n - Pontificia Universidad Javeriana

A2. APÉNDICE
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
En este apéndice se presentan las fórmulas tradicionales para hallar las sumas equivalentes en el tiempo y una colección de fórmulas
para equivalencia de tasas nominales y efectivas. Para usar estas fórmulas se manejarán las siguientes variables:
TABLA A2.1 Variables
Variable
Tiempo
Tasa de interés
Suma presente
Suma futura
Cuota o serie uniforme
A2.1 SUMA
Símbolo
n
i
P
F
C
Excel
NPER
TASA
VA
VF
PAGO
PRESENTE A SUMA FUTURA
Para hallar el valor de una suma futura F al final de n períodos,
equivalente a una suma presente, a una tasa de interés compuesto i % ,
se utiliza la siguiente fórmula:
F=P(1+i)n
(A2.1)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El
cálculo del valor futuro se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula
básica F=Px(1+i)n
Esta aplicación se hizo en el ejemplo sobre interés compuesto en el
capítulo.
En Excel (en español) = VF(i;n;C;P;tipo).
Esta función en Excel sirve para calcular F a partir de C o de P;
también permite calcular el valor de F indicando si es cuota anticipada
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
71
(tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de P, se omite
el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.
En la versión 97 de Excel, se recomienda el uso del botón Pegar función, o Asistente de funciones en versiones anteriores, que se activa con
un botón de la barra de herramientas de Excel. Al oprimir este botón
aparece el menú de funciones y allí se escoge la función que se desea.
Gráficamente se tiene:
0
P
n
0
n
F
Para trabajar los ejemplos que se presentan a continuación, se recomienda usar la hoja de cálculo y construir una tabla como ésta:
EJEMPLO A2.1
Suponga que se invierten $500.000 en una cuenta de ahorros que
produce el 22% anual. Si no se retira ninguna cantidad y se paga interés compuesto, ¿cuánto se podrá retirar al finalizar el año 5?
72
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
4
5
Flujo
-500.000
0
0
0
0
F=?
=VF(22% ;5;;-500000)=$1.351.354,08
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Excel es consistente con la convención que se adoptó antes: considerar que un ingreso es una cifra positiva y que un egreso es una cifra
negativa, de manera que cuando se introducen los valores de los flujos
en las funciones, se debe tener en cuenta introducirlos con signo negativo si son egresos y Excel calculará el resultado como un ingreso, y
viceversa. Sin embargo, se dan casos en los cuales, por ejemplo, no se
desea saber cuánto hay que invertir para obtener ciertos beneficios,
sino a cuánto equivalen hoy ciertos beneficios futuros, o a cuánto equivalen hoy ciertos pagos futuros; en estos casos no se aplica lo dicho,
sino que es necesario ajustar los signos para que se produzca el resultado deseado. Si se desea saber a cuánto equivalen unos ingresos futuros, esos ingresos habrá que introducirlos a la función, con signo
negativo, para que arroje un resultado positivo.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
73
Ejercicio de autocorrección 1 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
¿Cuánto se tendrá al cabo de 12 meses, si se ha depositado una
suma de $1.000.000 a una tasa del 2% mensual?
A2.2 SUMA
FUTURA A SUMA PRESENTE
Para hallar la suma presente en el instante cero, equivalente a una
suma futura situada al final del período n, a una tasa de interés compuesto, i% , se utiliza la siguiente fórmula que se desprende de la anterior (A2.1).
P=
F
(1 + i )n
(A2.2)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El
cálculo del valor futuro se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula
básica F=P/(1+i)n
En Excel = VA(i;n;C;F;tipo)
Esta función en Excel sirve para calcular P a partir de C o de F;
también permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada
(tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de F, se omite
el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.
Gráficamente se tiene:
0
0
n
F
n
P
EJEMPLO A2.2
Si se necesita tener $15.000.000 dentro de 3 años para pagar una
matrícula, ¿cuánto debe ahorrarse hoy, por una sola vez, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés de 25% anual?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
Flujo
P=?
0
0
15.000.000
=VA(25% ;3;;15.000.000)=-$7.680.000
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel; y al utilizar el Pegar
función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores.
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IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Ejercicio de autocorrección 2 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 3% mensual, para
tener $2.000.000 al final de 12 meses?
A2.3 SERIE
DE CUOTAS UNIFORMES A SUMA PRESENTE
A su vez, para hallar la suma al final del instante cero (o sea hoy) a
la tasa de interés compuesto i% , que sea equivalente a una suma uniforme durante n períodos al final de cada uno, 1, 2, ..., n, se utiliza la
fórmula:
n
(
1 + i) −1
P=C
n
i (1 + i )
(A2.3)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya
conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se
utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la
comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el
análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta ya que hay
varios textos que sí lo hacen (Baca 1998a, 1998b y 1999). Se debe
insistir al lector en que no es necesario memorizar las fórmulas.
En detalle:
P=
C
C
C
C
C
+
+
+L+
+
1
2
3
n −1
(1 + i ) (1 + i ) (1 + i )
(1 + i )
(1 + i )n
Esta expresión da origen a la fórmula (A2.3)
En Excel = VA(i;n;C;F;tipo).
Esta función en Excel sirve para calcular P a partir de C o de F;
también permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada
(tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de C, se omite
el valor de F; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.
Gráficamente se tiene:
0
1
C
C
C
C
n
0
C
P
n
Donde P es la suma situada al final del instante 0; C es la suma
uniforme al final de cada período 1,2, ..., n; i es la tasa de interés y n el
número de períodos.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
75
Cuando n es muy grande, entonces:
(1 + i )n − 1
n
n
n
(
1 + i) − 1
(
1 + i ) (1 + i )
P = lím C
= lím C
n
n→ ∞
n→∞
(1 + i )n
i (1 + i )
i
(1 + i )n
1−
P = lím C
n→ ∞
1
(1 + i )n = C 1 − 0 = C
i
i
i
(A2.4)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
En este caso se llama costo capitalizado.
Se puede demostrar que cuando las sumas de dinero futuras experimentan un crecimiento porcentual de g, entonces esta expresión queda modificada así:
P =
C
i −g
(A2.5)
Esto es válido para i>g; para g=i, el valor de P no está determinado.
Tanto la ecuación A2.4 como la A2.5 son útiles cuando se trata de
calcular el valor de salvamento o terminar el de un proyecto o firma
(véanse capítulos 6 y 9).
EJEMPLO A2.3
Si hoy se deben 10 cuotas de $43.077,28, calculadas al 2,76% mensual, ¿cuánto se debe pagar en este momento, para cubrir la totalidad
de la deuda?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Flujo
P=?
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
-43.077,28
76
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya
conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se
utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la
comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el
análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta ya que hay
varios textos que sí lo hacen (Baca 1998a, 1998b y 1999). Se debe
insistir al lector, en que no es necesario memorizar las fórmulas.
=VA(2,76% ;10;43077,28)=-$371.999,92
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas y no
los valores.
Calcule el valor de P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500.
Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Por
qué cambia el resultado?
Ejercicio de autocorrección 3 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales,
recibidos al final de cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés
es del 2,5% mensual?
A2.4 SUMA
PRESENTE A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES
Para hallar la suma uniforme durante determinado número de períodos 1,2, ..., n, equivalente a una suma presente en cero a una tasa
de interés compuesto i% , se utiliza la fórmula:
i (1 + i )
(1 + i )n − 1
n
C=P
(A2.6)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
Esta fórmula es la inversa de la anterior. La deducción matemática
de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer; por lo
tanto, no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo
hacen). Se debe insistir al lector en que no es necesario memorizar las
fórmulas.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
77
Si se despeja C de
P=
C
+
C
+
1
+
C
+
1
(1 + i )1 (1 + i )2 (1 + i )3
C
+L+
C
+
(1 + i )n −1 (1 + i )n
se tiene
C=
P
1
(1 + i )
1
(1 + i )
2
(1 + i )
3
+L+
1
(1 + i )
n −1
+
1
(1 + i )n
y cuando se hacen simplificaciones basadas en series y progresiones
de la aritmética, se obtiene la fórmula (A2.6).
En Excel = PAGO (i;n;P;F;tipo).
Esta función en Excel sirve para calcular C a partir de P o de F;
también permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0).
Si se desea calcular C a partir de P, se omite el valor de F; si se desea
que sea vencida, se omite el valor tipo.
Cuando n es muy grande, de manera similar al caso anterior:
i (1 + i )
n
i (1 + i )
(1 + i )n
C = lím P
lím
P
=
n→∞
(1 + i )n − 1 n → ∞ (1 + i )n − 1
(1 + i )n (1 + i )n
i
i
= lím P
= Pi
lím P
n →∞
n →∞
1
1
−
0
1−
(1 + i )n
n
(A2.7)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
Gráficamente se tiene:
0
P
n
0
1
C
C
n
C
C
C
78
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
EJEMPLO A2.4
Existe la posibilidad de diferir una compra con tarjeta de crédito por
valor de $435.000 en 12 cuotas iguales, a 2,76% mensual. ¿Cuál es el
valor de la cuota C?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Flujo
435.000
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
La fórmula (A2.6) se deduce de la misma expresión de la fórmula
(A2.3) y es exactamente la inversa:
En Excel: = PAGO(2,76%;12;435000) = -$43.077,28
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel; y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Esta cuota se compone de dos partes: un abono a capital que aumenta con el tiempo y un pago de interés que disminuye. En general,
es cierto que una cuota para pagar un préstamo se compone de un
abono o amortización más los intereses pactados; esto es cierto en todos los casos. Hay un caso muy particular, que es el estudiado aquí,
donde la suma de esas dos componentes es siempre igual, porque se
trata de una cuota uniforme. Para entender esto, se sugiere resolver el
ejercicio 3 del final del capítulo.
En forma matemática, siempre se tendrá:
Cuota = intereses + abono o amortización
Con los datos del ejemplo 4, se tiene:
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
Mes Saldo inicial Intereses
0
1
435.000,0
12.006,0
2
403.928,7
11.148,4
3
371.999,9
10.267,2
4
339.189,8
9.361,6
5
305.474,2
8.431,1
6
270.828,0
7.474,9
7
235.225,6
6.492,2
8
198.640,5
5.482,5
9
161.045,7
4.444,9
10
122.413,3
3.378,6
11
82.714,6
2.282,9
12
41.920,3
1.157,0
Abono
31.071,3
31.928,8
32.810,1
33.715,6
34.646,2
35.602,4
36.585,0
37.594,8
38.632,4
39.698,7
40.794,4
41.920,3
Cuota
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
43.077,3
Saldo final
435.000
403.928,7
371.999,9
339.189,8
305.474,2
270.828,0
235.225,6
198.640,5
161.045,7
122.413,3
82.714,6
41.920,3
0,0
79
Tasa
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
2,76%
Calcule el valor de C cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500.
Calcule el valor de P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500.
Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Por
qué cambia el resultado?
Ejercicio de autocorrección 4 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual,
¿cuánto se podrá retirar mensualmente durante 12 meses, al final de
cada mes, de modo que después del último retiro el saldo sea cero?
A2.5 SERIE DE
CUOTAS UNIFORMES A SUMA FUTURA
Para calcular la suma futura al final del período n equivalente a una
serie uniforme durante n períodos, a la tasa de interés compuesto i% ,
al final de cada uno, 1, 2, ..., n, se utiliza la fórmula:
F =C
(1 + i )n − 1
i
(A2.8)
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya
conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se
utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la
comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el
análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta (hay varios
textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector en
que no es necesario memorizar las fórmulas.
80
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
F = C (1 + i )
n −1
[
= C (1 + i )
n −1
+ C (1 + i )
n −2
+ (1 + i )
n −2
+ L + C (1 + i ) + C (1 + i )
1
o
+ L + (1 + i ) + (1 + i )
1
o
]
Al hacer las simplificaciones se llega a la fórmula (A2.8)
En Excel = VF(i;n;C;P;tipo).
Esta función en Excel sirve para calcular F a partir de C o de P;
también permite calcular el valor de F, indicando si es cuota anticipada
(tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de C, se omite
el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.
Gráficamente se tiene:
0
1
C
n
C
C
C
0
C
n
F
EJEMPLO A2. 5
Se desea calcular cuánto se tendrá en una cuenta de ahorros al
final de 27 meses, si se depositan $35.000 mensuales y la cuenta de
ahorros paga el 2,5% mensual.
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
...
22
23
24
25
26
27
Flujo
0
-35.000
-35.000
-35.000
...
-35.000
-35.000
-35.000
-35.000
-35.000
-35.000 + F=?
=VF(2,5% ;27;-35.000)=$1.326.920,03
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo el valor 1.¿Por
qué cambia el resultado?
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
81
Ejercicio de autocorrección 5 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses
mensuales del 3% , ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses?
A2.6 SUMA
FUTURA A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES
Para obtener el valor de la serie uniforme al final de cada período 1,
2, ..., n, equivalente a una suma futura al final del período n, a la tasa
de interés compuesto i% , se utiliza la fórmula:
C=F
i
(1 + i )n − 1
(A2.9)
Esta fórmula es la inversa de la anterior. Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis
que se trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos, ya
mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector en que no es
necesario memorizar las fórmulas.
C=
(1 + i )
n −1
+ (1 + i )
n −2
F
1
+ L + (1 + i ) + (1 + i )
(A2.10)
En Excel = PAGO(i;n;P;F;tipo).
Esta función en Excel sirve para calcular C a partir de P o de F;
también permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular C a partir de F, se
omite el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el
valor tipo.
Gráficamente se tiene:
0
n
F
0 1
C C C C
n
C
82
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
EJEMPLO A2.6
Supóngase ahora, que se desea retirar de una cuenta de ahorros la
suma $35.000.000, después de haber ahorrado una cuota mensual
durante 36 meses, a una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuál debe ser esa
cuota?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
...
31
32
33
34
35
36
Flujo
0
C=?
C=?
C=?
...
C=?
C=?
C=?
C=?
C=?
C=? + 35.000.000
En Excel: =PAGO(2,5%;36;35000000)=-$610.805,19
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el
Pegar función, o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo el valor 1.¿Por
qué cambia el resultado?
Ejercicio de autocorrección 6 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante
36 meses, si quiere retirar al final $300.000 y la cuenta de ahorros le
paga 3% mensual?
A2.7 CÁLCULO
DE NÚMERO DE PERÍODOS
En estos factores sólo se ha trabajado en el cálculo de P, F o C, pero
se puede también calcular las otras variables n e i. Para calcular n, se
utiliza la función:
=NPER(i;C;P;F;tipo) para Excel.
Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
83
EJEMPLO A2.7
Supóngase ahora que se desea retirar de una cuenta de ahorros, la
suma $35.000 después de haber depositado $5.000 por una sola vez a
una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuánto se debe esperar?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
...
n-2
n-1
n =?
Flujo
-5.000
0
0
0
...
0
0
35.000
=NPER(2,5% ;;-5000;35000)=78,81
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar
función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores.
Ejercicio de autocorrección 7 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de 3,5% mensual?
La función que calcula el núm ero de períodos, que se expresa
=NPER(tasa;pago;va;vf;tipo), contiene las variables P ( VA), C (pago) y F ( VF),
lo cual significa que se puede encontrar el número de períodos, combinando no sólo P y F como en el ejemplo anterior, sino también P y C, C y
F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta función.
A2.8 CÁLCULO
DE TASA DE INTERÉS
En el caso del cálculo de i, vale la pena precisar que dados valores
de P, F, C y n, el valor calculado es aquella tasa de interés que hace
equivalentes dos flujos de caja de distinto signo. Por lo tanto, los signos
de las cifras involucradas en el cálculo deben ser consistentes con el
diagrama de flujo de caja respectivo; esto es, una inversión debe ser un
egreso, con signo negativo, y un ingreso debe tener signo positivo.
Cuando se trabaja con Excel, se utiliza =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) o
=TIR(rango;i semilla). La primera se emplea, como ya se ilustró, en el
caso en que haya cuotas uniformes; la segunda, cuando los flujos de
caja no son uniformes. En Pegar función o Asistente de funciones para
la función TIR, aparece estimar en lugar de i semilla; cuando no se escribe ningún valor, el programa supone que es 0,1. Esta tasa de interés
inicial que se le introduce a la función es el valor que utiliza el programa para iniciar una secuencia de iteraciones.
84
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Por ejemplo, si se tiene la siguiente inversión:
Período
Flujo $
0
-1.000
1
1.400
El lector, que es inteligente, sabrá de inmediato que la tasa que hace equivalente el flujo positivo con el flujo negativo es 40%. El computador, que es
torpe, pero veloz, tendrá que hacer un proceso de prueba y error, e intentará con 20% y después con 50% , etcétera, hasta que después de varios
intentos, descubrirá que es 40% . La tasa de interés que utiliza para la
primera prueba es la i semilla o estimar de las funciones Tasa o TIR de Excel.
La función de Excel TASA, se utiliza cuando se tienen flujos de caja
uniformes y sólo hay que introducir un valor C o Pago en Excel, para
indicar el flujo de caja uniforme. Cuando el flujo de caja no es uniforme,
obviamente no hay un valor único, uniforme, para introducir en la función. En ese caso, no es posible utilizar la función TASA y deberá utilizarse
la función TIR. Con esa función hay que indicar el rango donde se hallan
los valores, desde el instante cero hasta el final del período n.
En el caso de la función de Excel TIR, se le debe indicar al programa
el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar. Rango
se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran
los datos. Este rango debe incluir todos los valores, desde el instante
cero hasta el final o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo. Si en los flujos analizados se encuentra un
período con valor cero (0), debe escribirse como tal; Excel no considera
una celda en blanco como cero. En caso de hallar una celda en blanco,
no la toma en cuenta como período del flujo de caja libre analizado.
Con las funciones que utilizan rango en sus parámetros se puede
utilizar un flujo de caja libre no uniforme.
Estas funciones responden a la pregunta ¿a qué tasa de interés se
invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios?
EJEMPLO A2.8
Si una persona puede retirar la suma de $35.000 después de haber
depositado $15.000 hace 36 meses, ¿a qué tasa de interés mensual ahorró?
En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:
Año
0
1
2
3
...
34
35
36
i=
Flujo
-15.000
0
0
0
...
0
0
35.000
=TASA(36;;-15.000;35.000) =2,38%
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
85
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Ejercicio de autocorrección 8 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y retira
$300.000 el último mes ¿a qué tasa de interés ahorró?
La función que calcula la tasa de interés, que se expresa
=TASA(nper;pago;va;vf;tipo;i semilla), contiene las variables P (VA), C (pago)
y F (VF), lo cual significa que se puede encontrar la tasa de interés
combinando no sólo P y F, como en el ejemplo anterior, sino también P
y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta
función.
EJEMPLO A2.9
Si una persona invierte $20.000 y recibe en el primer mes $9.000,
en el segundo mes $5.000 y en el tercer mes $7.000, ¿a qué tasa de
interés mensual invirtió?
B
30 Mes
31
32
33
34
0
1
2
3
C
Flujo $
-20.000
9.000
5.000
7.000
=TIR(Rango)=2,61%
Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se
encuentran los datos. Este rango debe incluir todos los valores, desde
el instante cero hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones
deben escribirse con signo negativo.
86
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar
función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores.
Ejercicio de autocorrección 9 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas así:
la primera, $3.400; la segunda, $3.175; la tercera, $2.950, y la cuarta,
$2.725, ¿a qué tasa de interés prestaron?
A2.9 SUMA
PRESENTE EQUIVALENTE A FLUJO NO UNIFORME
Existe un caso muy común que consiste en saber cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor actual o valor presente) de un flujo de caja
libre que no tiene un patrón determinado; es decir, que los flujos de
caja pueden ser diferentes.
En Excel esto se calcula con la función =VNA(i;rango). Estas funciones
calculan la suma equivalente en el instante cero de un flujo de caja libre
a la tasa de interés indicada y lo expresan en unidades monetarias del
período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la
función. Esto es, que si se calcula el valor presente de una serie de flujos
desde 1 hasta n, el resultado será una cifra en valor presente o actual, en
el instante 0. El lector debe pensar en unidades monetarias de qué período se obtiene el resultado si se utiliza todo el rango desde 0 hasta n.
Gráficamente:
0
1
2
3
n
0
n
P
EJEMPLO A2.10
Con los datos del ejemplo 9, si esa persona desea vender el derecho
a recibir los flujos de caja futuros de su inversión, y su tasa de interés
es de 2% mensual, ¿por cuál suma mínima debe hacer la transacción?
Mes
Flujo $
0
-20.000
1
9.000
2
5.000
3
7.000
=VNA(2% ;Rango –desde 1 hasta 3-)=$20.225,63
Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se
encuentran los datos. Este rango debe incluir sólo los valores, desde el
período uno hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones
deben escribirse con signo negativo.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
87
Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en
celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el
Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no
los valores.
Ejercicio de autocorrección 10 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Calcule la suma presente en instante cero 0 del siguiente flujo de
caja libre a una tasa de interés de 25% por período:
Año
Flujo $
0
1
8
2
4
3
8
4
12
A2.10 CONCLUSIONES
Obsérvese que en Excel sólo se requieren tres funciones para manejar
los casos de transformación entre sumas de dinero P, F y C. Éstas son:
= VF (i;n;C;P;tipo)
para transformar P a F o C a F.
= VA (i;n;C;F;tipo)
para transformar F a P o C a P.
= PAGO (i;n;P;F;tipo) para transformar P a C o F a C.
Obsérvese que estas funciones se pueden utilizar con más de una
variable; por ejemplo, se puede calcular una cuota uniforme equivalente a una suma inicial –VA o P– y una suma futura –VF o F–. Se puede
calcular una suma presente equivalente a una serie de cuotas uniformes –pago o C– y una suma futura –VF o F–, etcétera.
Al llegar a este punto es posible que algunos lectores familiarizados
con el tema hayan extrañado que ciertas fórmulas tradicionales, como
los gradientes, no aparezcan en el texto. La razón es muy simple: muchas de las simplificaciones que se han venido utilizando en este tema,
como los gradientes, eran válidas hace más de cincuenta años. En esa
época, era necesario asimilar el comportamiento de costos o ingresos
crecientes (o decrecientes) a una línea recta que aumenta o decrece por
un gradiente constante g para poder condensar su cálculo en una fórmula compacta. Después de que se ha desarrollado el conjunto de funciones de hojas electrónicas, como Excel, que se presentó arriba, se
tiene la esperanza de que ya no se utilicen más estos malabarismos
algebraicos que cumplieron su función muy bien en la primera mitad
del siglo XX y comienzos de la segunda.
Las funciones —en forma resumida y en función de los patrones típicos cuando hay cuota uniforme, suma presente o suma futura— son:
Operación
A suma presente
A suma futura
A cuota uniforme
Tasa de interés
Número de períodos
Patrón típico (a partir de
P, F, C, nper y/o i%)
Patrón no típico
(irregular)
VA
VNA
VF
PAGO
TASA
No hay
No hay
NPER
No hay
TIR
88
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
A2.11
FACTORES Y FUNCIONES DE EXCEL1
= VF (i;n;;P) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0, en una suma futura F al final
del período n.
=VA(i;n;;F) Convierte una suma futura F al final del período n en
una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del
instante 0 .
= VA (i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia
al final del período 1 y termina al final del período n , en una
suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0 .
= P A G O (i;n;P) Convierte una suma presente P al comienzo del
período 1 , o sea final del instante 0, en una serie uniforme de
valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del
período n .
= VF (i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C , que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n , en una
suma futura F , al final del período n .
= PAGO (i;n;;F) Convierte una suma futura de valor F, situada en
el final del período n , en una serie uniforme de valor C, que se
inicia en el final del período 1 y termina al final del período n.
= TASA (nper;pago;va;vf;tipo;isemilla), = TIR (rango;i semilla ): Calcula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos negativos a unos positivos. Responde a la pregunta ¿a qué tasa de
interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de
beneficios? Para la función TASA se le debe indicar los parámetros
C, F, P , e i semilla. Para la función TIR se le debe indicar al
programa una tasa de interés inicial (i semilla), con la cual
inicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujos
que se desean analizar.
= VNA (i;rango) Calcula el valor presente de un flujo de caja libre
a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango
que se indicó en la fórmula.
= NPER (tasa;pago;va;vf;tipo;isemilla) Encuentra el número de períodos que se requieren para que una inversión se convierta en
un determinado monto al final de esos períodos o el número de
cuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuota
determinada o el número de depósitos iguales necesarios para
obtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calculados. En todos los casos se debe estipular una tasa de interés.
1
Se repite esta tabla (mencionada en el capítulo 2, numeral 2.7) con el fin de
facilitar la recordación de las ideas.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
89
Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y otras
hojas electrónicas de manera que pueden obtenerse con gran precisión
y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interés que
se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras.
A2.12 TASAS
DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
En el texto del capítulo se presentaron las fórmulas básicas que
relacionan las tasas anticipadas y vencidas y las tasas nominales y las
efectivas. A continuación se presentan otras fórmulas que permiten
hallar en forma directa las equivalencias entre cualquier tasa nominal
y su efectiva correspondiente, y viceversa.
Si se desea calcular la tasa nominal anticipada a partir de una tasa
de interés efectiva, se despeja de (2.18) y se obtiene:
1

inom A = n1 − (1 + ief ) − 
n



1

= n1 −
 n (1 + i ) 
ef 

 n (1 + ief ) − 1 

= n
 n (1 + i ) 
ef


(A2.11)
Escoja el lector la que le parezca menos complicada2.
EJEMPLO A2.11
Se tiene una tasa de interés nominal del 24% anual, mes vencido
(n = 12) entonces, la tasa de interés efectiva es:
= INT.EFECTIVO(24% ;12)=26,82%
Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función
de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones,
introduzca las celdas, no los valores.
EJEMPLO A2.12
Si la tasa de interés nominal fuera 32% y se liquida trimestralmente
por anticipado, la tasa de interés efectiva anual será:
2
Esta fórmula la dedujo Fabián Ruiz Gutiérrez estudiante de mi curso en la
Universidad Javeriana en II-99
90
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Tasa de interés trimestral anticipada = 0,32/4 = 0,08= 8%
Tasa de interés trimestral vencida = 0,08/(1-,08)=0,087 =8,7%
Tasa de interés efectiva anual = (1+,087)4 -1= 1,39588 - 1 = 0,39588
= 39,59% efectivo anual.
Obsérvese que siempre hay que reducir el interés nominal al interés
periódico que se indica en la forma de liquidar.
En Excel,
=int. efectivo(8,7% *4;4)=39,59%
0 = VF(-32% /4;-4;;-1)-1 = 39,59%
i
ef
Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función
de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones,
introduzca las celdas, no los valores.
Ejercicio de autocorrección 11 (La solución se encuentra al final
del apéndice).
Si un préstamo está pactado al 36% anual, trimestre vencido, ¿cuál
es la tasa de interés efectiva que se está pagando anualmente? ¿Recuerda la cifra que se le pidió guardar en el ejemplo 11 del capítulo 2?
Basándose en este ejercicio de autocorrección, se puede concluir
que cuando se calcula la tasa de interés efectiva anual, se supone, en
el caso de un préstamo, por ejemplo, que quien recibe el dinero prestado tiene la posibilidad de ahorrar a la misma tasa a la que le prestan.
¿Es este supuesto razonable? Para el caso de una persona que guarda
su dinero en una caja fuerte (o en una lata de galletas, que para el caso
es lo mismo), ¿qué significado tendrá decir que si el préstamo es de
36% TV, entonces, la tasa de interés efectiva anual es la obtenida en el
ejercicio de autocorrección? Ese individuo, ¿Cuál de las dos formas de
pago preferirá, en el caso del ejemplo 11? ¿Se podrá decir que la tasa de
interés efectiva anual es la misma para él, que para aquél que puede
ahorrar al 9% trimestral?
EJEMPLO A2.13
Si un banco dice cobrar una tasa de interés de 42,87% efectiva
anual, ¿A qué tasa de interés mes anticipado corresponde esa tasa de
interés efectiva?
La tasa de interés nominal mes vencido es 36,21% . La tasa de interés periódica, mensual vencida es 3,02% . La tasa de interés periódica
mensual anticipada es:
ima =
3,02%
= 2,93%
1 + 3,02%
En Excel,
tasa. nominal(42,87% ;12)/12= 3,02%
i =
mv
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
91
La tasa de interés periódica mensual anticipada es:
ima =
3,02%
= 2,93%
1 + 3,02%
Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función
de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones,
introduzca las celdas, no los valores.
Ejercicio de autocorrección 12 (La solución se encuentra al final del
apéndice).
Si la tasa de interés efectiva anual de un préstamo es de 42% y se
sabe que se liquidó por trimestre anticipado, ¿Cuál fue la tasa nominal
de interés que se pactó?
Así mismo, si se quiere convertir directamente una tasa nominal
anticipada con n 2 períodos a una tasa nominal anticipada con n 1 períodos, se puede utilizar esta ecuación:
inomAn1

  inomAn2
= n1 1 − 1 −
n2
 

n2

 n1 
 

 

(A2.12)
El lector puede verificar el resultado de esta fórmula con el del ejemplo 25.
De igual manera, para transformar una tasa nominal vencida con
n2 períodos a una tasa nominal vencida con n 1 períodos se puede utilizar la siguiente relación:
inomVn1

  i nomVn2
= n1  1 +
n2


n2


 n1
 − 1




(A2.13)
Para transformar una tasa nominal vencida con n 2 períodos a una tasa
nominal anticipada con n 1 períodos se puede utilizar la siguiente relación:
inomAn1



1
= n1 1 −

  inomVn2
 1 + n
2
 




−
n2
n1








(A2.14)
92
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
Para transformar una tasa nominal anticipada con n2 períodos a
una tasa nominal vencida con n1 períodos se puede utilizar la siguiente
relación:
inomVn1



1
= n1 

  inomAn2
 1 − n
2

n2
 n1






− 1




(A2.15)
Estas fórmulas muestran que la utilidad de la tasa de interés efectiva queda reducida a hacer comparaciones entre tasas que se liquidan
de manera diferente. No es necesario siquiera el cálculo de la tasa de
interés efectiva para hacer las transformaciones entre tasas. El lector
debe comprobar estas fórmulas con los datos del ejemplo 25.
A2.13 RESUMEN
De
Efectiva
A
Nominal anticipada
Nominal anticipada
con n 2 períodos
Nominal anticipada con
n1 períodos
Nominal vencida
con n 2 períodos
Nominal vencida con n1
períodos
Nominal vencida
con n 2 períodos
Nominal anticipada con
n1 períodos
Nominal anticipada
con n 2 períodos
Nominal vencida con n1
períodos
DE ECUACIONES
Fórmula
1

− 
inom A = n1 − (1 + ief ) n 




1

= n1 −
 n (1 + i ) 
ef


 n (1 + ief ) − 1 

= n
 n (1 + i ) 
ef


n2


  inomAn 2  n1 
 
i nomAn1 = n1 1 − 1 −
n 2  
 


n2


  i nomVn2  n1

 − 1
i nomVn1 = n1  1 +

n
2











1

inomAn1 = n1 1 −
n

− 2 
n
  inomVn2  1 
 1 + n  
2
 
 
inomVn1



1
= n1 

  inomAn 2
 1 − n
2

n2
 n1






− 1




DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
93
La relación entre tasas se puede ver en el siguiente esquema elaborado por Andrés Mejía, profesor del Departamento de Administración
de la Universidad Javeriana en mayo de 2000.
Transformación de tasas equivalentes
!
TASA EFECTIVA ANUAL
iefectiva = (1 + i periódica
)
n
El signo
negativo muestra
que se están
trabajando tasas
anticipadas
−1
!
El signo
positivo muestra
que se están
trabajando tasas
vencidas
)−n − 1
= (1 − i
i

= 1 −

i
i periódica = ( n 1 + i efectiva ) − 1
i
TASA
PERIÓDICA
VENCIDA
!
i
=
i
Nótese que la
operación que
determina las
tasas efectivas es
la potenciación,
puesto que se
basa en el
cálculo de tasas
compuestas
i periódica
=i
×n
=
i
1+ i
i
1− i
=
1
(1 + i


) 
TASA
PERIÓDICA
ANTICIPADA
=
i
i nominal
n
i nominal = i periódica × n
TASA NOMINAL ANUAL
A2.14 SOLUCIÓN A
n
!
i
n
Nótese que la
operación que
determina las
tasas nominales
es la
multiplicación,
puesto que se
basa en el
cálculo de tasas
simples
LOS EJERCICIOS DE AUTOCORRECCIÓN
1. ¿Cuánto se tendrá al final de 12 meses, si se ha depositado una
suma de $1.000.000 a una tasa del 2% mensual?
F = V F (2%;12;;-1.000.000)=$1.268.242
2. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 3% mensual, para
tener $2.000.000 al final de 12 meses?
P =
V A (3%;12;;2.000.000)=-$1.402.759,76
3. ¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales,
recibidos al final de cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés periódica es del 2,5% mensual?
P = V A (2,5%;12;-1.000)=$10.257,76
4. Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual, ¿cuánto se podrá retirar mensualmente durante 12 meses, al
final de cada mes, de modo que después del último retiro el saldo
sea cero?
94
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
C = P A G O (1,5%;12;-1.500.000)=$137.519,98
5. Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses mensuales del 3% ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses?
F= V F (3%;24;-2.500)=$86.066,17
6. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante
36 meses, si quiere retirar al final $300.000?
C = P A G O (3%;36;300.000)=-$4.741,14
7. ¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de 3,5% mensual?
n= NPER (3,5%;-2.300.000;4.600.000)=20,15
meses.
8. Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y retira
$300.000 el último mes ¿a qué tasa de interés periódica ahorró?
i =
T A S A (36;-5.000;;300.000)=2,73%
9. Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas,
así: la primera, $3.400; la segunda $3.175; la tercera, $2.950 y la
cuarta $2.725, ¿a qué tasa de interés periódica prestaron?
= T I R (Rango desde instante 0 a 4)=9,0%
Período
0
1
2
3
4
Flujo de caja $
10.000
-3.400
-3.175
-2.950
-2.725
10. Calcule la suma presente en instante 0 del siguiente flujo de caja
libre a una tasa de tasa de interés periódica de 25% por período:
Año
Flujo $
0
1
8
2
4
3
8
4
12
= V N A (25%, rango desde período 1 hasta 4)=$17,97
11. Si un préstamo está pactado al 36% anual, trimestre vencido, ¿cuál
es la tasa de interés efectiva que se está pagando anualmente?
= INT . EFECTIV O (36%;4) = 41,16%
12. Si la tasa de interés efectiva anual de un préstamo es de 42% y se
sabe que se liquidó por trimestre anticipado, ¿cuál fue la tasa de
interés nominal que se pactó?
i
nom trim venc
i
trim ant
i nom
nc = T A S A . NOMINAL (42%;4)=36,65%
=(36,65/4)/(1+36,65/4)=8,39%
anual trim ant
=8,39%*4=33,57%
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
95
A2.15 EJERCICIOS
1. ¿Por qué es distinto el valor del derecho a $1 hoy, de un derecho
igual dentro de un año? Según esto, ¿qué es el interés? ¿Qué se
entiende por equivalencia?
2. ¿Cuántos flujos de caja netos en n años podrían ser equivalentes a
una suma presente de $P al i% anual?
3. Desarrolle los siguientes casos:
3.1. Describa el plan de pago de $10.000 para pagar esta deuda
en cuatro pagos trimestrales iguales (cuota uniforme), que
incluyen intereses de 9% trimestral y se pagan al final de
cada trimestre, sobre el saldo no pagado, al comienzo del
período.
Trimestre
Saldo al
inicio del
trimestre
Interés
Abono a la
deuda
Cuota
uniforme
Saldo al final
del trimestre
Tasa
0
1
2
3
4
3.2 Resuelva también, bajo el supuesto de que los abonos a la
deuda son iguales:
Trimestre
Saldo al
inicio del
trimestre
Interés
Abono a la
deuda
Cuota
Saldo al final
del trimestre
Tasa
0
1
2
3
4
Juegue con los abonos y ajuste los valores hasta lograr que el saldo
final se mantenga en cero. Al hacer esto en forma repetida, usted podrá
verificar la respuesta del ejercicio 2.
Este ejercicio 3 equivale a lo que en los textos tradicionales se llama
tablas de amortización.
4. ¿Las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas? Argumente la
respuesta.
4.1 La tasa de interés es constante a través del tiempo.
4.2 Para un análisis de un flujo de caja por períodos anuales sólo
pueden considerarse tasas de interés anuales.
96
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
4.3
La diferencia entre una tasa interés nominal y una tasa de
interés efectiva radica en que la tasa de interés efectiva es
siempre un múltiplo entero de la tasa nominal.
5. En una casa de cambios de Bogotá, le dijeron a una secretaria que
le prestaban $200.000 al 5% . Cuando llevó a su fiador para recibir
el dinero y entregar los cheques para el pago del préstamo, se enteró de que le entregarían $198.000, pues le descontaban $2.000 por
concepto de estudio del crédito. Debió girar estos cheques:
Mes
1
2
3
$
54.000
50.000
46.000
Mes
4
5
6
$
42.000
38.000
34.000
Como necesitaba el dinero, ella y su fiador le dieron las gracias al
amable señor de la casa de cambios. ¿Verdaderamente le prestaron el dinero al 5%? ¿A qué tasa le prestaron?
R. No. 9,71% .
6. La empresa debe pagar el impuesto predial de su sede, el cual asciende a $35.756 al año. Si la oficina de recaudación le ofrece un
descuento por pronto pago de 15% , si paga antes de abril 30 de ese
año, ¿a qué tasa interés anual efectiva corresponde ese descuento,
si el pago se hace el 30 de marzo? Si, por el contrario, no se acoge al
descuento y debe pagar intereses de mora del 36% anual, liquidado
mensualmente sobre el monto debido, a partir del 1 de mayo, ¿cuál
es la suma total que deberá pagar el 1 de agosto?
7. Si la liquidación es mensual, ¿a qué tasa de interés debe colocarse
$1.000.000 para:
¿Acumular $1.000.000 de intereses en 2 años?
¿Acumular $2.000.000 de intereses en 3 años y medio?
8. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva, cuando una tasa de
interés nominal del 15% se liquida: a) anualmente; b) semestralmente; c) trimestralmente; d. mensualmente. Haga el cálculo para
diferentes tasas de interés nominal, por ejemplo, 20% , 25% , 30% ,
30% , 40% , 45% , 50% . En la hoja de cálculo, utilice pasos de 1% .
9. Cuál es la tasa de interés efectiva semestral y la tasa de interés
efectiva anual de los siguientes certificados de depósito a término:
90 días, 25% anual nominal, trimestre anticipado.
180 días, 26% anual nominal, trimestre vencido.
10. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva semestral y anual de los siguientes títulos de ahorro nacional:
90 días 22,86% anual nominal, trimestre vencido.
180 días, 25,14% anual nominal, semestre vencido.
360 días, 29,45% anual nominal, año vencido.
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
97
11. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual de una inversión que
ofrece una tasa de interés nominal anual del 28% , pagado por semestre anticipado?
12. Existen títulos-valores que se negocian en la Bolsa que tienen la
estructura genérica de un bono; un bono es la promesa de pago que
hace una firma con la cual se compromete a pagar el valor nominal
(valor del bono) al vencimiento (maduración o redención) y unos
intereses pactados (cupones) que se pagan periódicamente. La firma los puede vender a descuento o no (a descuento significa que los
vende por menor valor que el nominal). Así mismo, puede ofrecer
intereses periódicos (cupones) o no. ¿Con qué descuento debe adquirir un inversionista un título que se debe redimir a los 5 años, si
al final de cada año recibe intereses del 12% con respecto al valor
nominal del documento mencionado y aspira a obtener un rendimiento anual del 35% ? Ayuda: el rendimiento es la tasa de interés
de equivalencia, o sea, que hace equivalentes los flujos netos positivos y los flujos netos negativos.
13. Una inversión ofrece una tasa de interés nominal anual del 31% ,
pagado cada mes al vencimiento; si otra alternativa paga los intereses por trimestre anticipado, ¿qué rentabilidad nominal anual TA
se debe exigir en esta segunda opción para que las dos sean equivalentes?
14. Una posibilidad de financiación es la emisión de bonos o títulos
negociables en bolsa. ¿Con qué descuento se debe emitir un título
que no paga intereses, si se desea que su vencimiento ocurra a los
90 días y que el rendimiento para el comprador sea del 28,5% nominal anual?
15. Si la cuenta Prontoahorro ofrece una tasa de interés de 39% anual
liquidado trimestralmente y vencido y la cuenta Ahorre-ya ofrece
37% anual liquidado mensualmente y vencido, ¿en cuál de las dos
abriría una cuenta de ahorros para mantener allí un depósito por
dos años?
16. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva trimestral y anual, si una tasa
de interés nominal anual del 48% se liquida mensualmente?
17. Una persona recibe en calidad de préstamo $5.000.000 de una corporación, para ser pagados en 12 cuotas iguales al final de cada
mes, con una tasa de interés de 1% por mes. Sus pagos mensuales
fueron calculados de la siguiente manera:
Suma del préstamo $
Interés al 1% mensual $
Estudio de la solicitud $
Total $
Pagos mensuales $5.700.000/12 =
5.000.000
600.000
100.000
5.700.000
475.000
¿Qué opina usted de esta forma de liquidar los pagos? Determine la
tasa de interés efectiva y nominal por año que pagó esa persona.
98
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
18. En un almacén deportivo le ofrecen una bicicleta cuyo precio de
lista es de $68.000 y se puede comprar a través de una tarjeta de
crédito a 6 o 12 meses.
Sin embargo, si usted paga de contado, le hacen un descuento, y la
bicicleta valdría $61.200. Los factores que utiliza la tarjeta de crédito para calcular la cuota mensual (se multiplica el valor del pagaré por el factor para calcular la cuota mensual) que se debe pagar
en cada caso, son:
Plan
6 meses
12 meses
Factor
0,18104
0,09699
¿Cuál es la tasa de interés que dice cobrar la tarjeta de crédito?
¿Cuál es la verdadera tasa de interés que usted paga al comprar
con la tarjeta? Suponga que se difiere la totalidad de la compra.
R. 2,42% , 5,65% (6 meses), 4,20% (12 meses).
19. Suponga que un banco anuncia que las tasas anuales de interés en
cada uno de los próximos cuatro años serán 28% , 30%, 35% y 32% .
19.1 Elabore una tabla que muestre la cantidad acumulada al final de cada año por cada peso depositado hoy.
19.2 ¿Cuánto habrá que depositar hoy para tener $10.000.000 al
finalizar el cuarto año?
R. $3.372.399,21
19.3 ¿Qué tasa de interés anual constante sería equivalente a la
serie de las tasas dadas, para alguien que desea invertir hoy y
recibir la inversión después de cuatro años (en otras palabras, ¿qué tasa de interés transformaría la suma presente
que se encontró en el punto anterior en $10.000.000 dentro
de cuatro años?).
R. 31,22%
19.4 A la tabla del primer punto añada una columna que muestre
la cantidad que se debe depositar ahora si se desea tener un
saldo de $1 al final del año 1. ¿Al final del año 2?, ¿y del año
3?, ¿Y del año 4?
20. Suponga que una corporación de ahorros paga una tasa del 25% de
interés anual y usted invierte $ 2.000.000 en enero de 1992 y desea
hacer tres retiros anuales iguales a partir del año 1994, de tal manera que al hacer el último retiro (en 1996) la cuenta queda en $0.
¿Cuál es el valor de los retiros iguales que se podrían hacer?
21. ¿Cuál es el costo efectivo anual de un crédito de $1.000.000 que se
paga al final de un año, con una tasa de interés del 28% anual
nominal, con intereses pagaderos por trimestre anticipado?
22. Una corporación paga una tasa de interés del 2,5% mensual.
22.1 ¿A qué tasa de interés efectiva anual equivale esa cifra?
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
99
22.2 ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual correspondiente al
2,5% mensual?
22.3 Si usted invierte $4.500.000 y no retira nada, ¿cuánto tendrá dentro de seis meses?, ¿dentro de tres años?
23. ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1’000.000 si la
tasa de interés es del 10% semestral?, ¿en cuánto tiempo se triplica?,
¿se cuadruplica?
24. Si usted invierte hoy $1.000.000 y desea que en 10 años tal suma
se haya triplicado, ¿a qué tasa de interés deberá hacer su inversión? Si desea que su capital se duplique en ese mismo período, ¿a
qué tasa de interés debe invertirlo?
25. ¿En cuánto tiempo se duplicará un capital a una tasa de interés
del 8% anual?, ¿del 12% anual?, ¿del 18% anual?, ¿del 24% anual?,
¿del 30% anual?
26. Si un capital se duplica cada cuatro años, ¿qué tasa de interés está
ganando?, ¿si se duplica cada 10 años?
27. Una aceptación bancaria es un documento que expide un banco en
favor de un tercero por cuenta de un cliente. El tercero puede hacer
efectiva la aceptación y presentarse a cobrar al banco en la fecha de
vencimiento de este título-valor, o descontarla en el mercado de
valores. Las tasas a las que se descuentan estos documentos varían
dependiendo de la escasez o abundancia de efectivo en el mercado.
Si se tiene una aceptación bancaria a 90 días y se descuenta al 38%
anual trimestre anticipado, ¿a qué tasa de interés efectiva anual
corresponde esta operación?
28. Con la información del ejercicio anterior, si se desea obtener neto
$15.000.000, ¿cuánto debe ser el valor de la aceptación bancaria
antes del descuento?
29. ¿Cuánto se acumulará en un fondo al final de 25 años si se invierten hoy $2.000.000 al 24% anual?
30. ¿Cuál es el valor presente de $5.000.000, que se recibirán dentro
de 37 años, si la tasa de interés es del 30% anual?
31. Se desea tener $22.000.000 al final de 30 años, ¿qué suma uniforme de dinero se debe invertir al final de cada uno de los 30 años si
la tasa de interés es del 18% anual?
32. ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir ahora para recibir
$1.000.000 al año a perpetuidad, si la tasa de interés es del 20%
anual?
33. Desarrolle los siguientes puntos:
33.1 ¿Cuánto debe ser el ahorro recibido al final de 5 años, para
justificar un gasto de $2.000.000 ahora, otro gasto de
$15.000.000 al final del tercer año y de $2.000.000 al final
del cuarto año, teniendo en cuenta que la tasa de interés es
del 36% anual?
33.2 ¿Cuál es la suma acumulada de $1.000.000 al final de 60
años, si la tasa de interés es del 15% .
100
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
33.3 ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar usted hoy por la promesa
de recibir $1.000.000 durante 5 años, al final de cada año, si
su tasa de interés es del 18% anual?, ¿si su tasa de interés
fuera 24% ?, ¿si fuera 12% ?
34. Si la tasa de interés es del 20% , hasta qué cantidad se podría pagar
hoy por $1.000.000 anuales (pagaderos al final de cada año, empezando el año hoy), durante: a) 5 años; b) 10 años; c) tiempo indefinido.
35. Si usted deposita $1.000.000 al final de 1998 en una cuenta de
ahorros a una tasa de interés del 18% anual liquidado trimestralmente, ¿cuánto tendrá usted en su cuenta al final del 2006?
36. Si usted deposita en su cuenta de ahorros $500.000 al final de cada
año, comenzando al final de 1998 y finalizando en el 2004, ¿qué
suma tendrá usted en su cuenta, si el interés anual es del 15% ?
37. Si usted desea disponer, al final del 2000, de una suma de
$4.000.000 en una cuenta de ahorros al 24% anual, ¿cuándo debería depositar la suma de $1.000.000?
38. ¿Qué cantidad debe depositarse en una cuenta de ahorros a una
tasa de interés anual del 18% a finales de 1998 para que se pueda
retirar de la cuenta $1.000.000 anuales, comenzando al final del
2010 y terminando a fines del 2028?
39. Si usted se entera de que alguien ha depositado $1.000.000 en una
cuenta bancaria al final de 1998, 2000 y 2001, y que esa cuenta ha
alcanzado la suma de $10.270.000 al finalizar 2004, ¿qué tasa de
interés devengó esa cuenta?
40. En septiembre de 1994 la Cooperativa Cafetera Central publicó un
aviso, cuya parte pertinente dice:
La Cooperativa Cafetera Central [...] ofrece BONOS EL CAFETERO 1994
cuyas características [...] son las siguientes: [...]
2. Valor Nominal: la emisión constará de 50.000 bonos de un valor
nominal de $100.000 cada uno. [...]
6. Vencimiento: el plazo de los bonos será de 60 meses contados a
partir de la fecha de su suscripción.
7. Tasas de Interés: La tasa de interés será del DTF+3,00% TA.
Se entiende por DTF la tasa promedio de captación a 90 días de
los bancos, corporaciones financieras, corporaciones de ahorro
y vivienda y compañías de financiamiento comercial, divulgadas semanalmente por el Banco de la República o, en caso de
desaparecer, por aquella tasa promedio de captación que la sustituyó. Para la liquidación de los intereses se tomará el DTF vigente el día en el cual se inicia el período de causación de los
intereses, adicionado en los puntos pactados.
8. Pago de Intereses: los intereses se pagarán trimestre anticipado, trimestre vencido, semestre anticipado o semestre vencido a
elección del suscriptor. [...]
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
101
Analice esta oferta y, sin hacer ningún cálculo, decida cuál es la
mejor forma de liquidar los pagos de intereses del bono (cupones),
suponiendo que el pago de los intereses en las modalidades ofrecidas debe mantener la tasa de interés efectiva que resulta del punto 7, y que el comprador no tiene problemas de liquidez. Si la tasa
DTF fuera de 26,2% anual, calcule la tasa de interés anual efectiva,
bajo el supuesto de que los intereses se liquidaran como dice la
oferta. ¿Cuál es la tasa de interés nominal para cada modalidad
de pago ofrecida, sabiendo que la tasa de interés efectiva debe ser
la misma para cada caso? Si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa de rentabilidad mínima aceptable) fuera de 35% anual
efectiva, ¿cuál modalidad de pago le conviene más? Si usted mantiene el bono durante los primeros cuatro pagos y decide venderlo
inmediatamente después de recibir el cuarto pago de intereses (bajo
la modalidad de TA), ¿cuál sería el mínimo valor por el cual lo vendería, si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima
aceptable) fuera de 35% anual? Usualmente una emisión de bonos se vende en un período corto y después de comprados los
bonos se puede decir que no puede volver a comprar los mismos
bonos en lo que se conoce como mercado primario, es decir, comprar los bonos al emisor de éstos. Sugerencia: lea el texto del ejercicio 12 de esta misma sección para informarse, si lo necesita,
sobre lo que es un bono.
41. Su empresa ha solicitado una financiación de cartera ordinaria a
un banco al 36% anual, trimestre anticipado, con un plazo de 3
años; le cobran una comisión del 1,5% del total del préstamo por
una sola vez, y la deuda la debe pagar trimestralmente; el gerente
del banco ha insistido en que es un préstamo muy barato, pues
calcula que como máximo le va a costar 36,5% al año, teniendo en
cuenta que la comisión es por una sola vez. ¿Cuánto es el verdadero
costo del préstamo en términos de tasa de interés efectiva anual?
42. ¿Cuál es la rentabilidad de un papel de descuento a 1 año, si se ha
comprado con un descuento del 25% del valor nominal?
43. Una universidad ha emitido bonos convertibles en matrícula, cuya
adquisición se puede hacer por medio de una financiación (un préstamo) del 70% del monto a una tasa del 24% anual, pagadera por
trimestre anticipado; la universidad ofrece una tasa de interés mensual del 3,5% vencido sobre el valor nominal y espera recibir al final
de los 36 meses de plazo sus bonos por matrícula, cuyo valor es
equivalente al 105% del valor nominal de los bonos. Usted ha estudiado esta posibilidad y decide comprar $1.000.000 en bonos, ¿qué
rentabilidad le produjeron los $300.000 que le correspondió aportar de su bolsillo? Suponga que el préstamo se devuelve al final de
los 36 meses. Sugerencia: lea el texto del ejercicio 12 de esta misma
sección para informarse, si lo necesita, sobre lo que es un bono.
44. ¿Cuánta es la rentabilidad efectiva anual de un CDT de $1.000.000
al 30% trimestre anticipado?
45. Un amigo está necesitado de dinero y lo único con que cuenta es un
CDT de un banco muy conocido. Le pide que sobre ese documento le
102
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
preste un dinero y le dice que él está dispuesto a endosárselo, para
que lo cobre posteriormente. El CDT se emitió a 90 días al 30% trimestre anticipado, por $2.000.000; ese certificado fue emitido hace
48 días. Si el dinero que usted le puede prestar a su amigo lo tiene
invertido a una tasa de interés del 36% anual efectivo, ¿cuánto es lo
máximo que usted podría ofrecerle por el CDT? ¿cuánto sería si el CDT
fuera a 30% trimestre vencido?
46. Un amigo le dice que es mejor pagar de contado un carro que vale
$2.400.000 a pagar una cuota inicial de $1.300.000 y 10 cuotas de
$136.000, porque con el sistema a plazos, usted termina pagando
$2.660.000 por un carro que vale $2.400.000. ¿Qué le contestaría
usted? ¿Qué tasa de interés estarían cobrando por la financiación
del saldo del carro?
47. Carlos nació el 17 de octubre de 1991; al cumplir 1 año, una tía le
abrió una cuenta de ahorros a su nombre y consignó $100.000;
consignó sumas anuales de $50.000 en la cuenta de ahorros, hasta
que él tuvo la edad de 18 años. En esa cuenta se le reconoce una
tasa de interés periódica del 18% anual liquidado anualmente. Carlos espera comenzar a retirar sumas anuales de $1.200.000 a partir del 17 de octubre del 2011, y a los 23 años espera retirar el
saldo. a) Calcule este saldo. b) Si la tía deseara hacer sólo un depósito el 17 de octubre de 1991 y que Carlos pudiera hacer todos los
retiros mencionados y terminar con el mismo saldo calculado, ¿cuál
sería esa suma de dinero?
R: a) $8.715.216,52.
48. Una empresa es propietaria de una flota de buses y tiene su propio
taller de mantenimiento. Un cierto tipo de bus usado normalmente
durante 5 años tiene un costo inicial de $4.500.000 y al final de
esos 5 años se puede vender en $5.000.000. Los costos de mantenimiento son de $300.000 el primer año y crecen en $100.000 cada
año. Si se supone una tasa de interés del 36% anual, ¿cuánto sería
lo máximo que se puede pagar por un servicio equivalente, es decir,
por arrendar anualmente un bus similar en lugar de comprarlo?
49. Su empresa recibe un préstamo de $100.000.000 y lo debe pagar
en 6 años en pagos iguales, que incluyen el interés sobre saldos. Si
la tasa de interés es del 25% anual, ¿cuál es la cuota que debe ser
pagada al final de cada año? De esa cuota uniforme, ¿cuánto es la
suma que se amortiza cada año y cuánto es el monto de los intereses que se pagan cada año?
50. Suponga que su empresa compró un papel comercial de Avianca
con descuento, en $71,95 y después de 365 días lo vende por su
valor nominal de $100,00. ¿Qué tasa de interés anual obtuvo? Si
ese papel lo compró a $79,65 y lo vendió a los 270 días en su valor
nominal de $100,00, ¿qué interés anual nominal y efectivo obtuvo?
¿Y si lo compró en $86,00 y lo vendió en $100,00 a los 180 días?
51. El Distrito Capital de Bogotá lanzó los Bonos Pro-Urbe en las siguientes condiciones: se venden con descuento en $91,00, se liquidan intereses del 6% anual sobre el valor nominal, trimestre vencido y
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
103
se redimen, o sea los compra al año, por $100, que es su valor
nominal. ¿Cuál es el interés trimestral producido por esa inversión? ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual?
52.En un almacén de electrodomésticos del centro de Bogotá, se obtuvo la siguiente información (noviembre de 1987):
Se ofrecía un televisor de 14", en color, con control remoto, y la
etiqueta decía que el precio de contado era de $96.000. Al averiguar si había alguna forma de financiación, se desarrolló el siguiente diálogo entre el vendedor y el cliente:
Vendedor:
Le ofrecemos crédito a 10 meses de plazo sin financiación. El plan es una cuota inicial de $43.082 y 10
cuotas de $10.100.
Cliente:
(Después de hacer unas cuentas) Pero, ¿el precio no
es de $96.000?
Vendedor:
Sí, pero a crédito es de $144.082.
Cliente:
Muy bien, pero ¿no hay un plazo más largo?
Vendedor:
Por supuesto, caballero; le ofrezco un plazo de 25
meses con una cuota inicial de $15.082 y 25 cuotas
de $7.334.
Cliente:
¿Qué otras posibilidades hay?
Vendedor:
Pues si tiene tarjeta de crédito para diferirlo en 12
meses, se la acepto, pero el precio es de 109.909,90.
Analice esta situación. Suponga que la tarjeta de crédito le cobra al
cliente el 2,5% mensual y que le difieren la totalidad de la compra (o
sea que no le cobran una suma mayor en la primera cuota, sino que se
reparte en 12 cuotas uniformes). ¿Cuál es el interés anual efectivo?
R. 376,04% e. a. para 10 meses; 141,31% e. a. para 25 meses y
75,70% e. a. para tarjeta de crédito.
53. En febrero de 1996 la Corporación Social de Ahorro y Vivienda Colmena publicó un aviso, donde ofrece sus Bonos Ordinarios Emisión
1996, cuya parte pertinente dice:
4. Valor Nominal e Inversión mínima:
El valor nominal de cada bono de las series B, C, D y E es de UN
($1.000.000,00). La inversión mínima en bonos de la serie B, C, D y E es de DIEZ MILLONES DE PESOS M/CTE
($10.000.000,00) es decir, DIEZ (10) bonos.
MILLÓN DE PESOS M/CTE
5. Ley de circulación:
Los bonos serán a la orden. En consecuencia, podrán ser trasladados mediante endoso y entrega del título, y serán libremente
negociables en las Bolsas de Bogotá, Medellín y Occidente o mediante su negociación directa por los tenedores.
104
IGNACIO VÉLEZ PAREJA
6. Plazo y rendimiento de los bonos:
El plazo de los bonos será el que se indica más adelante, y se
cuenta a partir de la fecha de suscripción. El rendimiento de los
bonos será el equivalente en términos efectivos a la tasa DTF TA.
adicionada en determinado número de puntos porcentuales anuales TA. de acuerdo con la serie que corresponda, de la forma en que
se indica a continuación:
Serie
B
C
D
E
Plazo
2 años
3 años
4 años
5 años
Rendimiento
DTF + 2,00% TA
DTF + 2,50% TA
DTF + 2,75% TA
DTF + 3,00% TA
Para la liquidación de los intereses se tomará la DTF vigente en
la semana en que se inicie el respectivo período de causación de
los intereses, adicionado en los puntos indicados. [...]
7. Periodicidad de pago de los intereses:
La periodicidad de pago de los intereses podrá elegirse, a opción del suscriptor, entre las modalidades que se indican a continuación:
•
•
•
•
•
Semestre vencido ( SV)
Trimestre vencido ( TV)
Trimestre anticipado (TA)
Mes vencido ( MV)
Mes anticipado (MA)
Si la tasa DTF fuera de 27,4% anual, calcule la tasa de interés anual
efectiva, bajo el supuesto de que los intereses se liquidaran como
dice la oferta. ¿Cuál es la tasa de interés nominal para cada modalidad de pago ofrecida, sabiendo que la tasa de interés efectiva debe
ser la misma para cada caso? Si su tasa de equivalencia (tasa de
descuento o tasa de rentabilidad mínima aceptable) fuera de 35%
anual, ¿cuál modalidad de pago le conviene más? Si usted mantiene el bono durante los primeros cuatro pagos y decide venderlo
inmediatamente después de recibir el cuarto pago de intereses (bajo
la modalidad de TA), ¿cuál sería el mínimo valor por el cual lo vendería, si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima
aceptable) fuera de 35% anual? Sugerencia: lea el texto del ejercicio
12 de esta misma sección para informarse, si lo necesita, sobre lo
que es un bono.
A qué tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima aceptable) es indiferente una liquidación TA y una liquidación TV. Sugerencia: para este cálculo utilice la opción Buscar Objetivo de Excel.
Al estar ligada la liquidación a la DTF, ¿qué sucede con su análisis,
en la realidad, al suponer que la DTF es siempre la misma (27,4% )?
¿Qué tipo de análisis se le ocurre a usted que podría hacer en esta
situación?
DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS
105
54. Siguiendo las instrucciones que se encuentran en el texto, construya la tabla de amortización de un plan de pago de $1’000.000 a 180
meses, 3% de interés mensual y con aumentos anuales de 14% .
Cada año la cuota sube un 14% , pero durante el año su valor no
cambia; esto da lugar a cuotas escalonadas.
55. Usted ha leído en las páginas económicas de un periódico local que
se han realizado negocios de colocación de dinero a ciertos plazos y
que al convertir las tasas de interés resultantes a tasas de interés
efectivo anual encuentra lo siguiente:
15
30
60
90
180
360
720
días
días
días
días
días
días
días
28,09%
32,38%
33,68%
33,74%
32,95%
32,30%
38,98%
Basándose en esta información, ¿cómo proyectaría las tasas de
interés futuras?, explique. ¿Cuáles serían esas tasas?