MAT 041 – PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Casa Central
Profs. Esteban Henrı́quez C. – Patricio Videla J.
Ayuds. Francisco Cuevas P. – Cristian Donoso B.
Sergio Rodrı́guez D. – Fernando Villegas V.
MAT 041 – PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Sesión #10 - 02.11.2009
1. Supóngase que un estudiante seleccionado al azar desde una población determinada va a realizar dos pruebas: A y B. Supóngase además, que la media de la calificación de la prueba A es 85 y la desviación estándar
16, que la media de la calificación de la prueba B es 90 y la desviación estándar 10. Considere que ambas
calificaciones siguen una distribución normal bivariada y que la correlación entre ambas es de 0,8.
a. Si la calificación del estudiante en la prueba A es 80, ¿cuál es la probabilidad de que su calificación en
la prueba B sea mayor que 90?
b. Determine la probabilidad de que el estudiante logre una calificación mayor en la prueba A que en la B.
c. Si se selecciona al azar un estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus calificaciones en
las dos pruebas sea mayor que 200?
d. Se definen dos indicadores de rendimiento:
Y1 = A − 2B
Y2 = 2A + αB
Calcule el valor de α tal que los indicadores sean independientes entre sı́.
2. Un cierto grupo de empresarios ha conformado una sociedad que desea estudiar la viabilidad comercial de
un nuevo producto. El respectivo estudio de mercado llevado a cabo por un grupo de expertos consiste en un
análisis que centra su atención en tres etapas: el entorno general, el consumidor y la competencia, las que
son estudiadas en forma sucesiva. Sean X1 , X2 y X3 los tiempos (en semanas) dedicados por los expertos a
~ = (X1 , X2 , X3 )
analizar el entorno global, al consumidor y a la competencia, respectivamente. Suponga que X
es un vector aleatorio normal trivariado con vector de medias
~µ = (16, 20, 18)t
y matriz de varianzas y covarianzas dada por


 25 15 0 


Σ =  15 16 13 


0 13 24
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo dedicado a analizar a la competencia se encuentre entre 8,2 y
27,8 semanas, si se sabe que se invirtieron 20 semanas en analizar al entorno?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudio de mercado demore más de 65 semanas en ser realizado?
c. Se definen dos indicadores como medidas de eficiencia, los que comparan los tiempos de ejecución de
dos etapas consecutivas del estudio:
Primer indicador:
Segundo indicador:
Y1 = 2X1 − X2
Y2 = X2 − X3
i. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer indicador supere al segundo en 3,1 unidades?
ii. Si el primer indicador tuvo un valor de 19 semanas, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sea
de a lo menos 7 semanas?
LATEX 2ε \ EHC – 01 de noviembre de 2009
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Casa Central
Profs. Esteban Henrı́quez C. – Patricio Videla J.
Ayuds. Francisco Cuevas P. – Cristian Donoso B.
Sergio Rodrı́guez D. – Fernando Villegas V.
3. Se elaboran productos para ser utilizados en obras de construcción de gran envergadura. Debido a la gran
relevancia de éstos se tiene que todos ellos son revisados tras su elaboración antes de ser enviados a las
bodegas, para su posterior despacho. A causa de los anterior, cuando se detecta que la máquina ha elaborado
en un dı́a el primer producto fuera de los lı́mites de especificación exigidos por la normativa vigente, se
detiene completamente la producción del dı́a para revisar la máquina y ponerla a punto para el trabajo del
dı́a siguiente. Suponga que la cantidad de productos que cumplen con la especificación, hasta antes de
encontrar el primero de ellos que se encuentre fuera de los rangos de tolerancia permitidos, son modelados
por la siguiente función de cuantı́a:
!x
1
1
1−
, x ∈ {0, 1, 2, . . .} , θ ≥ 1
fX (x, θ) =
θ
θ
Sobre la base de una muestra aleatoria de n dı́as de producción:
a. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de θ. Verifique que es insesgado y consistente en media
cuadrática.
b. Verifique que el estimador de máxima verosimilitud de la varianza de X no es insesgado, ¿qué acontece
si n → ∞?
Ayuda: Considere que Y = X + 1 ∼ Geo(1/θ)
4. Suponga que el tiempo de vida, en años, de un componente eléctrico de un particular tipo de automóviles se
encuentra bien modelado por:



β α β x−(β+1) x > α ; α > 0
fX (x; α, β) = 

0
e.t.o.c.
Suponga que X1 , X2 , . . . , Xn es una m.a.(n) componentes eléctricos y que β > 2 es una constante conocida.
a. Verifique que el estimador de máxima verosimilitud de α no es insesgado y utilice su resultado para
construir uno que sı́ lo sea.
α estime insesgadab. Se propone e
α = K X n como un estimador de α. Determine la constante K tal que e
mente a α.
c. Compare los estimadores insesgados encontrados en (a) y (b) desde el punto de vista de la eficiencia
relativa, ¿cuál de ellos es mejor?
LATEX 2ε \ EHC – 01 de noviembre de 2009