recursos didácticos: lecturas y actividades

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RECURSOS DIDÁCTICOS:
LECTURAS Y ACTIVIDADES
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Breve historia del cálculo de probabilidades
En esta lectura se muestran los orígenes y la evolución de la probabilidad hasta
nuestros días. Se concluye este artículo con los datos más interesantes sobre la
biografía de Pascal.
Aprender jugando
Con este juego se pretende que los alumnos y las alumnas vean con claridad
(adquieran una intuición bien asentada) que al tirar dos dados las probabilidades de las posibles sumas de resultados (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12) no
son iguales.
Podría tratarse de una experiencia de aula en la que el profesor o profesora propone una carrera entre 11 contendientes, numerados del 2 al 12, que van a avanzar
según el resultado obtenido al sumar las puntuaciones de dos dados. Antes de
empezar cada estudiante apuesta por uno de ellos. Y se realiza, paso a paso –tirada
a tirada– señalando los avances en un tablero pintado sobre la pizarra.
– Los alumnos y las alumnas, antes de empezar, no suelen ser conscientes que
las casillas centrales son más probables (los contendientes son más rápidos)
que las extremas.
– Al terminar el juego es posible que caigan en la cuenta que es más fácil obtener suma 6, 7 ó 8, que 2 ó 12.
– Es especialmente divertido admitir, de entrada, al corredor número 1 al que
le asignará un casillero, como a los demás. Pronto se darán cuenta de que el
pobre no tiene ninguna posibilidad de avanzar, pero antes de empezar siempre suele haber algún alumno o alumna que apuesta por él.
Al finalizar el juego se puede proponer una nueva apuesta para la carrera siguiente. Ahora son muchos más los alumnos y alumnas que apuestan por las
casillas centrales. No es necesario seguir jugando. Ya están en condiciones de
reflexionar sobre el tablero y de evaluar inequívocamente la probabilidad que
tiene cada uno de ellos de avanzar un paso en cada jugada.
Probabilidades históricas
Se trata de una lectura de alto nivel, dedicada a los alumnos y a las alumnas especialmente preparados o curiosos. Se incluyen dos artículos: La aguja de
Buffon, o cómo usar las probabilidades para calcular aproximadamente el número , y La matemática de la herencia, descripción de las primeras leyes de
Mendel en términos probabilísticos.
Unidad 13. Azar y probabilidad
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BREVE HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Sobre sus comienzos
La probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se aprende la probabilidad. A los algebristas del Renacimiento, en el siglo XVI, Pacioli Cardano, Tartaglia,
se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los
juegos de azar y de las apuestas.
Un problema antiguo
En 1654, Blaise Pascal, un matemático francés sobre cuya vida puedes leer algo en
la página siguiente, hacía un viaje en compañía de un jugador más o menos profesional: el caballero de Méré. Éste propuso entonces un problema que a Pascal le interesó mucho. Sin que ninguno de los dos lo supiera, era esencialmente el mismo
problema que había interesado tanto a Pacioli, Tartaglia y Cardano un siglo antes.
Esta es una versión del problema:
Dos jugadores, Antonio y Bernardo, ponen sobre la mesa 100 € cada uno. Un árbitro
va a tirar un dado varias veces seguidas.
Cada uno de los jugadores va a elegir un número entre el 1 y el 6. Antonio elige el 5 y
Bernardo, el 3. Se llevará los 200 € aquel cuyo número salga primero tres veces.
Resulta que, después de unas cuantas tiradas, el 5 ha salido dos veces y el 3 solo ha salido una. En este momento, Bernardo recibe un mensaje por el que debe abandonar necesariamente la partida.
¿Cómo repartir de modo justo y equitativo los 200 €?
Pascal pensó mucho, escribió a su amigo Fermat y por diferentes caminos dieron
ambos con la misma solución del problema y con un montón enorme de ideas: la
Teoría de la Probabilidad había comenzado en serio.
Unidad 13. Azar y probabilidad
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Las obras más importantes a partir de entonces fueron debidas al suizo Jacob Bernoulli, con su Ars conjectandi (1713) y más adelante al francés Pierre Simon de Laplace con su Teoría analítica de las probabilidades (1812).
La probabilidad ahora
La teoría, que comenzó como un juego, se ha convertido hoy día en una de las disciplinas matemáticas más profundas y con más aplicaciones en otras ciencias, tanto
exactas, como naturales y sociales. En todas las ciencias, la incertidumbre ocupa un
papel importante que es necesario cuantificar.
En las ciencias económicas y sociales, es claro que las leyes que se pueden proponer
tienen su fundamento en el manejo de gran cantidad de hechos semejantes y en las
leyes probabilísticas que los gobiernan.
Pero incluso el conocimiento físico de los últimos elementos constituyentes de la
materia es también probabilístico. No se puede decir que un electrón ocupa este lugar ..., sino que la probabilidad de que el electrón sea detectado en este lugar determinado es ...
Biografía de Pascal
Uno de los grandes genios matemáticos de todos los tiempos fue Blaise Pascal
(1623-1662).
Nació en Clermont (Francia). Su madre murió cuando Blasise tenía 3 años y desde
entonces su padre tomó a su cargo personalmente la educación de sus dos hijos:
Jacqueline (dos años menor que Blasise y que mostró un talento precoz en el terreno literario) y Blasise (que lo hizo en el de las matemáticas).
El genio científico de Pascal es impresionante. Entre otros muchos resultados importantes suyos destacan sus ideas sobre la inducción completa, la invención de los
principios de cálculo de probabilidades, su descubrimiento y utilización de los principios del cálculo y la construcción de lo que, probablemente, fue la primera máquina de calcular.
Unidad 13. Azar y probabilidad
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Hacia el año 1646 comenzó a interesarse por la hidrostática, la presión atmosférica
y el vacío, yendo, en muchos puntos, más lejos que Torricelli, contemporáneo suyo.
Antes de cumplir los 30 años, Pascal había adquirido un gran renombre como matemático y físico.
Sin embargo el nombre de Pascal se ha hecho aún más famoso como filósofo de la
religión y como escritor, ocupando así un lugar muy peculiar en la historia del pensamiento. A partir de 1654, después de una honda experiencia religiosa, que él llamó su noche de fuego, decidió dedicarse enteramente a una vida de oración y de
pensamiento religioso.
Sus obras más importantes en este aspecto son Las cartas provinciales, de gran influencia en su tiempo y, sobre todo, los fragmentos hallados después de su muerte
de la gran obra que planeaba en forma de Apología de la religión cristiana.
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APRENDE JUGANDO
META
META
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
En la figura 1 aparece el tablero de juego, en el que las pistas o calles están numeradas del 2 al 12. En cada casilla de salida hay una ficha.
Después de lanzar dos dados y sumar las puntuaciones obtenidas, se avanza una casilla la ficha correspondiente. Ve efectuando tiradas y avanzando las fichas.
Ganará la ficha que primero llegue a la meta.
La figura 2 muestra la situación de una carrera después de 44 tiradas. La suma de
los puntos ha sido 4 en 3 ocasione. El 12 aún no ha salido.
• Aventúrate a decir, antes de jugar, qué ficha será la vencedora.
• Juega una partida. Piensa en los resultados obtenidos.
• Para una siguiente partida, ¿a cuál consideras favorita?
• Observa la siguiente tabla e intenta relacionar con ella el resultado del juego:
2º dado
1er
dado
Unidad 13. Azar y probabilidad
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10 11
7
8
9
10 11 12
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PROBABILIDADES HISTÓRICAS
La aguja de Buffon
A mediados del siglo XVIII un francés, Georges Louis Leclerc, conde de Buffon,
tuvo la curiosa idea de estudiar la probabilidad de que, al lanzar una aguja de 2 centímetros de longitud sobre un papel con rayas paralelas separadas 4 centímetros, la
aguja quedase tocando una raya.
La probabilidad, que se puede obtener mediante matemáticas superiores resulta ser
precisamente
1
1
0,318309
3,141592
es decir, que aproximadamente un tercio de las veces que se tire la aguja, ésta quedará tocando una raya.
Pero esta idea de Buffon conduce, a su vez, a un ingenioso método para calcular experimentalmente el número .
Tomas una cerilla sin cabeza. La cortas de forma que mida 2 cm. Tomas una hoja
de papel bien grande. Pintas rayas paralelas separadas 4 cm. Tiras 100 veces la cerilla sobre el papel y apuntas el número P de veces que se queda tocando una raya.
Entonces has hallado que la probabilidad experimental de que la cerilla toque raya es
1
P
. Como se debe aproximar a (calculado por Buffon), resulta que, aproxima
100
damente:
1
100
P
→ P
100
¿Por qué no haces el experimento? Verás que la exactitud se hace mayor si el número
de tiradas es 200, 300...
La matemática de la herencia
Un fraile agustino austriaco, Gregor Mendel, inició a mediados del siglo XIX el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de
plantas con diferentes características. Su obra, La Matemática de la Herencia, fue
una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de la probabilidad a las
ciencias naturales.
Mendel escogió una planta que presenta un variedad de flores rojas y otra de flores
blancas. Al cruzarlas obtenía una nueva variedad de flores de color rosa.
Cuando estas plantas de color rosa se cruzan entre sí aparecen tres clases de plantas:
una con flores rojas, otra con flores blancas y otra con flores rosas. La proporción
viene a ser: 25% rojas, 25% blancas y 50% de color rosa.
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¿Cómo se explica? Se puede pensar que el color viene determinado por un par de
genes. Cada gen puede ser de dos tipos diferentes que llamaremos gen rojo, R, y
gen blanco, B.
Cuando los genes son RR entonces la flor es roja. Si los dos son BB entonces la
flor es blanca. Si son uno R y otro B entonces la flor es de color rosa.
La planta hija recibe de su padre uno de sus genes correspondiente al color, el otro
de su madre. Cuál de los dos genes del padre y cuál de los dos de la madre van a parar a la hija lo determina la suerte, el azar. Con esto se explica el fenómeno perfectamente.
En la primera generación las plantas que provenían de una variedad que da siempre
flores rojas tienen claramente genes RR, las que dan siempre color blanco tienen
genes BB. Es claro que las hijas segunda generación van a tener todas un gen R y
otro B. Así serán todas rosas.
Pero en la tercera generación las cosas son distintas. Los genes del padre y de la madre se pueden distribuir, suponemos que con igual probabilidad, así:
Madre
(rosa)
Padre
(rosa)
B
R
B
BB
BR
R
RB
RR
Como ves, los casos en que las plantas de la tercera generación son BR o RB,
plantas rosa son dos veces más que los casos en que son BB, blancas, y también dos
veces más que los casos en que son RR, rojas. Por otra, parte el número de casos en
que son BB es igual al de casos en que son RR.
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Propuesta:
¿Te atreves a conjeturar por qué la proporción de plantas rojas, blancas y rosa que se
obtendrán al cruzar plantas rojas y plantas rosas es la siguiente: 50% rojas, 50% rosas, 0% blancas?
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