INDICE Definición de trigonometría Estudio de las principales funciones

INDICE
• Definición de trigonometría....2
• Estudio de las principales funciones3
• Sen x....3
• Cos x....5
• Tg x...7
• Estudio de las funciones inversas para el producto....9
• y = cotg x10
• y = sec x..11
• y = cosec x..12
• Funciones reciprocas...13
• y = arc sen x...14
• y = arc cos x14
• y = arc tg x..15
• Grafica de la función sen x − arc sen x...16
• Mas información17
7. Bibliografía...20
• DEFINICION DE TRIGONOMETRIA
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los
triángulos. Etimológicamente significa `medida de triángulos'.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la
astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia
que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables
aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo
en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice
que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice
coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la
parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III,
IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x.
La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de
Pitágoras.
2. ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES
1
2.1. Sen x
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo ð,que se designa por sen ð es igual a la longitud del
cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
Para explicar y definir todas las funciones, nos vamos a guiar por el siguiente triangulo:
Figura 2.1
sen ð: En un ángulo á de un triángulo rectángulo, ABC (figura 2.1), se llama seno de ð, y se escribe sen ð, al
cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
O lo que es lo mismo:
Seno (sen) ð = Cateto opuesto/ Hipotenusa
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el
ángulo ð. De esta manera el sen ð:
El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con
sus ángulos opuestos:
La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica
de periodo 2ð. Se denomina función sinusoidal.
2
Dominio
Recorrido
crece
decrece
R
[1,−1]
(−p/2, p/2)
(p/2, 3p/2)
cotas sup.
1, 2, 3
cotas
inferiores
Simetría
Periódica
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
−1,−2,−3
Ext.
1
Sup.
Ext.
−1
inferior
Máx.
1
min.
−1
impar
de periodo 2p
en el Dom
no tiene
no tiene
no tiene
2.2. Cos ð
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo ð, que se designa por cos ð, es igual a la longitud
del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
O también:
Coseno (cos) ð = Cateto contiguo/ Hipotenusa
El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto
en que el segundo lado del ángulo la corta:
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el
ángulo ð. De esta manera el cos ðð
3
El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y relaciona los tres lados con
uno de los ángulos:
a2 = b2 + c2 − 2bc·cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac·cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab·cos C
La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.
Dominio
Recorrido
crece
decrece
Cotas sup.
Cotas
inferiores
Simetría
Periódica
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
R
[1,−1]
(−ð, 0)
(0, ð)
1, 2,3
−1,−2,−3
Ext. Sup.
Ext.
inferior
1
Máx.
1
−1
min.
−1
impar
de periodo 2ð
en el dom
no tiene
no tiene
no tiene
4. tg ð
En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo ð, que se designa por tg ð, es igual a la longitud
del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.
O lo que es lo mismo:
Tangente (tg) X = Cateto opuesto/ Cateto contiguo
La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica, y se sitúa sobre la
4
recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la parte positiva del eje X:
La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el
ángulo ð. De esta manera el tg ðð
La función y = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes. Es continua, salvo en
los puntos de abscisa (ð/2) + kð, k entero, en donde no está definida. Es periódica de periodo ð:
Dominio
Recorrido
crece
decrece
X e R| g(x) = ð/2+kð, Ke Z
R
en todo el dom
no decrece
Cotas sup.
no tiene
Ext. Sup.
no tiene
Ext. inferior
cotas
inferiores
Simetría
Periódica
no
tiene
no
tiene
Máx.
1
min.
−1
impar
de periodo ð
5
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
en el dom
k
no tiene
no tiene
3. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS PARA EL PRODUCTO:
cotg; sec; csc.
A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la
cotangente (cot) del siguiente modo:
Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec ð no está
definida para ð = 90º ni para ð = 270º, pues cos 90º = 0 y cos 270º = 0.
La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y cot 270º = 0.
Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se indica en la figura:
Estas funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que tienen con las tres
anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:
3.1 y = cotg x
6
Dominio
Recorrido
crece
decrece
cotas sup.
cotas
inferiores
Simetría
R− {kð; k e Z} = R − { −ð/2, ð/2}
R
No crece
siempre decreciente
no tiene
Ext. Sup. no tiene
Ext.
no tiene
no tiene
inferior
impar
Máx.
no tiene
min.
no tiene
7
Periódica
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
de periodo ð
en el dom
no tiene
X= −ð/2, ð/2
no tiene
3.2. y = sec x
8
Dominio
Recorrido
crece
decrece
cotas sup
cotas
inferiores
Simetría
Periódica
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
R− {(2k+1)ððð; k e Z}
(− , −1]U[1,+ )
(0, ð/2); (ð/2, ððð
...(−ð/2, 0); (ð, 3ð/2)
no tiene
Ext. sup
Ext.
no tiene
inferior
impar
de periodo 2ð
en el dom
no tiene
x = (2k+1)p/2; k e Z
no tiene
no tiene
máx.
no tiene
no tiene
min.
no tiene
3.3. y = cosec x
9
Dominio
Recorrido
crece
decrece
R− {kð; k e Z}
(− , −1]U[1,+ )
(ð/2, ð); (ð ,3ð/2ðð ððð
...(0 ,ð/2); (3ð/2, 2ð)
10
cotas sup
cotas
inferiores
Simetría
Periódica
Continua
Asintotas H
Asintotas V
Asintotas O
no tiene
no tiene
Ext. sup
Ext.
inferior
no tiene
máx.
no tiene
no tiene
min.
no tiene
impar
de periodo 2ð
en el dom
no tiene
x = (2k+1)p/2; k e Z
no tiene
4. FUNCIONES RECIPROCAS: Arco seno, arco coseno, arco tg.
La expresión y es el seno de è o y = sen è, es equivalente a la expresión è es el ángulo cuyo seno es igual a y,
lo que se expresa como è = arcsen y, o también como è = sen−1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es
la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y,
arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen è o è = arcsen y, un valor dado de
y genera un número infinito de valores de è, puesto que sen ð/6 = sen 5ð/6 = sen ((ð/6) + 2ð) == y, teniendo en
cuenta que los ángulos ð/6 y 5ð/6 son suplementarios. Por tanto, si è = arcsen y, entonces è = (ð/6) + n 2ð y è
= (5ð/6) + n 2ð, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor ð/6 se toma como valor principal o
fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas
costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos
que se dan a continuación:
−ð/2 " arcsen y " ð/2
0 " arccos y " ð
−ð/2 < arctg y < ð/2
0 < arccosec y < ð
−ð/2 < arcsec y < ð/2
0 < arccot y < ð
4.1. y = arc sen x
11
4.2. y = arc cos x
12
4.3. y = arc tg x
5. GRAFICA DE LA FUNCION sen x Y arc sen x
Para formar la tabla de valores de la función arc sen x, escribiremos la tabla de valores al revés de la del sen x.
x
−1
.
.
.
0
1/2
"2/2
"3/2
1
y
...−ð/2,3ð/2
...0,ð, 2ð,...
...ð/6, 5ð/6,
...ð/4, 3ð/4
...ð/3, 4ð/3,
...ð/2, 5ð/2,...
6. MÁS INFORMACION:
Grado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que
corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se
divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada
13
minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican
normalmente con el símbolo °, los minutos con ' y los segundos con , como en 41°18'09, que se lee "41 grados
18 minutos y 9 segundos".
La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente
en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la
superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas
de referencia fijadas. Los posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del
ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa
por Greenwich en Inglaterra.
Otras medidas angulares
En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen cálculos, los ángulos se
miden habitualmente en radianes rad. En 360° hay 2p rad, o unos 6,28 rad.
En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la localización de
objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado por un arco que es 1/6.400 del
círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y, aproximadamente, 0,001 radianes.
Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por un arco de longitud
igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se expresa como la razón del arco formado por
el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un
ángulo fijo para cualquier círculo. La medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la
cuerda y el radio, sino la razón de la longitud del arco y el radio.
La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo
está dada por
C = 2ðr
donde r es el radio del círculo y ð es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es
exactamente 2ð radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un radián, se deduce que
2ð radianes = 360 grados
Al dividir 360° por 2ð se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17'44,8. En aplicaciones prácticas,
las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:
un radián = 57,3 grados
un grado = 0,01745 radianes
El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables. Los ingenieros y
técnicos utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios
teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las
derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas. Como se puede ver, mientras que
el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes.
1 radian = 57,29º
a partir de esta igualdad, determinamos que:
14
90º = ð/2 radianes
60º = ð/3 radianes
45º = ð/4 radianes
30º = ð/6 radianes
Relaciones ente las razones trigonométricas fundamentales.
1−. tg X = sen X/ cos X
2−. 1 = sen²X + cos²X
Signos de las razones trigonométricas.
VALORES TRIGONOMÉTRICOS DE ALGUNOS ANGULOS
• BIBLIOGRAFÍA
Matemáticas 2º BUP. Editorial: Alambra
Autores:
• Cesar Benedicto.
• Adolfo Negro
Matemáticas Algoritmo 2000. 4º ESO. Editorial: cesma sa
Autores:
• José R. Vizmanos.
• Máximo Anzola.
.Enciclopedia Microsoft Encarta 1993 − 1999.
Matemáticas l Ciencias de la naturaleza y la salud. Tecnología. 1º bachillerato Editorial: Editex
15
Autores:
• Carlos González García
• Jesús Llorente Medrano
• Maria José Ruiz Jiménez
19
16