Examen de Junio de 2005 (Final). En formato PDF.

CALCULO
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Examen Final
o
13-Junio-2005
Primer Parcial
1. [1.5 ptos] Calculael lmite
de
5 n
i) la sucesion lim
!1 2 n
x2 (x
1)
ii) la funcion lim
!1 (ln(x))2
n
n
x
2. [1 pto] Encuentra el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias, as como su
suma
1
X
(1 + 2x)
n
n=0
3. [0.75 ptos] El benecio al producir x miles de unidades de un aparato se puede modelizar
x2 + 9x 16
; >para que rango de x ese benecio aumenta? (ten
mediante la funcion B (x) =
x
en cuenta las caractersticas fsicas del problema, no solo las matematicas).
4. [1 pto] El alcance horizontal R de un proyectil, en ausencia de rozamiento por el aire, es
on debida a
R = v02 sen(2)=g, con 0 =2, siendo v0 la velocidad inicial, g la aceleraci
la gravedad, y el angulo de lanzamiento con el suelo. Para g conocida y v0 dada, calcula
el angulo para el que se logra el maximo alcance, determina cuanto vale este y utiliza la
condicion de segundo orden para comprobar su caracter de maximo.
5. i) [0.5 ptos] >Cuantos terminos necesitaras sumar en
1 ( 1)
P
p
n+1
n=1
n2 + 1
para que el error absoluto
del resultado sea menor que una centesima? Di el nombre y enuncia el teorema en el que te
has basado
ii) [0.25 ptos] Dada f : (a; b)
tus propias palabras:
(a) f es uniformemente continua
(b) f es lipschitziana
! R , dene solo uno de estos conceptos y explcalo con
Segundo Parcial
6. [1.25 ptos] Calcula solo una de estas integrales (si calculas ambas, se te anulara la pregunta):
R
Rp
i) (tg(x))2 dx
ii)
dx
4
x
x
7. [0.5 ptos] Estudia
xy
lim
y prueba, o bien que el lmite s existe y cuanto vale, o
(
)!(0 0) x3 + y 2
bien que no existe dicho lmite.
x;y
;
8. [1.5 ptos] Minimiza la funcion objetivo f (x; y; z ) = x2 + y 2 + (z 1)2 sobre los puntos de la
supercie (x 1)2 + y 2 + z 2 = 2 y aplica la condicion de segundo orden para comprobar que el
punto en el que se alcanza es, efectivamente, un mnimo.
9. [1.25 ptos] Obten el volumen del tronco del cilindro x2 + y 2 = 9 comprendido entre los planos
fy + z = 4; z = 0g.
10. [0.5 ptos] Dene supercie de nivel de una funcion F : R3 ! R y di que relacion
geometrica existe entre la supercie de nivel y el gradiente de la funcion en un punto.
Razona todos los pasos y respuestas
Para aprobar la asignatura habra que obtener al menos 2.5 puntos (sobre 5) en cada
uno de los parciales de este examen.