Estimación de gastos de diseño con análisis de la función de

IV Jornadas de Ingeniería del Agua
La precipitación y los procesos erosivos
Córdoba, 21 y 22 de Octubre 2015
Estimación de gastos de diseño con
análisis de la función de distribución de las lecturas de
escala
M.L. Arganis Juárez1,2, R. Domínguez Mora1, J.L. Herrera Alanís1
Coordinación de Hidráulica. Instituto de Ingeniería1. Facultad de Ingeniería2.
Universidad Nacional Autónoma de México. Edificio 5. 14010 México, D.F.
1. Introducción
La medición del escurrimiento registrado por las estaciones hidrométricas se realiza de un
modo indirecto en las estaciones de aforo y depende en gran medida de la cantidad y
calidad de la información de los datos medidos de lectura de escala. El método de la sección
velocidad llega a ser poco práctico en cauces con secciones anchas o ríos muy caudalosos.
Cuando se logra contar con un buen número de puntos de gastos medidos y lecturas de
escala registradas se pueden obtener ecuaciones de ajuste del gasto en función de la
elevación del nivel del agua en el sitio.
Para estimar el caudal que se presenta, en ciertas horas del día en función de la lectura de
escala (nivel del agua registrado) se utilizan ecuaciones de tipo potencial (Domínguez et al,
2006); posteriormente, para obtener avenidas de diseño se suelen utilizar directamente los
valores de los caudales obtenidos (por ejemplo de los máximos instantáneos o de los medios
diarios) (Domínguez y Arganis, 2012, Monroy et al, 2013, Guzmán, 2014 ).
En este estudio se efectuó un análisis estadístico de los valores de las lecturas de escala
máximas anuales registradas en una estación hidrométrica del sureste de México. Con dicho
análisis se determinó la función de distribución de probabilidades de mejor ajuste y se
extrapolaron valores para distintos periodos de retorno. La función que mejor representó el
comportamiento de los niveles del agua máximos anuales en la sección de la estación
hidrométrica fue de tipo doble Gumbel (González, 1969; Rossi et al, 1984). El análisis
estadístico también se realizó a los gastos instantáneos máximos anuales, en el periodo
común de las lecturas de escala registradas, obteniendo también funciones doble Gumbel.
Con los resultados obtenidos se determinó al gasto máximo instantáneo en función del dato
de lectura de escala considerando funciones polinomiales y potenciales. Los coeficientes de
las funciones potenciales se determinaron con ayuda de algoritmos genéticos (Goldberg,
1989) y con ayuda del complemento Solver© del software Excel©. La función potencial
B.26.
obtenida con Solver©, y considerando una elevación inicial, dio los menores errores medios
cuadrático, seguida de las funciones polinomiales de tercer grado y de los resultados del
algoritmo genético para la función potencial y un polinomio con coeficientes y exponentes
reales.
2. Metodología
2.1 Lectura de escala
En el sitio de análisis la lectura de escala se realiza diariamente cada seis horas en el
estiaje y cada hora en época de avenidas, con ayuda de un limnímetro de concreto
dividido en siete tramos de 2 m cada uno, en posición escalonada, lo que permite medir
hasta 14.00 m. La escala está colocada en la margen izquierda del río, 5 m aguas arriba de
la sección de aforos. El cero de la escala está referido a una cota arbitraria. Las escalas se
comenzaron a tomar el 4 de junio de 1953.
La estación seleccionada cuenta con limnígrafo Stevens tipo F, alojado en una caseta y
pozo de ladrillo y cemento de 1.50 x 120 m y 10.5 x 1.20 m, respectivamente; tiene una
galería y la comunicación se hace por medio de tubos de polietileno. El limnígrafo empezó
a funcionar el 15 de junio de 1967 (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969).
2.2 Aforo de corriente
La estructura para aforos del sitio analizado cuenta con cablevía y canastilla, se apoya en
torres de concreto; el cable de acero pasa por un claro de 200 m. Entró en operación el 21
de enero de 1964. Antes de esta estructura los aforos se hacían con un cayuco sujeto a un
cable de acero de 0.95 cm que se tendía de una a otra orilla del cauce con separación de
unos 150 m (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969).
2.3 Curvas elevación gasto
El ajuste de la curva elevaciones-gastos puede realizarse empleando el método de mínimos
cuadrados, con una función del tipo (Domínguez et al., 2006):
[1]
3
Donde: Q gasto, en m /s; H nivel del agua, en m; Ho nivel base (esto es, nivel para el cual el
gasto es nulo), en m; c, n parámetros que se obtienen del ajuste de los datos.
También es frecuente ajustar polinomios hasta de grado 3, o funciones de tipo exponencial;
en hojas de cálculo tipo Excel© se pueden realizar estos ajustes.
B.26.
2.3 Análisis estadístico de datos
Al registro de datos máximos anuales de las series de tiempo analizadas se les ajustaron
distintas funciones distribución seleccionando aquella de menor error estándar de ajuste;
con la función de mejor ajuste se obtuvieron eventos de diseño para distintos periodos de
retorno; para lo anterior se utilizó el programa AX (Jiménez, 1996).
2.3 Algoritmos genéticos
Son algoritmos basados en la Teoría de Selección Natural de Darwin (Goldberg, 1989), se
han usado desde finales de los años ochenta del siglo XX como herramienta de
optimización en distintos problemas de hidrología e hidráulica. En un algoritmo genético
simple se propone una población inicial de n individuos; en el problema cada individuo
representa un conjunto de parámetros del modelo matemático propuesto que aproximará
a una serie de datos; posteriormente se evalúa el desempeño de los individuos (fitness) a
través de la evaluación de una función objetivo; en el estudio se consideró como función
objetivo la minimización del error medio cuadrático (EMC); los individuos de mejor
desempeño se seleccionan aleatoriamente (con ayuda de los métodos tipo ruleta o
estocástico universal) y posteriormente se someten a los operadores cruza y mutación
para generar una nueva población de n individuos que pasarán a la siguiente generación.
El procedimiento se repite hasta que se alcanza el número de generaciones propuesta
(iteraciones). Los individuos que dan la mejor respuesta en la función objetivo en la última
generación se consideran la solución óptima del problema.
3. Aplicación y resultados
3.1 Sitio de estudio
Para el análisis se seleccionaron los datos de la estación hidrométrica 30042 Salto de Agua
(figura 1) que afora una porción de la corriente del río Tulijá, afluente del río Grijalva,
frente al poblado de Salto de Agua en el estado de Chiapas; se localiza en las coordenadas
17° 34’00’’ de Latitud Norte y 92°22’00’’ Longitud Oeste. Su cuenca cubre un área de 2876
2
km .
B.26.
Figura 1. Ubicación de la estación hidrométrica
3.2 Análisis de datos de lectura de escala
Se seleccionaron los datos de lectura de escala máximos anuales medidos en el periodo
común con los gastos máximos anuales (Tabla 1).
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Año
1986
1988
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Le, m
13.950
15.110
15.120
12.150
14.180
11.440
11.840
12.190
11.880
11.260
12.210
14.270
12.980
10.480
10.580
11.880
12.550
12.640
10.280
13.630
13.360
Tabla 1. Lecturas de escala máximas anuales (periodo común con gastos máximos anuales).
Con el programa AX se determinó que la función de distribución de probabilidades de
mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 2). Los valores extrapolados de las lecturas
de escala para distintos periodos de retorno se indican en la Tabla 2.
B.26.
5000
Tr, años
10000
2000
1000
500
4
200
50
3
100
10
5
2
1.11
1.25
20
Lectura de escala , m
1.01
30042 Salto de Agua . Lectura de escala Doble Gumbel, p=0.81
24
22
20
18
16
14
12
10
-2
-1
0
1
2
5
6
Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ]
7
8
Medidos
9
10
Calculados
Figura 2. Lectura de escala medidas y calculadas. Doble Gumbel
Tr
años
2
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
Le
m
12.28
14.17
14.68
15.09
15.67
16.16
16.72
17.54
18.2
18.87
19.76
20.48
Tabla 2. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno.
3.3 Análisis de datos de escurrimiento
Se consideraron los registros de gastos instantáneos máximos anuales (Qmi) para el
periodo común con las lecturas de escala (Tabla 3). Con el programa AX se determinó que
la función de mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 3).
B.26.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Qmi, m3/s
1307.486
2027.858
1618.382
1268.603
1306.443
1124.877
1072.657
1255.7508
1104.8962
1385.9692
1096.274
1490.3775
1476.9421
1225.7149
981.41
1383.57
1562.05247
1581.61183
1103.65046
2091.9508
1613.97501
Año
1986
1988
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Tabla 3. Gastos máximos instantáneos anuales (periodo común con Lecturas de escala máximas
anuales).
5000
10000
Tr, años
2000
1000
500
4
200
50
3
100
20
10
5
2
1.11
1.25
1.01
30042 Salto de Agua . Gasto máximo Doble Gumbel, p=0.83
Gasto máximo instáneo, m3/s
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
-2
-1
0
1
2
5
6
Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ]
7
8
Medidos
9
10
Calculados
Figura 3. Gastos máximos instantáneos medidos y calculados. Doble Gumbel
Los valores extrapolados de los gastos máximos para distintos periodos de retorno se
indican en la Tabla 4.
B.26.
Tr
Q mi
años
2
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
m3/s
1312.93
1635.8
1878.95
2093.76
2355.69
2546.88
2735.85
2984
3171.31
3358.63
3606.41
3795.2
Tabla 4. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno.
3.4 Ecuaciones de gasto-elevación
Con los datos medidos, calculados y extrapolados de los gastos y de las lecturas de escala
se analizaron los siguientes modelos: 1) Modelo polinomial con coeficientes y potencias
reales, 2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial, 3) Modelo de
tercer grado con Excel©, 4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando
elevación inicial y 5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial. Los
resultados obtenidos fueron:
1) Modelo polinomial con algoritmo genético con coeficientes y potencias reales
[1]
2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial
[2]
3) Modelo polinomio de tercer grado con Excel©
[3]
4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando elevación inicial
[4]
5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial
[5]
3
Donde : Qmi gasto máximo instantáneo en m /s, Le lectura de escala en m. Los errores
medios cuadráticos obtenidos con cada modelo se indican en la Tabla 5. En la Figura 4 se
dibujaron los valores medidos, los calculados con la DG y los calculados con todos los
B.26.
modelos obtenidos y en las Figuras 5 a 9 se dibujó cada resultado calculado contra los
datos medidos y con respecto a una función identidad.
4500
4000
3500
3000
Q, m3/s
Medidos
2500
Ec. 1
Ec. 2
2000
Ec. 4
Ec. 5
DG
1500
Ec. 3
1000
500
0
10
12
14
16
18
20
22
Le, m
Figura 4. Comparación de modelos Gasto- elevación
5000
y = 0.985x + 27.555
R² = 0.9853
r=0.9926
4500
4000
3500
Q, m3/s
3000
2500
Ec. 1
Identidad
2000
Lineal (Ec. 1)
1500
1000
500
0
10
510
1010
1510
2010
2510
3010
3510
4010
4510
5010
Q medidos, m3/s
Figura 5. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 1 con respecto a la
función identidad
B.26.
5000
y = 0.9862x + 25.129
R² = 0.9855
r=0.9927
4500
4000
3500
Q, m3/s
3000
2500
Ec. 2
Identidad
2000
Lineal (Ec. 2)
1500
1000
500
0
10
510
1010
1510
2010
2510
3010
3510
4010
4510
5010
Q medidos, m3/s
Figura 6. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 2 con respecto a la
función identidad
5000
y = 0.9944x + 10.27
R² = 0.9944
r=0.9972
4500
4000
3500
Q, m3/s
3000
2500
Ec. 3
Identidad
2000
Lineal (Ec. 3)
1500
1000
500
0
10
510
1010
1510
2010
2510
3010
3510
4010
4510
5010
Q medidos, m3/s
Figura 7. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 3 con respecto a la
función identidad
B.26.
5000
y = 0.8775x - 224.45
R² = 0.9858
r=0.9929
4500
4000
3500
Q, m3/s
3000
2500
Ec. 4
Identidad
2000
Lineal (Ec. 4)
1500
1000
500
0
10
510
1010
1510
2010
2510
3010
3510
4010
4510
5010
Q medidos, m3/s
Figura 8. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 4 con respecto a la
función identidad
y = 0.9862x + 25.14
R² = 0.9855
r=0.9927
5000
4500
4000
3500
Q, m3/s
3000
2500
Ec. 5
Identidad
2000
Lineal (Ec. 5)
1500
1000
500
0
10
510
1010
1510
2010
2510
3010
3510
4010
4510
5010
Q medidos, m3/s
Figura 9. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 5 con respecto a la
función identidad
B.26.
Ecuación
1
2
3
4
5
EMC
9059.88344
8947.15565
3440.4905
217912.057
8947.15559
Tabla 5. Error medio cuadrático cometido por cada modelo
4. Conclusiones
De las Figuras 5 a 9 y de la Tabla 5 se observa que la mayor correlación y el menor error
medio cuadrático se obtuvo con el modelo polinomial de la ecuación (3), seguido del
modelo potencial de la ecuación (5) que considera una elevación inicial y que fue
obtenido con la herramienta Solver© de Excel©, este resultado es similar al modelo de la
ecuación (2) en el que se usó un programa de algoritmos genéticos, pero que no considera
una elevación inicial. El mayor error medio cuadrático se obtuvo con el modelo de la
ecuación (4) y de la figura 8 se observa que aunque la correlación es alta, los datos quedan
por debajo de la función identidad. Con los modelos obtenidos se pueden estimar gastos
de diseño analizando directamente a la función de distribución de las lecturas de escala.
Agradecimientos
Se agradece por el apoyo a la investigación al proyecto PAPIIT IN101514 de la DGAPA,
UNAM, México.
Referencias
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flow rates for dam spillways with large regulating capacity. Hydrological Sciences Journal 57 (3),
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obras civiles de CFE, Hidrología. Capítulo A.1.6. Escurrimiento.
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B.26.
Guzmán G. H, Domínguez M.R, Arganis Juárez M.L. y González V. F. 2014. Regionalización de
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Jiménez-Espinoza, M. 1996. Programa AX. Área De Riesgos Hidrometeorológicos. Centro
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Flood Frequency Analysis, Water Resources Research 20(7), 847-856.
Secretaría de Recursos Hidráulicos. 1969. Boletín Hidrológico No. 38. Tomo II.
B.26.