cohomología tenemos
El funtor co-nervio
Para el caso de cohomología proponemos el funtor “co  nervio" el cual se asemeja
mucho al nervio mismo.
3.2.
~ Sean
´ Sea T una categoría pequena.
Proposicion:
Va (T)n œ {(α0 , â, αn ) | αi ‰ αi+1 existe, αi − T }
Di : Va (T)n Ä Va (T )n+1
agrega la identidad en la i-
´
esima
Sj :
Va (T)n
Ä Va (T )n-1
´
posicion
´
´ cambia
en la i-esima
posicion
αi
por αi+1 ‰ αi y corre todos los
´ de i en adelante …
demas
Para F: T Ä U , un funtor covariante, sea
Va (F)n À Va (T )n Ä Va (U )n
(α0 , â, αn ) Ä (F(α0 ), â, F(αn ))
Entonces
i)
Va (T) es un conjunto cosimplicial
´ cosimplicial
ii) Va (F) es una funcion
iii) Va : CAT Ä ?CONJ es un funtor covariante …
´
3.3.
Definicion:
i) El funtor Va : CAT Ä ?CONJ se llamara´ el funtor “co  nervio" de CAT.
L( ,G)
Va
ii) El funtor Va
Ä ?CONJ Ä ?AB se llamara´ el funtor de cohomología
co  nervio sobre CAT con coeficientes en G".
´
iii) El funtor CAT Ä ?‰ AB ‚ ?AB, con la primera coordenada el funtor algebraico
con coeficientes en G y la segunda el funtor de cohomolgía conervio lo
´
llamaremos el funtor algebraico
nervio sobre CAT y lo denotaremos por Ta .
Note que el co-nervio en los mismos conjuntos usados como niveles para el nervio y
tiene la mismas funciones caras y degeneraciones pero intercambiadas, cortadas y
´
reordenadas. Es posoble que el conervio se extraiga del nervio por metodos
´ caras
funtoriales como los cortes a derecha e izquierda y finalmente se intercambien
y degeneraciones. En tal caso la cohomología del conervio (que no es trivial) dería la
cohomogía “degenerada" de un conjunto simplicial (extraido del nervio) y por ende la
´ de trivialidad de la degenerada sería desvirtuada.
presuncion
Funtores de ordenes
´ reflexiva y transitiva), entonces
Si A es un conjunto ordenado con orden Ÿ (relacion
A tiene una estructura de categoría T tomando ObjT œ A y si a, b − A, entonces
Mor(a, b) œ š
9 si a ŸÎ b
(a, b) si a Ÿ b
´ que respeta el orden f: T Ä U es evidentemente un
Si f: A Ä B es una funcion
funtor covariante. Se tiene entonces un funtor Or: ORD Ä CAT en donde ORD
denota la categoría de los conjuntos ordenados. Ahora podemos restringirnos a
subcategorías de ORD. Por ejemplo, puesto que una topología es un conjunto
´
ordenado existe una inclusion
I
TOP Ä ORD
Con I(X, ¶ ) œ (¶ , © ) y si f: (Y, ¶x ) Ä (Y, ¶y ) es contínua, entonces I(f): (¶y , © )
Ä (¶x , © ) dada por (I(f))(B) œ f-1 (B). Es un funtor contravariante. Este induce un
funtor de cohomología contravariante en TOP que no es producido (al menos de
manera evidente) por uno del tipo Hom( G,_) a saber
Va
Or
I
TOP Ä ORD Ä CAT Ä ?AB
De igual manera si V denota cualquiera de las categorías RET (de los retículos) ,
BOOL (de las Agebras de Boole), CMPL (de los complejos simpliciales) entonces se
´
tienen los funtores algebraicos
Ta
Or
I
V Ä ORD Ä CAT Ä ?‰ AB ‚ ?AB
´
´ la
Igualmente las operaciones tienen representacion categorica
y entonces tambien
tienen las estructuras algebraícas, asi:
Funtores de Operaciones
´ modulativa y asociativa tiene asociado una
Un conjunto (A, . ) con una operacion
estructura de categoría, digamosT, donde Obj(T, † ) œ {1} y Mor(1, 1) œ A y la
´ es el producto en A. Ademas
´ si f: (A, † ) Ä (B, † ) es una funcion
´ que
composicion
´ y el modulo,
´
preserva la operacion
entonces se tiene un funtor f: T Ä U definido de
´
la unica
manera posible sobre los objetos y como f: A Ä B en los morfismos. Se
recibe pues un funtor Op À OAM Ä CAT
covariante donde OAM denota la categoría de las operaciones asociativas y
modulativas. Las restricciones en OAM incluye la categoría de los grupos, de las
´
algebras
de Boole (en sus dos formas isomorfas) y en el caso de una estructura con
más de dos operaciones, digamos {(A,*i )}i%I se puede usar para representarla, por
este procedimiento, a 9 (A, *i ). Las inclusiones Ij : (A, *j ) Ä 9(A, *i ) son
i% I
i
´ El mismo
inclusiones naturales que preservan la estructura de cada operacion.
procedimiento puede usarse para operaciones externas o acciones.
4.
LA TEORIA ALGEBRAICA DE LOS GRUPOS ABELIANOS
´
Resaltamos aquí el funtor algebraico
de los grupos que resultan de manera natural y
directa del funtor L(A,_). Para esto tenemos :
´
4.1.
Proposicion:
Sea X%?‰ CONJ. Entonces X induce un funtor covariante
‰
AB Ä ? AB dado por L(G) œ L(_,G) ‰ X y si f:G Ä H es un homomorfismo entonces
´ natural inducida
L(f) œ L(_,F) ‰ X donde L(_,f):L(_,G) Ä L(_,H) es la transformacion
´ produce un funtor
por f. Igualmente si X%?CONJ entonces la misma definicion
AB Ä ?AB …
´
Sistemas geometricos
de coeficientes
En particular cuando se inicia con X en ORD o en OAM . Entonces se tiene una
pareja (a I(X), Va (X) ) la cual induce un funtor AB Ä ?‰ AB ‚ ?AB que
denotaremos TX . X se llama el sistema de coeficientes de TX . Si X es un
´
complejo simplicial, entonces se dice que X es un sistema geometrico
de
coeficientes.
´
Ejemplo: Esquema de los coeficientes de la teoría algebraica
de AB con coeficientes
´ por complejo simplicial,
en I œ [0,1]. En este caso podemos hacer una representacion
por simplicidad. El complejo mínimo que representa a I œ [0,1] es ^ œ {{0},{1},{0,1}}.
´ en ^)
Simplificando escritura lo denotamos {0,1,i} con orden (dado por la inclusion
0<0, 1<1, i<i , 0<i ,1<i . La categoría V que le corresponde tiene ObjV œ { 0 ,1 ,i } y
como morfismos 0<0 (denotado 0), 1<1 (denotado 1), i<i (denotado i), 0<i
(denotado α), 1<i (dentado " ). El esquema conjuntista de coeficientes es:
a (V)0 œ ObjV œ {0,1,i}
a (V)" œ { f | f%MorV} œ { 0,1,i,α," }
a (V)# œ {(f,g)| g ‰ f existe en V} œ { (0,0),(0,α),(1,1),(1," ), (i,i) ,(α,i),(" ,i) }
a (V)$ œ {(f,g,h)| g ‰ f y h ‰ g existen en V} œ { (0,0,0),(0,0,α), (0,α,α),(0,α,i),(1,1,1),
(1,1," ),(1," ," ),(1," ,i), (i,i,i),(α,i,i),(" ,i,i) }
En general a (V)n œ {( f" , . . . , fn ) | fi+1 ‰ fi existe en V}
´
Las caras seran
d0 :a (V)" Ä a (V)0 elimina el dominio. Así α È i
d" :a (V)" Ä a (V)0 elimina el codominio. Así " È 1
d0 :a (V)# Ä a (V)" elimina la primera coordenada. Así (1," ) È "
d" :a (V)# Ä a (V)" compone las coordenadas. Así (α,i) È α
d# :a (V)# Ä a (V)" elimina la segunda coordenada. Así (" ,i) È i
En cuanto a a (V)$ Ä a (V)# , d0 elimina el dominio, d" compone segunda con primera
coordenadas, d# compone tercera con segunda coordenadas y d$ elimina tercera
´ se mantiene.
coordenada. De ahí en adelante el patron
En cuanto a las degeneraciones s0 : a (V)0 Ä a (V)" envía cada objeto en su
´
´ coloca la
identidad y en las de los niveles superiores, la i-esima
degeneracion
´
identidad en la i-esima
coordenada. Así s" (1," ,i) œ (1,1," ,i)
´
´
Ahora, supuesto que el esquema fuera (para la parte homologica)
unicamente
d0 , d"
a (V) Ä a (V)
´ de este a, digamos, ™# pondra´ una copia de este grupo sobre
entonces la aplicacion
cada elemento de cada conjunto, aplicando L(_,™# ) así:
Š ™#
a (V)"
L(d0 ,™# )  L(d" ,™# )
Ä
Š ™#
a (V)0
Igual cosa se hace para el conervio y cohomología.
´
En general todas estas teorías algebraicas
estan por calcularse.
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