1 hora 30 minutos Ingenieros Aeronáuticos N DNI Curso 11/12

Navegación Aérea
Duración: 1 hora 30 minutos
o
N DNI
Ingenieros Aeronáuticos
Curso 11/12
1er Apellido
Escuela Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
13/4/12
2do Apellido
Nombre
Ejercicio 2
Valor total:7 puntos.
1. (1.75 puntos) Responder las siguientes preguntas, suponiendo un modelo de Tierra esférico.
a) Definir ruta ortodrómica y loxodrómica. ¿Cuál se emplea en la práctica y cómo?
b) Las fórmula de la distancia y rumbo inicial ortodrómicos entre dos puntos A (origen) y B (destino) son
dort = RE α, donde cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA ), y para el rumbo inicial:
cos χ(A) =
cos φA sen φB − cos φB sen φA cos(λB − λA )
sen α
Usando estas fórmulas, calcular la distancia (en millas náuticas) y rumbo inicial ortodrómicos, entre las ciudades de Bogotá (4◦ 35’56” N 74◦ 04’51” O) y Sidney (33◦ 51’36”S 151◦ 12’40”E).
φB − φA
, donde el rumbo se calcula de:
c) Las fórmulas de la distancia y rumbo loxodrómicos son dlox = Re
cos χ
tan (π/4 − φA /2)
λB − λA
ln
=
tan (π/4 − φB /2)
tan χ
Usando estas fórmulas, calcular la distancia (en millas náuticas) y rumbo loxodrómicos, entre Bogotá y Sidney.
Comparar con el apartado anterior.
2. (1.75 puntos) Responder a las siguientes preguntas sobre cinemática y representación de la actitud.
a) La actitud del sistema de referencia B respecto a A viene dada por un giro de 30o en torno al eje z, y la del
sistema de referencia C respecto a A viene dada por un giro de 150o en torno al eje y. Calcular la actitud de
C respecto a B y expresarla de tres formas diferentes: como matriz de cosenos directores, como ángulos de
Euler y como cuaternión. Se recuerda la siguiente expresión que puede ser útil:


cθcψ
cθsψ
−sθ
Cnb =  −cϕsψ + sϕsθcψ cϕcψ + sϕsθsψ sϕcθ 
sϕsψ + cϕsθcψ −sϕcψ + cϕsθsψ cϕcθ
b) Una empresa aeronáutica decide cambiar la definición tradicional de los ángulos de Euler para ver si puede
evitar la singularidad, definiéndolos de la siguiente manera:
θ
θ
θ
y
xS
yS
1
2
3
n −→
S −→
S 0 −→
BF S
n
0
Deducir las ecuaciones diferenciales cinemáticas para este caso y comprobar si existe o no singularidad, y si
existiera, para qué valor de ángulos aparece. ¿Serı́a útil para describir la actitud de una aeronave este conjunto
de ángulos de Euler?
3. (2 puntos) Para este apartado se considerará Tierra esférica y ángulo de deriva cero (α = 0).
a) Describir genéricamente el INS, dibujando un diagrama con los diferentes bloques de cálculo (actitud, velocidad, posición, modelo de gravedad, etc...) y las relaciones entre ellos. Comentar las ventajas e inconvenientes
del INS.
b) ¿Con qué parámetros se modela el error en actitud de una aeronave δCnb ? Encontrar justificadamente una
expresión que relacione δCnb con dichos parámetros.
c) Se quiere estudiar la propagación del error en la estimación de un ángulo empleando un giróscopo. Para ello,
se considera una situación unidimensional de forma que θ̇ = ω, se supone el ángulo inicial perfectamente
conocido, y se modela la salida del giróscopo como ω̂ = ω + ξ, donde ω es la velocidad angular real y ξ es
ruido blanco gaussiano de varianza σω2 . Modelar estadı́sticamente el error, discretizar su ecuación diferencial
en el tiempo, y estudiar como cambia en el tiempo su distribución estadı́stica. Pasados 70 minutos, calcular
√ un
intervalo 2 − σ para el error en la estimación del ángulo suponiendo que el ARW del giróscopo es 0,5o / hr.
4. (1.5 puntos) Responder a las siguientes preguntas sobre el sistema de navegación GPS:
a) Definir los conceptos de disponibilidad, continuidad e integridad.
b) Calcular la desviación tı́pica total de los errores de la señal GPS, recordando que dichos errores vienen dados
por la suma de los siguientes factores:
Segmento espacial: error reloj (σ = 1,1 m), cálculo órbita (σ = 0,8 m).
Segmento usuario: Efectos atmosféricos, ruido del receptor y resolución, efectos multicamino: σ = 7 m.
c) ¿Cuál es la configuración de los satélites respecto al usuario más favorable para minimizar el error geométrico
del GPS? Usando el anterior resultado y suponiendo que para dicha configuración la matriz G = (H T H)−1
tiene el siguiente valor:


0,672
0
0
0
 0

0,672
0
0
,
G=
 0
0
1,6
−0,505 
0
0
−0,505 0,409
calcular el factor PDOP y el factor TDOP y proporcionar una estimación 2 − σ del error en el tiempo obtenido
y una estimación 2-DRMS del error en la posición horizontal obtenida.
SOLUCIÓN:
1. 1.75 puntos
a) Ortodrómica: Ruta más corta entre dos puntos de la Tierra. Loxodrómica: Ruta más corta entre dos puntos de
la Tierra, manteniendo el rumbo constante. En la práctica se utilizan rutas loxodrómicas puesto que son más
simples, tomando varios puntos de la ortodrómica (waypoints) y viajando entre ellos por loxodrómicas.
b) De las fórmulas se obtiene α = 2,25 rad = 128,83o . Puesto que un minuto de arco es igual a una milla
náutica, dort = 128,83 · 60 = 7729,6 nmi. De la fórmula del rumbo obtenemos χ(A) = 130,75o , pero puesto
que Sidney está al sur(oeste) de Bogotá es necesario corregir χ(A) = 360o − 130,75o = 229,25o .
c) Para la loxodrómica obtenemos primero el rumbo. Las longitudes hay que corregirlas puesto que |λA − λB | >
180o . Puesto que Sidney está al oeste de Bogotá hay que restarle 360o a la longitud de Sidney. Entonces con la
fórmula del rumbo loxodrómico obtenemos 73,22o . Pero puesto que Sidney está al oeste hay que sumar 180o
obteniendo χ = 253,22o . Usando la fórmula de la distancia y la conversión entre minutos de arco y millas
náuticas obtenemos (sin necesidad de saberse el radio de la Tierra o la conversión de kilómetros a millas)
dlox = 7991,6 nmi. Obviamente la distancia loxodrómica sale mayor que la ortodrómica, y los rumbos no
demasiado distintos.
2. 1.75 puntos
a) Los esquemas que se obtienen del enunciado son
30o
?
A −→ B −→ C
zA
y
150o
A −→ C
yA
C
C A
C
B T
Para encontrar la matriz usamos CB
= CA
CB = CA
(CA
) . Por tanto:
 
cos(150o ) 0 − sen(150o )
cos(30o )

  − sen(30o )
0
1
0
o
o
0
sen(150 ) 0 cos(150 )
√


−3/4 √3/4 −1/2
 1/2

3/2
√
√0
3/4 −1/4 − 3/2

C
CB
=
=
sen(30o )
cos(30o )
0
Usando la matriz que se indica en el enunciado, se obtienen los ángulos de Euler:
− sen θ
=
cos ψ
=
cos ϕ =
−1/2 −→ θ = 30o
√
− 3/2, sen ψ = 1/2 −→ ψ = 150o
−1,
sen ϕ = 0 −→ ϕ = 180o
2
T
0
0 
1
Finalmente para los cuaterniones se tiene qC/A = qB/A qC/B . Despejando qC/B , obtenemos:
qC/B
=
=
=
=
∗
qB/A
qC/A
|qB/A |2
∗
qB/A qC/A
cos 150 + k sen 150
∗
cos 750 + j sen 750
cos 150 − k sen 150 cos 750 + j sen 750
=
cos 150 cos 750 + i sen 150 sen 750 + j cos 150 sen 750 − k sen 150 cos 750
=
0,25 + i0,25 + j0,933 − k0,067
b) Siguiendo un procedimiento idéntico (pero cuidadosamente adaptado a esta elección de ángulos de Euler) a
las páginas 10–12 de las transparencias del tema 3, llegamos a:







θ̇1
θ̇1
ω1
sθ3 sθ2 cθ3 0
 ω2  = 
cθ2
0 1   θ̇2  = A  θ̇2 
ω3
−cθ3 sθ2 sθ3 0
θ̇3
θ̇3
Invirtiendo esta matriz, obtendrı́amos las EDC para estos ángulos de Euler:




θ̇1
ω1
 θ̇2  = A−1  ω2 
ω3
θ̇3
En la inversión aparece el inverso del determinante de la matriz A, que es igual a sen θ2 . Por tanto la singularidad aparece cuando θ2 = 00 , 1800 . Estos ángulos no serı́an útiles en la práctica porque la identidad (la actitud
de referencia donde b = n) ya estarı́a en la singularidad! (a diferencia de los ángulos de Euler tradicionales
donde sólo aparece en situaciones extremas).
3. 2 puntos
a) El esquema se encuentra en la página 16 del tema 4 de las transparencias. Las ventajas fundamentales son el
hecho de ser autónomo (por lo que no depende de señales externas y se puede usar en cualquier punto de la
Tierra), y su alto ancho de banda (la solución de navegación se puede considerar continua); como desventaja,
el error (deriva) crece con el tiempo y no está acotado, además de necesitar un valor inicial (fix).
b) Página 23 del tema 4 de las transparencias.
c) Página 48 del tema 4 de las transparencias (última versión). La respuesta numérica es 2 ·
p
7/6 · 0,5 = 1,08o .
4. 1.5 puntos
a) Páginas 36–41 del tema 5 de las transparencias (sólo es necesario dar una definición corta de cada una).
p
b) σU ERE = 1,12 + 0,82 + 72 = 7,1309 m.
c) Para el caso de cuatro satélites, un tetraedro, con el usuario ligeramente por debajo del centro de una de las
caras y los satélites en los vértices, de forma que uno se encuentra en el cénit del usuario y los otros tres
ligeramente por encima del horizonte.
Respuestas numéricas usando el σU ERE del apartado (b) y c = 3 · 108 m/s:
p
P DOP =
G11 + G22 + G33 = 1,716
p
T DOP =
G44 = 0,64
p
HDOP =
G11 + G22 = 1,1593
2 · T DOP · σU ERE
t(2 − σ) =
= 30 ns
c
2 − DRM S = 2 · HDOP · σU ERE = 16,53 m
3