Algunos Tópicos de Termodinámica y Mecánica Cuántica en un

Algunos Tópicos de Termodinámica y Mecánica
Cuántica en un Experimento de Pensamiento en
Computación
Luis Gerardo Pedraza Saavedra
Profesor de Fı́sica
Departamento de Ciencias Básicas
Facultad de Ingenierı́a
Pontificia Universidad Javeriana
Calle 18 # 118-250, Cali, Colombia
E-mail: [email protected]
Utilizando el argumento del demonio de Maxwell, la eficiencia del ciclo de
Carnot, y el principio de indeterminación de Heisenberg, se verá, a través
de un experimento de pensamiento, que es posible determinar la máxima
eficiencia de una máquina computacional calórico-demonı́aca ideal.
Using Maxwell’s demon argument, Carnot’s efficiency and Heisenberg’s
uncertainty principle it is possible to show through a thought experiment,
which is the limit on the efficiency of an ideal computational demonic heat
engine.
Key Words: Maxwell’s Demon, Efficiency, Carnot’s Cycle, Entropy, Information,
Heisenberg’s Uncertainty Principle, Heat or Thermic Engine.
0.
INTRODUCCIÓN
Un cálculo o cómputo, si es realizado en una máquina electrónica, un ábaco, o
un sistema biológico como el cerebro, es un proceso fı́sico sometido a limitaciones
de principio basadas en leyes fı́sicas.
Los computadores se pueden pensar como máquinas para transformar energı́a
libre en calor perdido y trabajo matemático.
Modelos clásicos y cuánticos recientes de computadores, como los balı́sticos y
los brownianos [1] [2] [3], muestran que en principio un computador puede calcular
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97 102, Enero-2002
97
LUIS GERARDO PEDRAZA SAAVEDRA
a velocidad finita, con cero disipación de energı́a y cero error. No hay entonces
una cantidad mı́nima de energı́a para realizar un cómputo.
Esto último no contradice el principio de indeterminación de Heisenberg en su
versión energı́a-tiempo ∆E∆t ≥ ~ , siendo ∆E la indeterminación en la medida
de la energı́a en un fenómeno y ∆t la indeterminación en el tiempo ocupado en
la anterior medida, como también ~ = 1.055 × 10−34 Joule-segundo, ya que él no
requiere cantidad alguna de energı́a en la conmutación rápida de un evento. El
principio de indeterminación serı́a aplicable sólo si se intentara medir el tiempo
preciso en el cual surgió el evento.
Desde los comienzos de los computadores digitales se cuestionó, por algún
lı́mite termodinámico fundamental, la eficiencia de tales mecanismos. Muy
tempranamente von Neumann [4] argumentó que por acto elemental de
información (bit), es decir, por decisión elemental de una doble alternativa (1
o 0), un computador operando a temperatura T debe disipar al menos kT ln 2 de
energı́a (casi 3 × 10−21 Joule a temperatura ambiente), siendo k la constante de
Boltzmann igual a 1.381 × 10−23 Joule/Kelvin
Esta conjetura pareció plausible en vista de la relación cuantitativa entre
información y entropı́a.
A continuacin se enunciará la segunda ley de la termodinámica y su conexión
con la entropı́a. La mencionada ley dice: “para cualquier proceso real, el cambio
de entropı́a del universo es positivo”. Lo anterior es también equivalente a decir
que: todas las máquinas tienen eficiencias menores que la unidad, es decir, no se
puede construir una máquina que convierta por completo la energı́a térmica en
trabajo útil a través de un proceso cı́clico.
Para los procesos reversibles (idealizados) el cambio de entropı́a es nulo, o sea, la
entropı́a permanece fija. La entropı́a se entiende informalmente como una medida
del desorden de un sistema. Entonces lo que la segunda ley de la termodinámica
afirma es que el desorden de un sistema, como un todo, sólo puede crecer o a lo
sumo quedar constante.
El demonio de Maxwell [5] serı́a un organismo o aparato que, abriendo una
puerta entre dos cilindros iguales con gas, permitirı́a que las N moléculas más
rápidas o más energéticas, pasaran de un lado al otro, concentrando finalmente
todo el gas a un lado, reduciéndose la entropı́a del gas en N k ln 2, sin incrementar
la entropı́a del universo; violándose ası́ la segunda ley de la termodinámica.
En la tercera década de este siglo, Szilard [6] argumentó que el proceso mecánico
cuántico de observación, el cual es una medida, conlleva a un aumento de entropı́a
compensado por el decrecimiento de la misma en la operación del demonio, sin
violarse por lo tanto la segunda ley.
Luego Bennett y Zurek [7] cerraron la discusión llegando a la siguiente
conclusión: el demonio de Maxwell ciertamente incrementa su entropı́a, pero no
por el proceso de medida en sı́, sino por la preparación para la próxima medida,
donde tiene que liberar su memoria para acomodar el resultado de la siguiente
observación.
98
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97 102, Enero-2002
ALGUNOS TÓPICOS DE TERMODINÁMICA Y MECÁNICA CUÁNTICA
1.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El demonio de Maxwell falla en su tarea [8] debido a que él opera en un medio
ambiente en equilibrio. El valor energético en la adquisición de la información es
igual al costo de liberar la memoria en la cual se almacena la información.
Suponiendo entonces que el demonio se coloca en un entorno que no está en
equilibrio, debe ser posible para él realizar su trabajo extrayendo energı́a de su
alrededor. Por ejemplo, si el demonio es colocado entre dos reservas térmicas de
diferente temperatura. El valor energético de la información (basado en la reserva
caliente) excederá el costo energético de liberar la memoria (relativo a la reserva
frı́a). ¿Cuán eficiente puede ser la función del demonio como máquina calórica?
Una posible respuesta surge considerando una versión del demonio de Maxwell
que opera en forma completamente reversible, que consiste de tres partes: un
gas unimolecular, un computador reversible y una reserva energética reversible
(baterı́a), estando acoplados entre sı́ y con el medio ambiente en las siguientes
formas:
1. El gas unimolecular puede acoplarse térmicamente con una reserva calórica
externa.
2. El gas unimolecular se acopla mecánicamente a la baterı́a, de tal manera que
el trabajo realizado por el gas pueda almacenarse reversiblemente en la baterı́a, y
la energı́a de ella pueda usarse para realizar trabajo sobre el gas.
3. Las memorias en el computador pueden acoplarse reversiblemente al gas
unimolecular. El volumen del gas puede dividirse en dos mitades iguales, denotadas
por A y B. La molécula puede estar en cualquier mitad. Una memoria particular
tiene los estados 0 y 1. El acople conecta la localización de la molécula con el
estado de la memoria (ver la figura 1).
Se puede suponer también que el demonio puede intercambiar energı́a de la
baterı́a e información del computador con otros sistemas.
El demonio conectado con la reserva térmica a temperatura T tiene dos ciclos
operantes llamados LECTURA y BORRADO (ver la figura 2). En el ciclo
LECTURA, el demonio primero localiza la molécula de gas y luego permite que
el gas se expanda isotérmicamente. Esto incrementará la cantidad de información
en la memoria del computador en un bit y adicionará una energa kT ln 2 a la
baterı́a. En el ciclo BORRADO, el demonio primero comprime el gas unimolecular
isotérmicamente dentro de la región A, luego transfiere el contenido de un bit de
su memoria al gas usando el acople de información.
Sı́ se tiene en cuenta que el acople deja a la memoria del demonio en el estado
0, de tal forma que el bit queda borrado. Sin embargo, la compresión inicial del
gas requiere una energı́a kT ln 2 de la baterı́a.
Claramente,
si el demonio ha trabajado en un doble ciclo
LECTURA-BORRADO, conectado a una reserva térmica, no puede ganar
energı́a neta en promedio; puesto que el ciclo BORRADO gasta tanta energı́a
como la provista por el ciclo LECTURA.
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97 102, Enero-2002
99
LUIS GERARDO PEDRAZA SAAVEDRA
Computador
A
Reserva
Termica
0 1 0 1
T
B
Acople de
informacion
Acople
termico
Bateria
Reversible
Acople
mecanico
Figura 1.
Versión del demonio de Maxwell que opera en forma completamente reversible.
Demonio de
LECTURA
Tc
Demonio de
BORRADO
Flujo de informacion
0 1 0 1
1 0 1 0
Tf
Flujo de energia
Salida de energia
Figura 2.
Ciclos operantes del demonio.
Suponiendo ahora que el sistema incluye dos demonios conectados a diferentes
reservas térmicas, y que éstos son capaces de intercambiar energı́a e información;
la información adquirida en el ciclo LECTURA de un demonio puede utilizarse en
el ciclo BORRADO del otro demonio, quizás a costo reducido. La energı́a sobrante
se podrı́a utilizar en el levantamiento de masas.
Este par de demonios, como una máquina calórico demonı́aca, explota la
diferencia de temperatura entre las reservas para realizar trabajo, adquiriendo y
borrando información. En la máquina calórico demonı́aca, el ciclo LECTURA se
realiza sobre la reserva térmica a temperatura caliente TC , entonces la información
100
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97 102, Enero-2002
ALGUNOS TÓPICOS DE TERMODINÁMICA Y MECÁNICA CUÁNTICA
y la energı́a mecánica se transfieren reversiblemente al segundo demonio, el cual
realiza el ciclo BORRADO sobre la reserva frı́a a temperatura TF .
La máquina calórico demonı́aca ha adquirido una energı́a kTC ln 2 en cada ciclo,
pero ha sido forzada a usar kTF ln 2 de esta energı́a para disponer de la información
no deseada.
Es obvio entonces que la eficiencia de la máquina calórico demonı́aca es:
e=1−
TF
,
TC
la cual es, por supuesto, simplemente la eficiencia de una máquina
calórica ordinaria, o lo que es lo mismo, el ciclo LECTURA-BORRADO es
termodinámicamente equivalente al ciclo de Carnot.
2.
CONCLUSIONES
1. En cierto sentido, los seres humanos son máquinas calórico demonı́acas que
obtienen acceso a la energı́a a través de la información que poseen del entorno.
La temperatura efectiva de LECTURA del medio ambiente es astronómicamente
alta: aun cuando la suma de información genética, cultural y sensorial disponible
para los seres humanos es pequeña comparada con las entropı́as termodinámicas,
éstas últimas proporcionan a los seres humanos energı́as libres grandı́simas.
La temperatura de BORRADO es de unas centenas de kelvin, pero la energı́a libre
es tan fácilmente obtenible que tı́picamente se almacena y se procesa información
en formas termodinámicamente despilfarradoras.
2. En la máquina calórico demonı́aca, el demonio de la reserva caliente transfirió
el contenido de su memoria al demonio de la reserva frı́a, limpiando sus celdas de
memoria. Suponiendo que el primer demonio envı́a una “copia” de su información
manteniendo de todos modos dicha información; los ciclos BORRADO del demonio
de la reserva frı́a no restaurarán la máquina calórico demonı́aca a su estado inicial,
requiriéndose entonces más borrado. En otras palabras, para que la máquina
calórico demonı́aca funcione con eficiencia ideal (eficiencia en la cual la entropı́a
total del sistema completo permanece constante a través del tiempo), NO se pueden
enviar copias de información.
REFERENCIAS
1. Fredkin, E., Toffoli, T.; Int. J. Theor. Phys. 21, 219, 1.982
2. Bennett, C. H.; IBM J. Res. Dev. 32, 16, 1.988 y Likharev, K. K.; Int. J. Theor. Phys. 21,
311, 1.982
3. Feynman, R. P.; Found. Phys. 16, 507, 1.986
4. von Neumann, J.; Fourth University of Illinois Lecture, in: Theory of Self-Reproducing
Automata, edited by A. W. Burks, p. 66, University of Illinois Press, Urbana-Champaign,
1.966
5. Bennett, C. H.; Sci. Am. 255 (11), 108, 1.987 y Maxwell’s Demon: Entropy, Information,
Computing, Leff, H. and Rex, A., eds., Princeton University Press, 1.990
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97 102, Enero-2002
101
LUIS GERARDO PEDRAZA SAAVEDRA
6. Szilard, L.; in: Quantum Theory and Measurement, edited by J. A. Wheeler and W. H.
Zurek, Princeton University Press, p. 539, 1.983
7. Bennett, C. H.; Int. J. Theor. Phys. 21, 905, 1.982 y Zurek, W. H.; Phys. Rev. A 40, 4.731,
1.989
8. Schumacher, B. W.; in: Physical Origins of Time Asymmetry, edited by J. J. Halliwell, J.
Pérez-Mercader and W. H. Zurek, Cambridge University Press, p. 90, 1.996
102
Epiciclos, Cali(Colombia), 1(1): 97, Enero-2002