Afternotes 23- El efecto Allee

El efecto Allee
José Luis López Fernández
12 de diciembre de 2011
Las matemáticas son un paisaje inmenso y abierto. Te diriges hacia el horizonte
que siempre retrocede [. . . ]
(Fragmento de un diálogo del filme Smilla, misterio en la nieve, dirigido por Bille August en 1997)
Se dice que una población experimenta el efecto Allee (también denominado efecto Alle fuerte en algunos textos) cuando existe un tamaño crítico
de la misma por debajo del cual el éxito reproductor se ve drásticamente mermado y esta decae hasta desaparecer. La manifestación de este fenómeno puede
apreciarse claramente en el siguiente ejemplo (Ejercicio 22 de la Relación de
Ejercicios 3):
La dinámica de una determinada población viene descrita por la siguiente ecuación diferencial
P 0 = P (P − 0.3)(8 − P ) ,
(1)
donde P (t) denota el número de individuos (en miles) que hay en el hábitat en
el instante t.
(a) Determina los puntos de equilibrio de la ecuación (1).
(b) Dibuja el correspondiente retrato de fases y estudia la estabilidad de los
puntos de equilibrio.
(c) Explica el significado de los resultados obtenidos en el apartado anterior
en términos de la dinámica de la población.
(d) Determina qué ocurrirá con la población a largo plazo si en el instante
inicial hay 250 individuos en el hábitat. Repite el argumento en el caso en
que inicialmente hay 500 individuos.
Solución: Los puntos de equilibrio son claramente P = 0, P = 0.3 y P = 8, que
son los únicos tres valores constantes de P que anulan el segundo miembro de
la ecuación (1). La presencia de estas tres soluciones constantes plantea cuatro
alternativas para la correspondiente condición inicial P0 del problema de valores
iniciales: P0 < 0, 0 < P0 < 0.3, 0.3 < P0 < 8 o bien P0 > 8.
1
En el primer caso (tómese por ejemplo P = −1 como valor test) se tiene
que P 0 = −1 · (−1.3) · 9 > 0, luego la correspondiente solución es creciente.
En el segundo caso (tómese por ejemplo P = 0.1 como valor test) se
tiene que P 0 = 0.1 · (−0.2) · 7.9 < 0, luego la correspondiente solución es
decreciente.
En el tercer caso (tómese por ejemplo P = 1 como valor test) se tiene que
P 0 = 1 · 0.7 · 7 > 0, luego la correspondiente solución es creciente.
En el último de los casos (tómese por ejemplo P = 9 como valor test)
se tiene que P 0 = 9 · 8.7 · (−1) < 0, luego la correspondiente solución es
decreciente.
Luego el retrato de fases es el siguiente:
0 0.3 8
> s< s> s <
,
de donde se desprende que P = 0 y P = 8 son asintóticamente estables, en
tanto que P = 0.3 es inestable.
Lo anteriormente expuesto significa que la población está condenada a extinguirse a menos que consiga alcanzar un tamaño crítico, determinado en este
caso por el punto de equilibrio P = 0.3 (es decir, 300 individuos). Por el contrario, la población está destinada a crecer hacia P = 8 una vez que tal tamaño
crítico es alcanzado. Se observa, por tanto, la presencia clara del efecto Alle en
el modelo de nuestro ejemplo.
Por último, si inicialmente hay 250 individuos (es decir, P0 = 0.25), nos
encontramos con que el tamaño de la población no es suficiente para rebasar el
umbral marcado por el efecto Alle (P = 0.3), por lo que esta tenderá a extinguirse a largo plazo. Sin embargo, si inicialmente se dispone de 500 individuos
(P0 = 0.5), entonces la población crecerá hacia su capacidad de carga P = 8.
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