El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. ZN ⊂ QZ ⊂

MAT
4º E.S.O.
TEMA 1
Objetivo 1:
El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
1.2.
LOS NÚMEROS NATURALES N
Los números naturales son: N = { 0, 1, 2, 3, ········}
es un conjunto infinito y se representan por la semirrecta
positiva de la recta real.
1.3.
LOS NÚMEROS ENTEROS Z
Los números enteros son: Z = { ·······- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ·······} es un conjunto infinito y se
representan en toda recta numérica o real.
NZ
Recuerda:
N es que es la parte positiva de la recta real, el símbolo
 , se lee incluido en, es decir N está incluido en
Z
1.4.
LOS NÚMEROS RACIONALES Q
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros, se
representan en toda recta real, siempre entre dos enteros consecutivos. .
Z  Q ya que  4   4
1
1.4.1 EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.
La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador
de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:
6
Enteros:
 3
2
7
Decimal exacto:
 3,5
2
Decimal infinito periódico.
1
 0,333333333 ·····0, 3
3
89
Periódico mixto:
= 2,96666666······· 2,96
30
Periódico puro:
1.4.2. EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL
3
218
Decimal exacto: 2,18 
siempre se ha de simplificar, si se puede.
1
100
Decimal infinito periódico:
Entero:  3 
Periódico puro:
100 x =
x=
x=
1, 35
135,353535··········
1,353535··········
99 x = 135 – 1
99 x = 134
x
134
99
1, 35 
134
99
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Periódico mixto: x = 1,318
1000 x = 1318,181818·········
10 x = 13,181818·········
990 x = 1318 – 13
990 x = 1305
x
1305
990
1,318 
1305
990
1.4.3. ORDENACION Y REPRESENTACION EN LA RECTA REAL DE UN NUMERO RACIONAL
Los números racionales están ordenados, de manera que siempre podemos comparar dos
cualesquiera y podemos representarlos como puntos de la recta real.
Para comparar dos números racionales los escribimos en forma de fracción, los reducimos a común
denominador y comparamos los numeradores, teniendo en cuenta que:
Cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva.
De dos fracciones positivas con igual denominador es menor la que tenga el menor numerador. De dos
fracciones negativas con igual denominador es menor la que tenga el numerador con mayor valor absoluto.
Para representarlos gráficamente utilizaremos la técnica descrita en la imagen siguiente.
Para dividir un segmento en partes
iguales, se dibuja una recta auxiliar
desde un extremo del segmento,
sobre ella se toma una medida
arbitraria y con el compás se
traslada tantas veces a la derecha
como partes se quieran hacer.
Se une el último punto así obtenido
con el otro extremo del segmento, y
se trazan paralelas a este último
segmento.
Estas paralelas dividen el
segmento inicial en las partes deseadas
Este procedimiento está basado en el Teorema de Thales, explicado en cursos anteriores, recuérdalo
y entenderás mejor la representación de números racionales.
Practica la representación de números racionales con el recurso TIC siguiente:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm
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1.5. LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:
2
La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números
decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son
irracionales.
x
Ejemplos:
2;
3;

x

5 ;. π = 3,14159·····, e = 2.71828···· e;  lím 1 
1    1  5  1,6180········

2
x
AMPLIACIÓN (1.5.1.)
1.5.1.
REPRESENTACION EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los números Irracionales también se representan en la recta real, para ello utilizaremos el
teorema de Pitágoras,
2  1 2 1 2
5
2 2 1 2
# Ejercicio de ampliación:
Representa en la recta real a)
3
7
b)
2 2 1 2
12
Por fin,
el conjunto
de los números reales
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS
Objetivo 1: El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
1. Explica brevemente cada uno de los conceptos siguientes, buscas información fuera de los apuntes si
fuera necesario.
2. Encuentra el mínimo conjunto numérico ( N, Z, Q, I, R ) al que pertenezcan los números, i expresa en
forma decimal e indica que tipo de decimal es, indicando el periodo si lo hubiera.
a)
2
1 3

4 4

1 6 3
  
5 10 5
b)
c)
2 1

3 5
4
7
3. Aplicando el teorema de Tales, dibuja un segmento de longitud
4. Representa gráficamente
a)
4
.
5
b) 7, 2
d)
1 1

3 5 
2
1 1
3
2
6
5
.
6
c) 12,15
5. Encuentra la fracción que representa el número y di a que conjunto numérico pertenece.
a)
4, 6
e) 0,126
b) 2,462
c) 0,18
d) 15, 64
f) 3,15
g) 17, 6
h) 5,09
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