Trigonometría. Geometría

Introducción.
Esta es la memoria de unas prácticas docentes realizadas durante los meses de noviembre y diciembre de
1997, dentro del Curso de Aptitud Pedagógica (C.A.P.) que imparte la Facultad de Educación de la
Universidad de Salamanca.
El Curso tiene por objeto la formación pedagógica inicial de los universitarios para el ejercicio de las tareas
docentes y da derecho al Certificado de Aptitud Pedagógica, que es indispensable para el acceso a los cuerpos
de enseñanza. Consta de dos partes: un ciclo de carácter teórico en el que se estudian los fundamentos y
principios generales de la educación y un segundo ciclo de tipo práctico consistente en la observación y el
ejercicio de la docencia en los centros educativos determinados por la Facultad de Educación, bajo la
responsabilidad de los profesores tutores correspondientes. La presente memoria se refiere al desarrollo de
este segundo ciclo.
La disciplina sobre la que se realizan las prácticas es seleccionada por el alumno, que ha de buscar,
obviamente, el departamento didáctico más afín a su titulación. El centro educativo sin embargo, es designado
al azar por la Facultad de Educación como ya se ha mencionado.
De acuerdo con lo estipulado por el Plan de Estudios del C.A.P., la memoria de prácticas que ahora se
presenta consta de dos partes. En la primera se exponen las programaciones completas de las unidades
didácticas que se han tratado en cada uno de los dos cursos. Se siguen las pautas estudiadas a lo largo del ciclo
teórico. La segunda parte constituye una valoración de las prácticas en la que se detallan las observaciones
resultantes de la puesta en práctica de dichas programaciones, así como las conclusiones personales del
profesor−alumno.
I. Programaciones de las unidades didácticas.
Las Matemáticas constituyen sin duda la disciplina más abstracta de entre las que se imparten tanto en la
enseñanza primaria como en la secundaria. Como consecuencia, ante esta asignatura, las actitudes más
frecuentes por parte del alumno son la intimidación y el rechazo. Se hace por ello necesario enfocar con
mucho cuidado las programaciones curriculares a efectos de conseguir conectar con el alumno.
Existen dos enfoques básicos en el diseño de un currículum matemático: memorístico y racionalista. Con el
primero se buscará perpetuar en la memoria del alumno unos conocimientos y unas habilidades; con el
segundo se pretenderá en general adiestrar la capacidad de razonamiento del alumno (no debemos olvidar que
las Matemáticas se presentan como la sistematización del pensamiento y la lógica humanos). Si bien es
evidente que el camino ideal es el del equilibrio entre ambas tendencias, dado que este equilibrio es casi
inalcanzable, se hace preferible decantarse a priori por una línea predominante. Serán las circunstancias del
curso en cuestión las que nos orienten en nuestra elección.
Como se ha señalado, las programaciones van destinadas a cursos avanzados de FP2, de vocación
eminentemente técnica y práctica. Es claro entonces que el enfoque racionalista es el mejor habida cuenta de
que los alumnos no van a emplear los contenidos tratados para la construcción de un conocimiento más
amplio.
Huelga decir que la elección de enfoque es sólo elección del espíritu con que debe ser interpretado el Diseño
Curricular Base propuesto por el Ministerio de Educación y Ciencia, que define inapelablemente las líneas
generales de los objetivos y contenidos que han de aparecer en las programaciones curriculares. Por lo demás,
dicha interpretación se realizará con la mayor honestidad posible.
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Llegados a este punto se hace necesario especificar las características del centro y de los cursos para poder
enmarcar debidamente las programaciones. Se trata de un instituto politécnico situado en las afueras del
núcleo urbano, con escasa dotación económica y técnica. Sus alumnos carecen de peculiaridades físicas o
psicológicas y pertenecen a un entorno social de nivel económico medio o bajo. Las clases están formadas por
grupos de entre veinte y treinta alumnos. En particular, las que nos atañen son las de 2º y 3º de FP2, de unos
veinte chicos y treinta chicas, respectivamente. En el curso de 2º de FP2 la unidad didáctica que se ha tratado
ha sido la de las Razones y Funciones Trigonométricas. En el de 3º, la de la Incidencia y Paralelismo en el
Plano Afín, inscrita dentro del estudio global de la Geometría Afín.
I.1. Programación de la unidad didáctica Razones y Funciones Trigonométricas.
El siguiente diseño curricular se ha realizado a tenor de las conclusiones extraídas tras un proceso de
observación preevaluativa. En dicho proceso se han sopesado los conocimientos previos de los alumnos, sus
expectativas ante el tema y otros aspectos de carácter más general tales como la actitud en clase y el interés
por el estudio y por la asignatura en particular (aspectos por otro lado imprescindibles dado que se entra en
contacto con el grupo por primera vez).
I.1.a. Objetivos.
Al finalizar la unidad didáctica, el alumno:
• maneja con soltura las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno y tangente), sabe
representarlas y conoce su naturaleza periódica;
• comprende y aplica las propiedades referidas al argumento (razones trigonométricas de los distintos
cuadrantes, razones del complementario y suplementario, razones de la suma de ángulos, de la resta,
del ángulo doble, del ángulo mitad), así como los teoremas trigonométricos fundamentales;
• distingue los conceptos de función inversa y función recíproca, y conoce las inversas y recíprocas de
las funciones trigonométricas básicas;
• relaciona todas las funciones trigonométricas conceptual y operativamente;
• resuelve problemas trigonométricos básicos;
• conoce la aplicación de la Trigonometría a situaciones reales (cuestiones topográficas y cuestiones
físicas).
I.1.b. Contenidos.
• Introducción. Teoremas previos: Teorema de Pitágoras, Teorema de Euclides y Teorema de Thales.
• Razones trigonométricas. Definición y relaciones.
• Cálculo trigonométrico. Razones trigonométricas de los ángulos 0º, 30º, 45º, 60º y asociados.
• Teoremas trigonométricos fundamentales. Teorema fundamental de la Trigonometría.
• Relaciones entre las razones de los diferentes cuadrantes. Reducción de las razones trigonométricas al
primer cuadrante.
• Razones trigonométricas de argumentos relacionados. Razones trigonométricas de los ángulos
complementario y suplementario. Razones de la suma y resta de ángulos. Razones del ángulo doble y el
ángulo mitad.
• Funciones trigonométricas directas. Función seno, función coseno y función tangente. Definiciones,
representaciones y propiedades.
• Funciones trigonométricas inversas. Función cosecante, función secante y función cotangente.
Definiciones, representaciones y propiedades.
• Aplicaciones. Aplicaciones a la Topografía. Aplicaciones a la Física.
I.1.c. Metodología.
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Material, actividades y organización.
Dada la aridez del tema, se hace difícil desarrollarlo con otras actividades que no sean la exposición oral del
profesor desde la pizarra. En consecuencia, el material requerido por el alumno se reduce a:
• papel y bolígrafo, para anotar las explicaciones;
• calculadora y papel milimetrado, para hacer las representaciones gráficas de las funciones
trigonométricas.
Podría emlearse asimismo un libro de texto como apoyo, aunque no es necesario. Sí que se recomienda
suministrar al alumno una colección de problemas (fotocopiados, por ejemplo), que se irán resolviendo
conforme se vaya avanzando la unidad.
Se introduce el tema haciendo mención a situaciones de la vida cotidiana en las que aparecen las razones y
funciones trigonométricas. Como colofón, se proponen dos o tres problemas sencillos que requieran de una
trigonometría básica, para que el alumno, incapaz de resolverlos con lo que conoce, tome conciencia de la
necesidad de esta nueva herramienta matemática. Uno de los problemas podría ser el siguiente:
Supongamos que vas al cine y te toca sentarte en el asiento central de la primera fila, que está situada a tres
metros de la pantalla. Supongamos que este asiento está justo enfrente del centro de la pantalla y que la
pantalla mide 10 metros de ancho. Sabiendo que el ángulo de visión humano es aproximadamente 120º, la
pregunta es: ¿verás toda la pantalla?.
La respuesta es sí porque 2·3·tg60*10. El problema, trivial como se ve, se hace insalvable sin la ayuda de la
Trigonometría.
El paso siguiente será presentar (o repasar) los teoremas que nos van a permitir definir las razones
trigonométricas; a saber: el de Pitágoras, el de Thales y el de Euclides (suma de los ángulos internos de un
triángulo). Estos teoremas se van a usar constantemente a lo largo del tema así que es conveniente recalcarlos
bien.
A continuación se irán desarrollando los contenidos expuestos en el apartado anterior. Paralelamente, se
tomarán problemas de la colección relacionados con lo explicado y se resolverán. Se concluirá con una
mención de las aplicaciones de la Trigonometría a los campos de la Topografía y de la Física y con la
corrección de los problemas que hayan quedado pendientes (previo a la corrección, los alumnos intentarán
resolver los problemas en grupos).
Como actividades específicas para reforzar la clase de pizarra se proponen las siguientes:
• para que el alumno compruebe visualmente que la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º,
se coge un triángulo de cartulina, se recortan sus ángulos y se ponen uno a continuación del otro;
• para verificar que las razones trigonométricas de un ángulo no dependen de la longitud de los brazos
considerados, se hace que el alumno dibuje un gran triángulo rectángulo, mida los lados, halle las
razones y repita la operación con los triángulos que se forman al acercar al ángulo el cateto opuesto.
Los mismos datos le pueden servir para comprobar que también se cumple siempre el teorema de
Pitágoras;
• para que el alumno se familiarice con las gráficas de las funciones trigonométricas y con la noción de
periodicidad, nada mejor que las represente directamente sobre papel milimetrado. Sería
recomendable que fuera representando todas las razones obtenidas en clase y que completara luego la
gráfica haciendo uso de la calculadora. La calculadora puede también ser usada para comprobar
propiedades que conoce (razones del complementario y el suplementario, relación entre las razones de
los distintos cuadrantes, crecimiento y decrecimiento de las funciones, signos...).
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Se concluye la exposición de la unidad didáctica volviendo a los dos o tres problemas que se plantearon al
inicio. El alumno los resolverá ahora sin dificultad.
Temporalización.
El tiempo recomendado es de 15 clases de una hora de duración.
I.1.d. Evaluación.
Como método de evaluación también el método clásico, el examen, se presenta como el más apropiado. Éste
puede consistir en tres cuestiones teóricas vistas en clase y tres problemas similares a los de la colección. En
este caso se considerará que el alumno ha asimilado los conocimientos si contesta correctamente al menos a
dos de las preguntas de un apartado y a una del otro. Como es lógico, a la hora de evaluar, el profesor deberá
tener también en cuenta el trabajo diario del alumno.
Finalmente, a la vista de los resultados obtenidos, deberá enjuiciarse el trabajo del propio docente así como la
programación curricular y las dificultades de su puesta en práctica.
I.2. Programación de la unidad didáctica Incidencia y Paralelismo en el Plano Afín.
Cabe hacer sobre la preevaluación el mismo comentario que se hizo al comienzo del anterior diseño
programativo. Se recuerda también que el nivel al que se dirige la unidad es el de un curso de 3º de FP2.
I.2.a. Objetivos.
Tras desarrollar el tema, el alumno:
• conoce y comprende a la perfección los conceptos de rectas paralelas y perpendiculares, de pendiente,
de distancia entre dos puntos y de distancia de un punto a una recta;
• maneja con soltura la ecuación de la recta en forma continua;
• obtiene la ecuación de la recta en forma continua a partir de dos datos independientes y compatibles;
• representa sobre el papel la recta a partir de su ecuación;
• obtiene sin dificultad el punto en que se cortan dos rectas;
• calcula la distancia entre dos puntos y la distancia de un punto a una recta;
• adquiere una buena intuición en el plano.
Este último es sin duda el objetivo más importante. Muy probablemente el alumno no va a volver a usar las
expresiones que estudie en esta unidad e inevitablemente las olvidará. Sin embargo, si consigue alcanzar esta
intuición geométrica puede que no la pierda nunca.
I.2.b. Contenidos.
• Ecuación de la recta en forma general. Obtención de la ecuación. Análisis de la ecuación.
• Incidencia de puntos y rectas. Definición. Caracterización de la incidencia de un punto con una recta. Dos
puntos distintos siempre son incidentes con una recta.
• Incidencia de rectas. Definición de rectas secantes. Condiciones analíticas de rectas secantes. Cálculo del
punto en que se cortan dos rectas.
• Perpendicularidad de rectas. Definición de rectas perpendiculares. Estudio analítico. Cálculo de la recta
que pasa por un punto dado y es perpendicular a otra.
• Paralelismo de rectas. Definición de rectas paralelas. Estudio analítico. Rectas coincidentes. Cálculo de la
recta que pasa por un punto dado y es paralela a otra.
• Distancias. Expresión de la distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta.
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I.2.c. Metodología.
Material, actividades y organización.
Tratándose como se trata de un tema inmerso en la Geometría Euclídea Plana parece lógico desarrollarlo con
los dos planos fundamentales del aula: la pizarra y la hoja de papel. Y es que nuevamente tiene que ser la
clase magistral la protagonista casi única de nuestras actividades. Otra vez habrá de acompañarse de una
colección apropiada de problemas y otra vez cabe la posibilidad (que no la necesidad) de apoyarse en un libro
de texto. El alumno, como en el caso anterior, tan sólo va a necesitar:
• papel y bolígrafo, para anotar las explicaciones;
• papel milimetrado, para representar gráficamente las rectas y los puntos.
Este planteamiento de material y actividades es el habitual en una asignatura como las Matemáticas. Pocos
serán los temas en los que se pueda jugar con otras metodologías, aunque siempre habrá alguno (como por
ejemplo el de la Geometría Tridimensional, que verá un buen apoyo en el uso de vídeos audovisuales y
programas de ordenador).
No es necesario partir de cero para introducir la lección. Supone un paso más en el estudio de la geometría del
plano y como tal hay que entenderlo. Será conveniente hacer una revisión de los conceptos fundamentales que
se han tratado hasta ese momento (el sistema de referencia afín y las coordenadas de un punto en el plano afín,
sobre todo) y dar las razones que motivan la aparición de elementos nuevos tales como las rectas y las
distancias. Es pertinente repasar instrumentos matemáticos que el alumno puede haber olvidado y que le van a
hacer falta para resolver los problemas. Instrumentos tales como la resolución de sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Se desglosarán los contenidos en el orden que antes se propuso. Sobra decir que en todo momento se recurrirá
a la representación gráfica, para que el alumno se familiarice con ella.
Como habrá podido notarse, no se ha hecho referencia a vectores ni a espacios vectoriales. A nuestro
entender, el lenguaje vectorial no se adapta al nivel de este curso y no aporta tampoco elementos que faciliten
la comprensión de los conceptos fundamentales que se intentan inculcar. El precio que tenemos que pagar se
reduce a dar un rodeo en el cálculo de la distancia de un punto a una recta: se hallará la perpendicular a la
recta que pasa por el punto dado, el punto de corte entre las dos rectas y la distancia de éste al punto original.
Conforme se vaya desarrollando la unidad se irán resolviendo en la pizarra problemas de la colección, para
finalmente, y una vez que se haya completado el tema, disponer a los alumnos en grupos con el fin de que
resuelvan los que no se hayan visto en clase. El profesor deberá luego corregirlos y dar unas pautas de
resolución. Ante un ejercicio tipo de geometría plana se ha de insistir en:
• representar gráficamente el problema;
• identificar lo que se pide y las incógnitas que lo definen (si lo que se pide, por ejemplo, es el punto
P(a,b) en que se cortan dos rectas r1* y = m1x + n1 , y r2* y = m2x + n2 , las incógnitas serán
obviamente a y b, las coordenadas del punto);
• recopilar los datos que se aportan (siguiendo con el ejemplo de antes, esos datos son dos:
P(a,b) pertenece a r1
P(a,b) pertenece a r2 );
• transcribir matemáticamente esos datos para plantear el sistema de ecuaciones (en nuestro caso:
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b = m1a + n1
b = m2a + n2 );
• resolver el sistema;
• verificar que las soluciones son congruentes.
Como corolario al tema se presentarán algunas aplicaciones a otros campos, como pueden ser la Economía y
la Física (ejemplo: punto en el que se cortan las trayectorias de dos movimientos rectilíneos uniformes).
Temporalización.
El tiempo asignado a la unidad didáctica es de 8 clases de una hora de duración cada una.
I.2.d. Evaluación.
La realización de problemas en grupos durante las clases va a facilitar la observación directa de los progresos
del alumno. Si con esta observación no se tuviera información suficiente habría que proceder a la realización
de un pequeño control. Como criterio de evaluación se establecería entonces que el alumno supiera al menos
plantear (la resolución no interesa tanto en este momento) dos problemas de cada tres. No obstante se
recomienda mejor esperar a concluir el estudio de la Geometría Afín para hacer un examen más completo en
el que pueda ya verse qué grado de intuición geométrica ha alcanzado el alumno.
Se concluye, como en la programación anterior, haciendo mención a la necesidad de evaluar también la labor
docente del profesor (tanto por lo que se refiere al diseño del currículum como a su puesta en práctica) y de
hacer crítica también del resto de elementos que hubiesen podido intervenir en el proceso educativo (centro,
administraciones, etc.).
II. Valoración de las prácticas.
Esta segunda parte constituye la memoria propiamente dicha de lo que ha sido todo el proceso de prácticas.
Supone la exposición de lo que el alumno ha observado y experimentado en la clase así como del método de
diseño de la programación. Incluye también las conclusiones personales del profesor−alumno. Adoptaré por
tanto un tono más personal para su redacción.
II.1. Fase de observación y preparación.
Incluyo en este apartado el conjunto de actividades previas a la impartición de clases, la mayor parte de ellas
dirigidas hacia la confección del diseño curricular.
II.1.a. Observación (reuniones y clases presenciales).
Mi primera experiencia en el ciclo de prácticas fue la asistencia a una reunión del Departamento de
Matemáticas del instituto. A lo largo de la misma, los profesores fueron exponiendo en qué punto del temario
se hallaban y cómo estaban respondiendo los alumnos. Finalizada esta puesta en común, se procedió a
planificar fundamentalmente el ritmo con el que había de continuar cada uno a fin de intentar homogeinizar lo
más posible.
Siguieron las clases presenciales. Durante los días posteriores tuve la oportunidad de asistir, en calidad de
observador, a las clases impartidas por el profesor Adolfo González a los alumnos de 2º y 3º de FP2. Se
trataba sobre todo de ver el nivel de los alumnos, su actitud en clase y su relación con el profesor. En cuanto a
lo primero, he de confesar que me sorprendió bastante la falta de recursos que demostraron. En todo momento
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quedó clara la ausencia de una buena base matemática. Se dejaba entrever una mala asimilación de conceptos
y estrategias evidentemente vistos, que ha de venir de muy atrás. Por lo que se refiere a la actitud, varió de un
curso a otro. En el grupo de 3º el ambiente resultó ser bastante distendido, mientras que la otra clase se
mostraba más silenciosa, casi fría. La relación con el profesor en ambos casos estaba gobernada por el respeto
(más en la clase de 2º), que se justificaba por la autoridad evidente del profesor. También quedó claro que la
comunicación tutor−alumno era lo suficientemente fluida, tanto en un curso como en el otro.
II.1.b. Confección de las programaciones didácticas.
Para el diseño del currículum tuve en cuenta toda la información obtenida en la etapa anterior. Ante las
carencias que antes comentaba, procuré centrarme en los contenidos intrínsecos de las unidades y no hacer
muchas referencias a otras áreas de las Matemáticas, solamente a aquéllas que resultaran imprescindibles. Por
ejemplo, para confeccionar la unidad de las Razones y Funciones Trigonométricas intenté partir prácticamente
de cero, sin presuponer que el alumno conociera algo más que el sistema de referencia y los conceptos que el
tutor había manejado en clase durante el tiempo que yo estuve de observador.
El ritmo había de ser pausado y las repeticiones, constantes. Así que los contenidos por clase no podían ser
muy abundantes.
En cuanto a mi actitud hacia los alumnos, la idea era buscar la cordialidad, confiando en que el respeto viniera
un tanto impuesto por la presencia en el aula del profesor−tutor. Pienso que es difícil que un profesor de
prácticas que va a estar en clase apenas unos días pueda ganarse ese respeto.
II.2. Puesta en práctica de las programaciones.
En esta parte me referiré a la etapa de impartición de clases, haciendo unos comentarios sobre el desarrollo de
los distintos currículos diseñados. Principalmente haré mención a la respuesta de los alumnos en cada grupo.
II.2.a. Primer grupo (curso: 2º de FP2; unidad: Razones y Funciones Trigonométricas).
Los alumnos respondieron muy bien a las explicaciones. Mantuvieron en todo momento un alto nivel de
concentración y atención y, con algunas anotaciones de anticipación que hicieron, demostraron estar
comprendiendo la materia. Hasta tal punto fue así que avanzamos más deprisa de lo que había calculado y los
contenidos que había preparado se quedaron un tanto escasos. Un fallo en la programación del ritmo
achacable, imagino, a la falta de experiencia.
El método de la clase de pizarra resultó en definitiva ser lo suficientemente completo; no hizo falta recurrir a
otro tipo de actividades para mejorar la comprensión.
II.2.b. Segundo grupo (curso: 3º de FP2; unidad: Incidencia y Paralelismo en el Plano Afín).
En este caso la respuesta no fue tan positiva. Durante la resolución de problemas las alumnas pusieron de
manifiesto muchas carencias. En general, los problemas−tipo los planteaban bien (problemas como obtener el
punto de corte de dos rectas) aunque mostraban cierta dificultad en salirse de los esquemas de estos ejercicios
para, aplicando la misma metodología, abordar otros distintos (otros problemas en los que se hubiera alterado
la construcción del sistema de ecuaciones; por ejemplo, calcular el punto que pertenece a una recta dada y
dista d de un punto también dado). Las mayores dificultades aparecían sin embargo a la hora de resolver los
sistemas planteados. Dificultades de todo tipo: operaban mal con fracciones, no recordaban conceptos como el
cuadrado de la suma de dos números o la ecuación de segundo grado, fallaban a la hora de sacar factor común,
tenían problemas para identificar variables... Mi planificación del ritmo fue mala de nuevo: había que explicar
cada paso y repetir constantemente con lo cual se avanzaba muy despacio. Esta vez los contenidos preparados
para una clase resultaban ser excesivos.
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Algunos detalles dejaron entrever que incluso los conceptos más básicos no quedaban perfectamente
consolidados. Valga una muestra: a la hora de representar una recta, las alumnas habían asimilado bien que la
estrategia a seguir es obtener dos puntos de la recta y trazar la línea que los contiene. Como método de
trabajo, buscaban los puntos (x=1, y1), (x2, y=1). Les costaba sin embargo aceptar que era igualmente válido
trabajar con los puntos (x=0, y1), (x2, y=0). Esto pone de manifiesto que aún no se ha conseguido que
manejen con soltura la idea de recta.
Quede no obstante constancia de lo que sí se ha logrado: las alumnas tienen una idea bastante aproximada de
los conceptos geométricos elementales y plantean bien la mayoría de los problemas relacionados con la
materia.
II.3. Conclusiones.
La valoración conjunta de estas prácticas docentes tiene que ser positiva. Es imprescindible, a mi juicio, una
experiencia de este tipo para una persona que aspira a ejercer como profesor.
Algunas actividades han resultado especialmente gratificantes. La asistencia a una reunión departamental, por
ejemplo (completa bastante la imagen del profesor y da una visión más de conjunto de la labor educativa).
También el diseño curricular y la planificación de las explicaciones, en donde entra en juego la creatividad del
docente. Otras, contra lo que yo esperaba, han terminado siendo sino gratificantes, sí imprescindibles. Las
clases presenciales, por ejemplo, sin las cuales no hubiese sido posible confeccionar las programaciones. O
más sencillas de lo que me había imaginado, y me refiero ahora a la propia impartición de clases.
De entre lo negativo, tengo que hacer referencia a la penosa impresión que he sacado del nivel en este tipo de
enseñanzas. Los alumnos parecen comprender lo que se les explica. Así que si no consolidan las materias
tiene que ser por falta de trabajo. Falta de motivación y falta de tiempo esencialmente.
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