Transmisión del calor

ENUNCIADO
Si por conducción se transfieren 3 kW a través de un material aislante de 1de sección recta, 2,5 cm de espesor
y cuya conductividad térmica puede tomarse igual a 0,2 W/(m·ºC), calcúlese la diferencia de temperaturas
entre las caras del material.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La diferencia de temperaturas entre las caras del aislante.
Datos conocidos y diagramas:
q = 3 kW
Área = 1
Espesor = 2,5 cm
k = 0,2 W/(m ºC)
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
Q = −k.A.
Despejando la variación de temperaturas tenemos:
=
Sustituyendo por los valores:
= = 375 ºC
Comentarios:
Como el material es un aislante la conductividad es muy pequeña. Así pues, tenemos una considerable
diferencia de temperaturas entre las caras del mismo. Se podría comprobar este hecho tomando la
conductividad de un material no aislante como por ejemplo el cobre (Tabla A.1).
ENUNCIADO
1
En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone una diferencia de temperaturas de 85 ºC. LA
conductividad térmica de la fibra de vidrio es 0,035 W/(m ºC). Calcúlese el calor transferido a través del
material por hora y por unidad de área.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El calor transferido a través del material por hora y por unidad de área
Datos conocidos y diagramas:
øTø = 85 ºC
Espesor = e = 13 cm q q
K = 0,035 W/(mºC)
T1 T2
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
• Suponemos T1 > T2
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
q = −k.A.
El calor transferido por unidad de área y por segundo será:
= −k = −k
Sustituyendo por los valores conocidos:
Calculamos el calor transferido por hora:
Comentarios:
El incremento de temperaturas ( T = T2 − T1) se ha puesto negativo ( −85 ºC ) al haber considerado T1 >
T2.
ENUNCIADO
Un cono truncado de 30 cm de alto está hecho de aluminio. El diámetro de la superficie superior es 7,5 cm y
el de la inferior es 12.5 cm. La superficie inferior se mantiene a 93ºC y la superior a 540ºC. La superficie
lateral está aislada. Suponiendo el flujo de calor unidimensional, ¿cuál es el flujo de calor en vatios?.
2
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El flujo de calor en vatios.
Datos conocidos y diagramas:
SUPERIOR = 7.5 cm
INFERIOR = 12.5 cm
Altura = 30 cm
Temperatura cara superior = 540ºC
Temperatura cara inferior = 93ºC
kALUMINIO = 202 W/m ºC
Consideraciones:
• Suponemos régimen estacionario y flujo unidimensional en x.
• La conductividad térmica del aluminio es constante.
• El área varía en función de x.
Resolución:
Según la fórmula de Fourier para la transmisión de calor por conducción:
Realizamos la integración de la ecuación de Fourier, para poder hallar el calor transferido en vatios:
El área(radio), varía a lo largo del eje x. Por ello antes de realizar el proceso de integración, deberemos
conocer la relación analítica que existe entre el radio y la variable x:
Una vez conocida la variación del radio a lo largo del eje x, podemos realizar la integración:
Resultado:
Comentarios:
• Problema de transmisión de calor por conducción, en régimen estacionario y flujo unidimensional.
• Conductividad térmica del material es constante.
• El área varía a lo largo del eje x.
ENUNCIADO
Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesor son 370 y 93 ºC. La pared está
construida con un vidrio especial que tiene las siguientes propiedades: k = 0,78 W/(m·ºC), = 2700 kg/m3, cp
= 0,84 kJ/(kg·ºC). ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared en condiciones estacionarias?
SOLUCIÓN
3
Se debe hallar:
Flujo de calor a través de la pared.
Datos conocidos y diagramas:
T1 = 370 ºC
T2 = 93 ºC
Espesor = 0,15 m
k = 0,78 W/(m·ºC)
Consideraciones:
• Estado estacionario, por lo tanto q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
q = −kA
El flujo de calor por unidad de área será:
Sustituyendo por los valores:
ENUNCIADO
Un material superaislante cuya conductividad térmica es 2 x 10−4 W/(m.ºC) se utiliza para aislar un depósito
de nitrógeno líquido que se mantiene a −196ºC; para evaporar 1 Kg de nitrógeno a esa temperatura se
necesitan 199 KJ. Suponiendo que el depósito es una esfera que tiene un diámetro interior (DI) de 0,61 m,
estímese la cantidad de nitrógeno evaporado por día para un espesor de aislante de 2,5 cm y una temperatura
ambiente de 21ºC. Supóngase que la temperatura exterior del aislante es 21ºC.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La cantidad de nitrógeno evaporado por día.
Datos conocidos y diagramas:
k = 2 x 10−4 (W/m·ºC)
Ti = −196ºC
DI = 0,61 m
4
Espesor =2,5 cm
Tamb = 21ºC
W =199 KJ/Kg
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario.
• Suponemos conducción unidimensional en r.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
Sabemos que el área de una esfera es:
A = 4·· r2
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
q = −k·A·
Sustituyendo el área de la esfera en la ecuación de Fourier, queda:
q = − k·4··r2·
Reordenando los términos queda:
Resolviendo la ecuación, entre ri y re como límites de integración:
Despejando q:
Siendo ri = 0,61/2 = 0,305m y re = 0,305 + 0,025 = 0,330m
Sustituyendo los datos queda:
Puesto que para evaporar 1 Kg de nitrógeno se necesita 199 Kg, para calcular la masa total evaporada
hacemos:
Y como un día tiene 86.400 segundos:
Comentarios:
Como se puede observar este es uno de los problemas más sencillos de transferencia de calor por conducción ,
al ser un caso particular del caso general, en el cual la temperatura puede variar con el tiempo (en este caso es
constante), y en el que pueden existir fuentes de calor en el interior del cuerpo (no las hay).
ENUNCIADO
Un oleoducto de 50 cm. de diámetro transporta, en el Ártico, petróleo a 30 ºC y está expuestoa una
temperatura ambiente de −20 ºC. Un aislante especial de polvo de 5 cm. de espesor y de conductividad
térmica 7 mW/m·ºC cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de convección en el exterior del
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oleoducto es 12 W/m2·ºC. Estímese la pérdida de energía del oleoducto por unidad de longitud.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El flujo de calor que se disipa por unidad de longitud
Datos conocidos y diagramas:
q
qq
T=30ºC
q
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto el flujo de calor no depende del tiempo.
• El oleoducto es muy largo y por lo tanto se puede suponer flujo de calor radial: q=q(r).
• La conductividad térmica y el coeficiente de convección son constantes.
• El petróleo se mantiene a 30 ºC homogéneamente a pesar de perder calor.
Resolución:
Aplicando la ley de Fourier para conducción de calor radial, en estado estacionario, y en un cilindro por cuya
pared exterior hay convección, obtenemos:
La pérdida de calor por unidad de longitud:
Comentarios:
El efecto predominante y que limita la pérdida de calor es la baja conductividad del aislante.
ENUNCIADO
Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, está colocada entre dos placas a 100 y 200 ºC. Calcúlese el
calor transferido a través de la capa.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El calor por unidad de área transferido a través de la capa de asbesto.
Datos conocidos y diagramas:
T1 = 200 ºC
T2 = 100 ºC
6
Espesor = 5 cm Q/A Q/A
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
Q = −k.A.
De la tabla A.3 (página 440) obtenemos la conductividad térmica del Asbesto poco compacto a 100ºC.
K = 0,161 W/m ºC
Sustituyendo por los valores:
= = 322 W/m2
ENUNCIADO
Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/(m·ºC). ¿Qué espesor será necesario para que haya una
caida de temperatura de 500 ºC para un flujo de calor de 400 W/m2?
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El espesor del aislante
Datos conocidos y diagramas: T1 T2
K = 10 W/(m·ºC)
T = −500 ºC
q/A = 400 W/m2
Consideraciones:
• Flujo estacionario
• Conducción unidimensional en la dirección x
• k constante
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
Q = −k.A.
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Despejando x obtenemos la ecuación a aplicar
Sustituyendo los valores obtenemos:
ENUNCIADO
Suponiendo que la transferencia de calor de la esfera del Problema 1.5 tiene lugar por convección natural con
un coeficiente de convección de 2,7 W/(·ºC), calcúlese la diferencia de temperatura entre la cara exterior de la
esfera y el ambiente.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La diferencia de temperaturas entre la cara exterior de la esfera y el ambiente.
Datos conocidos y diagramas:
Q
Q = 2,196 W
Diámetro exterior(De) = 1
Espesor(e) = 2,5 cm De
h = 2,7 W/(
.ºC) e
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• El coeficiente de convección es cte (h = cte).
Resolución:
Utilizaremos la Ley de Newton del enfriamiento:
Despejando la variación de temperaturas tenemos:
Sustituyendo por los valores:
ENUNCIADO
Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que toda la energía radiante que sale de
una de ellas, que se encuentra a 800 ºC, es interceptada por la otra. La temperatura de esta última superficie se
mantiene a 250 ºC. Calcúlese la transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de área de la
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superficie que se mantiene a 800 ºC
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene a
800 ºC
Datos conocidos y diagramas:
T1 = 800 ºC
T2 = 250 ºC
= 5,669 x 10−8 W/(m2K4)
S2
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Las dos superficies son perfectamente negras. ( = 1).
• Toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800 ºC, es interceptada por la otra. (
No habrá pérdida de radiación electromagnética en los alrededores. FG (factor de vista) = 1 ).
Resolución:
Según la ley de Stefan Boltzman de la radiación para cuerpos negros tenemos:
Q = A(T14−T24)
Despejando el flujo de calor transferido por unidad de área de la superficie que se mantiene a 800 ºC tenemos:
(T14−T24)
Sustituyendo por los valores:
(5,669 x 10−8 W/m2.K4)( (1073)4 K4 −(523)4 K4) = 70900 W/m2
En una hora:
q = (70900 W/m2) (3600 s/hora) = 28440000 J/m2h
q = (28440000 J/m2h) () = 28440 KJ/m2h
ENUNCIADO
Dos planos paralelos y muy grandes cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro se
mantienen a 100ºC y 425ºC respectivamente. Calcúlese el calor transferido por unidad de tiempo y unidad de
área.
9
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
Se debe hallar el calor transferido por unidad de área y tiempo, es decir, q emitido.
Datos conocidos y diagramas
T1
T1 = 1100 ºC q
T2 = 425 ºC T2
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Suponemos que los planos son tan grandes que no se escapa radiación por los bordes.
• Suponemos que las temperaturas permanecen constantes.
• Consideramos ambas placas como RADIADORES TERMICOS " CUERPOS NEGROS.
Resolución:
Al considerarse cuerpos negros podemos decir que la transmisión de calor es mediante RADIACIÓN, cuya
ecuación matemática corresponde a:
con = cte. de STEFAN−BOLTZMAN = 5,669 x 10−8 W/m2 k4
Por lo tanto podemos concluir que el intercambio de radiación entre las dos superficies será:
ENUNCIADO
Dos placas infinitas y negras a 500 y 100 ºC intercambian calor por radiación. Calcúlese el flujo de calor por
unidad de área. Si otra placa perfectamente negra se coloca entre las dos primeras, ¿en qué cantidad se reduce
el flujo de calor? ¿Cuál será la temperatura de la placa del centro?
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
Flujo de calor por unidad de área.
En qué cantidad se reduce el flujo de calor si introducimos una placa perfectamente negra.
La temperatura de la placa anterior.
Datos conocidos y esquema: 1 2 1 2
Las placas son infinitas.
T1= 500 ºC Q/A Q/A Q/A
10
T2= 100 ºC
T1 T2 T1 TP T2
CASO 1 CASO 2
Resolución:
El intercambio de calor por radiación entre dos superficies viene dada por la ecuación de Stefan−Boltzman y
es proporcional a la diferencia de temperaturas a la cuarta potencia:
donde es la constante de Stefan−Boltzmann.
Las temperaturas T1 y T2 hay que expresarlas en Kelvin
T1=500+273=773 K
T2=100+273=373 K
Ahora introducimos una placa negra a una temperatura Tp. El flujo de calor entre la placa 1 y la placa negra es
el mismo que entre la placa negra y 2, por lo tanto:
Podemos conseguir la temperatura de la placa negra que será:
Tp= 659 K = 386 ºC
Así el flujo de calor por unidad de área es:
%50 % vemos que se ha reducido en un 50 %
ENUNCIADO
Por un tubo de 2,5 cm. de diámetro y 3 m. de largo fluyen 0,5 kg/s de agua. Se impone un flujo de calor
constante en la pared del tubo, de modo que la temperatura en la pared del tubo es 40 ºC mayor que la
temperatura del agua. Calcúlese el flujo de calor y estímese el incremento de temperatura del agua. El agua
está presurizada de manera que no tenga lugar la ebullición.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El flujo de calor y el incremento de temperatura del agua.
Datos conocidos:
Diámetro d = 2,5 cm.
Longitud L = 3 m.
Flujo másico = 0,5 kg/s
Diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el agua Tp − Ta = 40 ºC.
11
Consideraciones:
• Suponemos convección uniforme por toda la superficie.
• El coeficiente de transferencia de calor por convección es cte (h = cte).
• El flujo de calor se considera constante en la pared del tubo.
Resolución:
Según la ley de Newton del enfriamiento, el flujo de calor transferido por convección (q) es:
q = h·A·(Tp −Ta)
De la tabla 1.2 sacamos h = 3500 W/m2·ºC .
El área de la superficie convectiva es A= ·d·L = ·(0,025 m)·(3 m) = 0,2356 m2.
Sustituyendo:
q= (3500 W/m2·ºC)· ·(0,025 m)·(3 m)·( 40 ºC) = 32987 W.
Este flujo de calor transferido repercutirá en un incremento de la temperatura del agua tal que :
·
q= m ·cp· T
siendo cp el calor específico a presión constante, que podemos ver en la tabla A.9 donde aparecen las
propiedades del agua como líquido saturado.
Para cp= 4180 J/kg·ºC tenemos que :
32987 W = (0,5 kg/s)·(4180 J/kg·ºC)· T por lo que:
= 15,78 ºC.
Comentarios:
Debido al flujo de calor se va a producir un incremento en la temperatura del agua, que aumenta en 15,78 ºC.
ENUNCIADO
Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que está fría se expone al vapor de agua a una presión de 1 atm
(Tsat=100ºC) de modo que se condensan 3,78 kg/h. Calcúlese la temperatura de la placa. Consúltense las
tablas del vapor de agua para las propiedades que se precisen.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La temperatura de la placa.
Datos conocidos y diagramas:
12
Área = 0,3 x 0,3
P = 1 atm
se condensa cada hora
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto q = cte.
• Consideramos h=cte
• La transferencia de calor se produce por convección.
Resolución:
De las tablas del vapor de agua para Tsat = 100 ºC obtenemos hfg = 2.257
por lo tanto el flujo de calor intercambiado en el paso de vapor a líquido será:
que será igual al calor expresado por la ley de Newton del enfriamiento:
De la tabla 1.2 obtenemos el coeficiente de transferencia de calor por convección en una superficie vertical
con condensación de agua a 1 atm
Sustituyendo en la ecuación de Newton e igualando al flujo de calor por condensación tenemos:
Luego la temperatura de la placa será:
ENUNCIADO
Un pequeño calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de anchura con una longitud total de 3 m. La
emisividad de la superficie de las tiras es 0,85. ¿A qué temperatura habrá que calentar las tiras si tienen que
disipar 1.600 W de calor a una habitación a 25 °C?
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La temperatura de la superficie de las tiras.
Datos conocidos y diagramas:
q = 1.600 W
= 0,85
T2 = 25 °C
T2
Consideraciones:
• Suponemos que la tira sólo radia por una cara.
13
• El intercambio de calor por radiación se da entre la tira y la habitación, que envuelve por completo a la tira.
Resolución:
La transferencia de calor por radiación entre dos superficies, siendo una de ellas mucho mayor que la otra y
encerrando completamente a la menor, viene dada por la ecuación (1.12):
q = ··A1· (T14 − T24)
Despejando el valor de T1 tenemos:
Sustituyendo los valores y considerando que:
A1 = 0,006 · 3 = 0,036 m²
= 5,669 · 10−8 W/ m ·°C
T1 = 1167 K = 893 °C
Comentarios:
El cálculo del calor transmitido suele ser mucho más complicado de lo que en este ejercicio se muestra. Este
es el caso particular más sencillo en que los factores de forma de la ecuación (1.11) son la unidad, y sólo
intervienen dos superficies.
ENUNCIADO
Calcular la energía emitida por un cuerpo negro a 1000 ºC
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
Energía emitida por radiación.
Datos conocidos y diagramas:
Tª = 1000 ºC = 1273 K.
( Constante de Boltzmann ) = 5,669.10−8 W/m2.K4
Consideraciones:
Suponemos factor = 1.
Resolución:
Según la fórmula para la emisión de energía por radiación, para un cuerpo negro, tenemos:
q = · A· T4
Despejando la relación calor por unidad de área, tenemos:
14
= · T4
Sustituyendo por los valores:
= 5.669·10−8 W/m2.K4 .( 1273 K )4 ! = 1,489·10−5 W/m2
Comentarios:
Este problema es muy sencillo por la consideración de cuerpo negro, donde = 1.
ENUNCIADO
Si el flujo radiante del sol es 1.350 W/m2, ¿cuál sería su temperatura equivalente de cuerpo negro?
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
Temperatura equivalente del sol como cuerpo negro.
Datos conocidos y diagramas:
W/m2
Consideraciones:
Suponemos el sol como cuerpo negro.
Resolución:
Dado que el sol es el cuerpo negro por excelencia, emitirá energía de radiación de forma proporcional a la
temperatura absoluta del cuerpo; elevada a la cuarta potencia, y directamente proporcional al área de su
superficie. Así por la ley de Stefan Boltzman de la radiación:
q emitido = · A · T4 con = 5,66 ·10−8 W/ m2· K4, constante de Stefan Boltzmann.
Sustituyendo en la expresión anterior:
1.350 (W/m2 ) = 5,669·10−8 (W/m2·K4) · T4 (K4)
y despejando la temperatura: T = 392,83 K.
Es decir, la temperatura equivalente de cuerpo negro sería de 392,83 K.
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ENUNCIADO
Una pared lisa está expuesta a la temperatura ambiente de 38 ºC. La pared se cubre con una capa de 2,5 cm de
espesor de un aislante cuya conductividad térmica es 1,4 W/m·ºC, siendo la temperatura de la interfaz
pared−aislante de 315 ºC. La pared pierde calor al ambiente por convección. Calcúlese el valor del coeficiente
de transferencia por convección que hay que mantener en la cara exterior del aislante para asegurar que la
15
temperatura de esta cara no supere los 41 ºC.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El valor del coeficiente de transferencia por convección que hay que mantener en la cara exterior del aislante
para asegurar que la temperatura de esta cara no supere los 41 ºC.
Datos conocidos y diagramas:
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
Según la fórmula de Fourier de la conductividad estacionaria unidimensional tenemos:
Del mismo modo, según la fórmula de Newton de la transferencia de calor por convección tenemos:
Igualando las dos fórmulas:
El valor del área puede despejarse de la igualdad.
Así, nos queda:
Sustituyendo por los valores del problema:
De esta forma, se obtiene un resultado para el coeficiente de transferencia de calor por convección de:
ENUNCIADO
Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100 ºC mientras que la otra se expone al ambiente que está
a 10 ºC, siendo h = 10 W/(m2.ºC) el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica k =
1,6 W/(m.ºC) y un espesor de 40 cm. Calcúlese el flujo de calor a través de la pared.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El flujo de calor a través de la pared.
Datos conocidos y diagramas:
T1 = 100 ºC
T" = 10 ºC
h = 10 W/(m2.ºC)
16
x = 40 cm = 0,4 m
k = 0,2 W/(mºC)
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto q = cte. Además el estado estacionario implica que el flujo de
calor por conducción en la pared es igual al flujo de calor por convección entre la pared y el ambiente.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
• Suponemos distribución lineal de temperaturas en la pared.
Resolución:
La conducción unidimensional en estado estacionario y sin generación de energía se puede resolver mediante
la ecuación de Fourier.
La convección se calcula mediante la ley de Newton de enfriamiento.
De la situación de régimen estacionario sabemos que ambos flujos son iguales. De ahí podemos obtener la
temperatura de la cara de la pared en contacto con el ambiente, que desconocemos.
Sustituyendo los datos obtenemos:
T2 = 35,71 ºC
Ahora podemos obtener el flujo de calor, tanto a partir de la ecuación de Fourier como de la de Newton
Sustituyendo:
257,1 W / m2
Comentarios:
El cálculo de la convección como se ve es muy sencillo una vez conocido el coeficiente de transferencia de
calor por convección. El cálculo de este coeficiente es lo realmente complicado en convección.
ENUNCIADO
Compárese el flujo de calor por convección natural desde una pared vertical con la conducción pura a través
de una capa de aire vertical de 2,5 cm de espesor y que tiene la misma diferencia de temperatura Tp−T".
Hágase uso de la información de la Tabla 1.2.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El flujo de calor por conducción en una pared de aire y el flujo de calor por convección natural en una placa
plana.
Datos conocidos y diagramas:
17
Éstas son las dos situaciones:
De la figura 1.4 ! kaire " 0,03 W/m·ºC
De la tabla 1.2 ! h " 4,5 W/m2·ºC (si la placa es de 0.3 m de alto)
Consideraciones:
• La diferencia de temperaturas entre los lados de la pared es la misma que la diferencia Tp−T".
• La placa es de 0,3 m de alto por 0,3 m de ancho.
• La convección se realiza de modo natural.
• Suponemos conducción unidimensional en x.
• La conductividad térmica es cte (k = cte).
Resolución:
En el caso de la conducción, se aplica la ley de Fourier:
q = k.A. = 0,03 · (0,3)2 · = 3,24 W
En el caso de la convección, la ley de Newton del enfriamiento:
Q = h · A ·T = 4,5 · (0,3)2 · 30 = 12,15 W
Comentarios:
Nos sale un resultado mucho mayor en la convección, lo que nos hace recordar que en la convección natural,
pese a no forzarse el movimiento de aire, éste se produce, ayudando a evacuar calor. Además, aunque el
principio último de la convección sea la conducción, esto no significa que sea en una capa de 2,5 cm de
espesor. Depende de los casos, como se verá.
ENUNCIADO
Una placa de metal está perfectamente aislada por una de sus caras y por la otra absorbe el flujo radiante del
sol de 700 W/m2. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la placa es 11 W/m2 ºC y la
temperatura del ambiente es 30ºC. Calcúlese la temperatura de la placa en condiciones de equilibrio
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La temperatura de la placa en condiciones de equilibrio.
Datos conocidos y diagramas:
700W/m2
T"=30ºC h=11W/m2 ºC
¿Tp?
Consideraciones:
18
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
• Suponemos que estamos en el equilibrio.
Resolución:
Como el calor por unidad de superficie que entra por radiación es igual al calor por unidad de superficie que
sale por convección tenemos:
Además sabemos que:
(dato) y !
Por lo que resulta despejando:
Tp = 93,6ºC
Es la temperatura de la placa en condiciones de equilibrio.
ENUNCIADO
Un cilindro de 5 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200 ºC mientras que una corriente de
aire, a 30 ºC y con una velocidad de 50 m/s, le sopla transversalmente. Si la emisividad de la superficie es 0,7,
calcúlese la pérdida total de calor por unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que está
colocado el cilindro están a 10 ºC. Coméntense los cálculos.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La pérdida total de calor por unidad de longitud que sufre el cilindro.
Datos conocidos:
diámetro=5 cm
Tcilindro=200 ºC
Tcorriente=30 ºC
v=50 m/s
=0,7
Tparedes=10 ºC
Resolución:
La pérdida de calor es la suma de la convección y radiación. (Al encontrarse todo el cilindro a la misma
temperatura, no existe un gradiente de temperaturas en el mismo, y por lo tanto el fenómeno de la conducción
no se da.)
Haciendo uso de la ley de Newton del enfriamiento resulta:
19
=
Por otro lado, al estar el cilindro encerrado completamente por otra superficie mucho mayor que se mantiene a
otra temperatura, podemos hacer uso de la siguiente ecuación (radiación en un recinto):
Con los datos Tcorriente=30 ºC y v=50 m/s, podemos deducir a partir de la tabla 1.2 que:
h=180
La pérdida de calor por unidad de longitud es:
ENUNCIADO
Una placa vertical y cuadrada, de 30 cm de lado, se mantiene a 50ºC y está expuesta al aire de una habitación
a 20ºC. La emisividad de la superficie es 0,8. Calcúlese el calor total perdido por ambas caras de la placa
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El calor total perdido por ambas caras de la placa.
Datos conocidos y diagramas: Q Q
Thabitación = 20ºC Thab. = 20ºC
Tplaca = 50ºC
Área = 0,3m·0,3m = 0,09m2
Emisividad () = 0,8
Tp = 50ºC
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario.
• Se debe tener en cuenta la pérdida de calor en ambas caras de la placa.
• Se supone que el coeficiente de transferencia de calor por convección es cte.
• Suponemos convección natural.
Resolución:
En este problema intervienen en la pérdida de calor tanto el fenómeno de convección como el de radiación de
este modo, tenemos que el calor total perdido por ambas caras de la placa se puede expresar como la suma de
dos términos: pérdida de calor debido a la convección y pérdida de calor debida a la radiación.
qtotal = qconv + qrad
Primero se estudiará la convección. La ley de enfriamiento de Newton dice lo siguiente:
donde h = coeficiente de transferencia de calor por convección
20
A = área
Tw = temperatura del cuerpo caliente(en este caso la placa)
T" = temperatura del fluido
En este caso se disponen de todos los datos para aplicar la ley de enfriamiento de Newton, excepto del dato
del coeficiente de transferencia de calor por convección (h). Para obtener su valor miramos en la tabla 1.2 del
libro y se tiene que:
h = 4,5 W/m2ºC
por lo tanto ya se pueden sustituir valores y se obtiene:
qconv = 4,5·0,32·(50−20)· (2caras)= 24,3 W
Se pasa a continuación a estudiar la radiación. La ley de Stefan−Boltzman para una superficie a temperatura
T1 encerrada completamente por otra superficie mucho mayor que se mantiene a T2, y teniendo en cuenta la
emisividad de la superficie a T1, dice lo que sigue:
donde = constante de Boltzman = 5,669·10−8 W/(m2·K4)
= emisividad
A = área de la superficie a temperatura T1
T1 = temperatura de la placa (en grados Kelvin)
T2 = temperatura del aire de la habitación(en grados Kelvin)
por lo tanto sustituyendo los datos se obtiene:
qrad = (5,669·10−8)(0,8)(0,32)(3234−2934)3(2caras) = 28,7 W
Por lo tanto ya se puede calcular el calor total perdido por ambas caras de la placa:
qtotal = qconv + qrad = 24,3W +28,7W = 53W
ENUNCIADO
Sobre una placa negra de 20 x 20 cm hay una corriente de aire a 0ºC con una velocidad de 2 m/s. La placa se
halla colocada en una gran habitación cuyas paredes están a 30ºC. La otra cara de la placa se encuentra
perfectamente aislada. Calcúlese la temperatura de la placa resultante del equilibrio entre la convección y la
radiación. Hágase uso de la información de la tabla 1.2.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La temperatura superficial de la placa en el lado orientado hacia la habitación.
Datos conocidos y diagramas:
21
V = 2 m/s
Área = 400 m2
Tparedes = Tp = 30ºC = 303k
T" = 0ºC = 273k ;
T1 = Tplaca? = (20x20)m2
Consideraciones:
• Las dimensiones de la habitación son mucho mayores que las de la placa.
• La habitación y la placa constituyen un sistema aislado (Qexterior=0).
• Las únicas transferencias de calor son la convección entre la placa y el interior de la habitación y la
radiación entre la placa y las paredes de la habitación.
Resolución:
De las consideraciones 2 y 3:
Tendremos que aplicar la expresión de la ley de enfriamiento por convección de Newton:
y la expresión que nos da el intercambio de calor por radiación entre una superficie a T1 y las paredes (a Tp)
de un recinto mucho mayor que la encierra:
.
Teniendo en cuenta que para un cuerpo negro la emisividad es 1, y obteniendo de la tabla 1.2 el valor de h
adecuado a éste problema, h1=12 W/m2·ºC
Solucionando por iteración, obtenemos :
ENUNCIADO
Entre dos grandes placas negras se ha hecho el vacío. En la cara exterior de una de las placas existe
convección con el ambiente, que está a 80 ºC siendo h = 100 W/m2"ºC, mientras que la cara exterior de la otra
placa está expuesta a 20 ºC y h = 15 W/m2"ºC. Hágase el balance energético del sistema y determínese las
temperaturas de las placas. Tómese FG = Fð = 1.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
Las temperaturas de las placas, T1 y T2.
Datos conocidos y diagramas:
Entre las dos placas hay vacío.
Factor de forma, FG = 1.
22
Emisividad, Fe = 1.
TA = 80 ºC
TB = 20 ºC
hA = 100W/m2ºC
hB = 15 W/m2ºC
Consideraciones:
• Suponemos estado estacionario y por lo tanto q = cte.
• Suponemos coeficientes de convección constantes en ambos medios A y B.
• La constante de Stefan−Boltzmann es universal y vale = 5.67"10−8 W/m2K.
Resolución:
La relación que rige la transferencia de calor por radiación es la Ley de Stefan−Boltzmann, que se expresa de
la siguiente forma:
Conocemos ya que es dato del problema, que Fe = 1, que como veremos en el capítulo 8, donde se explicara
ampliamente el mecanismo de radiación, significa que ambos cuerpos son considerados negros.
El hecho de haya vacío entre las dos placas nos subraya que entre las dos placas únicamente existe
intercambio radiante de calor. Si hubiese algún medio fluido entre las placas, podríamos pensar que podría
existir convección también ahí. Además el intercambio de calor por radiación no necesita de ningún medio
material para propagarse.
Es muy importante señalar que para aplicar la Ley de Stefan−Boltzmann, es necesario que las temperaturas
figuren en grados Kelvin. Por el contrario para las leyes de conducción y convección es indiferente si
utilizamos las temperaturas en grados centígrados o Kelvin.
Por esta razón utilizaremos en todo el problema las temperaturas en grados Kelvin. De la ley de la radiación
obtenemos que el intercambio neto de calor entre dos superficies radiantes viene dada por:
La ley que rige el intercambio de calor por convección, es la Ley de Newton. Si suponemos el coeficiente de
convección (o de película) constante, se escribe de la siguiente manera:
En la anterior expresión se ha supuesto el caso en que la temperatura del fluido T" es mayor que a temperatura
de la pared Tp, y por lo tanto, el flujo de calor va del fluido a la pared. Particularizando para cada uno de los
casos de nuestro problema, tenemos lo siguiente:
;
Por hipótesis, sabemos que el flujo de calor es estacionario, por lo que el flujo de calor que atraviesa nuestro
sistema es constante, así que podemos decir, que el flujo de calor intercambiado por convección entre el
medio A y la pared de la izquierda es igual al intercambio neto radiante entre las dos superficies. De la misma
manera, lo anterior también es igual al intercambio de calor por convección entre la pared de la derecha y el
medio B. Podemos escribirlo así:
Sustituyendo los datos que se nos proporcionan en el enunciado, queda:
23
Podemos tomar en primer lugar sólo esta parte de la igualdad anterior:
Si sustituimos el resultado anterior en la siguiente ecuación:
Vemos que hemos obtenido una ecuación polinómica de orden cuatro igualada a cero. No intentaremos
resolverla de manera analítica, ya que no será difícil hallar el resultado de forma numérica. Así que
sustituiremos distintos posibles valores de T2, e intentaremos, de manera iterativa conseguir anular el
polinomio, y hacer así que la ecuación se cumpla. De esta manera hemos construido la siguiente tabla:
Vemos que para una temperatura T2 = 313,281 K se anula prácticamente la expresión anterior. Podemos decir
que es la solución del problema. Podemos así hallar la temperatura T1 de la siguiente manera:
ENUNCIADO
Haciendo uso de los valores aproximados del coeficiente de transferencia de calor por convección dados en la
Tabla 1.2, estímese la temperatura de una superficie en la que la pérdida de calor por convección natural sea
exactamente igual a la pérdida de calor por radiación de una placa vertical cuadrada de 0,3 m de lado o de un
cilindro de 5 cm de diámetro expuesto al aire ambiente a 20 ºC. Supóngase que las superficies son negras y
que la temperatura de los alrededores para la radiación es la misma que la del aire ambiente.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
La temperatura de la superficie (de una placa vertical y de un cilindro) sabiendo que el calor perdido por
convección es igual al perdido por radiación.
Datos conocidos y diagramas:
Placa vertical:
Altura = 0,3 m altura = a
h = 4,5 W/m2 ºC ( por la tabla 1.2 )
Cilindro:
Diámetro = 5 cm
h = 6,5 W/m2 ºC ( por la tabla 1.2 ) Diámetro = d
En los dos casos, la temperatura ambiente, T", es de 20ºC, es decir 293K
Consideraciones:
• Suponemos h constante para toda la superficie.
• Suponemos que las superficies son negras.
• Suponemos que la temperatura de los alrededores para la radiación es la misma que la del aire ambiente.
Resolución:
Según la ley de Newton del enfriamiento, el calor cedido por convección es de:
24
Q = h " A " ( T − T" ) Siendo A el área y T la temperatura de la superficie
Por otra parte, por la ley de Stefan−Boltzman de la radiación para cuerpos negros, tenemos que el calor
intercambiado por radiación con un entorno a una temperatura T" es de:
Q = " A " ( T4 − T4 ")
Siendo A el área la superficie, la constante de Stefan−Boltzman de valor 5,669"10−8 W/m2 ºC y la
emisividad. En este caso, por tratarse de cuerpos negros, = 1.
De esta forma, como el calor cedido por radiación debe ser igual al cedido por radiación, tenemos:
Q = h " A " ( T − T" ) = A " " ( T4 − T4 " ) con lo que simplificamos las áreas
Q = h " ( T − T" ) = " ( T4 − T4" )
Usaremos el sistema internacional (K), para las temperaturas, ya que T − T" es una diferencia de
temperaturas y da lo mismo poner las dos en ºC que en K.
Sustituyendo por los valores:
Placa vertical:
4,5 " ( T − 293 ) = 5,669"10−8 " ( T4 − 2934 )
4,5 " T − 1318,5 = 5,669"10−8" T4 − 417,8
4,5 " T − 5,669"10−8 " T4 = 900,7
La solución a esta acuación de orden 4 es de T = 245 K, la cual es menor que 293 K con lo que en esta
situación, el calor es absorbido por la superficie.
Cilindro:
6,5 " ( T − 293 ) = 5,669"10−8 " ( T4 − 2934 )
6,5 " T − 1904,5 = 5,669"10−8" T4 − 417,8
6,5 " T − 5,669"10−8" T4 = 1486,7
La solución para este caso es de T = 320 K.
Comentarios:
Otra posible solución para los dos casos sería T = 293, con lo que estando a la misma temperatura que el
ambiente no emitirían nada de calor por convección ni por radiación.
ENUNCIADO
Una mujer informa a un ingeniero que ella frecuentemente nota sentirse más fría en verano cuando está frente
a un frigorífico abierto. El ingeniero le dice que ella sólo imagina cosas, ya que no hay ningún ventilador en el
frigorífico para soplar el aire sobre ella. Se sigue una animada discusión. ¿Qué lado de la argumentación debe
25
apoyarse? ¿Por qué?
SOLUCIÓN:
La mujer probablemente está en lo cierto. Su percepción de bienestar está basado en el intercambio con los
alrededores, tanto por el fenómeno de radiación como por el de convección. Incluso aunque un ventilador no
impulse aire frío hacia ella desde el frigorífico, su cuerpo irradiará calor hacia el frío del interior,
contribuyendo así a su sensación de frío.
Nótese además que la transmisión de calor por radiación es proporcional a la diferencia de las cuartas
potencias de las temperaturas implicadas, lo que hace que en verano note bastante más frío que en invierno,
debido a esta proporción.
: proporcional.
ENUNCIADO
Una mujer informa a su marido ingeniero que el agua caliente se congela más rápidamente que el agua fría. Él
dice que esa aseveración no tiene sentido. Ella responde que realmente ha medido el tiempo del proceso de
congelación en las cubetas para hielo en el frigorífico y ha encontrado que el agua caliente sin duda congela
más rápidamente. Un amigo, ¿cómo arreglaría la argumentación? ¿Hay alguna explicación lógica para la
observación de la mujer?
SOLUCIÓN
Ésta es una antigua historia. No obstante, podemos asegurar que el marido ingeniero tiene razón y que el agua
caliente no se congela más rápido que el agua fría. La única explicación para la más rápida congelación de
agua caliente observada es que el refrigerador de esta pareja sea un modelo sin autocongelación que acumula
un estrato o capa de hielo en las bobinas del congelador. Entonces, cuando el agua caliente introducido se
coloca sobre el estrato de hielo, éste se derrite y se reduce el aislamiento térmico entre la capa de hielo y la
bobina del refrigerador.
ENUNCIADO
Una pista de patinaje sobre hielo está situada en el interior de un centro comercial con una temperatura del
aire ambiente de 22ºC y las paredes del entorno a unos 25ºC. El coeficiente de convección entre el aire y el
hielo es de 10 W/m2·ºC debido al movimiento del aire y de los patinadores. La emisividad del hielo es
aproximadamente 0,95. Calcúlese el enfriamiento requerido para mantener el hielo a 0ºC en una pista de
dimensiones 12 x 40 m. Obténgase el valor del calor de fusión del hielo y estímese cuánto tiempo tardarían en
fundir 3 mm de hielo de la superficie de la pista si no se refrigera y si la superficie se supone aislada por la
cara de abajo.
SOLUCIÓN
Se debe hallar:
El enfriamiento requerido para mantener el hielo a 0ºC
El valor de calor de fusión del hielo y el tiempo necesario para que se funda 3mm
Datos conocidos y diagramas:
26
H= 10 W/(m2ºC)
Tamb = 22ºC 12m
= 0,95
Tpared = 25ºC
40m Consideraciones:
Suponemos estado estacionario y por lo tanto Q = cte.
Resolución:
El hielo recibe calor de dos formas: 1_Por convección con el aire. Qconv
2_Por radiación debido a la diferencia de tª entre hielo y paredes. Qrad
Q = Qconv + Qrad
En este caso la función factor de forma FG es igual a uno ya que las paredes de la habitación envuelven al
hielo y todas las radiaciones que emite el hielo llegan a la pared. Entonces el calor total queda:
Sustituyendo los datos:
Entonces: Q = −165872,79 W
El signo menos lo único que indica es que el hielo no emite calor sino que lo recibe. Este mismo calor será el
que deberemos evacuar.
= = 375 ºC
29
1. INTRODUCCIÓN
PROBLEMA 1.1
T1 T2
Aislante
q
q
e
PROBLEMA 1.2
e
27
Fibra de
Vidrio
PROBLEMA 1.3
PROBLEMA 1.4
15 cm
q
T1
T2
PROBLEMA 1.5
DI
Te
e
Ti
Aislante
Petróleo
PROBLEMA 1.7
PROBLEMA 1.8
e
Asbesto
PROBLEMA 1.9
x
400 W/m2
PROBLEMA 1.10
PROBLEMA 1.11
Q
S1
28
PROBLEMA 1.12
PROBLEMA 1.13
PROBLEMA 1.14
PROBLEMA 1.15
PROBLEMA 1.16
T1
0,006 m
PROBLEMA 1.17
PROBLEMA 1.18
PROBLEMA 1.20
PROBLEMA 1.22
PROBLEMA 1.23
T=30ºC
Aire
Tp
T"
2.5 cm
Flujo de calor por convección
Flujo de calor por conducción
PROBLEMA 1.24
29
PROBLEMA 1.25
PROBLEMA 1.26
PROBLEMA 1.27
Habitación (T" )
v
Placa aislada en el exterior
Tp
Tparedes = Tp
PROBLEMA 1.28
TA
TB
T1
T2
30
q rad
A
B
PROBLEMA 1.32
PROBLEMA 1.33
PROBLEMA 1.34
PROBLEMA 1.35
Hielo T h= 0ºC
31