Repaso de calculus: Cos(+)=coscos −sinsin Cos(−)=coscos +sinsin Sin(+) =sincos + sincos

Repaso de calculus:
Cos:
Cos(+)=coscos −sinsin
Cos(−)=coscos +sinsin
Sin :
Sin(+) =sincos + sincos
Sin(−) =sincos − sincos
De estas formulas se derivaran muchas de las cosas que hacemos asi que hay que tomarlas muy en cuenta..
Tomas el ángulo que te den y si es positivo verificas que ángulos cuyos sin−cos sepamos suman dicho ángulo:
Ej. : Te dan 135 = 90 + 45.
En caso de que te den un ángulo negativo considera que puedes usar la ecuación de tu preferencia siempre y
cuando te permita utilizar los ángulos de la tabla de sin −cos.
Si no hay ángulos que sumen lo dado utilicen ángulos que sean el resultado de dos ángulos de los que
podemos usar.
Ej:
Cos 75
Cos(+)=coscos −sinsin
Cos(45 + 30)= cos 45 cos30− sin45sin30
=("2/2 * "3/2) − ("2/2 * ½)
="6/4 − "2/4 = 0.26
1"sin; cos " −1 (muy importante para comprobar respuestas)
• If the angles in a circle are equal then the cords are equal.
• Formula de la distancia : "((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2)
Otro ejemplo , en caso de que les den incógnitas:
Cos(x + /4) − cos (x−/4)=1
(cosxcos45 −sinxsin45) − (cosxcos45 + sinxsin45)=1
(cos x * "2/2) − (sin x"2/2) − (cos x"2/2) − (sin x"2/2)=1
1
−sin x"2=1
−sin x = 1/"2*"2/"2
−sin x = "2/2
−sin x = −"2/2
x1= 2 −/4 =7/4 + 2n
x2=+ /4 =5/4 + 2n
MUY IMPORTANTE
• Si sin es − :
Entonces a 2 le restan el ángulo encontrado y a le suman el ángulo
• Si cos es +:
Entonces es y 2 menos el ángulo.
MORE SUM AND DIFFERENCE FORMULAS:
Tan (+)=(tan+tan)/1− tantan
Tan (−)=(tan − tan)/1 + tantan
Cot( + ) = (cotcot − 1) / (cot + cot)
Cot( − ) = (cotcot + 1) / (cot − cot)
Multiple angle formulas:
Sin 2 = Sin ( + )= sincos + sincos = 2sincos
Cos2=cos(+) = cos cos − sinsin= cos2−sin2 = 1− 2sin2
Tan2 = sin2/cos2 = 2tan/1−tan2
Cot2 = cot^2 −1/2cot
Half angle formulas
Sin /2 = "1− cos/2
Cos /2 = "(1 + cos)/2
tan/2 = "(1−cos)/(1 + cos)
cot/2 = "(1 + cos)/(1−cos)
2
How to prove ?
Te dan dos formulas.. tu coges la mas fácil y la desarrollas usando conceptos de trigonometría y álgebrala
mayoría de las veces.
Ej:
*en vez de los símbolos convencionales de ángulo voy a usar x y y por que esos símbolos hartan.
((Sin(x + h) − sin x)/h)= sin x ((cos h − 1)/h) + cos (sin h /h)
Sin (x +h) − sin x = sin x (cos h −1 ) + cos x (sin h) * aquí se multiplico por h para eliminarlas
Sin x cos h + sin x cos h − sin x = sin x cos h − sin x + cos x sin h * aquí se expandieron todos los paréntesis y
ambas ecuaciones son iguales
*Estos pasos no son siempre los mismos..
SUM TO PRODUCT FORMULA
• SIN X + SIN Y = 2 SIN ( X + Y)/2 COS (X−Y)/2
• COS X + COS Y = 2 COS (X + Y)/2 COS (X −Y)/2
• SIN X − SIN Y = 2 COS (X + Y)/2 SIN (X −Y)/2
• COS X − COS Y = − 2 SIN (X + Y)/2 SIN /(X −Y)/2
Ej:
(Cos 4x + cos 2x)/(sin 4x + sin 2x) = cot 3 x
2 cos (6x/2) cos(2x/2) * aquí se sumaron los componente x y y para
__________________ = ambos lados de la división
2 sin (6x/2) cos (2x/2)
2 cos 3x cos x * Se eliminan los que son iguales y
___________ = (cos 3x/ sin 3x) = cot 3x nos quedan resultados iguales.
2 sin 3x cos x
Mas ejercicios :
Cos 3x = 0
Cos x = 0
X = /2 +2n
X1= (/2 +2n)3 = 3/2 +6n
X2 = (3/2 + 2n)3 = 9/2 +6n
3
SYSTEMS OF TRIGONOMETRIC EQUATIONS:
Sin x + cos y = 1
Sin x − cos y = 0
*Como son ambas iguales se pueden sumar
tendríamos ahora:
2 sin x = 1
sin x = ½ * De que ángulo es ½ el seno? De 30!!!
X = /6 +2n
X2=5/6 + 2n
*ahora hay que buscar al ángulo y
½ + cos y = 1
cos y = 1− ½
cos y = ½
y= /3 +2n
y2=5/3 +2n
sin2 x + y = 2 y = 2 − sin2x
cos2 x + y = 1
• sin2 x + 2 − sin2 x = 1 1 + y =2
3−2 sin2 x = −2 y= −1
−2 sin2 x = −2
sin2 x = −2/−2
sin2 x = 1
sin x = ; x = /2 + 2n ; x2 = 3/2 + 2 n
Pasos realizados:
• conversión de la primera ecuación o la que consideres mas simple en función de una variable
• reemplazo en la ecuación
• búsqueda de los ángulos
4
PROPERTIES OF LOGARITHMS
• LogcA + lOGcB = Logc(AB)
• LogcA − LogcB = Logc(A/B)
• Logc(Bn) = n LogcB
• Logc1=0
• LogcC= 1 ; C1= C
• B (LOGbA)= A
• Logb(bc)= C
CHANGE OF BASE FORMULA
LogcB = LognB/LognC
SOLVING WITHOUT CALCULATOR
aquí les pongo ejemplos :
Tan (Tanø 2.3)
Tan x = 2.3
Tan = 2.3
Explicación :
Tan(tan^−1ø)= x
Tan ^−1 = x
tan = x
MORE PROVING EXAMPLES :
Cos^4 x − sin^4 x = cos 2x
(cos^2 x − sin^2 x)(cos ^2 x + sin^2 x) = cos 2x
(cos^2 x − sin^2 x) (1− sin^2x + sin^2 x) = cos 2x
cos^2 x − sin^2 x = cos^2 x − sin^2 x
cos 2x = Cos 2x
• Esta es otra manera de provar..
COMPLEX NUMBERS:
Z=(X, Y)
X= Real number
5
Y= Imaginary number
• A complex number can be represented in a plain
• Complex number addition : Z1+ Z2+Z3.
• Module of a complex number : " (x^2 + y^2)
• Binomial form: Z = a − bi
• Polar form : M= " (A^2 + B^2)
• Ordered pair form : (a,b)
• Trigonometric form : Z = M(cos x+ sin y)
• Complex number multiplication = Z1 * Z2 = [Z1 * Z2]x+y se multiplican los modulos y se suman los
ángulos
• Complex Number división = = Z1 * Z2 = [ Z1 / Z2]x −y se dividen los valores absolutos de los
modulos y se restan los ángulos
• Forma modulo argumental Z= Z a, ; Z es el modulo y a es el ARGUMENTO
Ejemplo de convertir a forma polar :
(1, −1):
"(1^2 + −1^2)
" (1 + 1)
" 2 315
argumento = arctan y/x = arctan=−1/1 = 45 = 360−45 = 315
THE DE MOIVRE THEOREM
Zn = r n (cos n x + isin nx)
Ejemplo :
((−1 + "3i)/2)^6 = (−1/2 +"3 i/2)^6
(−1/2 +"3 i/2)^6 = (1 120) ^6 = cos ( 6 * 120) + sin ( 6 * 120)= 1 720
• El que tiene la I es siempre el imaginario, por eso representa y y el otro x.
• aquí primero se busco el modulo , luego el argumento y se soluciono usando la formula de DE
MOIVRE.
ROOTS OF COMPLEX NUMBERS :
n" Z= n"r (cos ((2k + x)/n) + isin((2k + x)/n)
K= 0,1..(N−1) K is a whole number
315315315hbvgh
TRANSFORMACION:
Se llama transformacion a la correspondencia uno a uno de dos puntos P y P'.
6
No encontr el simbolo la T rara esa −−−P P'
Es una transformacion isometrica
TRASLACIONES :
Es una transformacion isometrica T que asocial al punto P(X,Y) al punto P'(x,y).
T: (X,Y) (X + , Y + )
ROTACIONES :
Es una transformacion isometrica R que asocial al punto P(x, Y) al punto P'(x',y'), mediante al regla.
R(x,y) (x cos − y sin, x sin + y cos )
Cuando hay rotaciones segun dos ángulos se hace lo sgte
R2R3 : (X,Y) (X(cos [ + ]) − y (sen [ + ]), X(sin [ + ]) + y (cos [ + ])
REFLEXIONES :
Son las transformaciones S: P P' , tal que d (P,O) = d(O, P')
Sy : (x,y) .. (−x,y)
Sx : (x,y)(x,−y)
So: (x,y)(−x,−y)
Por si acaso :
Sin = cateto opuesto / hipotenusa
Cos = cateto adayacente/hipotenusa
Sec= hipotenusa/adyacente
Tan = opuesto / adyacente
Csc = hipotenusa/ cateto opuesto
Cot = adaycente /opuesto
Sin30 = 1/2
Cos30 = "3/2
Sin45 ="2/2
Cos 45="2/2
7
Sin60="3/2
Cos 60 =1/2
Sin0= 0
Cos0=1
Cos180= −1
Sin270=−1
Cos270=0
Sin360=0
Cos360=1
Sin 90=1
Cos90=0
8