Clase 6 Guía del alumno Segundo Medio MAS NEM

Matemática
GUINV011M2-A16V2
Guía: Cuando la forma nos asemeja
Matemática - Segundo Medio
Sección 1
Objetivos
Me concentro
• Identificar proporcionalidad entre
figuras.
• Reconocer y aplicar los criterios de
semejanza en los triángulos.
Tiempo estimado: 10 minutos
Lee con atención la siguiente situación problemática y responde las preguntas.
La siguientes dos fotografias serán reimpresas.
Al hacerlo, se obtienen las siguientes imágenes.
Si comparamos las imágenes originales con las resultantes, ¿cuáles resultaron proporcionales?
Para decidir, ¿importa el tamaño de la fotografía?
Sí
No
Para que resulten “imágenes proporcionales”
estas deberían cambiar:
¡ los rasgos en diferentes porcentajes.
¡ los rasgos en igual porcentaje.
¡ los ángulos que tenga el rostro.
2
Cpech - Nivelación
1. ¿En qué te fijaste para decidir? Discute junto a tus
compañeros(as) tu respuesta.
Cuando la forma nos asemeja
Sección 2
Desarrollo iento
mi conocim
Tiempo estimado: 35 minutos
Significa de igual medida.
Ten presente...
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes ,
y sus lados correspondientes son proporcionales.
Ejemplo:
Significa que la razón entre estos
lados es siempre la misma.
F
C
Este símbolo significa que
son semejantes.
A
B
AB es correspondiente a DE
BC es correspondiente a EF
AC es correspondiente a DF
D
E
Los lados correspondientes están
en razón: 1:3 = k, ya que
AB ___
BC ___
AC
1
___
=
=
= __ = k
DE
EF
DF
3
5
4
3
___
= ___ = ___
15
12
9
1
__
3
Aplicación de semejanza en situaciones reales
Mapas
Planos
Reducciones
Recuerda que los lados de
una figura, se nombran
considerando las 2 letras
mayúsculas de sus extremos.
Podemos destacar que una
característica entre figuras
semejantes, es que tienen la
misma forma entre si, pero
diferente tamaño
Ampliaciones
Ejercitando
30x40
16x24
11x16
8x12
Para la impresión de fotografías, en una tienda, ofrecen los siguientes tamaños
en centímetros. Según estas medidas, ¿qué tamaños de fotografías resultan
verdaderamente proporcionales o semejantes entre sí?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Cpech - Nivelación
3
Matemática - Segundo Medio
Semejanza entre figuras geométricas.
Observa cada par de figuras y decide si son o no semejantes entre sí.
L
P
45º
53º
3 2 cm
3 cm
J
¡ Sí
¡ No
3 cm
45º
5 cm
3 cm
K
O
4 cm
37º
Q
¿Cuál es la razón entre los lados? ____
Para determinar si hay proporcionalidad,
¿cómo decides qué lados comparar?
¡ Relaciono el ángulo congruente y el lado opuesto a él.
¡ Considero el lado entre ángulos de igual medida.
¡ Considero los lados que están en la misma posición.
¡ Relaciono los tamaños.
Criterios de semejanza en triángulos
Criterio ángulo-ángulo
Dos triángulos son semejantes, si tienen dos pares de ángulos
correspondientes congruentes (AA).
C
Criterio
s:
Son una
regla qu
e
proporc
iona un
a
condició
para qu
n
e se
determin tome una
ación o
decisión
.
D
~
B
A
B
E
F
Con este criterio NO
necesitas conocer la medida
de sus lados.
Los triángulos ABC y DEF son semejantes.
Escribe los pares de lados correspondientes.
______________________
______________________
4
Cpech - Nivelación
¿Cómo comprobarías que el tercer par de ángulos
también es congruente?
____________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
___________________________________________
Cuando la forma nos asemeja
Ejercitando
Determina si las siguientes parejas de triángulos son semejantes.
1. ¿Existen dos pares de ángulos congruentes?
Sí
No
Detalla los lados y ángulos correspondientes.
2. De acuerdo con las medidas dadas en los triángulos, ¿qué relación existirá entre ellos?
Q
U
T
P
R
S
Estrategias de resolucion
Calcula:
Ennegrece la opción y completa.
1. Determina la amplitud de cada ángulo interior, en
ambos triángulos.
2. Recuerda si existe algún criterio que permita asegurar
la semejanza de ambos triángulos.
3. Nombra ordenadamente a cada vértice con su vértice
homólogo.
ES IMPORTANTE EL ORDEN EN QUE SEÑALES LA
SEMEJANZA.
Cpech - Nivelación
5
Matemática - Segundo Medio
Criterio lado-ángulo-lado
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales, y el ángulo formada
entre ellos es congruente (LAL).
C
F
2
AB
AC ___
18
__
__
___
__ 12
=
=
=
=
=2
6
1
9
EF DF
18 cm
30º
6 cm
9 cm
30º
A
12 cm
B
E
D
Por lo tanto, los triángulos ACB y FED son semejantes.
Ejercitando
¿Son semejantes estos triángulos?. En caso que lo sean, ¿qué criterio usaste para decidir?
R:_______________________________________________________
8 cm
73º
12 cm
57º
F
50º
A
15 cm
Detalla tu procedimiento y conclusiones.
6
Cpech - Nivelación
El corroborar es
uno de los
pasos importantes
dentro de la
resolución de un prob
lema.
¿Es correcta la conclu
sión a la que
llegaste?
H
C
B
50º
10 cm
• Recuerda
G
Cuando la forma nos asemeja
Criterio lado-lado-lado
Dos triángulos son semejantes, si tienen tres pares de lados correspondientes proporcionales (LLL).
¿Qué se infiere acerca del
concepto de proporción?
Los lados correspondientes
poseen igual medida.
FG
7
1
___
= __ = __
14
2
AB
GH
9
1
___
= __ = __
18
2
BC
FG
GH
FH
1
Es decir, ___ = ___ = ___ = r, siendo en este caso r = __ .
2
AB
BC
AC
FH
6
1
___
= __ = __
12
2
AC
Al generar razones entre
los lados correspondientes,
la razón es equivalente en
los tres casos.
La medida de un lado,
es divisor del lado
correspondiente.
Por lo tanto, los triángulos FGH y ABC son semejantes.
Es necesario que el orden al nombrar los vértices de los triángulos
semejantes, representen a los vértices de los ángulos correspondientes.
Ejercitando
1. Determina si el siguiente par de triángulos resultan ser semejantes o no, explica tu respuesta.
K
I
Comentario:
____________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
___________________________________________
120º
10
L
60º
G
10
J
H
¿Qué representa
Lo sé
Explícalo y discútelo con
tus compañeros(as)
?
No lo sé
Recuerda los tipos de
triángulos que existen.
Cpech - Nivelación
7
Matemática - Segundo Medio
2. Observa los siguientes triángulos semejantes y responde:
• Recuerda
R
C
En los triángulos
rectángulos los la
dos
reciben nombres parti
culares.
Si faltara la medid
a de un lado, pued
es
aplicar el teorema de
Pitágoras:
8 cm
(cateto 1)2 + (cateto
3 cm
A
4 cm
B
P
6 cm
Q
¿Cuál es la razón de semejanza entre los lados?
¿Cómo se calcula la medida de la diagonal (hipotenusa) )de cada triángulo?
¿Cuál es el perímetro de cada triángulo?
¿Cuál es el área de cada triángulo?
¿Cuál es la razón entre los perímetros?
¿Cuál es la razón entre las áreas?
tro:
s lados
Períme
odos lo
t
e
d
a
m
Es la su
figura.
a
n
en u
8
Cpech - Nivelación
Área de
un trián
gulo:
base · a
ltura
2
2)2 = (hipotenusa)2
Cuando la forma nos asemeja
Perímetro y área en triángulos semejantes
Si los triángulos ABC y PQR son semejantes y la razón de semejanza entre ABC y PQR es r.
C
P
B Q
A
Se tiene que:
R
La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón de los lados homólogos
(correspondientes), es decir:
Perímetro
Perímetro
ABC BC
=
=r
PQR QR
La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, en cambio, es igual al cuadrado de la razón de los
lados homólogos, es decir:
( )
BC 2 2
Área ABC
=
=r
Área PQR
QR
• Recuerda
Ejercitando
a) Entre estos triángulos rectángulos, ¿cuál es la razón de semejanza?
R
C
Entre sus lados:
hr
hc
A
8 cm
Entre sus áreas:
4 cm
B
4 cm
“h” está asociada
a una
altura del triángulo
, según
el vertíce desde que
se trace.
P
8cm
Q
¿Cuál será la razón
entre sus perímetros?
Cpech - Nivelación
9
Matemática - Segundo Medio
Sección 3
Resuelvo
problemas
Tiempo estimado: 20 minutos
Resuelve los siguientes problemas, marcando la alternativa correcta. Cada pregunta tiene especificado el
nivel de dificultad (fácil, medio o difícil).
1.
Si los siguientes triángulos son semejantes, entonces, la razón de semejanza se forma al comparar el lado
OP con:
Q
A.
LM
B.
MN
C.
LN
D.
PQ
L
Fácil
18 cm
53º
9 cm
92º
N
92º P
5 cm
35º
M
O
2.
3.
2 . Si el área del triángulo menor es 100 cm2,
La razón de semejanza entre los lados de dos triángulos es __
5
¿cuál es el área del otro triángulo?
A.
16 cm2
B.
40 cm2
C.
250 cm2
D.
625 cm2
Medio
El triángulo DEF será semejante con cualquier otro triángulo que tenga un ángulo interior que mida 40°
y un ángulo exterior que mida:
A.
35°
B.
40°
C.
110°
D.
145°
F 75º
D
10
Cpech - Nivelación
Medio
35º
E
el
pide
é
u
Q
¿
a?
lem
prob
Cuando la forma nos asemeja
4.
Un triángulo tiene lados de medidas a, b y c, con b < a < c, y ángulos interiores de medidas ,
con < < . ¿Cuál de los siguientes triángulos es semejante al descrito?
A.
B.
2a
2b
C.
2b
5.
Difícil
D.
2a
y ,
2c
2c
2c
2b
En la siguiente imagen los segmentos AE y BD se cruzan en el vértice C, como se muestra.
A
Medio
18 cm
B
89º
15 cm
C
10 cm
D
89º
12 cm
Recuerda la relación de
medida que existe entre
ángulos opuestos por el
vértice.
E
Para decidir si los triángulos formados son semejantes o no, ¿qué criterio permite determinarlo?
6.
A.
Criterio AA
B.
Criterio LL
C.
Criterio ALL
D.
Criterio LLL
En la figura,
A.
B.
C.
D.
28
___
3
12
___
5
20
___
7
15
___
4
DEF ~
STU. ¿Cuál es el valor de m?
5
7
3
m
Fácil
4
Cpech - Nivelación
11
Matemática - Segundo Medio
7.
8.
Una fotografía de ancho 4 cm y largo 6 cm, se amplía en forma proporcional, quedando con un ancho de 6
cm. Entonces, ¿cuál será el largo?
A.
4 cm
B.
8 cm
C.
9 cm
D.
10 cm
Fácil
Sobre una hoja cuadriculada, se ha dibujado la siguiente figura.
Difícil
Si comparamos el triángulo exterior con el triángulo interior, es correcto afirmar que:
9.
A.
por criterio AA son semejantes.
B.
por criterio LLL no son semejantes.
C.
son de diferente tamaño, pero de todas formas semejantes.
D.
al ser ambos triángulos rectángulos, son semejantes.
En la figura, EI FG y EF HG. Si el perímetro del triángulo EFI mide 35 cm y el perímetro del
triángulo GHF mide 25 cm, ¿en qué razón divide el punto H al segmento IF?
Difícil
12
A.
2:7
B.
5:7
C.
2:5
D.
1:2
Cpech - Nivelación
o:
Símbol
s
a línea
signific
as.
paralel
Cuando la forma nos asemeja
10.
Los triángulos ABE y BCD, de la siguiente imagen, son semejantes.
Medio
D
E
6m
3m
A
B
C
18 m
Entonces, ¿cuánto mide el lado AB?
A.
3m
B.
4,5 m
C.
6m
D.
9m
Cpech - Nivelación
13
Matemática - Segundo Medio
ón 4
Secci
lo
o
z
i
t
e
Sint dido
apren
Tiempo estimado: 15 minutos
Lee el siguiente enunciado, observa la secuencia y luego responde las preguntas.
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas. Un ejemplo de estos, es
el triángulo “Sierpinski”, que se construye de la siguiente manera:
Primero se dibuja un
triángulo equilátero grande.
a
Y así, se repite el proceso con cada
uno de los tres triángulos negros
que se forman.
Se toman los puntos medios de
cada lado y unen, formando un
triángulo equilátero invertido.
a
a
__
2
a
__
2
a
__
2
a
Original
a
__
4
a
__
4
Iteración 1
Iteración 3
Iteración 2
Iteración 4
Repetir el mismo proceso es a lo
que llamamos iteración
enunciado,
La comprensión total del
ponder las
es lo que te permitirá res
no haberlo
siguientes preguntas. De
a lectura
comprendido, dale una segund
te.
y busca la información relevan
14
Cpech - Nivelación
a
__
4
Cuando la forma nos asemeja
1
2
Si comparamos un triángulo de color negro con uno de calor blanco. ¿Se podría asegurar que son semejantes?
SÍ
Porque se tiene que:
NO
Porque falta que:
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Comparando entre triángulos negros, uno original cuyo lado mide 24 cm y otro que resulte de la iteración 3,
¿cuál es la razón de semejanza entre:
sus lados?
sus áreas?
3
Si el triángulo adjunto, corresponde a uno de los ennegrecidos de la iteración 4, ¿podrías determinar el
perímetro del triángulo equilátero original? ¿Qué razón de semejanza existe entre el perímetro de la figura y
el triángulo original?
C
Una conclusión co
rrecta sobre la re
lación entre
dos triángulos eq
uiláteros con dist
in
to
perímetro
es que:
A
30 cm
B
¡ sus ángulos so
n siempre distinto
s.
¡ sus lados son
siempre proporcio
nales.
¡ sus lados son
siempre congruen
tes.
Cpech - Nivelación
15
Matemática - Segundo Medio
Evalúa tu desempeño
Marca cuánto avanzaste respecto a los contenidos y habilidades desarrollados en esta clase.
Califícate con una nota del 1 al 7.
Identifico proporcionalidad
entre figuras.
1
2
Reconozco los criterios de
semejanza en los triángulos.
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
Aplico los criterios de
LOREM IPSUM
semejanza
en triángulos.
M
etur
gna
1
Lorem ipsum dolor sit
t,conse
ame
etur
ct
adipisicing
t, eli
sed do empor
eiusmod
t
incididu
nt ut labo
re et dolo
re magna
2
3
4
5
6
7
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
16
Cpech - Nivelación