SOBRE EL PROBLEMA i QUE ES UN PROBLEMA?

SOBRE
EL
i QUE
PROBLEMA
ES UN
PROBLEMA?
par
CARLO
Focultod
FEDERICI
de Motematicos
de
CASA
10 Universidod
Nocionol.
Unos de los problemas a los cuales tiene que enfrentarse el
maestro son los que pueden enunciarse con las tres preguntas :
i
Que es un problema?
i
Por que se resuelve un problema?
i
Como se resuelve un problema?
Para poder contestar a estas preguntas,
guiente problema, enunr:iado en forma "imperativa"
"Encontrar
con siderese el si:
los enteros cuyo cuadrado disminuido
del quintu-
plo y aumentado de seis dan como resultado final cero".
EI mismo problema puede ser enuncicido en forma "interrogativa"
"L Cucl es son los enteros cuyo cuadrado disminuido del quintuplo y aumentado de seis dan como resultado final cero
?" .
Se sabe muy bien que las formas di scur si vo s tanto imperativas
como interrogativas,
10
"tension",
ponen
cual es
10
01
que
que escucha en un estado particular
10
impele a contestar,
nos Ileva a pensar que las expresiones
son simbolos completos como s i
a buscar, entonces,
interroqoci on,
0
10
10
imperativas
Si se considera
interrogativas
son las expresiones declarativas,
10
no
y
es una
mismo, un problema.
I problema antes enunciado, es foci I aceptar
que se Ie puede dar el siguiente giro declarativo
"La
a responder. Esto
0
que parte de una expre sion declarativa
que es
de
c1ase de los enteros
:
cuyos cuadrados disminuidos
del
quintuple y aumentados de sei s dan cero, es igual a ", que con oportunos siml:.olos toma la forma mas concisa
:
11-
"(x
till
es un
X
Sin mas ejemplos
ma es una igualdad
se puede generalizar
afirmaci6n
pregunta.
contiene
En efecto,
cual Ie falta el segundo
y como tal
Finalmente,
si un problema
miembro, entonces
rncterndti
se resuelve
esta
a paso el problema antes
Et,
x-3)
=
(x
las reglas
tercera
enunciado
0 = x2
is,
is, 0 = (x - 2) (x - 3))
=
a 10 tercera
encontrando
a 10
resolviendolo.
pregunta
el segundo
afirman-
miembro de 10
se consigue
de transformaci6n
transforque 10 16-
co nos proporcionan.
Vamos a aclarar
x es un
es una igualdad
a
un problema es un s irnbo lo
de 10 cual el problema es part.e, y esta
gica y 10
10 respuesta
impele 01 hombre a completarlo
mando el primer miembro usanda
(x tl""
y afirmar que un proble-
impllcitamente
se puede contestar
do que un problema
igualdad
+ 6 = 0) = "
5x
a 10 cual Ie falta el segundo miembro, con 10 cual
L a anterior
incompleto
is,x2.-
Ia pri mera pregunta.
se ha contestadoa
10 segundo
Et,
= (x tl",
afirmaci6n
"resolviendo"
paso
:
5x
-
+ 6) = (x -tl"
x es un Et,
is"
x es un Et,.
0=x-2,
ed, 0--
=
tl",
x es un
Et,
is"
x es un ig 2, ed,
x es un ig 3) =
(x tl ,,,
x es un
Et,
is"
x es un ({ 2 \ , ed,
(x tl '"
x es un
Et,
is"
x es un
= (x tl x es un (Et
{ 2, 3}
t
is {2,3}))=
Et is 2,3}
{ s]
))
=
) =
=
f 2, 3}
Es decir,
(x tl"
respuesta
x esun
Et,
is,
+ 6) =t2,3},
cue e s !c
deseada.
Parece
conveniente
nos simple que el precedente
"Encontrar
12
0 = x'2-5x
mostrar
10 resoluci6n
de un problema me-
:
10 intersecci6n
de 10 circunferencia
Cr
y de 10
hiperbo lo
Hp
cuyas ecuaciones
con respecto
a un referencial
por 0 = xl
siano ortogonal estrin dadas respectivamente
O -- x2 - y 2 - 7" •
carte-
+ y 2 - 25 y
Con el sistema de s irnbolo s ya usado se puede dar al problema
precedente
Ia forma :
Cr is Hp = ( (x, y) tl,,(x,y)
-r..
(x, y) es un RI~ , is,
= ( (x , y) tl"
(x , y) es un R11., is,
( (x, y)
0 = xl + yl
es un RI2., is,
0 = x 2 _ y 2-
-
o =
o =
( (x , y) tl .. (x , y) ) es un RI" , is,
=
( (x, y) tl"
(x,y)
+ 4" is"
y) tl ""
1
Y =(x,y)
= ((x,y)
tl",
= ((x,y)
tl",
(+4,-3),
RI\
=
{(-4,
7)
x2 = 16, is, ;
3, ed,
es un
11
y =
Ril,
ed
is "'
= 9)
4, is, y =±3)
ed, x =
x =-4,
+ 3)
x =-4, is,
is/II
y=-3I1edll,
x = - 4, is y = -+ 3" ed " x =
1/
(x,y) es un Ril, is" (x.y) = (-4,-3), ed, (x,y)=
(x,y)
ig (-4,+3),
=
,
ed, (x, y) = (.. 4,-3),
(-4,+3),
((x,y)
-
is, y =+3)
= ( (x,y) ti,,,
=
2
+ y 2. - 25, is,
xl
, is, x = !
es un Rl
x = -+4, is, y = + 3
=44,
- y
1
(x , y) es un RI
= ( (x y y) tl""
= ((x,
2
7)
=
=
x
_ 25)is
es un RI~ is"
ed, ig (~4,~3),
(x,y)
(-4,+3),
tl (x,y)
is
ed, (x, y
(x,y)es
,is, (x,y)
.. 3), (-4,-3),
un (ig (-4,-3), ed,
es un {(-4,-3),
f+4,-+3)})
es un (RIZ,iS{_4,_3), (-4,
1(-4,-3),
)
ed, ig (44, +3) ) )
1
es un RI
= (+4,+3)
(-4, ....3),( ...4,-3),
(+4,-3),
3), (+4,-3),
(+4,+3)}))
("'4,+3)
(+4,+-3)}.
13
Es decir,
Cr is Hp =
l(-4,-3),
que es la respuesta
L1STA
DE
(-4,+3), (+4,-3),(+4,-+3)),
deseada.
LOS
Et
Conjunto de los
tl
Tal que
is
Intersecci6n
ed
Reunion
SIMBOLOS
numero
ESPECIALES
UTiLIZADOS
s enteros.
de conjuntos.
de conjuntos.
es un ig : Es un igual a.
RI
Conjunto de todas las parejas
(Recibido
,
14
en agosto,
1963)
de ruimerc s reales.