Revista §olombia a de Estad stica Diciembre 2010, volumen 33, no
Anuncio
!! " ## " !! $ %
&'()*+,-,*./( 0 123(',/-( +* *4/,-1),5. *.
-(+*2(4 -62/,.,7*2 81'1 8'(8('),(.*4
9:;<=>?:= @A> BCDEF@DE;A GHI;:EDJF EA K?HDEH=L=H K;>=HC M;:
9:;N;:DE;AC
OPQRSTUQV WVSTRXXS1, YZ [VPU\ [] ^_R`V2, aZ [UQRPbV [\QTRP\3, c
defghiej jk leikmniofep qrosktuojej vgiwrxme jk ygkttktxp vfezghfxp l{|ofx
defghiej jk }uiej~uiofe k rxtmniofep qrosktuojej kteftgerep ehezep l{|ofx
oktr{iofep leikmniofe d~uofep e
kzetiemkrix jk leikmniofep ruioigix
eerepjk
ge
1
2
3
$ # #$$ $ $ #$
$$ #$$ ## " #
$ $$ $$
$$ " $ $ $ #
$#$ $ $ $ $ $ $ $
$" $$ $ # $$ $ #
# " $ $#$ $ # $$ "
# # $ # $ $$ $$
$ $#$$ "
¡¢£ ¤ ¥¦§ $$ $$ $
$$ $"
¨©
ª« #$# $ # « $ ¬ $ $
#$$ ## " ª« $ #
# ­$ ® $ $ $ " ¯ «
$ ° $ «$ # $## « $#
$ « « $°± « $ $ " ² $«
$$ « ## $ $$" ³ $ « $##
$ $ ¬$# $$ $ " ­ «$ « ##
# $ $$ $ $## $« "
´ ¦µ ¶·¢¸£§ ¹ $ ­$ $ $ $ º
"
»¼ ¿ÀÁ ÃÄÃÅÆÂ½Ç ÈÉÊÂÄÆË À½ÌÀÁÃÄÌÂÍÎÏÐÂѾ¾Ç;Ê
Ò ¼½¾½¾¿ÀÁ¾½Â
¾½ ÔÃÄÃÅÆÂ½Ç ÈÉÊÂÄÆË Ê¾ÓÀÔÂÏÅÕÇ
ÊÖ ¿ ÇÄÌ¿ ÇÍÅ
×ØÌÕÀÁÃÄÎÂ
¾½Â ÂÅÖÄÆÄÂ½Ç ÈÉÊÂÄÆË ÊÄÌÀ½ÕÂÏÄÍ
Ê
ÙÚÚ
ÙÚÛ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
ÝÞ ß./'(+6)),5.
àá âãäåæåçåèáè èã çá éêèãçáëåìí éîçïåíåðãç ñá åéòçåëáèê îí òáòãç ëáèá ðãó éôõ
éòêö
å ïáíïã èã ãõïá ï÷ëíåëá èãíïöê èã çá ïãêöøá ãõïáèøõïåëá ù çáõ áòçåëáëåêíãõú õåí
ãéæáöûêü çá åíýãöãíëåá ãõïáèøõïåëá áëãöëá èã çêõ éêèãçêõ éîçïåíåðãç òáöá òöêòêöþ
ëåêíãõ ãõ îíá òöêæçãéôïåëá ÿîã òöãõãíïá èå ëîçïáèãõ ïãìöåëáõ ù ëêéòîïáëåêíáçãõ
áí õåí öãõêçðãö áöá ãðåïáö çá ëáöûá ëêéòîïáëåêíáç ù çá åíãõïáæåçåèáè áõêëåáèá
ëêí çá ëêéòçã á åíïãûöáëåìí íîé÷öåëá ÿîã åéòçåëá çá ãõïåéáëåìí èã òáöôéãïöêõ èã
éêèãçêõ éîçïåíåðãç íê çåíãáçãõ õã ñáí èãõáööêççáèê ðáöåêõ é÷ïêèêõ íïöã çêõ éôõ
ëêéîíãõ õã ãíëîãíïöáí çêõ ÿîã õã æáõáí ãí áòöêäåéáëåêíãõ èã çá åíïãûöáç åíðêçîëöáþ
èá ãí çá ðãöêõåéåçåïîè éáöûåíáç ü çêõ é÷ïêèêõ æáùãõåáíêõ æáõáèêõ ãí áçûêöåïéêõ èã
êíïã áöçê éãèåáíïã áèãíá èã áöêð ü çêõ é÷ïê èêõ ãõïêëôõïåëêõ
ù çêõ é÷ïêèêõ èã ðãöêõåéåçåïîè õåéîçáèá êïêîñå ÙÚ
õïêõ é÷ïêèêõü áîíÿîã
ãí òöåíëåòåê áòçåëáæçãõ ëêí ëåãöïê ÷äåïêü òöãõãíïáí èåðãöõêõ åíëêíðãíåãíïãõú îíá èã
çáõ éôõ íêïáæçãõ èãõðãíïá áõ ãõ õî áçïê ëêõïê ëêéòîïáëåêíáç í çá áëïîáçåèáè ü ëêíïåíá õåãíèê èã òáöïåëîçáö åíïãö÷õ ãäòçêöáö íîãðêõ é÷ïêþ
êõ
è ÿîã çã æöåíèãí áç åíðãõïåûáèêö ñãööáéåãíïáõ áèãëîáèáõ òáöá çá ãõïåéáëåìí èã
òáöôéãïöêõ ãí éêèãçêõ éîçïåíåðãç òáöá èáïêõ ëáïãûìöåëêõ ç êæ ãïåðê èã ãõïã áöþ
ïøëîçê ãõ ýîíèáéãíïáö çá öáëåêíáçåèáè èãç é÷ïêèê òöêòîãõïê òêö êíïãöêü áõïãçç
ãèá Ù
õïã ãíýêÿîã õã æáõá ýîíèáéãíïáçéãíïã ãí çá åíïãûöáëåìí èã ïöãõ
ãõïöáïãûåáõ ãõïáèøõïåëáõ ç îõêü ëêéê æáõã ýîíèáéãíïáç òáöá ãçáæêöáö é÷ïêèêõ
èã åíýãöãíëåá òáöá ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåáü èã éêèãçêõ áõêëåáèêõ á çá èåõïöåæîëåìí
áõåíïìïåëá ûáîõõåáíá èã îí ðãëïêö èã ïöáíõýêöéáëåêíãõ èã çáõ ýöãëîãíëåáõ êæõãöþ
ðáèáõú Ù
ç îõê èã áòöêäåéáëåêíãõ õåéòçå ëáèêöáõ òáöá çá éáïöåó èã ëêðáöåáíóá
áõåíïìïåëá èã çêõ ãööêöãõ áçãáïêöåêõ èã íåðãçþ ãí ãç éêèãçê éîçïåíåðãç òöêòîãõïê ù
Ú
àá áòçåëáëåìí èã éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ åïãöáïåðêõ òáöá çá ãõïåéáëåìí
èã òáöôéãïöêõ èã çêõ éêèãçêõ ûáîõõåáíêõ öãõîçïáíïãõ í çá õãëëåìí Ù õã èãõëöåæã æöãðãéãíïã çá çêõêýøá èãç áíôçåõåõ éîçïåíåðãç òáöá èáþ
ïêõ ëáïãûìöåëêõ í çá õãëëåìí Ú õã ýêöéîçá îí éêèãçê éîçïåíåðãç òáöá òöêòêöëåêíãõ
ù ãí çá õãëëåìí Û õã èãéîãõïöá ÿîã çêõ ãõïåéáèêöãõ òöêòîãõïêõ ïåãíãí òöêòåãèáèãõ
ÿîã òãöéåïãí áòçåëáö çá ïãêöøá èã ãõïåéáëåìí òáöá éîãõïöáõ ûöáíèãõ í çá éåõéá
õãëëåìí õã èãéîãõïöá çá ëêíõåõïãíëåá èã çêõ ãõïåéáèêöãõü ïáíïê èã çêõ òáöôéãïöêõ
áõêëåáèêõ á ãýãëïêõ êõ ëêéê á ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá í çá õãëëåìí õã
òöãõãíïá ãç áçûêöåïéê èã ãõïåéáëåìí èãõëöåïê ãí ãç áíãäê åíáçéãíïãü ãí çá õãëëåìí
ü çá áòçåëáëåìí èãç é÷ïê èê õã åçîõïöá ëêí îí ã ãéòçê Þ (/,71),5.
81'1 *2 1.2,4,4 -62/,.,7*2 +*
8'(8('),(.*4
îëñêõ òöêæçãéáõ òöôëïåëêõ ïöáïáí èáïêõ ëáïãûìöåëêõ ÿîã ëêíççãðáí áç áíôçåõåõ
èã îí ëêí îíïê èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá ãéòçêõ åéòêöïáíïãõ õã òîãèãí ãíþ
ëêíïöáö ãí òöêæçãéáõ èã éãïáþáíôçåõåõ çáõõ ü ãèûãõ çåí ü ãí ãç
áíôçåõåõ èã èáïêõ èã òáíãç õåáê ü áéãöçã êííåíû ü ãí çêõ ãõïîèåêõ
èã ëáõêõ ù ëêíïöêçãõ éîçïåëãíïöê àîæåí ü çêï ü ãööåíêü çáéáíï ü åççåõü îíóãü
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÚ
=ëñé>?ñç @åõëê Ûü ãáöõ öê?í ü öãõçê? Añáê ù ãí òöêþ
æçãéáõ èã ãõïåéáëåìí ãí ôöãáõ òãÿîãBáõ Cîèáõ í ïêèêõ ãõïêõ ëáõêõü çêõ
åíèåðåèîêõ õã õãçãëëåêíáí èã èåýãöãíïãõ ûöîòêõ ù ãõ òêõåæçã öãëêíêëãö ÿîã çáõ êæõãöþ
ðáëåêíãõ òãöïãíãëåãíïãõ á îí éåõéê ûöîòê õêí éôõ òáöãëåèáõ ãíïöã õø ÿîã çáõ ÿîã õã
ãíëîãíïöáí ãí ûöîòêõ èåýãöãíïãõ Dûíêöáö çá ãõïöîëïîöá èã ûöîòêõ òîãèã òöêðêëáö
õãöåêõ òöêæçãéáõ åíýãöãíëåáçãõ =íå èãöõ êõãö îáíèê õã áíáçåóáí èáïêõ ãí îí ëêí îíïê èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá ãõ òêõåæçã
ãõïáæçãëãö îíá ãõïöîëïîöá ãöôöÿîåëá èã èáïêõ èã èêõ íåðãçãõü ãí çá ÿîã çêõ ûöîòêõ
ÿîã ëêíýêöéáí çáõ ïáæçáõ õã öãëêíêëãí ëêéê çáõ îíåèáèãõ èã íåðãçþÙ ù çêõ åíèåðåþ
èîêõ áíåèáèêõ èãíïöê èã çêõ ûöîòêõ õã åèãíïå ëáí ëêéê çáõ îíåèáèãõ èã íåðãçþ Eí ãíýêÿîã ÿîã èåõïåíûîã çêõ èåýãöãíïãõ íåðãçãõ èã çáõ ðáöåáæçãõ ãäòçåëáïåðáõ ù ïê
éá ãí ëîãíïá ãäòçøëåïáéãíïã çá ðáöåáíóá èãíïöê ù ãíïöã ûöîòêõ ãõ çá éêèãçáëåìíþ
éîçïåíåðãç êçèõïãåí í çêõ éêèãçêõ éîçïåíåðãç ü ïáéæå÷í ëêíêëåèêõ ëêéê
éêèãçêõ ãöôöÿîåëêõ öå Cáîèãíæîõñ Ù
ê éêèãçêõ èã ëêã ëåãíïãõ áçãáïêþ
öåêõ àêíûýêöè ü áçûîíêõ òáöôéãïöêõ ðáöøáí èã ûöîòê á ûöîòêü çê ÿîã òãöéåïã
ïöáïáöçêõ ëêéê ãýãëïêõ áçãáïêöåêõ öãëîãíïãéãíïãü ãç åíïãö÷õ èãç ãõïîèåê ãí ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá õã ëãíïöá ãí ãç
áíôçåõåõ èã îí ûöáí íéãöê èã ýîíëåêíãõ èã çáõ òöêæáæåçåèáèãõ èã çáõ ëãçèáõ Eíê
èã çêõ éêèãçêõ éôõ îïåçåóáèêõ ãõ ãç èã öãûöãõåìí çêûøõïåëá éîçïåíåðãç ýöêí ü
áöïóãç ü àåî Fûöãõïå Ùü àãã Gãçèãö ÙÙ
ú õåí ãéæáöûêü çá áòáöåëåìí èã
òöêæçãéáõ ëáèá ðãó éôõ ëêéòçã êõ ãäåûã ÿîã êïöáõ ýîíëåêíãõ êöïñêýãö àãñíãí
èåýãöãíïãõ èã çáõ ëêíêëåèáõ ýîíëåêíãõ çêûåï ê òöêæåï ü ïáéæå÷í õãáí ïêéáèáõ
ãí ëêíõåèãöáëåìí àá åèãá æôõåëá èãç ãíýêÿîã èãõëöåïê ãí ãõïã áöïøëîçê ãõ îõáö ýîíëåêíãõ èã çáõ
òöêæáæåçåèáèãõ ëêéê çáõ ðáöåáæçãõ èãòãíèåãíïãõ ãí îí éêèãçê çåíãáç éîçïåíåðãç
êíïãöê Ù
õïã ãíýêÿîã õã æáõá ãí ãç îõê èã çêõ éøíåéêõ ëîáèöáèêõ òêíþ
èãöáèêõ ê éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ òáöá èáïêõ ëáïãûìöåëêõ ç ãéòçãê èã
ãõïá éãïêèêçêûøáü òöãõãíïáèá òêö òöåéãöá ðãó òêö öåóóçãü =ïáöéãö êëñ õã ñáæøá çåéåïáèê õìçê áç ëáõê èêíèã çêõ òáöôéãïöêõ èãç éêèãçê õêí êõ öåóóçã
ãï áç í ãõïã áöïøëîçê ãõïá ãõïöáïãûøá õã ãäïåãíèã áç ëáõê éîçïåíåðãç àá áòçåëáëåìí èãç é÷ïêèê õã åçîõïöá á ïöáð÷õ èã îí ã ãéòçê èã éãïá áíôçåõåõü ÿîã
òîãèã ëêíõåèãöáöõã ëêéê îí òöêæçãéá ãõïáèøõïåëê éîçïåíåðãç ü ùá ÿîã çáþ åíýêöéáëåìí
èãíïöê èã çêõ ãõïîèåêõ õã ëêéæåíá ãí òöãõãíëåá èã îíá ñãïãöêûãíãåèáè òêïãíëåáç
ãíïöã çêõ ãõïîèåêõ H Þ I2
-(+*2( 2,.*12 -62/,.,7*2 81'1 8'(8('),(.*4
í ãõïá õãëëåìí õã èãõëöåæã çá ãõïöîëïîöá ãöôöÿîåëá åéòîãõïá òêö îí ëêí îíïê
èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá ù õã ýêöéîçá îí éêèãçê éîçïåíåðãç òáöá òöêòêöëåêíãõ áöá õåéòçåëáö çá ýîïîöá èåõëîõåìí èã çá ïãêöøá èã ãõïåéáëåìí ÿîã õã òöãõãíïá ãí çá
õãëëåìí Û ãç éêèãçê õã ãäòöãõá ãí ï÷öéåíêõ éáïöåëåáçãõ =ãá îíá ðáöåáæçã öãõòîãõïá ëêí ëáïãûêöøáõ =ãáí
ü ëê
R ýáë
X1 , X2 , . . . , Xt îí íþ
êö
ã
ãõ
öá
ëáë
ã
ûö
òêõ îíåþ
îíïê èãYðáöåáæçãõ ãäòçåëáïåðáõ =ãá îí
ï
ï
ï
î
è
å
åìí
í
èáèãõ èã íåðãçþÙ
=ãá A ãç ëêí îíïGê ýêöéáèê òêö çáõ èåýãöãíïãõ ëêéJæåíáëåêíãõ èã
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÚ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
çêõ ðáçêöãõ èã X1, X2, . . . Xt =ãáí I ãç ëáöèåíáç èãç ëêí îíïê A ù J = {1, 2, · · · I} .
F ëáèá ãçãéãíïê èã õã çã ñáëã ëêööãõòêíèãö æåîíøðêëáéãíïã îí ãçãéãíïê K èã
Lê èêõ çêõ åíèåðåèîA
êõ îíåèáèãõ èã íåðãçþ ëêí çá éåõéá ëêéæåíáëåìí èã ðáçêöãõ
C
õã ïöáïáí ëêéê îí õîæûöîòê èãíïöê èã çêõ ûöîòêõ èãïãöéåíáèêõ òêö
(x1 , x2 , . . . xt )
Mã ëáèá õîæûöîòê õã õãçãëëåêíáí éîãõïöáõ áçãáïêöåáõ åíèãòãíèåãíïãõ èã ïáéáþ
G
=ãá
ã éãöê èã åíèåðåèîêõ ãí çá éîãõïöá èãç iþ÷õåéê õîæûöîòê èãç
Bê
nji
njir ç í
õ
éê
ûö
òê
ë
÷
î , çáõå ëáèêõ ãí çá rþ÷õåéá ëáïãûêöøá èã öãõòîãõïá (i = 1, 2, . . . , I;
jþ å
j = 1, 2, . . . , J; r = 1, 2, . . . R)
=ãá
K
=ã õîòêíã ÿîã
òáöá i−
πr|ji = P (Y = r | = i, N = j)
(nji1 , nji2 , . . . , njir )
êõ
õ
û
ã
á
õ
ö
ë
é
êé
á
ëê
òöê
á
á
ãõ
å î îí èå ï åæî åìí îçïåí å ç í
æ æåçåè è π1|ji , π2|ji , . . . , πR|ji j
ýãöã
ýãöã
ù ÿîã çáõ éîãõïöáõ ëêööãõòêíèåãíïãõ á èå íïãõ õîæûöîòêõ ùOê èå íïãõ ûöîòêõ
õêí åíèãòãíèåãíïãõ àá ãõïöîëïîöá èã èáïêõ èãõëöåïá áíïãöåêöéãíïã òîãèã öãõîéåöõã
ãí J ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá I × R ëêéê çá ÿîã õã éîãõïöá ãí çá ïáæçá PQRSQ TU ª$$ $ #$$ #"
j
áïãûêöøáõ èã çá öãõòîãõïá
=îæûöîòê
Lêïáç
1
2
···
R
Ù
D
nj11
nj21
nj12
nj22
···
· ··
nj1R
nj2R
nj1
nj2
njI1
njI2
···
njIR
njI
ç ðãëïêö èã òöêæáæåçåèáèãõü
ü áõêëåáèê á çá j þ÷õåéá ïáæçá õã òîãèã ãõëöåæåö ëêþ
R
éê π = π0 , π0 , . . . , π0 0 ü èêíèã π = π , π , . . . , π 0 ëêí P
πr|ji =
j
ji
1|ji
2|ji
R|ji
j1
j2
jI
r=1
ýîíþ
ü
òáöá
ëá
á
áèá ëêí îíïê èã òöêæáæåçåèáèãõ ïåãíã
ã
ãéã
êõ
ï
è
ç
í
1
(i, j)
R−1
ëåêíáçéãíïã åíèãòãíèåãíïãõ àêõ J ðãëïêöãõ èã òöêæáæåçåèáèãõ ãí ëáèá ïáæçá èã
ëêíïåíûãíëåá ëêíýêöéáí îí íåëê ðãëïêö π = (π0 , π0 , . . . , π0 )0 =ãá
ëê ïê ã ý1 ë2ê ãõ ãJ Mãýøíáõã F (π ) =
F m (π j ) , m = 1, 2, . . . , a îí í îí èý îí å í è π j .
ã ãëïêö èã îíëåêíãõ èã π òáöá j = 1, 2, . .j. , J
[F 1 (π j ) , F 2 (πj ) , . . . ,ýF a (π j )]0 ç ð
ù a ≤ I (R − 1) õïáõ îíëåêíãõ ãäòöãõáí çá ãõïöîëïîöá öãçãðjáíïã èã çêõ èáïêõ VWXY
Z[\ èã çêõ ûöîòêõ àá ãõïöîëïîöá WXZ[W ûöîòêõ õã ïêéá ãí ëîãíïá áç èã íåö îí íåëê
ðãëïêö F (π) = [F (π1)0 , F (π2 )0 , . . . , F (πJ )0]0 èã ýîíëåêíãõ èã òöêæáæåçåèáèãõ èã
êöèãí (aJ × 1). ]á ÿîã õã õîòêíã ÿîã çá ãõïöîëïîöá VWXZ[\ èã çêõ ûöîòêõ ãõ çá
éåõéá òáöá ïêèêõ çêõ ûöîòêõü õã áòçåëáí çáõ éåõéáõ ýîíëåêíãõ á ëáèá îíê èã ãççêõ Måýãöãíïãõ ïåòêõ èã ýîíëåêíãõ òîãèãí öãòöãõãíïáöõã ãí îíá éáíãöá öãçáïåðáéãíþ
ïã õåéòçã îõáíèê íêïáëåìí éáïöåëåáç öåóóçã ãï áç ü êöïñêòãö êëñ Ú
í çá õãëëåìí õã òöãõãíïá îí ã ãéòçê ëêí çá ýîíëåìí çêûåï áöá åíðãõïåûáö áëãöëá èã çá öãçáëåìí èã çá ýîíëåìí èã çáõ òöêæáæåçåèáèãõ ëêí
çáõ ðáöåáæçãõ ãäòçåëáïåðáõ ëêíõåèãöáèáõ õêæöã çá éåõéá òêæçáëåìí êæ ãïê èã ãõïîèåêü
êíïãöê ãï áç Ù
òöêòêíãí ãç õåûîåãíïã éê èãçê çåíãáç éîçïåíåðãç áöá ëáèá îíê èã çêõ ûöîòêõ õã òêõïîçá îí éê èãçê èã íåðãçþ J
πj
F (π j ) = X j βj ,
j = 1, 2, . . . , J
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÚ
ù öáíûê β = (β , β , . . . , β )0
èêíèã ãõ îíá éáïöåó èã èåõãBê èã êöèãí
1j
jã
ãõ îí ðXãëjïêö èã òáöôéãïöêõ áçãáïêöåêõ èã êö(a×t)
ãõ ãç2jëêã ëåãítjïã
èãí (t × 1) ü èt;êíè
βkj
èã çá ðáöåáæçã Xk ãí çá çá ãëîáëåìí j àá ðáöåáæåçåèáè èã çêõ J ëêã ëåãíïãõ (β , β , . . . , β ) èã çá kþ÷õåéá ðáöåáæçã
ò ã ã ã ò ëáöõã á ïöáð÷õ èk1ã îík2 ëêí îíkJïê áèåëåêíáç èã ðáöåáæçãõ
(k = 1, . . . , t) î è ä çå
ü éãèåèáõ á íåðãç èã ûöîòêü áõø Z Z ,...,Z
1,
2
q
βkj = Z 0kj Γk + ukj ,
k = 1, . . . , t,
j = 1, 2, . . . , J
èêíèã ãõ ãç ðãëïêö èã êöèãí (qk × 1) èã ëêã ëåãíïãõ áõêëåáèêõ á çáõ ðáöåáæçãõ
éãèåèáõΓkãí ãç íåðãçþÙü Z öãòöãõã
íïá çáõ êæõãöðáëåêíãõ èã çáõ qk ðáöåáæçãõ ãí ãç
kj
õ
éá
á
á
ù
ã
ã
á
õê
Ùü
íåð çþ í ç j þ÷ å ï æç ukj í çêõ ãööêöãõ áçãáïêöåêõ íê êæõãöðáæçãõ àá ãëîáëåìí ãí òîãèã èãõëöåæåöõã èã îíá ýêöéá éôõ ëêéòáëïáü èã éáíãöá
ÿîã ãç éêèãçê ãí ãç íåðãçþÙ õã èã íã ëêéê β j = Z j Γ + uj ,
j = 1, 2, . . . , J
èêíèã Z j = diag Z 01j , Z 02j , . . . , Z 0tj ãõ îíá éáïöåó èåáûêíáç ãí æçêÿîãõ èã êöèãí
ü ëêí
ù ëîùêõ ãçãéãíïêõ õêí çêõ ðáçêöãõ èã çáõ
(t × Q)
+ . . . + qt
ãçþÙú Γ ãõ ãç ðãëïêö èã ãýãëïêõ êõ èã êöèãí (Q ×
ðáöåáæçãõ ãäòçåQëáï=åðáõq1 ã+í qã2ç íåð
ù ãõ ãç ðãëïêö èã ãööêöãõ áçãáïêöåêõ èã êöèãí (t × 1) =ã áõîéã E (u ) =
1) uj
ù
õã èãíêïá òêö Ω í çá éáïöåó èã ëêðáöåáíóá Ω õã îïåçåjóáöô
0
Cov (uj )
òáöá èuãíêïáö çáõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíuóá èãç íåðãçþÙ
∗
σ
(k,
k
=
1,
2,
.
.
.
,
t)
u
Fèãéôõü
ü òáöá (j, j ∗ = 1, 2, . . . , J) Cov (uj , uj ) = 0
Eíá ýêöéá ëêíðãíåãíïã èã ãäòöãõáö ãç éê èãçê ãõ éãèåáíïã çá ýêöéîçáëåìí éáþ
ïöåëåáç èáèê ãí Ù
Ù
F (π) = AΓ + Xu
èêíèã A = Z 01 X 01, Z 02X 02, . . . , Z 0J X 0J 0 , ëêí X j = X j òáöá ïêèê j 6= j ∗ , ãõ
îíá éáïöåó èã èåéãíõåìí (aJ × Q) ù X = diag(X 1 , X 2, . . . , X J ) ãõ îíá éáïöåó
èã èåéãíõåìí (aJ × tJ) . ç ðãëïêö Γ ãõïô ýêöéáèê òêö çêõ Q ãýãëïêõ êõ ù u =
j
j
kk∗
∗
∗
0
(u1 , u2 , . . . , uJ ) .
=ã õîòêíã ÿîã çêõ ãýãëïêõ áçãáïêöåêõ èã ûöîòêõ èåýãöãíïãõ õêí éîïîáéãíïã åíèãþ
òãíèåãíïãõü E(u) = 0 ù Cov (u) = Ω , ëêí Ω = I ⊗ Ω ü èêíèã ⊗ öãòöãõãíïá
u
J
ãç òöêèîëïê èã öêíãëãö Mã áÿîø ÿîuã E [F (π)]
ùu
ü
= AΓ V ar [F (π)] = V F (π)
ê
ã
è íè V F (π) = XΩu X 0 ^
õ åéòêöïáíïã èãõïáëáö ÿîãü á èåýãöãíëåá èãç ëáõê ãí ãç ÿîã çêõ òáöôéãïöêõ
ã
è ç éêèãçê õêí êõ ù çáõ åíýãöãíëåáõ ëêíëåãöíãí õìçê á çêõ ûöîòêõ ãõòãëå ëáèêõ
ëçáõãõü öãûåêíãõü ãïë ü ãí ãç éê èãçê éîçïåíåðãç òáöá òöêòêöëåêíãõ ãç åíïãö÷õ èã
çáõ åíýãöãíëåáõ õã èåöåûã ñáëåá çá òêæçáëåìí èã ûöîòêõü íê õìçê á áÿîãççêõ ÿîã òáþ
õáí á öãòöãõãíïáö çá éîãõïöá àêõ ûöîòêõ èã åíèåðåèîêõ ÿîã ëêíýêöéáí çáõ ïáæçáõ
òîãèãí ëêíõåèãöáöõã ëêéê îíåèáèãõ áíìíåéáõü èã çá éåõéá ýêöéá ÿîã çê õêí çáõ
êæõãöðáëåêíãõ ãçãéãíïáçãõ Eíá ðãó ýêöéîçáèê ãç éê èãçê éîçïåíåðãç ü ãõ òêõåæçã áòçåëáö çá ïãêöøá áõåíïìïåëá
ãí ãç éáöëê èãç éêèãçê çåíãáç ûãíãöáç í çá òöìäåéá õãëëåìí õã éîãõïöáí çêõ
öãõîçïáèêõ ïãìöåëêõ ÿîã òãöéåïãí èãéêõïöáö çá ðáçåèãó èã ãõïã ãíýêÿîã j
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÚ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
_ Þ I4/,-1),5.
áöá ãõïåéáö çêõ ãýãëïêõ êõ ù çêõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá èã éê èãçêõ
éîçïåíåðãç èãç ïåòê èã íåèê ãí çá ãëîáëåìí Ù
ü õã òöêòêíã áòçåëáö îí ãíýêÿîã
æáõáèê ãí çêõ éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ =îòìíûáõã ÿîã õã ñáí ñãëñê êæõãöðáëåêíãõ ãí ûöîòêõ èåýãöãíïãõ õãûí çá
ãõïöîëïîöá èã èáïêõ èã íåèá ãí çá õãëëåìí Ú FõêëåJáèê á çá éîãõïöá èãç iþ÷õåéê
õîæûöîòê èã çá j þ÷õåéá ïáæçá ãäåõïã îí ðãëïêö èã òöêòêöëåêíãõ éîãõïöáçãõ p =
ê ã
=ãá
á jiãõïåþ
0
(pji1 , pji2 , . . . , pjiR ) , è íè pjir = njir /nji
pj = [p0j1 , p0j2 , . . . , p0jI ]0 ç
éáëåìí éîãõïöáç èã îáíèê çáõ éîãõïöáõ èã çêõ õîæûöîòêõ õêí åíèãòãíèåãíþ
ïãõü çá éáïöåó èã ëêðáöπåjá.íóá èã p ãõïô èáèá òêö V π üIçá ëîáç ãõ îíá éáïöåó èåáûêíáç
j
ü ëêí çáõ éáïöåëãõ
ü
ãí æçêÿîãõ èã èåéãíõåìí (IR × IR)
πji πji ]
òáöá i = 1, 2, . . . , I ù j = 1, 2, . . . , J, õêæöã çá èåáûêíVáçπ òö=åíë1/n
ãõ
åòájiç ü[D
èêπíèã−D
îíá éáïöåó èåáûêíáç èã èåéãíõåìí (I × I) ëêí ãçãéãíïêõ èãç ðãëïêö πji õêæπöã çá
èåáûêíáç òöåíëåòáç àêõ ðãëïêöãõ èã òöêòêöëåêíãõ êæõãöðáèáõ ãí ëáèá ïáæçá èã ëêíïåíûãíëåá ëêí
ýêöéáí Jîí íåëê ðãëïêö p = [p0 , p0 , . . . , p0 ]0 ëêí éãèåá π ù éáïöåó èã ëêðáöåáíóáþ
ü á ë áç åíðêçîëöá á çáõ éáï1öåëãõ2 èã ëêJðáöåáíóá èã p îáíèê çáõ êæõãöðáëåêþ
Vπ ç îýãöã
ãõ
í èã èå íïãõ ûöîòêõ õêí åíèãòãíèåãíïãõü çá ëêðáöåáíjóá ãíïöã êæõãöðáëåêíãõ èã
èåýãöãíïãõ ûöîòêõ ãõ ëãöêü òêö ïáíïêü çá éáïöåó èã ëêðáöåáíóá èã p ïåãíã ýêöéá èã
îíá éáïöåó èåáûêíáç ãí æçêÿîãõ ëêí çáõ éáïöåëãõ V π õêæöã çá èåáûêíáç òöåíëåòáç =ã òîãèã èãéêõïöáö òêö ãç ïãêöãéá ëãíïöáç èãç çøéåïã éîçïåðáöåáèê Cáê Úüò Ù
ÿîã çáõ òöêòêëåêíãõ éîãõïöáçãõ ù çáõ òöêòêöëåêíãõ éîãõïöáçãõ ëêíèåëåêíáèáõ
ïåãíãí èåõïöåæîëåìí áõåíïìïåëáéãíïã íêöéáç êö ãç é÷ïêèê èãçïá Fûöãõïå ÙÙü ò ü çáõ ýîíëåêíãõ ù ýîíëåêíãõ ëêíèåëåêíáçãõ
èã ïáçãõ òöêòêöëåêíãõü õêí ïáéæå÷í
áõåíïìïåëáéãíïã íêöéáçãõ ç ïãêöãéá ü á ëêíïåíîáëåìí ü ãõòãëå ëá çáõ èåõïöåæîëåêþ
íãõ èã ïáçãõ ýîíëåêíãõ W Zgh Kgi hjWfZ[d VW
W j W ljW ZgWXW
`=;:=F@ ab c Wd
F (p) ed f d X
e F (π) ^ c f k\X
F
j
0
ji
ji
ji
j
VW[gmdVdf kd[Kgd Wf K\XZgXjdf VW f W jXV\ \[VWX WX jXd [W giX dngW[Zd ljW K\XZgWXW
e
N
N
d π ^ c Wd H ed hdZ[go p dK\ngdXd VW ed q jXKgiX F (π) r WmdejdVd K\[[Wfk\XVgWXZWY
hWXZW d Kjd f W fjk\XW X\ Xj d^
re
e
e
sXZ\XKWft
d
i)F (p) | u → N AΓ + Xu, HV π H 0
0
d
ii)F (p) → N AΓ, XΩu X + HV π H 0
àá èãéêõïöáëåìí èãç ïãêöãéá ãõ ëêíõãëîãíëåá èåöãëïá èã áòçåëáö ãç é÷ïêèê èãçïá í ãõïá ýáõã èãç áíôçåõåõ ãõ òêõåæçã òêõïîçáö ãç õåûîåãíïã éê èãçê ãí ï÷öéåíêõ èã
áõ
ç òöêòêöëåêíãõ êæõãöðáèáõ Ú
F (p) = AΓ + Xu + e
èêíèã e õã öãëêíêëã ëêéê ãç ðãëïêö èã ãööêöãõ áçãáïêöåêõ ãí ãç íåðãçþ A ü Γ ü X ù
õã èã íãí ëêéê ãí çá ãëîáëåìí ãí Ù
u
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÚ
àá òáöïã áçãáïêöåá èãç éêèãçê ëêéòöãíèã èêõ ãööêöãõ îíê òáöá ëáèá íåðãç =ã
õîòêíã ÿîã u ∼ N (0, Ω ) ù e ∼ N (0, HV H 0) ü èêíèã çáõ éáïöåëãõ èã ëêðáöåáíóá
π
òáöá çêõ ãööêöãõ
ãçþ õêí ýîíëåêíãõ èã çêõ òáöôéãïöêõ
èã íåðãçuþÙ ù çêõ ãööêöãõ èã íåð
=
ù ü öãõòãëïåðáéãíïã åí ãéæáöûêü ëêéê õîûåöåì êçèõïãåí ü õã òîãèã åíþ
u π
ïöêèîëåö îíá õåéòçå ëáëåìí ù öãÿîãöåö õåéòçãéãíïã ÿîã çáõ ðáöåáíóáõ èã çêõ ãööêöãõ
ãí ãç íåðãçþ õãáí åíðãöõáéãíïã òöêòêöëåêíáç ãõ á n . =å áèãéôõ èã çá öãòáöáéãþ
ïöåóáëåìí õã õîòêíã îíá ðáöåáëåìí õåéòçã áçãáïêöåá ájiïöáð÷õ èã çáõ ïáæçáõü ãíïêíëãõ
õã òîãèã õîòêíãö ÿîã çá ðáöåáíóá ãíïöã ïáæçáõ ãõ çá éåõéá òáöá ëáèá îíê èã çêõ I
õîæûöîòêõ í ãõïã ëáõê ∼ N (0, Ω ) ü èêíèã Ω ãõ îíá éáïöåó èåáûêíáç ëêí çêõ
e
ãçãéãíïêõ σ2 /n ãí çá èåeáûê
íáç òöåíëeåòáç.
ji
e
ç ñãëñê èã ÿîã ñáù éôõ èã îí ï÷öéåíê èã ãööêö áBáèã îíá ëêéòçåëáëåìí á
êõ
òöêëã
ç
èåéåãíïêõ èã ãõïåéáëåìí äåõïãí ïöãõ ïåòêõ èã òáöôéãïöêõ ÿîã òîãèãí õãö
ãõïåéáèêõ çêõ ãýãëïêõ êõü çêõ ëêã ëåãíïãõ áçãáïêöåêõ èãç òöåéãö íåðãç ÿîã òîãèãí
õãö ãõïåéáèêõ ê íêü òêöÿîã ãç éêèãçê ûãíãöáç ÿîã öãõîçïá èã õîõïåïîåö çêõ éêèãçêõ
èãç íåðãçþÙ ãí ãç éêèãçê èã íåðãçþ íê èãòãíèã èã ãççêõ
ù çêõ ëêéòêíãíïãõ èã çá
ðáöåáíóá ù ëêðáöåáíóá F ëêíïåíîáëåìí õã òöêòêíãí çêõ ãõïåéáèêöãõ òáöá çêõ ãýãëïêõ
êõ ù çêõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ç èãõáööêççê òáöá çêõ ãýãëïêõ êõ ù çêõ
ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ñáëã îõê èã çáõ åèãáõ òöãõãíïáèáõ ãí áõïãççõ uvwv xyz{|}~ }~
á ê çáõ õîòêõåëåêíãõ èã çêõ ãööêöãõ èãç éê èãçê ãí Ú
ü ÷õïã õã òîãèã ãõëöåæåö
ëêéê îí éêèãçê çåíãáç ëêí òáöôéãïöêõ íê áçãáïêöåêõü ïáç ÿîã ê ã
Û
F (p) = AΓ + e∗ è íè e∗ = Xu + e
Máèê ãç éê èãçê ãí Û
ù èã áëîãöèê ëêí Cáê Úü ò Ú
ü õã ïåãíã ÿîã ãç
éã êö ãõïåéáèêö çåíãáç èã Γ ãõ ãç ãõïåéáèêö éøíåéê ëîáèöáèê ûãíãöáçåóáèê b = A0 V −1 A −1 A0 V −1 F (p)
Γ
λ
λ
èêíèã V λ = XΩu X 0 + Ωe.
àá ãäåõïãíëåá èãç ãõïåéáèêö ãõïô õî ãïá á çá ãäåõïãíëåá èã çáõ åíðãöõáõ åíðêçî
ëöáèáõ =åãíèê ãç ãõïåéáèêö Γb èΓbã çá ýêöéá èáèáü ãõïô ëçáöê Cáê Úü ò Ú
ÿîãþ
ãõ åíõãõûáèê òáöá Γ ù ÿîã
=ãá −
→
b = A0 V −1 A −1
V ar Γ
λ
ãç ðãëïêö ÿîã öãõîçïá èã ãõëöåæåö çáõ ëêçîéíáõ èã îíá éáïöåó ëîáçÿîåã
öá C ü îíCá èãæá ê èã çáõ êïöáõ íïêíëãõ çá éáïöåó V èãòãíèã èãç òáöôéãïöêþ
λ
−→ !
ý
ù
õ
õ
ã
ãõã
ëê
êë
êü
ù
õ
éá
ö
ó
ã
ëêðáöåáíóá õãöøáí ëáçëîçáþ
Ωu
÷
ï
ï
î
î
å
í
åè
å
è
b
λ=
Γ
−
→
Ωe
æçãõ =îòêíãö λ ëêíêëåèê õåûíå ëáöøá îíá öãõïöåëëåìí òáöá çá áòçåëáëåìí òöôëïåëá èã
ãõïêõ ãõïåéáèêöãõ Eíá õåïîáëåìí éîëñê éôõ öãáçåõïá õãöøá õîòêíãö λ èãõëêíêëåèêü
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÛ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
ãõïåéáö ÷õïã ù õîõïåïîåö çáõ ãäòöãõåêíãõ èã õîõ ãõïåéáèêöãõ ãí Γb çêûöáíèê áõø îí
ãõïåéáèêö ãí èêõ ãïáòáõ òáöá Γ èã çá ýêöéá −1
−1
b
b = A0 Vb −1
Γ
A0 Vb λ F (p)
λ A
èêíèã Vb λ ãõ çá ãõïåéáëåìí èã V λ.
uvv } }
z
|z~ z
Eí òöêëãèåéåãíïê òáöá ãõïåéáö çáõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ãõ ãç õåûîåãíïã ãç ðãëïêö èã ãööêöãõ e∗ õã òîãèã ãõëöåæåö ãí çá ýêöéá e∗ = $ ξ + $ ξ , èêíèã 2 2
ù
ü ëêí E (ξ ) = 0 ∀ i = 11, 21 ú Cov(ξ
ú
$ 1 = X, $ 2 = I aJ , ξ1 = u ξ2 = e
) = Ωu
i
1
ú
ú
òêö
á
ê
ï íï V ar (e∗ ) = $1Ωu$0 +
Cov (ξ ) = Ωe Cov (ξ , ξ ) = Cov (ξ , ξ ) = 0
Ωe
1
2
îãèá ëçáöê ÿîã ÷õïã
=ãá
ãç ãõòáëåê
2
2
1
1
ãõ îí éêèãçê èã ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ûãíãöáèê òêö çáõ ëêçîéíáõ èã çá éáïöåó A ú [L (A)]⊥ ãç
L (A)
ãõòáëåê ëêéòçãéãíïê êöïêûêíáç èã L (A) ú R = hI − A A0A−1 A0 i ãç òöêùãëïêö
õêæöã [L (A)]⊥ ü ù r (C) ãç öáíûê èã îíá éáïöåó ëîáçÿîåãöá C íïêíëãõ r (R) =
=ãá
á éáïöåó èã êöèãí n×aJ ïáç ÿîã r (M ) = n ù M A = 0 aJ −r (A) = n.
M îí
Mãýøíáõã e
ú õã ïåãíã ÿîã
F = M F (p)
e = E (M F (p)) = M AΓ = 0
E F
e = Cov (M F (p)) = M V λ M 0
Cov F
êéê
d
F (p) → N (AF , V λ )
=ã ïåãíã ÿîã èêíèã
ãíïêíëãõ Fe (p) →d N
−−→
−−−−−−→0
−−−−−−−−−→
0
e
e
E F F = M V λ M = M $ 1 $01 M 0
=ãá
z∗ =
−−−−−−−0−−→0 −−−→0
M $1$1M M M
0, M V λ M 0
−−−−→0
MM
−→ !
Ωu
= Z ∗λ
−
→
Ωe
ù λ = −Ω→ −Ω→0
u
e
−−→
→
ãç éêèãçê çåíãáç èáèê òêö −Fe−Ff
ü
ëê
0
∗
í
0
∗
f
e
= Z λ+µ
µ = FF − Z λ ,
ù
∗ èêíèã
∗ ïåãíã çá ãäòöãõåìí E (µ) = 0 Cov (µ) = V ,
V
λ
V ∗F
λ
"
# " #
−−→ −−→0
−−→ −−→0
0
0
0
0
f
f
f E F
f
eF
eF
eF
eF
=E
F
F
− E F
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÛ òãöê
ff
f e f0
f
1 1F F
"
#
−−→ −−→0
f
f f e f0
2 f 1F F
f0
f0
eF
eF
F
F
=
fF
e f0
ffn f
1 F
f ff F
e f0
f
1 n F
f0
f ff F
eF
... f
2
n
f0
eF
. . . ffn ffn F
f ff F
e f0
f
1 2 F
f0
f ff F
eF
f
2
...
2
f0
eF
ffn ff2 F
ãõ çá iþ÷õåéá ëêçîéíá èã çá éáïöåó Fe èêíèã f
fi
áçëîçáíèê f f e f0 ãéòçãáíèê ãç éêéãíïê èã êöèãí Û èã îíá èåõïöåþ
E f if j F F ,
æîëåìí íêöéáç éîçïåðáöåáèá ðãö Fíèãöõêí ü õã êæïåãíã fF
e f0 = τij R + [τi1 R (j) , τi2 R (j) , . . . , τin R (j)]
E f
f if
j F
+ [τj1 R (i) , τj2 R (i) , . . . , τjn R (i)]
= τij R + R0 (i) ⊗ R (j) + R0 (j) ⊗ R (i)
í çá ãäòöãõåìí áíïãöåêöü ù ëêí ãç êæ ãïåðê èã õåéòçå ëáö çá ýêöéîçáëåìí éáïã
éôïåëáü õã ñá èãíêïáèê M V M 0 = R ù R (i) îíá ëêçîéíá ëîáçÿîåãöá èã R þ
λ
=ã ðã ýôëåçéãíïã ÿîã "
#
−−→ −−→0
0
0
f
f
e
e
E
FF
FF
= R ⊗ R + [R ⊗ R(1), R ⊗ R(2), . . . , R ⊗ R(n)]
h
−
→
−
→
−
→i
+ R0 (1) ⊗ R,R0 (2) ⊗ R, . . . , R0 (n) ⊗ R
−
→ −
→
= R ⊗ R + [R ⊗ R (1) , R ⊗ R(2), . . . , R ⊗ R(n)] + R0 ⊗ R
êö êïöá òáöïã íïêíëãõ " #
−−→ −−→0
−
→ −
→ −
→0 −
→
0
0
f
f
eF E F
eF
E F
= R R = R0 ⊗ R
−−→
f0 = [R ⊗ R] + [R ⊗ R (1) , R ⊗ R (2) , . . . , R ⊗ R (n)]
eF
Cov F
= V ∗λ0
åíåéåóáíèêü öãõòãëïê
V
∗
λ0
=
+
M V λ0 M
0
M V λ0 M
0
→
á λ ü çá íêöéá −Fe−Ff
0
∗ −Z λ
⊗ M V λ0 M
0
ëêí ∗−
Vλ
0
⊗ M V λ0 M 0 (1) . . . M V λ0 M 0 ⊗ M V λ0 M 0 (n)
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÛÙ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
èêíèã ãõ îí ðáçêö åíåëåáç òáöá b õïã ðáçêö òêèöøá êæïãíãöõã èã çá õåûîåãíïã
éáíãöáλ0õã òîãèã æîõëáö ãç ãõïåéáλèêö éøíåéê ëîáèöáèê ûãíãöáçåóáèê òáöá Γ ü õîþ
òêíåãíèê Cov (ξ ) = 0 ü ù çîãûêü ãäáéåíáíèê çêõ öãõåèîêõü êæïãíãö îí ðáçêö åíåëåáç
1
òáöá λ ç ãõïåéáèêö òáöá çêõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ïãíèöô çá ýêöéá −−−→
0
0
∗
∗− ∗
∗
∗−
f0
b
e F
λ = Z V λ0 Z Z V λ0 F
õã ñá îïåçåóáèê ãç õøéæêçê B − òáöá åíèåëáö çá åíðãöõá ûãíãöáçåóáèá èã îíá éáïöåó
ë á ÿ ãöá
àá ãäòöãõåìí èã λb õã èá ãí ýîíëåìí èã çá åíðãöõá ûãíãöáçåóáèá òêöÿîã
B î ç îå
áõ
ç åíðãöõáõ åíðêçîëöáèáõ íîíëá ãäåõïãí uvv }zz~ z }~ z~|}z~
λ0
í ãõïá õãëëåìí õã òöîãæá ÿîã ãç ãõïåéáèêö b
λ
DGE
òöêòîãõïê òêö çãã þ
ãí ãõ îí ãõïåéáèêö èãç ïåòê
`=;:=F@ b s WfZghdV\[ b Wf jX WfZghdV\[ VW Zgk\ Ys ^
λλ0
e
e
λ0
¡¢£b =ìçê ñáù ÿîã ëêíõåèãöáö ãç öãõîçïáèê èãç ïãêöãéá Ú èãç
èáèê òêö áõïãççõ ù òöêæáö ÿîã b ãõ îíá õêçîëåìí èã çá ãëîáëåìí áíãäê
λλ0
SZ (λ0 ) λ = U (λ0 , F (p))
èêíèã
0
ëêí
U i = F (p) M 0 M V λ0 M 0
SM (λ0 )ij = tr M V λ0 M 0
e 1 = I aJ ,
F
ç ãçãéãíïê
i
èãç
−1
−1
e i M 0 M V λ0 M 0
MF
e iM 0 M V λ M 0
MF
0
e 2 = ω1 ω0
F
1
ðãëïêö A0V ∗−
e f0
λ0 F F
−1
−1
e jM0
MF
e j M 0,
MF
j = 1, 2
õã òîãèã ãõëöåæåö èã çá õåûîåãíïã ýêöéá −−→ −−−−−−→0
−−→
0 ∗− e f0
f0
e i M 0 V ∗− F
eF
A V λ0 F F = M i F
λ0
=
−−−−−−→0
−−→
f0
e i M 0 Θ−1 F
eF
MF
i
−1
1 h
f0
e i M 0 M V λ0 M 0 −1 F
eF
tr M V λ0 M 0
MF
2
−1
1 e0
e i M 0 M V λ M 0 −1 F
e
= F
M V λ0 M 0
MF
0
2
=
¤ÈÌ ÄÌÎÆ¥Á Ë ¦§¨§¦©¦ ¨ª«¦ ¬©­®«­¯§° ©¨±§­²³® ³²¯§¦­¯§ª¨´
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ç
0
ãçãéãíïê iþj èã çá éáïöåó
AV
−
λ0 A ij
A0 V −
λ0 A
ÙÛÚ
ðåãíã ãäòöãõáèê òêö −−−−−−→0
−−−−−−→
0
∗−
f
fj M 0
= M F iM
V λ0 M F
−1 i
1 h f 0 fj M 0 M V ∗ M 0 −1
tr M F i M
M V ∗λ0 M 0
MF
λ0
2 −1
1
∗
0
0
∗
0 −1
0
f
e
= tr M V λ0 M
M F iM
M V λ0 M
M Fj M
2
=
çê ëîáç òöîãæá ÿîã λbλ ãõ îí ãõïåéáèêö èãç ïåòê èã íåèê λ0 þDGE
0
µ Þ ¶12,+1),5.
+*2 123(',/-( +* *4/,-1),5.
êéê òáöïã èã çá ãõïöáïãûåá èã ãõïåéáëåìí ü ãí ãõïã áöïøëîçê õã òöãõãíïáí ðãö
áíãäê
çêõ òáõêõ æôõåëêõ èã îí áçûêöåïéê èã éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ åïãþ
öáïåðêõ õåûîåãíèê ãç ãíýêÿîã òöêòîãõïê àá ðáçåèãó èãç òöêëãèåéåãíïê õã ñá ðãíåèê
ãäòçêöáíèê á ïöáð÷õ èã ðáöåêõ ãõïîèåêõ èã õåéîçáëåìí òáöá ëêí îíïêõ èã èáïêõ æáþ
çáíëãáèêõ ãç ïáéáBê èã çáõ éîãõïöáõ ãõ ãç éåõéê òáöá ïêèêõ çêõ õîæûöîòêõ
ù
èãõæáçáíëãáèêõ ãç ïáéáBê èã çáõ éîãõïöáõ èã çêõ õîæûöîòê ãõ èåýãöãíïã
í ïêþ
èêõ çêõ ëáõêõ õã îïåçåóì îí éêèãçê èã öãûöãõåìí çêûøõïåëá èêíèã çêõ çêûáöåïéêõ èã
çá öáóìí èã öåãõûê e\N \VVf [dZg\f õã öãëêíêëãí ëêéê ãýãëïêõ áçãáïêöåêõ èã îíá
òêæçáëåìí èã ûöîòêõ ç åíïãö÷õ èã çá åíðãõïåûáëåìí õã ëãíïöì ãí ãç áíôçåõåõ èã çáõ
ãõïåéáëåêíãõ èã çêõ èêõ òáöôéãïöêõ êõ ù çá ðáöåáíóá áç íåðãç èã ûöîòê í ãç ëáõê æáçáíëãáèê êíïãöêü áõïãçç ãèá Ù
õã ãäáéåíì çá åíâîãíëåá
ã
è èåýãöãíïãõ ïáéáBêõ èã éîãõïöáõ ù éáûíåïîèãõ èã çá ðáöåáíóá èã çêõ ãýãëïêõ
áçãáïêöåêõ õêæöã çá òöãëåõåìí èã çáõ ãõïåéáëåêíãõ =ã ëêíõåèãöáöêí õãïãíïá èåõãBêõ
èåýãöãíïãõü èáèêõ òêö çáõ ëêéæåíáëåêíãõ èã ëåíëê íéãöêõ èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá
ü Ù ü ü ü ü õåãïã ïáéáBêõ èã éîãõïöá ü Ù ü ü ü ü Ù ü Ú
èã
çêõ õîæûöîòêõ ù èêõ éáûíåïîèãõ èã ðáöåáíóáü îíá ûöáíèã ù êïöá òãÿîãBá àêõ
öãõîçïáèêõ åíèåëáí ÿîã çáõ ãõïåéáëåêíãõ èã çêõ òáöôéãïöêõ êõ õêí òöãëåõáõ òáöá
éîãõïöáõ èã ïáéáBê éêèãöáèáéãíïã òãÿîãBáõü òãöê õã íãëãõåïá îí éáùêö íéãöê
èã êæõãöðáëåêíãõ òáöá áçëáíóáö îí ëêéòêöïáéåãíïê öáóêíáæçã èãç ãõïåéáèêö òáöá çá
ðáöåáíóá èã íåðãçþÙ í ûãíãöáç ü òáöá áçëáíóáö éáùêö òöãëåõåìí ãí çáõ ãõïåéáëåêíãõ
ãõ éôõ åéòêöïáíïã îí íéãöê ûöáíèã èã åíèåðåèîêõ òêö õîæûöîòêõ > Ù
ÿîã
îí íéãöê ûöáíèã èã ûöîòêõ àá èåýãöãíëåá ãí òöãëåõåìí èã çáõ ãõïåéáëåêíãõ òáöá
èåõãBêõ ëêí ê éôõ ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá íê ãõ õîõïáíëåáç í ãç ëáõê èãõæáçáíëãáèê õã ãíëêíïöì ÿîã ãí ëåãöïáõ õåïîáëåêíãõü çáõ ãõïåéáëåêþ
íãõ èã çá ðáöåáíóá òöêèîëãí õãõûêõ ûöáíèãõ ù ãõïåéáëåêíãõ íãûáïåðáõ áöá éã êöáö
çêõ öãõîçïáèêõ õã òöêòîõê ëêööãûåö ãç áçûêöåïéê áòçåëáíèê îíá ï÷ëíåëá æáõáèá ãí
çá èãõëêéòêõåëåìí èã ðáçêöãõ õåíûîçáöãõ ïöîíëáèêõ ãí çá õêçîëåìí èã çêõ éøíåéêõ
ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ òáöá ãõïåéáö çêõ ëêéòêíãíïãõ èã çá ðáöåáíóá ãèåáíïã
õåéîçáëåìí õã éêõïöì çá ãýãëïåðåèáè èã çá ï÷ëíåëá ãí ëîáíïê á çá öãèîëëåìí èãç õãõûê
èã çêõ ãõïåéáèêöãõ êíïãöê îãööá Ù
í ãç ãõïîèåê õã ì ãç íéãöê èã
ïáæçáõ àêõ ïáéáBêõ éîãõïöáçãõ ãí çêõ õîæûöîòêõ õã ûãíãöáöêí á òáöïåö èã ïöãõ èåõþ
ïöåæîëåêíãõ îíåýêöéãõ èåýãöãíïãõü èáíèê çîûáö á ïöãõ ïåòêõ èã èåõãBêõ çåûãöáéãíïã
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÛÛ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
èãõæáçáíëãáèêü éêèãöáèáéãíïã èãõæáçáíëãáèê ù éîù èãõæáçáíëãáèê
=ã ëêíõåèãþ
öáöêí èêõ éáûíåïîèãõ èã ðáöåáíóá èã íåðãçþÙü çáõ éåõéáõ ÿîã ãí ãç ëáõê æáçáíëãáèê áöá çáõ ãõòãëå ëáëåêíãõ ëêíõåèãöáèáõ çêõ öãõîçïáèêõ éêõïöáöêí íåðãçãõ áëãòïáæçãõ
èã õãõûê ù òöãëåõåìí =ã êæõãöðì áèãéôõ ÿîã çá ëáçåèáè èã çáõ ãõïåéáëåêíãõ íê õã
áýãëïì òêö ãç ûöáèê èã èãõæáçáíëã èã çêõ èáïêõ áöá ïê èêõ çêõ ëáõêõ õã ãíëêíïöì ÿîã ãç é÷ïê èê èã ãõïåéáëåìí õã ëêéòêöïá
éã êö ëîáíèê çá ðáöåáíóá èã çêõ ãýãëïêõ áçãáïêöåêõ ãõ òãÿîãBá · Þ I¸ *-82(
áöá åçîõïöáö ãç ãíýêÿîã èåõëîïåèê ãí ãõïã áöïøëîçêü õã îõáöêí çêõ èáïêõ öãòêöþ
ïáèêõ ãí Lîöíãöü éáöü ]áíûü êçèõïãåí Lñêéòõêí Ù
ü ëêíõåõïãíïãõ ãí ÙÙ
ãíõáùêõ ëçøíåëêõ öãáçåóáèêõ òáöá åíðãõïåûáö ãç ãýãëïê èã èãõëêíïáéåíáëåìí õãçãëïåðá
èãç ïöáëïê èåûãõïåðêü õêæöã ãç öåãõûê èã åíýãëëåìí èãç ïöáëïê öãõòåöáïêöåê =ã õãçãëþ
ëåêíáöêí áçãáïêöåáéãíïã òáëåãíïãõ èã îíåèáèãõ èã ëîåèáèêõ åíïãíõåðêõü ùá õãá òáöá
öãëåæåö îí ïöáïáéåãíïê èã ëêéæåíáëåìí èã áíïåæåìïåëêõ ê òáöá íê öãëåæåö ïöáïáéåãíþ
ïê í çá ïáæçá Ú ðãö áíãäê
õã òöãõãíïá çá òöêòêöëåìí èã òáëåãíïãõ åíýãëïáèêõ ãí
ëáèá ïöáïáéåãíïê òáöá ëáèá îíê èã çêõ ãíõáùêõü áõø ëêéê çêõ çêûáöåïéêõ èã çá öáóìí
èã öåãõûê e\N \VVf [dZg\f ù õîõ ðáöåáíóáõ àêõ èáïêõ òîãèãí ëêíõåèãöáöõã èãíïöê èã îíá ãõïöîëïîöá ãöôöÿîåëáü èêíèã çêõ
õîæûöîòêõ èã òáëåãíïãõ ïöáïáéåãíïê ù ëêíïöêç
õã áíåèáí èãíïöê èã çêõ ãíõáùêõ Mã ãõïá éáíãöáü çêõ õîæûöîòêõ èã òáëåãíïãõ õã ëêíõåèãöáí ëêéê çáõ îíåèáèãõ èãç
íåðãçþ ù çêõ ãíõáùêõü çáõ îíåèáèãõ èã íåðãçþÙ
ç éãïáþáíôçåõåõ èã çêõ ãíõáùêõ ëêí öãõòîãõïá æåíáöåá õã öãáçåóì á îõïáíèê îí
éêèãçê èã öãûöãõ
åìí çêûøõïåëá ãí ãç ÿîã õã áí çêõ ãýãëïêõ èã çêõ ïöáïáéåãíïêõ ù õã
òãöéåïã ÿîã çêõ çêûáöåïéêõ èã çá öáóìí èã öåãõûê e\N \VVf [dZg\f ðáöøãí á ïöáð÷õ
èã çêõ J ãíõáùêõ Lîöíãö ãï áç Ù
logit (πij ) = β0j xij +
J
X
βk Dkij
ãí ãç íåðãçþ ¹ èãíïöêº èã çêõ ãíõáùêõ
k=1
β0j
uj
=
∼
θ + uj
N 0, σu2
ãí ãç íåðãçþÙ ¹ãíïö㺠çêõ ãíõáùêõ
èêíèã ãõ çá òöêæáæåçåèáè èã åíýãëïáöõã òáöá çêõ åíèåðåèîêõ èãç ÷õåéê õîæûöîòê
ãí ãç jπþij÷õåéê ãíõáùêü x = 0/1 åíèåëá õî õîæûöîòê ëêíïöêçOïiöáþ ïáéåãíïêü ù ãç
ëêí îíïê èã D , . . . , D ij = 0/1 ü õî òãöïãíãíëåá áç ãíõáùê 1ij
Jij
=îõïåïîùãíèê ãí õã êæïåãíã ãç õåûîåãíïã éê èãçê logit (πij ) = (θ + uj ) xij +
J
X
βk Dkij
k=1
èêíèã θ e\N \VVf [dZg\
öãòöãõãíïá ãç ãýãëïê òöêéãèåê èã åíïãö÷õ ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÛ
àáõ ãõïåéáëåêíãõ èã çêõ òáöôéãïöêõ èãç éêèãçê ãí ü êæïãíåèáõ éãèåáíïã ãç
ýêÿ
ãí îã èã éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ à=» òöêòîãõïê ãí ãõïã áöïøëîçêü
õã ëêéòáöáí ëêí çáõ éêõïöáèáõ òêö Lîöíãö ãï áç Ù
ü îïåçåóáíèê êïöêõ é÷ïêèêõ
èåõòêíåæçãõ ãí ãç õåõïãéá èã òöêûöáéáõ à?åG êçèõïãåí ü Cáõæáõñ ü çã?åõü Möáþ
òãöü öê?íãü ]áíûü ¼êêèñêîõã ½C ãç é÷ïêèê èã ëîáõåþðãöêõåéåçåïîè
éáöûåíáç à
ü ãç é÷ïêèê èã ëîáõåþðãöêõåéåçåïîè òãíáçåóáèá à
ù îí é÷ïêþ
èê êêïõïöáò òáöáé÷ïöåëê ðãö êçèõïãåí Cáõæáõñ ü î ü òáöá îíá
èåõëîõåìí èãïáççáèá èã çêõ é÷ïêèêõ
í çá ïáæçá Ù õã éîãõïöáí çêõ ðáçêöãõ ãõïåéáèêõ èã ù 2 ù çêõ ëêööãõòêíèåãíïãõ
åíïãöðáçêõ èã ëêí áíóá ¼áçè Gìïãõã ÿîã çá ãõïåéáëåìíθ σàu= èã θ ãõ éîù õåéåçáö á
çá êæïãíåèá òêö ãç é÷ïêèê êêïõïöáò èã ëêööãëëåìí èã õãõûêõ í ãç ëáõê èã σu2 , çá
ãõïåéáëåìí à= èã σ2 ãõ çá éôõ ãäïöãéá u
PQRSQ ¾ U $
$$ $ $ #$"
¯¿ À­¹ Á% Âà Ä$$ $ $ À­¹ Á% ÂÃ
ÀÇ ÇÆÃ
ºÅ
θ Æ! À− Ç − ÈÃ
咐
−
ÊÅ
ÆÁ
À Á ÈÃ
ÉÆ
ÀÆ ÆÃ
−
−
−
ÊÅË$#
ÉÉ
À É %Ã
À !Ã
È
−
−
−
É!
À É ÆÃ
É
ÀÆÆ ÉÁÃ
®
−
−
−
º
2
u
áöá ëêéòçãïáö çá ëêéòáöáëåìí èã ãíýêÿîãõü çáõ ãõïåéáëåêíãõ à= õã ëêéòá
öáí ëêí çáõ êæïãíåèáõ áòçåëáíèê îí é÷ïêèê ëêéòçãïáéãíïã æáùãõåáíêü ÿîã îïåçåóáþ
ãç éîãõïöãáèêö åææõ òáöá êíïã áöçê éãèåáíïã áèãíá èã áöêð =ëñéåèï ü =òåãûãçñáçïãö Lñêéáõ ü ù ëêí çáõ êæïãíåèáõ éãèåáíïã áòöêäåéá
ëåêíãõ áç éêèãçê ëêéòçãïáéãíïã æáùãõåáíê Fæöáéõ =áíõì ü òöêòîãõïáõþ
òáöá öãèîëåö çêõ ëôçëîçêõ öãÿîãöåèêõ õïêõ é÷ïêèêõ õã òîãèãí åéòçãéãíïáö ãí
õåõïãéáõ ëêéê ãç E= åçõü Lñêéáõ =òåãûãçñáçïãö Û
àá ãõïåéáëåìí à= èã θ õã òöãõãíïá ëêí ãç ðáçêö éôõ ãäïöãéê − üÚ ëêéòáöáèê
ëêí ãç − üÛ èãç ëêéòçãïáéã
íïã æáùãõåáíê ù ãç ü èãç æáùãõåáíê áòöêäåéáèê
ù çá ãõïåéáëåìí èã σ2 ãäñåæã îí ðáçêö éîù ëãöëá−íê áç êæïãíåèê éãèåáíïã çêõ êïöêõ
u
é÷ïêèêõ ü ëêéòáöá
èê ëêí ãç ü èãç ëêéòçãïáéãíïã æáùãõåáíê ù ü èãç
áùãõ
á
ê
áòöê
éá
ê
æ åí
äå è
êéê õã ñá òê èåèê êæõãöðáöü ãç òöêëãèåéåãíïê òöêòîãõïê òöê èî ê ãõïåéáëåêíãõ
ã
è çêõ òáöôéãïöêõü öáóêíáæçãéãíïã ëãöëáíáõ á çáõ êæïãíåèáõ òêö êïöêõ é÷ïêèêõ
ùá ëêíêëåèêõ Mã ãõïá ýêöéáü õã òöãïãíèã òêíãö èã éáíå ãõïê çáõ åéòêöïáíïãõ
òêõåæåçåèáèãõ ÿîã êýöãëã îí é÷ïêèê èã ãõïåéáëåìí ëêéòîïáëåêíáçéãíïã éîù õåéòçã
èã áòçåëáö ãí ëêéòáöáëåìí ëêí êïöêõ é÷ïêèêõ æáõáèêõ ãí ãõïöáïãûåáõ éôõ ëêéòçã áõ Ì ÈÌ ÀÁÃÀ ½à ÍÅƾ ƾÁ ʥþԾÁ ÔÀ ÀÁÃÄÊÂÍÄÍÌ ÅÃÄÆÄÎÂÔ¾Á ÁÀ ÄÔÀÌÃÄÏÍÂÌ Ð¾½ ÁÅÁ ÁÄÎÆÂÁ ÀÌ ÄÌÎÆ¥Á Ç
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÛ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
Ñ Þ Ò(.)264,(.*4
ç òöêëãèåéåãíïê èã ãõïåéáëåìí òöãõãíïáèê ãí ãõïã áöïøëîçê îæåëá áç áíôçåõåõ
èã îí ëêí îíïê èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá ãí îíá ëçáõã èã òöêæçãéáõ ÿîã òîãèãí
ïöáïáöõã îïåçåóáíèê éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ Eíá èã çáõ òöåíëåòáçãõ ðãíïá áõ èãç ãíýêÿîã òöêòîãõïê ãõ ÿîã òîãèã îõáöõã ãí
õåïîáëåêíãõ èêíèã êïöêõ é÷ïêèêõ åéòêíãí çá õêçîëåìí èã ëêéòçåëáèáõ ãäòöãõåêíãõ
éáïãéôïåëáõ ïöá ðãíïá á åéòêöïáíïã ãõ çá ýáëåçåèáè ÿîã çã êýöãëã áç åíðãõïåûáèêö
òáöá ëêíõïöîåö îíá áéòçåá ýáéåçåá èã ýîíëåêíãõ èã òáöïåëîçáö åíïãö÷õ òáöá ãç áíôçåõåõ
éîçïåíåðãç èã çáõ òöêòêöëåêíãõ ãõòãöáèáõ ãí îí ëêí îíïê èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá í ûãíãöáç ü ãç ãíýêÿîã òöêòîãõïê êýöãëã îíá ñãööáéåãíïá éîù ïåç òáöá éê èãþ
áö
ç îíá ûöáí ðáöåãèáè èã õåïîáëåêíãõ ÿîã êëîööãí ýöãëîãíïãéãíïã ãí çá òöôëïåëáü
ëêíõïåïîùãíèê áõø îíá ã ëáó áçïãöíáïåðá á çá éêèãçáëåìí éîçïåíåðãç òáöá èáïêõ
ëáïãûìöåëêõ ãöôöÿîåëêõ ÓÔÕÖ×ÖØÙÚ Û×ÜÖÝ ØÔ Þßßà á âÕÔãäÛØÙÚ ÙÕäå×ÜÔ ØÔ Þßæß
ç*è*'*.),14
Fæöáéõü =áíõì ü ü éFòòöêäåéáïã áùãõåáí Díýãöãíëã
ãëïõ éãïáþáíáçùõåõ êü cZdZgfZgKf gX WVgKgXW aëü Ùì Ù ýêö Cáíèêé
Fûöãõïå ü F ÙÙ
ü JdZW \[gKd dZd îXd fgfü ¼åçãùü Gã? êö
N
eí
eï
]
Fíèãöõêí ü L ¼ ü îX XZ[\VjKZg\X Z\ j Zgmd[gdZW cZdZgfZgKd îXd fgfü ¼åþ
e
e
eï
çãùü Gã? ]êö
öãõçê? ü G Añáêü à ü éàêûåõïåë Cãûöãõõåêí ýêö =ïöáïå ãè áõãþ
êíïöêç =ïîèåãõ êü ðg\hWZ[gKf ññ ü ì öå ü F = Cáîèãíæîõñ ü = ¼ Ù
ü ò gW[d[KógKd gXWd[ \VW ft îkk gKdZg\Xf
eô
e
e
dXV í dZd îXdeïfgf WZó \Vfü =áûã îæçåëáïåêíõü áçåýêöíåá áõïãççõü ü õïåéáëåìí ãí îí éê èãçê ëêí òáöôéãïöêõ áçãáïêöåêõü Lãõåõ èã
éáãõïöøáü áëîçïáè èã áïãéôïåëáü Eíåðãöõåèáè èã àá áæáíáü àá áæáíá ýöêí ü ü ééòåöåëáç áùãõ ãïñê èõ ýêö êéæåíåíû àåãçåñêê èõ êü õ\j[Xd
e
\q ZóW îhW[gKdX cZdZgfZgKde îff\KgdZg\X ö÷ÛÚÛ
ü Úì ãáöõü L C öê?í ü ü éàêûåõïåë Cãûöãõõåêí ãïñê èõ ýêö Cãïöêõòãëþ
ïåðã áõãþ êíïöêç Mïîèåãõ îõåíû êéòçãä =áéòçåíû öêëãèîöãõ êü ðg\hWZ[gKf
ñü ì êöïñêýãöü C G àãñíãí ü C ü øjn gK ø[\ [dh îXd fgft î Wù JdZWY
e
N
eï
[gK
Z
[ Kóü àåýãïåéã àãáöíåíû îæçåëáïåêíõü ãçéêíï ü áçåýêöíåá N \ de í d d îkk \d
êöïñêòãöü C G êëñ ü Ú
ü éFí Fíáçùõåõ ýêö êéòêîíèãè îíëïåêíõ
êý áïãûêöåëáç Máïá êü ðg\hWZ[gKf öü ÛÚì ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÛ
êïêîñå ü F C ÙÚ
ü éêéòáöåõêíõ êý õïåéáïåêí öêëãèîöãõ ýêö Gêíçåíãáö îçþ
ïåçãðãç êèãçõ êü õ\j[Xde \q cZdZgfZgKde c\q Zùd[W ú ü ìÚ
åçõü ¼ Cü Lñêéáõü F =òåãûãçñáçïãöü M ½ Û
ü éF çáíûîáûã áíè öêûöáé
ýêö êéòçãä áùãõåáí êèãççåíû êü cZdZgfZgKgdX ñûü ì çáõõü @ ü éöåéáöùü =ãëêíèáöù áíè ãïáþFíáçùõåõ êý Cãõãáöëñ êü sVjKdY
Zg\Xd Wf Wd[KóW[ ýü Úì eü
êçèõïãåí ü ü j Zg WmW \VW f gX sVjKdZg\Xd dXV c\Kgd Wf Wd[Kóü ñáöþ
e
e
eü
çãõ öåþí ü àêíèêí e e e
êçèõïãåí ü ü j Zg WmW cZdZgfZgKd \VW fü Ù ãèí ü áçõïãè öãõõü Gã? êö
e e e
e
e
]
êçèõïãåí ü Cáõæáõñ ü ½ ü éDéòöêðãè Fòòöêäåéáïåêíõ ýêö îçïåçãðãç êþ
èãçõ ?åïñ åíáöù Cãõòêíõãõ êü õ\j[Xde \q ZóW ü\ïde cZdZgfZgKde c\KgWZï^ cW[gWf
î ü ÚìÛ
êçèõïãåí ü ü Cáõæáõñ ü ½ü çã?åõü Dü Möáòãöü Mü öê?íãü ¼ü áíûü ü ¼êê èþ
ñêîõãü ½C ü ü î jfW[ÿf NjgVW Z\ ôùgü Díõïåï]îïã êý èîëáïåêí öåóóçãü ½ ü =ïáöéãöü êëñ ü ü éFíáçùõåõ êý áïãûêöåëáç Máïá
æù àåíãáö êèãçõ êü ðg\hWZ[gKf ýü Ûì Û áéãöçãü F êííåíûü ü áíãç áíáçùõåõ ýêö ÿîáçåïáïåðã ðáöåáæçãõü gX
Föéåíûãöü çêûû =êæãç ü ãèõü éF áíèæêê ýêö =ïáïåõïåëáç
ê èãçåíû åí ïñã =êëåáç áíè ãñáðåêöáç =ëåãíëãõ êü çãíîéü Gã? êö ü òò Ûì
]
Û
áöïóãç ü ½ü àåî ü Dþ Fûöãõïå ü F Ù
ü éMãõëöåæåíû ãïãöêûãíãêîõ ãëïõ åí
=ïöáïå ãè öèåíáç êíïåíûãíëù Láæçãõü ?åïñ Fòòçåëáïåêí ïê îçïå ãíïãö
ëçåíåëáç ïöåáçõ êü J\hk jZdZg\Xde cZdZgfZgKf dXV í dZd îXdeïfgf ûýü ÛÙìþÛ
ãèûãõü à @ çåí ü D ü cZdZgfZgKd WZó \Vf q \[ WZdYdXd fgfü Fëáèãéåë
e
eï
öãõõü Gã? êö
]
õåáêü ü îXd fgf \q ø dXW dZdü áéæöåèûã Eíåðãöõåïù öãõõü Gã? êö
eï
eí
]
çããü ½ ü éF Gêïã êí DGE ýêö Gêöéáç ê èãçõ êü dZóWhdZgf KóW k WY
[dZg\Xfq \[f KójX jXV cZdZgfZg ëü ì Û N
î ü F ü éFõùéïêïåëáççù Eíæåáõãè õïåéáïåêí åí ãíãöáçåóãè àåíãáö
ê è]ãçõ ?åïñ Cáíèêé ãëïõ êü õ\j[Xd \q ZóW \ d cZdZgfZgKd c\KgZ ýëü Úì
e
ü ï e
e
ï
Û
àããü ] Gãçèãöü ½ F ÙÙ
ü éFíáçùõåõ êý Eçëãö èáïá Eõåíû åãöáöëñåëáç ãíãþ
öáçåóãè àåíãáö êèãçõ êü cZdZgfZgKf gX WVgKgXW aü ì ÙÙ
àêíûýêöè ü G ü üdXV\h K\W KgWXZ h\VWeft ò dXVn\\ \q cZdZgfZgfKde \VWegXN
q \[ ZóW c\Kgde dXV ðWó dmg\[de c KgWXKWfü çãíîé öãõõü Gã? ]êö
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
ÙÛ
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
àîæåí ü ½ ü çêï ü ¼ ½ü ãööåíêü ü çáéáíï ü Cü åççåõü Cü îíóãü ü
=ëñé>?ñç ü M @åõëêü Û
ü éáïïãöíõ êý àîíû áíëãö Cåõû Fëëêöèåíû
ïê Lùòã êý åûáööãïïã =éêãè êü XZW[XdZg\Xde õ\j[Xde \q JdXKW[ ûûü ì êíïãöêü Ù
ü Fíôçåõåõ èã ïáæçáõ èã ëêíïåíûãíëåá îí ãíýêÿîã éîçïåíåðãç ü
Lãõåõ èã èêëïêöáèêü áëîçïáè èã áïãéôïåëáü Eíåðãöõåèáè èã àá áæáíáü àá
áæáíá êíïãöêü ü áõïãçç ü ãèáü Ù
ü éåïïåíû á îçïåçãðãç ê èãç ïê á
=áéòçã êý êíïåíûãíëù Láæçãõ îõåíû ïñã = Fòòöêáëñ êü WmgfZd XmWfZg dY
ü
N
KgiX k W[dKg\Xd ú Ú
ü ÙÛì Ù Û e
êíïãöêü ü áõïãçç ü ãèáü Ù
ü éFíáçùõåõ êý á êíïåíûãíëù Láæçãõ
õáéòçã F =åéîçáïåêí =ïîèù êü üWmgfZd JgWXKgdf dZWhZgKdf ñ ü ÚìÙ
êíïãöêü îãööáü @ Ù
ü éõïåéáïåíû îçïåçãðãç ê èãçõ ýêö áïãûêöåþ
ëáç Máïá ðåá ãíãöáçåóãè àãáõï =ÿîáöãõ êü üWmgfZd J\e\hngdXd VW sfZdVfZgKd^
a
ü Úì Cáêü C Ú
ü gXWd[ cZdZgfZgKd Xq W[WXKW dXV Zf îkk gKdZg\Xfü õãûîíèá ãèí ü
e
½êñí ¼åçãù ô=êíõü Díë ü Gã? e êö
]
Cîèáõü L ü éF êíïã áöçê êéòáöåõêí êý ïñã =éáçç =áéòçã ãñáðåêö êý
ïñã ãáöõêí ü ïñã àåãçåñêêè Cáïåê áíè ïñã öãõõåãþCãáè =ïáïåõïåëõ êü õ\j[Xde
\q cZdZgfZgKde J\hk jZdZg\X dXV cghjedZg\X ÙÛ
ü ì Ù
=ëñéåèï ü L ü =òåãûãçñáçïãöü M ½ Lñêéáõü F ü éáùãõåáí Fòòöêáëñãõ ïê
Cáíèêé êããëïõ ãïáþáíáçùõåõ F êéòáöáïåðã =ïîèù êü cZdZgfZgKf gX WVgKgXW
añ ü Ùì Ù
=íå èãöõü L F êõãöü C ü XZ[\VjKZg\X Z\ ð dfgK dXV îVmdXKWV j Y
e
Zg WmW \VW gX ü =áûãü àêíèêí e e
ee N
Lîöíãöü C ü éáöü C Aü áíûü ü êçèõïãåí ü Lñêéòõêí ü = Ù
ü
] á á á ùõ õ êý ë ëá ö á õ
éîçïåçãðãç éê èãçõ ýêö éã
ï þ í ç å çåíå ç ï å ç ?åïñ æåíáöù êîïëêéãõ êü
K
WV
K
W
ü
g gX aö ÚÛ ì ÚÛÚÙ cZdZgfZg f gX
8 .+,)* Þ
`=;:=F@ ûb c WdX df hdZ[gKWft
e
V ∗λ = R ⊗ R+ [R ⊗ R (1) , R ⊗ R (2) , . . . , R ⊗ R (n)] y
Θ = 2 (R ⊗ R) ,
V h Z[gKWf fghZ[gKdf Kjd Wf ljgW[d VW \[VWX
W Z KW W Kjhk Wt
ï A ï B \f d
e
n × n r X \X f f
e
−
→
−
→
i) V ∗λ B = Θ B
−
→
−
→ −
→
−
→
ii) A 0 V ∗λ B = A 0 Θ−1 B
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
*+,-./010 .23, 4 567,+031, /. .83015-092 .2 1,/.6,8 1:63020; .6 < 5+5 <+,< ,+-0,2.8
ÙÛ
23(',/-( +* -.,-(4 )61+'1+(4 3*.*'12,
1+(4
,/*'1/,7(4
$ #$ # $$ $ #$$ $ $ $ $ $ "
Díýãëëåìí OLêïáç
VVf [dZg\ àêû C @áöåáíóá àêû C
Löáïáéåãíïê êíïöêç
ü OÛ ÙOÛ
üÙ
üÙÛ
− ÛOÚ
ÙüÛ
üÚ
ÙÛOÛ ü
−
üÛ
ü
ÙO
ÚO
ü
−
üÚÚ
OÛ
O
Úü
üÛ
−
OÛ
üÛ
ÙOÛ
üÙÚ
üÙ −
ÚOÛ
ÙO
ü
ÙüÙ
ü
−
ÙO
üÙ
ÚO
üÙ
üÙ
−
OÙ
ü
ÙO
üÛ
ÚüÙÚ
−
O
üÙ
OÙ
ü
Ùü
−
ÛÛOÛ
ÙÙOÛ
ü
Ùü
üÛÛ
−
ÙOÙ
ÚO
ü
üÙÚ
ü
−
ÛO
Ú OÙ
ü
üÛ ü
−
OÛ OÚ
üÚ
ü
üÙ
−
ÛO
ÙÙOÚ
üÛ ü
ü
−
ÛOÛ
OÛ
ü
ÙüÙ
ÙüÙ
−
Ú OÚ OÛ
üÛ ü
ü
−
ÙO
üÙÙ
ÛO
üÚ
üÚ
−
ÛÙOÙÙ
Ú OÙÙ
ü
üÚÛ
ü
−
ü
O
ÙO
ü
üÙÚ
−
OÙ
ü
ÚO
ü
üÛÙ
−
Û OÙ
ÚüÙ
ÙüÙ
ÙÚOÙÚ
üÚ
−
ÚO
O
ü
ü
üÚ
−
PQRSQ U ­
íõáùê
Ù
Ú
Û
Ù
Ú
Û
Ù
Ù
ÙÙ
æïãíãö
ãõïåéáëåêíãõ åíåëåáçãõ èã çêõ òáöôéãïöêõ êõ îïåçåóáíèê îí á îõïã
ã
éø
éêõ
è íå ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõ òáöá èáïêõ ëáïãûìöåëêõü áõîéåãíèê ÿîã
çêõ ãööêöãõ áçãáïêöåêõ ãí ãç íåðãçþÙ ïåãíãí ðáöåáíóá Ù F òáöïåö èã ãõïáõ ãõïåéáëåêíãõ ýêöéáö çêõ öãõåèîêõ ¹ ëöîèêõº
e (p) = F (p) − AΓ
b
F
Ú áçëîçáö çá éáïöåó èã òöêèîëïêõ ëöîóáèêõ F (p)∗ = Fe (p) Fe (p)0 −→∗
Û êöéáö ãç ðãëïêö F (p)∗∗ = −F−−(p)
.
→
=åéåçáöéãíïãü ëêíõïöîåö ãç ðãëïêö −
V
λ
ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
Ù
$ ¹$ º$ º" ¯$ Ü º $ º
àá öãçáëåìí ãíïöã çêõ ðãëïêöãõ èã íåèêõ ãí çêõ òáõêõ Û ù õã òîãèã ãäòöãõáö
éãèåáíïã ãç éêèãçê çåíãáç E F (p)∗∗ = Z ∗ λ, èêíèã z∗ ãõ çá éáïöåó èã
èåõãBê òáöá çêõ òáöôéãïöêõ áçãáïêöåêõ ê õãáü çêõ ãçãéãíïêõ èã Ωu ù Ωe ) àîãûêü ãí ãõïã òáõê ãõ òêõåæçã òêõïîçáö ãç éêèãçê F (p)∗∗ = Z ∗ λ + R áöá ãõïåéáö õã áòçåëá éøíåéêõ ëîáèöáèêõ ûãíãöáçåóáèêõü ê õãá λ
−1 0
∗∗
b = Z ∗0 V ∗− Z ∗
λ
Z ∗ V ∗−
λ
λ F (p)
èêíèã V ∗λ = Vb λ ⊗ Vb λ ù ê ïã áõ ãí ãç òáõê áíïãöåêö õã õîõïåïîùãí ãí àáõ ãõïåéáëåêíãõ èã
Ωu Ωe æ íåè
V λ = XΩu X 0 + Ωe
=ã
ëáçëîçáí íîãðáõ ãõïåéáëåêíãõ èã çêõ ãýãëïêõ êõ éãèåáíïã ãç ãõïåéáèêö
éøíåéê ëîáèöáèê ûãíãöáçåóáèêü îïåçåóáíèê çá ãõïåéáëåìí ãí ãç òáõê òáöá çá
éáïöåó èã ðáöåáíóá ù ëêðáöåáíóáü êæïãíå÷íèêõã áõø Cãïêöíáö áç òáõê
−1
−1
b
b = A0 Vb −1
Γ
A
A0 Vb λ F (p)
λ
Ùü òãöê îïåçåóáíèê Γbb ãí çîûáö èã Γb ç áçûêöåïéê áçïãöíá ãíïöã çáõ ãõïåéáëåêíãõ èã çêõ òáöôéãïöêõ êõ ù áçãáïêöåêõ
áõ
ï
ñ á ÿîã ãç òöêëãèåéåãíïê ëêíðãö á ÀÕÄÁà¾Æ¾ÊÄÂÌ ÔÀ ÈÁÃÂÔ ÁÃÄÍ !! "#$%$& #''( #)$
