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(3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS
INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS DE NACIMIENTO Y
MUERTE.
Ecuaciones de equilibrio. Condición de E.E.
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO:
La cola M/M/1. Ilustración del comportamiento.
MODELOS DE COLAS EXPONENCIALES.
Trabajo de servidores en paralelo.
Casos importantes:
M/M/s , M/M/s/K , M/M/s/./N. Propiedades.
Longitudes medias y Tiempos de permanencia.
Cap. 15 Hillier F.S., Lieberman G.J. “Introduction to Operations Research” Holden day Inc. 1986.
Cap. 4 Gross D., Harris C.M."Fundamentals of queueing theory" John Wiley and Sons. 1998.
I.O.E. Diplomatura de Estadística
TEORIA DE COLAS
UPC
TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL
PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria
τi-1
τi
θ
I.O.E. Diplomatura de Estadística
s
UPC
Máquina 1
τ1
Máquina 2
τ2
τ
N=2
N=3
N=20
N=5
N=50
Palm
(1943)
PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE
• "Nacimiento" indica llegada al S.E
• "Muerte" indica salida del S.E.
Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. con
distribución dependiente del estado N del sistema.
t
τi1
τ
i2
τ
i3
……
τik
τik
1. Si N (t ) = n el tiempo entre llegadas τ ~ exp. de parámetro λ n .
2. Si N (t ) = n el tiempo de servicio ~exp. De parámetro µ n .
Sólo una llegada o una salida al/del sistema puede darse en
cada instante t.
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
Diagrama de tasas de transición
Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema en
un instante.
Tasas del proceso de llegadas al S.E.
λ1
λ0
0
1
2
λn
λn-1
λ2
•••
n-1
µn
µ2
µ3
µ1
Tasas del proceso de servicio en el S.E.
λn+1
n+1
n
µn+1
•••
µn+2
La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimen
estacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama de
tasas de transición.
λ1
λ0
1
0
2
µ2
µ1
Estado
0
1
2
M
n −1
n
M
λn
λn-1
λ2
•...
••
µ3
Tasa incidente
µ1 ⋅ P1
λ0 ⋅ P0 + µ 2 ⋅ P2
λ1 ⋅ P1 + µ 3 ⋅ P3
µn
• •...
•
n+1
n
n-1
λn+1
µn+1
µn+2
= Tasa emergente
=
λ0 ⋅ P0
(λ1 + µ1 )⋅ P1
=
(λ2 + µ 2 )⋅ P2
=
M
λn−2 ⋅ Pn−2 + µ n ⋅ Pn =
λn−1 ⋅ Pn−1 + µ n+1 ⋅ Pn+1 =
M
(λn−1 + µ n−1 )⋅ Pn−1
(λn + µ n )⋅ Pn
Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar N(t), por
tanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo K clientes,
habrán K+1 ecuaciones.
Resolución del sistema de ecuaciones

P1

P
2

P3




Pn

P
 n+1


λ0
=
⋅ P0
µ1
λ0λ1
λ1
λ1
1
=
⋅ P1 + ⋅(µ1 ⋅ P1 −λ0 ⋅ P0 ) = ⋅ P1 =
⋅ P0
µ2
µ2
µ2
µ1µ2
λ0λ1λ2
λ2
λ2
λ2
1
1
=
⋅ P2 + ⋅(µ2 ⋅ P2 −λ1 ⋅ P1 ) = ⋅ P2 + ⋅(µ1 ⋅ P1 −λ0 ⋅ P0 ) = ⋅ P2 =
⋅ P0
µ3
µ3
µ3
µ3
µ3
µ1µ2µ3
M
λn−1
λn−1
λn−1
λ0λ1 Kλn−1
1
1
=
⋅ Pn−1 + ⋅(µn−1 ⋅ Pn−1 −λn−2 ⋅ Pn−2 ) = ⋅ Pn−1 + ⋅(µ1 ⋅ P1 −λ0 ⋅ P0 ) = ⋅ Pn−1 =
⋅ P0
µn
µn
µn
µn
µn
µ1µ2 Kµn
λn
λ0λ1 Kλn
= L=
⋅ Pn =
⋅ P0
µn+1
µ1µ2 Kµn+1
M
λ0 λ1 Kλn−1
Cn =
µ1 µ 2 K µ n
n = 1, 2,K ;
λ0 λ1 Kλn−1
⋅ P0 = Cn ⋅ P0
Pn =
µ1 µ 2 K µ n
∞
∑
n =0
Pn =
∞
∑
n =0
C0
n = 1, 2,K
Cn ⋅ P0 = 1 → P0 =
1
∞
∑
n =0
Las probabilidades de estado
estacionario quedan definidas si:
=1
Cn
∞
∑
n =0
Cn < +∞
En caso de que el S.E. pueda contener sólo K clientes como máximo,
el sumatorio se extiende de n=0 a n=K y siempre será finito.
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: el modelo M/M/1
Hipótesis del modelo:
• Tiempos entre llegadas i.i.d. de ley exponencial con parámetro λn = λ .
• Tiempos de servicio i.i.d. según una ley exponencial de parámetro µ n = µ .
• Un único servidor, s = 1.
λn = λ n = 0,1, 2,K
µ n = µ n =1, 2,K
λ
λ
1
0
µ
•...
••
2
µ
µ
λ
λ
λ
n+1
n
n-1
µ
λ
µ
• •...
•
µ
➨
➨
λ
=
ρ
Hay régimen estacionario si el factor de carga del S.E. es
µ <1
Dado que ρ < 1
λ0λ1 Kλn−1
Cn =
µ1µ2 Kµn
n
λ
=   = ρ n
µ
n = 1, 2,K C0 = 1 →
Pn = Cn ⋅ P0 = ρ n ⋅ P0 n = 0,1, 2,K
∞
∑ P
n = 0
P0 =
n
∑ Cn
n=0
y por tanto,
=
1
∞
∞
∑ C
n
n = 0
=
1
∞
∑ ρ
n=0
n
P
0
= 1
1
=
= 1− ρ
1
1− ρ
Pn = Cn ⋅ P0 = ρ n ⋅ (1− ρ ) n = 0,1, 2,K
(Distribución geométrica)
EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1
COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:
1.
En promedio la afluencia
de
clientes
al
S.E.
sobrepasa la capacidad de
trabajo del Sistema de
Servicio:
N(t)
N(t) PRESENTA UNA
TENDENCIA CRECIENTE
2.
El Sistema de Servicio tiene
suficiente capacidad de
trabajo frente a la afluencia
de clientes:
N(t) puede crecer en ocasiones,
pero el S.E. siempre retorna al
estado 0 (vacío)
I.O.E. Diplomatura de Estadística
ρ≥1
t
ρ <1
N(t)
t
UPC
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema ( ρ < 1 )
∞
∞
n=0
n=0
∞
∞
L = ∑n ⋅ Pn = ∑n ⋅ (1− ρ)⋅ ρ = (1− ρ)∑n ⋅ ρ = ρ ⋅ (1− ρ)∑n ⋅ ρ n−1 =
n
n
n=0
n=0
d  ∞ n
d  1 
= ρ ⋅ (1− ρ)  ∑ ρ  = ρ ⋅ (1− ρ)⋅ 
 =
dρ  n=0 
dρ 1− ρ 
ρ
1
λ
= ρ ⋅ (1− ρ)⋅
=
=
2
(1− ρ) (1− ρ) µ − λ
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola en un sistema de
espera M/M/1 ( ρ < 1 )
∞
∞
∞
n=1
n=1
n=1
2
Lq = ∑(n −1)⋅ Pn = ∑n⋅ Pn −∑Pn =(L) −(1− P0 ) =
ρ
ρ
λ2
= (L) −(ρ) =
−ρ =
=
1− ρ
1− ρ µ ⋅ (µ −λ)
UTILIZACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LITTLE
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
Distribución de la v.a. tiempo de
permanencia en el S.E. de un
cliente:
w ~ exp. E[w]=W
TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL
PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria
τi-1
τi
θ
I.O.E. Diplomatura de Estadística
s
UPC
TRABAJO DE SERVIDORES EN PARALELO
La variable aleatoria U definida como el mínimo de entre n
variables aleatorias independientes y exponenciales T1 , L, Tn ,
de parámetros respectivos α1 ,L,α n , sigue una ley exponencial
n
αi .
de parámetro α = ∑
i =1
Î es decir, U = Min{T1 ,K, Tn } y por tanto la función de distribución de U ,
FU (t) = P({U ≤ t}) =1− P({U > t}) =1− P({T1 > t,K,Tn > t}) =1− P({T1 > t})LP({Tn > t}) =
n
t
−
α
−αnt
−α1t
∑
i =1 i
=1− e Le =1− e
=1− e−α t
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
La interpretación que puede darse de la propiedad en el caso del tiempo entre
llegadas es que si la población esta constituida para diferentes clases de clientes
que llegan cada una al sistema de espera según una ley exponencial vinculada a
la clase, entonces el tiempos entre las llegadas de 2 clientes cualesquiera sigue
una ley exponencial, o el que es equivalente, la población puede tratarse desde
el punto de vista de la distribución entre llegadas al sistema de espera como si
fuera homogénea.
Fuente 1
Fuente 2
Fuente n
α1
α2
α1 + α2 + …+αn
αn
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
Î Si hay n servidores, el tiempo que resta hasta la próxima finalización
de servicio no depende del instante ni del servidor que ha completado
el último servicio y sigue una distribución exponencial, lo que permite
tratar sistemas de espera con n>1 servidores, como si tuvieran un
único servidor pero que trabaja tan rápido como los n juntos.
Î Supongamos n fuentes exponenciales y sean r1 …rn los intervalos de tiempo
transcurridos desde el último suceso para las fuentes 1 … n respectivamente.
Consideremos variables aleatorias s1 …sn , tiempos contados desde el instante
actual hasta el próximo suceso para cada una de las n fuentes.
Por la propiedad de ausencia de memoria las
variables aleatorias s1, … sn también se
distribuyen exp. con parámetros α1 , α2 …, αn
el tiempo contado a partir del instante actual
hasta que algún otro suceso proviniente de
las n fuentes se produzca, se distribuye
r1
s1
r2
rn
s2
sn
n
exponencialmente con parámetro
α = ∑αi .
i =1
Instante actual
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
MODELO M/M/s
•
•
•
Tiempos entre llegadas τ i.i.d. de ley exp. con parámetro λ.
s > 1 servidores iguales.
Tiempo de servicio x i.i.d. según una ley exp. de parámetro µ.
λ
λ
1
0
µ
λn = λ
n ⋅ µ
µn = 
s ⋅ µ
λ
2
2µ
•••
3µ
n = 0,1, 2,K
n =1, 2,K, s − 1
n = s , s + 1,K
λ
λ
s+1
s
s-1
sµ
λ
sµ
•••
sµ
λ
<1
Si el factor de carga ρ del S.E. ρ =
s⋅µ
 1  λ n
   ⋅ P0
n!  µ 
Pn = Cn ⋅ P0 = 
s
n−s
 1  λ   λ  ⋅ P
0
 s !  µ   sµ 

∞
∑
P0 =
1
∞
∑
n =0
Cn
n =0
=
n
Pn =
1
∞
∑
n =0
I.O.E. Diplomatura de Estadística
n = 1, 2,K, s − 1
n = s , s + 1,K
n = 1, 2,K, s − 1
n = s , s + 1,K
Cn ⋅ P0 = 1 →
∞ 1 λ 
1 λ 
∑
  +∑  
n =0 n ! µ
  n=s s !  µ 
s −1
 1  λ n
  
λ0 λ1 Kλn−1  n !  µ 
Cn =
=
µ1 µ 2 K µ n  1  λ  s  λ  n − s
  
 s !  µ   sµ 

s
λ 
 
 sµ 
n− s
=
1
n
s
1 λ 
1 λ  1
+
 
 
n =0 n ! µ
  s! µ  1− ρ
s −1
∑
UPC
Lq =
(
n − s )⋅ Pn = ∑ n ⋅ Ps + n
n=s
n =0
∞
∞
∑
s
s
1 λ 
s +n−s
= ∑ n   (ρ )
P = ... = 0
n =0 s ! µ
 
∞
ρ
1 λ 
=   P0
2
s! µ 
(1 − ρ )
⋅

λ
1
L = ∑ n ⋅ Pn = λ ⋅ W = λ ⋅ Wq +  = Lq +
µ
µ
n =0

∞
Resumen del cálculo de una cola M/M/s (se conocen λ, µ, s)

Lq
Wq =

s
λ
1  λ  P0 ρ

→
P 0 → Lq =  
2
s!  µ  (1− ρ )

λ
L
 L = Lq + µ → W = λ

I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
s
1  λ  n−s
P({n ≥ s}) = ∑ Pn = ∑   ρ P0 =
n= s
n=s s ! µ
 
∞
∞
s
s
∞
1 λ 
1  λ  P0
n
∑
=   P0 ρ =  
s !  µ  n =0
s! µ  1− ρ
Fórmula C-Erlang
Distribución
de Poisson
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
El modelo M/M/s/K
Sistema de espera con limitación de capacidad que presupone:
1. Tiempos entre llegadas τ i.i.d. exp. de parámetro λ n = λ .
2. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro
µ.
3. Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.
4. El número de clientes al sistema de espera es ≤ K.
El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K
Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:
λ
λ
1
0
µ
➨
2
2µ
•••
3µ
λ
λ
λ
sµ
••• K
s+1
s
s-1
λ
sµ
sµ
Siempre alcanzará régimen estacionario.
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
 1  λ n
  
 n!  µ 
s
n−s
λ0 λ1 K λ n −1  1  λ   λ 
=    
Cn =
µ1 µ 2 K µ n  s !  µ   sµ 

0

n = 1, 2,K, s − 1
n = s, s + 1,K, K
n = K + 1, K + 2,K
➨ Lo que facilita el estado del sistema en régimen estacionario:
∞
∞
∑ P = ∑C
P0 =
n =0
1
=
∞
∑C
n =0
n
n
n =0
n
P n = C n ⋅ P0
⋅ P0 = 1 →
1
n
K
1 λ
1 λ
  + ∑  
∑
n =0 n !  µ 
n=s s !  µ 
s −1
i C0 = 1
s
 λ 
 
 sµ 
n−s
λ
=
≠1 .
ρ
;
s⋅µ
Si K no es demasiado alto es aconsejable utilizar las fórmulas
generales para procesos de nacimiento y muerte en equilibrio.
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
∞
K −1
K −1
n =0
n =0
n =0
λ = ∑ λn ⋅ Pn = ∑ λ ⋅ Pn = λ ⋅ ∑ Pn = λ ⋅ (1 − PK )
Si N (t) < K
Si N (t) = K
Población
Sistema de Espera
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
• La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola
s
s
K −s
1 λ
1 λ
s+n−s
Lq = ∑ (n − s ) ⋅ Pn = ∑ n   (ρ )
P0 =   P0 ∑ nρ n =...
n=s
n =0
n =0
s!  µ 
s!  µ 
∞
K −s
s
1 λ
ρ
K −s
K −s
(
(
)
−
ρ
−
−
⋅
ρ
⋅ (1 − ρ )).
.... =   P0
1
K
s
2
s!  µ 
(1 − ρ )
λ
=
≠1 .
ρ
En las fórmulas presentadas se ha supuesto
s⋅µ
• La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema.

1
λ
L = ∑ n ⋅ Pn = λ ⋅ W = λ ⋅ Wq +  = Lq +
µ
µ
n =0

∞
Aplicación de las fórmulas de Little para el calculo de W y Wq .
L
[
]
W = EW =
λ
[ ]
Wq = E Wq =
Lq
λ
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
MODELO M/M/s/./N
S.E. con población finita (N) que presupone:
• Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según ley
exp. de parámetro λ
• Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro µ.
• Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.
• Una población finita de clientes limitado al valor N. Para simplificar
se supone N > s.
Es un S.E. cerrado: Hay siempre N clientes (población+S.E.)
Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población
Población
Sistema de Espera
EJEMPLO: TALLER DE REPARACIONES
En un taller de reparación de motores hay 3 mecánicos.
Atienden un conjunto de 12 motores de una planta.
• Cada mecánico repara un motor en un tiempo x ~ exp. E[x]=1día.
• Tras repararse un motor es puesto en servicio inmediatamente.
• El tiempo entre averías de un motor τ ~ exp. E[τ]=20 días.
Motores
Población
funcionando
TALLER
Sistema de Espera
M/M/s/./N: DIAGRAMA DE TASAS
(N-1)λ
Nλ
1
0
2
2µ
µ
•••
n

λ
N!
 

 (N − n )! n !  µ 
s
n−s
λ  λ 
λ0 λ1 K λn −1 
N!
   
=
Cn =
µ1µ 2 K µ n  (N − n )! s !  µ   sµ 

0

∞
∑
P0 =
1
∞
∑
n =0
Cn
n =0
=
Pn =
∞
∑
n =0
i C0 = 1
n = s, s + 1, K , N
n = N + 1, N + 2, K
Cn ⋅ P0 = 1 →
1
n
sµ
n = 1, 2, K , s − 1
N
λ 
λ 
N!
N!
∑
  +∑
 
n =0 (N − n )! n ! µ
  n=s (N − n )! s !  µ 
s −1
sµ
sµ
3µ
N
N-1
N-2
N-3
λ
2λ
3λ
(N-2)λ
s
λ 
 
 sµ 
n−s
No se puede conseguir
una expresión analítica
compacta y los cálculos
con población finita se
desarrollan a partir de
tablas específicas.
∞
N
n=s
n=s
Lq = ∑ (n − s ) ⋅ Pn = ∑ (n − s ) ⋅ Pn
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema se puede
deducir a partir de
Lq ,
 s −1 
L = ∑n ⋅ Pn = ∑n ⋅ Pn + ∑n ⋅ Pn = ∑n ⋅ Pn + Lq + s ⋅ 1 − ∑Pn 
n =0
n =0
n=s
n =0
 n =0 
∞
s −1
s −1
N
➨ Cálculo de la tasa media efectiva de llegadas por unidad de tiempo,
∞
N
n =0
n =0
N
N
n =0
n =0
λ = ∑ λn ⋅ Pn = ∑ (N − n )⋅ λ ⋅ Pn = ∑ N ⋅ λ ⋅ Pn − ∑ n ⋅ λ ⋅ Pn =
N
= N ⋅ λ − λ ⋅ ∑ n ⋅ Pn = N ⋅ λ − L ⋅ λ ⋅ = (N − L )⋅ λ
n =0
➨ La aplicación de las fórmulas de Little permite deducir el tiempo medio de espera en el
sistema W y en la cola de los sistema W q
L
W = E[W ] =
λ
y
[ ]
Wq = E Wq =
Lq
λ .
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
SESION DE PROBLEMAS:
USO de QTS_EXCEL
probability
M/M/c system-size probabilities
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
2
4
6
8
10
size
CDF for M/M/c line waiting times
1,00
cdf
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
0,5
1
time
1,5
Terminal de facturación de equipaje
Un terminal de facturación dispone de 2 operarios que atienden los clientes que
llegan según una distribución de Poisson de media 80 clientes por hora y esperen en
una cola única hasta que alguno de los operarios esté libre. El tiempo requerido para
atender un cliente esta distribuido exponencialmente con media 1.2 minutos.
1. Cual es el número esperado de clientes en la terminal de hacecturación?
2. Cual es el tiempos medios que un clientes pasa a la terminal de hacecturación?
3. Qué porcentaje del tiempo está libre un determinado operario?
Modelo M/M/2
Tasa de llegadas
λ = 80 clientes/hora
ρ=
λ
80
=
= 0.8
s ⋅ µ 2 ⋅ 50
60
µ
=
= 50 clientes/hora.
Tasa de servicio por operario
1.2
s
1 λ 
P0 → Lq = s! 
µ
 

Lq
=

Wq λ
ρ

P0 → 
2
(1−ρ) L = + λ →W = L
 Lq µ
λ

I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
P0 =
1
n
s
1 λ
1 λ 1


 
+
∑


s! µ  1 − ρ
n =0 n !  µ 
s −1
=
s
1
2
n
1  80 
1  80 
1
+




∑
2!  50  1 − 0.8
n = 0 n !  50 
1
= 0.111
2
1 λ
1 8
0 .8
ρ
Lq =   P0
=   (0.111)
= 2.84
2
2
s! µ 
(1 − 0.8)
(1 − ρ ) 2!  5 
1. El
número
medios
de
clientes
80
λ
L = Lq + = 2.84 +
= 4.44 clientes.
50
µ
en
el
terminal
de
clientes
facturación
es
L 4.44
=
=
= 0.0555 horas
W
2. Un clientes pasa en promedio en el terminal de facturación
λ
80
= 3.33 minutos.
3. 1 ⋅ P0 + 1 2 ⋅ P1 = (1 + 1 2 ⋅ C1 ) ⋅ P0 = (1 + 1 2 ⋅ 8 5) ⋅ P0 = 0.2
■
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
El servicio de urgencias de un hospital
El servicio de urgencias de un hospital dispone permanentemente de un médico de
guardia, pero se han detectado tiempos de espera desaconsejables en muchas ocasiones,
de manera que Dirección del Hospital quiere avaluar los beneficios de disponer de un
segundo médico de urgencias. La tasa de llegada de enfermos al servicio de urgencias
es de 1 paciente cada 30 minutos y el tiempo medio de servicio es de 20 minutos para
paciente. Determinar los parámetros ρ , P0 , Lq , L, Wq i W con s=1 y s=2 médicos de
guardia. Determinar la función de distribución de probabilidad del tiempo de espera hasta
ser examinado un paciente en ambas situaciones.
En el caso M/M/1,
ρ=
2 1
23
ρ
λ 2
=
= 2 pacientes
L=
= ; P0 = 1 − ρ = 1 − =
1− ρ 1− 2 3
µ 3
3 3
(2 3) = 4 pacientes
ρ2
Lq =
=
1− ρ 1− 2 3 3
2
W=
L 2
= = 1 hora
λ 1
Wq = ρ ⋅ W = (2 3)⋅ 1 =
2
hora
3
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
s
λ
2
1
=
=
=
ρ
En el caso M/M/2,
s ⋅ µ 2⋅3 3 .
P0 =
P0 → Lq =
1
n
s
1 λ
1 λ 1
  +  
∑
s! µ  1 − ρ
n =0 n !  µ 
s −1
s
=
1 λ 
 
s! µ
 

Lq
=

W
q
λ
ρ

P0 2 → 
(1−ρ) L = + λ →W = L
 Lq µ
λ

1
n
2
1 2
1 2
1
+
 
 
∑
!
3
2
!
n
 3  1−1 3
 
n =0
1
=
1
2
2
1λ
1 2 1 1 3
1
ρ
=  
=
Lq =   P0
pacientes
2
2
s! µ 
(1 − ρ ) 2!  3  2 (1 − 1 3) 12
L = Lq +
W=
λ 1 2 3
= + =
pacientes
µ 12 3 4
L 3 1 3
= ⋅ = horas
λ 4 2 8
Wq =
Lq
λ
=
1 1 1
horas
⋅ =
12 2 24
■
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
Ejemplo:
El Asesor
Fiscal
El asesor
fiscal
Un asesor fiscal dispone de un local para atender a sus clientes, los cuales se concentran
mayoritariamente durante los meses de mayo y junio. El local tiene una capacidad
máxima de 8 asientos en espera, el cliente se va si no encuentra un asiento libre, y el
tiempo entre llegadas de clientes se puede considerar distribuido
exponencialmente según un parámetro λ = 20 clientes por hora en período punta. El
tiempo de una consulta esta distribuido exponencial con una media de 12 minutos,
1. ¿Cuantas consultas por hora realizará en promedio?
2. ¿Cual es el tiempo medio de permanencia en el local?
El modelo es M/M/1/9
 n 1− ρ
ρ ⋅
Pn = Cn ⋅ P0 = 
1 − ρ K +1

0
ρ=
λ 20
=
=4
µ 5
n = 0,1, 2,K, K
n = K + 1, K + 2,K
K =9,
P9 = C 9 ⋅ P0 = ρ 9 ⋅
1− ρ
1− 4
9
4
=
⋅
= 0.75
1 − ρ 10
1 − 410
∞
λ = ∑ λ ⋅ Pn = λ ⋅ (1 − P9 ) = 20 ⋅ (1 − 0.75 ) = 5 clientes/hora
n =0
L=
(K + 1)ρ
ρ
−
1− ρ
1 − ρ K +1
K +1
)
)
L 8.6
)
4
10 ⋅ 4
=
= 1.73 horas.
=
−
= 8.6 clientes W = E[W ] =
10
1− 4 1− 4
5
λ
10
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
Modelo de Reparación de Avionetas
Una pequeña compañía aérea de una isla de las Antillas dispone de 5 avionetas, que hay
que reparar con una tasa de 1 cada 30 días. Se disponen de 2 técnicos para reparaciones,
cada uno de los cuales necesita un promedio de 3 días para una reparación. Los tiempos
entre averías y de reparación son exponenciales.
1. Determinar el número medios de avionetas en funcionamiento.
2. Calcular el tiempo medio que una avioneta esta fuera de servicio cuando requiere una
reparación.
3. Calcular el porcentaje del tiempo que un determinado técnico esta libre.
1
=
λ
El modelo es exponencial y de población finita: M/M/2//5. La tasa de averías es
30
avionetas por día y la tasa de reparaciones es µ =
1
avionetas por día.
3
El número medios de avionetas en funcionamiento es el número total de avionetas, N,
menos el número esperado de avionetas en reparación, L:
N
N − L = 5 − L = 5 − ∑ n ⋅ Pn .
n =0
Hay que determinar las Pn = C n ⋅ P0 y para esto hacen falta las Cn y P0 .
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
n

5!
1
 

λ0 λ1 K λn −1  (5 − n )!n !  10 
=
Cn =
µ1 µ 2 K µ n  5!  1  2  1  n − 2
 (5 − n )!2!  10   2 ⋅10 
n =1
y C0 = 1
n = 2,K,5
n

5!
 1
  ⋅ P0

 (5 − n )! n !  10 
Pn = C n ⋅ P0 = 
2
n−2
5
!
1
1





⋅ P0
 (5 − n )!2 !  10   2 ⋅10 
i
1
0.5
n = 2, K ,5
3
4
5
C
0.015 0.0015 0.000075
∞
∞
1
1
=
⋅
=
→
=
=
= 0.619
P
C
P
P
1
∑
∑
n
n
0
0
5
+
+
+
+
+
1
0
.
5
0
.
1
0
.
015
0
.
0015
0
.
000075
n =0
n =0
∑ Cn
i
0
1
n=1
2
0.1
n =0
i
Pi
0
0.619
1
0.310
2
0.062
3
0.009
4
0.001
5
0.00004
N
➨
N − L = 5 − L = 5 − ∑ n ⋅ Pn = 5 − 0.465 = 4.535 avionetas en promedio en funcionamiento.
n =0
I.O.E. Diplomatura de Estadística
UPC
➨ El tiempo medio que una avioneta pasa en reparación es W.
W =
L 0.465
=
= 3.08 días
λ 0.151
1
1
(
)
(
)
N
L
5
0
.
465
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅ (4.535) = 0.151
λ
λ
donde
30
30
➨ La fracción de tiempo que un determinado técnico pasa inactivo es
P0 + 0.5 ⋅ P1 = 0.619 + 0.5 ⋅ 0.310 = 0.774 .
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( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALES
Y REDES DE COLAS
• INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS.
Concepto de red abierta y cerrada.
Redes abiertas y Teorema de Jackson.
• MODELOS NO EXPONENCIALES
Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine.
Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1.
Uso de QTS_EXCEL.
• APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s.
Aproximación de Allen-Cuneen.
Aproximaciones para colas congestionadas
(Heavy Traffic)
Cap. 5 Allen A. O. “Probability, Statistics and Queueing Theory” Academic Press. 1998.
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