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FIS - 100
FISICA I
CAP. 2.
2.1.
ESTATICA
Estática
La estática se inventó para resolver problemas de Ingeniería.
Principalmente problemas de Ingeniería civil y problemas de Ingeniería
mecánica. El primero que empezó con esto fue Galileo Ídolo. (Año 1500,
más o menos). La idea de Galileo era tratar de calcular cuánto valía la
fuerza que actuaba sobre un cuerpo.
¿Para qué quiere uno saber qué fuerza actúa sobre un cuerpo,
Bueno, a grandes rasgos digamos que si la fuerza que actúe sobre un
cuerpo es muy grande, el cuerpo se puede romper. Muchas veces uno
necesita poder calcular la fuerza que actúa para saber si el cuerpo va a
poder soportarla o no.
Mira estos ejemplos: Los carteles que cuelgan en las calles suelen tener
un cable o un alambre que los sostiene. El grosor de ese alambre se
calcula en función de la fuerza que tiene que soportar. Esa fuerza
depende del peso del cartel y se calcula por estática.
Hilo
El alambre se puede
romper si el peso del
cartel es muy grande
Pared
Cartel
(Peso P)
Figura 2.1.
Algunos ejemplos:


En los edificios, el peso de toda la construcción está soportado por
las columnas. El grosor de las columnas va a depender de la fuerza
que tengan que soportar.
En las represas, el agua empuja tratando de volcar la pared. La
fuerza que tiene que soportar la pared se calcula por estática. El
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

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grosor de la pared y la forma de la pared se diseñan de acuerdo a
esa fuerza que uno calculó.
El cálculo de las fuerzas que actúan sobre un puente es un problema
de estática. A grandes rasgos, cuando uno quiere saber cómo tienen
que ser las columnas y los cables que van a sostener a un puente,
tiene que resolver un problema de estática.
En las máquinas, el cálculo de fuerzas por estática es muy
importante. Por ejemplo, en los trenes hay un gancho que conecta
un vagón con otro. El grosor de ese gancho se saca resolviendo un
problema de estática.
La estática es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es estudiar las
condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo, para que este se encuentre en equilibrio.
2.2.
Fuerza
Una fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, que cambia o tiende a
cambiar su movimiento o forma.

F
Figura 2.2.

A esta acción uno la representa poniendo una flechita para el mismo
lado para dónde va la fuerza. Si un señor empuja una heladera, al
empujarla ejerce una fuerza. Esta fuerza ellos la representan así:
Fuerza aplicada
por la persona

F
Cuerpo u
Objeto
Figura 2.3.
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

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Hay otro tipo de fuerza que siempre aparece en los problemas de
estática que es la fuerza PESO. La Tierra atrae a las cosas y quiere
hacer que caigan. A esta fuerza se la llama peso. Por ejemplo, si yo
suelto un ladrillo, cae. En ese caso la fuerza peso está actuando de
la siguiente manera:
Vamos a este otro caso. Supongamos que cuelgo un ladrillo del
techo con una soga. El ladrillo no se cae porque la soga lo sostiene.
Ellos dicen entonces que la soga está ejerciendo una fuerza hacia
arriba que compensa al peso. A esa fuerza se la llama tensión.
(Tensión, tensión de la soga, fuerza que hace la cuerda, es lo
mismo). La tensión de una soga se suele representar así:
2.2.1 Fuerzas internas
Son las que mantienen juntas a las partículas que forman un sólido
rígido. Si el sólido rígido está compuesto estructuralmente de varias
partes, las fuerzas que mantienen juntas a las partes componentes se
definen también como fuerzas internas; entre las fuerzas internas más
conocidas, tenemos: La tensión y la compresión.
2.2.1.1. Tensión (T)
Es aquella fuerza que aparece en el interior de un cuerpo flexible
(Cuerda, cable) debido a fuerzas externas que tratan de alargarlo.
Cabe mencionar que a nivel de ingeniería la tensión o tracción como
también se le llama, aparece también en cuerpos rígidos como en
algunas columnas de una estructura.
Corte
imaginario

F
Figura 2.4.
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
F
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
F
Corte
imaginario

T

F

T
 
T F
 
T F
Figura 2.5.
2.2.1.2. Compresión
Es aquella fuerza que aparece en el interior de un sólido rígido cuando
fuerzas externas tratan de comprimirlo.
Corte
imaginario

F

F
Figura 2.6.

F
Corte
imaginario

C

F

C
 
CF
 
CF
Figura 2.7.
Peso
Es la fuerza que adquiere los cuerpos cuando se encuentran dentro el
campo gravitatorio, tiene una dirección y sentido que pasa por el centro
de la tierra.
2.3.
Es un vector determinado por la relación:


w  mg
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Dónde:
w=Peso del cuerpo [N]
m=masa del cuerpo [Kg]
g=aceleración de la gravedad 9,81[m/s2]
Cuerpo
er
Cu


w  mg
po
Cuerpo
El peso tiene las siguientes características:
 Tiene una dirección vertical y pasa por el centro de gravedad del
cuerpo, independiente de la posición del cuerpo.
 Su sentido es siempre hacia abajo.


w  mg


w  mg
Figura 2.8.
2.4.
Sistema de fuerzas coplanares
El sistema de fuerzas coplanares son aquellas fuerzas representados en un
sistema de coordenadas rectangulares, que cada una de las fuerzas se
descomponen respecto a los ejes (x,y).



R  Rxi  Ry j
Donde :


R x   Fx


R y   Fy
Su módulo es la magnitud de R

2
2
R  Rx  Ry
Su dirección está por el ángulo  mediante la relación:
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
Ry
tg  
Rx
y

F1

F2
x

F3
Figura 2.9.
Debemos suponer que la resultante R es físicamente equivalente a los
  
componentes, F1, F2 , F3
2.4.1 Resultante de fuerzas concurrentes y paralelas
Si las fuerzas son concurrentes, significa que están aplicadas en el mismo
punto, su resultante es el vector suma, por lo tanto la resultante R de
  
varias fuerzas concurrentes F1 , F2 , F3 ,....... es:
  

R  F1  F2  F3  ........ Fi

y
y
y

F1

F1

F2

F3
x

F1

F2
x

F3

F2
x
Figura 2.10. Ejemplo de fuerzas concurrentes y coplanares
Las fuerzas paralelas son aquellas fuerzas cuyas direcciones son
paralelas, pudiendo aplicarse en el mismo sentido o en sentido contrario.
Estos a su vez pueden estar representados en el eje del sistema de
coordenadas rectangulares (x, y).
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
F1

mg

Mg

F2
Figura 2.11. Ejemplo de fuerzas coplanares y paralelas
2.4.2 Equilibrio de fuerzas concurrentes y paralelas
Un sistema de fuerzas está en reposo, si la fuerza resultante vale cero o
cuando el sistema es nulo, entonces podremos decir que el sistema está en
equilibrio.
Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas
coplanares y concurrentes esté en equilibrio, cuando la fuerza resultante
del sistema sea nula, en este caso debe verificarse que el polígono
vectorial o polígono de fuerzas sea cerrado.
y
1

F2
F2

F3


F1
F

F4
x
F
4

F3
Figura 2.12. Equilibrio de fuerzas coplanares
Resulta evidente que cada una de las fuerzas equilibra al resto de las que
componen el sistema de fuerzas.
Analíticamente la condición está dada sobre las proyecciones respecto a
cada uno de los ejes del sistema de coordenadas, si la fuerza resultante del
sistema es nula debería ser nula la proyección de cada una de ellas sobre
los ejes correspondientes.
Por lo tanto:

La fuerza resultante sea igual a cero: FR  0
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En la proyección del eje x, que la sumatoria de fuerzas en el eje x sea igual
a cero.

Fx  0

En la proyección del eje y, que la sumatoria de fuerzas en el eje y sea igual
a cero.

Fy  0

Si el sistema de fuerzas no estuviera en equilibrio, existiría una resultante
y el sistema de fuerzas provocaría una traslación del objeto sobre el cual
actúa.
2.4.3.
Teorema de Lamy
Si un sólido se encontrase en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas
coplanares y concurrentes, el valor de cada una de las fuerzas es
directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone.

F1
ɵ
β

F2
α

F3
Figura 2.13.



F3
F1
F2


Sen  Sen  Sen 
2.4.4.
Sistema de fuerzas espaciales
Los sistemas de fuerzas pueden ser considerados espaciales, cuando las
fuerzas son representadas en un sistema de coordenados en el espacio
tridimensional, representados por el eje x, y, z.
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z
1
F

F2
y

F3
x
Figura 2.13. Sistema de fuerzas espaciales
La resultante de estas fuerzas es el vector suma:
 


R  F1  F2  F3  ........   Fi




 R  Rx i  R y j  Rz k
Donde :


R x   Fx


R y   Fy


R z   Fz
La fuerza resultante será R:

2
2
2
R  Rx  Ry  Rz
Analíticamente la condición de equilibrio, está dada sobre las
proyecciones respecto a cada uno de los ejes del sistema de coordenadas
en el espacio, si la fuerza resultante del sistema es nula debería ser nula la
proyección de cada una de ellas sobre los ejes correspondientes.
Por lo tanto:

La fuerza resultante sea igual a cero: FR  0
En la proyección del eje x, que la sumatoria de fuerzas en el eje x sea igual
a cero.

Fx  0

En la proyección del eje y, que la sumatoria de fuerzas en el eje y sea igual
a cero.
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
 Fy  0
En la proyección del eje z, que la sumatoria de fuerzas en el eje z sea igual
a cero.

Fz  0

2.5. Diagrama de cuerpo libre
Hacer el diagrama de cuerpo libre D.C.L. de un cuerpo es representar
gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se sigue los
siguientes pasos:
1.- Se aísla al cuerpo, de todo el sistema.
2.- Se representa al peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre
hacia el centro de la tierra.
3.- Si existiese superficies en contacto, se representa a la reacción
mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando
siempre al cuerpo.
4.- Si hubiese cuerdas o cables, se representa la tensión mediante un
vector que está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario.
5.- Si existen barras comprimidas, se representa a la compresión
mediante un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte
imaginario.
Ilustraciones
N
A
A
G
Cuerpo A
D.C.L. del cuerpo A
Figura 2.14.
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T
B
B
G
Cuerpo B colgado
D.C.L. del cuerpo B Colgado
Figura 2.11.
T
A
G
A
D.C.L. del cuerpo A
Figura 2.12.
A
A
T
N
G
D.C.L. del cuerpo A
Figura 2.13.
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N
T
B
B
T
N
G
A
A
G
D.C.L. del cuerpo A-B
Figura 2.14.
T
A
G
D.C.L. del cuerpo A
C1
C2
A
T
D.C.L. del apoyo de las barras
Figura 2.15.
N2
N1
G
D.C.L. del cuerpo de la esfera
Figura 2.16.
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2.6. Momento de una fuerza
El momento de una fuerza puede definirse como el efecto de giro que se
produce sobre un cuerpo alrededor de un punto o eje, no olvidar que es
una magnitud vectorial.
Se tiene una puerta que puede girar por la acción de una fuerza, si la
fuerza F aumenta, la puerta girara con mayor intensidad o sea que el
torque aumentara si “r” (brazo de la palanca) aumenta, también el
torque aumenta
z
r

F
y
x
Figura 2.17. Momento de una fuerza
Entonces el momento en una cantidad vectorial dada por el producto
vectorial,  que llamaremos torque o momento de una fuerza:
Torque=fuerza x brazo de palanca, depende del valor de la fuerza
aplicada y de la distancia perpendicular del punto o eje de giro a la línea
que contiene a la fuerza.
Donde :

  r x F Nm
2.6.1.
  Momento de una fuerza Nm
r  Vector posición [m]

F  Fuerza aplicada [N]
Representación del torque.-
Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación,
cuyo sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha o del
saca corcho.
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o

F
r
O
2.18. Representación del torque
 o = Momento de la fuerza

 o  r x F Nm

F
con respecto al punto “O”
Caso a)
O
r

F

 o  F r
Figura 2.19.
Caso b)
O

F

 o  F .0
o  0
Figura 2.20.
Si la línea recta que contiene a la fuerza pasa por el punto de rotación, el
momento de esa rotación es cero.
Caso c)
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
F
r
O
rS



 o   F .d Sen
en

Figura 2.21.
Convención de los signos.
Asumiremos signo al torque (momento de una fuerza), válido para
fuerzas coplanares.
+
-
Anti horario
Horario
 o(  )
 o(  )
2.7. Momento de varias fuerzas concurrentes
 

Consideremos el caso de varias fuerzas concurrentes F1 , F2 , F3 que tienen

como punto de aplicación un punto. El torque de cada fuerza Fi con

respecto al punto O es:  i  r x Fi donde la distancia es r y no ri porque
todas las fuerzas se aplican al mismo punto.
   

El momento resultante R es   r x R donde R  F1  F2  F3 es la
resultante de la suma de las fuerzas y r es nuevamente el vector posición
común, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial,
tenemos:

 

r x R  r x ( F1  F2  F3 )



  r x F1  r x F2  r x F3
Entonces :
   1   2   3  .........   i
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El torque de la resultante es igual a la suma vectorial de los torques de las
fuerzas componentes si estas son concurrentes.
Si todas las fuerzas son coplanarias, y o se encuentra en el mismo plano,
todas las torques tienen la misma dirección perpendicular al plano de
   1   2   3  .........  i
rotación, puede escribirse como:

Esta ecuación demuestra que un sistema de fuerzas concurrentes puede
reemplazarse por una sola fuerza, su resultante, la que es completamente
equivalente al sistema en lo que respecta a efectos de traslación y rotación.
2.7.1.
Teorema de VARIGNON
“El momento de la fuerza resultante de un conjunto de fuerzas
concurrentes, con respecto a un punto dado en el plano, es igual a la
suma algebraica de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo
punto”

F1
o

F2

F3

Fn
Figura 2.22.
 



R  F1  F2  F3  ......  Fn
 o   oF   oF  ......   o Fn
1
2
Si las fuerzas son coplanares, el teorema de VARIGNON se enuncia así:
“El momento de la fuerza resultante de un conjunto de fuerzas
coplanares, con respecto a un punto cualquiera situado en el plano de
las fuerzas, es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas
con respecto a ese punto”
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
F1
o
R
F

F2
o
n
F

F3
Figura 2.23.





FR  F1  F2  F3  ...... Fn
 oR   oF1   oF2  ......  o Fn
  

Si tenemos varias fuerzas concurrentes: F1 ; F2 ; F3 ;........;Fn que actúan en
un plano, puede demostrarse mediante sucesivas aplicaciones del
Teorema de VARIGNON, que el momento de su resultante R, con
respecto a un centro dado en el plano de las fuerzas, es igual a la suma
algebraica de los momentos de las componentes con respecto al mismo
centro, así:

 


FR  F1  F2  F3  ......  Fn
 oF   oF   oF  ......   o Fn
R
1
2
El teorema de VARIGNON también se cumple para fuerzas paralelas, lo
cual se puede comprobar con la relación de Stevin.
2.8. Equilibrio de una partícula
La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en
equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre
una partícula sea cero.


FR   Fi  0
   

Fi  F1  F3  F4  .......Fn
Esto implica la siguiente condición de equilibrio:



Fx  0
Fy  0
Fz  0



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Naturalmente con esta condición la partícula podría también moverse con
velocidad constante, pero si esta inicialmente en reposo la anterior es una
condición necesaria y suficiente.
Equilibrio Estático


Se considera cuando un cuerpo no se mueve v  0 y a  0
Reposo
v  0

y a  0
Figura 2.24.
Equilibrio Cinético
Se considera cuando un cuerpo se mueve en línea recta a velocidad

constante a  0

v

v

a0
Figura 2.25.
2.9. Equilibrio de un cuerpo rígido
En el desarrollo de la estática consideramos situaciones de equilibrio de
cuerpos rígidos, es decir que no se deforman, en rigor no existen cuerpos
indeformables, de manera que la aplicación de las leyes de la estática es
una aproximación que es buena si las deformaciones son despreciables
frente a otras dimensiones del problema.
Si el cuerpo rígido permanece en equilibrio con el sistema de fuerzas
exteriores aplicado, entonces para que todas las partículas estén en
equilibrio es suficiente que tres de sus partículas no colineales estén en
equilibrio. Las condiciones bajo las cuales un cuerpo rígido permanezca
en equilibrio son que la fuerza externa resultante y el torque externo
resultante respecto a un origen arbitrario son nulos, es decir:
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
 ext
F ext   F i  0

 oext   ri xFi ext  0

R
o
0
Entonces se constata que el torque o momento resultante es cero respecto
a cualquier punto.
2.9.1. Tipos de apoyo
Existen diversos tipos de apoyo, nosotros estudiaremos solo dos.
2.9.1.1. Apoyo fijo
En este caso existen dos reacciones perpendiculares entre sí.
R1
R2
Figura 2.26.
2.9.1.2. Apoyo móvil
En este caso existe solo una reacción que es perpendicular a las
superficies en contacto.
R
Figura 2.27.
2.9.1.3. Contacto con superficie lisa
Existe una reacción normal perpendicular a la superficie.
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R
Figura 2.28.
2.9.1.4. Contacto con superficie rugosa
Existe una reacción normal y una fuerza de roce, entonces existe dos
reacciones perpendicular entre sí.
R2
R1
Figura 2.29.
2.9.1.5. Empotramiento
Existen dos reacciones perpendiculares entre si y un torque o momento.
Mo
R1
R2
Figura 2.30.
2.10. Tercera Ley de Newton (Ley de la acción y la reacción)
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“Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (Acción), entonces el otro le
aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (Reacción)”
Figura 2.31.
Observaciones:
En todo contacto entre cuerpos aparecen fuerzas de acción y reacción.
N
mg
Figura 2.32.
La persona que jala con una fuerza F (acción) y la cuerda le aplica una
fuerza –F (reacción) sobre su mano.
2.11. Centro de gravedad
El centro de la gravedad es el punto donde se considera concentrado el
peso de un cuerpo.
C.G.
Peso
Figura 2.33.
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2.11.1. Características del centro de gravedad
1.- El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del
cuerpo.
2.- El centro de gravedad de un cuerpo quedara perfectamente
determinado con respecto a un sistema de ejes coordenados, por una
abscisa (x) y una ordenada (y).
3.- El centro de gravedad no varía con la posición, pero si depende de su
forma geométrica.
4.- Si un cuerpo presentase un eje de simetría, el centro de gravedad se
encontrara en un punto contenido en dicho eje.
5.- Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido
contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en
equilibrio, independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo
respecto al centro de gravedad.
y

y
y3
C.G.
y1
y2
G2
G1
G
o
x1

x
x2
G3
x3
x
Figura 2.34.
x : abscisa del C .G.
y : ordenada del C .G.
Calculo de x, aplicando el teorema de VARIGNON con respecto al eje y.
 0W   0W1   0W2   0W3  ...............  0Wn
 Wx  W1 x1  W2 x2  W3 x3  ...........  Wn xn
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Wx  W1 x1  W2 x2  W3 x3  ...........  Wn xn
W1 x1  W2 x2  W3 x3  ...........  Wn xn
W
Pero : W  W1  W2  W3  ...........  Wn
x
x
W1 x1  W2 x2  W3 x3  ...........  Wn xn
W1  W2  W3  ...........  Wn
y
W1 y1  W2 y2  W3 y3  ...........  Wn yn
W1  W2  W3  ...........  Wn
El centro de gravedad de un cuerpo también se puede determinar en
función de las longitudes, áreas, volúmenes de este, solo bastara
reemplazar “W” por “L”, “A” o “V”.
Tomando en cuenta que los centros de gravedad, están en función del
peso, masa, área, para determinar los centros de gravedad, se pueden
usar las siguientes relaciones:
Para los pesos:

rC 
W r
W

i i
i
Para las masas:

rC 
m r
m

i i
i
Para áreas:

rC 
Ar
A

i i
i
Cada una de estas se puede escribir en función de sus componentes
rectangulares:
xC 
A x
A
i i
i
; yC 
A y
A
i i
i
También se puede escribir de la forma:
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; xC 
A z
A
i i
i
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xC 
 x dA ;
 dA
yC 
 y dA ;
 dA
zC 
 z dA
 dA
Investigar centros de gravedad de algunos cuerpos.
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