Resolución del cubo de Rubik

Resolución del cubo de Rubik
Ignacio Alonso Muñoz
Maxi Arévalo Garbayo
Víctor Collado Negro
Ingeniero de Telecomunicación
Ingeniero de Telecomunicación
Ingeniero de Telecomunicación
Universidad Carlos III de Madrid
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RESUMEN
Este artículo trata sobre el invento del escultor y arquitecto Ern
Rubik, el mundialmente conocido Cubo de Rubik. En el comentaremos
la larga historia de este famoso “juguete”, además de tratar de explicar
los diferentes algoritmos de resolución.
Categorías y Descriptores del Tema
F.2.m [Theory of Computation]: Analysis Of Algorithms And
Problem Complexity – Miscellaneous.
Términos Generales
Algoritmos, Lenguajes, Programación.
Palabras Clave
Cubo de Rubik, Esquina, Arista, Centro, Ern Rubik, Jessica Fridrich,
Lars Petrus.
1. INTRODUCCIÓN
El objetivo de este trabajo es presentar los diferentes algoritmos de
resolución de un Cubo de Rubik de 3x3. Fundamentalmente hay dos
métodos de resolución: “Método Fridrich” y “Método Petrus”.
El primero de ellos tiene dos algoritmos diferentes en función de la
complejidad. Ambos parten del “Método de Cruz”, que consiste en
crear una cruz en una cara. Para esto basta llevar las cuatro aristas, de
dicha cara, a su posición. Se debe de tener en cuenta que las aristas
tienen dos colores, un color es el de la cara superior y el otro debe
coincidir con el color de la cara en común.
Como se ha dicho anteriormente, con este método se desarrollan dos
algoritmos. El primero y más simple es para principiantes. Con él, en 7
pasos básicos, se puede resolver el cubo. La simpleza radica en que se
ven claramente los pasos a seguir del algoritmo. El segundo y de
mayor complejidad, el original “Método Fridrich” [2] recibe su
nombre por su creadora Jessica Fridrich.
El segundo método se basa en las teorías de Lars Petrus [3]. Primero se
trabaja para solucionar un bloque 2x2x2 del cubo, que se extiende a un
bloque solucionado 2x2x3. Los dos lados restantes del cubo entonces
se solucionan usando solamente algunos algoritmos.
El programa [1] con el cual se explicará este proyecto se basa en el
Método de Fridrich y sus dos algoritmos de resolución.
A continuación se procede a explicar la historia del Cubo de Rubik, así
como las principales definiciones básicas y necesarias para su
resolución.
2. HISTORIA
2.1 Invento
El famoso cubo de Rubik fue inventado en
el año 1974 por un profesor de
Arquitectura de la Universidad de
Budapest, en Hungría, llamado Erno
Rubik, quien lo bautizó originalmente
como el Cubo Mágico. Después de
terminar sus estudios, se quedó en la
academia para dar clases de Diseño de
Interiores. Como maestro, Erno Rubik
prefería comunicar sus ideas utilizando
modelos reales, hechos de papel, cartón,
Figura 1.
madera o plástico, desafiando a sus
Erno Rubik
estudiantes a experimentar mediante la
manipulación de formas claramente construidas y fáciles de interpretar.
Esto le permitió darse cuenta que aún los elementos más simples,
manipulados inteligentemente, daban una abundancia de múltiples
formas.
Cuando Rubik inventó su cubo, no pretendía crear el rompecabezas
más vendido en la historia de los juguetes, sino que simplemente se
desafió a crear un cubo en el que los bloques pudieran moverse de
forma independiente, sin caerse y deshacer el cubo. Así es que creó un
cubo de 26 cubitos individuales y un centro. Cada capa de nueve
cubitos debía girar y las capas superponerse, moviéndose de todas
formas excepto diagonalmente.
Después de concebir la idea, el arquitecto tuvo que enfrentarse al
problema nada sencillo de unir los elementos para que cada uno
pudiera rotarse y moverse de la manera en que lo harían. Trató de
mantener unidos los elementos mediante una construcción hecha con
ligas, pero pronto se dio cuenta de que tal dispositivo no funcionaría.
Las alternativas entonces disponibles, tales como imanes o sistemas de
ranuras, no cubrían con la complejidad que requerían las uniones. Erno
comprendió que sólo un concepto totalmente original podría
proporcionar una solución satisfactoria.
La inspiración vino un día de verano cuando miraba el flujo del río
Danubio. Rubik notó unos guijarros, cuyos bordes agudos habían sido
pulidos y aplanados de manera natural a lo largo del tiempo,
proporcionando las formas redondeadas de gran belleza, pero también
de enorme simplicidad. El interior de los elementos del cubo debía
tener la misma arquitectura redondeada.
Ern Rubik obtuvo la patente HU170062 para su cubo, aunque no
solicitó ninguna a nivel internacional. El primer lote de prueba fue
producido a finales de 1977 y distribuido en las jugueterías de
Budapest. La popularidad del Cubo creció en Hungría gracias al boca a
boca.
Las ventas del Cubo de Rubik seguían siendo escasas. Fue entonces
cuando lo descubrió el Dr. Tibor Laczi, un hombre de negocios nacido
en Budapest, pero que había hecho su vida en Occidente. En uno de
sus viajes a Hungría, mientras tomaba un café, observó a un mesero
jugando con el cubo. Laczi, un matemático amateur, se sintió
fascinado.
Al día siguiente, fue a la compañía de comercio estatal y pidió permiso
para vender el cubo en Occidente. De inmediato concertó una cita con
el inventor y quedó impresionado con su aspecto. El primer impulso de
Laczi fue darle algo de dinero a Rubik, quien parecía un mendigo con
sus ropas viejas y un barato cigarro húngaro colgando de su boca. Sin
embargo, sabía que ese pobre hombre era un genio y le dijo que podían
vender millones.
Tibor Laczi procedió a demostrar el cubo en la Feria del Juguete de
Nuremburgo, pero no como un expositor oficial. Caminó alrededor del
recinto, jugando con el cubo, y se las arregló para conocer al británico
Tom Kremer, un experto en juguetes, quien pensó que el Cubo era una
maravilla. Los dos hombres hicieron un pacto, allí mismo, para
traducir el éxito húngaro del cubo hacia la fase mundial.
En septiembre de 1979, después de cinco días de negociaciones entre
un capitalista escéptico y un sistema comunista obstinado e ignorante
del funcionamiento del mercado libre, Laczi y Kremer lograron un
acuerdo con Ideal Toys para distribuir el Cubo de Rubik en todo el
mundo. Su presentación a nivel internacional tuvo lugar a comienzos
de 1980 en las Ferias del Juguete de Londres, Nueva York, Nuremberg
y Paris. Más adelante, Ideal Toys comercializó un cubo más ligero, y
decidió rebautizarlo. Se barajaron nombres como Nudo Gordiano y
Oro Inca, pero la compañía finalmente decidió llamarlo Cubo de
Rubik, exportándolo por primera vez desde Hungría en mayo de 1980.
nombrado generalmente como CFOP (Cross, First 2 Layers, Orient
Last Layer, Permute Last Layer).
Figura 2. Jessica Fridrich
Lars Petrus (nacido en 1960) se hizo un hueco como cuber
internacional cuando ganó el campeonato nacional de Suecia de 1981 y
terminó cuarto en el campeonato mundial de Budapest en 1982. Más
adelante publicó un método único, conocido como el sistema de
Petrus. Se ha convertido en un método extremadamente popular entre
cubers intermedios y superiores. Su uso más reciente ha disminuido
considerablemente en el nivel profesional debido al predominio
creciente de métodos algoritmo-basados en fuerza bruta. A los 46 años,
Petrus continúa siendo una eminencia en un deporte dominado por los
adolescentes. Petrus ganó la categoría “3x3x3 en pocos movimientos”
en el campeonato del mundo de 2005 y su mejor tiempo, obtenido en
el campeonato del 2006, es de 16,60 segundos.
Su éxito internacional fue casi instantáneo; sólo en los primeros dos
años, se vendieron 100 millones. El juguete se volvió todo un icono
cultural de los ochenta y convirtió a su inventor en el primer millonario
del bloque comunista. Aprovechando que el producto se agotó
inicialmente, surgieron muchas imitaciones baratas.
En 1984, Ideal Toys perdió un pleito contra Larry Nichols, que había
registrado el producto con la patente US3655201. Terutoshi Ishigi lo
registró en Japón con la patente JP55-8192.
Se ha dicho de él que es el juguete mejor vendido del mundo entero,
con alrededor de 300 millones de cubos de Rubik e imitaciones
vendidos.
2.2 Métodos “SpeedCubing”
Como se ha comentado en la introducción de este artículo los autores
de los métodos de resolución más rápidos son Jessica Fridrich y Lars
Petrus.
Jessica Fridrich, anteriormente Jiri Fridrich, es la inventora del método
más rápido y popular para solucionar el Cubo de Rubik. Fascinada por
rompecabezas y geometría compleja, Fridrich tiene la firma de Ern
Rubik en su cuaderno, que él firmó en el campeonato del mundo del
Cubo de Rubik en Budapest en 1982, donde ella acabó décima cuando
era un estudiante de diecisiete años. En el campeonato del mundo del
Cubo de Rubik de Toronto en 2003, quedó segunda con 20,46
segundos, por detrás de Dan Knights, de 24 años, que fue el ganador
con un tiempo de 20,00 segundos utilizando el método de Fridrich. En
la comunidad speedcubing la consideran la número uno de los
pioneros de speedcubing, al lado de Lars Petrus. Casi todos los
speedcubers más rápidos han basado sus métodos en el de Fridrich,
Figura 3. Lars Petrus
2.3 Records Mundiales
Se han celebrado muchas competiciones para determinar quién puede
solucionar el cubo del Rubik en el menor tiempo posible. El primer
campeonato del mundo fue llevado a cabo en Budapest el 5 de Junio
de 1982 y ganado por Minh Thai, estudiante vietnamita de Los
Ángeles, con una media de 22.95 segundos. La WCA (World Cube
Association) es el cuerpo oficial que gobierna y regula los
acontecimientos. En 2004, el WCA estableció un nuevo sistema de
estándares, con un dispositivo especial de sincronización llamado
contador de tiempo de Stackmat. Toby Mao fijó el menor tiempo
mundial actual de 10.48 segundos en la competición de 2006
nacionales de los E.E.U.U. el 6 de agosto de 2006. En la Tabla 1 se
reflejan algunos de los records del mundo actuales de la WCA.
Tabla 1. Records del mundo 2006
Categoría
Nombre
Record
Más rápido
Toby Mao[USA]
10.48
Ojos vendados
Leyan Lo [USA]
1:28.82
Con 1 mano
Ryan Patricio [USA]
20.09
Menos movim.
Mirek Goljan [R. Checa]
28 mov.
Con los pies
Anssi Vanhala [Finlandia]
1:18.15
3. DEFINICIONES BÁSICAS
3.1 Piezas del Cubo
Es un cubo en el que cada uno de sus seis lados está dividido en nueve
partes, 3x3, lo que conforma un total de 27 piezas que se articulan
entre sí gracias al mecanismo de la pieza interior central, oculta dentro
del cubo. El resto de las piezas es visible y se puede observar tres tipos
que no pierden su condición a lo largo de los múltiples movimientos
que se realizan.
Estas piezas son: las
centrales, las aristas y
las esquinas. Cada una
de estas piezas se
caracteriza
porque
poseen 1, 2 ó 3 colores
respectivamente.
Es
importante notar que
en realidad son las
aristas y las esquinas
las que se mueven,
pues
las
piezas
Figura 4. Cubo de Rubik
centrales
siempre
guardan la misma posición relativa entre ellas. Todos los movimientos
que pueden hacerse con el cubo se reducen a girar una o más veces las
caras del cubo, sin desplazar de su posición las piezas centrales.
3.2 Notación Empleada
Lo notación empleada en el programa de resolución del Cubo de Rubik
es la siguiente:
La cara de Arriba: A
La cara de aBajo: B
La cara de la Izquierda: I
La cara de la Derecha: D
La cara del Frente: F
La cara de aTrás: T
Cuando se nombre una cara por su letra, va a significar (en términos de
movimiento) un giro de un cuarto de vuelta (90 grados) en la dirección
de las agujas del reloj.
Del mismo modo, el movimiento contrario (es decir, un giro de un
cuarto de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj) estará
indicado por A'. En tanto que, un giro de media vuelta (180 grados) se
indica como A2.
3.3 Número de Combinaciones
El grupo de todas las permutaciones posibles del Cubo de Rubik es el
siguiente: por una parte podemos combinar entre sí de cualquier forma
todos los picos lo que da lugar a 8! posibilidades. Con las aristas pasa
lo mismo, es decir, que podemos combinarlos como queramos lo que
da lugar a 12! posibilidades, pero la permutación total de vertices y
aristas debe de ser en total par lo que nos elimina la mitad de las
posibilidades. Por otra parte, podemos rotar todos los vértices como
queramos salvo uno sin cambiar nada más en el cubo. La orienntación
del último vértice vendrá determinada por la que tenga los otros siete y
esto nos crea 3^7 posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es
decir, nos aparecen 2^11 posibilidades más. En total tendremos que el
número de permutaciónes posibles en el Cubo de Rubik es de:
(8! 12! 3^7 2^11)/2 = 43.252.003.274.489.856.000
4. MÉTODO DE FRIDRICH
4.1 Introducción
Existen básicamente dos tipos de algoritmos de resolución del Cubo de
Rubik: los basados en “bordes de esquinas” y los basados en “capa a
capa”. El método de fridrich pertenece al segundo tipo.
Dentro del método de fridrich encontramos dos alternativas: la de
principiantes, adecuada para todo tipo de personas que decidan
resolver el Cubo de Rubik, o la de expertos, indicada para aquellos que
quieran resolver el cubo en un tiempo rápido. De hecho, esta última
variante es la utilizada por la mayoría de los speed cubers, ya que
garantiza una solución en un tiempo medio inferior a los 17 segundos.
Tanto la versión para principiantes como la de expertos pueden ser
divididas en tres partes bien diferenciadas: la resolución dela primera
capa, la resolución de la segunda capa y, por último, la resolución de la
tercera. Según se avanza de etapa en etapa (o de capa en capa), se va
ganando en complejidad.
Por último, cabe destacar que la diferencia entre las dos versiones
presentadas radica en las subetapas que contienen. Así, la versión para
principiantes llega a dividir el proceso de 3 etapas en 7, mientras que la
versión para expertos se queda en 3 etapas, con la particularidad de
que une las dos primeras en una única etapa y divide la última en dos
subetapas.
A continuación se describen las dos versiones:
4.2 Principiantes
El algoritmo de fridrich en su versión para principiantes se divide en
siete etapas. Las dos primeras tienen como objetivo resolver la primera
capa del cubo. La tercera resuelve la capa intermedia. Las últimas
cuatro etapas resuelven la tercera y última capa del cubo.
Figura 5. Notación del Cubo de Rubik
1. Cruceta inicial. El primer paso es muy sencillo, consiste en crear
una cruz en una cara. Para esto basta llevar las cuatro aristas de dicha
cara a su posición. Obsérvese que aparte de formar la cruz debemos
tener en cuenta que las aristas tienen dos colores: un color es el de la
cara que estamos haciendo y el otro color debe coincidir con el color
de la cara adyacente.
El resultado final es el que se muestra en la figura 6:
El resultado final es el que se muestra en la figura 9:
Figura 9. Resultado del paso 3 de principiantes
Figura 6. Resultado del paso 1 de principiantes
2. Primera capa. El segundo paso es sencillo también, aunque
implica mayor complejidad que el primero, pues es necesario conservar
su resultado (aunque en pasos intermedios lo perdamos). Consiste en
terminar la primera capa del cubo. Para ello basta llevar las cuatro
esquinas de la cara que habiamos empezado a resolver en el paso 1 a su
sitio, con la orientación correcta.
El resultado final es el que se muestra en la figura 7:
Figura 7. Resultado del paso 2 de principiantes
3. Segunda capa. El tercer paso consiste en completar la segunda
capa del cubo. Para ello debemos colocal las cuatro aristas de la
segunda capa que faltan por colocar. Este paso sigue siendo sencillo,
aunque se complica cuando llegamos a la última de las aristas, pues
debemos mantener el resultado obtenido hasta aquí. Existe una
secuencia de movimientos específica para colocar la última arista.
Dicha secuencia es la siguiente: D A' D' A' F' A F, y queda reflejada en
la figura 8 (para esta secuencia se tiene como sistema de referencia que
la cara ya resuelta es la de abajo, que el arista a colocar es el que tienen
en común las caras frontal y derecha, y que este arista debe estar
colocado entre las caras izquierda y arriba, tal y como muestra la
primera fase del gráfico de la figura 8).
4. Colocación de las aristas en la cara inferior. Lo primero que
haremos en este paso es cambiar el cubo de tal manera que la cara de
abajo pase a ser la de arriba y la derecha pase a ser la izquierda, es
decir, “darle la vuelta al cubo”. Realizamos este cambio de sistema de
referencia para mejorar la visión del cubo a la hora de resolver la
tercera capa.
En este paso queremos que en la cara inferior (ahora superior por haber
girado el cubo) aparezca una cruz, aunque las aristas no queden
correctamente colocadas en su sitio. En este caso, no vamos a hacerlo
poniendo una arista primero y después otra (de hecho es imposible
hacerlos así) sino que lo que vamos a hacer es ponerlas de 2 en 2. El
movimiento a realizar dependerá de la posición de las aristas que
tengan su cara A en la cara A. Siempre habrá un número de aristas par
bien orientadas. Girando el cubo tendremos uno de los siguientes casos
(además de que ya estuviese hecho y no tuviésemos que hacer nada):
Caso 1: Todas las aristas colocadas. No hacemos nada y pasamos al
siquiente paso.
Caso 1: Si AD y AI son las únicas aristas con la cara A mirando hacia
arriba (figura 10) aplicamos T' D' A' D A T.
Figura 10. AD y AI, aristas con cara A en la cara de arriba
Caso 2: Si AI y AT son las únicas aristas con la cara A mirando hacia
arriba (figura 11) aplicamos F A D A' D' F'.
Figura 11. AI y AT, aristas con cara A en la cara de arriba
Figura 8. Colocación de la última arista de la segunda capa
Caso 3: Por último, si no tenemos ninguna cara A de ninguna arista
mirando hacia arriba (figura 12), aplicamos un movimento cualquiera
de los dos anteriores y el cubo quedará como en el caso 1 o 2.
Podemos por ejemplo aplicar 1, girar el cubo en sentido contrario de
las agujas del reloj y aplicar 2. También podemos aplicar directamente
I D' A F A' F' A' F' A' F A I' D.
Figura 12. No hay aristas con cara A en la cara de arriba
Figura 16. Resultado del paso 5 de principiantes
El resultado final es el que se muestra en la figura 13:
Figura 13. Resultado del paso 4 de principiantes
5. Orientación de las aristas en la cara inferior. En este caso lo que
debemos hacer es que la cruz creada en el apartado anterior esté bien
colocada, es decir, que el color de cada arista coincida con el color de
la correspondiente cara lateral. Lo primero que hay que hacer es ir
girando la cara superior hasta que quede sólo un arista bien colocada,
pues si tuvieramos dos aristas colocadas el movimiento a realizar sería
más largo, pues primero descolocaríamos una arista para despues
aplicar el movimiento de una arista. De esta manera, una vez tenemos
colocada solo una arista, y considerando que está colocada en la unión
de las caras arriba e izquierda, tenemos dos casos posibles:
Caso 1: Si las tres aristas precisan una rotación en el sentido de las
manecillas del reloj (figura 14) aplicamos F A2 F' A' F A' F'.
6. Colocación de las esquinas en la capa inferior. Ahora lo que
tenemos que hacer es colocar cada esquina en su sitio, aunque no
importa que estén giradas. Por razones análogas a las expuestas en el
anterior paso, nos interesa estudiar solamente el caso en el que tenemos
una sola esquina colocada y necesitamos rotar las otras tres, pues los
demas casos son una extension de éste. Giraremos el cubo hasta que el
vértice correctemente situado quede en la intersección de las caras
arriba, derecha y frontal. Ahora tenemos las siguientes posibilidades:
Caso 1: Tenemos sólamente un vértice (posiblemente girado) y los
otros tres precisan una rotación en sentido horario (figura 17).
Entonces aplicamos I' A D A' I A D' A'
Figura 17: Tres esquinas que necesitan rotación horaria
Caso 2: Tenemos sólamente un vértice (posiblemente girado) y los
otros tres precisan una rotación en sentido antihorario (figura 18).
Entonces aplicamos A D A' I' A D' A' I
Figura 14. Tres aristas que precisan rotación en sentido horario
Caso 2: Si las tres aristas precisan una rotación en el sentido de las
contrario al de las manecillas del reloj (figura 15) aplicamos F A2 F' A'
F A' F'.
Figura 15. Tres aristas que precisan rotación en sentido antihorario
El resultado final es el que se muestra en la figura 16:
Figura 18: Tres esquinas que necesitan rotación antihoraria
Un ejemplo del resultado final es el que se muestra en la figura 19.
Puede haber varios según sea la orientación de las esquinas.
Figura 19. Resultado del paso 6 de principiantes
7. Orientación de las esquinas en la capa inferior. En este paso
debemos orientar las esquinas de la última capa. La forma más sencilla
de llevar a cabo esta misión es orientar las esquinas de una en una. Los
movimientos que debemos aplicar son los siguientes:
Caso 1: Giro en sentido horario. Aplicamos D' B D B' D' B D B'.
Caso 2: Giro en sentido antihorario. Aplicamos B D' B' D B D' B' D.
Estas dos secuencias de movimientos son complementarias, es decir,
deben hacerse bloques de dos secuencias para no perder todo el trabajo
realizado en los pasos anteriores. Si realizamos un número impar de
secuencias, el cubo quedará incompleto.
Llegados a este punto, el cubo debería estar completamente resuelto.
El resultado final es el que se muestra en la figura 20.
salvo una esquina
D
I A2 I F' I' F A F A F' A I'
Orientación de todas las piezas
salvo dos esquinas opuestas
F D A2 D2 A' F' A F D A2 F'
Orientación de todas las piezas
salvo dos esquinas adyacentes
F A2 D' F' A' F A D2 A2 D'
F’
T' D' F' A2 F A2 F' A2 F D T
Orientación de las cuatro
aristas
Figura 20. Cubo resuelto.
Orientación de todas las piezas
salvo dos aristas opuestas
El algoritmo de fridrich en su versión para expertos se divide en tres
etapas. Las primera tiene como objetivo resolver las dos primeras
capas del cubo. La segunda etapa y la tercera resuelven la última capa.
El resultado final del cubo después del paso 1 es el que se muestra en
la figura 21:
D' A' F A2 F A' F A F' A2 F'
AD
D' A2 D2 A D' A D A2 T' D'
T
4.3 Expertos
1. Dos primeras capas. Este paso tiene como objetivo resolver las dos
primeras capas del cubo. Para tal fin, los movimientos propuestos son
iguales que los del método para principiantes. Existen algunos
algoritmos que responden a casos individuales encontrados en esta
etapa, pero aquí no son tratados, pues en palabras de la inventora de
este método “para las dos primeras capas puedes usar tu intuición”.
I D' A F A' F' A' F' A' F A D I'
I A F A' F' A F A' F' I'
D A T A' T I' T' I T' D'
“Y” formada por una esquina y
dos aristas
Orientación de todas las piezas
salvo dos aristas adyacentes
I' A' I T I' T' A T I T'
D A D' T' D T A' T' D' T
D T I' T I T' I' T I T2 D'
I' T' D T' D' T D T' D' T2 I
D T' D2 T A2 T A2 T' D
I' T I2 T' A2 T' A2 T I'
D T A T' A' T A T' A' D'
I' T' A' T A T' A' T A I
Figura 21. Resultado del paso 1 de expertos
2. Orientación de la cara de abajo. Sometemos ahora al cubo al
cambio del sistema de referencia realizado en el paso 4 del método
para principiantes. En este paso buscamos que la cara de arriba quede
completamente orientada. Para ello, la inventora del método propone
40 algoritmos diferentes, uno para cada uno de los 40 casos posibles en
que podemos encontrarnos la capa de arriba (en realidad son 41 casos
posibles, 40 casos con las piezas desorientadas más el caso en el que
las piezas estén colocadas con la orientación correcta, y no tengamos
que hacer nada).
A continuación se muestra una tabla con los algoritmos más relevantes:
Tabla 2. Algoritmos para paso 2 del método fridrich para expertos
Situaciones
Orientación de todas las piezas
Algoritmos a aplicar
F D' F' D A2 F D' F' D2 A2
D'
D A2 D2 F D F' A2 D' F D F'
Orientación de todas las piezas
D' A2 D' F D F' A' F' A' F A'
Pequeña “z” formada por dos
aristas y una esquina
D T I' T I T2 D'
I' T' D T' D' T2 I
T F2 I' F I' F' I2 F I' T' F
T' F2 D F' D F D2 F' D T F'
"W" formada por 2 esquinas y
2 aristas
D T A T2 A' D' A D T D'
Cuadrado formado por una
esquina y dos aristas
I' T2 D T D' T I
“L” formada por una esquina y
dos aristas
I' T' A' T2 A I A' I' T' I
D T2 I' T' I T' D'
D T' D' A' D T D' T' A T
I' T I A I' T' I T A' T'
I F I' D A D' A' I F' I'
D' F' D I' A' I A D' F D
Giro de 2 esquinas adyacentes
y 2 aristas adyacentes que no
forman una "d"
D A' D' A2 D A T A' T' A' D'
I' A I A2 I' A' T' A T A I
3. Permutación de la última capa. En este paso vamos a permutar las
piezas de la última capa hasta colocarlas en el sitio correcto. Para ello,
la inventora del método propone 13 algoritmos diferentes, uno para
cada uno de los 13 casos posibles en que podemos encontrarnos la
capa de arriba (en realidad son 14 casos posibles, 13 casos con las
piezas descolocadas más el caso en el que las piezas estén colocadas en
la posición correcta, y no tengamos que hacer nada).
A continuación se muestra una tabla con los algoritmos más relevantes:
T I T' D T I2 T I T2 D'
T' D' T I' T' D2 T' D' T2 I
"d" formada por 2 aristas y 2
esquinas
D A T' A' D' A D T D'
Tabla 3. Algoritmos para paso 3 del método fridrich para expertos
Situaciones
Algoritmos a aplicar
Intercambio de 3 aristas
D2 A F T' D2 T F' A D2
I' A' T A I A' I' T' I
D2 A' F T' D2 T F' A' D2
T A I A' I' T'
I F' I T2 I' F I T2 I2
T' A' D' A D T
"Z" formada por 2 esquinas y 2
aristas
D T' D' A' D A T A' D'
Esquina y cuadrado opuesto
"T"
Intercambio de 2 pares de aristas
adyacentes
D' F D F' T' D F T' D F' D' T2
(A')
T I' T' I A I A' I'
Intercambio de 2 pares de aristas
opuestas
D I A2 D' I' F' T' A2 F T
F' A2 F2 D' F' D F' A2 F
Intercambio de 2 pares de
vértices adyacentes
I' T I A I' A' T' A I
D T A T' A' D'
T' A' T A T I' T' I
"U"
F A F D' F' D A' F'
I A I' A' F' I' T I F T'
Orientación de 4 esquinas
I A I' A I A D' A I' A' D
D A2 D2 A' D2 A' D2 A2 D
Orientación de 2 esquinas
adyacentes
F2 B' F A2 F' B F A2 F
D' F' I F D F' I' F
Orientación de 2 esquinas
opuestos
D' F D' T2 D F' D' T2 D2
Intercambio de 2 vértices
adjuntos y 2 aristas opuestas
formando una "T"
D T A' T' A T A T2 D' T A T A'
T'
Intercambio de 2 vértices
opuestos y 2 aristas adjuntas de
forma paralela
F' A F' A' D' B D' B' D2 F' D' F
DF
Intercambio de 2 vértices
adjuntos y 2 aristas opuestas de
forma paralela
D' I F2 I B' D F2 I' A D2 I' T2
D2 (A')
Intercambio de 2 aristas
adyacentes y 2 vértices
adyacentes sin cruzarse
F I A I' F I A' F A F A' F' I' F2
D' F' I' F D F' I F
El resultado final del cubo después del paso 2 es el que se muestra en
la figura 22:
D T I T' D' F T D F' I' F D' F' T'
Intercambio de 2 aristas
adyacentes y 2 vértices
adyacentes cruzándose
F' D' A' D F' D' A F' A' F' A F D
F2
F T A2 T' A' T A2 F' A T' (A')
F' T' A2 T A T' A2 F A' T (A)
El resultado final del cubo después del paso 3 es el que se muestra en
la figura 23:
Figura 22. Resultado del paso 2 de expertos
Figura 24. Resultados del paso 1 de Petrus
2.Expandir la esquina 2x2x3. En este paso hay tres capas que se
pueden mover libremente sin modificar lo que ya se ha conseguido. Se
tratará de ampliar el cubo 2x2x2 a uno 2x2x3, añadiendo una esquina
y dos aristas a lo que ya se ha formado.
Figura 23. Resultado del paso 3 de expertos
Por último, cabe destacar que la diferencia entra ambas versiones,
como ya se indicó antes, radica en la aplicación de algoritmos a
situaciones más o menos genéricas. Así, el método para principiantes
aplica no mas de 20 algoritmos para la resolución del cubo, pero al ser
estos algoritmos propios para la resolución de problemas genéricos, su
longitud en movimientos es sensiblemente mayor que en la versión
para expertos, en la cual tenemos hasta 60 algoritmos diferentes, cada
uno de ellos de no más de 12 movimientos de longitud.
Se elige una de las tres posibles esquinas para expandir hacia esta. En
el gráfico se ha solucionado para la esquina verde-amarilla-naranja.
Como en el paso 1, se empareja la esquina con una de las aristas y se
trabaja desde ahí. Hay que tener cuidado de no desarmar el bloque
2x2x2 conseguido en el paso 1.
La autora hace mención incluso a una posible uificación de las dos
últimas etapas de la versión para expertos, suponiendo ello una mayor
especializacion de los algoritmos a aplicar, y con ellos una reduccion
considerable de tiempo de resolución. Sin embargo, si utilizaramos
este método, tendríamos que desarrollar del orden de 1200 algoritmos,
lo cual es sencillamente imposible.
MÉTODO DE PETRUS
4.4 Idea básica
La gran diferencia entre este método y los hasta ahora explicados es
que no se basa en ir resolviendo el cubo capa a capa. En los métodos
tradicionales, "capa a capa", cuando se ha terminado con la primera
capa, el algoritmo hace que tengas que desarmar esa capa, hacer algo
útil y nuevamente volver a terminar esa capa. Por lo que no se está
haciendo algo útil en todo momento.
Lo que Petrus aporta es que podemos hacer algo que nos encamine a la
solución continuamente, por eso la primera capa estará orientada a la
solución pero no formará parte de ella.
4.5 El método
Se divide en siete pasos:
1.Construir una esquina 2x2x2. Aquí se busca preparar una
esquina, colocando sus tres aristas contiguas en la posición correcta. Se
junta una esquina, tres aristas y tres centros.
Aunque hay casos especiales el proceso para conseguirlo es el
siguiente: se empareja la esquina con una de las aristas y una segunda
con un centro. Ahora se unen estos dos elementos para formar un cubo
2x2x1. La arista que no se ha utilizado se empareja con los otros dos
centros y finalemente se une todo con un último movimiento.
Figura 25. Resultados del paso 2 de Petrus
3.Girar las aristas. La idea principal de este paso es resolver el
cubo entero desde este punto simplemente girando las dos partes libres
que quedan. El problema es que algunas aristas se giran siempre de
forma equivocada, en este paso se trata de descubrir esas “malas”
aristas y corregirlo.
Esencialmente se hacen dos cosas:
1.Identificar las aristas malas. Hay 7 aristas que no forman parte del
bloque 2x2x3. Elige una de ellas y, utilizando las dos capas libres,
colócala en medio de los centros de sus colores. (rojo/azul, entre los
centros rojo azul). Si encaja, es una arista de las buenas, sino de las
malas. Asi se hace con todas las aristas, sin prestar atención a mantener
las aristas ya comprobadas en su sitio. Es muy dificil y no sirve para
nada. Ya tenemos clasificadas las aristas en buenas y malas.
2. Convertir las aristas malas en buenas. Siempre hay un número par
de aristas malas. Se puede resolver por parejas. La manera más fácil es
realizar la siguiente secuencia mostrada en la figura. Sólo hay que
colocar dos aristas malas en las posiciones indicadas (ver gráfico). Es
conveniente ir comprobando que las aristas pasan a ser buenas. Se
continúa asi hasta estar seguro de que todas las aristas son buenas.
Figura 26. Resultados del paso 3 de Petrus
4.Terminar dos capas. Es el paso más complicado de todo el
método con diferencia. Lo que se hace en este paso es muy parecido a
los pasos 1 y 2, pero aquí tenemos una mano detrás de la espalda
porque sólo se pueden mover dos partes. Además en mitad del proceso
no se podrán hacer muchos de esos movimientos porque desarmarían
lo que ya se hubiese conseguido.
Atendiendo a los objetivos de este paso en términos de piezas, lo que
se quiere obtener es añadir dos esquinas y tres aristas al bloque 2x2x3,
para convertirlo en un bloque 2x3x3 (dos capas completas).
Existe la posibilidad de elegir entre dos formas de expandir,
dependiendo del color que se quiera dejar para el final. En el ejemplo
dejaremos el rojo para el final (expandiendo con las esquinas blancoverde-naranja y blanco-azul-naranja, y las aristas blanco-verde,blancoazul y blanco-naranja.Despues de esto tendremos 12 de las 20 piezas
resueltas.
nada más. Lo que significa que la esquina roja/azul/blanca debería
estar entre los centros rojo, azul y blanco, pero su casilla roja no tiene
porque estar emparejada con el centro rojo. Las esquinas normalmente
parecen muy incompletas despues de completar el apartado 5, hay que
inspeccionarlas para saber que están orientadas de la manera precisa.
Para hacer esto necesitamos una herramienta que mueva las esquinas
superiores sin mover las aristas, esta herramienta se denomina
Niklas™, y se puede ver más abajo.
Parte ‘a’. Nos fijamos primero en posicionar una esquina y sus aristas
adyacentes. Hay que proceder de la misma manera que en los primeros
pasos pero con mayor complicación ya que no podemos girar más que
dos partes. Para conseguirlo, lo primero es mover las piezas a una
posición donde se puedan realizar los giros necesarios con las dos
partes libres.
Figura 29. Resultados del paso 5 de Petrus
En el ejemplo, no hay que preocuparse sobre cómo las esquinas se
giran, sólo hay que darse cuenta de que las esquinas blancas
intercambian sus posiciones.
Figura 27. Resultados del paso 4a de Petrus
En este punto, se tienen dos bloques completos de 2x2x3, hay que
recordar con cuál de ellos se empezó ya que si se utiliza el otro
reapareceran las aristas malas y se tendrá que empezar otra vez desde el
paso 3.
Parte ‘b’. Poner las dos últimas piezas en su sitio sin deshacer nada es
muy dificil. La forma normal de hacer esto es juntando las dos piezas
de la cara superior, y despues poner la pareja en su sitio, como se
puede ver en los ejemplos.
Estas son los casos y sus probabilidades de ocurrir: 1/6 de las veces,
las esquinas estarán ya correctamente situadas. Se puede saltar al paso
número 6. 1/6 de las veces, dos esquinas diagonalmente opuestas
habrán intercambiado sus posiciones. El resto de las veces , dos
esquinas adyacentes habrán conmutado sus posiciones.
Primero se necesita encontrar qué dos esquinas (si hay alguna) han
cambiado sus posiciones. Es sencillo. Se gira la capa superior hasta
que dos esquinas estén en las posiciones correctas. Las otras dos están
ya correctamente situados o necesitan ser movidas. Sólo hay cuatro
posciones que comprobar.
Niklas™ moverá las dos esquinas que están en la posición opuesta a la
cara en la que se hizo el primer movimiento.
Se puede hacer esto simplemente observando a las esquinas de la cara
superior, pero es más sencillo girandola coincidiendo los colores con el
resto del cubo. Se pierde un movimiento pero se gana tiempo.
6.Girar las esquinas. Una vez están las aristas giradas
correctamente y las esquinas colocadas correctamente, el siguiente
paso es girar las esquinas de forma adecuada. Esto se puede conseguir
con una simple secuencia de movimientos, como se puede ver más
abajo.
Figura 28. Resultados del paso 4b de Petrus
5.Colocar las esquinas. Lo bueno de este paso es que sus múltiples
giros pueden hacerse casi a ciegas, ya que sólo se mueven las mismas
dos partes en todo momento, y no se necesita en ningún momento
cambiar el agarre. Ahora estamos en la última capa. En esta no hace
falta pensar mucho, reconocemos patrones y aplicamos reglas.
Al empezar este paso, debería haber solamente una capa sin resolver, y
las aristas ya orientadas de manera correcta (formando una cruz). En
este paso se colocarán las esquinas superiores en su posición correcta,
Figura 30. Resultados del paso 6 de Petrus
Es denominada por Petrus como Sune™. Gira tres esquinas dejando
una sin girar. También mueve aristas pero no hay que preocuparse por
eso ahora.
Este paso puede ser resuelto con 2 Sunes o menos, hay que aprender lo
que es Sune para poder utilizar este método.
Para hablar de cómo usar Sune™ se necesita definir el concepto de
“blanco” u “objetivo” de Sune™. En el ejemplo, el objetivo de Sune es
el cuadrado amarillo. En palabras, el primer giro de un Sune, apunta al
cuadrado que (a) está en el lado opuesto de el lado del primer giro, y
(b) de los dos cuadrados de la esquina, apunta al que está en el lado
que se gira hacia arriba.
Una vez entendido el concepto de objetivo, sólo hay que seguir estas
tres reglas siguientes, dependiendo del caso. Si la última cara es roja:
*Sin esquinas correctas, el objetivo es un cuadrado rojo. Lo que deja
una esquina correcta.
*Con una esquina correcta.
*Con dos esquinas correctas, el objetivo es un cuadrado no rojo de
una esquina girada de forma incorrecta. Hay una esquina correcta.
Aqui, un ejemplo de cada uno de los tres casos vistos anteriormente.
Figura 31. Ejemplo del paso 6 de Petrus
7.Colocar las aristas. Sólo quedan 12 posiciones posibles. Una de
ellas es el caso resuelto. Las otras 11 se resuelven como sigue.
8 de las 12 soluciones tienen la posición que se observa, con tres
aristas permutadas (o su imagen simétrica). Hay que aprenderse la
solución que se detalla abajo (y su imagen simétrica). Esta solución se
denomina Allan™.
Si llegamos a una de las otras posiciones, basta con hacer Allan dos
veces.
6. REFERENCIAS
[1] Iván Ridao Freitas y Santiago Agustín Vidal. Algoritmos de
resolución para el cubo de Rubik. Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de Buenos Aires, 2005.
[2] Jessica Fridrich. Rubik’s Cube.
http://www.ws.binghamton.edu/fridrich/cube.html, 2006.
[3] Lars
Petrus.
Solving
Rubik's
http://lar5.com/cube/index.html, 2006.
Cube
for
speed.
[4] Carlos A. Hernández. El cubo de Rubik de la A a la Z. Algoritmos
de resolución del cubo de Rubik.
http://www.rubikaz.com/resoluciones.html, 2006.
Figura 32. Resultados del paso 7 de Petrus
5. AGRADECIMIENTOS
Queremos agradecer a Iván Ridao y Santiago Vidal su programa de
resolución del Cubo de Rubik “El Cubo de Rubik v1.0”, que sirve de
apoyo a la presentación de este artículo.
[5] Conti González Báez. El Cubo de Rubik.
http://radiocentro.com.mx/grc/homepage.nsf/main?readform&url=
/grc/redam.nsf/vwALL/XPAO-6LBPUU, 2006.
[6] Wikipedia. Rubik´s Cube.
http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube, 2006.
[7] Wikipedia. SpeedCubing.
http://en.wikipedia.org/wiki/Speedcubing, 2006