Viga Isofractica Apoyada en Tres Puntos Según la Teoría

•i Jomnal o/ Metollurgy
Viga Isofractica Apoyada en Tres Puntos Según la Teoría Estadística de la Fractura de
Weibuíl
Isofract Three Points Beam in the Weibull's Statistical Theory of Paitare
P. Kiltl
Sección
ección Microscopía
Micro
Electrónica, Departamento de Materiales (IDIEM), Facultad de Ciencias Físicas :
Mlatemáticas, Universidad de Chile, Santiago, Chile.
En un trabajo reciente [í] hemos obtenido la expresión para ía probabilidad de fractura, por unidad de
volumen, en cualquier punto de una pieza frágil sometida a fuerzas que producen un campo de tensiones variables. En el presente buscaremos la forma de una viga sometida a flexión pura por carga en tres puntos
y que tiene la misma probabilidad de que se inicie la
fractura en cualquier punto de su cara opuesta a donde se aplica la fuerza. Esa cara será entonces isofráctica. Ponemos énfasis en señalar el concepto de zona
isofráctica como el lugar donde la probabilidad de que
se inicie la fractura es constante, concepto que ilustramos aquí con el ejemplo que desarrollamos.
Para una viga simplemente apoyada, de largo L, con
una carga al medio ,e! momento a la distancia x de un
apoyo es:
2x
M(x) = — M ^ M =
L
PL
4
L
,o ¿ x ¿ —
2
cho b y de altura variable h(s) es, a la distancia x del
apoyo:
M(x) h(x)
2x
hzv
= — . o - . -2
L
L
h(x) ^ hv = h —
2
donde Jfx) es el momento de iner ia y <r la tensión
máxima maximorum. Finalmente l tensión en cualquier punto
Lh h'(x)
(1)
L
h(x)
D ^ X ^ — , o ^ y :=
2
2
Según el trabajo anteriormente citado [1] el porcentaje de roturas que se inician en r, por unidad de volu-
men es:
r)] dV
d'n(r)
J>Mr)] dV
donde N es el número total de piezas rotas y <p(cr) =
=
2 bh2v
h (x)
L
o ¿x ^ _
2
donde M es el momento máximo. La tensión máxima
considerando una viga de sección rectangular, de an-
N
6M(x)
(—) m es la función de Weibull.
En el presente caso, el porcentaje de roturas por unidad de longitud se obtiene por la fórmula:
1 dn(x)
N
dx
dx I dy | (
.
) m dz
J
J Lh,- h!(x)
| h(x)'-3ra xm dx
o ¿Z ^ I
a <íe Metalurgia y Materiales, Vol. 1, N? I, 19¡
Para que [4] sea constante, como el denominador lo
es, el numerador debe serlo también. Luego la ecuaaltura. Dará
fractura
ción de la altura,
para aue
que la nrohabilidad
probabilidad de fracíur
sea la misma para cualquier x es:
m™
h(x) 1 - l D l x m ^h v 1 - ! D l l |— = const.
12J
Por lo tanto
La probabilidad de fractura de una viga de altura con;
tante es: [2]
bh c L
(5)
2V 0 (rn+l) 2
Í2>
h(x) = hv
(6)
y la de una altura variable es teniendo en cuenta [2]
(3) y (6):
Para que ambas probabilidades sean iguales, para todo
c, debe verificarse
he
hv = —
m+1
E¡ volumen de la viga de altura variable es
h/2
L/2
h(x)dx = 2b h.
2m— 1
-bh v L=3m—1
Para m grande el volumen de la viga isofráctica es
v/v —
~ (2/3m)V
u/->m) vc y por lo tanto, para valores usuales
dentro
lentro de los materiales frágiles m»4.
m»4, bastante menor
-bh ¥ L = -
(10)
que la de altura constante. Se debe hacer notar que en
estos cálculos no hemos tomado en cuenta la resístencia al corte.
BIBLIOGRAFÍA
1 Kitil, P., Res. Mech. Letters, i (198Í
-V t
2
Kittl, P., Res. Mech. 1 (1980) 161-165.