Agujeros negros y pompas de jabón - FaMAF

Agujeros negros y pompas de jabón
Sergio Dain
FaMAF-Universidad Nacional de Córdoba, CONICET
20 de agosto de 2014
Parte I
Pompas de jabón
Pelı́culas de jabón
Receta:
I
Agua (50 %)
I
Detergente (40 %)
I
Glicerina (10 %)
Superficies de área mı́nima
Dos superficies que tienen como borde el mismo cı́rculo
Área grande
Área mı́nima
I
El disco es la superficie de área mı́nima con un borde dado
por un cı́rculo.
I
La superficie que forma la pelı́cula de jabón sobre un alambre
tiene la mı́nima área posible con el borde dado por el alambre.
Principio de mı́nima acción
I
El equilibrio de un sistema se alcanza cuando su energı́a
es la mı́nima posible.
I
En el caso de las pelı́culas de jabón, la energı́a de la pelı́cula
es proporcional al área de su superficie.
I
Las leyes de la fı́sica se obtienen como puntos de equilibrio de
una “acción”.
I
El cálculo variacional es la rama de las matemáticas que
estudia este tipo de problemas: dada una cierta cantidad (el
área en nuestro caso) y ciertas restricciones (el borde del
alambre) encontrar los mı́nimos o los máximos posibles de esa
cantidad.
Estos enunciados son un principio de la fı́sica por dos razones:
I
Permiten predecir: a partir de esos enunciados podemos
deducir lo que sucederá en un determinado experimento y
contrastarlo con la realidad.
I
Se pueden formular matemáticamente: la matemática juega
un rol crucial en la forma que adoptan esos enunciados y en
su poder de predicción.
Un experimento
Dos aros circulares, iguales, paralelos y centrados.
¿Qué forma tiene la pelı́cula de jabón que se forma entre los aros?
ρ
ρ(z) = a cosh
R
a
−h/2
z
a
R
h/2
Catenaria
z
Catenoide
¿Cuál es la distancia máxima que puedo separar los aros antes de
que se rompa la pelı́cula de jabón?
I
Verificar que la superficie de la pelı́cula de jabón es un
catenoide es complicado, en cambio es simple medir esa
distancia crı́tica.
I
Ese único número tiene, de alguna forma, condensada toda la
información del modelo matemático. Predecir ese número
equivale a confirmar el modelo matemático completo.
I
Esto es una ejemplo de medición indirecta
La distancia crı́tica
2
≈ 1, 33,
sinh δ
Si h/R > no hay solución.
=
δ tanh δ = 1.
h/R < .
h/R = Dos soluciones: la solución interior es
un máximo y la exterior es un mı́nimo.
Solución única.
Existe otro valor crı́tico importante:
γ ≈ 1, 05.
El área de los dos discos formados por los aros es 2πR 2 .
I
Si h/R < γ el catenoide exterior tiene área menor que la suma
de los dos discos.
I
Si h/R > γ el catenoide exterior tiene área mayor que la suma
de los dos discos. Es decir el área no es un mı́nimo entre
los valores > h/R > γ.
Área
Área del cilindro
Área de la superficie
Área de los discos
Diámetro del cuello
Estabilidad: mı́nimos locales
I
Las soluciones de equilibrio son mı́nimos locales. Puede haber
varios.
I
Las soluciones oscilan y luego llegan a un punto de equilibrio.
I
Las soluciones de equilibrio que no son mı́nimos son
inestables y no se observan.
Galerı́a de superficies mı́nimas
Superficie Mı́nima de Costa
Celso José da Costa (Brasil) descubrió en 1982 la siguiente
superficie de área mı́nima:
Pompas de jabón
I
Las pompas de jabón minimizan el área manteniendo
constante el volumen que encierran.
I
Una única pompa en equilibrio es una esfera.
Parte II
Agujeros negros
Agujeros Negros
I
I
I
I
Un agujero negro es una región del espacio-tiempo de la cual
nada (ni siquiera la luz) puede escapar.
Al borde de esa región se lo llama horizonte.
En el interior de un agujero negro la gravedad es tan intensa
que el espacio-tiempo se rompe: singularidad.
Un agujero negro se forma cuando se comprime una cantidad
de materia m dentro de una esfera de radio RS (radio de
Schwarzschild) dado por
RS =
2G
m,
c2
donde G es la constante gravitatoria de Newton y c es la
velocidad de la luz. El número
2G
≈ 10−28 cm g −1 ,
c2
es muy pequeño.
Construir un agujero negro
I
Para formar una agujero negro con el Sol, deberı́amos
comprimirlo hasta ponerlo dentro de una esfera de 3 km de
radio. El Sol tiene un diámetro de 695500 km.
I
Para convertir a la Tierra en un agujero negro deberı́amos
comprimirla en una esfera de 9 mm de radio. La Tierra tiene
un radio de 6371 km.
Observaciones y evidencias
Existen dos tipos de agujeros negros en el Universo:
I
Agujeros negros estelares: su masa es entre 5 y 30 masas
solares. Son producidos por el colapso de una estrella.
I
Agujeros negros supermasivos en los centros de las galaxias:
su masa es entre 106 y 1010 masas solares. Hay uno en el
centro de nuestra galaxia.
Debido a la propia naturaleza de los agujeros negros, todas
las mediciones y evidencias son siempre indirectas. Lo que se
observa es, esencialmente, una región pequeña del espacio que no
emite luz y que tiene una masa enorme.
Cygnus X-1
Fue el primer agujero negro estelar descubierto. Inicialmente, fue
observado como una fuente brillante de rayos X. Se encuentra en
nuestra galaxia en la constelación del Cisne.
I
Sistema binario compuesto por un agujero negro y una estrella
gigante azul.
I
Se especula que la materia de la estrella es absorbida por el
agujero negro.
(Representación artı́stica, NO es una fotografı́a del sistema real)
Vı́a Láctea (nuestra galaxia)
NASA, S. Brunier, foto tomada en cielo de Chile.
Centro de la Vı́a Láctea
ESO, the European Southern Observatory, Telescopio UT4/Yepun.
Agujero negro supermasivo en el centro de nuestra galaxia
I
17 años de observaciones siguiendo la órbita de las estrellas:
1995-2012
I
Las estrellas giran en torno a un centro oscuro y muy masivo.
I
En ese centro se encuentra un agujero negro supermasivo: 4
millones de veces la masa del Sol.
Grupos que realizaron esta investigación:
I
Max-Planck-Institut für extraterrestrische Physik
http://www.mpe.mpg.de/
I
UCLA Galactic Center Group
http://www.astro.ucla.edu/
Rayos de luz
Un flash emitiendo un destello de luz en el centro. Las esferas
concéntricas señalan la llegada de la señal en tiempos futuros.
Horizonte: superficies atrapadas
I
En cada punto de la esfera
gris se emite luz con un
flash.
I
Las esferas pequeñas
representan la luz del flash
propagándose.
I
La esfera exterior engloba
las esferas pequeñas.
I
La esfera gris se llama
atrapada si tiene área
mayor que la de la esfera
exterior.
I
Una superficie atrapada significa que la gravedad es tan fuerte
que la luz no puede escapar. Una superficie atrapada señala la
presencia de un agujero negro.
I
Cuando la gravedad es débil (en esta habitación por ejemplo)
no existen superficies atrapadas.
I
En el caso de gravedad cero el concepto de superficie
atrapada es idéntico al de superficie de área mı́nima.
I
En particular, dado que una superficie atrapada es un agujero
negro, no pueden existir superficies de área mı́nima cerradas
en el espacio plano (acá, por ejemplo).
Choque de agujeros negros
I
Similar al
experimento con los
aros y la pelı́cula de
jabón.
I
Las superficies
atrapadas son como
las pelı́culas de jabón.
I
El tiempo va en la
otra dirección.
I
El área de las
superficies
atrapadas es la
entropı́a. Siempre
crece.
Desigualdad entre tamaño y rotación para agujeros negros
Superficie atrapada (agujero negro) rotando con momento angular
J y área A. Siempre se satisface la siguiente desigualdad
8πJ
G
≤A
c3
Muchas gracias a
I
Marcos Iparraguirre
I
Omar Ortiz
I
Lalo Rivarola
por la gran ayuda.