Fundamentos de electromagnetismo. Notas para

Notas de Clase
Fundamentos de Electricidad y Magnetismo
Universidad Nacional de Colombia
Isaac Zainea
Cristian Bonilla
Laura Gutierrez
Juan Esteban Garcı́a
Índice general
Prefacio
I
1. Modelos Atómicos
1
2. Electrostática
2.1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Carga Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Campo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Cargas Continuas . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Divergencia y rotacional de los campos eléctricos .
2.2.1. Divergencia de un campo eléctrico . . . . .
2.2.2. Rotacional de un campo eléctrico . . . . .
2.3. Potencial Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Lı́neas Equipotenciales . . . . . . . . . . .
2.4. Trabajo y Energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
26
26
29
3. Campos eléctricos en la materia
32
4. Circuitos
4.1. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Aplicaciones del Efecto Joule . . . . . . . . . .
4.3. Clasificación de los Circuitos según el tipo de corriente
4.3.1. Ventajas de AC respecto a DC . . . . . . . . . .
4.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
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41
41
42
42
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ÍNDICE GENERAL
3
4.6. Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Magnetostática
5.1. Campo magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4. Lı́neas de Corriente . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Divergencia y rotacional de los campos magnéticos
5.2.1. Aplicaciones de la Ley de Ampere . . . . . .
5.3. El potencial vector magnético . . . . . . . . . . . .
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63
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6. Campos magnéticos en la materia-magnetización
72
6.1. El campo auxiliar H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. Permeabilidad y susceptibilidad magnéticas . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7. Electrodinámica
7.1. Electrodinámica y Magnetismo . . . . . . .
7.2. Inducción Electromagnética. Ley de Faraday
7.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Energı́a en el campo magnético . . . . . . .
7.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . .
7.6. Ecuaciones de Maxwell en la Materia . . . .
7.7. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . .
7.8. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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77
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4
ÍNDICE GENERAL
Prefacio
Queda a disposición del profesor.
i
ii
PREFACIO
Capı́tulo 1
Modelos Atómicos
La evolución de la teorı́a de las partı́culas fundamentales que constituyen la materia y que
conocemos como átomos viene desde tiempos de los griegos cuando en el año 400 A.C. el
filósofo Demócrito consideró que todo lo conocido como materia estaba conformado por
pequeñas partı́culas indivisibles. En tiempos de Newton el átomo era imaginado como una
esfera rı́gida incapaz de fragmentarse; si bien este modelo propuesto por Dalton en 1808 se
ajustaba a la teorı́a cinética de los gases, no explicaba las propiedades eléctricas de algunos
materiales, por esta razón, se hizo necesario diseñar nuevos modelos atómicos enfocados a
explicar su comportamiento eléctrico ya detectado en experimentos. Fue Thomson uno de
los primeros en remodelar la estructura atómica. Desde entonces se han diseñado, revisado,
corregido y ajustado modelos atómicos cada vez más precisos y reales a lo largo de la
historia, conforme avanza la construcción de sofisticados equipos para experimentación a
escala atómica. En la actualidad ésta labor de modelación aún continúa. Veamos algunos
de los modelos atómicos más relevantes
Modelo atómico de J.J. Thomson
En 1898 Thomson propuso un modelo que describe el átomo como una región en la
cual una carga positiva está dispersa en el espacio con electrones incrustados en toda
la región, en forma muy similar a las semillas dentro de una sandı́a o a las pasas
dentro de un pan 1
Modelo atómico de E. Rutherford
En 1911 el experimento de Rutherford que consistió en producir un choque de partı́culas alfa con carga positiva (núcleos de Helio) contra una delgada placa metálica. Al
1
Serway, Jewett. Fı́sica para ciencias e ingenierı́a, Vol. 2. Séptima edición. Cengage Learning
Editors. México 2009, p. 1218-1219
1
2
CAPÍTULO 1. MODELOS ATÓMICOS
Figura 1.1: Modelo atómico de J.J. Thomson
ver que no todas las partı́culas que componı́an el haz atravesaron la placa y que
incluso se presentaban deflexiones pronunciadas de algunas de las partı́culas alfa,
Rutherford descubrió que algo andaba mal con el modelo de Thomson, pues si este
fuera correcto los rayos alfa hubiesen atravesado la lámina sin ninguna desviación
debido a la elevada masa de la carga positiva en el supuesto modelo. Es ası́ como
Rutherford planteó un nuevo modelo similar a un pequeño sistema solar que consistı́a
en un núcleo cargado positivamente concentrado en una pequeña porción central del
átomo y girando a su alrededor describiendo trayectorias orbitales se encontraban
los electrones alejados de la carga positiva, a diferencia del átomo de Thomson.
Figura 1.2: Modelo atómico de E. Rutherford
3
Modelo atómico de N. Bohr
El modelo atómico de Rutherford presentaba algunas imperfecciones o graves errores
de tipo cuántico. Por un lado, el átomo de Rutherford no era capaz de explicar la absorción y emisión de radiación electromagnética y en segunda instancia, los electrones
estaban sometidos a una aceleración centrı́peta que de acuerdo con la teorı́a electromagnética de Maxwell, conllevarı́a a una inminente autodestrucción del átomo. Para
evitar estos inconvenientes, Bohr en 1913 combinó la teorı́a cuántica de Planck, el
concepto de Einstein del Fotón, el modelo planetario de Rutherford del átomo y la
mecánica newtoniana para llegar a un nuevo modelo del átomo de Hidrógeno basado
en los niveles orbitales de energı́a en los que pueden moverse los electrones 2
Figura 1.3: Modelo atómico de N. Bohr
Modelo atómico de E. Schrödinger
Los postulados de Bohr explicaron cuantitativamente los espectros de absorción y
emisión del Hidrógeno, pero sus predicciones para los otros elementos eran erradas.
Experimentos con sofisticados espectrofotómetros mostraron órbitas finas cercanas
a las ya definidas por Bohr, por tanto, su modelo estaba incompleto, es aquı́ cuando Erwin Schrödinger en 1925 desarrolla un nuevo modelo de átomo con base en la
ecuación de onda considerando su comportamiento dual de onda y partı́cula que hace
imposible conocer la energı́a y posición exacta de un electrón. Pero Schrödinger fue
capaz de determinar con exactitud la energı́a y posición en zonas de probabilidad,
a las que llamó orbitales atómicos. El electrón entonces queda caracterizado por su
2
Íbid
4
CAPÍTULO 1. MODELOS ATÓMICOS
energı́a, la zona donde es probable encontrarlo, la orientación de esta zona y el giro
imaginario que posee en torno a su eje. Estas propiedades del electrón son soluciones
de la ecuación de onda que originan 4 números cuánticos (principal, orbital, magnético y espı́n) a diferencia del modelo atómico de Bohr cuyo único número cuántico es
el principal3
Figura 1.4: Modelo atómico de E. Schrödinger
Modelo atómico de Dirac-Jordan
Este modelo añade al de Schrödinger una nueva partı́cula atómica: el positrón, que
resuelve la paradoja cuántica que considera que la relación entre ondas y partı́culas
no es exclusiva de la luz, sino que también aplica para las partı́culas materiales 4 . El
positrón es un electrón con carga positiva descubierto en 1932 por David Anderson.
La interacción con el electrón puede resultar en la aniquilación de ambos, con lo que
produce un par de fotones cuya energı́a es igual a la masa del par electrón-positrón.
Esta propiedad define al positrón como la antipartı́cula asociada al electrón. Los
primeros indicios de la existencia del positrón surgieron del esfuerzo teórico de Paul
Dirac por deducir la estructura electrónica y cuántica del átomo 5
3
Larrian, Morcelli. Quı́mica General. Editorial Jurı́dica de Chile. 1950, p. 389
K. Othmer. Enciclopedia de Tecnologı́a Quı́mica. Editorial John Wiley-Interscience
5
http:bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/068/htm/sec-10.htm (Visitada el 21 de Ene. de 2012)
4
Capı́tulo 2
Electrostática
En este capı́tulo abordaremos los principios básicos de la fı́sica electromagnética. En primer
lugar introduciremos el concepto de carga y luego, estableciendo una ley que relacione las
fuerzas entre cargas (Ley de Coulomb), enunciaremos el concepto de Campo Eléctrico. Por
último estableceremos la ley de Gauss que será una importante herramienta en el desarrollo
de nuestro contenido.
2.1.
2.1.1.
Campo eléctrico
Carga Eléctrica
Desde la infancia conocemos cómo pegar papelitos en una peinilla, increı́blemente después
de frotarla en nuestro pelo los papeles que se acercan a esta improvisada barita se pegan
impulsados por una magia alucinante. Es un hecho insólito para nuestra vida de niños y
algunos creemos que esta es una de esas manifestaciones mágicas que todo ser humano tiene
derecho a conocer pero que, a su vez, revela la existencia de un mundo lleno de secretos
que muy pocos conocen.
En unos años aprendemos que al frotar estamos cargando los materiales y más tarde,
conociendo un poco de fı́sica moderna, sabemos que cargar un material es el resultado de
mover unas de las partı́culas que forman la materia (electrones) de un lado al otro.
Este hecho de fantası́a para niños revela una propiedad fundamental de la materia, la
carga. Las partı́culas elementales que conforman la materia son los protones, los neutrones
y los electrones. Dos de ellas se encuentran cargadas: los protones (cargas positivas) y los
electrones (cargas negativas). En la mayorı́a de ocasiones tendremos que la cantidad de
cargas positivas es igual al de cargas negativas. Ası́, el fenómeno del que la mayorı́a de
5
6
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
nosotros es testigo es en el cual inducimos a que unos electrones del pelo se transporten
a la peinilla provocando una descompensación de cargas que originarı́an el movimiento de
los papeles.
Por lo tanto a nivel macroscópico diremos que un material está cargado cuando tenga
una descompensación de cargas, o bien un exceso de electrones o una escasez de éstos.
Solo pensamos en el movimiento de los electrones puesto que son las partı́culas que se
encuentran en la periferia del átomo ¡Es muy complicado mover los protones! Mediremos
esa descompensación con el valor de la carga y en el desarrollo de este escrito ese valor
se denotara con la letra q. Cuando tengamos un exceso de electrones el valor de la carga
será negativo y cuando haya una escasez éste valor será positivo.
2.1.2.
Ley de Coulomb
A finales del siglo XVIII los cientı́ficos electricistas pretendı́an darle un sustento matemático a su tema de interés. A ellos les atraı́a la semejanza entre las fuerzas gravitatorias y la
electricidad; ası́, para el año 1777, 90 años después de que apareciera el Philosophiæ naturalis principia mathematica, el fı́sico e ingeniero francés Charles-Augustin de Coulomb
inventa una balanza de torsión que medirı́a la fuerza de atracción y repulsión entre las
cargas.1
Figura 2.1: Balanza de Torsión de Coulomb
1
http://www.phy6.org/earthmag/Figures/coulomb2.gif (Visitada el 23 de Sept. De 2011)
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
7
La balanza consiste en un brazo horizontal que está suspendido de un hilo especial que
es el que se va a retorcer por efecto de las acciones eléctricas entre las cargas. En uno
de los extremos de la barra horizontal, está ubicada una esfera muy liviana, y unido al
hilo va un disco graduado, que gira al mismo tiempo que el hilo. También tenemos, en las
proximidades de la esfera de la barra, una esfera fija. Si cargamos a la esfera del extremo
de la barra y después la esfera fija se produce la atracción o repulsión entre las cargas de
dichas esferas. Como una esfera está fija la esfera del brazo gira y por la disposición de
la balanza este giro se mide en el disco. El ángulo de giro que obtiene Coulomb es una
magnitud directamente proporcional a la fuerza que genera la atracción o repulsión de las
cargas. De este hecho el deduce lo siguiente:
“Dos cargas puntuales ejercen entre sı́ fuerzas que actúan a lo largo de la lı́nea
que las une y son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancia que
las separa ”2
También se establece que dos cargas iguales se repelen y dos cargas distintas se atraen
y numéricamente podemos interpretar esta ley como:
q1 q2
F~ = k 2 r̂
r
(2.1)
Donde, F~ es la fuerza, q1 y q2 las cargas, r la distancia entre las cargas, r̂ el vector unitario
dirección3 y k la constante de Coulomb.
2
El valor de la constante de Coulomb, k, en unidades SI es de aproximadamente 9 × 109 NCm2
Con C: Coulombs, N : Newtons y m metros.
Sin embargo, es más común trabajar esa constante en terminos de la permitividad en
el vacio, 0 , cuyo valor númerico está dado por: 8,854 × 10−12 C 2 /N m2 .
Ası́ k =
1
4π0
en el SI y la Ecuación (2.1) se puede escribir como:
F~ =
1 q1 q2
r̂
4π0 r2
(2.2)
Cuando se tienen varias fuerzas eléctricas interactuando entre sı́, estas se pueden sumar para
obtener una fuerza total, o bien, una fuerza neta. Gracias al Principio de Superposición,
2
Ibı́dem.
Para entender un poco más la naturaleza de este vector suponemos que q1 y q2 están en las
posiciones r1 y r2 respectivamente. El vector r̂ lo definimos como el vector unitario que lleva la
direccion de r1 − r2 . Es decir nuestro vector r̂ es el que apunta la dirección que deberı́a llevar la
fuerza.
3
8
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
cada carga fuente (qi ) actúa independientemente de las otras respecto a la carga de prueba
(Q), y por tanto su contribución no se ve afectada por la de las demás cargas. Ası́, asumiendo
que la distancia de la carga qi a Q es ri , tenemos:
F~ =
1 Qq1
1 Qq2
1 Qqn
rˆ1 +
rˆ2 + · · · +
rˆn
2
2
4π0 r1
4π0 r2
4π0 rn2
(2.3)
Pero recordando que esta es una suma de vectores y que Q es una magnitud escalar la
Ecuación (2.3) se reduce a:
n
Q X qi
F~ =
rˆi
(2.4)
4π0
r2
i=1 i
Es decir, mostramos que la fuerza eléctrica ejercida por varias cargas qi sobre la carga Q
depende de dos cosas:
Del valor de la carga Q, evidentemente, y
De un campo vectorial que depende de la posición de Q respecto a las otras cargas.
Ese campo vectorial es llamado campo eléctrico.
Ejemplo 2.1. Calcule la fuerza eléctrica producida entre dos cargas, q1 de 2C y q2 de
−3C, que están separadas a una distancia de 5 cm.
Figura 2.2: Dos cargas de 2C y −3C
Solución:
Sabemos que: q1 = 2C , q2 = −3C y que r = 0, 05m. Ası́, aplicando la Ecuación (2.1),
tenemos:
N m2 (2C)(−3C)
F~ = 9 × 109 2
r̂ = −2, 15 × 1013 N r̂
C
(0, 05m)2
X
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
9
Figura 2.3: 2C en el origen y −3C en 5î + 3ĵ + 2k̂
Ejemplo 2.2. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga q1 (2C) que se encuentra en
el origen de un plano cartesiano y una q2 (−3C) cuya posición viene dada por ~rq2 =
5î + 3ĵ + 2k̂m:
Solución:
La distancia entre las dos cargas viene dada por:
p
√
rq1 q2 = krq2 − rq1 k = (5 − 0)2 + (3 − 0)2 + (2 − 0)2 = 38m
Ası́, utilizando (2.1) de nuevo, tenemos:
N m2 (2C)(−3C)
F~ = 9 × 109 2
r̂ = −1, 41 × 109 N r̂.
C
38m
X
Ejemplo 2.3. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga q1 de 2C con una posición dada
por ~rq1 = 3î + 5ĵ − 2k̂ y una carga q2 de −3C cuya posición es ~rq2 = 9î + 7ĵ + 8k̂.
Solución:
La distancia entre las dos cargas viene dada por:
√
rq1 q2 = krq2 − rq1 k = (9î + 7ĵ + 8k̂) − (3î + 5ĵ − 2k̂) = 6î + 2ĵ + 10k̂ = 140
La fuerza es:
N m2 (2C)(−3C)
F~ = 9 × 109 2
r̂ = −3, 85 × 108 N r̂.
C
140m
X
Ejemplo 2.4. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga de prueba Q (que se encuentra a
una altura z) y dos cargas idénticas, q1 y q2 , separadas entre sı́ una distancia 2d. La altura
z es perpendicular al punto medio de la distancia entre q1 y q2 .
10
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Figura 2.4: 2C en 3î + 5ĵ − 2k̂ y −3C en 9î + 7ĵ + 8k̂
Figura 2.5: Q a una altura z respecto al punto medio de q1 y q2
Solución:
Como se observa en la Figura 2.5, las contribuciones de q1 y q2 se anulan en el eje x e y.
Por tanto, la dirección de la fuerza ejercida corresponde sólo al eje z. Como las cargas son
iguales y debido a la simetrı́a posicional que presentan, la fuerza de una sola se multiplica
por dos para obtener la total. El ángulo θ es el que se forma por la inclinación de q1 y q2
respecto a Q. La función trigonométrica que nos relaciona a z y r, en este caso, es cos.
1
Sabiendo que k = 4π
, tenemos:
0
1 q1 Q
F~ = 2
cos θẑ
4π0 r2
Y por teorema de Pitágoras:
cos θ =
z
z
=√
2
r
d + z2
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
11
Luego,
z
1
q1 Qz
1 q1 Q
√
ẑ =
F~ = 2
ẑ
4π0 r2 d2 + z 2
2π0 (d2 + z 2 )3/2
X
2.1.3.
Campo Eléctrico
De la Ecuación (2.4) la fuerza estará dada por:
F~ = QE
(2.5)
Donde Q es el valor de la carga de prueba y E se define como el Campo Eléctrico.
El Campo eléctrico es un campo vectorial definido por el valor y la configuración posicional
de las cargas fuente; es independiente del valor de la carga de prueba pero no es independiente de su posición. Matemáticamente el campo se expresa como una función de posición
dada por:
1 q
E(r) =
r̂
(2.6)
4π0 r2
donde r es la distancia que separa ambas cargas y para varias variables:
E(r) =
n
1 X qi
2 rˆi
4π0
r
i
i=1
(2.7)
donde, ri es la distancia entre la carga fuente qi y el punto r.
En una sencilla observación, podemos descubrir que si cambiamos la carga de prueba por
una que tiene el doble de carga y la ubicamos en la misma posición tendremos una fuerza
con la misma dirección pero con el doble de magnitud. Esta observación muestra que ese
campo determina la dirección que toma la fuerza ejercida por las cargas fuente a una carga
de prueba en esa posición.
Los siguientes ejemplos aclaran la forma en que el cambio de posición de una carga de
prueba afecta la fuerza ejercida por cargas fijas.
Ejemplo 2.5. En el siguiente vı́deo se muestra cómo el cambio de posición afecta la
dirección de la fuerza ejercida por una sola carga. Asumimos que las dos cargas poseen el
mismo signo.
12
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
(Cargando campoelectrico.avi)
Ejemplo 2.6. De la misma manera lo pensamos para dos cargas fijas. Aquı́ asumimos que
las cargas rojas son iguales, las tres tienen el mismo signo.
(Cargando campoelectrico2.avi)
Hacemos también unas gráficas de los campos eléctricos para una y dos cargas positivas.
Figura 2.6: Campo de una carga
Figura 2.7: Campo de dos cargas
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
2.1.4.
13
Cargas Continuas
En la sección anterior vimos algunos ejemplos de cálculo de fuerza eléctrica ejercida entre
cargas puntuales, es decir, cargas que se ubican de manera individual en un punto especı́fico
del espacio y que están separadas entre sı́. Sin embargo, no siempre encontraremos materiales cargados en forma de “puntos”. Esa idea toma fuerza a niveles atómicos puesto que
en el caso del electrón hablamos de una carga puntual igual a 1,609×10−9 C; es más, siendo
minuciosos, el valor de la carga eléctrica en cualquier material corresponde exactamente a
un múltiplo entero de la carga electrónica.
A nivel macroscópico la carga corresponde al desbalance de millones de electrones y no se
piensa en un “punto ”, se estudian alambres, cascarones, discos, cilindros, cubos, etc; en
este caso un elemento muy pequeño de volumen contiene una cantidad inmensa de electrones es por eso que pensamos en distribuciones continuas de carga y no en múltiplos de
la constante electrónica. Aquı́ abusamos de nuestra “grandeza ”y la condición de nuestra
observación permite pasar al lı́mite. Esto no pasa a nivel atómico.
Este paso al lı́mite permite definir las siguientes distribuciones continuas de carga:
1. Si trabajamos con un alambre, no es necesario pensar en su superficie ni en su
volumen. Lo más cómodo es pensar en la distribucion de carga de acuerdo a su
longitud (Véase figura 2.8). Definimos entonces a λ como la densidad lineal de carga
por:
∆q
dq
λ = lı́m
=
(2.8)
∆l→0 ∆l
dl
Donde ∆l es un elemento de longitud a lo largo de la lı́nea.
Figura 2.8: Carga lineal
2. Si trabajamos con un cascarón lo más comodo es pensar en la distribución de carga
14
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
en la superficie (Figura 2.9). Ası́ la densidad superficial σ se define como:
σ = lı́m
∆a→0
∆q
dq
=
∆a
da
(2.9)
Aquı́ ∆a es un elemento de área sobre la superficie.
Figura 2.9: Carga superficial
3. Por último cuando trabajamos con un volumen (Figura 2.10) la distribución de carga
volumétrica ρ está dada por:
ρ = lı́m
∆v→0
∆q
dq
=
∆v
dv
(2.10)
Con ∆v elemento de volumen sobre el sólido.
Figura 2.10: Carga volumétrica
De manera intuitiva podemos recurrir al cálculo integral para hallar el campo eléctrico
de una distribución continua de carga en una región finita. De hecho, el procedimiento se
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
15
realiza de dicha manera y el sentido lógico no solo se da desde la matemática, sino también
desde la propia fı́sica.
Veamos el siguiente ejemplo, para familiarizarnos con este nuevo concepto de carga.
Ejemplo 2.7. Calcule el campo eléctrico de una distribución lineal de cargas de longitud
2L y densidad uniforme λ, a una altura z, tal como lo muestra la figura 2.11. ¿Qué sucede
si L → ∞? ¿Y si L → 0?:
Figura 2.11: Ejemplo (2.7)
Solución:
En principio, podemos deducir que por simetrı́a, el valor del campo para una longitud 2L,
será el doble que para una longitud L, lo cual facilita un poco los cálculos. Los campos
en el eje x y y se cancelan y sólo tenemos contribución en el eje z. Teniendo en cuenta el
ángulo de inclinación θ y sabiendo que la densidad es uniforme (constante), procedemos al
cálculo:
Z L
1
dq
~
E=2
cos(θ)ẑ
4π0 0 r2
Donde:
cos(θ) =
z
z
=√
r
l2 + z 2
Y despejando la Ecuación (2.8) para reemplazar dq:
~ =2 1
E
4π0
Z
0
L
l2
λdl
z
√
ẑ
2
2
+z
l + z2
16
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Agrupando constantes :
~ = λz
E
2π0
Z
0
L
(l2
dl
ẑ
+ z 2 )3/2
Y resolviendo la integral con la sustitución l = z tan(θ) obtenemos:
~ = λz
E
2π0
~ →
Si L → ∞ entonces E
L
√
ẑ
2
z L2 + z 2
=
1
λL
√
ẑ.
2
2π0 z L + z 2
λ
2π0 z ẑ
~ →0
Si L → 0 entonces E
Naturalmente si estamos manejando superficies o volúmenes utilizamos las ecuaciones (2.9)
y (2.10) respectivamente, y planteamos integrales de superficie y de volumen. X
2.1.5.
Ley de Gauss
Muchas veces calcular el campo eléctrico de algún arreglo no es fácil, puesto que al realizar
el procedimiento analı́tico, surgen integrales muy complicadas de resolver. Por fortuna, la
denominada ley de Gauss facilita los cálculos. En términos fı́sicos, dicha ley relaciona el
flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por esta
superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con
la densidad de carga.
Además, ésta posee dos grandes ventajas: se aplica para hipotéticas superficies infinitas y
es válida para cualquier forma que contenga la superficie.
Veamos ahora cómo se dedujo la Ley de Gauss, a partir de la Ley de Coulomb:
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
17
El flujo eléctrico es la medida del número de lı́neas de campo eléctrico que penetran
una superficie, por lo que es una magnitud escalar. Se expresa matemáticamente como
I
~ · d~
ΦE =
E
α
(2.11)
S
Ahora bien, dado que α
~ = n̂dα, donde n̂ es el vector unitario de dirección, entonces:
I
I
~
~ · n̂dα
E · d~
α=
E
S
S
~ de la Ecuación (2.6) y sustituyendo el diferencial de área en coorReemplazando E
denadas esféricas (dα = r2 sen(θ)dθdφ)
I
I
1 Q 2
~ · n̂dα
E
=
r sen(θ)dθdφr̂
2
4π
0r
S
S
Z 2π Z π
Q
sen(θ)dθdφr̂
=
4π0 0
0
Q
Q
=
4π =
4π0
0
Es decir
I
~ · n̂dα = Q
E
0
S
(2.12)
A su vez, por teorema de la Divergencia y definición de densidad de carga, tenemos:
Z
I
Z
Q
1
~
~
ρdV =
=
E · n̂dα =
∇ · EdV
0 V
0
S
V
que implica,
Z
~ − ρ )dV = 0
(∇ · E
0
V
Derivando respecto al diferencial de volumen:
~ − ρ = 0.
∇·E
0
Ası́,
~ =
∇·E
ρ
0
(2.13)
Ejemplo 2.8. Calcular el flujo eléctrico y el valor de la carga encerrada de una superficie
~ = kr3 r̂.
esférica cuyo campo eléctrico está dado por la expresión E
18
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Solución:
Partiendo de la ley de Gauss en forma diferencial, Ecuación (2.13), calculamos la divergencia del campo en coordenadas esféricas.
ρ
1 ∂(r2 E)
k ∂(r5 )
= 2
= 2
= 5kr2
0
r
∂r
r ∂r
ρ = 5k0 r2
Luego,
I
Z
Q
1
~
∇EdV
=
=
0
0
V
Z
5k0
ΦE =
r2 dV.
0 V
~ · d~a =
E
ΦE =
S
Z
ρdV
V
Teniendo en cuenta que dV = r2 sen(θ)drdθdφ,
Z
2π
Z
π
r
Z
r2 (r2 sen(θ))drdθdφ
ΦE = 5k
0
o
0
r5
ΦE = 5k 4π
= 4πkr5 .
5
Para encontrar el valor de la carga encerrada usamos la Ecuación (2.12):
ΦE =
Q
0
Q = 4πK0 r5 .
X
Ejemplo 2.9. Calcular el campo eléctrico de un cascarón esférico (Figura 2.12).
Solución:
Aplicando la Ecuación (2.9)
dq = σda = σr2 sen(theta)dθdφ
Además,
2
~
r = ~z − R = z 2 + R2 − 2zR cos(θ)
2
y
cos(φ) =
z − R cos(θ)
r
2.1. CAMPO ELÉCTRICO
19
Figura 2.12: Ejemplo (2.9)
Como solo hay campo en el eje z, tenemos:
Z
σda cos(φ)
1
E = Ez =
2
4π0 S z + R2 − 2zR cos(θ)
Z
1
σR2 sen(θ)dθdφ(z − R cos(φ))
=
4π0 S (z 2 + R2 − 2zR cos(θ))3/2
Z
Z
σR2 2π π sen(θ)dθdφ(z − R cos(θ))
=
3/2
2
2
4π0 0
0 (z + R − 2zR cos(θ))
Z π
2
sen(θ)dθ(z − R cos(θ))
2πσR
=
4π0 0 (z 2 + R2 − 2zR cos(θ))3/2
Haciendo u = cos(θ) tenemos, du = − sen(θ), θ = 0 → u = 1 y θ = π → u = −1. Ası́,
Z
(z − Ru)du
σR2 1
Ez =
2
20 −1 (z + R2 − 2zRu)3/2
que al resolver por fracciones parciales obtenemos
1
σR2 1
zu − R
√
Ez =
20 z 2 z 2 + R2 − 2zRu −1
σR2 (z − R) (−z − R)
Ez =
−
20 z 2 |z − R|
|z + R|
Para z > R (fuera de la esfera):
Ez =
σR2
0 z 2
Para z < R (dentro de la esfera):
Ez = 0
X
20
2.2.
2.2.1.
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Divergencia y rotacional de los campos eléctricos
Divergencia de un campo eléctrico
La ley de Gauss también permite evidenciar matemáticamente que el número de vectores de
campo eléctrico que atraviesan una superficie, es siempre un valor que depende únicamente
de la distribución de las cargas.
Z
ρ(~r)dV
1
~
E=
r̂
4π0
r2
~
∇·E
Z
1
ρ(~r)dV
=∇·
r̂
4π0
r2
Z
1
ρ(~r)dV
=
∇·
r̂
4π0
r2
Z
1
r̂
=
∇·
ρ(~r)dV.
4π0
r2
Si suponemos
que la distribución de carga ρ(~r) es constante y además teniendo en cuenta
que ∇ · rr̂2 = 4πδ 3 (~r − ~r0 ) se tiene,
Z
1
~
δ 3 (~r − ~r0 )ρ(~r)dV
∇·E =
0
Por definicion de la función δ,
~ = ρ(~r)
∇·E
0
(2.14)
Ejemplo 2.10. Calcule el campo eléctrico de un cilindro sólido de longitud infinita l y
radio s, cuya distribución de carga es proporcional al radio.
Solución:
Se tiene que ρ = ks. Como el cilindro es infinito se puede decir que no tiene tapas por lo
que el valor de su área es 2πsl.
Z
Z 2π Z s Z l
s3
Q = ρdV = k
s(sdl0 ds0 dθ) = 2π kl
3
0
0
0
Pero de la ley de Gauss (Ecuación (2.12)) deducimos que,
I
~ · n̂da = Q
E
0
2.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS
21
Figura 2.13: Ejemplo (2.10)
Q
s3 1
~
2πsl E
= 2π kl .
=
0
3 0
Ası́
2
~ = s k ŝ
E
30
X
2.2.2.
Rotacional de un campo eléctrico
Si se quiere desplazar un arreglo con carga uniforme a lo largo de una trayectoria cualquiera,
cuyo punto de arranque es a y el punto de llegada es b, es necesario saber cómo se da dicho
desplazamiento.
Z b
Z b
q
dr
q
1 1
~
~
E · dl =
=
−
.
4π0 a r2
4π0 a b
a
Ahora bien, como el campo eléctrico se maneja en un circuito (una region encerrada)
tenemos que a = b, por lo tanto,
I b
~ · d~l = 0
E
a
Esto implica que el campo eléctrico es conservativo y por teorema de Stokes:
I
Z
~
~
~ · d~a = 0.
E · dl = (∇ × E)
L
S
Derivando a ambos lados:
~ =0
∇×E
(2.15)
Llegando a este punto, podemos decir con certeza que la electrostática se resume en las
ecuaciones (2.14) y (2.15). Esta ecuaciones son validas para cualquier distribución de carga.
22
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Ejemplo 2.11. Comprobar si los siguientes campos son o no electrostáticos:
~ = k(xy î + 2yz ĵ + 3xz k̂)
(a) E
~ = k(y 2 î + (2xy + z 2 )ĵ + 2yz k̂)
(b) E
Solución:
Si son campos eléctricos deben satisfacer la Ecuación (2.15),
(a)
î
ĵ
k̂
~
∇×E = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z = (0−2ky)î−(3kz−0)ĵ+(0−kx)k̂ = −2ky î−3kz ĵ−kxk̂ 6= 0
kxy 2kyz 3kxz El campo NO ES electrostático.
(b)
î
ĵ
k̂ ~ = ∂/∂x
∇×E
∂/∂y
∂/∂z = (2kz − 2kz)î − (0 − 0)ĵ + (2ky − 2ky)k̂ = 0
ky 2 2ky + kz 2 2kyz El campo ES electrostático. X
2.3.
Potencial Eléctrico
El potencial eléctrico en un punto, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para
traer una carga puntual q desde un punto de referencia hasta el punto considerado en
contra de la fuerza eléctrica . Matemáticamente, expresado como:
Z r
~ · d~l
V (r) = −
E
(2.16)
ϑ
Donde ϑ es un punto arbitrario y r es el punto considerado en oposición a F~ . El signo
menos se debe a que el potencial está realizando una oposición al sistema, cuando intenta
desplazar la carga.
Para usos prácticos de la ecuacion (2.16), se suele hablar de diferencia de potencial entre
dos puntos, a y b:
Z b
Z a
~
~
~ · dl −
~ · dl
V (b) − V (a)
=−
E
E
Z
0
b
~ · d~l −
E
=−
0
Z
=−
a
Z
a
b
~ · d~l
E
0
0
~ · d~l
E
2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO
23
Figura 2.14: Diferencia de potencial entre a y b
Por teorema del gradiente:
b
Z
V (b) − V (a) =
∇V · d~l,
a
entonces
Z
b
∇V · d~l = −
a
Z
b
~ · d~l
E
a
Derivando respecto al diferencial de longitud,
~
∇V = −E
O bien,
~ = −∇V.
E
(2.17)
CARACTERÍSTICAS DEL POTENCIAL
No se considera como tal una energı́a. Es más un concepto recursivo para entender los fenómenos electrostáticos.
Es una función escalar.
Cualquier punto de referencia es válido, si tiene sentido fı́sico.
Obedece al principio de Superposición.
La unidad del SI para expresar el potencial es el voltio (V).
Ejemplo 2.12. Calcular el potencial eléctrico requerido para traer una carga q desde el
“infinito ”hasta una distancia r del centro de un cascarón esférico de radio R.
Solución: Si r < R:
r
~ · d~l = −q
V (r) = −
E
4π0
∞
Z
Z
r
∞
dr
q
=
2
r
4π0 r
24
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Figura 2.15: Ejemplo 2.12
Si r > R:
Z
R
V (r) = −
∞
~ · d~l −
E
Z
r
R
~ · d~l − 0 =
E
q
4π0 R
Nótese que el punto de referencia va en el lı́mite inferior de la integral, ya que es de donde
se arranca la trayectoria. Al ser un cascarón, resulta que dentro de la esfera no hay campo,
por lo cual el potencial desde R hasta r es cero. Del último resultado se deduce que el
potencial en todos los puntos dentro de la esfera, es constante, ya que el radio también lo
es.X
Ejemplo 2.13. Calcular el potencial eléctrico dentro y fuera del siguiente cascarón esférico
a un punto z.
Solución: Como la distribución de carga es superficial (cascarón), se aplica la Ecuación
(2.9). Luego:
2
~
r = R − ~z = R2 + z 2 − 2Rz cos(θ)
2
2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO
25
Figura 2.16: Ejemplo 2.13
Luego,
V
Z
Z
dq
1
σda
1
=
=
4π0
r
4π0
r
Z
σ
R2 sen(θ)dθdφ
p
=
4π0 A (R2 + z 2 − 2Rz cos(θ))
Z π
Z 2π
R2 sen(θ)dθ
σ
p
dφ
=
4π0 0
(R2 + z 2 − 2Rz cos(θ))
A
Z π
σ
R2 sen(θ)dθ
p
=
20 0
(R2 + z 2 − 2Rz cos(θ))
Con u = R2 + z 2 − 2Rz cos(θ) tenemos, 2udu = 2Rz sen(θ)dθ y sen(θ)dθ =
u
Rz du,
π
i
p
σR hp
σ Rp 2
2
R + z − 2Rz cos(θ) =
(R + z)2 − (R − z)2
V =
20 z
20 z
0
p
Si z < R entonces (R − z)2 = R − z:
V =
Si z > R entonces,
σR
σR
[R + z − (R − z)] =
20 z
0
p
(R − z)2 = z − R:
V =
σR
σR2
[R + z − (z − R)] =
X
20 z
z0
ası́:
26
2.3.1.
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Lı́neas Equipotenciales
En un campo eléctrico, el lugar conformado por puntos de igual potencial eléctrico se
denomina superficie equipotencial, dichas superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lı́neas de fuerza.
Dado el campo eléctrico, es posible hallar la función potencial eléctrico. Pero también se
puede proceder en sentido contrario; partiendo del potencial eléctrico deducir el campo.
Recordemos que el campo eléctrico es el negativo del gradiente del potencial, Ecuación
(2.17). El signo menos proviene a causa de que el campo eléctrico está dirigido de una
región de potencial positivo hacia una región de potencial negativo, mientras que el vector
∇V se define de manera que se dirija en el sentido de creciente. Por lo tanto, cuando
se encuentra que V es constante, significa que el campo eléctrico es nulo. Por tanto, la
~
distribución del potencial eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico E
puede representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.
2.4.
Trabajo y Energı́a
Consideremos una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga, por supuesto, experimentará una fuerza eléctrica. Ahora bien, si se pretende mantener la partı́cula
en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma
magnitud que la primera, pero dirección contraria, es decir:
~
F~ = −q E
(2.18)
Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para
trasladar la carga de un punto a otro (por ejemplo, desde a hasta b). De tal forma que al
producirse un pequeño desplazamiento d~l se generará un trabajo dW . Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento
en relación con la fuerza F~ . El trabajo queda, entonces, expresado como :
dW = F~ · d~l
Z
W =
b
F~ · d~l
(2.19)
a
De otra forma:
Z
W = −q
b
~ · d~l = q [V (b) − V (a)]
E
a
W = q∆V
(2.20)
2.4. TRABAJO Y ENERGÍA
27
Figura 2.17: Trabajo por varias cargas
Ahora bien, si consideramos un arreglo de varias cargas discretas, notamos que cada una
de ellas contribuye al desplazamiento o equilibrio de las demás cargas, puesto que todas
realizan un trabajo por separado, que sumados, darán por resultado el trabajo total. De
esta manera, el trabajo realizado por cada carga, se va acumulando, conforme tenga que
efectuarlo a las predecesoras, por lo que el trabajo de cada carga es diferente. Entre más
cargas tenga que desplazar, mayor será el trabajo que realiza. Por ejemplo, para mover
cuatro cargas el trabajo realizado es:
W1 = 0
W2 = q2 V12 =
1
q1
q2
4π0 r12
q2
q1
W3 = q3 V13 + q3 V23
+
r13 r23
q2
q3
1
q1
q4
+
+
W4 = q4 V14 + q4 V24 + q4 V34 = q4 (V14 + V24 + V34 ) =
4π0
r14 r24 r34
1
= q3 (V13 + V23 ) =
q3
4π0
Ası́,
q1
q1
q2
q1
q2
q3
1
WT = W1 + W2 + W3 + W4 =
q2
+ q3
+
+ q4
+
+
4π0
r12
r13 r23
r14 r24 r34
Ası́ pues, se deduce que, para una distribución discreta dada de cargas, el trabajo total es:
WT =
n
n
1 1 X X qi qj
2 4π0
rij
j=1
i=1
(2.21)
j6=i
Nota. La forma en la que adecuamos la suma hace que el sumando
por eso es necesario dividir por 2.
qi qj
rij
aparezca dos veces,
28
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
Los conceptos de trabajo y energı́a están estrechamente relacionados, tanto ası́ que llamamos energı́a potencial eléctrica de una carga, en un punto de un campo eléctrico, al trabajo
que realiza el campo eléctrico cuando la carga se traslada desde ese punto al infinito, o viceversa .
Suponemos que todas las cargas están en reposo cuando están en el infinito, esto es, no tienen energı́a cinética inicial. Por tanto, para traer la carga q1 desde el infinito no se requiere
trabajo, sin embargo, para traer q2 hasta una distancia r1 2 de q1 sı́ se requiere trabajo.
La unidad principal de trabajo y energı́a, al igual que en la mecánica clásica, es el Joule (J).
Ahora imaginemos un arreglo con distribución continua de cargas. La suma de cada uno de
los trabajos tiende a ser infinita, y como a cada punto de la región del espacio a analizar le
corresponde una carga, nuestra sumatoria se convierte en una integral. El trabajo total es el
de interés, ya que los trabajos realizados por cada carga son infinitesimales. Considerando
un sólido obtenemos:
Z
1
WT = W =
V dq
(2.22)
2
Por conveniencia, el diferencial de volumen lo escribiremos como dτ .
Z
1
WT = W =
V ρdτ
2
De las Ecuaciones (2.13) y (2.17), tenemos:
~ = 0 [∇ · (−∇V )] = −0 ∇2 V
ρ = 0 ∇ · E
Donde ∇2 es el operador laplaciano aplicado a funciones escalares.
Retomando:
0
W =
2
Z
~ dτ
V ∇·E
Por Teorema de la divergencia:
Z
I
0
~
~
−
E · (∇V ) dτ +
V Eda
W =
2
V
S
Como dentro de una superficie no hay campo eléctrico, la integral encerrada es cero. Por
lo cual:
Z
Z
−0
0
~
E · (∇V ) dτ =
E 2 dτ
(2.23)
W =
2 V
2 V
Nota. La Ecuación (2.23) se aplica sobre todo el espacio, es decir, se utiliza cuando se
quiere calcular el trabajo necesario para desplazar un arreglo de cargas hacia el exterior.
2.5. CAPACITANCIA
29
Nota. La Ecuación (2.22) también se aplica para distribuciones lineales y superficiales.
Ejemplo 2.14. Calcule el trabajo realizado para desplazar una distribución de cargas de
un cascarón esférico, hasta la frontera y fuera de la esfera.
Figura 2.18: Ejemplo 2.14
Solución:
Para la frontera (R = r), aplicando la Ecuación (2.22):
Z
Z
Z
1
1
1 1
q
W =
V dq =
V σda =
σda
2
2
2 4π0
R
Z
σqR
σq
σq
=
da =
4πR2 =
8π0 R
8π0 R
20
Para fuera de la esfera (R < r), aplicando la Ecuación (2.23):
2 Z
Z
0
q
0
1
2
E dq =
dτ
W =
4
2 V
2 4π0
V r
Z ∞ Z π Z 2π
1
0 q 2
sen(θ)drdθdφ
=
2
2
2 16π 0 R 0 0 r2
=
q2
8π0 R
X
2.5.
Capacitancia
La capacitancia básicamente es la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de
los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos. La capacitancia
30
CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA
siempre es una cantidad positiva puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida
que la carga almacenada se incrementa. Matemáticamente, se expresa como:
Q
(2.24)
V
La proporción Q/V es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitancia
de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energı́a potencial
eléctrica . Dichos dispositivos a los que se les asocia directamente esta propiedad son los
capacitores (o condensadores).
C=
Se llama capacitor a un dispositivo que almacena carga eléctrica. El capacitor está formado por dos conductores próximos uno a otro, separados por un aislante, de tal modo
que puedan estar cargados con el mismo valor, pero con signos contrarios. En su forma
más sencilla, un capacitor está formado por dos placas metálicas o armaduras paralelas,
de la misma superficie y encaradas, separadas por una lámina no conductora o dieléctrico.
Al conectar una de las placas a un generador, ésta se carga e induce una carga de signo
opuesto en la otra placa. Por su parte, teniendo una de las placas cargada negativamente
(−Q) y la otra positivamente (+Q) sus cargas son iguales y la carga neta del sistema es 0,
sin embargo, se dice que el capacitor se encuentra cargado con una carga Q .
La unidad de capacitancia del SI es el Faradio (F ) 4 .
Figura 2.19: Capacitor de 10µF con una tolerancia de 50V
Es importante saber que la capacitancia se puede relacionar con la ley de Gauss, por
supuesto, si las geometrı́as que se manejan son “infinitas”.
4
http://gaussmarkov.net/parts/capacitors/10uF 50V Radial Electrolytic Capacitor.gif (Visitada el 04 de Ene. De 2012)
2.5. CAPACITANCIA
31
Ejemplo 2.15. Calcular la capacitancia que hay entre dos conductores en forma de cascarones esféricos, uno de radio a y otro de radio b, como indica la ilustración.
Figura 2.20: Ejemplo 2.15
Solución:
1 Q
r̂
4π0 r2
Z b
Z
−Q a 1
Q 1 1
~
~
V =
Edl =
dr =
−
4π0 b r2
0 a b
a
~ =
E
Q
4π0 ab
=
V
b−a
A partir de las últimas ecuaciones, se puede deducir la relación trabajo-capacitancia:
C=
dW = V dQ =
Q
dQ
C
Integrando;
Z
W =
0
Q
Q2
CV 2
Q
dQ =
=
C
2C
2
(2.25)
Como se observa, el lı́mite inferior de la integral es cero, ya que inicialmente no hay carga
almacenada (por lo menos ası́ se supone el punto de referencia), mientras que el lı́mite
superior es la carga máxima que soporta el condensador.X
Capı́tulo 3
Campos eléctricos en la materia
En la naturaleza, todas las cargas interactúan en parejas, o bien, en dipolos eléctricos, y
siempre que se vean influenciadas por un campo eléctrico, van a manifestar ciertos fenómenos eléctricos.
Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual magnitud cercanas
entre sı́.
Los dipolos aparecen en cuerpos aislantes dieléctricos. A diferencia de lo que ocurre en los
materiales conductores, en los aislantes los electrones no son libres. Al aplicar un campo
eléctrico a un dieléctrico aislante éste se polariza dando lugar a que los dipolos eléctricos
se reorienten en la dirección del campo, disminuyendo la intensidad de éste .
Aquı́ introducimos nuevos conceptos, claves para entender el comportamiento de los campos eléctricos (y magnéticos) en el mundo fı́sico.
En primer lugar, momento dipolar eléctrico p~, definido como una magnitud vectorial con
~ cuya dirección va
módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d,
de la carga negativa a la positiva:
p~ = q d~
(3.1)
Por otro lado, la carga generada por un dipolo viene dada por la expresión:
q = r̂~
p
(3.2)
De esta manera, el potencial para un único dipolo serı́a:
V =
1 r̂ · p~
4π0 r2
32
(3.3)
33
Pero si en lugar de disponer de un único dipolo, tenemos una cierta distribución continua
dipolar de carga, hemos de introducir una nueva caracterı́stica del medio denominada
Polarización:
dp
P~ =
(3.4)
dτ
Donde dτ es el diferencial de volumen, expresado ası́ para evitar confusiones con el potencial.
Esta polarización o densidad dipolar genera unas densidades de carga que crean un campo
equivalente a las cargas libres. Se produce entonces una densidad de carga volumétrica
en toda la distribución y una carga superficial en la frontera que separa el material del
exterior. Veamos cómo se demuestran los últimos dos conceptos:
Z
Z
1
r̂ · d~
p
1
r̂ · (P~ dτ )
V =
=
2
4π0 V r
4π0 V
r2
Sabiendo que rr̂2 = ∇ 1r :
Z
1
1
~
V =
P ·∇
dτ
4π0 V
r
1
1
1~
~
~
Y como P · ∇ r = ∇ · r P − r ∇ · P :
1
V =
4π0
Z
∇·
V
1~
P
r
Z
dτ −
V
1
∇ · P~ dτ
r
Con el Teorema de la divergencia:
I
Z
1
1
1~
~
V =
P · n̂da −
∇ · P dτ
4π0 S r
V r
Y análogamente a las Ecuacioones (2.9) y (2.10), deducimos que:
σl
ρv
= P~ · n̂
= −∇ · P~
(3.5)
(3.6)
Donde ρv es la densidad de carga volumétrica en la frontera y σl es la carga superficial en
la frontera .
La distribución de cargas de un material se reparte en dos zonas: la que se encuentra en la
frontera del arreglo, y que está organizada en dipolos eléctricos, y la que se encuentra en
estado libre, la cual se compone de cargas positivas y negativas individuales. Ası́ pues, la
suma de ambas distribuciones da como resultado la distribución total.
ρ = ρv + ρl
(3.7)
34
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Donde ρl es la densidad de carga volumétrica libre. De (3.7), (3.6) y (2.13) tenemos,
~ = −∇ · P~ + ρl
ρ = 0 (∇ · E)
esto es,
~ + ∇ · P~ = ∇ · (0 E
~ + P~ )
ρl = 0 (∇ · E)
~ + P~ la llamaremos el vectro de desplazamiento eléctrico y lo notaremos
La expresión 0 E
~
como D, ası́:
~
ρl = ∇ · D
(3.8)
La Ecuación (3.8) es la ley de Gauss para dipolos eléctricos con distribución continua. Y
escrita en su forma integral:
I
I
~
~ · n̂da = Qle
D · d~a =
D
(3.9)
S
S
Donde Qle es la carga libre encerrada (por la superficie gaussiana).
~ , P~ y D
~ se aplican a distribuciones continuas (como sucede en la naturaleza, puesYa que E
to que las cargas siempre están en conjunto), son los tres campos eléctricos macroscópicos
que describen el comportamiento de los materiales.
Por otro lado, la polarización de un dieléctrico isótropo (se comporta igual en todas las
direcciones) tiene dirección y sentido iguales que el campo eléctrico resultante, y depende
de este último y de la naturaleza del dieléctrico. Se define entonces, una propiedad del
dieléctrico en respuesta de la constante de proporcionalidad requerida para la relación lineal
(que también puede ser un tensor), denominada susceptibilidad eléctrica del material (χe ),
establecida por la ecuación:
~
P~ = 0 χe E
(3.10)
La susceptibilidad eléctrica, que describe la respuesta de un medio a la acción de un campo
eléctrico, está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. Es
una cantidad adimensional y en el vacı́o es nula, ya que solo puede resultar polarizado un
~
material dieléctrico, después de la interacción con E.
~
Y por la definición de D:
~ = 0 E
~ + P~ = 0 (1 + χe )E
~ = E
~
D
Por lo cual,
= 0 (1 + χe )
= (1 + χe ) = r
0
(3.11)
(3.12)
35
Donde r es la permitividad relativa, que asocia la permitividad eléctrica en un medio dado
(), con su valor en el vacı́o (0 ).
A continuación, se muestran algunos valores de r para distintos medios:
Permitividad relativa para algunos dieléctricos
Material
Aceite mineral
Agua
Caucho
Acetona
Madera
Aire
Papel duro
Agua destilada
PVC
Baquelita
Vidrio
r
19, 5
78, 5
de 20 a 50
191
de 10 a 60
1, 00058986 ± 0,00000050
(en CNPT; 0, 9MHz)
49, 5
88, 0 a 0o C; 55, 3 a 100o C
de 30 a 40
de 50 a 80
de 40 a 60
Capı́tulo 4
Circuitos
4.1.
La ley de Ohm
Un claro ejemplo de un arreglo que manifiesta los fenómenos electrostáticos es un circuito.
Un circuito eléctrico es un conductor unido por sus extremos, en el que existe, al menos,
un generador que produce una corriente eléctrica. En un circuito, el generador origina una
diferencia de potencial que produce una corriente eléctrica. La intensidad de esta corriente
depende de la resistencia del conductor . Dicha corriente, que en resumen es el flujo de
electrones, se expresa ası́:
d~q
I~ =
(4.1)
dt
Como se observa en la anterior ilustración, los arreglos de cargas tienen sus respectivas
densidades de corriente, definidas de la siguiente forma:
d~l
I~ = λ = λ~v
dt
(4.2)
~
~
~ = dI = σ dl = σ~v
K
(4.3)
dl
dt
dI~
d~l
J~ =
= ρ = ρ~v
(4.4)
da
dt
Donde ~v es el vector velocidad, en este caso, del desplazamiento de las cargas de la Ecuación
(4.4) obtenemos:
~
dI~ = Jda
Z
Z
~
I~ = Jda
I
Z
Z
~
~
~
I=
Jda =
(∇ · J)dV =
∇ · (ρ~v )dV
S
V
V
36
4.1. LA LEY DE OHM
37
Figura 4.1: Densidades de corriente
La densidad de corriente, naturalmente, puede variar en el tiempo, por lo cual:
∂
∂
∂
î +
ĵ +
k̂).(vx î + vy ĵ + vz k̂)]
∂x
∂y
∂z
∂vx ∂vy
∂vz
= ρ(
+
+
)
∂x
∂y
∂z
∂ ∂x
∂ ∂y ∂ ∂z
dρ
(ρ ) +
(ρ ) (ρ ) =
∂x ∂t
∂y ∂t ∂z ∂t
dt
∇ · (ρ~v ) = ρ[(
Luego,
Z
Z
∇ · (ρ~v )dV = −
V
V
dρ
dV
dt
dρ
=0
(4.5)
∇ · (ρ~v ) +
dt
La Ecuación (4.5) es llamada Ecuación de continuidad, que se traduce en la conservación
de la carga. Es análoga a otras ecuaciones de continuidad, como la de mecánica de fluidos.
El signo menos hace referencia a la oposición al sistema, necesaria para mantener el flujo
de carga constante.
Retomando a los circuitos, sabemos que éstos deben tener al menos un generador de corriente, para que el sistema funcione. A su vez, dicho generador es comúnmente denominado
FEM (fuerza electromotriz) que en sı́ hace referencia al esfuerzo requerido para garantizar
un voltaje constante.
38
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
Los tres conceptos más básicos de un circuito, son: voltaje (V ), corriente (I) y resistencia (R). La resistencia es aquella que realiza oposición a la corriente. Otras propiedades
→
asociadas a un circuito (e inclusive a cualquier material), son: la conductividad (←
σ ), que
es la capacidad de un cuerpo o medio para conducir la corriente eléctrica, es decir, para
←
→
permitir el paso a través de él de cargas, y la resistividad (( R e ), que es la capacidad para
impedir dicho flujo. Es lógico que:
1
←
→
σ =←
(4.6)
→
Re
Como se puede apreciar, tanto la conductividad, como la resistividad, son tensores, puesto
que los materiales pueden ser o no isotrópicos, y entonces, la magnitud de éstas puede
variar en todas las direcciones, o bien, ser constante en todos los puntos. En el segundo
caso, tales propiedades serı́an cantidades escalares.
←
→
→
Por otro lado, ←
σ y R e , son tan importantes, que relacionan el campo eléctrico con la
densidad de corriente de un sistema, mediante la Ley de Ohm:
→
~
J~ = ←
σE
(4.7)
Esta ley es válida para cualquier geometrı́a que posea el material. Aplicada a un circuito,
~ 0 , que es un campo eléctrico auxiliar y externo, existente en la
se le añade un término,E
FEM y que mantiene el campo propio del circuito.
→
~ +E
~ 0)
J~ = ←
σ (E
Y analizando la distribución de corriente a lo largo del hilo conductor:
Figura 4.2: Ley de Ohm
I
L
~ ~l = σ
J.d
I
L
~ 0 · d~l +
E
I
L
~
~
E · dl
4.1. LA LEY DE OHM
39
Ya que el campo eléctrico del circuito es conservativo:
I
L
~ ~l I
J.d
~ 0 .d~l = F EM
=
E
σ
L
(4.8)
La ley de Ohm posee una variante especial, aplicada únicamente para geometrı́as cilı́ndricas y dada su sencillez, es la más utilizada en los circuitos, razón por la cual casi todas las
resistencias que se fabrican tienen forma de cilindro.
Imaginemos un conductor cilı́ndrico de área A y longitud L, que está hecho de un material
de conductividad uniforme σ: Como σ es isotrópica, de la Ecuación (4.4), tenemos:
Figura 4.3: Conductor cilı́ndrico de área A y longitud L
Z
dI~ = J~
Z
da
I = JA = σEA = σ
L
Y sabiendo que R = Re A
=
1L
σ A:
V
A
L
1
V
R
V = IR
I=
(4.9)
En donde, generalmente, el voltaje se expresa en voltios (V ), la corriente en amperios (A)
y la resistencia en ohmnios (Ω).
En este orden de ideas, clasificamos a los materiales, en dos tipos:
Material óhmnico: Con geometrı́a cilı́ndrica con tapas y que cumple con la Ecuación
(4.7) y además con la Ecuaión (4.9).
40
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
Material no óhmnico: Con geometrı́a distinta a la cilı́ndrica y que cumple con la
Ecuación (4.7).
Ejemplo 4.1. Calcular el potencial en términos de corriente, entre dos conductores cilı́ndricos coaxiales con distribución lineal, el interno de radio a y el externo de radio b, ambos
con longitud infinita L y conductividad uniforme σ.
Figura 4.4: Ejemplo 4.1
Solución:
I
~ · n̂da = Q
E
0
S
λL
E(2πrL) =
0
λ
E=
r̂
2π0 r
I
I
I
1
σλ
~
~
I=
J · da = σ E · da =
rdθdz
2π
0 S r
S
S
Z 2π Z L
σλ
σλL
dθdz =
I=
2π0 0
0
0
Z a
Z a
dr
λ
b
~ · d~l = −λ
V =−
E
=
ln ( )
2π0 b r
2π0
a
b
Despejando λ del cálculo de I:
0 I
λ=
σL
Por último:
0 I
b
I
b
V =
ln
=
ln
2π0 σL
a
2πσL
a
4.2. EFECTO JOULE
4.2.
41
Efecto Joule
Cuando un sistema maneja un flujo de corriente, una fuente de voltaje y por lo menos una
resistencia, éste experimenta un fenómeno llamado Efecto Joule, el cual trata de que si
dicha corriente eléctrica circula en el conductor, parte de la energı́a cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material
conductor por el que circulan (colisión de cargas), elevando la temperatura del mismo. De
este modo, tal efecto está dado por la Ley de Joule o de transformación de energı́a eléctrica
en calórica. La resistencia es la responsable de dicha transformación .
dW = V dq
Z
Z
dW = V I
dt
W = V It
O bien,
Q = V It
Donde Q es el calor generado.
Si se trata de un material óhmnico:
Q = V It = IRIt = I 2 Rt
(4.10)
Y en términos de potencia:
P =
4.2.1.
dW
dQ
=
= I 2R
dt
dt
(4.11)
Aplicaciones del Efecto Joule
En este efecto se basa el funcionamiento de diferentes electrodomésticos como los hornos,
las tostadoras y las calefacciones eléctricas, y algunos aparatos empleados industrialmente
como soldadoras, etc., en los que el efecto útil buscado es, precisamente, el calor que
desprende el conductor por el paso de la corriente. Sin embargo, en la mayorı́a de las
aplicaciones es un efecto indeseado y la razón por la que los aparatos eléctricos y electrónicos
necesitan un ventilador que disminuya el calor generado y evite el calentamiento excesivo de
los diferentes dispositivos como podı́an ser los circuitos integrados. E inclusive las lámparas
incandescentes que producen más energı́a calorı́fica que lumı́nica .
42
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
4.3.
Clasificación de los Circuitos según el tipo de
corriente
Corriente Directa (DC): es el flujo continuo de electrones a través de un conductor
entre dos puntos de distinto potencial. Las cargas eléctricas circulan siempre en la
misma dirección (es decir, los terminales de mayor y de menor potencial son siempre
los mismos). Aunque comúnmente se identifica la corriente continua con la corriente
constante (por ejemplo la suministrada por una baterı́a), es continua toda corriente
que mantenga siempre la misma polaridad.
Corriente Alterna (AC): Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en la
que la magnitud y dirección varı́an cı́clicamente. La forma de onda de la corriente
alterna más comúnmente utilizada es la de una onda sinusoidal, puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energı́a. Sin embargo, en ciertas aplicaciones
se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.
4.3.1.
Ventajas de AC respecto a DC
La razón del amplio uso de AC viene determinada por su facilidad de transformación, cualidad de la que carece DC.
Tal como se detalla en la Ecuación (4.10), la energı́a eléctrica (que luego se convertirá en
calor) viene dada por el producto del voltaje, la corriente y el tiempo. Dado que la sección
de los conductores de las lı́neas de transporte de energı́a eléctrica depende de la intensidad,
podemos, mediante un transformador, elevar el voltaje hasta altos valores (alta tensión),
disminuyendo en igual proporción la intensidad de corriente. Con esto, la misma energı́a
puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto,
con bajas pérdidas por causa del efecto Joule y otros fenómenos asociados al paso de
corriente. Una vez en el punto de consumo o en sus cercanı́as, el voltaje puede ser de nuevo
reducido para su uso industrial o doméstico de forma cómoda y segura .
4.4.
Leyes de Kirchhoff
Son aquellas que se aplican en la resolución de un circuito (el cálculo de las mediciones de
V,R e I), donde por lo menos existe una fuente de voltaje, una resistencia y una corriente
circulando. Se expresan de la siguiente manera:
4.4. LEYES DE KIRCHHOFF
43
Figura 4.5: Convenciones
Figura 4.6: Elementos de un circuito
1. Ley de nodos: En un nodo, la suma algebraica de las corrientes que entran y salen
es nula.
X
Ii = 0
(4.12)
i
2. Ley de mallas: La suma algebraica de las FEM (?) en un circuito cerrado es igual
a la suma de las caı́das de potencial en cada elemento o malla del circuito.
X
X
i =
Ri I
(4.13)
i
i
Como se puede observar, dichas ecuaciones se ajustan a materiales óhmnicos, usados generalmente en los circuitos.
44
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
Los circuitos pueden ser en serie, en paralelo o mixtos:
En serie: Cumplen la 2da Ley y las diversas resistencias que contiene están trabajando en el mismo hilo conductor. No hay división por mallas. Maneja una corriente
constante. Para la resolución de este circuito, se realiza una asociación de resistencias, en donde todas se unifican en una denominada resistencia equivalente (Re q), de
acuerdo a la ecuación:
Req = R1 + R2 + R3 + ... + Rn
(4.14)
Figura 4.7: Circuito en serie
En paralelo: Cumplen la 1ra Ley y las diversas resistencias que contiene están trabajando en diferentes hilos conductores, o mallas. Maneja un voltaje constante. Para la
resolución de este circuito, se realiza una asociación de resistencias, en donde todas se
unifican en una denominada resistencia equivalente (Req), de acuerdo a la ecuación:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ··· +
Req
R1 R2 R3
Rn
(4.15)
Mixtos: Contienen elementos ordenados en serie y otros en paralelo, en donde las
Ecuaciones (4.14) y (4.15) se aplican de acuerdo a cada zona del circuito a trabajar
en especı́fico.
4.5. CIRCUITOS RL
45
Figura 4.8: Circuito en paralelo
Figura 4.9: Circuito mixto
4.5.
Circuitos RL
Una bobina o inductor es un componente que tiene la propiedad de oponerse a cualquier
cambio en la corriente (corriente variante en el tiempo) que lo atraviesa. Esta propiedad
se llama Inductancia (L). Comúnmente, se mide en Henrios (H).
Cuando una corriente atraviesa un conductor, un campo magnético es creado. Las lı́neas de
fuerza del campo magnético se expanden empezando en el centro del conductor y alejándose, pasando primero por el conductor mismo y después por el aire .
Mediante observaciones, se determinó que en un circuito RL, el voltaje era directamente
proporcional al cambio de la corriente en el tiempo, puesto que la función de dicho voltaje
es mantener el flujo de electrones constante. Por tanto, la inductancia, L, se reflejó como
46
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
una constante de proporcionalidad, para establecer que:
V =L
dI
dt
(4.16)
Para este circuito sin FEM, el cual es un ejemplo sencillo de un Circuito RL (resistencia e
inductor) la 2da Ley señala que:
Figura 4.10: Circuito RL
L
dI
+ IR = 0
dt
L
dI
= −IR
dt
Se soluciona la ecuación diferencial,
Z
I
I0
ln
I
I0
dI
=
I
Z
t
t0
R
dt
L
R
= − (t − t0 )
L
Generalmente t0 = 0 por lo cual:
ln
Ası́
I
I0
R
=− t
L
R
I = I0 exp − dt
L
(4.17)
La Ecuación (4.17) nos indica que la corriente decrece exponencialmente, a medida que
transcurre el tiempo, hasta que el circuito se descargue completamente, cuando la curva
de I vs. t converge a 0.
4.6. CIRCUITOS RC
47
Otro concepto importante es el tiempo caracterı́stico, el cual se define como el tiempo en
el cual la corriente tiene un valor de 1e veces el valor de la corriente inicial, o bien, cuando
la corriente se ha descargado aproximadamente un 63,21 % desde su estado inicial.
Tenemos entonces que el tiempo caracterı́stico, τ , para un circuito RL es:
τ=
R
L
(4.18)
Reemplazando la Ecuación (4.18) en (4.17):
t
I = I0 exp −
τ
(4.19)
Y se confirma su definición cuando t = τ :
I = I0 exp (1) =
4.6.
I0
e
Circuitos RC
La presencia de un capacitor (condensador) en un circuito hace que el voltaje disminuya
exponencialmente a medida que transcurre el tiempo, ya que dicho componente almacena
una cierta cantidad de carga, que si posteriormente se libera por el circuito, requiere una
caı́da de potencial que amortigüe este exceso de carga.
Las experimentaciones evidenciaron que la corriente que circula en un circuito RC, es directamente proporcional al cambio de potencial respecto al tiempo. Y como la capacitancia
es la responsable de este cambio, se acopló como la constante de proporcionalidad para la
ecuación:
dV
I=C
(4.20)
dt
Para este circuito sin FEM, el cual es un ejemplo sencillo de un Circuito RC (resistencia y
capacitor) la 1ra Ley señala que:
dv
V
C
=−
dt
R
Como en RL, obtenemos una ecuación diferencial cuya solución está dada por:
t
V = V0 exp −
(4.21)
RC
En este caso, el tiempo caracterı́stico es aquel en el cual el voltaje tiene un valor de 1e veces
el valor del voltaje inicial, o bien, cuando el valor del voltaje ha caı́do aproximadamente
48
CAPÍTULO 4. CIRCUITOS
Figura 4.11: Circuito RC
un 63,21 % desde su estado inicial.
Ahora bien, el tiempo caracterı́stico, τ , para un circuito RC es:
τ = RC
Reemplazando la Ecuación (4.22) en (4.21):
t
V = V0 exp −
τ
(4.22)
Capı́tulo 5
Magnetostática
5.1.
5.1.1.
Campo magnéticos
Fuerzas magnéticas
La fuerza magnética tiene que ser descrita como una combinación de direcciones de un
campo magnético, involucrando un producto cruz entre los vectores velocidad y campo
magnético, viene dada por:
~
Fmag = Q(~v × B)
Esta ecuación es conocida como la ley de fuerza de Lorenz, que en presencia de un campo
eléctrico, puede ser descrita como:
~ + Q(~v × B)
~
Fmag = QE
Ejemplo 5.1. El movimiento de una partı́cula cargada en un campo magnético es circular,
con la fuerza magnética proporcionando aceleración centrı́peta. En la figura 5.1, se observa
un campo magnético en dirección al centro del cı́rculo. Si la carga Q gira en sentido contrario
a las manecillas del reloj, con una velocidad v, alrededor del cı́rculo de radio R, la fuerza
magnética también se dirigirá hacia el centro del cı́rculo, obteniéndolo matemáticamente
observamos:
Solución: Tomando la aceleración centrı́peta como el cociente entre la velocidad al cuadrado y el radio tenemos:
~
~
F
=
Q
|~
v
|
B sen(90o ) = m |ac |
Ası́
QvB = m
49
v2
R
50
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Figura 5.1: Ejemplo 5.1
v
R
Tomando el producto de la masa por la velocidad como el momento ν
QB = m
ν = RQB
(5.1)
La ecuación (5.1) se conoce como la fórmula del ciclotrón. X
Ejemplo 5.2. Cuando se incluye un campo eléctrico uniforme, junto con el campo magnético, ocurre una trayectoria diferente. En este ejemplo se tomará el campo magnético en la
dirección x, y el campo eléctrico en la dirección z (Figura 5.2 ). Hallar la trayectoria de la
partı́cula:
Solución: La trayectoria se definirá con las siguientes caracterı́sticas
Posición:
(0, y(t), z(t))
Velocidad:
(0, y 0 (t), z 0 (t))
Aceleración: (0, y 00 (t), z 00 (t))
Si el campo eléctrico es perpendicular al magnético, la posición siempre será la de un
cicloide, la velocidad también será perpendicular. Aplicando la ley de fuerza de Lorenz,
empezamos por hallar el rotacional entre la velocidad y el campo magnético:
î
ĵ
k̂ ~ = 0 y 0 (t) z 0 (t) = Bz 0 (t)ĵ − By 0 (t)k̂
~v × B
B
~
0
0 Ası́
~ k̂ + Q(Bz 0 (t)ĵ − By 0 (t)k̂)
Fmag = QE
5.1. CAMPO MAGNÉTICOS
51
Figura 5.2: Ejemplo 5.2
Luego, aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
m~a = m(y 00 (t)ĵ + z 00 (t)k̂) = Fmag
Es decir,
~ − By 0 (t))k̂ + QBz 0 (t)ĵ = m(y 00 (t)ĵ + z 00 (t)k̂)
Q(E
Igualando componentes obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:
QBz 0 (t) = my 00 (t)
0
~ − QBy (t) = mz 00 (t)
QE
Derivando la ecuación 5.3 tenemos que QBz 00 (t) = my 000 (t) o de otra forma:
z 00 (t) =
my 000 (t)
QB
Luego se reemplaza en 5.3:
~ − QBy 0 (t) = m2 =
QE
y 000 (t)
QB
d3 y Q2 B 2 dy Q2 BE
+
−
=0
dt
m2 dt
m2
Esta última se deriva una vez más:
d4
Q2 B 2 d2 y
+
=0
dt4
m2 dt2
(5.2)
(5.3)
52
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Se emplea una sustitución para mayor facilidad:
d4 y
d2 p
=
y
dt4
dt2
d2 y
=p
dt2
Volviendo a la ecuación anterior:
d2 p Q2 B 2
+
p=0
dt2
m2
En este punto se hace una pausa para explicar de donde proviene la frecuencia de resonancia
del ciclotrón, partiendo del movimiento en el caso de un péndulo que viene dado por la
ecuación:
g
Θ00 (t) + Θ(t) = 0
l
Con base en la ecuación del perı́odo de oscilación de un péndulo obtenemos:
s
l
T = 2π
g
2π
w
A su vez, debemos tener en cuenta la ecuación diferencial de la elasticidad de un resorte,
dada por:
d2 x
A dx
k
+
+ x=0
2
dt
m dt
m
De esta forma, podemos obtener una constante w, para ambos casos:
T =
w2 =
k
m
y
w2 =
g
l
Ası́ que la frecuencia del ciclotrón vendrá dada por:
w=
QB
m
Lo que sugiere que la componente que no tenga una derivada, tendrá una frecuencia.
Reemplazando en la ecuación que se estaba resolviendo antes:
y 000 (t) + w2 y 0 (t) −
E 2
w =0
B
Las soluciones a las ecuaciones diferenciales acopladas, después de realizar las sustituciones
y métodos correspondientes vienen dadas por:
y(t) = A1 cos(wt) + A2 sen(wt) +
E
t + A3
B
5.1. CAMPO MAGNÉTICOS
53
z(t) = A2 cos(wt) − A1 sen(wt) + A4
Ahora, para hallar con precisión la trayectoria de una partı́cula dentro de un ciclotrón,
debemos volver a las condiciones iniciales:
y(0) = z(0) = 0
y 0 (0) = z 0 (0) = 0
Para volver única la solución y hallar las constantes se reemplazan las condiciones iniciales:
y(0) = 0 = A1 cos 0 + A2 sen 0 +
E
0 + A3
B
A1 = −A3
Derivando las soluciones:
y 0 (t) − A1 w sen(wt) + A2 w cos( wt) +
E
B
y
z 0 (t) = −A2 w sen(wt) − A1 w cos(wt)
Reemplazando las condiciones iniciales:
y 0 (0) = −A1 w sen 0 + A2 w cos 0 +
E
B
E
=0
B
E
A2 = −
wB
z 0 (0) = −A2 w sen 0 − A1 w cos 0
A2 w +
De esta forma, obtenemos los valores de las constantes:
A1 = 0
A2 =
−E
wB
A3 = 0
A4 =
Reemplazando ahora en las soluciones originales:
E
E
sen(wt) + t
wB
B
E
E
z(t) = − cos(wt) +
B
wB
E
Reescribimos en términos de la amplitud R = wB
y queda:
y(t) = −
y(t) = −R sen(wt) + wRt
z(t) = −R cos(wt) + R
E
wB
54
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Despejando de nuevo:
y − Rwt = −R sen wtz − R = −R cos wt
Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones obtenemos la ecuación de un cı́rculo cuyo
centro será (0, Rwt, R) y que viaja en la dirección de y a velocidad constante:
(y − Rwt)2 + (z − R)2 = R2
Se concluye de este ejemplo que la partı́cula solo viaja en la dirección de y y tiene una
magnitud de:
E
E
v = Rw =
w=
wB
B
Todo el movimiento no está en la dirección de E, pero sı́ perpendicular a él. X
Un importante elemento a tener en cuenta en las fuerzas magnéticas es que las éstas no
realizan trabajo, ya que el producto punto entre los vectores perpendiculares involucrados
es cero, como se demuestra aquı́:
dWmag = F~mag · d~l
Si la carga Q se mueve un tramo d~l = ~v dt , el trabajo realizado es:
~ · d~l
dWmag ] = Q ~v × B
~ · ~v dt
dWmag = Q ~v × B
dWmag = 0
5.1.2.
(5.4)
Corriente
La corriente en un alambre es la carga por unidad de tiempo pasando por un punto dado.
Por definición, las cargas negativas moviéndose hacia la izquierda, valen lo mismo que las
positivas moviéndose hacia la derecha. Esto demuestra que aunque cualquier fenómeno que
involucre movimiento de cargas, dependa del producto de la carga y la velocidad, si se
cambia el signo de q o v, se tendrá la misma solución. Una carga lineal λ viajando a través
de un alambre, es una corriente (Figura 5.3):
I = λv
Esta ecuación se aplica unicamente para cargas en movimiento. La forma como se relaciona
la fuerza magnética en un alambre lineal, viene dada ası́:
Z
Z
~l
~
~
Fmag = (~v × B)dq = (~v × B)λd
5.1. CAMPO MAGNÉTICOS
55
Figura 5.3: Cable de corriente
Tomando a la corriente comoλ~v = I, se obtiene:
Z
Z
~
~
~
~
Fmag = (I × B)dl = I(d~l × B)
Como la magnitud de la corriente a lo largo del alambre es constante, puede sacarse de la
integral, hallando finalmente:
Z
~
Fmag = I (d~l × B)
(5.5)
Ejemplo 5.3. Un segmento cuadrado de alambre, soportando una masa m, cuelga verticalmente con un extremo en un campo magnético uniforme, tal como se muestra en la
figura 5.4, hallar la corriente.
Solución: La corriente debe circular en el sentido de las manecillas del reloj, la fuerza
magnética vendrá dada por:
Fmag = IBa
Donde a es la longitud de un lado del cuadrado. La fuerza está balanceada por el peso, por
lo que se iguala:
mg
Iba = mg −→
Ba
Ahora, si la corriente se incrementa, la fuerza magnética ascendente excede la fuerza gravitacional descendente, y el segmento cuadrado crece, abandonano el peso. Necesariamente
se está haciendo trabajo, y la causante de esto es la fuerza magnética, de manera que es
posible escribir:
Wmag = F~mag h = IBah
56
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Figura 5.4: Ejemplo 5.3
Donde h es la distancia que el segmento sube. Sin embargo, aquı́ se presenta una inconsistencia con lo dicho anteriormente, porque las fuerzas magnéticas nunca hacen trabajo.
Lo que ocurre realmente es que cuando el segmento comienza a ascender, las cargas en el
alambre ya no se mueven horizontalmente, su velocidad adquiere un componente ascendente denominado u, la velocidad del segmento, en adición con el componente w asociado con
la corriente (I = λw). La fuerza magnética, que siempre es perpendicular a la velocidad,
ya no apunta más hacia arriba, pero sı́ se inclina hacia atrás. Esta es perpendicular al
desplazamiento neto de la carga, y por lo tanto, no hace trabajo enq que tiene un componente vertical (qwB). En realidad, la fuerza vertical neta en toda la carga (λa) en la
parte superior del segmento es Fvert = λawB = IBa, tal como antes, pero esta vez, tiene
también un componente horizontal (quB), opuesto al flujo de corriente. En un tiempo dt
las cargas se mueven una distancia horizontal wdt, lo que implica que el trabajo hecho es:
Z
Wmag = λaB uwdt = IBah
Que es el mismo hallado anteriormente.X
Cuando una carga fluye por una superficie, se utiliza la densidad de corriente superficial K,
que es la corriente por unidad de ancho del segmento, perpendicular al flujo, puede estar
expresada como:
K = σv
(5.6)
La fuerza magnética en una superficie de corriente viene dada por:
Z Z
~
Fmag =
~v × B σda = (K × B) da
(5.7)
5.1. CAMPO MAGNÉTICOS
57
Cuando una carga está distribuida en una región tridimensional, se utiliza una densidad
de corriente volumétrica J, que es la corriente por unidad de área perpendicular al flujo.
Puede estar expresada como:
J=
dI
da⊥
(5.8)
Y si la densidad de carga superficial es ρ y su velocidad es v, se expresa como:
J = ρv
Asimismo, la fuerza magnética en un volumen de corriente es:
Z Z
~
Fmag =
~v × B ρdτ = (J × B) dτ
5.1.3.
(5.9)
(5.10)
Ley de Biot-Savart
Las cargas estacionarias producen campos eléctricos constantes en el tiempo, de allı́ viene
el término electrostática, mientras que las cargas constantes, que son el centro de la magnetostática, involucran campos magnéticos constantes. Una corriente constante es aquella
que ha estado sucediendo sin cambio y sin acumular carga en cualquier lugar.
El campo magnético de una lı́nea de corriente constante, viene dado por la ley de BiotSavart:
Z ~
Z ~
µ0
I × ~r
µ0
dl × ~r
~
B(r) =
dl =
I
,
(5.11)
2
4π
r
4π
r2
La integral ocurre a lo largo de la trayectoria de la corriente, en la dirección del flujo, dl
es el diferencial de longitud del alambre, y ~r es el vector desde el alambre hasta un punto
r (Figura 5.5). Como la corriente es constante, se puede sacar de la integral sin ningun
inconveniente. La constante µ0 es la permeabilidad en el vacı́o, que es la capacidad de una
sustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de sı́, los campos magnéticos. Se habla
de dos campos, el que se aplique y el interno.
µ=
B
H
(5.12)
Donde B es el campo magnético externo y H es el campo magnético interno. El valor
exacto de la permeabilidad en el vacı́o es : 4π × 10−7 AN2
Ejemplo 5.4. Encontrar el campo magnético a una distancia s de un alambre infinito que
lleva una corriente constante. Figura 5.6.
58
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Figura 5.5: Ley de Biot-Savart
Figura 5.6: Ejemplo 5.4
En primer lugar, es necesario estimar la magnitud del producto d~l0 × ~r, según la figura
viene dado por:
d~l0 × ~r −→ dl0 sen α = dl0 cos(θ)
Teniendo en cuenta las relaciones:
tan(θ) =
l0
s
cos θ =
s
|~r|
Podemos deducir que :
l0 = s tan θ
dl0 = s sec2 θdθ
Lo que nos permite generar las condiciones:
1
cos2 θ
=
r2
s2
dl0 =
s
dθ
cos2 θ
5.1. CAMPO MAGNÉTICOS
59
Figura 5.7: Lı́neas del campo magnético del imán
Con estas condiciones, podemos reemplazar en la ecuación de Biot-Savart:
Z
µ0
dl0 × ~r
~
B(r) =
I
4π
r2
Z
µ0
cos2 θ
=
I dl0 cos θ 2
4π
s
Z
3
cos θ s
µ0
I
dθ
=
4π
s2 cos2 θ
Z θ2
µ0
cos θ
=
I
dθ
4π θ1
s
µ0
=
I(sen θ2 − sen θ1 )
4π
Esta última ecuación nos proporciona el campo magnético para cualquier segmento de
alambre, en términos de el ángulo inicial y un ángulo final. Para el caso de un alambre
infinito, tenemos los ángulos θ1 = − π2 y θ2 = π2 , por lo que obtenemos que el campo
magnético es:
µ0 I
~
B(r)
=
2πs
5.1.4.
Lı́neas de Corriente
Para empezar, se hace una aproximación a la forma de las lı́neas de campo magnético para
un imán, las cuales vendrı́an según lo muestra la figura 5.7: Se toma el norte como el polo
positivo, y el sur como el negativo, las lı́neas siempre van de norte a sur.
60
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Figura 5.8: Campo magnético de un alambre infinito recto
El campo magnético en un alambre infinito recto es mostrado en la figura 5.8, tomando la
corriente hacia afuera de la página, y tomando una superficie gaussiana a una distancia s.
La integral de campo magnético alrededor de una trayectoria circular cerrada de radio r,
viene dada por:
I
I
I
µ0 I
µ0 I
µ0 I
~ =
~ · dl
B
dl =
dl =
2πs
2πs
2πs
2πs
I
~ = µ0 I
~ · dl
B
(5.13)
Podemos usar también coordenadas cilı́ndricas para demostrar que con cualquier superficie
que encierre el alambre se obtendrá la misma respuesta. Tomando la corriente que fluye a
través del eje z.
dl = drr̂ + rdφφ̂ + dz k̂
I
I
µ0 I 2π 1
~
~
B · dl =
(drr̂ + rdφφ̂ + dz k̂)
2π 0 r
I
µ0 I 2π 1
=
rdφ
2π 0 r
µ0 I
2π = µ0 I
=
2π
Si el flujo de carga viene representado por una densidad volumétrica de corriente J, la
carga encerrada es:
Z
~
Ienc = J~da
Usando el teorema de Stokes,
Z
S
~ = µ0
~ da
(∇ × B)
Z
S
~
Jda
5.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS
61
Y por lo tanto:
~ = µ0 J~
∇×B
(5.14)
La ecuación (5.14) es la fórmula del rotacional de B, sin embargo, la mayorı́a de configuraciones de corriente no pueden ser construidas con base en un alambre infinito, y no se
puede asumir que esta fórmula aplica para todas.
5.2.
Divergencia y rotacional de los campos magnéticos
La definición formal de estos dos importantes conceptos, debe tener como base la ley de
Biot-Savart para el caso general de un volumen de corriente ( figura 5.9): La fórmula general
Figura 5.9: Volumen de corriente
de la ley de Biot-Savart es:
Z ~
I × ~r 0
µ0
~
B(r)
=
dl
4π
r2
Y para el caso de un volumen de corriente:
Z
J(r) × r̂ 0
µ0
~
dv
B(r) =
4π
r2
Donde B es una función de (x, y, z), J es función de (x0 , y 0 , z 0 ) ,
62
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
r = (x − x0 )î + (y − y 0 )ĵ + (z − z 0 )k̂
dv 0 = dx0 dy 0 dz 0
Aplicando la divergencia a ambos lados de la ecuación obtenemos:
Z
0 ) × r̂
µ
J(r
0
~ =
dv 0
∇B
∇
4π
r2
En este momento se hace una pausa para mencionar algunas propiedades a utilizar:
~ × B)
~ = B(∇
~
~ − A(∇
~
~
∇(A
× A)
× B)
~ × B)
~ = (B
~ · ∇)A
~ − (A
~ · ∇)B
~ + A(∇
~
~ − B(∇
~
~
∇(A
· B)
· A)
~ = f (∇ · A)
~ + A(∇f
~
∇(f (A))
)
Continuando con las ecuaciones anteriores, y utilizando una regla del producto obtenemos:
r̂
J(r0 ) × r̂
~ − J~ · (∇ × r̂ )
= 2 · (∇ × J)
∇
2
r
r
r2
Como ∇ × J~ = 0 porque J no depende de las variables principales (x, y, z), y ∇ ×
obtenemos:
Z
µ0
~
0dv 0
∇·B =
4π
~ =0
∇·B
r̂
r2
=0
(5.15)
La ecuación (5.15) es considerada como la ley de Gauss Magnética escrita en forma diferencial. Ahora, si decidimos aplicarle el rotacional a la ecuación de Biot-Savart, obtenemos:
Z
µ0
r̂
~
∇×B =
∇ × J × 2 dv 0
4π
r
Nuevamente, usando las propiedades mencionadas con anterioridad, encontramos:
r̂
r̂
r̂
r̂
r̂
∇× J × 2 =
· ∇ J − (J · ∇) 2 + J ∇ · 2 − 2 (∇ · J)
2
r
r
r
r
r
El primer y el último término de la derecha de la ecuación tienden a cero, mientras que el
tercer término es una divergencia que puede ser expresada como:
r̂
J ∇ · 2 = J4πδ 3 (r − r̂)
r
5.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS
63
Entonces, el comportamiento del rotacional del campo magnético viene dado por:
Z µ0
r̂
3
0
~
∇×B =
J4πδ (r − r ) − (J · ∇) 2 dv 0
4π
r
De manera que si existe simetrı́a viene a quedar:
Z
µ0
~
(J4πδ 3 (r − r0 ))dv 0
∇×B =
4π
~ = µ0 J(r)
∇×B
(5.16)
La ecuación (5.16) es llamada la ley de Ampere en forma diferencial. Esta puede ser escrita
también en forma integral:
Z
Z
~
∇ × B = µ0 Jda
I
5.2.1.
~ = µ0 Ienc
Bdl
(5.17)
Aplicaciones de la Ley de Ampere
Ejemplo 5.5. Hallar el campo magnético una distancia s de un alambre recto que lleva
una corriente I. Figura 5.10.
Figura 5.10: Ejemplo 5.5
64
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Solución:
Se sabe que la dirección de B es circunferencial según la regla de la mano derecha, y que
por simetrı́a el campo magnético es constante, ası́ que obtenemos por la ley de Ampere:
I
~
µ0 Ienc = Bdl
I
= B dl
= B2πs
Ası́,
µ0 Ienc
X
2πs
Ejemplo 5.6. Hallar el campo magnético de una superficie de corriente infinita. Figura
5.11.
B=
Figura 5.11: Ejemplo 5.6
Solución: B solo puede tener una componente en la dirección y. Si se dibuja un segmento
rectángular paralelo al eje yz, como lo muestra la figura , y extendido una distancia igual
debajo y encima de la superficie, aplicando la ley de Ampere se obtiene:
I
~ = 2Bl = µ0 Ienc = µ0 Kl
Bdl
5.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS
B=
65
µ0 K
2
Donde K es la corriente superficial, también se puede escribir con mayor exactitud:
 µ 0

para z < 0

 + 2 K ŷ
B=
X
µ 

0
 −
K ŷ
para z > 0
2
Ejemplo 5.7. Hallar el campo magnético de un solenoide, consistente en n giros dados por
un alambre alrededor de un cilindro de radio r, que lleva consigo una corriente I (Figura
5.12). Luego hallar el campo para el caso de una superficie ubicada sobre el solenoide.
(Figura 5.13).
Figura 5.13: Ejemplo 5.7
Figura 5.12: Ejemplo 5.7
Solución:
Para empezar, el campo es positivo en la dirección de la corriente, si se cambiara la dirección
de esta, B serı́a negativo, pero cambiar la corriente es solo fı́sicamente equivalente a poner
el solenoide al revés, lo que no alterarı́a el radio del campo. Si decidiéramos encerrar el
solenoide con una loop amperiano, obtenemos:
I
~ = µ0 Ienc
Bdl
=0
Es cero porque no se está encerrando la corriente, por lo cual no sirve de nada encerrar el
campo de esta forma. Entonces, el campo magnético de un solenoide es paralelo al eje que
66
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
lo encierra. Si nos alejamos cada vez más se aproximará a cero. Ahora, si aplicamos la ley
de Ampere para los loop rectangulares a distancias x1 y x2 de la figura 5.13, obtenemos:
Z
Bdl = µ0 Ienc
Z
x2
Bdl = µ0 Ienc
x1
Bx1 = Bx2
Sin embargo, el campo no depende de la distancia al eje, ya sabemos que el campo afuera del
solenoide es cero. Por lo cual al evaluar, el campo sobre el loop rectangular que está mitad
adentro y mitad afuera hallamos el campo magnético de un solenoide adentro:
Z
Bdl = µ0 Ienc
B=
µ0 nI
X
L
Ejemplo 5.8. Calcular el campo magnético de un toroide. Figura 5.14
Figura 5.14: Ejemplo 5.8
Un toroide consiste en un anillo circular en forma de dona, como se muestra en la figura,
alrededor del cual es enredado un alambre. El campo magnético del toroide es circunferencial en todos los puntos, tanto adentro como afuera de la bobina.
5.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS
67
Según la ley de Biot-Savart, el campo en r debido a un elemento de corriente r0 , viene dado
por:
µ0 I~ × ~r 0
~
B(r)
=
dl
4π r3
Al situar el punto r en el plano xz, las coordenadas cartesianas quedan: (x, 0, z), mientras
que las coordenadas base son:
r0 = (s cos φ0 , −s0 sen φ0 , z 0 )
Entonces,
r = (x − s cos φ0 , −s0 sen φ0 , z − z 0 )
Y como la coriente no tiene componentes φ, viene dada por: I = Is ŝ + Iz ẑ, en coordenadas
cartesianas, es decir:
I = (Is cos φ0 , Is sen φ0 , Iz )
Ahora, volviendo a la ecuación de Biot-Savart para hallar el campo magnético, hallamos:
x̂
ŷ
ẑ Is sen φ0
Iz I~ × ~r = Is cos φ0
x − s cos φ0 −s0 sen φ0 z − z 0 I~ × ~r = [sen φ0 (Is (z − z 0 ) + s0 Iz )]x̂ + [Iz (x − s0 cos φ0 ) − Is cos φ0 (z − z 0 )]ŷ + [−Is x sen φ0 ]ẑ
Aquı́ se presenta un elemento simétrico de corriente con las mismas caracterı́sticas pero
con diferente φ . Como sen φ0 cambia el signo, las contribuciones de x y z para r0 y r00 se
cancelan, dejando solo un término y. Entonces, el campo en r es en esa dirección, mientras
que el campo general de todos los puntos es en la dirección φ.
Sabiendo que el campo es circunferencial, es posible aplicar la ley de Ampere sobre un
cı́rculo de radio s alrededor del eje del toroide.
B2πs = µ0 Ienc
Entonces,

µ0 N I

φ

2πs
B=


0
para los puntos dentro de la bobina
X
para los puntos afuera de la bobina
En este punto, después de estos ejemplos, podemos empezar a hacer una comparación
de la magnetostática y la electrostática, teniendo como base las ecuaciones de Maxwell:
68
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Ecuaciones de Maxwell
~ = ρ
∇·E
0
Ley de Gauss (Ecuación 2.13)
~ =0
∇×E
Rotacional del campo eléctrico (Ecuación 2.15)
~ =0
∇·B
Ley de Gauss magnética (Ecuación 5.15)
Electrostática
Magnetostática
~ = µ0 J(r)
∇×E
Ley de Ampere (Ecuación 5.16 )
Lo anterior es teniendo en cuenta que los campos eléctrios y magnéticos para todas las
cargas y corrientes que se encuentren muy lejos tienden a cero.
En este punto de la clase, antes de continuar con el tema de potencial vector, se hacen
algunas precisiones sobre las ecuaciones de onda, la relación con el operador DÁlambert
con el fin de clarificar el concepto de que la luz es una mezcla de ondas electromagnéticas,
descubriendo que el componente u se puede escribir como cualquiera de los dos campos.
aquı́ se mostrarán las ecuaciones fundamentales al respecto:
ECUACIONES
d2 u
dt2
= c2 ∇2 u
∇2 u =
=
d2 u
dx2
d2 u
dt2
+
Ecuación de Onda
d2 u
dy 2
− c2 ∇2 u
+
d2 u
dz 2
Laplaciano de u
Operador de DÁlambert
Ahora, es válido escribir a u como cualquiera de los dos campos ya que el operador DÁlambert elevado al cuadrado es igual a cero
d2 B
= c2 ∇2 B
dt2
d2 E
= c2 ∇2 E
dt2
A continuación se procede a nombrar algunas ecuaciones con el fin de hacer una aproximación al tema de vector potencial. Éstas tienen relación con los conceptos de calibres.
~ = −∇Φ, donde Φ es la función escalar potencial (v = Ed)
E
∇ (∇Φ) =
ρ(r)
0
5.3. EL POTENCIAL VECTOR MAGNÉTICO
∇2 Φ = −
69
ρ(r)
0
Ésta última es la ecuación de Poisson en la que las fuentes de campo eléctrico se dan por
la carga y que tiene como solución la función de Green:
E=
5.3.
1
~x − x~0
+c
El potencial vector magnético
~ ·B
~ = 0 nos permite introducir el potencia vector
La divergencia del campo magnético ∇
A en magnetostática:
~ ×A
~
B=∇
Si reemplazamos esto en la Ley deAmpere obtenemos
~2 A
~ × ∇
~ ×A
~ =∇
~ ∇
~ ·A
~−∇
~ = µ0 J~
∇
~2 A
~ = −µ0 J~
∇
Que es denominada la ecuación de Poisson para el caso magnético. Asumiendo que J tiende
a cero en el infinito, la solución de esta ecuación viene dada como
Z
µ0
J(r0 ) 0
A(r) =
dv
4π
r − r0
Para corrientes lineales se obtiene
µ0
A(r) =
4π
Z
I
dl0
r − r0
Para corrientes de superficie
Z
µ0
K
da0
4π
r − r0
Cuando se quiere aproximar la fórmula del potencial vector de una corriente localizada,
para puntos distantes, tal como lo muestra la figura 5.3, se debe utilizar una expansión
multipolar, que consiste en escribir el potencial en forma de series de potencia de 1r donde
r es la distancia al punto en cuestión. Esta expresión viene dada ası́
∞ 1
1
1 X r0 n
=p
=
Pn (cos θ0 )
2
0
2
0
0
r
r
r
r + (r ) − 2rr cos θ
n=0
A(r) =
La expresión Pn (cos θ) es considerada como una contracción de los polinomios de Legendre.
Que empiezan con P0 = 1, luego P2 = cos θ, P3 = 12 (3 cos2 θ − 1) y ası́ sucesivamente.
70
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA
Como el campo sobre el punto determinado no se puede calcular normalmente, es necesario
utilizar los polinomios de Legendre y hallarlo por medio del potencial vector.
µ0 I
A(r) =
4π
I
I
∞
1
µ0 I X 1
0
dl =
(r0 )n Pn (cos θ0 )dl0
r − r0
4π
rn+1
n=0
O presentando la expansión multipolar:
I
I
µ0 I 1
1
1
0
0
0 0
A(r) =
dl + 2 r cos θ dl + 3 · · ·
4π r
r
r
El primer término se denomina monopolo 1r , el segundo se denomina dipolo r12 , el
tercero cuadripolo y asi sucesivamente. Ahora, como se sabe que el monopolo magnético
es cero tenemos que el término principal es el dipolo, obteniendo
I
I
µ0 I
µ0 I
0
0 0
A(r) =
r cos θ dl =
(r̂ · r0 )dl0
4πr2
4πr2
Separando un momento la última integral
I
Z
Z
(r̂ · r0 )dl0 = −r̂ × da0 = da0 × r̂
Lo que nos permite hallar el potencial vector dipolar
Z
µ0 I
da0 × r̂
A(r) =
4πr2
Z
µ0
A(r) =
Ida0 × r̂
4πr2
5.3. EL POTENCIAL VECTOR MAGNÉTICO
71
Tomando de aquı́ que el momento dipolar magnético es
Z
Z
m = Ida = I da
Con lo cual se puede decir que el momento dipolar magnético está dado por
Adip (r) =
µ0
(m
~ × r̂)
4πr2
Ahora, se procede a calcular el campo magnético generado por un dipolo con base en el
potencial vector.
~ dip = ∇
~ ×A
~
B
~ dip = ∇
~ × µ0 ( m
B
~
×
r̂)
4πr2
Asumiendo que la magnitud del rotacional indicado es:
m
~ × r̂ = m sin θ φ̂
Obtenemos el campo magnético para un dipolo
~ dip = ∇
~ × µ0 m sin θ φ̂
B
4πr2
θ
d sin
1
dAθ
1 dr 1 dAθ
1 dAθ
dAr
2 sin θ
r
~
Bdip =
r̂ −
+
−
θ̂ +
−
φ̂
r sin θ
dθ
dφ
r sin θ dθ r dr
r
dr
dθ
~ dip =
B
=
=
=
=
1 d sin2 θ
1 d r sin θ
r̂ −
θ̂
r sin θ dθ
r2
r dr
r2
sin θ d 1
1
d
2
r̂
−
sin
θ
θ̂
r2 sin θ dθ
r dr r
sin θ
1
1
(2 sin θ cos θ)r̂ −
− 2 θ̂
r3 sin θ
r
r
µ0 m 1
sin θ
(2 cos θ) r̂ + 3 θ̂
4π
r3
r
µ0 m (2
cos
θ)r̂
+
(sin
θ)
θ̂
4πr3
Capı́tulo 6
Campos magnéticos en la
materia-magnetización
Cuando un campo magnético es aplicado, se produce un alineamiento de todos los dipolos
magnéticos existentes y el medio queda magnetizado. Diferente a la polarización eléctrica,
que es casi siempre en la misma dirección de E, algunos materiales adquieren magnetización
paralela a B (paramagnéticos) y otros opuestos a B (diamagnéticos). Otras sustancias, llamadas ferromagnéticas, retienen su magnetización incluso después de que el campo externo
ha sido removido. De todo esto, se hablará en esta sección, que describe la forma como los
campos magnéticos se relacionan con la materia.
La polarización magnética es una cantidad vectorial que denominamos Magnetización (M),
descrita como el momento dipolar magnético por unidad de volumen. Los paramagnéticos
son atraı́dos por el campo, mientras que los diamagnéticos son repelidos por él.
M=
m
~
v
Para resolver el problema de encontrar el campo magnético de una pieza de material
magnetizado, con el momento dipolar magnético dado debemos empezar por tomar el
potencial vector de un dipolo simple:
Adip (r) =
µ0
(m
~ × r̂)
4πr2
En el objeto magnetizado, cada elemento de volumen dv 0 lleva un momento dipolar M dv 0 ,
por lo que el potencial vector total viene dado por:
Z µ0
~(r0 ) × r̂ dv 0
Adip (r) =
M
4πr2
En este caso la integral se puede resovler utilizando las identidades:
72
6.1. EL CAMPO AUXILIAR H
73
∇0
1
r̂
= 2
r
r
∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )
Reemplazando, obtenemos
Z µ0
0
01
M (r ) × ∇
dv 0
A(r) =
4π
r
Z
Z
0
µ0
1
M (r0 )
0
0
0
=
dv 0
∇ × M (r ) dv − ∇ ×
4π
r
r
Z
Z
0 µ0
µ0
1
1
0
0
=
∇ × M (r ) dv +
M (r0 ) × da0
4π
r
4π
r
El primer término es el potencial de un volumen de corriente:
~ ×M
~
Jb = ∇
El segundo es el potencial de una superficie de corriente, donde n̂ es el vector unitario
normal
~ × n̂
Kb = M
Lo que nos permite obtener
µ0
A(r) =
4π
Z
v
Jb (r0 ) 0 µ0
dv +
r
4π
I
Kb (r0 ) 0
da
r
Lo que significa que el potencial y por ende el campo de un objeto magnetizado es el mismo
producido por un volumen de corriente a través de todo el material, más una superficie de
corriente en el borde.
6.1.
El campo auxiliar H
Ahora que se conoce lo suficiente sobre los efectos de la magnetización se puede fusionar
todo, el campo atribuible por las corrientes externas y el campo producido por cualquier
otra cosa, denominado corriente libre.
La intensidad de corriente total viene dada por
J~t = J~b + J~Libre
Por lo que la Ley de Ampere puede ser escrita como
74CAPÍTULO 6. CAMPOS MAGNÉTICOS EN LA MATERIA-MAGNETIZACIÓN
1 ~
~ = J~t = J~b + J~Libre = ∇
~ ×M
~ + J~Libre
∇×B
µ0
Fusionando los dos rotacionales se obtiene
~ ×
∇
~
B
~
−M
µ0
!
= J~Libre
~ ×H
~ = J~Libre
∇
Esta última es la Ley de Ampere escrita en términos del campo auxiliar en forma diferencial;
en forma integral resulta
I
H · dl = ILibenc
Donde ILibenc es la corriente total libre pasando a través del Loop.
Ejemplo 6.1. Calcular el campo auxiliar del cilindro de radio R que lleva una corriente
libre distribuida como se muestra en la Figura 6.1
Figura 6.1: Ejemplo 6.1
6.2. PERMEABILIDAD Y SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉTICAS
75
Solución:
Aplicando la Ley de Ampere a un Loop de radio s < R
I
H · dl = ILibenc
~
H(2πs)
= ILibenc = I
~ =
H
Is
φ̂
2πR2
~ = Is φ̂
H
2πs
πs2
πR2
s≤R
s≥R
~ = µ0 H
~ = µ0 I
B
2πs
Nos volvió a dar el mismo campo que para un objeto no magnetizado.
6.2.
Permeabilidad y susceptibilidad magnéticas
En materiales paramagnéticos y diamagnéticos, la magnetización es sostenida por el campo,
si B es removido M desaparece. En la mayorı́a de sustancias la magnetización es proporcional al campo si este no es muy fuerte. Expresado en términos de H, la magnetización
serı́a:
M = χm H
Donde χm es una constante llamada susceptibilidad magnética positiva para los paramagnéticos y negativa para los diamagnéticos. El campo B para algunos materiales expresado como función del auxiliar y la magnetización queda:
~ = µ0 ( H
~ +M
~ ) = µ0 (1 + χm )H
~
B
~ = µH
~
B
Lo que indica que el campo B es proporcional al campo H y donde µ = µ0 (1 + χm ) es la
permeabilidad del material. En el vacı́o la permeabilidad es denominada µ0 mientras que
la susceptibilidad es igual a cero.
76CAPÍTULO 6. CAMPOS MAGNÉTICOS EN LA MATERIA-MAGNETIZACIÓN
Figura 6.2: Alineamiento de los dipolos átomicos
6.3.
Ferromagnetismo
Los materiales ferromagnéticos no requieren de un campo externo para sostener la magnetización. El alineamiento de los dipolos atómicos en una dirección se mantiene. Figura 6.2
Todo está asociado con el spin de los electrones no apareados.
La magnetización de un material tiene ciertos puntos de saturación, tanto cuando se incrementa la corriente como cuando se disminuye considerablemente hasta que M vuelve a
ser cero manteniendo cierta magnetización como residuo, convirtiendo al material en un
imán permanente. Para eliminar la magnetización restante se tiene que aplicar una corriente negativa, de manera que llegue a otro punto de saturación pero esta vez diferente al
anterior. A esta trayectoria se le denomina proceso de histéresis y es el desarrollado para
la deformación de un material y se muestra en la figura 6.3
Capı́tulo 7
Electrodinámica
7.1.
Electrodinámica y Magnetismo
Existen dos fuerzas realmente implicadas en proporcionar la corriente de un circuito, la
primera de ellas es la fuente, que aquı́ se llamará Fr , ubicada normalmente en una parte
del circuito (La baterı́a por ejemplo). Y la otra es la fuerza electrostática que sirve para
organizar y comunicar el flujo de corriente al resto del circuito. Ası́:
~
F = F~r + E
El efecto neto de la fuente está representado por la integral de lı́nea de F alrededor del
circuito
I
ε = Fr · dl
ε es llamada la fuerza electromotriz o FEM del circuito. Aunque técnicamente no es una
fuerza sino la integral de una fuerza por unidad de carga. Dentro de una fuente ideal la
fuerza neta de las cargas es igual a cero lo que sugiere que la diferencia de potencial viene
dada por:
Z
V =−
b
E · dl
a
Cuando se mueve un alambre de corriente con cierta velocidad podemos decir que las cargas
en el segmento de alambre experimentan una fuerza magnética cuyo componente vertical
qvB conduce la corriente a través del resto del circuito en la dirección de las manecillas del
reloj.
I
ε = Fmag · dl = vBh
77
78
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
Donde h es la longitud del alambre. Una particular forma de expresar la FEM generada
por un circuito en movimiento se presenta acá, siendo Φ el flujo de campo magnético a
través del alambre:
Z
Φ = Bda
Para el caso de un circuito rectangular el flujo viene dado por:
Φ = Bhx
Y como el circuito se mueve el flujo decrece:
dΦ
dx
= Bh
= −Bhv
dt
dt
Por lo anterior se considera que la FEM generada en el circuito es el cambio del flujo:
ε=−
dΦ
dt
Ésta es la regla del flujo para circuitos en movimiento.
Ahora, para profundizar, consideramos un segmento de alambre a un tiempo t y también
a un corto tiempo dt después. Suponiendo que se estima el flujo en un tiempo t usando
una superficie S, mientras que el flujo en el tiempo t + dt, usando la superficie s, más una
cinta que conecta la nueva posición del alambre con la anterior. El cambio en el flujo viene
dado por:
dΦ = Φ(t + dt) − Φ(t) = Φcinta
El elemento infinitesimal de área de la cinta se escribe como:
da = (v × dl)dt
Entonces,
dΦ
=
dt
I
B · (v × dl)
B · (v × dl) = −(v × B)dl
I
dΦ
= − (v × B)dl
dt
I
dΦ
= − Fmag dl
dt
Y como la integral de la fuerza magnética es la FEM entonces
7.2. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. LEY DE FARADAY
ε=−
79
dΦ
dt
Esta es la relación entre la FEM y el campo magnético pudiendo ası́ decir que la variación
del campo magnético genera corriente (ε).
7.2.
Inducción Electromagnética. Ley de Faraday
Sabiendo a través de experimentos que las cargas estacionarias no experimentan cargas
magnéticas y que aún ası́ existı́a un campo que ejerce una fuerza sobre las cargas en
reposo, Faraday, para demostrar qué ocurrı́a en este caso propuso que un campo magnético
cambiante induce un campo eléctrico incluso si la FEM es de nuevo igual a la tasa de cambio
del flujo:
I
ε=
Edl −
dΦ
dt
Entonces E está relacionado con el cambio en B por la ecuación:
I
Z
Edl = −
dB
da
dt
Ésta es la Ley de Faraday en forma integral. Aplicando el Teorema de Stokes obtenemos
su forma diferencial:
~
~ ×E
~ = − dB
∇
dt
La inducción electromagnética ocurre únicamente cuando los campos magnéticos están
cambiando.
Ejemplo 7.1. Hallar el campo eléctrico inducido como una función de la distancia s
()Figura 7.1) de un alambre infinito que lleva una corriente variante I(t)
Solución:
0I
En este caso el campo magnético es µ2πs
y éste circula alrededor del alambre. E corre
paralelo al eje. Para el Loop rectangular aplicamos la Ley de Faraday:
I
d
Edl = (E(s0 ) − E(s)) l = −
dt
Z
Bda
80
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
Figura 7.1: Ejemplo 7.1
Z
d s µ0 I
Edl = −
lds
dt s0 2πs
Z
µ0 l dI s ds
=−
2π dt s0 s
µ0 l dI
=−
(ln s − ln s0 )
2π dt
µ0 l dI
E(s0 ) − E(s) = −
(ln s − ln s0 )
2π dt
I
µ0 dI
ln s + A
2π dt
Donde A es una constante, A = E(s0 ) − ln S0
E(s) =
7.3.
Inductancia
Se tienen dos Loops de alambre como los de la Figura 7.2
Si se descarga una corriente constante en el Loop 1 (el de abajo), ésta produce un campo
magnético B1 . Algunas lı́neas de campo atraviesan el Loop 2. Se denomina Φ2 al flujo de
B1 atravesando el Loop 2. Si utilizamos la Ley de Biot-Savart para calcular B1 tenemos:
~ 1 = µ0 I1
B
4π
Z
~ 1 × ~r
dI
dl0
r2
Esta nos indica que el campo es proporcional a la corriente I1 , asi que podemos expresar
el flujo a través del Loop 2 como:
Z
Φ2 = B1 da2
7.3. INDUCTANCIA
81
Figura 7.2: Figura ??
Que a su vez se puede expresar como:
Φ2 = M21 I1
Donde M21 es una constante de proporcionalidad conocida como la inductancia mutua de
dos Loops. Esta fórmula se puede derivar expresando el flujo en términos del potencial
vector apelando al Teorema de Stokes:
Z
Z
Φ2 = B1 da2 = (∇ × A1 ) · da2
I
A1 · dI2
Φ2 =
Ahora, tomando el potencial vector como :
A1 =
µ0
I1
4π
I
dI1
r
Reemplazamos:
µ0
I1
4π
I I
dI1
r
· dI2
Finalmente hallamos la inductancia mutua:
M21
µ0
=
4π
I I
dI1
r
· dI2
82
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
La anterior ecuación es denominada la Fórmula de Neumann que involucra una doble
integral de lı́nea; una alrededor del Loop 1 y otra alrededor del Loop 2. No es útil para
aplicaciones y cálculos pero su contenido evidencia dos hechos importantes:
1. M21 es una cantidad que depende únicamente de la geometrı́a, es decir, de las formas,
tamaños y posiciones relatvas de los Loops.
2. M21 = M12 . Esto es, es invariante si se cambian las posiciones de los Loops en la
doble integral.
Si se varı́a la corriente en el Loop 1 entonces el flujo a través del Loop 2 variará y la ley
de Faraday dice que este cambio en el flujo inducirá una FEM en el Loop 2.
dΦ2
dI1
= −M
dt
dt
Cada vez que la corriente se cambia en el Loop 1 una corriente inducida fluye en el Loop
2, incluso si no hay cables conectándolos. Es decir, una corriente cambiante no solo induce
una FEM en los Loops cercanos, sino que también induce una FEM en sı́ mismo. Una vez
más, el campo y el flujo son proporcionales a la corriente:
ε2 = −
Φ = LI
La constante L es la inductancia del Loop y al igual que M depende de la geometrı́a y
forma del material. Entonces, si la corriente cambia, la FEM inducida en el propio Loop
es:
dI
dt
El signo negativo proviene de la oposición al cambio de corriente propio de la Ley de Lenz.
ε = −L
Ejemplo 7.2. Un solenoide pequeño de longitud l, radio a y n1 número de vueltas al eje
está dentro de otro solenoide más grande como se muestra en la Figura 7.3. La corriente I
fluye por el solenoide pequeño. Hallar el flujo del solenoide largo.
Solución:
Teniendo en cuenta que el solenoide pequeño está emitiendo un flujo sobre cada vuelta
del solenoide grande, se harı́a muy complicado solucionar el problema de esta forma, por
lo cual, es necesario utilizar la igualdad de las mutuas inductancias. El campo dentro del
solenoide grande viene dado por:
B = µ0 n 2 I
Z
Φ = Bda
7.3. INDUCTANCIA
83
Figura 7.3: Ejemplo 7.2
Reemplazando tenemos que el flujo a través de un alambre simple del solenoide corto es:
Bπa2 = µ0 n2 Iπa2
Bπa2 n1 l = µ0 n2 Iπa2
Φ = µ0 n2 Iπa2 n1 l
(7.1)
Este es el flujo que el solenoide interno pone en el largo. Ası́ mismo, se puede encontrar la
inductancia mutua:
M = µ0 n2 πa2 n1 l
(7.2)
Ejemplo 7.3. Encontrar la inductancia del toroide. Figura 7.4.
Solución:
El campo magnético del toroide hallado anteriormente es:
µ0 N I
2πs
El flujo que atraviesa un simple giro de alambre es:
B=
Z
Φ=
µ0 N I
Bda =
2π
Z
da
µ0 N I
=
s
2π
Como la inductancia viene dada por:
L=
Φ
I
Z
a
b
b
hds
µ0 N I
=
h ln s
s
2π
a
84
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
Figura 7.4: Ejemplo 7.3
Y el flujo total es N veces el flujo hallado antes. Entonces la inductancia resulta ser:
µ0 N 2 h
ln
L=
2π
7.4.
b
a
(7.3)
Energı́a en el campo magnético
Activar el flujo de corriente en un circuito requiere de cierta cantidad de energı́a, esto se
refiere al trabajo que se debe hacer en contra de la FEM para que la corriente circule.
Esta cantidad es recuperable luego de que la corriente es apagada. El trabajo hecho en una
unidad de carga, en un solo recorrido alrededor del circuito es −ε donde el signo menos
indica que es en contra de la FEM. La cantidad de carga por unidad de tiempo pasando a
través del cable es I. Entonces, el trabajo total hecho por unidad de tiempo es:
dW
dI
= −εI = LI
dt
dt
Integrando
Z
Z
dW =
Z
LIdI −→ W − W0 = L
Ası́,
∆W = L
I2
2
IdI = L
I2
2
7.4. ENERGÍA EN EL CAMPO MAGNÉTICO
85
Donde el trabajo realizado depente de la corriente final (I) y de la geometrı́a del material
(L). Como el flujo Φ es igual a LI entonces:
Z
Z I
~
~
~ · dl
LI = Φ =
Bda =
∇ × A · da = A
S
S
Entonces el trabajo queda:
I
I
1
1
~ · I)dl
~
~
W = I A · dl =
(A
2
2
La generalización para volúmenes de corriente queda:
Z 1
~ · J~ dv
W =
A
2 V
(7.4)
~ ×B
~ =
W se puede expresar en términos del campo magnético usando la Ley de Ampere ∇
µ0 J(r) dejando a J como:
1 ~
~
∇×B
J(r) =
µ0
Reemplazando en la fórmula de trabajo obtenemos:
Z
1
1
~
~ × B)
~ dv
W =
A
(∇
2 V
µ0
Con propiedades del rotacional obtenemos:
Z
Z
1
2
~
~
~
W =
B dv − ∇ · (A × B)dv
2µ0
Ası́,
Z
Z
1
2
~
~
W =
B dv − (A × B)da
(7.5)
2µ0 V
S
Esta integral está tomada sobre el volumen completo ocupado por la corriente. Pero si
decidiéramos integrar sobre todo el espacio, la integral de superficie se irı́a a cero y quedarı́a:
Z
1
B 2 dv
(7.6)
W =
2µ0 Esp
Producir un campo magnético, donde no habı́a alguno antes, implica cambiar el campo,
y un campo cambiante, según la ley de Faraday, induce un campo eléctrico que sı́ puede
hacer trabajo. Visualizando las fórmulas de trabajo magnético y eléctrico, se encuentran
ciertas similitudes:
Z
Z
1
1
~
~
Wmag =
(A · J)dv =
B 2 dv
(7.7)
2
2µ0
Z
Z
1
1
Wele =
(V ρ)dv =
E 2 dv
(7.8)
2
2µ0
86
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
7.5.
Ecuaciones de Maxwell
A través de todo el curso se han encontrado las siguientes leyes, especificando la divergencia
y el rotacional de los campos magnético y eléctrico:
~ =
∇·E
ρ
0
(Ley de Gauss - Divergencia de E)
~
~ = − dB
∇×E
dt
(Ley de Faraday - Rotacional de E)
~ =0
∇·B
(Ley de Gauss magnética - Divergencia de B)
~ = µ0 J~
∇×B
(Ley de Ampere - Rotacional de B)
Aquı́ se debe hacer la precisión de que para el campo magnético constante, el rotacional
de E es cero. Las anteriores son en forma diferencial, su versión integral es:
H
E · dl = Qenc
(Ley de Gauss)
0
H
R
d
E · dl = − dt
Bda
(Ley de Faraday )
H
B · dl = 0
(Ley de Gauss magnética )
H
R
B · dl = µ0 Jda
(Ley de Ampere)
Estas eran las ecuaciones dominantes antes de que Maxwell empezara su trabajo.
Si le aplicamos la divergencia a ambos lados de la ecuación de la ley de Ampere:
~ = µ0 (∇ · J)
~
∇ · (∇ × B)
El lado derecho de la ecuación debe ser cero, ya que para corrientes constantes la divergencia
de J es cero, sin embargo, no lo es. Ante esta inconsistencia teórica presentada, Maxwell
reescribió el término que generaba el problema usando la ecuación de continuidad y la ley
de Gauss ası́:
~
dρ
d
~ = −∇ · 0 dE
∇ · J~ = −
= − (0 ∇ · E)
dt
dt
dt
Obteniendo de esta forma,
~
~ = µ0 J~ + µ0 0 dE
(7.9)
∇×B
dt
Que es una nueva versión implementada por Maxwell de la ley de Ampere, también denominada ley de Ampere-Maxwell. Maxwell también propuso que ası́ como un campo
magnético cambiante induce en campo eléctrico, un campo eléctrico induce también un
campo magnético, para lo que utilizó el concepto de corriente de desplazamiento:
~
dE
J~d = 0
dt
7.6. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA
87
Con esto, la ley de Ampere-Maxwell queda:
~ = µ0 J~ + µ0 J~d
∇×B
(7.10)
Finalmente, las ecuaciones de Maxwell quedan:
~ =
∇·E
ρ
0
(Ley de Gauss - Divergencia de E)
~ = − dB~
∇×E
dt
(Ley de Faraday - Rotacional de E)
~ =0
∇·B
(Ley de Gauss magnética - Divergencia de B)
~ = µ0 J~ + µ0 J~d
∇×B
(Ley de Ampere-Maxwell - Rotacional de B)
7.6.
Ecuaciones de Maxwell en la Materia
Cuando se está tratando con materiales sujetos a polarización eléctrica y magnética, existe
una forma diferente de escribir las ecuaciones de Maxwell. Para comenzar se debe considerar
que existe una corriente de polarización, Jp que es el resultado del movimiento lineal de la
carga cuando la polarización eléctrica cambia. Mientras que la corriente del borde Jb , varı́a
en respuesta a los cambios en la magnetización (M ). Según todo esto, la densidad de carga
total puede ser separada en dos partes:
ρ = ρf + ρb = ρf − ∇P
Y la densidad de corriente en tres partes:
J~ = Jf + Jp + Jb
La ley de Gauss puede ser escrita como:
~ =
∇·E
1
(ρf − ∇P )
0
ó
~ = ρf
∇·D
D en el caso estático está dado por:
~ = 0 E
~ + P~
D
A su vez, el campo auxiliar aplicado, con la ley de Ampere-Maxwell queda:
~ −M
~
~ = 1B
H
µ0
88
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
Las relaciones fundamentales de polarización magnética y eléctrica cuando se habla de un
material y no del vacı́o son:
~
P~ = 0 χe E
y
~
M = χm H
~ = E
~
D
y
~ = 1B
~
H
µ
Entonces:
D es llamado el vector de desplazamiento eléctrico. Ahora, finalmente, las ecuaciones de
Maxwell (en forma diferencial), en términos de las cargas y las corrientes libres quedan:
~ = ρlibre
∇·D
(Ley de Gauss )
~ = − dB~
∇×E
dt
(Ley de Faraday )
~ =0
∇·B
(Ley de Gauss magnética )
~ = J~libre +
∇×H
~
dD
dt
(Ley de Ampere-Maxwell)
En forma integral estas mismas quedan:
Sobre todas las superficies:
H
~ · da = Qlibre−enc
• SD
H
• S B · dl = 0
(Ley de Gauss)
(Ley de Gauss magnética )
Para cualquier superficie encerrada por un lazo cerrado
R
H
d
(Ley de Faraday )
• E · dl = − dt
S Bda
H
R
~ · dl = Ilibre−enc + d
~
• H
(Ley de Ampere)
dt S Dda
7.7.
Condiciones de Frontera
Cuando se analizan dos materiales de diferentes caracterı́sticas que se encuentran unidos,
se debe analizar sus condiciones de frontera. Aplicando la ley de Gauss en forma integral
para una caja situada encima de otro material, como se muestra en la figura 7.5.
~1 − D
~2 = σlibre
D
Ahora, aplicado a la ley de Gauss Magnética, se obtiene esta relación de perpendicularidad:
B1⊥ − B2⊥ = 0
7.8. CONDUCTORES
89
Figura 7.5: Aplicando la ley de Gauss
A su vez, se puede hallar que el campo eléctrico es paralelo a la superficie:
k
k
E1 − E2 = 0
n̂ es un vector perpendicular a la superficie, y teniendo en cuenta la densidad superficial
de corriente, se obtiene:
k
k
~ × n̂
H1 − H2 = K
En particular, si no hay ni cargas ni corrientes libres, las condiciones generales de frontera
para la electrodinámica son:
1 E1⊥ − 2 E2⊥ = 0
B1⊥ − B2⊥ = 0
~k − E
~k = 0
E
1
2
k
1
µ1 B1
7.8.
−
k
1
µ2 B2
=0
Conductores
En un conductor metálico, uno o dos electrones por átomo son libres de circular a través del
material, un conductor perfecto se puede considerar como aquel que contiene un número
ilimitado de cargas libres. Aunque no existen tales conductores en la vida real, existen
diferentes sustancias con un comportamiento similar. Para esto, se deben tener en cuenta
importantes aspectos de los materiales conductores:
90
CAPÍTULO 7. ELECTRODINÁMICA
El campo eléctrico dentro de un conductor es igual a cero (E = 0). Esto ocurre porque
si hubiese algún campo las cargas libres se moverı́an y no serı́an más electrostáticas. Si
se ubica un conductor sometido a un campo externo E0 , inicialmente, este dirigirá las
cargas libres positivas hacia la derecha y las negativas a la izquierda; ahora, estas
cargas inducidas producirán un campo adentro E1 que es opuesto a la dirección de
E0 . Lo que quiere decir que el campo original se cancela obteniendo que el campo
eléctrico es igual a cero. Este proceso se ve en la figura siguiente:
Figura 7.6: Campo eléctrico dentro de un conductor
La densidad de carga ρ de un conductor es igual a 0, esto se deriva de la ley de
Gauss, ya que si E = 0 también la densidad de carga lo será.
Ninguna carga se ubica en la superficie.
Un conductor es un equipotencial.
E es perpendicular a la superficie, justo afuera del conductor.
Ahora, suponemos que tenemos dos conductores a los que les suministra carga +Q y −Q.
Suponiendo que V es constante en un conductor, la diferencia de potencial entre ellos
vendrı́a dada por:
Z +
V = V+ + V− = −
Edl
−
7.8. CONDUCTORES
91
Como E es proporcional a Q entonces V también lo es. La constante de proporcionalidad
es denominada capacitancia del material.
C=
Q
V
Si decidimos evaluar la capacitancia de un capacitor que consta de dos placas de área A y
separadas una distancia d como en la figura
Figura 7.7: Evaluando capacitancia
Si ubicamos +Q arriba y −Q abajo, uniformemente aplicadas sobre las superficies, la
densidad superficial de carga viene dada por:
σ=
Q
A
Entonces, el campo se expresa como:
E=
Q
0 A
Ası́ que la diferencia de potencial entre las superficies es:
V =
Q
d
0 A
Bibliografı́a
[1] Griffitths, David J. Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall (1999).
[2] Reitz, Jhon R.; Milford Frederick J.; Christy, Robert W. Teorı́a Electromagnética,
Addison-Wesley Iberoamericana ().
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[4] http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo eléctrico (Visitada el 14 de Oct. De 2011)
[5] http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial eléctrico (Visitada el 27 de Dic. De 2011)
[6] http://www.fisica.ru/dfmg/teacher/archivos/Lineas Equipotenciales.pdf (Visitada el
02 de Ene. De 2012)
[7] http://www.monografias.com/trabajos47/curvas-equipotenciales/curvasequipotenciales2.shtml (Visitada el 02 de Ene. De 2012)
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2012)
[9] http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial eléctrico#Trabajo eléctrico
y energı́a potencial eléctrica (Visitada el 02 de Ene. De 2012)
[10] http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?id=11021
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[11] http://es.scribd.com/doc/24505973/CAPACITANCIA (Visitada el 04 de Ene. De
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[12] http://www.inele.ufro.cl/bmonteci/semic/apuntes/capacitores/capacitores.htm (Visitada el 04 de Ene. De 2012)
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BIBLIOGRAFÍA
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[14] http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs-404/contenido/capitulo6.html (Visitada el 05 de Ene. De 2012)
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[16] http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto Joule (Visitada el 15 de Ene. De 2012)