Calculo de la abertura a en una compuerta plana vertical con

Calculo de la abertura a en una compuerta plana vertical
con descarga sumergida
Figura 1. Elementos y variables básicas que intervienen en la descarga de una
compuerta sumergida.
Datos para cálculo:
Q = gasto a extraer;
b = ancho de la compuerta y del canal;
y1 = profundidad en el deposito;
y3 = profundidad después del salto (descarga sumergida);
acomer = abertura máxima1/ de la compuerta (dato de verificación);
Cc = 0.6242/, coeficiente de contracción para descarga sumergida;
Cv = 0.982/, o Cv = 1 coeficiente de velocidad para descarga sumergida;
Cálculos previos:
q
amin
1
= Q/b, gasto por metro de longitud;
= abertura mínima3/ de la compuerta;
Las compuertas comerciales tienen una abertura máxima, si el resultado final de a es mayor se
deberá de proponer otro tipo de compuerta.
2
Estos coeficientes son constantes y el resultado final de la abertura a de la compuerta establece
el coeficiente de velocidad: Cv = 1 si y1/a < 4 de lo contrario Cv = 0.98.
3
La abertura mínima se obtiene en descarga libre: esto es: 1) el salto se produce a una distancia
a/Cc según Sotelo, 2) la altura del salto y de y3 son iguales: ys = y3, 3) y un coeficiente de
descarga Cd = 0.6 y esto se logra para y1/a > 10.3.
y3/y1 = relación de profundidad y debe ser < 0.91;
1) Formulas para el cálculo de una compuerta con descarga libre
q
Q
 Cd a 2gy1
b
a min 
q
Cd 2gy1
Cd  0.5316  y1/a 
(1)
Cd = 0.6 para y1/amin > 10.3
0.0516
para
2.5 ≤ y1/a ≤ 10.3
(2)
(3)
Si se sustituye (3) en (1) y se despeja a, se obtiene para todo el rango de y1/a
a min

a
1.0544
0.5516
 0.4247q/y1



y1/a min > 10.3
2.5  y1/a min  10.3
(4)
La altura del salto se obtiene con la ecuación empírica de Swamme4/
1/1.72
 1 y1 
ys  a 

 0.81 a 
2.5 
y1
a
 16
(5)
La altura de y2 se obtiene a partir de: y2 = Cca que para este algoritmo es 0.624 y con
esto se obtiene la longitud del salto Ls
y2  0.624  a
(6)
Ls  6  ys  y2   a/Cc
(7)
V2  q/y2 , NF22  V22 /  gy2 
(8 y 9)
Se comprueba la ecuación empírica de Swamme versus la hipótesis que Cc = 0.624
usando la ecuación teórica del salto.
ys 
4
y2
2


1 + 8Fr22  1
(105/)
La ecuación (5) fue obtenida en base a datos experimentales en el rango de y1/a que se
indican y por métodos de regresión por lo tanto, resultados fuera de estos límites se
deben confrontar con (10).
5
Las ecuaciones (6 a 10) se obtienen asumiendo que no hay perdidas en la compuerta:
h12 = 0, o sea, Cv = 1 y por lo tanto; K = (1/Cv2 -1) = 0.
6/ Las ecuaciones (6 a 10) se obtienen asumiendo que no hay perdidas en la compuerta:
h12 = 0, o sea, Cv = 1 y por lo tanto; K = (1/Cv2 -1) = 0.
2) Formulas para el cálculo de una compuerta con descarga sumergida
 CvCc  a
q
2 a 
1   CvCc   
 y1 
2g  y1  ya 
2
(11)
donde

Cv y3  

ya  y3 1  2NF32 1 

 CvCc a  

0.5
, NF32 
q2
gy33
(12 y 13)
Al despejar a de (11)
 a 
a  q 1   CvCc   
 y1 
2
1
2
 CvCc 
2g  y1  ya 
(14)
El cálculo de a a partir de (14) por facilidad se puede efectuar a través del método del
punto fijo asignando un valor inicial a la abertura a0 = 1.3·a, donde a es la abertura
mínima y se obtiene de (4). Las constantes en el calculo son: CvCc, NF32 y se puede
reducir aun más si el radical del numerador se calcula por separado
a
N
(15)
2g  y1  ya 
Nq
1
 CvCc 
2
a 
 
 y1 
2
(16)
Calculada la abertura a de la compuerta con 11 iteraciones (a11) calcula Cd de (1).
Cd 
a11
q
19.62y1
(17)
Para coeficientes de descarga Cd < 0.24 existe un error importante y es necesario
efectuar el siguiente ajuste propuesto en la investigación:



y
y

ajuste  si  3  0.865, 0 ,   0.11 3  0.092  
y1
 y1




(18)
El valor de la relación y3/y1 se conoce desde el principio, son parte de los datos. Este
ajuste solo se aplica en relaciones y1/a > 4.2, como el valor de a se conoce en la
iteración 11 entonces
 y

Cd  Cd  si  1  4.2, 0 ,ajuste 
 a11

a
q
Cd 19.62y1
(19)
(20)
3) Calculo en una hoja EXCEL
Figura 2. Calculo de la abertura a de una compuerta plana vertical con arista viva
con descarga libre o sumergida.
Ya que el número de ecuaciones involucradas en el cálculo son demasiadas fue
necesario escribirlas en un lenguaje como el EXCEL.
Como los valores de Cv pueden ser: Cv = 0.98 o Cv = 1 dependiendo de si y1/a < 4 o
no, en la figura 2 se selecciona un ejemplo donde de una iteración a otra el valor de
Cv·Cc va cambiando y con esto el método numérico nunca converge, a partir de la
iteración 5 se crea una instrucción que detecte esta situación y que decida por Cv = 1 o
Cv·Cv = 0.624.
4) Métodos numéricos
Para la construcción de las ecuaciones (4 y 5) se usó la técnica de regresión sobre la
base de los datos experimentales que por lo común se expresan en graficas.
Para el cálculo de a se usa el método numérico de punto fijo por facilidad en la
escritura.
Al escribir el procedimiento de calculo en cualquier lenguaje de computadora el uso de
operadores lógicos es obligado para determinar los limites de las ecuaciones, este es el
caso de los mensajes que indican que el calculo esta fuera de los limites donde la
solución es razonablemente exacta.
5) Conclusión
Varios autores han publicado sus resultados experimentales y teóricos y sobre la base de
estos es posible realizar el calculo de la abertura a de la compuerta con seguridad,
conocimiento de causa y exactitud razonable.
6) Información experimental
Figura 3. Coeficiente Cd para una compuerta con descarga libre y arista viva para
diferentes ángulos θ de inclinación según Gentilini.
De la curva para 90º se obtiene la ecuación (4).
Figura 4, Coeficiente de descarga para una compuerta plana vertical con arista vertical
con descarga sumergida según Cofré-Bucheister.
De la curva de descarga libre de la figura 3, Swamme (1992) usando datos de
Rajaratnam (1967) construye la ecuacion (5) expresada de la siguiente forma:
1.72
y1
y 
 0.81 3 
a
 a 
la descarga es libre de lo contrario sumergida
(21)
Si (18) es una igualdad entonces y3 = ys, como lo asume Jung-Fu (2001).
De la figura 2, el autor encuentra que usando un valor de Cc = 0.625 y Cv = 0.98 se
obtiene con exactitud razonable el valor de Cd de las curvas de la figura para relaciones
y1/a ≥ 3.5 y para 2.3 ≤ y1/a < 3.5, Cv = 1.
Figura 4. Coeficientes Cd para una compuerta radial según datos del USBR y el
algoritmo de Buyalski (1983).
Uno de los límites propuestos en la figura 1, es que la profundidad y3 debe sumergir al
la profundidad del salto ys en descarga libre en un 5%, esto es, y3 > 1.05 ys, las causas
de este límite son las siguientes:



El resultado de a calculado a través de ecuaciones teóricas e hipótesis es un
numero imaginario conforme la curva y3/a se intersecta con la curva de
descarga libre de la figura 2.
Si el resultado no es imaginario la predicción de Cd tiene errores mayores al
|5%|.
Físicamente: ya/a < 1, o sea, la descarga sumergida en la sección 2 no alcanza a
cubrir ni la abertura a de la compuerta.
El establecer el limite y3 > 1.05ys es congruente con los resultados de Buyalski (1983)
y de Metzler (1948) que se indican en la figura 4 donde las mediciones están alejadas
de la descarga libre y que además no asumen que se pueda acoplar las curvas
sumergidas con la curva de la descarga libre.
El segundo límite propuesto es: y3/y1 < 0.91, la causa de esto que la predicción de Cd
no es muy exacta