determinación de la temperatura del gas de una descarga

DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL GAS DE UNA DESCARGA
DE ARCO A.C. A PRESION ATMOSFERICA EN AIRE UTILIZANDO UN
INTERFEROMETRO MACH – ZEHNDER
JAVIER ALONSO LOPEZ MEDINA
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA
SANTIAGO DE CALI
2005
DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL GAS DE UNA DESCARGA
DE ARCO A.C. A PRESION ATMOSFERICA EN AIRE UTILIZANDO UN
INTERFEROMETRO MACH – ZEHNDER
JAVIER ALONSO LOPEZ MEDINA
Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al titulo de
Físico
Director
GUSTAVO ADOLFO ZAMBRANO ROMERO
Ph.D.
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA
CALI
2005
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA
JAVIER ALONSO LOPEZ MEDINA, 1979
DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL GAS DE UNA DESCARGA
DE ARCO A.C. A PRESION ATMOSFERICA EN AIRE UTILIZANDO UN
INTERFEROMETRO MACH – ZEHNDER
Temas
Física del plasma.
Interferencia.
Índice de refracción.
Interferometria láser.
Santiago de Cali
2005
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
2
1. CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA
4
1.1. CONCEPTO DE TEMPERATURA
4
1.2. APANTALLAMIENTO DE DEBYE
7
1.3. CUASINEUTRALIDAD DEL PLASMA
11
1.4. OSCILACIÓN DEL PLASMA
11
1.5. CLASIFICACIÓN DEL PLASMA
14
1.5.1. Plasma en Desequilibrio Térmico
15
1.5.2. Plasma Térmico
16
1.6. DESCARGA DE ARCO
1.6.1. Propiedades del Arco Eléctrico
18
20
A. Región Catódica
21
B. La Columna de Arco
23
C. Región del Ánodo
24
1.6.2. Tipos de Arcos
26
1.6.3. Iniciación de un Arco
27
1.7. REACCIONES EN EL PLASMA
28
1.7.1. Fenómeno de Colisión
28
1.7.2. Ionización y Excitación
33
1.7.3. Procesos de Recombinación
37
2. INTERFERENCIA
40
2.1. EL FENÓMENO DE INTERFERENCIA.
40
2.2. IMPORTANCIA DE LA POLARIZACIÓN EN LA INTERFERENCIA DE ONDAS TRANSVERSALES
45
2.3. TIPOS DE INTERFERÓMETROS
47
2.4. INTERFERÓMETRO MACH – ZEHNDER (I.M.Z.)
48
2.5 CAMINO ÓPTICO
51
3. INTERFEROMETRIA LASER PARA EL DIAGNOSTICO DEL PLASMA
58
3.1. DIAGNOSTICO DEL PLASMA POR MEDIO DE INTERFEROMETRIA CON LÁSER
60
3.2. PROPIEDADES ÓPTICAS DEL PLASMA
66
3.2.1. Transmisión de una Onda Electromagnética a Través del Plasma
66
3.2.2. Refracción en el Plasma
70
3.2.3. Calculo de la Temperatura del Gas
75
3.3. ERROR DEL MÉTODO
3.3.1. Precisión de las Medidas Interferometricas
4. DETALLES EXPERIMENTALES Y RESULTADOS
4.1. EL INTERFERÓMETRO MACH ZEHNDER (I.M.Z.)
4.1.1. Construcción del Interferómetro Mach – Zehnder
4.1.2. EQUIPO Y COMPONENTES UTILIZADOS
76
77
80
80
81
82
A. Montaje del Interferómetro Mach - Zehnder
82
B. Divisores de Haz y Espejos Reflectores
83
C. Láser
84
4.1.3. Alineación del interferómetro Mach - Zehnder
85
4.1.4. Expansión del haz
86
4.2 DESCARGA DE ARCO UTILIZADA
87
4.3. RESULTADOS Y ANÁLISIS
91
5. CONCLUSIONES
100
6. RECOMENDACIONES
101
7. PERSPECTIVAS
102
BIBLIOGRAFIA
103
ANEXOS
105
RESUMEN
Para determinar la temperatura del gas de una descarga de arco se construyo un
interferómetro del tipo Mach – Zehnder, utilizando como fuente lumínica un láser
de He-Ne (λ = 6328 Å) con polarización vertical y una potencia de 10 mW. La
descarga de arco que se introdujo en uno de los brazos del interferómetro, es una
descarga a.c. de 50 KHz, corriente de 6 A que permitía obtener a presión
atmosférica, una descarga estable hasta aproximadamente 2 cm. de distancia
entre los electrodos. Al introducir la descarga en uno de los brazos, se produce un
desplazamiento de las franjas de interferencia con respecto a su posición sin
plasma. Teniendo en cuenta que el desplazamiento de las franjas esta relacionado
con la diferencia de camino óptico, con la variación del índice de refracción y en
ultima instancia con el cambio en la temperatura a través de la zona de la
descarga; esta ultima se determino a partir de los desplazamientos de las franjas
de interferencia. Para el cálculo se utilizó un programa en FORTRAN. En el centro
del canal de la descarga se calculó una temperatura cercana a los 3000 K
disminuyendo paulatinamente hasta la temperatura ambiente hacia los bordes de
la descarga. Este valor de la temperatura en el centro del canal esta de acuerdo
con resultados previamente reportados. El método presentado es un método
alternativo para el diagnostico de los parámetros de plasmas que se utilizan en la
producción y tratamiento de materiales.
INTRODUCCIÓN
Análogamente al interferómetro de Michelson El interferómetro Mach – Zehnder
(I.M.Z.) se basa en la interferencia de dos haces por división de amplitud del haz
incidente. Este interferómetro se ha convertido en una herramienta importante de
investigación para el diagnostico de los parámetros del plasma en el campo de
Física del Plasma. También es utilizado para medir cambios de densidad en
líquidos, en gases es utilizado para determinar cambios en su densidad, presión,
temperatura y transferencia de calor. Además de tener una aplicación en
Aerodinámica y otras aplicaciones tecnológicas.
Para aprovechar las ventajas y la gran utilidad que ofrece este interferómetro es
necesario contar con una fuente de gran intensidad lumínica y altamente
coherente, para lo cual se debe contar con una fuente de luz láser de un solo
modo (TEM00).
El láser se comenzó a utilizar para el diagnostico de los parámetros del plasma,
debido a que las emisiones láser poseen una serie de propiedades, tales como su
alta intensidad espectral, su aguda direccionalidad y su alta coherencia espacial y
temporal de su emisión.
El diagnostico de los parámetros del plasma por medio del sondeo con luz láser
por ser un método óptico no invasivo de diagnostico, no produce perturbaciones
en el plasma si se utiliza un láser con una potencia adecuada, que permita obtener
un alto contraste de las franjas de interferencia, así la diferencia de camino óptico
entre los haces que viajan a lo largo del interferómetro llegue a ser del orden de
decenas de metros.
El interferómetro de Mach – Zehnder ocupa un lugar muy importante en el
laboratorio de física avanzada, en el área de la óptica. Ya que es una herramienta
pedagógica que permite a los estudiantes con conocimientos básicos en óptica,
conocer más a fondo acerca del fenómeno de interferencia por división de
amplitud y sus aplicaciones para la investigación.
En el Capitulo uno del presente trabajo se presentan los conocimientos básicos
sobre física del plasma. En el Capitulo dos se describe la teoría necesaria para
entender el fenómeno de interferencia aplicado al interferómetro Mach – Zehnder y
se muestran sus características particulares. En el Capitulo tres se introduce y se
da una explicación teórica del método utilizado para determinar la temperatura del
plasma de una descarga de arco por medio de la Interferometria con láser. En el
Capitulo cuatro se describe detalladamente todo el proceso de construcción,
arreglo experimental del interferómetro, la toma de datos y los resultados
obtenidos con su respectivo análisis. En el capitulo 5 se dan las conclusiones del
trabajo realizado. Finalmente en el capitulo seis y en el siete se presentan algunas
recomendaciones y perspectivas para tener en cuenta en el mejoramiento y
perfeccionamiento del interferómetro con fines didácticos.
1. CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA
El plasma es un gas ionizado conformado por electrones, iones y partículas
neutras, pero eléctricamente neutro, el cual exhibe un comportamiento colectivo.
La palabra plasma fue introducida por primera vez por I. Langmuir y L. Tonks en
1928 para describir un gas ionizado de una descarga eléctrica.
El comportamiento colectivo del plasma se debe al gran alcance de las fuerzas
electrostáticas que sienten entre sí las partículas cargadas que lo componen.
Se dice que el 99 % de la materia del universo se encuentra en el estado de
plasma, algunos ejemplos de plasma se pueden encontrar en la ionosfera, las
auroras polares, el viento solar, a nivel de laboratorio se tienen descargas de arco,
en lámparas fluorescentes y en reacciones termonucleares.
1.1. Concepto de Temperatura
Las partículas de un gas en equilibrio térmico obedecen a una distribución de
Maxwell, para simplificar supongamos que las partículas solo se mueven en una
dimensión. La distribución de Maxwell en una dimensión viene dada por:
⎡ 1 mv 2 ⎤
f ( v) = A exp⎢−
⎥
⎣ 2 k BT ⎦
(1.1.1)
Donde f(v)dv es el número de partículas por cm3 con velocidades entre v y v + dv,
1
mv 2 es la energía cinética, kB la constante de Boltzmann y T la Temperatura.
2
La densidad o el número de partículas por cm3 esta dada por:
∞
n = ∫ f ( v)dv
(1.1.2)
−∞
La constante de la distribución esta relacionada con la densidad por medio de:
⎛ m ⎞
⎟⎟
A = n⎜⎜
⎝ 2πk B T ⎠
1
2
La distribución de Maxwell esta caracterizada por la temperatura T de las especies
del plasma. El significado de T se puede obtener fácilmente, calculando el
promedio de la energía cinética en la distribución. El promedio de la energía
cinética esta dado por:
∞
E=
1
∫ 2 mv
2
f ( v ) dv
−∞
(1.1.3)
∞
∫ f (v)dv
−∞
Donde
⎛ 2k T ⎞
v=⎜ B ⎟
⎝ m ⎠
1
2
Al resolver las integrales en (1.1.3) encontramos que E =
(1.1.4)
1
k B T para una
2
dimensión.
En el caso de tres dimensiones la distribución de Maxwell estará dada por:
⎡ 1 ( v 2x + v 2y + v 2z ) ⎤
f ( v x , v y , v z ) = Ax , y , z exp ⎢−
⎥
k BT
⎢⎣ 2
⎥⎦
Donde
(1.1.5)
Ax , y , z
⎛ m ⎞
⎟⎟
= n⎜⎜
⎝ 2πk B T ⎠
3
2
Y al calcular la energía promedio se encuentra que E =
3
k BT .
2
En física del plasma la temperatura se da en unidades de electrón – volt (eV),
primero se calcula la energía en Joule (J) por medio de kBT y luego se convierte a
eV utilizando la relación:
1 eV = 11600 K.
En el plasma de una descarga gaseosa, por ejemplo, la energía cinética de los
electrones y la energía cinética de los iones es diferente, debido a esto la
temperatura del plasma se describe en términos de la temperatura de cada una de
sus especies involucradas Ti (temperatura iónica) y Te (temperatura electrónica).
Por lo tanto en dicho plasma pueden existir varias temperaturas al mismo tiempo,
ya que tanto iones como electrones presentan distribuciones de Maxwell
separadas con diferentes temperaturas Ti y Te. Las diferentes distribuciones se
deben a que la tasa de colisión entre ion – ion y electrón – electrón es mayor que
la tasa de colisiones entre iones – electrones.
La temperatura electrónica del plasma representa la energía cinética promedio de
los electrones y la hace una característica colectiva del plasma.
Cuando hay un campo magnético B, incluso una sola especie, por decir los iones,
pueden tener dos temperaturas. Esto se debe a que las fuerzas que actúan sobre
un ion a lo largo de B son diferentes a las fuerzas que actúan perpendicularmente
a B (debido a las fuerzas de Lorentz). Las componentes de la velocidad
perpendicular a B y paralela a B pueden tener diferentes distribuciones de Maxwell
con temperaturas Ti y Te [1].
1.2. Apantallamiento de Debye
Una característica importante de los plasmas es su propiedad de apantallar
potenciales eléctricos aplicados a él y conservar su cuasi – neutralidad. Un plasma
en equilibrio es eléctricamente neutro e isotérmico. Al producir una perturbación de
este equilibrio introduciendo una carga de prueba en medio del plasma, dicha
carga atraerá electrones y repelerá iones en su vecindad. El potencial φ formado
por la carga de prueba estará dado por:
φ=
q
4πε 0 r
(1.2.1)
Si se considera que la partícula tiene energía, tanto cinética como potencial de la
forma U =
1
mv 2 + qφ , el factor de probabilidad se convierte en:
2
⎛ 1
⎞
2
⎜ − mv + qφ ⎟
⎟dv x dv y dv z
exp⎜ 2
K B Te
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Como φ depende de la posición, la probabilidad también dependerá de la posición.
Al integrar la función de distribución sobre todas las velocidades en el espacio, se
puede encontrar la densidad tanto de iones como de electrones la cual estará
dada por:
n = ∫ f ( v)dv x dv y dv z
Así
⎛ qφ ⎞
⎟⎟
n ∝ exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
Para los electrones la densidad estará dada por:
(1.2.2)
ne =
∫
⎛ eφ ⎞
⎟⎟
f e ( v)d 3 v = n0 exp⎜⎜ −
T
k
B ⎠
⎝
(1.2.3)
Para los iones, suponiendo que están simplemente ionizados, la densidad esta
dada por:
⎛ eφ ⎞
⎟⎟
ni = n0 exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
(1.2.4)
Esto implica que los electrones atraen cerca de sus alrededores cargas positivas,
y viceversa, lo cual produce un apantallamiento de la carga original de prueba.
Si se asume un plasma en una dimensión y se soluciona para la distribución de
potencial la ecuación de Poisson, entonces por la ley de gauss se tiene que:
σ
ε0
(1.2.5)
E = −∇φ
(1.2.6)
∇⋅E =
Al reemplazar (1.2.6) en (1.2.5) se obtiene la conocida ecuación de Poisson dada
por:
− ∇ 2φ =
σ
ε0
(1.2.7)
La densidad de carga σ, estará dada por:
⎛
σ = −ene + eni = en0 ⎜⎜ − exp
⎝
eφ
− eφ ⎞
⎟
+ exp
k BT
k B T ⎟⎠
(1.2.8)
Si se asume que el término de potencial es muy pequeño, eφ << k B T y si se
expande en serie de potencia (1.2.8), se tiene que:
⎛
σ ≅ −en0 ⎜⎜1 +
⎝
⎛
2 n e 2φ
eφ ⎞
eφ ⎞
⎟⎟ + en0 ⎜⎜1 −
⎟⎟ = − 0
k BT ⎠
k BT
⎝ k BT ⎠
(1.2.9)
Teniendo en cuenta una simetría esférica y con la ayuda de coordenadas
esféricas:
∇ 2φ ≡
1 d ⎛ 2 dφ ⎞
⎜r
⎟
r 2 dr ⎝ dr ⎠
La ecuación de Poisson se escribe como:
2 n 0 e 2φ
1 d ⎛ 2 dφ ⎞
− 2
⎜r
⎟=−
ε 0 k BT
r dr ⎝ dr ⎠
Cuya solución esta dada por:
⎡
⎢
q
φ=
exp ⎢−
⎢
4πε 0 r
⎢
⎢⎣
Entonces en (1.2.10) se tiene que λ D =
⎤
⎥
r
⎥
ε 0 k BT ⎥
⎥
2n0 e 2 ⎥⎦
ε 0 k BT
n0 e 2
(1.2.10)
conocida como la longitud de
Debye, la cual representa la distancia a la cual un pequeño potencial puede
perturbar un plasma, entonces el potencial se puede escribir de la forma:
φ=
⎡ r ⎤
exp ⎢−
⎥
4πε 0 r
⎣ λD ⎦
q
(1.2.11)
Donde se puede ver que el potencial decae exponencialmente y resulta
apantallado a una distancia igual a λD, es decir una carga del plasma interacciona
con las demás que se encuentren en una esfera de radio λD conocida como esfera
de Debye (ver figura No. 1).
Figura No. 1. Esfera de Debye.
De la relación (1.2.10) al aumentar la densidad, λD disminuye como uno espera,
debido a que en cada parte del plasma habrá mayor cantidad de electrones.
Además λD aumenta al aumentar kBT. La longitud de Debye es uno de los
parámetros importantes en física del plasma. En la definición de longitud de
Debye, con frecuencia se trabaja con la temperatura electrónica Te debido a que
ellos tienen mayor movilidad que los iones [1,2].
Para determinar si hay plasma o no en un gas ionizado se deben satisfacer ciertas
condiciones como:
i) La dimensión del sistema debe ser mayor que la longitud de Debye
L >> λD
ii) Debe haber gran cantidad de electrones para producir apantallamiento es decir
ND >>> 1, donde ND es el número de electrones en una esfera de Debye.
1.3. Cuasineutralidad del Plasma
Cualquier acumulación de carga de un solo signo en cierta región del plasma
producirá una fuerza atractiva para las cargas opuestas lo suficientemente grande
como para recuperar el equilibrio de la carga eléctrica casi instantáneamente. Si el
plasma no es forzado por campos eléctricos o magnéticos muy intensos a
mantener acumulaciones locales de carga, permanecerá en un estado de
cuasineutralidad, esto es ni ≈ ne ≈ n, donde n es una densidad común llamada
densidad del plasma [2].
1.4. Oscilación del Plasma
El plasma tiene la tendencia de comenzar a oscilar después de ser perturbado; al
estudiar un plasma simple compuesto por electrones e iones positivos con
densidades iniciales ni = ne = n0 iguales y asumiendo inicialmente que la velocidad
de las partículas puede ser despreciada, surge el siguiente interrogante, ¿Qué
sucedería si los electrones fueran desplazados de sus posiciones de equilibrio?
Si se perturba el sistema aplicando un campo eléctrico E1, los electrones debido a
su excelente movilidad reaccionan inmediatamente al campo eléctrico y su
densidad cambia a:
ne = n0 + n1 (r , t )
(1.4.1)
Mientras que los iones permanecen casi en reposo, debido a su inercia; por
consiguiente las cargas son separadas y se forma un campo eléctrico interno
dentro del plasma. Después de anular el campo eléctrico externo, los electrones
son acelerados por el campo eléctrico interno tratando de restaurar la neutralidad
de las cargas. Sin embargo debido a la energía cinética de los electrones causada
por el campo externo, los electrones se mueven más allá de su posición de
equilibrio, mientras que el campo eléctrico interno actúa sobre los electrones en
dirección opuesta acelerando los electrones de nuevo para alcanzar su posición
de equilibrio. Es decir los electrones oscilan debido a la perturbación producida por
el campo eléctrico. Dichas oscilaciones son muy rápidas, tan rápidas que los iones
no tienen tiempo para responder.
La frecuencia de dicha oscilación se puede determinar al asumir lo siguiente: El
número de electrones se conserva, por lo tanto, la densidad electrónica obedece a
la ecuación similar de la conservación de la carga eléctrica, conocida como la
ecuación de continuidad, la cual iguala el cambio de la densidad en un volumen
pequeño al flujo a través de una superficie, y para la densidad electrónica es de la
forma:
∂ne
+ ∇ ⋅ ( ne v e ) = 0
∂t
(1.4.2)
En el primer orden de la perturbación, la ecuación (1.4.2) queda como:
∂n1
+ n0 ∇ ⋅ v1 = 0
∂t
(1.4.3)
Donde ve = v1 es la velocidad de los electrones causada por la perturbación.
El campo eléctrico produce una fuerza dada por:
F = qE1
(1.4.4)
Así la ecuación del movimiento para los electrones queda como:
m
∂v1
= −eE1
∂t
(1.4.5)
Por otra parte, el campo eléctrico E1 se determina por la perturbación de la
densidad según la primera ecuación de Maxwell (ley de Coulomb) dada por:
∇ ⋅ E1 = −
ρ
ε0
(1.4.6)
∇ ⋅ E1 = −
en1
(1.4.7)
Que se puede escribir como:
Aplicando la derivada parcial
ε0
∂
a la ecuación (1.4.3) y con la ayuda de las
∂t
ecuaciones (1.4.5) y (1.4.7) se obtiene:
∂ 2 n1 ⎛ n0 e 2
+⎜
∂t 2 ⎜⎝ ε 0 me
⎞
⎟⎟n1 = 0
⎠
(1.4.8)
Que corresponde a la ecuación de una oscilación (onda estacionaria), con una
frecuencia angular dada por:
ω p2 =
n0 e 2
ε 0 me
(1.4.9)
Conocida como Frecuencia de Plasma. Con una frecuencia νp, o frecuencia de
Langmuir dada por:
ω p2
νp =
2π
(1.4.10)
Los parámetros que muestran un comportamiento colectivo del plasma son
entonces la frecuencia plasmica ωP, la longitud de Debye λD, y la ionización critica
α0, pero hay que tener en cuenta las tres condiciones que un plasma debe
satisfacer para que exista en un gas ionizado, estas condiciones son:
λD << L
ND>>> 1
ωPτ > 1
Donde τ es el tiempo de colisión entre las partículas cargadas con los átomos
neutros.
Las oscilaciones del plasma se clasifican en oscilaciones electrónicas del plasma y
en oscilaciones iónicas, la frecuencia plasmica total se puede escribir como:
ω P2 = ω e2 + ω i2
(1.4.11)
Donde la frecuencia de las oscilaciones electrónicas del plasma son mas altas que
las oscilaciones iónicas ωe >> ωi, debido a que la masa del electrón es pequeña
comparada con la masa de los iones. El producto entre la longitud de Debye λD y
la frecuencia de plasma ωp, da como resultado la velocidad media de los
electrones, y se expresa como [1,2]:
v = ω P ⋅ λD =
k B Te
me
(1.4.12)
1.5. Clasificación del Plasma
Los plasmas se caracterizan por su energía electrónica kBT y su densidad
electrónica ne los plasmas utilizados para la preparación de películas delgadas se
encuentran en la categoría de descargas Glow o luminiscentes a bajas presiones,
alrededor de 10-3 - 10 torr, estos plasmas tienen una energía electrónica promedio
y una densidad electrónica en el rango de 1 – 10 eV. y 1010 cm.-3. El plasma
generado en la descarga de arco puede ser creado a presión atmosférica o por
encima de dicha presión, aunque el plasma en una descarga de arco tiene una
baja energía electrónica, su densidad electrónica es muy grande en comparación
con la descarga Glow o luminiscente. Los diferentes tipos de plasmas existentes
en la naturaleza se ilustran en la figura No. 2:
Figura No. 2. Tipos de Plasma existentes en la Naturaleza.
American Physical Society, Division of Plasma Physics
En esta figura se puede observar los diferentes tipos de plasma que se encuentran
en la naturaleza, relacionados de acuerdo a su temperatura y a su densidad de
partículas. Por ejemplo, se puede localizar la descarga de arco, donde su
temperatura se encuentra entre 103 y 104 K, con una densidad de particulas entre
1012 y 1015 partículas por cm-3.
1.5.1. Plasma en Desequilibrio Térmico
Este tipo de plasma puede ser obtenido por medio de una corriente directa en una
descarga “glow”, también puede ser generado por una alta frecuencia o por una
radiación con microondas a baja presión. En este plasma el grado de ionización
definido por la ecuación (1.5.2.2) es tan solo 10-4, así el gas consiste en su
mayoría de especies neutras pero excitadas. Una característica de este plasma es
la carencia de equilibrio térmico entre la temperatura electrónica Te y la
temperatura del gas Tg. Este tipo de plasma es llamado “plasma no equilibrado”.
En plasmas generados por descargas bajo una presión menor que varias decenas
de torr, la temperatura electrónica llega a ser alta pero las partículas del gas
permanecen relativamente a baja temperatura. Esto se debe a que la frecuencia
de colisión entre electrones y partículas del gas es pequeña.
Por lo tanto los plasmas en estado de no equilibrio térmico son llamados plasmas
fríos. Las temperaturas en un plasma de este tipo son consideradas como:
Te > Tv ≥ Tr > Tg
(1.5.1.1)
Donde Tv es la temperatura vibracional de las partículas, Tr es la temperatura
rotacional, y Tg es la temperatura del gas en su conjunto. [3]
1.5.2. Plasma Térmico
Cuando la corriente se incrementa bajo una presión fija en una descarga ¨Glow¨ el
voltaje en la descarga desciende, el plasma queda confinado y la densidad de
corriente se incrementa; esta es la transición del estado de plasma de una
descarga ¨Glow¨ a una descarga de arco.
En un plasma generado por una descarga de arco, la distribución de energía de
los electrones Te y las moléculas del gas Tg es casi la misma, debido a que la
frecuencia de las colisiones entre electrones y moléculas del gas es muy alta, y el
plasma se encuentra en equilibrio térmico por lo tanto Te ≈ Tg.
Un plasma compuesto por un gas de partículas a alta temperatura es llamado
plasma térmico, cuando el plasma se encuentra en equilibrio térmico, la densidad
de partículas puede ser calculada como función de la temperatura y la presión
siempre que la siguiente reacción se encuentre en equilibrio.
A ↔ A+ + e − U i
(1.5.2.1)
Donde Ui es el potencial de ionización del gas con moléculas A. El grado de
ionización se puede definir utilizando la densidad nA para los átomos neutros y nA+
para los átomos ionizados en los gases A y A+ como:
α=
n A+
n A + n A+
(1.5.2.2)
El grado de ionización α, es la razón entre el número de partículas ionizadas en el
gas y el número inicial de partículas. En un gas totalmente ionizado α = 1, en el
plasma débilmente ionizado α << 1. En estado de equilibrio térmico el grado de
ionización del gas es función de la temperatura y la densidad del plasma.
La relación entre el grado de ionización α, la temperatura T y la presión p esta
dada mediante la ecuación de Saha, la cual nos da la relación entre el número de
átomos ionizados y el número de átomos neutros en una especie. Esta ecuación
viene dada por:
3
⎡ U ⎤
Z A+
α2
⎡ 2πme k B T ⎤ 2
p
T
=
2
k
exp⎢− i ⎥
B
⎢
⎥
2
2
ZA
1−α
⎣ h
⎦
⎣ k BT ⎦
(1.5.2.3)
Donde ZA+ y ZA son las funciones de partición interna para los átomos neutros y
los átomos ionizados [3].
1.6. Descarga de Arco
Es una descarga Automantenida con una baja caída de potencial en la región
catódica, Esto se debe a la existencia de mecanismos de emisión de electrones
muy eficientes (emisión termoiónica, emisión electrónica por campo y emisión
termoiónica por campo) que hacen innecesaria la ampliación de corriente operada
en la caída catódica de una descarga glow.
Este tipo de descarga fue observada por primera vez por el ruso V. V. Petrov. La
descarga de arco se puede obtener entre electrodos metálicos, si dicha descarga
transcurre a una presión igual a la atmosférica o mayor; las temperaturas de los
electrones, iones y átomos neutros son aproximadamente las mismas y alcanzan
un valor del orden de los 6000 K. esta temperatura solo se observa en la parte
central del canal del arco, que se encuentra rodeada por una cubierta de gas que
es mas fría.
El arco está caracterizado por corrientes grandes del orden de 1-105 A, con
densidades de corriente catódica en el rango 102-108 A/cm2. La caída de voltaje en
el arco es baja (de 20 - 30 V), y en muchos casos (pero no siempre) la curva
característica V vs. I es de tipo decreciente como se muestra en la figura. No. 3.
Des c arg a
To wns e nd
E x plos iones al
az ar
600
Corona
800
B
C
D
400
Descarga Luminiscente Anormal
V
Descarga Luminiscente Subnormal
Figura No. 3. Curva V vs. I para varias tipos de descarga.
Regi ón de
T rans ic ión
G
Des c arg a Lum i nis c ente No rm al
E
F
Cor rie ntes F otoeléc tric as
200
A rc o
A
10 -20
10 -16
Inc re m ento d e Lum inis c enc ia
10 -1 2
10 -5
10 -4
10 -3
10 -2
10 -1
1
10
A
En la grafica No. 3 se puede resaltar que para corrientes del orden 10-18 A ocurren
explosiones al azar las cuales aumentan en tamaño y frecuencia con el aumento
del potencial. Si se ilumina el cátodo con luz ultravioleta, la corriente aumenta
cerca de 10-13 a 10-12 A; esto se debe a que la corriente se vuelve mas grande con
el aumento de la intensidad luminosa. La eliminación de la luz causa reversión y
explosiones al azar (región A-B).
Si se ilumina el cátodo y el potencial aumenta, la corriente aumenta rápidamente y
en un cierto intervalo el potencial aumenta súbitamente. La corriente no cambia si
la luz es removida ya que no depende de la fuente externa de ionización y dicho
estado se conoce como descarga automantenida y se extiende hasta 10-6 A. si se
aumenta la corriente hasta 10-5 A. la descarga se vuelve débilmente visible, y el
potencial cae hasta un valor constante a una corriente de 10-4 A. (región C-D-E).
En general no es necesario cumplir todos los procesos para tener una descarga
luminiscente. Si se aplica un potencial mayor al potencial de rompimiento entre los
electrodos, el primer electrón producido al azar, iniciara una descarga
automantenida y el proceso descrito por la curva A-B-C-D tendrá lugar en menos
de un segundo.
Cuando la corriente se aumenta mas allá de un valor crítico, el voltaje de descarga
aumenta a esta descarga se la conoce como descarga luminiscente anormal. Un
aumento posterior en la corriente causa al potencial un incremento considerable y
a grandes corrientes una caída a muy bajos valores, produciéndose así descargas
de arco. El punto en el cual ocurre esta transición es de alrededor 10-1A.
Los cátodos en el arco reciben grandes flujos de energía y alcanzan elevadas
temperaturas, a veces sobre toda la superficie catódica, a veces localmente (y por
cortos intervalos de tiempo). Como consecuencia, son erosionados y sufren
vaporización. A diferencia de la descarga glow, el espectro de emisión en las
vecindades del cátodo contiene líneas del vapor del material de los electrodos. El
plasma formado por el arco puede estar en equilibrio (Te = T) o no, de acuerdo con
la presión del gas en la descarga [4].
1.6.1. Propiedades del Arco Eléctrico
El canal del arco entre dos electrodos se caracteriza por tres regiones importantes:
La región catódica, La columna de arco y la región anódica. En la siguiente figura
se ilustran cada una de las regiones de una descarga de arco.
Figura No. 4. Regiones de una descarga de arco.
A. Región Catódica
El cátodo es cargado negativamente con respecto a la descarga del arco y por lo
tanto atrae iones positivos. Sin embargo, puesto que la movilidad de los iones es
baja y la corriente eléctrica es llevada por los electrones, el cátodo debe liberar
electrones para mantener el flujo de corriente a través de la región oscura del
cátodo. Estos electrones son emitidos a través de varios tipos de emisión. Entre
ellos los más importantes son:
Emisión termoiónica. La energía promedio requerida para emitir un electrón de
una superficie metálica esta dada por la función de trabajo y la ecuación de
Richardson – Dushman:
⎡ eφ ⎤
4πk B2 eme 2
je =
T exp ⎢−
⎥
3
h
⎣ k BT ⎦
Donde
je : Densidad de corriente.
T : Temperatura en la superficie del cátodo.
φ: Función de trabajo.
(1.6.1.1)
kB: Constante de Boltzmann.
e: Carga del electrón.
me: Masa del electrón.
h: Constante de Planck.
En una descarga gaseosa d-c, la corriente es mantenida por la emisión de
electrones de la superficie del cátodo. Para extraer un electrón de la superficie se
requiere gastar una energía llamada función trabajo φ del material, que es función
del estado de la superficie, su contaminación y rugosidad.
La temperatura debe ser suficientemente alta (2500 – 4000 K) para energizar un
electrón y removerlo de su red en la superficie del metal. Una función de trabajo
baja permite a los electrones ser emitidos a baja temperatura, mientras que una
función de trabajo muy alta requiere de temperaturas altas.
A temperaturas muy altas el material del cátodo tiene una probabilidad alta de
erosionarse y derretirse. Para evitar lo anterior es conveniente utilizar un cátodo
de tungsteno, ya que dicho material ha incrementado en gran escala el tiempo de
vida de los cátodos, el cual reduce la función trabajo y reduce su erosión.
Emisión electrónica por campo. Si hay campo presente, los electrones escapan
por efecto túnel, la altura de la barrera es del orden 109 V/m, y los electrones
necesitan viajar a lo largo de diversas trayectorias. Por lo tanto, en vez de pasar la
barrera de potencial, los electrones experimentan efecto túnel a través de la
barrera. La fórmula de Fowler - Nordheim describe lo anterior y se puede ver que
la corriente de tunelamiento varía exponencialmente con el ancho de la barrera:
⎡ (2m φ
e eff
j e ≈ exp ⎢−
h
⎢
⎣
)
1
2
⎤
x⎥
⎥
⎦
(1.6.1.2)
Donde
je: Corriente de tunelamiento.
φeff: Altura de la barrera de potencial.
x: Ancho de la barrera.
me: Masa del electrón.
ħ: Constante de Planck.
La contribución principal a la corriente de tunelamiento viene de los electrones que
se sitúan alrededor del nivel de Fermi.
Emisión termoiónica por campo. Cuando se aplica un campo eléctrico intenso a
una superficie metálica caliente, tanto la alta temperatura como el campo afectan
la emisión de electrones, pero en forma no restringida a los mecanismos recién
mostrados.
B. La Columna de Arco
La temperatura en la columna de arco es muy alta, de alrededor de 5000 K a
20000 K. a tan altas temperaturas las moléculas de gas se disocian en gran parte
en átomos libres. Las velocidades de los electrones y de los átomos son tan altas
que la ionización ocurre cuando colisionan entre si.
Al mismo tiempo, también se producen procesos de recombinación donde los
electrones y los iones cargados positivamente forman átomos neutros. En
equilibrio térmico, usualmente la tasa de ionización esta en equilibrio con la tasa
de recombinación. El gas se encuentra en estado de plasma y allí existe una gran
cantidad de electrones libres e iones positivos. La fracción ƒ de átomos que son
ionizados puede ser calculada por medio de la ecuación de Saha:
5
⎡ eV ⎤
f2
⋅ p = 3.16 ⋅ 10 −7 ⋅ T 2 ⋅ exp⎢− i ⎥
1− f 2
⎣ k BT ⎦
Donde
e: carga del electrón.
Vi = Potencial de ionización del medio gaseoso.
KB: Constante de Boltzmann.
p: La presión del gas.
T: La temperatura .
Existe un equilibrio de cargas entre los electrones y los iones positivos. Los
electrones tienen muchísima más movilidad que los iones positivos, por lo tanto el
flujo de corriente se debe a los electrones. El voltaje total del arco, y también el
gradiente del voltaje a lo largo del arco, depende de la magnitud de la corriente, el
tipo de gas y la presión.
C. Región del Ánodo
Puesto que el ánodo se carga positivamente, y la corriente es llevada
principalmente por lo electrones, el ánodo colecta electrones y no necesita emitir
portadores de carga. La región del ánodo esta dividida en dos áreas: Una región
de confinamiento y una capa anódica. La capa anódica tiene tres escalas de
longitud: el espesor de la capa anódica, el camino libre medio de los electrones y
la longitud de Debye, lo anterior se puede ver en la siguiente figura.
Figura No. 5. Divisiones de la región del ánodo.
La caída de potencial anódica está compuesta de dos partes: una parte refleja la
formación de una capa anódica con carga especial negativa (el ánodo repele
iones). Su magnitud es del orden del potencial de excitación (o ionización) del
vapor o átomos de gas, y debe su existencia a la necesidad de producir un suave
incremento en la corriente electrónica desde la región del plasma al ánodo.
Existe además una segunda parte que tiene un origen geométrico, y ocurre
cuando el área del ánodo es menor que la sección de la región de plasma. Para
mantener I = ne µ e ⋅ E ⋅ s aproximadamente constante, si s disminuye se debe
aumentar ne y E (se incrementan juntos). La energía que recibe el ánodo en una
descarga proviene, principalmente, de los electrones.
Esta energía corresponde a la energía cinética adquirida en la caída anódica más
la energía de ligadura liberada al recombinarse (la función trabajo φ). Esto
corresponde aproximadamente 10 eV por electrón, suficiente para elevar la
temperatura del ánodo hasta varios miles de grados [5,6].
1.6.2. Tipos de Arcos
Las clasificaciones de los arcos son arbitrarias, y están basadas en las
características del proceso de emisión catódica, el estado del plasma en la
columna de arco o el medio en el cual se sostiene la corriente.
Existen diferentes tipos de arco entre ellos se encuentra el Arco con cátodo
caliente donde la temperatura del cátodo es muy elevada (Tc ~ 3000 K), así que el
mecanismo de emisión es termoiónico.
Arco con calentamiento catódico externo. Se trata de descargas no auto sostenidas, en donde el cátodo es calentado por una fuente externa auxiliar. En
general se los emplea en dispositivos de baja presión y corriente.
Arco en vacío (Vacuum arc). Es un arco con spots catódicos, cuyo material está
formado por un plasma metálico del material del cátodo (principalmente). A
corrientes mayores a 103 A. el ánodo también puede eyectar material (spots
anódicos). Se usan mucho como interruptores de circuito en dispositivos eléctricos
de alta potencia. También se los emplea para producir recubrimientos.
Arcos de alta presión. Se designa con este nombre a arcos con presiones del
orden de 1 – 10 atm. (Incluye los arcos en aire). En estos arcos el plasma está en
equilibrio térmico (Te ~ T ~ 6 a 12000 K).
Arcos de baja presión. En este caso la presión es del orden de 10-3 - 10-1 Torr. El
plasma no está en equilibrio térmico. Se parece a un glow (Te >> T), pero con un
grado de ionización mucho más alto, por la mayor corriente. Las descargas de
arco mencionadas anteriormente pueden ser d.c., a.c. o de radio frecuencia.
Por ultimo se encuentra la transición glow – arco, la transición de glow anormal a
arco es causada por el calentamiento del cátodo a medida que sube la corriente.
Con cátodos refractarios (termoiónicos) la transición es más o menos suave. En
cambio para metales de bajo punto de fusión (cátodos fríos), la descarga glow se
transforma
bruscamente
en
un
arco,
y
los
spots
catódicos
aparecen
instantáneamente. En estos metales el arco se establece a corrientes más bajas
(0.1 - 1 A) que en los refractarios (~10 A) [5,6].
1.6.3. Iniciación de un Arco
La forma más sencilla de iniciar un arco es conectar los electrodos a una fuente de
potencia capaz de proveer una corriente suficientemente alta, comenzar con los
electrodos en contacto, y luego separarlos. Los electrodos se encuentran muy
calientes en el punto de contacto y vaporizan parcialmente material metálico, de
forma tal que al separarse el arco se desarrolla en el vapor metálico (usualmente
más fácil de ionizar que el gas). En este esquema, se usa a veces un electrodo
auxiliar que, interpuesto entre ambos electrodos, toca inicialmente el cátodo y
luego es retirado rápidamente.
Otra forma de iniciar un arco es aplicar un pulso de alta tensión capaz de producir
la ruptura dieléctrica del gas en el espacio inter - electródico. También puede
focalizarse sobre la superficie del cátodo un pulso láser intenso (con energías ≥10
mJ) para producir una descarga auxiliar que “cortocircuita” el gap y desencadena
la descarga principal [5,6].
1.7. Reacciones en el Plasma
En un plasma los electrones adquieren energía debido a la aplicación de un
campo eléctrico E colisionando con las moléculas del gas. Estas colisiones causan
excitación e ionización de las moléculas del gas, estas moléculas excitadas y los
iones producen varias reacciones en el plasma.
1.7.1. Fenómeno de Colisión
Distribución de Velocidad de las Partículas
El movimiento aleatorio de las partículas, como, moléculas del gas, átomos o
electrones, puede ser descrito por medio de la función de distribución de
velocidades de Maxwell, si el sistema se encuentra en equilibrio térmico. La
fracción de partículas dN, con velocidades en el rango de velocidad entre v y v +
dv, dividido por el número total de partículas N esta dado por:
⎡ m ⎤
dN
= 4π 2 ⎢
⎥
N
⎣ 2πk B T ⎦
3
2
⎡ mv 2 ⎤
exp ⎢−
⎥ dv = f ( v)dv
⎣ 2k B T ⎦
(1.7.1.1)
donde m es la masa de cada partícula. La siguiente figura muestra la distribución
Maxwell – Boltzmann de velocidad f (v) de las partículas.
Figura No. 6. Distribución de Maxwell – Boltzmann de la velocidad de las
partículas.
De esta gráfica se pueden definir las siguientes tres velocidades:
La velocidad más probable VP: que es la velocidad que se encuentra en el máximo
de la distribución, se presenta cuando
df ( v)
= 0 y se expresa mediante la
dv
relación:
vp =
2k B T
m
(1.7.1.2)
La velocidad promedio vav: también llamada como velocidad promedio lineal en la
distribución y se puede expresar como:
∞
v = ∫ vf ( v)dv =
0
8k B T
πm
(1.7.1.3)
La raíz cuadrática media de la velocidad vrms: definida como la raíz cuadrática de
la velocidad promedio vav y se expresa como:
∞
2
v rms = v = ⎡ ∫ v 2 f ( v)dv ⎤
⎢⎣ 0
⎥⎦
La energía promedio esta dada por E =
1
2
=
3k B T
m
(1.7.1.4)
1
mv 2rms
2
La distribución de Maxwell – Boltzmann evidencia que el sistema esta en equilibrio
térmico cuando se encuentra en estado estacionario, la densidad de partículas se
considera homogénea y no existen fuerzas externas. Para la distribución de
energía de los electrones en plasmas desequilibrados (fuera del equilibrio) los
cuales son usados para el crecimiento de películas delgadas, con frecuencia se
usa la distribución de Maxwell – Boltzmann como primera aproximación [3].
Colisiones Elásticas e Inelásticas
En un plasma continuamente se producen colisiones entre sus especies. Las
colisiones donde no cambia la energía interna son llamadas colisiones elásticas
mientras que en las colisiones donde si hay intercambio de energía interna entre
las especies son denominadas colisiones inelásticas.
Consideremos una partícula de masa m con energía cinética inicial Ei colisionando
con una partícula de masa M en reposo la razón entre la energía transferida y la
energía cinética inicial esta dada por:
Et
4mM
=
Ei (m + M ) 2
(1.7.1.5)
Así la energía interna de una partícula de masa m incrementa debido a las
colisiones inelásticas de acuerdo a:
∆U
M
=
Ei
m+M
(1.7.1.6)
La energía transferida por colisiones elásticas entre electrones y moléculas del
gas es muy pequeña [3].
Frecuencia de las Colisiones y Camino Libre Medio
En la teoría cinética de los gases la sección transversal se escribe como σ = πri 2
para una colisión elástica entre partículas de forma esférica con radio ri.
El número de colisiones Nc por unidad de volumen y por unidad de tiempo de dos
tipos de moléculas del gas con distribuciones de Maxwell caracterizadas por la
misma temperatura esta dada por:
N c = n1 n 2π [r1 + r2 ] v r
2
(1.7.1.7)
Donde n1 y n2 son las densidades de las partículas del respectivo gas y vr es la
velocidad media relativa de los dos tipos de moléculas del gas.
La velocidad relativa para un tipo de gas se puede escribir como v r = 2 v donde v
es la velocidad promedio lineal.
Para un mismo tipo de gas el número de colisiones Nc se obtiene de acuerdo a:
N C = 2πn 2 d 2 v
(1.7.1.8)
Considerando d como d = 2r1, la frecuencia de colisión se puede calcular por
medio de:
ν=
Nc
n
(1.7.1.9)
Y para un mismo tipo de gas se tiene:
ν C = 2πnd 2 v
(1.7.1.10)
Para colisiones entre electrones con partículas pesadas, tales como átomos del
gas, moléculas o iones, dichas partículas se consideran estacionarias y la
velocidad media relativa será entonces v r = v y si ne y ng denotan la densidad de
electrones y átomos del gas entonces:
N c = ne n g πri 2 v
(1.7.1.11)
Donde ri es el radio de las partículas del gas. La distancia entre la posición a la
cual una partícula colisiona con otra partícula y la posición de la próxima colisión
es el camino libre y su promedio estadístico es el camino libre medio. Por medio
de la frecuencia
de colisión νC, que nos indica el número de colisiones por
segundo, y con la velocidad media v se puede escribir el camino libre medio
mediante:
λ=
v
(1.7.1.12)
νC
A partir de (1.7.1.10) el camino libre medio en el gas viene dado por:
λg =
1
2πnd
2
=
k BT
2πpd 2
(1.7.1.13)
Donde p es la presión del gas, el camino libre medio para los electrones λe esta
dado por:
λe =
1
πn g r12
(1.7.1.14)
Las diferentes clases de colisiones entre partículas producen reacciones tales
como excitación, disociación o ionización de moléculas del gas dada por las
diferentes secciones transversales de reacción. La sección transversal de reacción
se puede definir al medir la proporción entre la intensidad inicial y la intensidad
final de un haz de partículas al penetrar una distancia x a través de un medio con
densidad n. Existen varias secciones transversales de reacción denominadas:
sección transversal de excitación σE, sección transversal de disociación σD y
sección transversal de ionización σI.
La sección transversal total de colisión esta dada por la suma de todas las
secciones transversales para cada proceso de reacción y se expresa por:
σT= σE + σD + σI + ….
(1.7.1.15)
Al combinar la sección transversal de reacción σr(ε) de una reacción ya sea de
excitación, disociación o ionización con la función de distribución de energía de los
electrones f(ε) se puede calcular la tasa de reacción combinando a su vez la
velocidad del movimiento aleatorio de los electrones ve(ε), la densidad electrónica
Ne y la densidad de partículas del gas Ng. La tasa de cambio de las reacciones por
unidad de volumen esta dada por [3]:
∞
dN e
= N e N g ∫ σ r (ε ) v e (ε )f(ε )dε
0
dt
(1.7.1.16)
1.7.2. Ionización y Excitación
Los átomos y moléculas al ganar energía, aumenta su energía traslacional y su
energía interna sufre una transición a un estado de mayor energía, este proceso
se conoce como excitación. Los átomos al regresar a su estado inicial (caer a un
nivel de menor energía) emiten luz con una longitud de onda correspondiente a la
diferencia de energía entre el estado de mayor energía y el estado de menor
energía. Al entregarle a un átomo suficiente energía para desprender un electrón
de las últimas capas, estamos hablando de ionización y la mínima energía
requerida para llevar a cabo este proceso se conoce como energía de ionización.
Cuando esta energía se da en unidades de eV se denomina como potencial de
ionización. Para átomos que tienen más de dos electrones en su última capa,
existen potenciales para la primera, la segunda, la tercera, etc. Ionización.
Procesos de Excitación e Ionización
Para los procesos de excitación e ionización de un átomo o una molécula se
conocen las siguientes reacciones:
¾ Ionización y Excitación por Colisión de un Electrón.
¾ Ionización y Excitación por Colisión de un Ion.
¾ Ionización y Excitación por Colisión de una Partícula Neutra.
¾ Ionización y Excitación por Radiación.
La probabilidad de que estas reacciones ocurran esta dada por la sección
transversal para cada reacción.
Ionización y Excitación por Colisión de un Electrón.
Los procesos más importantes de excitación e ionización para átomos y moléculas
en un plasma ocurren por impacto electrónico, y para ello se pueden producir las
siguientes reacciones:
¾ Excitación
A + e → A* + e
AB + e → AB * + e
¾ Disociación
AB + e → A + B + e
¾ Ionización Directa
A + e → A + + 2e
AB + e → AB + + 2e
¾ Ionización Acumulativa
A* + e → A + + 2e
AB * + e → A + + B + 2e
¾ Ionización Disociativa
AB + e → A + + B + 2e
Donde A y B son átomos, AB son las moléculas, A + o AB + son iones y A * o AB*
son los átomos y moléculas excitadas.
Ionización y Excitación por Colisiones de Iones Energéticos o Partículas
Neutras
En plasmas fríos, los iones por lo general no tienen suficiente energía cinética
como para causar ionización directa, los átomos neutros y las moléculas no son
aceleradas por los campos eléctricos, por esto no es importante considerar un
proceso de excitación o ionización por colisiones de alta velocidad de los iones y
partículas neutras, en cambio la ionización térmica si tiene lugar en este y se
puede definir de la siguiente manera:
¾ Ionización Térmica
Cuando un gas alcanza altas temperaturas, la energía cinética de los átomos
neutros y las moléculas es tan alta que causa ionización por colisión, debido a los
movimientos térmicos de las partículas. Estos procesos de ionización se presentan
en el plasma de las descargas de arco cuando la temperatura es del orden de
unos miles de grados, el grado de ionización viene dado por la ecuación de Saha.
¾ Ionización Penning
Esta proceso de ionización se debe a la colisión entre partículas meta - estables
en estado excitado las cuales tienen una energía de ionización tal que la energía
de excitación de la partícula meta - estable puede ser escrita como:
A + B* → A+ + e + B
La diferencia entre la energía de excitación del átomo B y la energía de ionización
del átomo A es transferida en forma de energía cinética al electrón.
¾ Ionización por Colisión Entre Partículas Excitadas
Cuando una molécula excitada colisiona con otra molécula que también se
encuentra en estado excitado, el proceso de ionización puede ocurrir si la suma de
sus energías de excitación es mayor que la energía de ionización de una de las
moléculas:
A* + B * → A + + e + B
Este es un importante proceso de ionización en los plasmas donde la temperatura
electrónica Te es muy baja.
1.7.3. Procesos de Recombinación
La recombinación es el proceso de unión de un ion y un electrón en una molécula
o en átomos neutros (proceso inverso a la ionización). En algunos casos este
proceso va acompañado de radiación. A presiones pequeñas la recombinación de
electrones con iones positivos puede darse de la siguiente manera:
Recombinación Ion - Electrón
¾ Recombinación Radiativa
A + + e → A* + hν
Se produce recombinación directa del electrón libre con el ion positivo, y como
resultado se desprende un cuanto de luz por el exceso de energía del electrón.
¾ Recombinación Dielectronica
A + + e → A**
A** → A* + hν
A** + B → A* + B *
En el proceso de recombinación dielectrónica, un electrón se recombina con un
ion, pero ocupando un nivel de energía mayor que la del ion. Uno de los
electrones ligados al ion se excita a un nivel de mayor debido al exceso de energía
existente. Así se genera una doble excitación del átomo. Este átomo doblemente
excitado pierde parte de su energía emitiendo fotones o por intercambio de
energía con otras partículas a través de colisiones inelásticas, relajándose así a un
átomo simplemente excitado.
¾ Recombinación Disociativa
AB + + e → A* + B *
Es el mecanismo más rápido de recombinación en un plasma débilmente ionizado
(por ejemplo, en una descarga glow). En este caso el gas está bastante frío, e
incluye usualmente iones moleculares. La energía liberada es transformada
principalmente en excitación atómica.
¾ Recombinación por Tres Cuerpos
A+ + e + e → A + e
A+ + e + B → A + B
Es el proceso principal de recombinación en plasmas en equilibrio de alta
densidad y baja temperatura (Te ≈104 K), porque la concentración de iones
moleculares es lo suficientemente baja como para hacer poco significativa la
recombinación disociativa.
Recombinación Ion – Ion
La recombinación de un ion negativo y un ion positivo es un proceso que ocurre en
los casos de O2, Cl2 SO2, entre otros, en el cual los iones negativos son generados
por acoplamiento electrónico. Este es el principal mecanismo de neutralización de
carga en gases e incluye los siguientes procesos:
¾ Recombinación Radiativa
A + + B − → AB + hν
¾ Neutralización Mutua
A + + B − → A* + B *
¾ Recombinación por tres cuerpos
A + + B − + M → AB + M
En el proceso de recombinación radiativa un ion positivo y uno negativo se
combinan y se produce una molécula estable acompañada por la emisión
simultánea de un fotón. La neutralización mutua es un proceso en el cual la
transferencia de carga solo ocurre en el tiempo de contacto entre un ion positivo y
un ion negativo produciendo la excitación respectiva de átomos o moléculas [3].
2. INTERFERENCIA
En el estudio de algunos fenómenos importantes de la óptica se hace
indispensable considerar las características ondulatorias de la luz. Dos fenómenos
importantes son la difracción y la interferencia. Es poco conveniente introducir uno
sin el otro pues el tratamiento teórico de ambos se basa en hipótesis muy
similares. Además, la interferencia no puede existir sin el concepto de difracción y
a menudo se pone en evidencia la difracción por fenómenos de interferencia. Sin
embargo son efectos distintos. La interferencia trata de la superposición de varias
ondas entre sí.
2.1. El Fenómeno de Interferencia.
El fenómeno de interferencia ocurre cuando dos o varias ondas coherentes (de la
misma longitud de onda, y de relación de fase constante) se superponen
espacialmente. De acuerdo con el principio de superposición el campo producido
en un punto del espacio debido a la superposición de varios campos E1, E2, ....
esta dado por la suma vectorial de los campos:
E = E 1 + E 2 + E 3 + .....
(2.1.1)
El fenómeno de interferencia se puede estudiar como sigue. Consideremos dos
ondas planas, monocromáticas y con la misma frecuencia, dadas por:
⎧ E1 (r , t ) = E 01 cos(k1 ⋅ r − ωt + α 1 ))
⎪
⎨
⎪ E (r , t ) = E cos(k ⋅ r − ωt + α ))
02
2
2
⎩ 2
(2.1.2)
Donde E01 y E02 , k, ω, α, son la amplitud, el vector de onda, la frecuencia y la fase
inicial de la onda.
De acuerdo al principio de superposición, cuando se superponen dos o más
ondas, lo que se suman son las amplitudes de las ondas y la onda resultante tiene
una amplitud que es la suma de las amplitudes individuales. Para obtener la
intensidad de la onda resultante (energía por unidad de área y por unidad de
tiempo), que generalmente es lo que se mide, hay que calcular el cuadrado del
campo resultante y hallar su promedio temporal.
Utilizando el principio de superposición ec. (2.1.1), se tiene que:
E = E1 + E 2
(2.1.3)
Elevando al cuadrado se tiene:
(
E 2 = E ⋅ E = E1 + E 2
) (E + E )
1
2
(2.1.4)
Donde:
I = E 2 = E12 + E 22 + 2 E1 ⋅ E 2
(2.1.5)
Que se puede escribir como:
I = I 1 + I 2 + I 12
(2.1.6)
I1 = E12
(2.1.7)
I 2 = E22
(2.1.8)
I 12 = 2 E 1 ⋅ E 2
(2.1.9)
Con
Donde el ultimo termino I12, es llamado termino de interferencia, el cual contiene el
sentido físico del fenómeno de interferencia, y nos dice si la intensidad medida es
menor o mayor que la suma de las intensidades de cada onda por separado. Este
término se puede escribir como (2.1.9).
Si se evalúa el término de interferencia reemplazando los campos E1 y E2 se tiene:
E1 ⋅ E 2 = E 01 E 02 cos(k1 ⋅ r − ωt + α 1 ) cos(k 2 ⋅ r − ωt + α 2 )
(2.1.10)
Utilizando la identidad trigonométrica para el coseno de la suma de dos ángulos y
teniendo en cuenta que el promedio temporal de una función f(t’) viene dada por:
f (t ) =
1 t +T
f (t´)dt
T ∫t
(2.1.11)
Se tiene entonces que:
E1 ⋅ E 2 =
1
E 01 E 02 cos(k1 ⋅ r − k 2 ⋅ r + α 1 − α 2 )
2
(2.1.12)
Donde se utilizo el hecho de que:
cos 2 ωt = sen 2ωt =
1
2
(2.1.13)
cos ωt senωt = 0
Así el término de interferencia se puede escribir como:
I 12 = E 01 ⋅ E02 cos δ
(2.1.14)
δ = (k1 ⋅ r − k 2 ⋅ r + α1 − α 2 )
(2.1.15)
Donde
Es la diferencia de fase que proviene de combinar una diferencia de longitud de
trayectoria y una diferencia de fase inicial.
Un resultado inmediato que sale de las anteriores ecuaciones, es que el término
de interferencia se hace cero cuando E01 ⊥ E02 (por consiguiente E1 ⊥ E2) por lo
tanto solo nos interesa el término de interferencia cuando se trabaja con E01 ⎪⎪ E02
Así:
I1 = E
2
1
E 012
=
2
(2.1.16)
I 2 = E 22 =
2
02
E
2
Entonces el término de interferencia se puede escribir como:
I12 = 2 I1I 2 cos δ
(2.1.17)
Y la irradiancia total estará dada por:
I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos δ
(2.1.18)
En varios puntos del espacio, la irradiancia puede ser mayor, igual o menor a
I1 + I 2 dependiendo del valor de I12, es decir depende del valor de δ.
Un máximo en la irradiancia corresponde cuando cosδ = 1 tal que:
I max = I1 + I 2 + 2 I1I 2
(2.1.19)
Cuando δ = 0, ±2π, ±4π....
En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es múltiplo entero de 2π y
las perturbaciones están en fase, lo anterior se conoce como interferencia
constructiva total. Cuando
0 < cos δ < 1 , las ondas están fuera de fase,
I 1 + I 2 < I < I max , y el resultado se conoce como interferencia constructiva.
En δ =
π
2
entonces cos δ = 0 , las perturbaciones ópticas están fuera de fase y
I = I 1 + I 2 para 0 > cos δ > −1 . Y se tiene la condición de interferencia destructiva
cuando, I 1 + I 2 > I > I min y el mínimo en la irradiancia aparece cuando las ondas
están 180° fuera de fase, es decir con cos δ = −1 y:
I min = I 1 + I 2 − 2 I 1 I 2
Solo sucede cuando δ =
(2.1.20)
±π, ±3π, ±5π,...y se conoce como interferencia
destructiva total, y se da periódicamente cuando la diferencia de fases es múltiplo
impar de π.
Hay casos en que la interferencia se puede presentar cuando las ondas que
interfieren además de tener igual frecuencia tienen igual amplitud y la irradiancia
se escribe como:
I = 4 I 0 cos 2
δ
2
(2.1.21)
Con I1 = I2 = I0, donde Imin = 0 e Imax = 4I0.
Se puede hablar de interferencia de ondas, cuando al actuar ellas conjuntamente
no tiene lugar la suma de intensidades. De este modo, cuando superponemos dos
ondas o más, es posible que aparezcan zonas donde la intensidad de las mismas
aumenta y otras donde la intensidad disminuya o se anule, dado que las ondas
pueden tener la misma fase o no, o distintas frecuencias. Este fenómeno de
interferencia es una propiedad característica de las ondas, y es consecuencia de
que son sumables [7].
2.2. Importancia de la Polarización en la Interferencia de Ondas
Transversales
Supongamos que ambas oscilaciones interferentes de la ecuación (2.1.2) tienen
una misma dirección. En el caso de ondas longitudinales, si hay coincidencia en
las direcciones de propagación de las mismas, entonces coincidirán también las
direcciones de las oscilaciones. Para el caso de ondas transversales, es posible
que al coincidir las direcciones de propagación de dos ondas, la dirección de las
oscilaciones en ellas no coincida. En efecto en una onda transversal se puede dar
la oscilación en cualquier dirección perpendicular a la dirección de propagación de
la misma.
Haciendo un tratamiento simple para dos ondas que interfieren, utilizando la
polarización de ondas transversales, se puede resaltar la importancia de la
polarización en el fenómeno de interferencia.
Tomando una onda W1 que se propaga en la dirección z, su campo eléctrico
estará dado por:
E1 (r , t ) = u 1 A1 cos(kz − ωt )
(2.2.1)
Donde u1 es el vector unitario de polarización y A1 es la amplitud de la oscilación.
Similarmente una segunda onda W2 se propaga en una dirección ligeramente
diferente respecto a la dirección de propagación de la onda W1; esta dirección
viene dada por los ángulos polar θ y azimutal φ, el campo para la onda W2 estará
dado por:
E 2 (r , t ) = u 2 A2 cos(kz cos θ + kxsenθ cos φ + kysenθsenφ − ωt )
(2.2.2)
Haciendo uso del principio de superposición (2.1.1), utilizando la definición para la
intensidad
dada por la ecuación (2.1.5), haciendo los respectivos cálculos
algebraicos y evaluando en el plano constante z (z=0), se obtiene una forma
conveniente para la definición de la intensidad dada por :
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 u 1 u 2 cos(ksenθ ( x cos φ + ysenφ )
(2.2.3)
Donde el término de interferencia (2.1.9) ahora va a depender de los vectores
unitarios de polarización u1 y u2.
Para que haya interferencia de las oscilaciones polarizadas es necesario, lograr el
encuentro de dos rayos en los cuales la dirección de las oscilaciones E1 y E2 no
sean perpendiculares, es decir que los vectores de polarización u1 y u2 no sean
perpendiculares entre si. Si E1 y E2 y por ende u1 y u2 son perpendiculares no se
observara interferencia.
La máxima visibilidad de las franjas se alcanza en el caso cuando las ondas que
interfieren están igualmente polarizadas, es decir si los vectores de polarización
son paralelos, esto se puede ver en la relación existente para la visibilidad de las
franjas que esta dada por:
V=
2 I1I 2 u 1 u 2
I1 + I 2
(2.2.4)
La visibilidad es poca si la polarización es deficiente, por ejemplo si u 1 ⋅ u 2 << 1 o
si la razón
I2
>> 1 . En el caso óptimo para la visibilidad se debe cumplir que
I1
u ⋅ u = 1 e I1 = I 2 como resultado la visibilidad es 1, el cual implica cero
1
2
intensidad en los mínimos.
El valor para la visibilidad viene definido por la interrelación entre las amplitudes
de las ondas interferentes y los vectores de polarización. El parámetro V puede
variar entre uno y cero, el primer valor corresponde al cuadro de interferencia de
mayor contraste y el segundo a su total desaparición [8,9]
2.3. Tipos de Interferómetros
Con el fin de estudiar el fenómeno de interferencia, se han construido diferentes
aparatos, conocidos como interferómetros. El mas conocido es el interferómetro
de Michelson, también se encuentra el interferómetro de Fabry – Perot, y para
este trabajo, se utilizara el interferómetro de Mach – Zenhder. La diferencia entre
los distintos tipos de interferómetros esta en que algunos están clasificados en la
categoría de interferómetros por división de frente de onda y otros se encuentran
clasificados en interferómetros de división de amplitud, como es el caso del Mach
– Zehnder.
En la práctica, la superposición de dos ondas coherentes se alcanza a través de:
¾ • División de frente de onda (por múltiples rendijas).
¾ • División de amplitud (por espejos semitransparentes o divisores de haz).
La interferencia producida por división de frente de onda se explica por medio del
experimento de Young. En Cambio la interferencia producida por división de
amplitud, debida a espejos semitransparentes (beamsplitters) se puede explicar
por medio del Interferómetro Mach – Zehnder (I.M.Z.) [7].
2.4. Interferómetro Mach – Zehnder (I.M.Z.)
El interferómetro de Mach - Zehnder es un buen ejemplo para producir
interferencia por división de amplitud. Ha sido usado en muchos experimentos en
el campo de la óptica. Este interferómetro ha aumentado considerablemente su
aplicación desde el advenimiento del láser. Esto se debe en gran parte a las
características únicas del haz láser, debido a que su intensidad y su gran longitud
de coherencia han simplificado enormemente la alineación y el uso del
interferómetro. Se ha usado para medir el índice de refracción de un gas el cual
depende de la temperatura. También se ha utilizado en Aerodinámica para
examinar el flujo de aire alrededor del ala de un avión.
A diferencia por ejemplo del interferómetro de Jamin, donde la superficie frontal de
dos espejos actúa como divisores de haz y la superficie posterior como espejos
planos, pero dichos elementos no se puede ajustar independientemente y la
separación de los haces esta limitada por el espesor de los espejos. En cambio en
el I.M.Z. los haces pueden ser ampliamente separados debido a que los espejos
reflectores y los divisores de haz son elementos que se ajustan separadamente.
El interferómetro Mach – Zehnder es un dispositivo de división de amplitud, que
consiste en dos divisores de haz y dos espejos reflectores, las dos ondas que
viajan dentro del interferómetro lo hacen a lo largo de caminos separados. Su
ventaja principal es que permite interponer elementos en uno de los haces sin que
el otro sea afectado, y de esta manera se altera la diferencia de camino óptico,
cambiando así el patrón de interferencia.
Por ejemplo se puede introducir en uno de sus brazos, una descarga de arco con
un índice de refracción n diferente al índice de refracción n0, de esta forma se
altera la diferencia de camino óptico entre los dos haces y como resultado aparece
un patrón de interferencia, diferente al patrón de interferencia producido sin
elementos en uno de sus brazos, el cual consiste en un patrón de interferencia con
las franjas desplazadas con respecto a su posición cuando no existe el otro medio
en uno de sus brazos.
Figura No. 7. Esquema del Interferómetro Mach - Zehnder
El esquema del interferómetro [11] se muestra en la figura No 7. Un haz de luz
láser proveniente de una fuente S pasa a través de un expansor de haz L1 e incide
sobre una superficie semi – reflectora A1 de un vidrio de caras paralelas B1 (divisor
de haz) que lo divide en dos haces iguales, transmitiendo el 50 % y reflejando el
otro 50 % del haz. Posteriormente los haces serán reflejados por dos espejos
planos M1 y M2, hacia la superficie semi – reflectora A2 de un segundo vidrio de
caras paralelas B2 donde nuevamente son recombinados. Finalmente serán
enfocados por una lente L2 en el punto P’ donde aparecerá un patrón de
interferencia producido por la superposición de los dos haces.
Los cuatro elementos del interferómetro son dispuestos de tal forma que sus
centros coinciden con las esquinas de un paralelogramo, además se debe
garantizar que sean estrictamente paralelos entre si.
De la Figura No. 7, supongamos que la fuente S es puntual y de luz cuasi –
monocromática. Sea W1 el frente de onda plano del haz entre los espejos M2 y B2,
W2 es el correspondiente frente de onda plano del haz entre los espejos M1 y B2,
W’1 es frente de onda virtual entre M1 y B2 el cual emergerá de B2 y coincide con
W1. En el punto P sobre W2, la diferencia de fase virtual del haz emergente es:
δ=
2π
λ
(2.4.1)
nh
Donde h = PN es la distancia normal de P a W’1 y n es el índice de refracción del
medio entre W2 y W’1. En el punto P’ los haces emergentes se superponen y
formaran una serie de franjas brillantes y oscuras producida por la diferencia de
fase entre los dos haces que viajan por los brazos del interferómetro, esta
distribución de franjas de acuerdo a las expresiones (2.1.19) y (2.1.20) esta dada
por las relaciones:
I max = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2
δ = 0,2π ,4π ....
I min = I 1 + I 2 − 2 I 1 I 2
δ = π ,3π ,5π ....
I = 2 I 1 (1 + cos δ ) = 4 I 1 cos 2
δ
2
(2.4.2)
, I1 = I 2
Habrá una franja brillante si:
nh = mλ
m = 0,1,2,3,.....
(2.4.3)
nh = mλ
1 3 5
m = , , ....
2 2 2
(2.4.4)
Habrá una franja oscura si:
Cuando W’1 y W2 son paralelos la diferencia de camino es cero, la intensidad es la
misma y se producirán franjas paralelas en el patrón de interferencia sobre la
pantalla. Si W’1 y W2 no son paralelas se producirá una pequeña curvatura en las
franjas del patrón de interferencia debido a que hay una diferencia de camino
óptico entre el haz que viaja por el segmento PN de la figura, en el cual existe un
índice de refracción n diferente al índice de refracción del aire n0 y el haz que viaja
por el otro brazo del interferómetro. El patrón de interferencia se puede fotografiar
o registrarse con una cámara CCD [10,11].
El montaje experimental del interferómetro se puede ilustrar en la figura No 8.
Figura No. 8. Montaje de un interferómetro Mach – Zehnder.
2.5 Camino Óptico
El fenómeno de superposición de dos o varias ondas coherentes, entre los cuales
se observa la interferencia, tiene lugar, en muchos procesos ópticos. La
propagación de la luz a través de cualquier sustancia, la refracción de la luz en la
interfase de dos medios, su reflexión, etc., son procesos de este tipo. La
propagación de la luz en una sustancia esta acompañada de la interacción de la
onda electromagnética con los electrones (o iones) de los cuales esta compuesta
dicha sustancia. Bajo la acción de las ondas estas partículas cargadas oscilan y
comienzan a emitir ondas electromagnéticas secundarias con el mismo periodo
que el de la onda incidente.
Las ondas secundarias estarán relacionadas entre si por su fase, es decir son
coherentes debido a que son producto de una misma onda luminosa. Ellas
interfieren entre si y esta interferencia permite explicar los fenómenos de reflexión,
refracción dispersión, difusión de la luz etc.
La coherencia de ondas de una misma frecuencia, es decir, la conservación de
una diferencia constante
de fases durante un tiempo suficiente para la
observación, es condición para su interferencia. La coherencia es una propiedad
de las ondas de luz, que permite predecir la probabilidad que existe de observar
un patrón de interferencia. La medida de la coherencia esta relacionada con el
término de interferencia (2.1.9).
I 12 = 2 E 1 ⋅ E 2
Y surge de la comparación de la fase relativa entre dos ondas de luz (coherencia
relativa), o dos componentes de la misma onda (autocoherencia).
Es fácil encontrar una relación para el camino recorrido por una onda
electromagnética que se propaga a través de una sustancia o cualquier medio. Se
sabe que en el vacío la velocidad de una onda es c y su longitud λ0, entonces para
un medio con un índice de refracción n, la velocidad de la onda es:
v=
c
n
(2.5.1)
λ=
λ0
n
De acuerdo con esto, si la onda recorre el camino d1 en el medio con índice de
refracción n1 y el camino d2 en el medio con índice de refracción n2, entonces la
diferencia de fase ϕ que aparece se expresa por:
⎛ d2
ϕ = 2π ⎜⎜
⎝ λ2
−
⎛ n d − n1 d1 ⎞
d1 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = 2π ⎜⎜ 2 2
λ1 ⎠
λ0
⎝
⎠
(2.5.2)
El producto del índice de refracción por el camino geométrico se llama camino
óptico el cual se expresa como D = nd , así la diferencia de fase se puede
expresar como:
⎛ D2 − D1 ⎞
⎟⎟
λ
0
⎝
⎠
ϕ = 2π ⎜⎜
(2.5.3)
Si D1 = D2 entonces ϕ = 0, de esta manera los caminos de los dos rayos
luminosos son ópticamente equivalentes, es decir no introducirán ninguna
diferencia de fase si sus caminos ópticos son iguales entre si. Cuando la
trayectoria de un haz de luz se compone de varios segmentos d1, d2…y el medio
tiene diferentes índices de refracción n1, n2… el camino óptico en una forma mas
general se puede escribir como:
D = ∑ ni d i
(2.5.4)
i
Para el caso del Interferómetro Mach – Zehnder, si los divisores de haz B1 y B2 y
los espejos M1 y M2 son estrictamente paralelos, dando lugar a la formación de un
rectángulo, la diferencia de camino óptico entre los divisores de haz no depende
del ángulo de incidencia α, lo que lleva a que las ondas interfieran simétricamente
en el interferómetro. El camino recorrido por el haz entre el divisor de haz B1 y el
espejo reflector M1 (ver figura No 9a) estará dado por:
∆ 1 = B1 M 1 = 2acosα
(2.5.5)
El camino recorrido por el haz entre B2 y M2 será:
∆ 2 = B1 M 1 = 2acosα
(2.5.6)
Por lo tanto la diferencia de camino óptico, sin muestra en uno de los brazos del
I.M.Z. será igual a cero, es decir:
∆S = ∆ 2 − ∆ 1 = 0
(2.5.7)
Lo que significa que no hay una diferencia de fase entre los dos haces que viajan
por los brazos del interferómetro, lo que producirá un patrón de interferencia a la
salida de franjas paralelas.
Mientras que si se coloca una muestra en uno de los brazos del interferómetro, la
diferencia de camino será:
∆s = (n − 1) L
(2.5.8)
Donde n es el índice de refracción y L son las dimensiones de la muestra
respectivamente. Es decir se aumenta la diferencia de camino óptico de uno de los
haces que viaja dentro del interferómetro con respecto al otro, debido a que la luz
se propaga mas lentamente en la muestra y por consiguiente su longitud de onda
es menor. El camino óptico en este medio será nL (ver figura No. 9b) mientras que
en el aire el haz recorrerá un distancia L (n = 1) por ello el aumento de camino
óptico en el medio esta dado por (2.5.8), ello implica un incremento de
(n − 1) L
λ
ondas en el camino del haz. Así, si ∆m es el número de franjas desplazadas al
introducir el medio en dicho haz se tiene que:
(n − 1) L = λ∆m
(2.5.9)
Conociendo L, λ y ∆m se puede obtener fácilmente el valor del índice de refracción
del medio. El método interferencial es el más adecuado para la medida de la
variación del índice de refracción en un medio.
Figura No. 9. Camino Óptico recorrido por el haz láser a través de los
espejos del interferómetro Mach – Zehnder.
a)
b)
Para obtener información cuantitativa de la variación de camino óptico a través de
la muestra es necesario generar un patrón de franjas para propósitos de
calibración inclinando levemente los espejos B1, M1 y B2, M2 el cual hace al
interferómetro ligeramente asimétrico dando lugar a la formación de un
paralelogramo.
Si se asume que B1 y M1 son inclinados en sentido horario alrededor de la
dirección z por un ángulo β y el par B2M2 son inclinados en sentido antihorario por
el mismo ángulo β. El camino óptico entre B1 y M1 es entonces:
∆ 1 = 2acos(α + β )
(2.5.10)
Mientras que el camino óptico entre B2 y M2 estará dado por:
∆ 2 = 2acos(α − β )
(2.5.11)
Después de ser recombinados, los dos haces tendrán una diferencia de camino
dada por:
∆S = ∆ 2 − ∆ 1 = 2a cos(α − β ) − 2a cos(α + β ) = 4asenαsenβ
El cual depende del ángulo de incidencia α.
(2.5.12)
En el plano de observación, se visualizará un patrón de interferencia de franjas
paralelas con una separación angular entre franjas m y m + 1 dada por:
senα m − senα m +1 =
λ
4aβ
(2.5.13)
Al introducir una muestra en uno de los brazos, se producirá una diferencia de
camino adicional dada por:
∆S ( β ) =
(n − 1) L
cos β
(2.5.14)
El cual depende del índice de refracción y de la longitud de la muestra [9,10].
3. INTERFEROMETRIA LASER PARA EL DIAGNOSTICO DEL PLASMA
Las técnicas utilizadas en la actualidad para el crecimiento de películas delgadas
como la PVD y la CVD son asistidas por plasma de baja temperatura (plasma en
desequilibrio térmico). Las condiciones en las cuales se generan estos tipos de
plasma, están caracterizadas por las especies de las partículas, sus densidades y
sus diferentes temperaturas. Las propiedades de las películas crecidas por estas
técnicas tienen una gran dependencia de los parámetros de este plasma, estos
parámetros son: la temperatura iónica Ti, la temperatura electrónica Te, la
densidad de iones Ni y la densidad de electrones Ne, Estos parámetros dependen
esencialmente del tipo de descarga, la clase de gas, la presión del gas y la
potencia entregada al gas. Es por ello que se debe tener un control sobre estos
parámetros en el momento de depositar el material sobre el substrato. De ahí que
el diagnostico de los parámetros del plasma se ha convertido en una herramienta
indispensable no solo para la investigación sino en el campo de las películas
delgadas, ya que los procesos de crecimiento de películas requieren de control y
reproducibilidad.
Para el diagnostico del plasma existen diferentes métodos de diagnostico, estos
métodos se pueden considerar como invasivos (interacción directa con el plasma)
y no invasivos (medios ópticos) Los métodos mas utilizados para el diagnostico del
plasma son:
Métodos no Invasivos
¾ Espectroscopia Óptica
¾ Espectroscopia Óptica de Emisión
¾ Espectroscopia Óptica de absorción
¾ Espectroscopia de Fluorescencia Inducida por Láser
¾ Espectroscopia Raman
¾ Interferometria Láser
Métodos Invasivos
¾ Sonda Simple de Langmuir
¾ Sonda Doble
¾ Sondas Magnéticas
¾ Sondeo por Microondas
Otros Métodos de Diagnostico
¾ Medición de Partículas
¾ Espectrometría de Masas
¾ Análisis Energético de Iones
3.1. Diagnostico del Plasma por Medio de Interferometria con Láser
El interferómetro de Mach-Zehnder puede ser usado para estudiar las variaciones
que podrían ocurrir cuando un haz de luz pasa a través de un medio diferente al
aire colocado en uno de sus brazos. Este medio puede distorsionar la fase del
frente de onda del haz porque la incidencia refractiva del medio no es homogénea.
Uno de los parámetros que lleva a la ocurrencia de lo anterior es la variación de la
temperatura de dicho medio. Otro parámetro que conduce al mismo fenómeno son
las fluctuaciones de la densidad en el medio.
El interferómetro Mach – Zehnder esta basado en la interferencia de dos haces
por división de amplitud del haz que incide sobre uno de los divisores de haz. Las
dos ondas viajan a lo largo de caminos diferentes, y al introducir un medio
(plasma) con un índice de refracción n diferente al índice de refracción n0 del aire,
se altera la diferencia de camino óptico entre los dos haces y como resultado
aparece un desplazamiento de las franjas del patrón de interferencia con respecto
a su posición sin plasma, lo cual permite determinar la variación del índice de
refracción del medio localmente. Aunque el I.M.Z. es el mas difícil de ajustar, es el
mas adecuado para el estudio de pequeñas variaciones del índice de refracción
dentro de un amplio margen.
Si se introduce en uno de los brazos del interferómetro Mach – Zehnder, por
ejemplo el plasma de una descarga de arco, se produce un desplazamiento de
fase adicional en comparación con la fase de esta misma onda que se desplaza
por el aire en el otro brazo del interferómetro. El valor de este desplazamiento de
fase adicional de la onda que ha recorrido una trayectoria determinada en el
plasma, depende del coeficiente de refracción del plasma de la siguiente manera:
∆ϕ =
2π
λ
∫ [n( x, y, z) − n ]dz
z2
z1
0
(3.1.1)
Donde z1 y z2 son las coordenadas de los límites de la zona con plasma, n0 y n
son los índices de refracción en el aire y en el medio con plasma respectivamente.
La existencia de un gradiente del índice de refracción en la dirección perpendicular
al eje donde se produce la descarga, produce un desplazamiento de las franjas de
interferencia. Este desplazamiento del patrón de interferencia expresado en
número de franjas esta dado por:
K ( x, y ) =
∆ϕ 1
=
2π λ
∫ [n ( x, y , z ) − n ]dz
z2
z1
0
(3.1.2)
Por lo tanto, midiendo el desplazamiento de las franjas de interferencia con
respecto a su posición cuando no hay plasma en uno de los brazos, se puede
obtener un patrón bidimensional de la distribución de la longitud de camino óptico
en función del índice de refracción de acuerdo a:
z2
D ( x, y ) = ∫ n( x. y.z ) dz = K ( x, y )λ + n0 l
z1
(3.1.3)
Donde l = z2 – z1 (ver Figura No.10) es el camino de recorrido del haz.
Si se considera la descarga como un sistema con geometría axial, el recorrido del
haz láser a través de la zona donde se halla el plasma de la descarga de arco, se
puede imaginar un esquema de recorrido como el mostrado en la figura No. 10
Figura No. 10. Esquema de una geometría axial para el recorrido del haz
láser
Donde l = z2 – z1 es el camino recorrido por el haz.
Tomando como base esta geometría axial y teniendo en cuenta que:
l = z 2 − z1 = 2 R 2 − y 2
(3.1.4)
Se puede escribir la expresión para el cálculo de la longitud de camino óptico del
haz láser a través del plasma de la descarga en función del desplazamiento de las
franjas normalizadas al periodo de acuerdo a:
Dk ( y ) = 2n0 R 2 − y 2 +
Donde:
k: Número del punto escogido a lo largo del radio.
λK
d
(3.1.5)
Dk(y): Longitud del camino óptico.
n0: Índice de refracción del medio en condiciones normales (aire).
λ: Longitud de onda del haz láser.
R: Radio máximo de la sección transversal.
K: Desplazamiento lineal de las franjas de interferencia.
d: Periodo espacial de las franjas de interferencia.
Por otro lado se sabe que:
z = r2 − y2
(3.1.6)
2rdr
dz =
r2 − y2
Entonces la expresión (3.1.3) se puede escribir como:
rdr
K
= λ + n0l
2
2
d
r −y
Dk ( y ) = 2∫y n(r )
r
(3.1.7)
Así la longitud de camino óptico en el plasma se determina a partir de la
distribución radial del índice de refracción n(r) [12,13].
La ecuación anterior es parecida a una función del tipo Abel, con respecto al
índice de refracción n(r). Las funciones de Abel son de la forma [14]:
r
f ( y ) = 2∫ g (r )
y
rdr
r 2 − y2
(3.1.8)
Y la transformada inversa de Abel esta dada por:
g (r ) = −
1
r
f ( y )dy
y
y2 − r 2
π∫
(3.1.9)
La Abelización o la transformada inversa de Abel permite analizar la expresión
(3.1.7) como una ecuación integral con respecto a una distribución radial
desconocida del índice de refracción n(r) en el plasma de acuerdo a la expresión
(3.1.10):
n( r ) = −
1
π
r
∫y
D ( y ) dy
2
y −r
2
(3.1.10)
Para solucionar la ecuación inversa de Abel existen gran cantidad de métodos
[14]. Un método que se puede utilizar consiste en reemplazar la ecuación (3.1.10)
por un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
N
n(r ) = ∑ bik Dk ( y )
k =1
(3.1.11)
Donde bik es la matriz inversa de los coeficientes aik.
El calculo comienza desde afuera de la columna plasmica cuando z = R y
paulatinamente se va aproximando al eje (ver Figura No.11).
Figura No. 11. Secciones transversales a lo largo de la columna plasmica,
caso para una distribución de 10 cortes.
Para el caso concreto, primero se construye el sistema de coeficientes aik que
permite encontrar la solución numérica de (3.1.11), es decir se construye un
sistema de ecuaciones lineales de la forma:
N
Dk ( y ) = ∑ aik n(ri )
(3.1.12)
k =i
Que da lugar a la matriz.
D1 = a1,1n1 + a1,2 n2 + a1,3n3 + ..................+ a1,10n10
D2 = 0 a2,2 n2 + a2,3n3 + a2,4 n4 + ........... + a2,10n10
D3 = 0 0 a3,3n3 + a2,4 n4
aik =
+ ........... + a3,10n10
M
M
M
M
M M
M
M M
M
M
M
D9 = 0 0 0............................+ a9,9 n9 + a9,10n10
(3.1.13)
M
M M
M
M
M
Dn = 0 0 0......................................... + an,n nn
Al encontrar la matriz de coeficientes y al tomar la transformada inversa de Abel
de la matriz, se puede encontrar el valor del índice de refracción a partir de los
valores de la diferencia de camino óptico utilizando la relación (3.1.11) [14].
Para el calculo de los coeficientes aik, los coeficientes de la matriz Dk (y) para una
sección dada y la solución del sistema de ecuaciones lineales de la expresión
(3.1.11), se escribió y se adecuó un programa en FORTRAN, el cual permite
calcular la transformada inversa de Abel y así obtener la variación del índice de
refracción y la temperatura del gas de la descarga de arco a partir del
desplazamiento de las franjas de interferencia con respecto a su posición cuando
no hay plasma en uno de los brazos del interferómetro.
3.2. Propiedades Ópticas del Plasma
Al pasar una onda electromagnética (láser) a través del plasma se produce un
cambio en la amplitud de dicha onda, debido a procesos de absorción, refracción,
dispersión y emisión a partir del plasma.
De estos procesos se puede obtener información sobre los coeficientes de
absorción y refracción del plasma, que a su vez son función de la temperatura y la
concentración de las partículas que conforman el plasma.
3.2.1. Transmisión de una Onda Electromagnética a Través del Plasma
La frecuencia de plasma es importante, no solo para describir las oscilaciones
libres en el plasma si no que también permite determinar la repuesta del plasma a
oscilaciones externas, en este caso estamos hablando de las oscilaciones
electromagnéticas que se transmiten en dicho plasma. Para entender este efecto,
primero hay que preguntarse, ¿cual es la corriente que se induce en el plasma
debido a la aplicación de un campo eléctrico E que oscila con una frecuencia ω
dada?
Para dar una respuesta a este interrogante, discutamos la propagación de ondas
electromagnéticas a través de un plasma. Las ecuaciones de Maxwell incluyen la
densidad de carga ρ = e(ni − ne ) y la densidad de corriente j = −e(ne v e -n i v i ) . Si se
asume que los campos son de la forma E = E 0 e i (k ⋅ x −ωt ) , con las ecuaciones de
Maxwell:
rotB = µ 0 j +
rotE = −
div E =
1 ∂E
c 2 ∂t
∂B
∂t
(3.2.1.1)
ρ
ε0
div B = 0
Se obtiene:
ik × B = µ 0 j − i
ω
c2
(3.2.1.2)
E
ik × E = ω B
(3.2.1.3)
ρ
ε0
(3.2.1.4)
k⋅B = 0
(3.2.1.5)
ik ⋅ E =
La ecuación del movimiento para los electrones viene dada por:
m
(
dv e
= −e E + v × B
dt
)
(3.2.1.6)
Que se puede escribir como:
(
− iωmv e = −e E + v × B
)
(3.2.1.7)
Considerando ondas electromagnéticas de alta frecuencia, los iones acelerados
son mas lentos y no tienen tiempo de responder al campo de la onda que se esta
transmitiendo, así es que para ondas de altas frecuencias se puede asumir que los
iones se encuentran en reposo, es decir, vi ≈ 0, ni ≈ n0 = cte. Por lo tanto la
corriente será de la forma j = −ne ev e y la ecuación para la conservación de la carga
estaría dada por:
∂ne
+ ∇ ⋅ (ne ⋅ v e ) = 0
∂t
(3.2.1.8)
Que se puede expresar como:
− iωn1 + i k ⋅ v e n0 = 0
(3.2.1.9)
Donde n1 es una perturbación de la densidad electrónica ne = n0 + n1 . Si se
consideran ondas transversales
(k ⋅ v
e
)
= 0 , entonces la perturbación en la
densidad electrónica se hace cero de acuerdo a la ecuación (3.2.1.8) y por medio
de la ecuación (3.2.1.2) se encuentra que:
(
)
i k × B = µ 0 − n0 e v e − i
ω
c2
E=0
(3.2.1.10)
La ecuación de movimiento, despreciando el término en v × B se puede escribir
como:
− iωmv e = −e E
(3.2.1.11)
Por lo tanto la densidad de corriente se puede expresar como:
j =σE =
in0 e 2
E
ωn
(3.2.1.12)
Y al colocar este resultado en la ecuación para la ley de Ampere se obtiene:
1 in0 e 2
ω
ik × B = 2
E −i 2 E
c ε 0 ωn
c
= −i
ω⎛
n0 e 2
⎜
1
−
c 2 ⎜⎝ ω 2 mε 0
⎞
⎟⎟ E
⎠
(3.2.1.13)
(3.2.1.14)
Donde
ω p2 =
n0 e 2
ε 0 me
(3.2.1.15)
Donde ωp es la frecuencia de plasma. Es decir la frecuencia natural de oscilación
en el plasma ionizado.
La ecuación i k × E = ω B en términos de la constante dieléctrica ε para el plasma
esta dada por:
2
iω ⎛⎜ ω p
ik × B = − 2 1 − 2
c ⎜⎝ ω
⎞
⎟ E = − iω ε E
⎟
c2
⎠
(3.2.1.16)
Donde
ε = 1−
ω p2
ω2
(3.2.1.17)
Es la constante dieléctrica.
La velocidad de fase de la onda se puede expresar en términos de la constante
dieléctrica
vφ =
ω
k
=
c
ε
c
=
1−
ω p2
(3.2.1.18)
ω2
En (3.2.1.18) se puede ver que la velocidad de fase vφ es mayor que c, esto es
posible ya que la velocidad a la cual viaja la información, es decir la velocidad de
grupo
dω
, es menor que c y esta dada por:
dk
ω p2 ⎞
⎟ = c2
1−
k 2 ⎜⎝ ω 2 ⎟⎠
ω 2 ⎛⎜
dω
c
= 2
dk v
(3.2.1.19)
2
(3.2.1.20)
La relación de dispersión para una frecuencia ω dada de una onda
electromagnética que se propaga a través de un plasma en ausencia de campo
magnético viene dada por
ω 2 = ω p2 + c 2 k 2
(3.2.1.21)
Si el valor de c k es muy grande las ondas se pueden considerar como ondas de
luz ordinarias
Si ω < ωp, el valor de k es imaginario, entonces la onda es atenuada
exponencialmente, y no se puede propagar a través del plasma, dicha onda será
atenuada una distancia dada por [15,16]
d≅
c
ω −ω2
2
p
(3.2.1.22)
Donde ωp es la frecuencia de plasma y ω es la frecuencia de la onda
electromagnética.
3.2.2. Refracción en el Plasma
La velocidad de propagación de una onda electromagnética a través de la materia
es diferente a la de propagación en el vacío. Si la sustancia es homogénea e
isotropica, puede demostrarse que el efecto neto de la polarización y la
magnetización del medio por la onda electromagnética se tienen en cuenta
reemplazando en las ecuaciones de Maxwell las constantes ε0 y µ0 por la
permitividad eléctrica ε y la permeabilidad magnética µ característica del material.
El cociente entre la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el vacío y la
velocidad v en la materia se denomina índice de refracción absoluto de la
sustancia, el índice de refracción n, es un parámetro propio de cada medio que
indica el comportamiento de la luz al atravesarlo. Desde un punto de vista
microscópico n refleja las características eléctricas y magnéticas del medio. El
índice de refracción esta dado por [17]:
n=
c
v
(3.2.2.1)
Donde
v=
c=
1
εµ
1
(3.2.2.2)
ε 0 µ0
y al reemplazar se obtiene el índice de refracción de la forma:
n = ε r µr
(3.2.2.3)
ε
ε0
µ
µr =
µ0
(3.2.2.4)
Con
εr =
Donde εr y µr son la permitividad y permeabilidad relativas del medio.
En general µr difiere muy poco de la unidad en la mayoría de las sustancias que
transmiten ondas electromagnéticas y el índice de refracción se puede escribir con
una buena aproximación:
n = εr
Esta relación
(3.2.2.5)
sirve de base para determinar fácilmente la permitividad de la
sustancia si el índice de refracción se obtiene independientemente.
Llamemos N al número de electrones por unidad de volumen, entonces se puede
expresar el índice de refracción de acuerdo a:
n2 = ε r = 1+
Ne 2
me ε 0
⎛
fi ⎞
⎜∑ 2
⎟
⎜ ω −ω2 ⎟
i
⎝
⎠
(3.2.2.6)
Donde fi, ωi, ω, son la fuerza de oscilación entre los electrones, la frecuencia que
corresponde a la transición entre los niveles i e k y la frecuencia de la radiación.
Así, el índice de refracción depende entonces de la frecuencia de la onda y por lo
tanto de su longitud de onda.
Ahora, las partículas que constituyen el plasma (electrones, átomos, iones)
contribuyen a su refracción, y esta contribución es de carácter aditiva y se puede
escribir como:
n − 1 = ∑ Ck N k
(3.2.2.7)
k
Donde Ck es la refracción debido a las partículas de tipo k con respecto a una sola
partícula y Nk es el número de partículas por unidad de volumen presentes en el
plasma.
La contribución de los electrones en la refracción del plasma se puede calcular a
partir de la expresión [3,4]:
ne = 1 −
2
ωp2
ω2
(3.2.2.8)
Donde; ω es la frecuencia de la radiación electromagnética que pasa por el
plasma y ωp es la frecuencia de plasma que está dada por (3.2.1.15):
Si se considera que
ωp
<< 1 entonces la ecuación (3.2.2.8) toma la forma:
ω
1 ωp
e 2 λ2
ne − 1 = −
=
−
N e ≈ −4.48 x 10 -16 λ2 N e
2
2
2
2ω
8π ε 0 mc
2
(3.2.2.9)
Para un plasma completamente ionizado. Como muestran los cálculos, para el
caso del rango del espectro visible de la luz la expresión (3.2.2.9) es aplicable
hasta Ne ≈ 1019 – 1020 cm.-3.
La contribución que introduce a la refracción del plasma, los átomos e iones en
estado normal y excitado se describe de acuerdo a:
2
2
(n − 1)α = e ∑ f2ik N i 2 = 2 e 2 ∑ f ik2 λik N2i
4π ε 0 mc i ,k λ − λik
ε 0 m i ,k ωik − ω
2
(3.2.2.10)
Donde; Ni es la concentración de átomos e iones en el nivel i, y λik, fik, ωik, son la
longitud de onda, fuerza del oscilador y frecuencia que corresponde a la transición
entre los niveles i e k.
Para gases con temperaturas entre 103 y 104 K, la contribución más significativa a
la refracción del plasma la introducen los átomos neutros en estado fundamental.
Ya que para la mayoría de los gases las líneas de resonancia se encuentran en la
región ultravioleta, entonces para la emisión en la región del visible, se cumple que
λ >> λik y la ecuación (3.2.2.10) se puede escribir como:
(n − 1)α
=
4
⎡
f 1k λ1k ⎤
B ⎤ Na
⎡
2
+
f
λ
⎥Na = ⎢A + 2 ⎥
∑
2
2
2 ⎢ ∑ 1k 1k
4π ε 0 mc ⎣⎢ k
λ ⎦⎥
λ ⎦ N0
⎣
k
e2
(3.2.2.11)
Donde N0 es el número de Loschmidt y Na es la concentración de átomos en
estado normal. La expresión (3.2.2.11) se conoce como la formula de Cauchy, la
cual relaciona la variación del índice de refracción con la longitud de onda en un
intervalo pequeño de longitudes de onda, dada por:
n (λ ) = A +
B
λ2
La expresión (3.2.2.11) o formula de Cauchy se puede justificar como sigue [17].
En la relación (3.2.2.6) se obtuvo una expresión que da el índice de refracción en
función de la frecuencia de la onda electromagnética y la frecuencia característica
de la sustancia (para este caso seria la frecuencia de plasma). Suponiendo que
hay una sola frecuencia atómica ω0 y que ω << ω0, se obtiene:
n2 = 1+
Ne 2
ε 0 m ω 02 − ω 2
(
(3.2.2.12)
)
Al despejar el valor del índice de refracción se tiene:
⎛
Ne 2
n = ⎜⎜1 +
2
2
⎝ ε 0 m ω0 − ω
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
(3.2.2.13)
Y al hacer una expansión en serie de (3.2.2.13) se llega a:
n = 1+
Y como ω =
2πc
λ
Ne 2
2ε 0 mω 02
⎛ ω2
⎜⎜1 + 2
⎝ ω0
n = A+
B
⎞
⎟⎟
⎠
(3.2.2.14)
, se tiene
(3.2.2.15)
λ2
Donde
A = 1+
Ne 2
2ε 0 mω 02
(3.2.2.16)
B=
2π c Ne
ε 0 mω 04
2
2
2
Cuando se trabaja en la región del visible del espectro
B
λ2
<< A , la refracción de
átomos y moléculas no depende de la longitud de onda.
La ecuación (3.2.2.11) se puede escribir de la siguiente forma:
(n − 1)α
= 2πα a N a = C a N a
(3.2.2.17)
Donde αa es la polarizabilidad y Ca es la refracción de cada átomo por centímetro
cúbico.
Para el caso de frecuencias pequeñas, se tiene que
⎛ B
⎞
⎜ 2 << A ⎟
⎝λ
⎠
y la polarizabilidad αa
se relaciona con A al comparar (3.2.2.11) con (3.2.2.17) y se obtiene:
(n − 1)α
(n − 1)α
⎫
A
⎪
⎬ = αa =
2πN 0
= 2πα a N a = C a N a ⎪⎭
=A
Na
N0
(3.2.2.18)
Para la mayoría de los gases αa = 10-25 – 10-24 cm3, entonces el valor absoluto de
la refracción de los átomos referido a una sola partícula será Ca = 2παa.
Aproximadamente 10-24 – 10-23 cm3, que es uno a dos órdenes de magnitud menor
o
que para los electrones: Ce ≈ 10-23 para λ ≈ 5000 A .
Para medios dieléctricos isótropos transparentes (no absorbentes) n será un
número real, mientras que para medios absorbentes n tendrá una parte imaginaria
no nula. Si el medio es anisótropo (ε es un tensor) habrá mas de un índice de
refracción en función de la dirección de propagación de la luz en el interior del
medio. El índice de refracción además de depender de la frecuencia de la luz es
también función de la temperatura [12,13,18].
3.2.3. Calculo de la Temperatura del Gas
Cuando el plasma esta altamente ionizado (plasmas de alta temperatura), el
aporte fundamental al índice de refracción del plasma en la región del visible lo
hacen los electrones, si el plasma no esta completamente ionizado (plasma de
baja temperatura), entonces la variación del índice de refracción esta relacionada
con la componente neutral del plasma debido a que disminuye su concentración
en la zona de la descarga.
Si se considera la ecuación para un gas ideal:
p1 = N 0 kT0 (fuera de la descarga)
(3.2.3.1)
p 2 = N r kTr (dentro de la descarga)
Tomando en cuenta la ecuación (3.2.2.17) y si se desprecian las variaciones de
presión debido a los flujos convictivos en la descarga, que según [19] para el aire
a
presión
atmosférica
la
velocidad
de
los
flujos
convictivos
es
de
aproximadamente 2 m/s, o sea mucho menor que la velocidad del sonido en el
aire, entonces se puede considerar que p1 = p2, y se tiene que:
(n0 − 1)kT0 = (nr − 1)kTr
(3.2.3.2)
Así se puede obtener una expresión para la temperatura en cualquier punto de la
zona con plasma, dada por:
Tr =
Entonces se pueden construir
n0 − 1
T0
nr − 1
(3.2.3.3)
isotermas y campos de temperaturas de la
descarga ya que el método permite calcular la temperatura puntualmente.
[12,13,18]
3.3. Error del Método
En cualquier cálculo de tipo recurrente, los errores se propagan y al pasar de una
sección a otra en la zona de descarga el error se propaga. Es por ello que el error
en el cálculo de los parámetros del plasma no solo es de carácter experimental,
sino que también depende fuertemente del perfil del plasma y fundamentalmente
del número de divisiones en las cuales se parte la columna plasmica.
El error medio relativo total de las mediciones δ n( R) estará dado por:
δ n( R ) =
∆n
2∆K
1
=2
=2
n( R )
K (0)
M2
(3.3.1)
Donde M es el número de partes en las que se ha dividido la columna plasmica.
Así si M tiene un valor de 10 particiones, el error en las mediciones δ n( R) será del
20 %, en cambio si M toma un valor de 40 el error δ n( R ) 5%. En conclusión entre
más cantidad de particiones tenga la columna plasmica mayor será la precisión del
método utilizado.
3.3.1. Precisión de las Medidas Interferometricas
Ya que según la ecuación (3.1.3)
D( x, y ) = ∫z12 n( x, y, z )dz = − K ( x, y )λ + n0 l
z
El valor mínimo de la longitud de camino óptico Dmin que puede ser determinado
por interferometria, se determina por el desplazamiento mínimo de las franjas de
interferencia Kmin, de acuerdo a:
Dmin = λK min
(3.3.1.1)
A su vez Kmin depende de la calidad del interferograma obtenido, es decir tiene
una gran dependencia de:
¾ Contraste y resolución del interferograma para medir el periodo de las franjas.
¾ Calidad de los espejos (Divisores de haz y espejos reflectores).
¾ Calidad de las lentes expansoras del haz.
¾ Registro del interferograma (Toma de datos).
¾ La calidad de los espejos del interferómetro así como las aberraciones de las
lentes pueden causar que las franjas de interferencia se curven aun sin
plasma.
Se puede hacer un cálculo estimativo de ∆nmin. Si se combinan las ecuaciones
(3.1.3) y (3.3.1.1) y si reemplaza D por:
z2
Dmin = ∫ (n − n0 ) min dz
z1
(3.3.1.2)
Se sabe que según (3.1.3) entonces se tiene:
z2
D( x, y ) min = ∫ n( x, y, z ) min dz = (n − n0 ) min l
z1
(3.3.1.3)
Donde la Variación mínima del índice de refracción se escribe como:
∆nmin = (n − n0 ) min
(3.3.1.4)
Dmin = K min λ
(3.3.1.5)
Se sabe que:
Y
z2
Dmin = ∫ (n − n0 ) min dz = k min λ
z1
(3.3.1.6)
Se llega al valor mínimo para la refracción dado por:
(n − n0 ) min = ∆nmin =
K min λ
l
(3.3.1.7)
Si por ejemplo se tiene un valor para el desplazamiento mínimo de las franjas del
patrón de interferencia Kmin = 0.1, una dimensión para el plasma de
l = 0.01 m y una longitud de onda de 632.8 nm, se puede estimar el valor mínimo
para el índice de refracción, por medio de la ecuación (3.3.1.7) y se tiene que
∆nmin ≈ 6.3 x 10-6, este valor representa una buena precisión al momento de hacer
la medida, ya que el método de interferometria láser da información puntual del
gradiente del índice de refracción existente a lo largo de la zona del plasma de la
descarga. [20].
4. DETALLES EXPERIMENTALES Y RESULTADOS
4.1. El Interferómetro Mach Zehnder (I.M.Z.)
Como se había descrito en el capitulo dos, el I.M.Z. consta de dos espejos
reflectores y dos espejos semi – transparentes o divisores de haz que transmiten y
reflejan el 50% del haz (50T/50R) incidente respectivamente, dispuestos de
manera rectangular como se muestra en la figura No. 7.
Aunque muchos I.M.Z. utilizan un arreglo rectangular, el arreglo en forma de
paralelogramo tiene ciertas ventajas. Una de ellas es el hecho de que el efecto de
las imperfecciones en los espejos planos sobre las dispersiones que se puedan
producir en los divisores de haz
(espejos semi - transparentes 50T/50R),
disminuye cuando disminuye el ángulo de incidencia del haz sobre esta superficie.
Otra razón es que la apertura o el ancho de campo a la mitad del ancho del espejo
aumenta cuando el ángulo de incidencia disminuye. Por esta razón no es una
condición necesaria tener un arreglo rectangular en el interferómetro [8].
En el presente trabajo de tesis se intento obtener un arreglo rectangular en la
disposición de los espejos, pero dentro del margen de error es factible que el
arreglo obtenido sea muy próximo a un arreglo en forma de paralelogramo.
4.1.1. Construcción del Interferómetro Mach – Zehnder
Antes de construir el interferómetro, es importante que el interferómetro este
aislado de las vibraciones existentes en el lugar donde se tomaran las medidas [8].
El éxito de las mediciones dependerá en gran parte, de que tan bien este aislado
todo el sistema de estas vibraciones. Lo ideal seria tener el instrumento aislado de
cualquier vibración.
Un procedimiento ideal para contrarrestar las vibraciones, es montar los cuatro
espejos sobre un bloque de aproximadamente 2 cm. de espesor de aluminio
endurecido, acero inoxidable o granito. Para aislar el instrumento de las
vibraciones, se coloca entre los bloques y la mesa óptica donde esta el
interferómetro, hojas de espuma de varios centímetros de espesor con agujeros
de aproximadamente 2 cm. de diámetro. El propósito de los agujeros es
proporcionar aislamiento de los movimientos laterales. Otro forma de aislar el
instrumento seria colocar la mesa óptica sobre un bloque de mármol o de cemento
y finalmente montarlos sobre un neumático.
El primer paso para la construcción de I.M.Z. fue dibujar un rectángulo sobre una
mesa óptica, marcando las esquinas donde se colocaron los posicionadores y
soportes para los espejos, lo anterior con el fin de garantizar que los ejes
verticales de rotación de los espejos coincidan con las esquinas del rectángulo.
4.1.2. Equipo y componentes utilizados
A. Montaje del Interferómetro Mach - Zehnder
La mesa óptica utilizada para montar el interferómetro tiene unas dimensiones de
68.5 x 46.8 cm., la cual fue reciclada a partir de la que tenia un espectrómetro de
infrarrojo dado de baja en el Departamento de Química de la Universidad del
Valle.
Se obtuvieron cuatro posicionadores los cuales fueron extraídos de cuatro
microscopios ópticos dados de baja por el departamento de Biología en la
Universidad del Valle y fueron acondicionados para la construcción del
interferómetro. Después de acondicionar los posicionadores, estos permitieron fijar
los espejos reflectores y semi – transparentes, a los cuales se les logro dar cinco
grados de libertad: desplazamiento de su posición en x, y, z, rotación sobre su
propio eje e inclinación sobre el eje z, lo que permite situar a los espejos y a la
vez lograr los desplazamientos necesarios para poder alinear el interferómetro y
obtener el patrón de interferencia a la salida del mismo.
Los posicionadores fueron montados sobre la mesa óptica formando un
rectángulo. Para montar los posicionadores sobre la mesa se utilizaron bases de
aluminio para cada posicionador.
Sobre los posicionadores se fijaron los soportes de aluminio para los cuatro
espejos. Los soportes para los divisores de haz presentan un orificio en el centro
con el fin de que el haz transmitido pueda seguir su camino a través del
interferómetro. El diámetro del orificio es de 4 cm. Todos los soportes para los
espejos tienen un ajuste fino, que sirven para mover los espejos reflectores, al
igual que los divisores de haz, para así lograr superponer los dos haces tanto en el
centro del divisor de haz de la salida del interferómetro así como en la pantalla.
También se utilizaron soportes de aluminio para montar el láser y las lentes sobre
el riel óptico. El interferómetro construido se puede ver en la Figura No.13.
B. Divisores de Haz y Espejos Reflectores
El interferómetro Mach Zehnder consiste especialmente de dos divisores de haz y
dos espejos reflectores, los cuales deben ser ópticamente planos. Los divisores de
haz deben ser de buena calidad con un recubrimiento antireflector en la superficie
de la cara posterior, además de tener cierta inclinación con respecto a la otra cara.
Lo anterior con el objeto de evitar reflexiones “fantasmas” entre las caras paralelas
del espejo, además que los divisores de haz deben cumplir con la condición de
transmitir y reflejar el 50% del haz que incide sobre ellos es decir deben ser
50T/50R. Los dos espejos semitransparentes fueron adquiridos en la firma
Reynard Corporation.
De la calidad de los divisores de haz y de los espejos reflectores va a depender la
intensidad, la visibilidad y el contraste de las franjas del patrón de interferencia.
Los divisores de haz están diseñados para reflejar y transmitir la luz a 45°. Cada
divisor de haz tiene un recubrimiento en multicapa de un material dieléctrico que
tiene más o menos 0.5 % de absorción, las características de cada divisor de haz
se pueden resumir en la tabla No. 1.
Tabla No. 1 Especificaciones de los divisores de haz.
Características Particulares de los divisores de Haz
Tamaño (mm)
50 (cuadrado)
Razón R/T
50R/50T
Longitud de onda (nm)
400 a 800
Espesor (mm)
2
Material
BK-7
Paralelismo
5 minutos de arco
Recubrimiento lado 1
Dieléctrico
Recubrimiento lado 2 Recubrimiento antireflector de banda ancha
Un esquema de cómo funciona cada divisor de haz se puede ilustrar en la figura
No.12.
Figura No. 12. Esquema de un espejo semi – transparente (beamsplitter) el
cual sirve para dividir el haz incidente en 50T/50R
C. Láser
Se utilizo un láser polarizado de He – Ne de 10 mW de potencia nominal con una
longitud de onda de 633 nm el cual opera en un solo
modo (TEM00). Es
importante que el láser sea polarizado, ya que dicha polarización permite que el
patrón de interferencia pueda visualizarse con facilidad. Además una polarización
vertical del láser aseguraría, que al incidir el haz sobre un espejo semi –
transparente con 50% de transmisión y 50% de reflexión (50T/50R) la intensidad
tanto del haz transmitido como el reflejado sea la misma.
Por lo general la longitud de coherencia de un láser de He – Ne es del orden de 20
cm.; lo que permite al interferómetro Mach – Zehnder ser montado con diferentes
longitudes de camino, del orden de varios centímetros sin perdida significativa del
contraste en las franjas del patrón de interferencia. Las especificaciones del láser
utilizado en este trabajo se resumen en la tabla No. 2.
Tabla No. 2 Características del láser de He – Ne utilizado en el experimento.
Características Particulares del Láser He - Ne ( TEM00)
Potencia de salida (mW.)
5.0
Longitud de onda (nm.)
633
Diámetro del Haz (mm.)
0.81
Divergencia del haz (mrad.)
1.0
Razón de polarización mínima
500 : 1
Peso (g.)
425.2
Longitud (cm.)
35.56
Diámetro (cm.)
3.79
Figura No. 13. Montaje experimental del interferómetro Mach - Zehnder
Utilizado.
4.1.3. Alineación del interferómetro Mach - Zehnder
Para la alineación del interferómetro fue necesario utilizar una maquina
generadora de humo, la cual ayudo a visualizar el camino recorrido por el haz
láser a través de los brazos del interferómetro y facilitar así la alineación de cada
uno de los espejos, en especial el primer divisor de haz, el cual debe tener un
ángulo de inclinación de 45° con respecto a la normal del haz incidente, de tal
forma que entre el haz transmitido y el haz reflejado se forme aproximadamente
un ángulo recto.
Después de asegurar el primer divisor de haz a la entrada del interferómetro, se
procede a la alineación de los otros tres espejos con el haz sin expandir. Para ello
se hace incidir el haz sobre el centro del primer divisor de haz B1 (ver Figura No.
7), de tal forma que tanto el haz transmitido como el reflejado también incidan
sobre el centro de los dos espejos reflectores M1 y M2, y por medio de ajustes
finos de estos espejos y del segundo divisor de haz, se logra superponer los dos
haces en el centro del
divisor de haz B2, que se encuentra a la salida del
interferómetro.
Todo esto se puede lograr ajustando de una manera conveniente los
posicionadores utilizando los desplazamientos en los tres ejes x, y, z; y ajustando
los ángulos de rotación de cada uno de los espejos reflectores sobre su eje;
garantizando así que el sistema conserve su arreglo en forma rectangular o en
forma de paralelogramo.
Después de lograr la alineación del interferómetro se procede a expandir el haz,
para así obtener un patrón de interferencia sin muestra en uno de sus brazos.
4.1.4. Expansión del haz
Generalmente el diámetro del haz de salida de un láser de He – Ne es de 1 a 2
mm. que es un diámetro muy pequeño para hacer un diagnostico del plasma de la
descarga; por eso es necesario expandir dicho haz para así barrer un área
suficiente que abarque tanto la zona del plasma de la descarga de arco colocada
en uno de los brazos del I.M.Z. como zonas fuera de la descarga. Para expandir el
haz fue necesario utilizar dos lentes positivas simples que no llevan un
recubrimiento antireflector ya que no es necesario. Las lentes tienen una distancia
focal de 50 mm. y 500 mm. respectivamente y están separadas una distancia
entre si de 55 cm. Así se obtiene un spot paralelo a lo largo del recorrido del
interferómetro el cual tiene una dimensión de 1 cm. de diámetro. Dicho diámetro
fue suficiente para barrer un área considerable dentro y fuera del plasma de la
descarga. Ahora es necesario cerciorarse que el diámetro del haz no cambie
notablemente sobre una distancia de varios metros al pasar por la segunda lente,
ya que el haz que incide sobre el espejo semitransparente deber ser un haz
paralelo, para ello se puede jugar ajustando ligeramente el espacio entre las lentes
y verificando al mismo tiempo que el haz no cambie su diámetro inicial entre la
segunda lente y el divisor de haz a la entrada del interferómetro.
4.2 Descarga de Arco Utilizada
El esquema del circuito utilizado para obtener la descarga de arco a la cual se le
aplico el método descrito en el capitulo tres para el calculo de la temperatura del
gas por medios ópticos se muestra en la Figura No.14.
Figura No. 14. Circuito para generar la descarga de arco.
El circuito para generar la descarga de arco consiste de 2 transistores de potencia,
dos resistencia de 1 kΩ y 470 Ω, un transformador con un embobinado de 2500
vueltas y dos electrodos de bronce donde salta el arco.
El circuito fue alimentado con una fuente de 12 V DC a 2 A. La frecuencia medida
de la señal de salida sin arco fue de 17.6 KHz., mientras que la señal de salida
con arco presento una frecuencia de 49.8 KHz. La corriente por la salida de baja
tensión tiene un valor de 2.94 A. mientras que con el arco la corriente toma un
valor de 7.2 A y al momento de suspender el arco la corriente disminuye hasta un
valor de 4.9 A.
El valor de voltaje medido entre los electrodos en ausencia del arco fue de 6.8kV,
medido pico a pico en el osciloscopio, el valor de voltaje efectivo es decir Vrms, es
de 4.8 kV. En el momento de producir la descarga de arco, el voltaje pico cae
hasta cerca de los 700 V. con un valor para Vrms de aproximadamente 495 V.
Para medir los valores anteriormente reportados se utilizo un circuito de
rectificación que carga un condensador, en el cual, mediante una punta de alto
voltaje y un voltímetro se mide el
nivel de tensión en los terminales del
condensador. Con este método se obtiene el valor de voltaje máximo y la caída de
voltaje en los electrodos que producen la descarga de arco. El esquema de la
Figura No.15 ilustra el método utilizado para medir el voltaje en la descarga de
arco.
Figura No. 15. Esquema utilizado para medir el voltaje y la caída de voltaje en
la descarga de arco.
Finalmente las fotos de la Figura No.16 muestran la descarga de arco a.c. a
presión atmosférica en el aire colocada en uno de los brazos del interferómetro
como se ve en la realidad.
Figura No. 16. Descarga de arco a.c. a presión atmosférica en el aire.
4.3. Resultados y Análisis
En esta parte del trabajo se hará una descripción de la forma como se tomaron los
datos, su respectivo análisis y los resultados obtenidos. La toma de datos empieza
primero con la obtención de los patrones de interferencia con y sin plasma en uno
de los brazos del interferómetro, los interferogramas son registrados por medio de
la cámara CCD y por ultimo las fotos tomadas son trabajadas digitalmente en el
programa Coreldraw para darle un mejor contraste y definición. Los patrones de
interferencia obtenidos utilizando el interferómetro se ilustran a continuación:
Figura No. 17. Foto del patrón de interferencia tomada sin la descarga en
uno de sus brazos. a) Color real. b) escala de grises.
a)
b)
Figura No. 18. Foto del patrón de interferencia tomada con la descarga en
uno de sus brazos. a) Color real. b) escala de grises.
a)
b)
En la figura No. 18 se puede ver como se desplazan las franjas con respecto a su
posición sin plasma cuando se introduce la descarga de arco en uno de los brazos
del interferómetro. Este desplazamiento se manifiesta en la curvatura que
presenta el patrón de interferencia de la foto en la figura No. 18 en comparación
con las franjas de interferencia de la foto en la figura No. 17 en donde se ve que
son paralelas entre si.
A continuación, a la foto con plasma se le extraen los datos de desplazamiento de
las franjas de interferencia con respecto a su posición sin plasma. Este
desplazamiento de las franjas se normaliza al periodo espacial de las mismas para
así obtener el desplazamiento en número de franjas. El periodo de las franjas se
determino con ayuda de un demo del programa SPIP (Scanning Probe Image
Processor).
Un esquema que ilustra la manera como se tomaron los datos de desplazamiento
de las franjas con respecto a su posición sin plasma se puede ver en la siguiente
figura:
Figura No. 19. Esquema para ilustrar el desplazamiento de las franjas con
respecto a su posición sin plasma.
Primero se toman los valores en píxeles donde la curvatura de una de las franjas
es máxima (zona con plasma) y el valor en píxeles donde la franja no presenta
curvatura alguna (zona sin plasma), que viene a ser el valor de referencia. Luego
se hace la resta del valor de referencia a los datos que están por encima de este
valor para así determinar que tanto se ha desplazado la franja con respecto a su
posición sin plasma. Estos datos se obtienen por medio del programa Origin como
se muestra en la Figura No.20, el cual permite obtener gran cantidad de datos
punto a punto entre el valor máximo y el valor mínimo. Dividiendo la franja
desplazada en 63 zonas permite obtener un error medio relativo de
aproximadamente 3% de acuerdo a la ecuación (3.3.1).
Figura No. 20. Perfil para la toma de datos de desplazamiento de las franjas
utilizando el Origin.
Los datos de desplazamiento de las franjas normalizados al periodo se
introdujeron en el algoritmo implementado en FORTRAN (anexo 1) con el cual a
su vez se calculan los valores de diferencia de camino óptico por medio de la
ecuación (3.1.5) para cada una de las zonas en las que se divide la región de la
descarga, construyendo así la matriz de coeficientes aik de la ecuación (3.1.12). A
continuación el algoritmo calcula la matriz inversa de coeficientes bik de la
ecuación (3.1.11) para así hacer la transformada inversa de Abel (3.1.10) y
calcular la variación del índice de refracción a lo largo de la dirección radial del
plasma. Por ultimo el algoritmo calcula la variación radial de la temperatura por
medio de la ecuación (3.2.3.3).
Con los valores obtenidos de variación de índice de refracción, cambio en la
temperatura y desplazamiento a lo largo del plasma de la descarga de arco se
realizaron cuatro graficas. La primera relaciona la variación de la temperatura en
función del desplazamiento radial a través de la zona con plasma de la descarga,
la segunda grafica relaciona la variación local del índice de refracción en función
del cambio de temperatura en el plasma de la descarga.
La tercer grafica
relaciona la variación del índice de refracción con el desplazamiento radial a lo
largo de la descarga y en la cuarta grafica se construyeron isotermas para cuatro
valores diferentes de temperatura en la descarga de arco.
En la Figura No.21 se muestra la grafica construida a partir de los valores de
temperatura en grados Kelvin como función del desplazamiento radial a lo largo de
la descarga. Los datos de desplazamiento se calcularon dividiendo el valor del
radio de la descarga, aproximadamente 0.4 cm., entre el numero total de datos
que se introdujeron en el programa implementado en FORTRAN, es decir entre 63
datos. Se construyo la grafica tomando desplazamientos con un intervalo de cada
0,006 cm. a partir del centro del canal de la descarga hasta llegar al radio máximo
(con un valor aproximadamente de 0.4 cm.) Se puede afirmar de acuerdo al
comportamiento de la grafica que a medida que se va alejando del canal de la
descarga, la temperatura va disminuyendo paulatinamente cada vez que se
acerca a los bordes de dicha descarga donde la temperatura toma un valor
cercano al de la temperatura ambiente. Además presenta un cambio drástico de la
temperatura ya que a una distancia entre aproximadamente 0.4 cm. y 0,006 cm. la
temperatura pasa de un valor de aproximadamente 300 K a
un valor de
aproximadamente 3000 K. que corresponden a los bordes de la nube de gas de la
descarga y al centro del canal de la descarga respectivamente.
Figura No. 21. Grafica de temperatura en función del desplazamiento radial
para una descarga de arco a.c. a presión atmosférica en el aire.
3500
0,0
Temperatura [K]
3000
0,1
0,2
0,3
0,4
3500
3000
Centro
de la Descarga
2500
2500
2000
2000
1500
1500
Fuera
de la Descarga
1000
500
500
0
1000
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0
Desplazamiento Radial [cm]
En la Figura No.22 se muestra la grafica que se realizo a partir de los valores de
variación del índice de refracción y temperatura en la zona del plasma de la
descarga de arco. Como resultado se puede ver que la temperatura en el centro
del canal de la descarga es del orden de los 3000 K. y el índice de refracción
tiene un valor de 1,000020 que es menor que el índice de refracción del aire a
temperatura ambiente (n0 = 1.00023, P = 1 atm, T = 25 °C). Lo anterior se explica
físicamente ya que al aumentar la temperatura hacia el centro de la descarga
(canal de la descarga) la densidad del gas disminuye como consecuencia de su
expulsión de la zona de mayor temperatura y por lo tanto el índice de refracción de
este medio será menor que el índice de refracción de la zona donde la
temperatura del gas es mas baja.
Figura No. 22. Grafica de índice de refracción en función de la temperatura
para una descarga de arco a presión atmosférica.
1,00025
0
500
1500
2000
2500
3000
Fuera de la
Descarga
1,00020
Indice de Refracción
1000
3500
1,00025
1,00020
1,00015
1,00015
1,00010
1,00010
Centro de la
Descarga
1,00005
1,00000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1,00005
1,00000
3500
Temperatura [K]
En la Figura No.23. Se realizo la grafica a partir de los datos de índice de
refracción y desplazamiento radial a lo largo de la descarga. Su comportamiento
indica que a una distancia radial de 0.4 cm. el índice de refracción toma un valor
igual al índice de refracción del aire mientras que para valores cercanos a 0,006
cm. el índice de refracción toma un valor igual a 1,00002 mucho menor al valor en
el aire, lo que confirma lo dicho con respecto a la dependencia del índice de
refracción con la temperatura (figura No.22).
Figura No. 23. Grafica de índice de refracción en función del desplazamiento
radial a lo largo de la descarga.
1.00025
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
1.00020
1.00020
Indice de Refracción
1.00025
Fuera
de la Descarga
1.00015
1.00015
1.00010
1.00010
1.00005
1.00000
1.00005
Centro
de la Descarga
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
1.00000
Desplazamiento Radial [cm]
Con el objeto de obtener una distribución de temperatura radialmente y entre los
electrodos de la descarga de arco a.c. a presión atmosférica en el aire, se
construyo la grafica de las isotermas de la figura No. 24.
Para construir la grafica de las isotermas fue necesario tomar el valor de la
distancia entre el electrodo inferior (referencia) y cada una de las 9 franjas
registradas en el patrón de interferencia, para así determinar a que distancia se
encuentra cada una de ellas con respecto a los electrodos. Esto se lograba
tomando como valor de referencia la distancia entre electrodos la cual tenia un
valor de aproximadamente 0.8 cm., determinando así la distancia existente entre
las franjas y los electrodos. Posteriormente a cada franja se le tomaron datos de
desplazamiento radial para cuatro temperaturas diferentes (500 K, 1000 K, 2000
K, 3000 K) con estos datos y los datos de distancia entre electrodos y cada una de
las nueve franjas fue posible construir las isotermas.
Figura No. 24. Distribución de temperaturas para una descarga de arco a.c. a
presión atmosférica.
-0.4
-0.2
0.0
Eléctrodo
0.2
0.4
Superior
0.7
0.5
0.5
0.4
0.4
0.1
-0.4
Eléctrodo
-0.2
0.2
500 K
500 K
1000 K
2000 K
3000 K
0.3
1000 K
0.2
1000 K
0.3
3000 K
2000 K
0.6
2000 K
3000 K
0.6
500 K
Distancia Entre Eléctrodos [cm]
0.7
0.1
Inferior
0.0
0.2
Desplazamiento Radial [cm]
0.4
5. CONCLUSIONES
El método de interferometria con láser es un método alternativo para el
diagnostico de los parámetros de un plasma y en particular para determinar
la temperatura del gas (Tg) de una descarga de arco a presión atmosférica.
La distribución radial de la temperatura y del índice de refracción del
plasma, muestra que en el canal de la descarga la temperatura del gas es
aproximadamente 3000 K con un índice de refracción menor al índice del
aire.
Al desplazarnos desde el canal de la descarga hacia fuera de la misma, la
temperatura disminuye y el índice de refracción aumenta acercándose al
valor del índice de refracción en el aire. Estos resultados están de acuerdo
con los reportados en la literatura [20].
El método interferencial es el más adecuado para medir la variación del
índice de refracción en un medio donde la incidencia refractiva no es
homogénea por ejemplo en un gas ionizado. A partir de esta variación se
puede obtener información puntual de la temperatura en diferentes zonas
del medio.
Teniendo en cuenta que la temperatura electrónica (Te) en este tipo de
descargas a presión atmosférica en el aire esta entre 1-2 eV , se puede
considerar como un plasma en estado de no-equilibrio (Te>Tg) donde las
reacciones químicas transcurren con una alta efectividad, pudiendo ser
utilizadas estas descargas en la producción y tratamiento de materiales.
6. RECOMENDACIONES
Como principales recomendaciones para mejorar los interferogramas
obtenidos con el I.M.Z. construido se deben mencionar el aislamiento del
instrumento de las vibraciones existentes en el lugar para así obtener
resultados con mayor precisión en el momento de hacer una medida.
Mejorar la calidad de las lentes usadas para expandir el haz, así como
también mejorar el sistema o la forma como se capturan y se registran los
interferogramas.
7. PERSPECTIVAS
Montar una practica de laboratorio de Física Moderna en el área de óptica
para los estudiantes del plan de física, ya que el interferómetro Mach –
Zehnder es una herramienta pedagógica de gran utilidad.
Determinar la variación local del índice de refracción en sustancias donde
se presenten variaciones de densidad de partículas, como por ejemplo en el
caso se soluciones liquidas entre otras sustancias.
Utilizar el interferómetro para determinar los parámetros del plasma de
diferentes tipos de descargas utilizadas en los procesos de crecimiento de
materiales en forma de película delgada.
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ANEXOS
Valores de camino óptico, variación de índice de refracción, cambio de
temperatura y desplazamiento radial a lo largo de la descarga, calculados
utilizando el programa en FORTRAN.
Camino Óptico [cm.]
índice de Refracción
Temperatura [K]
Desplazamiento [cm.]
0,79514
1,00002
3103,231
0.006
0,79504
1,00007
1011,797
0.013
0,79474
1,00009
782,4419
0.019
0,79424
1,0001
682,3706
0.025
0,79354
1,00011
623,2531
0.032
0,79263
1,00012
582,9325
0.038
0,79153
1,00012
553,2437
0.044
0,79022
1,00013
530,1324
0.050
0,78871
1,00013
511,3666
0.057
0,78699
1,00014
495,7968
0.063
0,78506
1,00014
482,5635
0.069
0,78293
1,00014
471,0608
0.076
0,78059
1,00015
460,9974
0.082
0,77803
1,00015
452,066
0.088
0,77527
1,00015
444,0145
0.095
0,77228
1,00015
436,7611
0.101
0,76908
1,00016
430,1136
0.107
0,76565
1,00016
424,0377
0.113
0,762
1,00016
418,435
0.12
0,75813
1,00016
413,2077
0.126
0,75402
1,00017
408,3562
0.132
0,74968
1,00017
403,8196
0.139
0,74509
1,00017
399,5316
0.145
0,74027
1,00017
395,5065
0.151
0,73519
1,00017
391,7028
0.158
0,72987
1,00017
388,0712
0.164
0,72428
1,00018
384,6319
0.17
0,71843
1,00018
381,3545
0.176
0,71231
1,00018
378,2004
0.183
0,7059
1,00018
375,194
0.189
0,69921
1,00018
372,2865
0.195
0,69223
1,00018
369,5006
0.202
0,68494
1,00018
366,8156
0.208
0,67734
1,00018
364,2025
0.214
0,66942
1,00019
361,6839
0.221
0,66116
1,00019
359,2424
0.227
0,65255
1,00019
356,8526
0.233
0,64358
1,00019
354,5364
0.239
0,63423
1,00019
352,2786
0.246
0,62448
1,00019
350,0566
0.252
0,61432
1,00019
347,8911
0.258
0,60373
1,00019
345,7686
0.265
0,59268
1,0002
343,6686
0.271
0,58114
1,0002
341,6116
0.277
0,5691
1,0002
339,568
0.283
0,5565
1,0002
337,5558
0.29
0,54332
1,0002
335,5625
0.296
0,52951
1,0002
333,5689
0.302
0,51502
1,0002
331,5907
0.309
0,49979
1,0002
329,615
0.315
0,48376
1,00021
327,6217
0.321
0,46683
1,00021
325,6233
0.328
0,44892
1,00021
323,6042
0.334
0,42988
1,00021
321,5412
0.340
0,40958
1,00021
319,4391
0.346
0,3878
1,00021
317,2744
0.353
0,36429
1,00021
315,0111
0.359
0,33868
1,00022
312,6329
0.365
0,31046
1,00022
310,0672
0.372
0,27883
1,00022
307,238
0.378
0,24246
1,00022
303,9572
0.384
0,19877
1,00022
299,7652
0.391
0,14112
1,00023
293
0.397