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Pensamiento Variacional y
Tecnologías Computacionales
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Pensamiento Variacional y
Tecnologías Computacionales
PROYECTO
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y
Media de Colombia
Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.
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PROYECTO
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Básica Secundaria
y Media de Colombia
LUIS MORENO ARMELLA
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA
Asesor Internacional
CINVESTAV – IPN, México
Coordinadora General del Proyecto
EDITOR
Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.
Elaborado por:
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.
Ministerio de Educación Nacional.
HENRY URQUINA LLANOS.
Ministerio de Educación Nacional.
ERNESTO ACOSTA GEMPELER.
Escuela Colombiana de Ingeniería.
Con la colaboración de:
FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA.
Instituto Pedagógico Nacional.
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Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:
ENLACE EDITORES LTDA.
Primera edición: 1.500 ejemplares
ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional - MEN
Derechos reservados
DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA
Impreso en Colombia
Bogotá, D.C., Colombia
Abril 2004
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INSTITUCIONES PARTICIPANTES
La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción
del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones
educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.
UNIVERSIDADES
Universidad de Antioquia
Facultad de Educación.
Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.
Universidad del Norte
Departamento de Matemáticas.
Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.
Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”
Facultad de Ciencias y Educación.
Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.
Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.
Universidad Pedagógica Nacional
Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.
Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias.
José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.
Universidad de la Amazonía
Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.
Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.
Universidad Popular del Cesar
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.
Universidad de Caldas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.
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Universidad del Cauca
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.
Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.
Universidad de la Guajira
Facultad de Ciencias Básicas.
Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.
Universidad de los Llanos
Facultad de Educación.
Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.
Universidad del Magdalena
Departamento de Matemáticas.
Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena.
Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.
Universidad de Nariño
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.
Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.
Universidad “Francisco de Paula Santander”
Facultad de Ciencias Básicas.
Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.
Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.
Universidad del Quindío
Departamento de Matemáticas.
Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.
Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.
Universidad Tecnológica de Pereira
Departamento de Matemáticas.
Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.
Universidad de Sucre
Facultad de Educación.
Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.
Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.
Universidad Industrial de Santander
Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas.
Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.
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Universidad Surcolombiana.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila.
Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.
Universidad del Tolima
Facultad de Educación.
Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.
Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.
Universidad del Valle
Instituto De Educación y Pedagogía.
Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.
Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.
Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Matemáticas y Estadística.
Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.
Universidad de Córdoba
Facultad de Educación.
Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.
Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
Dirección de Ciencias Básicas.
Ernesto Acosta Gempeler
SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN
Secretaría de Educación Departamento del Atlántico
Yolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.
Secretaría de Educación Departamento del Putumayo
Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.
Secretaría de Educación Departamento del Huila
Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.
INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA
Departamento de Antioquia
Colegio Santa Teresa. Medellín.
Normal Superior. Envigado.
Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas.
Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.
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Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.
Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.
Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.
Departamento del Atlántico
Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.
Instituto Pestalozzi. Barranquilla.
Normal Superior Santa Ana. Baranoa.
Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.
Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.
Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.
Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.
Departamento de Amazonas
Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.
INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.
Bogotá D.C
Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).
Colegio Distrital Heladia Mejía.
Instituto Pedagógico Nacional.
Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.
Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).
Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).
Colegio República de Costa Rica.
Departamento de Boyacá
Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.
Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.
Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.
Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.
Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.
Colegio Julius Sierber. Tunja.
Departamento de Caldas
Normal Superior de Caldas. Manizales.
Colegio la Asunción. Manizales.
Normal Superior María Escolástica. Salamina.
Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.
Departamento del Cesar
Normal Superior María Inmaculada. Manaure.
Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.
Colegio Nacional Loperena. Valledupar.
Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar
Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar.
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Departamento del Caquetá
Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia.
Colegio Nacional La Salle. Florencia.
Escuela Normal Superior. Florencia.
Colegio Cervantes. Morelia.
Departamento del Cauca
Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.
Instituto Técnico Industrial. Popayán.
INEM Francisco José de Caldas. Popayán.
Instituto Nacional Mixto. Piendamó.
Departamento de Córdoba
Normal Superior. Montería.
Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.
Colegio Marceliano Polo. Cereté.
Departamento de Cundinamarca
Instituto Técnico Industrial. Tocancipá.
Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.
Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.
Colegio Departamental San Juan de Rioseco.
Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.
Departamento de la Guajira
Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.
Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.
Colegio La Divina Pastora Riohacha.
Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao.
Normal Superior San Juan del Cesar.
Departamento del Huila
INEM Julián Motta Salas. Neiva.
Liceo Santa Librada. Neiva.
Normal Superior. Neiva.
Normal Superior. Gigante.
Departamento del Meta
Normal Superior María Auxiliadora. Granada.
Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.
INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.
Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.
Departamento del Magdalena
Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.
Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.
Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.
Normal de Señoritas. Santa Marta.
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Departamento de Nariño
INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.
Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.
Liceo Central Femenino. Pasto.
Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.
Colegio Nacional Sucre. Ipiales.
Normal Superior. Pasto.
Colegio María Goretti. Pasto.
Departamento de Norte de Santander
Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.
Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.
Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.
Departamento del Putumayo
Colegio Alvernia. Puerto Asís.
Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.
Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.
Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.
Departamento del Quindío
Instituto Técnico Industrial. Armenia.
Normal Superior. Armenia.
Colegio los Fundadores. Montenegro.
Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.
Instituto Tebaida. La Tebaida.
Colegio Teresita Montes. Armenia.
Departamento de Risaralda
Instituto Técnico Superior. Pereira.
Normal Superior de Risaralda. Pereira.
Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.
Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.
Departamento de Sucre
Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.
Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.
Normal Superior de Corozal. Corozal.
Departamento de Santander
INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.
Centro educativo Las Américas. Bucaramanga.
Escuela Normal Superior. Bucaramanga.
Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.
Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.
Colegio Nacional Universitario. Socorro.
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Departamento del Tolima
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.
Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.
Colegio Nacional San Simón. Ibagué.
Normal Superior. Ibagué.
INEM Manuel Murillo. Ibagué.
Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.
Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.
Departamento del Valle
Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.
Normal Superior de Señoritas. Cali.
Colegio Manuel María Mallarino. Cali.
Colegio Mayor. Yumbo.
Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.
Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.
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AGRADECIMIENTOS
La Dirección de Calidad de la Educación
Preescolar, Básica y Media del Ministerio
de Educación Nacional agradece de manera
especial:
procesos de desarrollo, innovación e investigación en el uso de Nuevas Tecnologías en
la Educación Matemática.
A las Secretarías de Educación Departamentales, Distritales y Municipales que
han asumido el liderazgo y gestión de los
procesos de incorporación de nuevas tecnologías informáticas en sus territorios.
A los niños y niñas colombianas de las
diversas regiones que sustentados en su inteligencia, talento y capacidad creativa vienen
aprovechando las posibilidades que brindan
las nuevas tecnologías para aprender unas
matemáticas con sentido para sus vidas y que A los Consejos Directivos y rectores de las
Instituciones educativas de básica y media
nos han permitido construir e implementar
que han hecho posible la generación de
situaciones y propuestas para el estudio de la
condiciones para la implementación y sostevariación y el cambio en el contexto escolar.
nibilidad del proyecto en sus instituciones.
A los Coordinadores del proyecto que han
dinamizado el trabajo a nivel regional permi- A los padres de familia que consientes de la
necesidad de aproximar a las nuevas genetiendo la construcción de situaciones para el
raciones en conocimientos y experiencias en
trabajo de aula sobre la variación y el cambio
punta, han apoyado y contribuido a la incorcon tecnología.
poración de nuevas tecnologías en la educación matemática.
A los maestros y maestras del país que han
asumido el compromiso y reto de avanzar en
el diseño, implementación y evaluación de A los investigadores e innovadores que
vienen aportando en la generación de conolas situaciones de aula sobre la variación y el
cimiento y experiencias significativas sobre
cambio con tecnología.
el uso de nuevas tecnologías en la educación
matemática.
A las Universidades que han asumido el liderazgo regional y el acompañamiento a los
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CONTENIDO
INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XI
AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX
CONTENIDO. .............................................................................................................................. XXI
PRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIII
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ XXV
CAPÍTULO 1
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. ..............................1
1.1 Los inicios: un mundo cambiante..................................................................................1
1.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones
de variable, dependencia o función . ...................................................................................1
1.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada (abreviada) y la
ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio.. ......3
1.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual)
y el surgimiento de la Variable y la Función. .....................................................................5
1.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual)
y de la Función como Representación de Procesos de Variación y Cambio. .....................7
1.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio
y comprensión sistemática de la variación y el cambio .....................................................9
CAPÍTULO 2
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA. ........................11
2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación
Matemática. .......................................................................................................................11
2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio
de la variación y el cambio. ...............................................................................................11
2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos
en el Currículo de Matemática de Colombia. ....................................................................13
CAPÍTULO 3
EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ...................................................................................................17
3.1 Situaciones de Variación y Cambio. ............................................................................17
3.1.1 Descripción e interpretación de situaciones de variación y cambio
desde un punto de vista cualitativo.. .......................................................................18
3.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones. ...........................19
3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación
y cambio..................................................................................................................... 19
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio. ...21
3.2 La variable y el concepto de función. .........................................................................21
3.3 La modelación variacional: un ejemplo. .....................................................................23
CAPÍTULO 4
USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. ....................................................................................27
4.1 Los programas de geometría dinámica........................................................................27
4.2 Las calculadoras graficadoras. ....................................................................................28
CAPÍTULO 5
SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL
CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA. ....................................................................................................31
5.1 Propósitos y lineamientos generales ..........................................................................31
5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación
y cambio. ...........................................................................................................................32
5.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades ..............................................33
5.3.1 Observación y descripción de la situación. ...................................................33
5.3.2 Predicción de la gráfica. ................................................................................33
5.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación. .................33
5.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados.34
5.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información
obtenida en la tabla. ................................................................................................34
5.3.6 Hacer aproximaciones de la expresión algebraica que mejor relaciona
las variables. ...........................................................................................................35
5.3.7 Hacer el cálculo de regresión.........................................................................35
5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional
y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales ....................35
5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular. .........................................................35
5.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones. .......................................................37
5.4.3 La función seno y su gráfica. .........................................................................45
5.4.4 Estudio de la simulación del lanzamiento de un cuerpo. ...............................48
5.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar otras actividades. ..................................51
5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia .......................................................51
5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo ..........51
5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con
perímetro fijo ..........................................................................................................52
5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo .....................................................52
5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una
circunferencia y su área ..........................................................................................52
5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia
y la altura del trapecio ............................................................................................52
5.4.6 La derivada como razón de cambio ...............................................................53
BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................................63
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PRESENTACIÓN
El Ministerio de Educación Nacional, comprometido con el mejoramiento de la calidad de la
educación y respondiendo de manera efectiva a
las necesidades, tendencias y retos actuales de la
educación matemática, viene adelantando desde
el año 2000, la implementación del proyecto
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media
de Colombia, con el cual se viene instaurando
una nueva cultura informática en el país aprovechando el potencial formativo que brindan las
tecnologías computacionales, específicamente
los sistemas computacionales gráficos y algebraicos.
La columna vertebral del proyecto ha sido la
formación permanente de los docentes, centrada
en la reflexión sobre su propia práctica en el salón
de clase y en las posibilidades pedagógicas y
didácticas del recurso tecnológico. La dinámica
lograda viene impulsando la consolidación de
grupos de estudio regionales con profesores
de matemáticas de la educación secundaria y
media, de las universidades y con profesionales
de las Secretarías de Educación, de manera
que se ha enriquecido la reflexión teórica y la
experiencia práctica y se han creado condiciones
de sostenibilidad a largo plazo.
comprensión de lo que hacen, viene impulsando
en el país una verdadera revolución educativa,
una oportunidad para acceder a la información
y al conocimiento universal y la transformación
de las escuelas desde las particularidades de las
diferentes regiones que integran el país.
Maestros más creativos y comprometidos con
su ejercicio profesional; estudiantes activos
haciendo matemática y colocando en juego
todo su talento en horarios de clase y extra
clase; comunidades educativas que en ejercicio
de su autonomía se han cohesionado en torno
a la incorporación de tecnologías; articulación
entre los niveles educativos básico, medio y
superior; en síntesis, una gama de opciones
alternativas que nos permite creer firmemente
que la educación matemática será cada día de
mejor calidad.
Las reflexiones y propuestas sobre el estudio
de la variación y el cambio con mediación de
nuevas tecnologías computacionales gráficas
y algebraicas constituyen un aporte a la comunidad educativa para fortalecer los procesos
de formación de docentes, especialmente en la
construcción de ambientes de aprendizaje con
tecnología, y en una herramienta de trabajo para
promover la discusión y construcción nacional
Las posibilidades que brindan las tecnologías sobre la diseminación de la cultura informática
computacionales (computadores y calculadoras en la educación matemática colombiana.
gráficas y algebraicas), como instrumentos
mediadores en el aprendizaje de los alumnos,
en la construcción de conocimientos y en la Los autores
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INTRODUCCIÓN
El estudio de procesos de variación y cambio
constituye uno de los aspectos de gran riqueza
en el contexto escolar. El énfasis actual en la
educación matemática orientado hacia el desarrollo del pensamiento matemático a partir de
situaciones problemáticas significativas para
los estudiantes, hacen del estudio de la variación y el cambio con mediación de herramientas tecnologías computacionales gráficas
y algebraicas un campo de acción y formación
potente en la educación matemática del país.
Atendiendo a esto, en el presente documento se
presentan ideas y propuestas sobre el desarrollo
del pensamiento variacional y el uso de nuevas
tecnologías.
En el capítulo tres: “El pensamiento Variacional”,
se hace una aproximación conceptual a lo que
se asume en el contexto del documento por
variación, cambio, variable, función, los diversos
sistemas de representación y los momentos
para el estudio sistemático y la comprensión de
procesos o fenómenos de variación y cambio en
contextos escolares.
Se parte en el capítulo uno de una ubicación
de la “La variación y el cambio a la luz de la
histórica de las matemáticas”; en un esfuerzo
de síntesis, se ubican algunos de los momentos
relevantes de su estudio desde una perspectiva
histórica. El énfasis marcado en lo geométrico
y algebraico en las épocas de la antigüedad
clásica, la edad media y el renacimiento, han
hecho muy exigente el rastreo de la manera
como se ha estudiado la variación y el cambio
y, naturalmente los sistemas de representación
para ello construidos.
En el capítulo 5: “Situaciones Didácticas para
el Desarrollo del Pensamiento Variacional con
Mediación Tecnológica” se presentan diversas
situaciones didácticas que potencian el uso
de tecnologías computacionales dinámicas,
gráficas y algebraicas en el estudio de procesos
o fenómenos de variación y cambio.
En el Capítulo dos: “La variación y el cambio
en el Currículo de Matemáticas de Colombia”,
se ubica a los lectores en la manera como se
ha incorporado en la educación matemática
colombiana de los niveles de básica y media el
estudio de situaciones, fenómenos o procesos
cambiantes o variables.
En el capítulo cuatro: “Uso de Tecnologías
Computacionales”, se reconoce el potencial
mediador de los sistemas computacionales
dinámicos, gráficos y algebraicos en el estudio
sistemático de procesos o fenómenos variables
o cambiantes.
El particular enfoque en el tratamiento del
tema, en el sentido de reconocer y avanzar en
la comprensión de la variación y el cambio y
los sistemas de representación a ellos conexos
y, no al contrario, el partir de lo algebraico,
tabular o gráfico (en el mayor de los casos de
manera aislada o fragmentada), como sistemas
de representación privilegiados para modelar
fenómenos o procesos cambiantes o variables, han colocado un alto grado de exigencia
al proceso de producción de este documento.
Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu-
XXV
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
mentos y propuestas que se hacen, constituyen un de procesos de variación y cambio aprovechando
referente para potenciar el desarrollo del pensa- el potencial mediador de las nuevas tecnologías
miento matemático desde el estudio sistemático computacionales en el contexto escolar.
XXVI
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1
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO
A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Un mundo dinámico en permanente
transformación ha constituido el escenario
propicio para que el hombre se sensibilice e
interese por la comprensión de la variación y el
cambio en el transcurso de la historia.
sensible y observó fenómenos cambiantes, que
impulsaron el desarrollo de tecnologías materiales y simbólicas elementales (herramientas,
lenguaje gestual, lenguaje verbo icónico), que
sentaron las bases para el surgimiento posterior
de sistemas de representación escritos mucho
La comprensión científica de la variación tomó más complejos.
auge en el periodo comprendido entre los siglos
XIV y XVII en el que se centra el interés por el
estudio de las cualidades en situaciones como 1.2 La representación retórica
y los rudimentos del estudio
el movimiento, la intensidad luminosa o la
de las nociones de variable,
intensidad de calor, inspirados en los trabajos
dependencia o función
científicos de Aristóteles y de los filósofos escolásticos sobre tópicos como el infinito, el infinitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta, La consolidación de la escritura (Hacia el 3000
a.C), impulsó el surgimiento de diversos tipos e
1996, Pág. 457).
instrumentos de registro a través de los cuales
ha sido posible conocer el saber social y cultural
1.1 Los inicios: un mundo cambiante construido a partir de la antigüedad.
Desde la época prehistórica, cuando surgieron
las primeras nociones e ideas matemáticas
(Collette, J.P., 2000. Pág. 4-5), la observación
del cambio en la posición de las ramas de los
árboles por la influencia del viento; el desplazamiento de un lugar a otro para las labores de
recolección; el desarrollo de técnicas y herramientas para la caza y la pesca; la sucesión del
día a la noche y su relación con el cambio en la
posición del sol, la luna y las estrellas; el vínculo
entre la posición de los astros y los procesos de
producción agrícola; los aspectos cambiantes
de la vegetación y el tamaño de los rebaños de
animales domesticados; el desarrollo de rituales
colectivos con largas procesiones de participantes; permite inferir, que el hombre se hizo
A partir de tablillas de arcilla encontradas en
excavaciones arqueológicas, se ha podido verificar que en la época antigua (desde la aparición
de la escritura hasta la caída del imperio romano
en el 476 d. C), la civilización Babilónica
(ubicada en Mesopotamia – hoy Irak – 5000 a.
C), avanzó en lo que se denomina “álgebra retórica”, en la que los problemas se enunciaban
y solucionaban sin utilizar de manera sistemática notaciones algebraicas como las actuales.
De igual manera, resolvían en lenguaje verbal
(oral – escrito) lo que actualmente se conoce
como ecuaciones cuadráticas (por compleción
del cuadrado o por sustitución), algunas ecuaciones cúbicas y bicuadráticas y sistemas de
ecuaciones de varios tipos con dos incógnitas,
1
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
que incluían generalmente una ecuación lineal y empírica de la duración de un año. A partir de
una ecuación de segundo grado.
la observación de los cambios y constantes en
la visibilidad de una estrella (Sirio), en relación
Por ejemplo, uno de los problemas consistía en con la salida y ocultamiento del sol durante
“conocer la longitud del lado de un cuadrado determinadas épocas, estimaron y adoptaron
cuya área menos el lado es igual a 870°”, que un calendario civil con un año de 365 días,
equivale a resolver en la actualidad la ecuación dividido en 12 meses de 30 días, más cinco
; otro de los problemas conte- días extras al final; la única diferencia con el
nidos en los textos babilónicos eran del tipo calendario actual, es que los Egipcios, no inter, cuya solución se basaba en la utili- calaron el día adicional cada cuatro años, por
zación de una tabla que se ha encontrado, en lo que el calendario se iba retrazando poco a
la que se daban las combinaciones de la forma poco con respecto a las estaciones, y al cabo de
para 1 < n < 30.
1460 años volvía a la situación inicial (Kline,
M. 1994. Pág. 44 – 45).
En las transformaciones algebraicas (nombre con
el cual se le conocen actualmente), asumiendo La civilización Griega ( 2800 a. C – 600 d. C
de manera tácita las propiedades conmutativa y aprox., ubicada en el Asia Menor en el territorio
distributiva, consiguieron obtener algunas rela- continental europeo que constituye la actual
ciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pág. 26 Grecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas,
–29).
Delos y el norte de África), que a partir del siglo
VI a. C, se preocupó no sólo por investigar el
La civilización Egipcia (3100 – 322 a. C aprox.), “como”, sino sobre todo de establecer el “por
según se ha podido encontrar en papiros como qué” de las cosas, impulsó la transformación
los del Rhin y de Moscú, logró algunos avances de las matemáticas en una ciencia deductiva (al
en el campo algebraico. A partir del abordaje menos a partir de Pitágoras en el siglo VI a. C)
de problemas de la vida cotidiana, como: el (Collette, J.P., 2000. Pág. 66).
reparto de panes, grano o animales, la fermentación del pan, la cantidad de granos necesarios Como se ha podido encontrar a partir de los
para producir cantidades dadas de cerveza, o códices bizantinos manuscritos en griego,
la cantidad de granos de una calidad necesaria escritos entre 500 y 1500 años después de que
para obtener el mismo resultado con granos de fueran escritas las obras originales griegas
otra calidad, cuya “fuerza” relativa al primero (Kline, M. Pág. 49), fundamentados en una escrifuera conocida, la estimación de la comida de tura basada en un alfabeto fácil de aprender y en
los animales y el almacenamiento de productos sistemas de numeración en base 10 (“Ático” o
alimenticios, etc., avanzaron en la solución “Herodiano” y “Jónico” o “Alfabético”), invenverbal de ecuaciones lineales aplicando el taron procesos geométricos ingeniosos para
método de la falsa posición y en el trabajo llegar a solucionar problemas algebraicos.
con progresiones aritméticas y geométricas,
empleando unos pocos símbolos (Collette, J.P., Según algunos historiadores, especialmente
2000. Pág. 40 – 58; Kline, M. 1994. Pág. 44).
en el libro II de los elementos de Euclides, la
más importante y singular obra de las mateDebido a lo esencial del Río Nilo y la incidencia máticas griegas, dan a entender cierta geomede sus inundaciones periódicas en la producti- tría algebraica, en la que las construcciones
vidad de su población, lograron la estimación geométricas tienen la misma función que las
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
operaciones algebraicas. Euclides resuelve los
primeros teoremas con conceptos geométricos.
El concepto de “magnitud” se usó para determinar cualquier objeto geométrico, el segmento
de una línea o bien una figura, y los teoremas
tratan las construcciones y las relaciones entre
dichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000).
las primeras relaciones funcionales ligadas a
problemas principalmente astronómicos, en
forma tabulada a partir de interpolaciones generalmente lineales, que alcanzan su mayor precisión en el Almagesto de Ptolomeo que llega a
introducir con su tabla de cuerdas la función
seno. No obstante, ni estas funciones tabuladas
ni los trabajo sobre curvas ligados al estudio de
En la línea de la denominada geometría alge- las cónicas, realizados por los Griegos, princibraica, se destacan la demostración de identi- palmente por Apolonio, llevaron al parecer a
dades algebraicas y la solución de ecuaciones ningún tipo de consideración general sobre la
cuadráticas, a partir de dos métodos: el método idea de variable o de función.
de las proporciones y el método de la aplicación
de las áreas.
Algunos obstáculos conceptuales que hicieron
que en la época antigua el estudio de fenóPor ejemplo, el método de la aplicación de las menos de cambio sea aún muy reducido y que
áreas, consistía en llevar sobre una recta (como las aproximaciones cuantitativas y cualitativas
base), con un ángulo dado, un paralelogramo que de dichos fenómenos se hallen todavía totaldebía ser igual (en superficie) a cualquier figura mente disociadas y por tanto no sea posible
rectilínea dada. En los problemas más difíciles, hablar de la formulación explícita de nociones
el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la como variable, dependencia o función, estubase, o ser inferior a la línea dada para un parale- vieron relacionadas con: el uso de proporciones
logramo semejante (Collette, J.P., Pág. 79 – 81). o la disociación entre número y magnitud, así
como el carácter eminentemente geométrico de
Como señalan Azcárete y Deulofeu (1996), la matemática griega y a ellos cabría añadir los
a pesar de que las ideas de cambio o cantidad problemas debidos al simbolismo, totalmente
variable no eran ajenas a los Griegos, que habían inexistente en lo que se refiere al estableciconsiderado problemas sobre movimiento, miento de expresiones algebraicas, a excepción
continuidad o infinito desde los tiempos de de los interesantes intentos de Diofanto, aunque
Heráclito y Zenón, y a los cuales dedica Aristó- en forma retórica, conceptualmente relacioteles buena parte de su física, se puede asegurar nado con la dependencia funcional (Azcárate J.,
que ni los aspectos de cambio ni los referidos al Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996).
movimiento fueron estudiados desde un punto
de vista cuantitativo por la ciencia griega, más
que en algunos momentos muy concretos que no 1.3 De la retórica a la comprensión
y representación sincopada
pueden hacer cambiar la idea general de que el
(abreviada) y la ampliación de
estudio de la matemática pura prevaleció sobre la
algunas relaciones funcionales
cinemática. Esta puede ser una razón importante
de fenómenos de variación y
para explicar por qué el concepto de función
cambio.
permaneció prácticamente en su prehistoria al
final de lo que hemos llamado la edad antigua.
Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales del
En términos generales, sustentan Azcárete Siglo XIV d. C, se introdujeron algunas abrey Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen viaturas para las incógnitas y las relaciones de
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
uso frecuente, pero los cálculos se desarrollan
en lenguaje natural, que dio origen a la denominada álgebra sincopada, caracterizada por el
empleo de síncopas o abreviaciones.
blecidos; la intensidad se considera en relación
a su “extensión” con el tiempo o la cantidad
de materia. En el transcurso de estos estudios,
y al margen del valor concreto de cada uno de
ellos, empiezan a aparecer conceptos fundamentales como cantidad variable, entendida
como un grado de cualidad, velocidad instantánea o puntual, aceleración, todos ellos íntimamente ligados a la idea de función (Azcárate
J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996)
Este periodo que comprende la época histórica
de la Edad Media, se caracteriza en el campo de
las matemáticas por el trabajo de las árabes, que
retomaron el relevo de los griegos y permitieron
que el legado de estos llegara a occidente. En
relación con la idea de función, a pesar del
notable incremento en el número de funciones
consideradas, que abarca, entre otras, la mayoría
de funciones trigonométricas, así como la
mejora de los métodos de estudio de las mismas,
ampliando y perfeccionando los sistemas de
interpolación esenciales para la tabulación de
funciones, no es posible hablar de un cambio
sustancial en el tratamiento de las mismas, ni
se tienen indicios que permitan pensar que los
árabes avanzaron hacia el concepto general.
De la escuela francesa se destaca Nicolás
Oresme, que continuando el estudio sobre los
fenómenos que cambian, abre una nueva vía al
proponer una aproximación geométrica, frente
a los estudios cinemático – aritméticos desarrollados hasta el momento, en su teoría sobre
las latitudes de las formas (Tratado De configurationibus qualitatum et motuum), que se
fundamenta en el uso de segmentos rectilíneos
para representar todo lo que varía, ya que todo
lo medible puede imaginarse como un cantidad
continua, pasando después a la representación
de diversos tipos de cambio. De esta forma, por
ejemplo, para representar la velocidad de un
móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un
segmento horizontal cuyos puntos representan
los sucesivos instantes de tiempo (longitud) y
para cada instante traza un segmento perpendicular (latitud) cuya longitud representa la velocidad en aquel instante.
No obstante, es importante destacar, que una
de las preocupaciones de la Edad media, fue
el estudio de las cosas sujetas al cambio, y en
particular del movimiento. Las escuelas de
filosofía natural de Oxford y París, dos de los
principales núcleos científicos de este periodo,
que tuvieron su mayor florecimiento durante el
siglo XIV y que consideraban las matemáticas
griegas como un instrumento esencial para
el estudio de los fenómenos de la naturaleza,
hicieron grandes aportes en los que se destacan
al inicio de un estudio cuantitativo del movimiento local no uniforme, partiendo inicialmente de las doctrinas aristotélicas.
A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo
de fenómenos adquiere gran relevancia. Se
analizan cualidades y formas, según la terminoFig. 1. Oresme y la representación del Cambio
logía propuesta por Aristóteles, de fenómenos
muy diversos como calor, luz, densidad, velocidad, que pueden poseer varios “grados” de La teoría de las latitudes de las formas de
“intensidad” que cambian entre dos límites esta- Oresme, destaca por el carácter general de los
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
primeros problemas abordados, pero pronto
restringe su campo con la distinción de tres
tipos de configuraciones, las uniformemente
uniformes (de latitud constante y por consiguiente la línea superior o de intensidades es
una recta paralela a la de las longitudes), las
uniformemente diformes (la variación de las
latitudes da una línea superior o de intensidad
igual a una recta) y las diformemente diformes
(la línea superior no es una recta), descritas
negativamente como las que no pertenecen a
ninguna de las configuraciones anteriores. Con
este tipo de representaciones, que recuerdan
mucho la llamada representación gráfica de una
función sobre unos ejes cartesianos, Oresme
pretende que se entienda más fácil y más rápidamente la naturaleza de los cambios, ya sean
cuantitativos o cualitativos, de forma que sea
posible dar una representación de todos ellos.
No obstante no se puede considerar estas representaciones como la expresión de una dependencia en sentido actual.
Pág. 4). Desde distintos puntos de vista, desde
esta época, se da paso al nacimiento primero de
la geometría analítica y luego del cálculo infinitesimal, con el consiguiente progreso para el
estudio de las funciones que permitirá la aparición de las primeras definiciones así como el
término de función.
Los avances de Galileo sobre el estudio experimental del movimiento usando ingeniosos
instrumentos para tomar medidas que le permitieron establecer leyes entre magnitudes que
son auténticas relaciones funcionales, a pesar
de basarse y expresarse en la clásica teoría
griega de las proporciones, resulta decisiva
para el establecimiento del concepto matemático de función.
Hasta el siglo XVII, un a función podía introducirse utilizando una expresión verbal, una
tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos
una comparación de carácter cinemático.
Hacia 1637, Descartes Publicó su trabajo “La
géométrie”, libro que marca el nacimiento
y expansión de la geometría analítica, que
permitirá, a partir de este momento, interpretar
curvas y superficies por medio de ecuaciones,
y que un siglo más tarde llevó a la algebrización de la geometría. Esta idea fundamental,
afectó de forma decisiva a las funciones, ya
que en este mismo trabajo aparece por vez
primera el hecho de que una ecuación en x e
y es una forma para expresar una dependencia
entre dos cantidades variables, de manera que
a partir de ella, es posible calcular los valores
de una variable que corresponden a determinados valores de otra.
1.4 La transición hacia
sistemas de representación
simbólica(algabraica actual) y el
surgimiento de la Variable y la
Función
El apogeo en el estudio sistemático de procesos
de variación y cambio relacionados con el movimiento, la intensidad luminosa y la intensidad de
calor, se da en el periodo que va desde el Siglo
XV hasta el Siglo XVII, con los trabajos de Tartaglia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis,
Newton y Leibniz, que construyeron a partir
de Vieta con influencia de Napier, Descartes y
Wallis, el álgebra simbólica (Sigma, 1985, Pág.
43). En el álgebra simbólica se usan letras para
todas las cantidades y signos para representar las
operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no
sólo para resolver ecuaciones sino también para
demostrar reglas generales (Malisani, E. 1999,
Siguiendo a Azcárate y Deulofeu, para llegar a
las ideas fundamentales, que permitieron con
el tiempo, considerar por un lado las funciones
como relaciones entre conjuntos de números,
más que como entre “cantidades”, y por otro
representar las función por medio de fórmulas,
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
se habían producido en el campo de las matemáticas dos avances muy importantes en la
segunda mitad del siglo XVI: los progresos realizados en la extensión del concepto de número,
con la configuración de los números reales y
la primera aparición de los números imaginarios, y la aparición del álgebra simbólica, en
la que cabe destacar la introducción de signos
para numerosas operaciones y especialmente la
utilización de letras para representar cantidades
desconocidas y coeficientes arbitrarios distinguiendo claramente una cosa de otra.
tiempos. El desarrollo en series de potencias
de una función tuvo una gran importancia, a
partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto
que durante mucho tiempo se convirtió en el
método fundamental para el estudio de las
funciones.
A manera de síntesis se puede señalar que
Newton hizo grandes contribuciones al desarrollo del estudio de las funciones, entre las que
se destacan:
- Su interpretación geométrico – cinemática
de los conceptos fundamentales del análisis
matemático, siguiendo las ideas de Barrow,
en las que tomando el tiempo como argumento analiza las variables dependientes
como cantidades continuas que poseen una
determinada velocidad de cambio.
Junto a Descartes, se destaca el trabajo de
Fermat, el cual en una publicación póstuma de
1679, escrita antes de 1637, expone los principios fundamentales del método de las coordenadas. Al igual que Descartes, tomó un eje de
referencia y en él un punto fijo, el origen de
segmentos variables, a partir de cuyos extremos
toma otros segmentos variables, generalmente - Sus ideas sobre el cálculo infinitesimal,
perpendiculares a aquellos, de manera que el
expuestas en uno de sus trabajos principales,
extremo de este segundo segmento dibujará
el método de fluxiones y series infinitas,
una curva que dependerá de la relación algeescrito en 1671 y publicado en 1736, en los
braica establecida entre los dos segmentos
que a partir de la exposición de sus ideas
variables. En esa memoria aparece, de manera
básicas a través de la mecánica, presentó los
más explicita que en Descartes, la ecuación
dos principales problemas del cálculo infide la recta, siguiendo la notación de Viète, así
nitesimal, la diferenciación y la integración,
como las ecuaciones de la circunferencia y de
en términos de movimiento, es decir dada la
las demás cónicas.
ley para la distancia determinar la velocidad,
para el primer caso, y dada la velocidad
Como se observa, Descartes consideró soladeterminar la distancia, para el segundo. En
mente las funciones algebraicas, excluyendo
efecto al determinar un movimiento x = f(t)
incluso las curvas mecánicas que no podían
sobre le eje x, en el tiempo t, lo que caracser tratadas según su método de análisis,
teriza dicho movimiento es su velocidad,
alejando así la vinculación de las matemáes decir el valor del límite del cociente de
ticas con la física, como fruto de su partidiferencias ∆x / ∆t. Esta velocidad, con la
cular visión de aquella ciencia. No obstante,
cual varía la variable x en el tiempo, es la
pocos años después, el descubrimiento del
que Newton llama “fluxión de x” que repredesarrollo de funciones en series infinitas de
senta asimismo por x, y dependientes de una
potencias, debido entre otros a Newton, redujo
variable primitiva t, el tiempo de manera que
notablemente las restricciones de Descartes,
la derivada de y respecto a x es el cociente de
haciendo posible la representación analítica de
dos fluxiones y´ / x´, lo que en la actualidad
la mayoría de funciones estudiadas en aquellos
se escribe como dy /dt: dx / dt.
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Gottfried W. Leibnitz, contemporáneo y rival
de Newton, otro matemático de la segunda
mitad del siglo XVII, contribuyó decididamente el concepto de función. Al igual que
Newton, sus primeras obras fueron dedicadas al estudio de las series infinitas. Hacia
1673, se dio cuenta que la determinación de
la tangente a una curva depende de la razón
entre las diferencias de las ordenadas y de
las abscisas cuando éstas tienden a cero, así
como el cálculo de las áreas depende de la
suma de las ordenadas o de los rectángulos
cuya abscisa tiende a cero y que ambos son
problemas inversos, llegando a la misma
conclusión de Newton que se encontraba ante
un método de gran importancia por su generalidad. Introdujo las notaciones que todavía
perviven para representar las diferenciales
(dx, dy) y para la integral ∫, una s estilizada
que es la inicial de la palabra suma.
1.5 La Consolidación del Sistema
de Representación Simbólico
(algebraico actual) y de la
Función como Representación de
Procesos de Variación y Cambio
En los siglos XVIII y XIX con los trabajos
de Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange,
Fourier y de Dirichlet se consolida el sistema
de representación simbólico del álgebra actual
y la noción de función como representación de
procesos de variación y cambio.
Durante el siglo XVIII el análisis matemático
va cobrando cada vez mayor importancia e
independencia como disciplina, perdiendo su
carácter geométrico y mecánico a favor del uso
casi exclusivo del álgebra.
La ampliación del concepto de función como
una de las representaciones de procesos de
El término función aparece por primera vez variación y cambio se desarrolló con toda su
en un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial- extensión en el siglo XIX, gracias a los trabajos
mente tiene un significado muy particular, de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros.
pues se refiere a un problema de cálculo de
ordenadas a partir de cierta propiedad de las La primera definición de función como una
tangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en expresión analítica, publicada en 1718, se debe
un sentido más general, aunque todavía poco a Jean Bernoulli, cuya notación no perduró,
preciso, y referido como siempre a cuestiones correspondiendo a Euler (1740) la notación f(x)
de geometría diferencial. Conjuntamente con utilizada hasta nuestros días. El término función
Jean Bernoulli, muestra cómo el deseo para se tuilizó por primera vez hacia 1698.
expresar mediante una palabra cantidades que
dependen de una cierta variable se encuentra Euler, uno de los grandes matemáticos del siglo
todavía restringida a las expresiones analíticas. XVIII, al inicio de su obra Introductio in analysis
En este sentido, una función arbitraria de x es infinitorum (1748) hace un detallado estudio del
una cantidad formada de manera cualquiera concepto de función y de otros relacionados con
a partir de x y de constantes, esta “manera este. Al definir las nociones iniciales se refiere
cualquiera” se entiende como una expresión a los términos constante, cantidad definida que
algebraica o trascendente. No obstante, cabe toma siempre un mismo valor determinado, y
destacarse que parece observarse una supera- variable, cantidad indeterminada, o universal,
ción de la concepción cinemática del término que comprende en si misma todos los valores
variable puesto que ésta se considera ya como determinados (refiriéndose a los valores del
un elemento genérico de un conjunto numérico conjunto de los números complejos o a alguno
cualquiera.
de sus subconjuntos). Al definir la función
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
sigue a Bernoulli: una función de una cantidad
variable es una expresión analítica formada
de cualquier manera a partir de esta cantidad
variable y números o cantidades constantes.
cada uno perteneciente al conjunto en el que
toman valores las correspondientes variables.
En el prefacio de su obra Institutiones calculi
differentialis publicado en 1755, aparece la
nueva definición, que no mantiene relación con
la anterior al desaparecer la idea de expresión
analítica: Si x es una cantidad variable, entonces
toda cantidad que dependa de x de cualquier
manera o que esté determinada por aquél se
llama función de dicha variable.
Posteriormente aborda el complejo problema de
establecer qué se entiende por expresión analítica, enumerando en primer lugar las operaciones
algebraicas, luego las trascendentes, como la
exponencial y la logarítmica, para ampliar el
campo a una infinidad de otras funciones obtenidas del cálculo integral, incluyendo la integra- En la transición al siglo XIX, Lagrange restringió
ción de ecuaciones diferenciales, pero sin llegar de nuevo el concepto de función al limitarlo a
a determinar claramente cuál es la amplitud del las llamadas funciones analíticas definidas por
término.
series de potencias, todas ellas continuas o con
un número reducido de discontinuidades, ya que
La restricción todavía imperante en esta es necesario recordar que el análisis, o estudio
primera definición dada por Euler desapareció de los procesos infinitos, se entendía, desde su
unos años más tarde. Ya durante la primera creación por Newton y Leibnitz, como referido
mitad del siglo XVIII habían aparecido dife- a las llamadas magnitudes continuas.
rencias de opinión sobre las maneras de representar funciones, cuando D’Alembert y Euler Fourier a través del estudio de las series trigonodieron sus soluciones al problema de la cuerda métricas, conocidas como series de Fourier, ya
vibrante, en la llamada “forma cerrada”, utili- abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar
zando un par de definiciones, arbitrarias, mien- funciones arbitrarias, supuso una gran revolutras que Daniel Bernoulli había encontrado una ción en su tiempo al lograr representar por medio
solución en términos de una serie infinita de de funciones analíticas, funciones arbitrarias
funciones trigonométricas. Y cómo esta última formadas por leyes analíticas distintas en difesolución parecía implicar el carácter periódico rentes intervalos de la variable independiente.
de la función, mientras que las funciones arbi- Como señala Boyer (1996), para Fourier, “…
trarias de D’Alembert y de Euler no eran perió- cualquier función y = f(x) se puede representar
dicas necesariamente, parecía que la solución por una serie de la forma:
de Bernoulli era menos General. Esta situación Y=1/2a +a cosx+a co2x+...+a cosnx+...+b senx+b sen2x+...+b senx+...
fue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824
serie que conocemos hoy con el nombre de serie
(BOYER, C., 1996).
de Fourier. Las representaciones por medio de
Euler al considerar que para la solución del tales series permiten un grado de generalidad
problema de la cuerda vibrante deben acep- mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a
tarse funciones o curvas de forma arbitraria, es las que se puede aplicar para estudiarlas, que
decir, que no satisfacen ninguna ley analítica, el que permite la serie de Taylor. Incluso si hay
planta el germen de una definición, que le llevó muchos puntos en los que no exista la derivada
a explicitar por vez primera la noción general de la función o en los que la función no sea
de correspondencia entre pares de elementos, continua…”.
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2
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Lejeune Dirichlet, discípulo de Fourier, que
casi siempre se refería a funciones continuas
o poco discontinuas, hablaba de los desarrollos en serie de funciones completamente
arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier,
mostrando que poseía ya el concepto general
de función. Según Boyer (1996), Dirichlet
propuso en 1837 una definición sumamente
amplia y general expresada de la siguiente
manera: si una variable y está relacionada con
otra variable x de tal manera que siempre que
se atribuya un valor numérico a x hay una regla
según la cual queda determinado un único valor
de y, entonces se dice que y es una función de
la variable independiente x. Esta definición
se acerca mucho ya a la idea moderna de una
correspondencia general entre dos conjuntos
de números reales, aunque en su época los
conceptos de “conjunto” y de “número real”
estaban lejos de tener un significado preciso.
Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla
propuso lo que se llama función de Dirichlet: sean a y b dos números reales distintos;
entonces si x es racional y = a, mientras que
si x es irracional y= b. Esta función es discontinua para todos los valores de x, y por tanto no
es diferenciable para ninguno de ellos. A pesar
de que ya no existe duda sobre la generalidad
de su definición, posteriormente, formuló un
conjunto de condiciones, conocidas como las
condiciones de Dirichlet, que debían satisfacer
las funciones por él consideradas.
punto del continuo de todos los valores reales
o complejos, o cuanto menos, en cada punto
e un intervalo dado. Pero, al considerar una
definición en términos conjuntistas, todas las
definiciones anteriores corresponden a casos
particulares de esta nueva generalización. Así,
se llega a plantear, que dados dos conjuntos
arbitrarios A y B una función (o aplicación) de A
en B es una ley que a cada elemento x de A hace
corresponder un solo elemento y de B; o si se
prefiere, una función de A en B es un subconjunto
F del producto cartesiano A x B tal que si (x, y)
y (x,z) pertenecen a F entonces y = z. Como
ratifican Azcárate y Deulofeu (1996), en esta
última generalización del concepto se pierden
muchos los atributos que tenían las definiciones
clásicas, como son la idea de variación, de
continuidad, de la variable como parámetro
temporal, de dependencia, característicos de
la mayoría de problemas que generaron la
necesidad del concepto de función.
1.6 La interacción entre sistemas
de representación ejecutables
en el estudio y comprensión
sistemática de la variación y el
cambio.
La transformación en las concepciones sobre las
matemáticas a finales del siglo XIX y durante
el siglo XX, continuaron impulsando el refinamiento en sus diferentes campos y en la manera
Paralelamente, hacia 1830, se desarrolló la de concebir los sistemas de representación de
teoría de funciones de variable compleja, debida procesos o fenómenos de variación y cambio.
ante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; con
este paso al campo complejo vienen a coincidir Los estudios sobre la variación y el cambio
en cierto modo los conceptos de función de agrupados en el análisis adquirieron mayor
rigor y surgieron nuevas definiciones generales
Lagrange y de Fourier – Dirichlet.
y precisas de conceptos como función, límite,
Posteriormente, con la introducción de la teoría integral y, finalmente, del concepto básico de
de conjuntos el concepto de función alcanza magnitud variable (se dio una definición riguun nuevo grado de generalización. Hasta ese rosa de número real) (ALEKSANDROV, A. D
momento, una función estaba siempre en cada & otros; 2003).
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Este mayor rigor se logró al mismo tiempo que se
hacían nuevos hallazgos en álgebra y geometría,
y culminó en su forma actual en los años 80 del
siglo XIX gracias a los matemáticos alemanes
Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso los
cimientos de la teoría de los conjuntos transfinitos, que desempeñan un gran papel en el desarrollo de las novísimas ideas de la matemática.
La esencia del análisis funcional se resume,
en que en el análisis clásico la variable es una
magnitud o “número”, en análisis funcional
se considera como variable la función misma.
Las propiedades de una función particular se
determinan, no como tales propiedades, sino en
relación con otras funciones. Lo que se estudia
no es una función aislada sino toda una colección de funciones caracterizadas por una u otra
propiedad; por ejemplo la colección de todas las
funciones continuas. Tal colección de funciones
constituye lo que se denomina un espacio
funcional. Este procedimiento corresponde, por
ejemplo, al hecho de considerar la colección de
todas las curvas sobre una superficie o de todos
los posibles movimientos de un sistema mecánico dado, definiéndose así las propiedades de
las curvas o movimientos particulares en su
relación con otras curvas o movimientos.
La mayor precisión que adquirieron los
conceptos de variable y función en conexión
con la teoría de conjuntos, fue esencial para el
posterior desarrollo del análisis. Se paso del
estudio de funciones más generales, y en esta
misma línea se generalizó también el aparato
del análisis, es decir, el cálculo diferencial e
integral. Fue así como a comienzos del siglo
XX, surgió la nueva rama del análisis: la teoría
de funciones de una variable; ligada principalmente a los matemáticos franceses Borel,
Lebesgue y N, N Luzón y su escuela.
La transición de la investigación de funciones
individuales a la investigación de una función
Surgieron igualmente otras teorías, como la variable es similar al paso de los números descoteoría de aproximación de funciones, que estudia nocidos x, y a las variables x, y.
los problemas relativos al mejor modo de representar aproximadamente funciones arbitrarias Con el advenimiento desde la primera mitad
mediante funciones “simples”, y en particular del siglo XX de las tecnologías informáticas y
mediante polinomios, que proporciona métodos su evolución hacia el uso de sistemas gráficos y
generales para el cálculo práctico de funciones algebraicos ejecutables, se a abierto un campo
y para la sustitución aproximada de funciones infinito de experimentación y desarrollo en el
complicadas por otras más sencillas.
campo de las matemáticas, con importantes
repercusiones en el campo de la educación.
Sobre la base proporcionada por el desarrollo
del análisis y la física matemática, y junto con Como se puede observar en capítulos posteriores,
las nuevas ideas de la geometría y el álgebra, la mediación de herramientas computacionales
ha madurado una nueva y extensa sección de la provistas de un sistema de álgebra simbólica
matemática, el llamado análisis funcional, que ejecutable, constituye un poderoso recurso en el
tiene un papel excepcionalmente importante en contexto escolar, para observar, explorar, conjela matemática moderna, construido a través de turar, representar modelar y simular situaciones
los trabajos de Hilbert, del matemático Húngaro de variación y cambio, a partir de la interacción
Riesz y el matemático polaco Banach.
entre sistemas de representación.
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO
EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA
Uno de los movimientos surgidos como
respuesta inmediata a las deficiencias que el
movimiento de las matemáticas modernas deja
en los estudiantes, es el conocido, como el
regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba
mucha importancia al manejo de las operaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico
tampoco mejoró el aprovechamiento de los
estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes,
eran capaces de resolver operaciones, muchas
veces no entendían el significado o sentido de
las respuestas. Había casos en que el estudiante
encontraba “la respuesta” a problemas cuyos
datos no tenían sentido o eran insuficientes.
2.1 El Movimiento internacional de
transformación y reforma de la
Educación Matemática
La década de los años 60 se caracterizó por un
gran movimiento internacional en el campo de
la educación matemática preocupado por actualizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente
en las escuelas e incorporar ciertos temas de
la denominada matemática moderna o nueva;
estos temas estaban relacionados con la teoría
de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores,
espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole
y otros, que al no ser presentados de manera unificada o coherente, hicieron que los programas
de matemáticas elaborados atendiendo estos
énfasis, aparecieran demasiado recargados,
difíciles y abstractos. Como consecuencia de 2.2 La Renovación Curricular de
Matemáticas en Colombia:
esto “en los países donde se adoptaron estas
impulso al estudio de la
medidas de manera precipitada, el número de
variación y el cambio.
estudiantes de matemáticas de los dos últimos
años de la escuela secundaria descendió seriaEn el caso colombiano, a mediados de la década
mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971)
de los años 70’s, como manera de avanzar en
Durante la década de los años 70, en reacción la construcción de un currículo que respondiera
al movimiento de la matemática moderna y a las necesidades del país, en el marco del
su énfasis en el carácter abstracto y formal de “Programa Nacional de Mejoramiento Cualitala matemática escolar, surgen movimientos tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo
de vanguardia que reivindican una enseñanza como objetivo general “mejorar cualitativa y
más real, con problemas de contenido real y el cuantitativamente la educación sistematizando
papel de los problemas frente a lo rutinario de el empleo y generación de tecnología educalos ejercicios. Renuncian a los modelos tradi- tiva para ampliar las condiciones de acceso
cionales, entre los que incluyen las matemá- a la educación en forma equitativa, a toda la
ticas modernas, y se aproximan cada vez más población colombiana fundamentalmente de
a postulados pedagógicos y psicológicos que las zonas rurales”, se cimentó la renovación
curricular de matemáticas.
validen su modelo de enseñanza.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Los sistemas analíticos, se incorporan de manera
explícita dentro de los contenidos básicos para
la educación básica secundaria (6° a 9°), sustentados en el reconocimiento de la importancia,
necesidad y pertinencia del estudio de situaciones de cambio. A este respecto fundamentalmente proponen:
En el contexto de la estrategia de renovación
curricular, teniendo como sustento los fundamentos Generales del Currículo que integraron
aspectos legales, filosóficos, epistemológicos,
sociológicos, psicológicos y pedagógicos que
permitieron proponer en la educación: la idea de
hombre que se pretendía hacer real; se concibió
el conocimiento como proceso y conjunto de
experiencias durante toda la vida, transferibles
a otras situaciones y presentes en diferentes
contextos; los conocimientos y verdades se
consideraron como proyectos que deben revisarse y corregirse permanentemente; el alumno
como el centro del proceso y el maestro su orientador y animador (MEN, 1977); se construyó
el marco general de la propuesta de programa
curricular de matemáticas (MEN, 1990).
• La utilización de las funciones, las gráficas
y las tablas para modelar situaciones de
cambio.
• Que puede ser más importante en un
primer momento el análisis cualitativo de
las gráficas que el trazado muy preciso de
gráficas a partir de fórmulas o tablas.
• El trabajo con situaciones de la vida real y
sus modelos de puntos y líneas, modelos
escalonados, modelos lineales, polinómicos
de 2° y 3 grado, exponenciales, radicales y
logarítmicos.
• La importancia de ejercitar las traducciones
de una a otra de las distintas representaciones
de una función.
• La incorporación de algunos temas de los que
se habían venido trabajando en los programas
tradicionales bajo el nombre de “Álgebra”, y
que en realidad son sólo el manejo de ciertas
expresiones para las funciones reales o sus
valores.
• A través de la función lineal se cubren todos
los temas como proporcionalidad y todas sus
aplicaciones. Paralelamente a las funciones
se van estudiante las ecuaciones e inecuaciones.
En el Marco General del Programa de Matemáticas para la educación Básica, se:
• Parte del reconocimiento e importancia del
estudio de los diferentes aspectos de las
matemáticas como forma de contribuir decididamente a la educación integral del individuo
• Acoge el enfoque de sistemas, que contrasta
con el enfoque por conjuntos de la llamada
“Nueva matemática” o “Matemática
Moderna” (New Math”), con el enfoque
por habilidades algorítmicas básicas de la
corriente de “Volver a lo básico” (“Back to
Basics”), y con el enfoque de resolución de
problemas (“Problem Solving Approach”).
Como contenidos por grado para el estudio de
• Asume un sistema como un conjunto de los sistemas analíticos, se proponen:
objetos con sus relaciones y operaciones
Para grado 6°:
• Plantean como sistemas (interrelacionados), • Representación en la recta numérica de
que articulan los contenidos para la educanaturales y racionales positivos (“No recta
ción básica: Los numéricos, Geométricos,
real”).
Métricos, de datos, Lógicos, de Conjuntos, • Relaciones mayor, menor, mayor igual,
operaciones y relaciones y analíticos.
menor igual.
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS
Durante la década de los 80 y mediados de los
90, se continuó impulsando y desarrollando en
el país la propuesta programática para el área de
matemáticas de la renovación curricular.
Para Grado 7°:
• Funciones crecientes y decrecientes. Correlaciones.
• Razones.
• Proporciones.
• Representación gráfica de funciones lineales
y de gráfica lineal.
• Ejes, cortes, intercepto.
• Ecuaciones lineales.
• Solución de ecuaciones lineales.
2.3. Desarrollo del Pensamiento
Variacional: uno de los
Lineamientos Básicos en el
Currículo de Matemática de
Colombia
Para Grado 8°:
• Funciones lineales.
• Funciones de gráfica lineal.
• La recta pendiente.
• Ecuaciones lineales.
• Funciones cuadráticas.
• Representación de funciones cuadráticas.
• Ecuaciones cuadráticas.
Hacia el año 1996, en el proceso de construcción de lineamientos curriculares reconociendo
los aportes, avances y logros de la renovación
curricular, se incorporan nuevos elementos
provenientes de las investigaciones en el campo
de la educación o didáctica de la matemática,
nuevos enfoques y tendencias para la orientación de la matemática en contextos escolares
y las nuevas perspectivas sobre la matemática
Para Grado 9°:
• Funciones de gráfica lineal y ecuaciones escolar y sus propósitos formativos. Esto llevó
a la construcción participativa de los Linealineales.
• Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadrá- mientos curriculares de matemáticas (MEN,
1997), en los cuales se enriquece la perspectiva
ticas.
respecto a la naturaleza e importancia de contri• Solución de ecuaciones cuadráticas.
buir al desarrollo del pensamiento variacional.
• Factor Común.
• Cuadrado perfecto.
Fundamentalmente en los lineamientos curricu• Diferencia de cuadrados.
lares, se plantea como propósito central de la
• Función cúbica y ecuaciones cúbicas.
educación matemática de los niveles de básica y
• Función exponencial.
media contribuir al desarrollo del pensamiento
• Polinomios de una variable.
matemático a partir del trabajo con situaciones
• Operaciones +, -, x, /
problemáticas provenientes del contexto socio• Sucesiones y series; límites.
cultural, de otras ciencias o de las mismas mate• Progresiones. Decimales infinitos.
máticas. Dentro de los pensamientos se hace
• Interés simple; compuesto.
alusión directa al “Pensamiento variacional”.
Como se puede observar, desde la renovación
curricular, en lo relativo a los sistemas analí- Se propone el inicio y desarrollo del pensamiento
ticos, hay un reconocimiento explícito del variacional como uno de los logros para alcanzar
estudio de situaciones de cambio (enfatizando en la educación básica, lo cual presupone
en las provenientes de la realidad), empleando superar la enseñanza de contenidos matemáticos
diversos sistemas de representación: analítico, fragmentados y compartimentalizados, para
ubicarse en el dominio de un campo conceptual,
gráfico, tabular, verbal y escrito.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
que involucra conceptos y procedimientos
interestructurados y vinculados que permitan
analizar, organizar y modelar matemáticamente
situaciones y problemas tanto de la actividad
práctica del hombre, como de las ciencias y las
propiamente matemáticas donde la variación se
encuentre como sustrato de ellas.
Abordado así el desarrollo del pensamiento
variacional, se asume por principio que las
estructuras conceptuales se desarrollan en el
tiempo, que su aprendizaje es un proceso que
se madura progresivamente para hacerse más
sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para
aproximarse a las conceptualizaciones propias
de las matemáticas.
En esta forma se plantea que se amplía la visión
de la variación, por cuanto su estudio se inicia en
el intento de cuantificar la variación por medio
de las cantidades y las magnitudes. En los lineamientos se reconoce la necesidad de estudiar con
detalle los conceptos, procedimientos y métodos
que involucra la variación para poner al descubierto las interpelaciones entre ellos. Un primer
acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los núcleos
conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación:
En los lineamientos se señala que entre los diferentes sistemas de representación asociados a la
variación se encuentran los enunciados verbales,
las representaciones tabulares, las gráficas de
tipo cartesiano o sagital, las representaciones
pictóricas e icónicas, la instruccional (programación), la mecánica (molinos), las fórmulas y
las expresiones analíticas.
Orienta frente al hecho, que el estudio de la
variación se inicie pronto en el currículo de
matemáticas, considerando que el significado
y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas
cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos
de cambio y variación de la vida práctica. Se
orienta respecto a que la organización de la
variación en tablas, puede usarse para iniciar
en los estudiantes el desarrollo del pensamiento
variacional por cuanto la solución de tareas que
involucren procesos aritméticos, inicia también
la comprensión de la variable y de las fórmulas.
En estos problemas los números usados deben ser
controlados y los procesos aritméticos también
se deben ajustar a la aritmética que se estudia.
Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados en la solución de los problemas. La calculadora numérica
se convierte en una herramienta necesaria en la
iniciación del estudio de la variación.
• las magnitudes;
• Continuo numérico, reales, en su interior los
procesos infinitos, su tendencia, aproximaciones sucesivas, divisibilidad;
• la función como dependencia y modelos de
función;
• el álgebra en su sentido simbólico, liberada
de su significación geométrica, particularmente la noción y significado de la variable
es determinante en este campo;
• modelos matemáticos de tipos de variación:
aditiva, multiplicativa, variación para medir
el cambio absoluto y para medir el cambio
relativo. La proporcionalidad cobra especial
significado.
Se plantea que en la vida práctica y el mundo
científico, la variación se encuentra en contextos
de dependencia entre variables o en contextos
donde una misma cantidad varía (conocida como
medición de la variación absoluta o relativa).
Estos conceptos promueven en el estudiante Adicionalmente se señala, que la tabla se consactitudes de observación, registro y utilización tituye en un elemento para iniciar el estudio
de la función, pues es un ejemplo concreto de
del lenguaje matemático.
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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS
función presentada numéricamente. Y aunque
en algunas ocasiones enfatiza la variación
numérica discreta, es necesario ir construyendo
la variación numérica continua. Así mismo,
las situaciones problemáticas deben seleccionarse para enfrentar a los estudiantes con la
construcción de expresiones algebraicas o con
la construcción de las fórmulas. Acogiendo los
planteamientos de Demana (1990), se considera
que la exposición repetida de construcciones de
fórmulas, como expresiones que explicitan un
patrón de variación, ayuda a los estudiantes a
comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que aparecerán después del estudio del
álgebra. La tabla también se constituye en una
herramienta necesaria para la comprensión de la
variable, pues el uso de filas con variables ayuda
a que el estudiante comprenda que una variable
puede tener un número infinito de valores de
reemplazo. Además, el uso de variables en la
tabla también ayuda a la escritura de las expresiones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para
describir la variación o el cambio.
restringida al primer cuadrante. La identificación de la variable independiente y dependiente
es más significativa cuando se inicia desde la
representación de situaciones concretas. Más
adelante se formaliza el sistema cartesiano con
el aprendizaje de su sintaxis.
Por su parte, las gráficas cartesianas también
pueden ser introducidas tempranamente en el
currículo. Ellas hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación explícita entre
las variables que determinan una gráfica puede
ser iniciada con situaciones de variación cualitativa y con la identificación de nombres para
los ejes coordenados.
Los contextos de la variación proporcional
integran el estudio y comprensión de variables
intensivas con dimensión, así como también
ayudan al estudiante a comprender el razonamiento multiplicativo.
Particularmente la gráfica tiene como fin
abordar los aspectos de la dependencia entre
Otra herramienta necesaria para iniciar el variables, gestando la noción de función como
estudio de la variación desde la primaria la cons- dependencia.
tituye el estudio de los patrones. Éstos incluyen
escenarios en la vida práctica como fotografías Los contextos donde aparece la noción de
y representaciones pictóricas e icónicas. En función establecen relaciones funcionales entre
las matemáticas los escenarios geométricos o los mundos que cambian, de esta manera emerge
numéricos también deben ser utilizados para la función como herramienta de conocimiento
reconocer y describir regularidades o patrones necesaria para “enlazar” patrones de variación
presentes en las transformaciones. Estas explo- entre variables y para predecir y controlar el
raciones permiten, en una primera instancia, cambio. Los modelos más simples de función
hacer una descripción verbal de la relación que (lineal, afín, cuadrática, exponencial...) encapexiste entre las cantidades (el argumento y el sulan modelos de variación como la proporcioproducto terminado que se lee primero) que nalidad.
intervienen en la transformación. Los contextos
de variación deben incluir patrones aditivos y Se considera en los lineamientos, que la intromultiplicativos.
ducción de la función en los contextos descritos
preparan al estudiante para comprender la natuLas tablas se pueden usar posteriormente para raleza arbitraria de los conjuntos en que se le
llevar a los estudiantes a la graficación de situa- define, así como a la relación establecida entre
ciones problema de tipo concreto, aunque quede ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
a situaciones donde la función no exhiba una
regularidad, con el fin de alejar la idea de que
su existencia o definición está determinada por
la existencia de la expresión algebraica. A la
conceptualización de la función y los objetos
asociados (dominio, rango...) le prosigue el
estudio de los modelos elementales, lineal,
afín, cuadrático, exponencial, priorizando en
éstos el estudio de los patrones que los caracterizan (crecientes, decrecientes). La calculadora gráfica y algebraica se constituye en una
herramienta didáctica necesaria para lograr este
propósito.
los escenarios deben ser los numéricos y los
geométricos. Particularmente el trabajo con
las representaciones decimales, cobra especial
relevancia. Los procesos infinitos deben ser
introducidos en contextos geométricos.
En términos generales en los lineamientos
curriculares de matemáticas se hace una alusión
explícita a la promoción y desarrollo del pensamiento variacional a partir de situaciones de la
realidad, de las matemáticas u otras ciencias
relacionadas con fenómenos o procesos de
variación y cambio. Propone el uso de diversos
sistemas de representación en su exploración,
En lo referente a la construcción del continuo comprensión y estudio sistemático.
numérico, se indica en los lineamientos que
16
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3
EL PENSAMIENTO VARIACIONAL
Como se indicó en las secciones anteriores la
idea de pensamiento variacional aparece explícitamente en los Lineamientos Curriculares
en Matemáticas. Este término, pensamiento
variacional, se introdujo con la intención de
profundizar un poco más en lo que se refiere
al aprendizaje y manejo de funciones como
modelo de situaciones de cambio.
Teniendo presente este planteamiento y reconociendo que el significado y el sentido acerca de
la variación se establecen a partir de situaciones
problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación, las
actividades que se propongan como ejemplos
serán planteadas como situaciones problema
que pueden ser desarrolladas en los diferentes
niveles de escolaridad y que no necesariamente
siguen una secuencia lineal de contenidos. El
énfasis del tratamiento de la situación se hará de
acuerdo con el nivel apropiación del lenguaje
y los conceptos por parte de los estudiantes,
teniendo en cuenta las recomendación de los
Lineamientos en cuanto a que el estudio de la
variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas.
Se trata de abandonar el enfoque rígido de los
sistemas y superar la enseñanza de los contenidos
matemáticos fragmentados y compartimentalizados que ha gobernado por un tiempo la actividad matemática escolar. El énfasis que se quiere
hacer con la introducción de esta manera de ver
el currículo es, como lo dicen los Lineamientos,
la ubicación en el dominio de un campo conceptual que involucra conceptos y procedimientos
interestructurados y vinculados que permitan
analizar, organizar y modelar matemáticamente
situaciones y problemas tanto de la actividad
práctica del hombre, como de las ciencias y las
propiamente matemáticas donde la variación se
encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1997).
En lo que sigue explicaremos con más detalle
lo que significaría desarrollar el pensamiento
variacional en los estudiantes. Para esto
desglosaremos y describiremos los diferentes
momentos (no necesariamente consecutivos)
que aparecen en el estudio de situaciones de
variación y cambio.
Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma
de pensamiento que identifique de manera natural
fenómenos de cambio y que sea capaz de modelarlos y transformarlos. Podríamos introducir
aquí la siguiente conceptualización que trata de
recoger las características descritas arriba: el
pensamiento variacional es la capacidad para
darle sentido a las funciones numéricas y manejarlas en forma flexible y creativa, para entender,
explicar y modelar situaciones de cambio, con el
propósito de analizarlas y transformarlas.
3.1 Situaciones de Variación y
Cambio
La mayoría de las situaciones de variación y
cambio de la vida diaria involucran de manera
explícita la consideración del tiempo. El cambio
y la variación se presentan cuando una circunstancia dada se transforma con el transcurso del
tiempo. El poder identificar el fenómeno de
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
cambio, describirlo, interpretarlo, predecir sus
consecuencias, cuantificarlo y modelarlo, son
las características del pensamiento variacional
que se pretenden desarrollar.
cambiar o no cambiar en la evolución de las
circunstancias iniciales. Es importante identificar estas magnitudes y la relación que existe
entre ellas dentro de la situación particular. La
identificación de las magnitudes y la descripción verbal y escrita de la manera cómo estas
magnitudes se comportan en la situación, es
el acercamiento cualitativo al fenómeno que
permitirá sacar algunas conclusiones y hacer las
primeras predicciones de lo que sucederá con
los elementos involucrados con el transcurso
del tiempo. Se espera que en las descripciones
de la situación de cambio se usen expresiones
como: tal magnitud aumenta, tal magnitud
disminuye, tal magnitud aumenta más rápido
que tal otra, tal magnitud disminuye más lentamente que tal otra, tal magnitud ni aumenta ni
disminuye, etc.
No estamos excluyendo de ninguna manera otras
situaciones de variación que no involucran de
manera explícita el tiempo o que no tienen que
ver con el tiempo. Consideraremos dos formas
de modelación de situaciones en las que interviene el tiempo. La primera cuando se considera
el tiempo (el tiempo es un concepto físico al
que le corresponde la magnitud duración según
Federici. Ver Sobre el análisis dimensional),
como una magnitud continua. Es decir, cuando
se considera el tiempo fluyendo de manera ininterrumpida. En estas circunstancias hablaremos
de variación continua. El modelo general para
el estudio de estas situaciones es el de funciones
de variable real.
Por ejemplo, supongamos que estamos en el
proceso de llenar un balde con agua. En esta
La otra forma de modelar una situación en situación de variación están involucradas
la que interviene el tiempo será cuando se magnitudes como: tiempo, el volumen del balde
observa la situación en instantes espaciados de (capacidad total), volumen de agua dentro del
tiempo (Algo así como cada una de las fotogra- balde, altura del nivel del agua en el balde,
fías consecutivas de una película que registra capacidad del balde y rapidez de llenado del
la situación en estudio). En este caso habla- balde entre otras (¿hay más?).
remos de variación discreta. Lo que distingue
esta forma de modelar de la anterior es que Podemos decir que las magnitudes que
podremos enumerar cada uno de los instantes aumentan en la situación son el tiempo, el
observados y por consiguiente parametrizar volumen de agua en el balde, la altura del nivel
la situación con los números naturales. El del agua dentro del balde; la que disminuye es
modelo general para el estudio de estas situa- la capacidad del balde y las que permanecen
ciones es el de las sucesiones (funciones de constantes son el volumen del balde y la rapidez
variable entera).
de llenado del balde. A medida que el tiempo
transcurre (aumenta), la altura del nivel del
agua y la cantidad de agua en el balde aumentan
3.1.1 Descripción e interpretación de situa- a la vez que la capacidad del balde disminuye.
ciones de variación y cambio desde Como el volumen del balde no cambia y su
un punto de vista cualitativo.
capacidad disminuye con el tiempo, llegará un
momento en el que el balde estará completaEn una situación de cambio, como la que mente lleno. Preguntas que surgen de manera
estamos considerando en esta sección, se natural son: ¿Cómo podemos medir el volumen
presentan ciertas magnitudes que pueden del balde? ¿Cómo podemos medir la rapidez
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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL
con que se está llenando el balde? Una vez
contestadas estas preguntas, ¿cuánto tiempo
tarda en llenarse el balde? Si dispongo de un
tiempo determinado para llenar el balde, ¿con
qué rapidez debo llenarlo? ¿Las dimensiones
del balde intervienen en las respuestas a las
preguntas hechas? Si tengo dos baldes de volúmenes diferentes, ¿con qué rapidez debemos
llenarlos para que se llenen completamente al
mismo tiempo?
3.1.2
Formas de representación cualitativa
de estas situaciones
Fig. 2.
Escrita. Para poder comunicar las observaciones
que se hacen de las situaciones de variación se
debe disponer de sistemas de representación
que sean familiares para el grupo de estudiantes.
Uno de estos sistemas es el lenguaje escrito. El
estudiante debe ser capaz de escribir con sus
propias palabras lo que está sucediendo en la
situación de cambio al igual que las conclusiones que se deduzcan de sus observaciones.
Es decir que se debería producir un texto pareFig. 3
cido al párrafo anterior para describir el llenado
del balde.
Modelos físicos que simulen la situación.
Algunas situaciones de cambio, sobre todo las
Pictórica. Los dibujos y gráficos son medios de presentadas por medio de un texto, son susceprepresentación en las situaciones de variación tibles de ser recreadas mediante maquetas con
ya que muestran de otra forma lo que el estu- movimiento lo que permite tener un entendidiante entiende acerca de la situación. Estos miento más concreto de la situación de cambio.
dibujos y gráficos en un comienzo pueden ser Hablar sobre los modelos y hacer preguntas
muy concretos y mostrar lo que sucede en dife- sobre los mismos ayudan en la identificación de
rentes momentos de la situación de cambio. Por magnitudes presentes.
ejemplo, dibujos del balde mostrando diferentes
alturas del nivel de agua. De todas formas estos
dibujos y gráficos deberían ir acompañados de 3.1.3 Formas de representación cuantitativa
de situaciones de variación y cambio
explicaciones verbales. Estos dibujos y gráficos
ayudarán a darle sentido a las gráficas cartesianas de las funciones que describen las situa- Representación geométrica. Aparece cuando
ciones de cambio. (Ver la secuencia de dibujos las magnitudes involucradas en la situación de
cambio se asocian con longitudes de segmentos
y gráficos)
19
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
(ver figura 3). Esta identificación no es una mera
forma de representación gráfica sino un reconocimiento del comportamiento de la magnitud en
cuestión como el de la longitud de un segmento.
Es decir, se reconocen propiedades comunes de
comportamiento algebraico y continuidad (El
comportamiento algebrico y las propiedades de
continuidad comunes a las magnitudes continuas
son las que dan origen a la definición formal de
número real y a su representación geométrica
como punto de un eje numérico). Este acercamiento al estudio de las situaciones de variación y cambio permite modelar mediante el uso
de programas de geometría dinámica como lo
veremos más adelante.
Representación algebraica. De acuerdo a los
patrones de regularidad encontrados en la tabla
se pueden establecer expresiones algebraicas
que condensen toda la información acerca de
la situación de cambio. Las propiedades algebraicas de las expresiones permiten encontrar
aspectos del comportamiento de las variables
relacionadas en el problema de estudio. Por
ejemplo, los valores de las variables para los
cuales una expresión o fórmula se anula dan
información acerca de los intervalos donde la
expresión es positiva o negativa. Conocer las
propiedades de las expresiones algebraicas y
poder manipularlas. El estudio de expresiones
algebraicas en el contexto de la variación contribuye de manera significativa en el desarrollo
del pensamiento algebraico (Ver, Approaches to
algebra y Early Algebra.), para extraer información sobre el comportamiento de las variables
involucradas en la expresión, contribuirá con
la comprensión del fenómeno en estudio y será
una herramienta para la solución de problemas.
La tabla sirve como herramienta para mostrar
los datos gráficamente, lo que permite descubrir
patrones y hacer predicciones.
Representación tabular. Aparece cuando se
está en capacidad de producir diferentes medidas
de las magnitudes involucradas en la situación
de cambio. Por ejemplo, en el caso del llenado
del balde, podríamos por medio de una graduación actual del balde y un reloj, producir diferentes valores del volumen de agua en el balde
en diferentes momentos de tiempo. Se puede
hacer un estudio de esos datos numéricos para
encontrar patrones de regularidad. Las tablas de
datos numéricos se pueden producir también
con sensores conectados a calculadoras o a
partir de expresiones algebraicas. Los patrones
de regularidad o los métodos de regresión
permiten encontrar expresiones algebráicas que
condensan el comportamiento de las variables
involucradas y que se ajustan a los datos que
sobre los mismos se tienen.
Duración
Volumen
t1
0 cm3
t2
2.000 cm3
t3
4.000 cm3
t4
6.000 cm3
t5
8.000 cm3
Representación gráfica. Se hace mediante la
representación en un plano con un sistema de
coordenadas cartesianas de los datos de la tabla
que consigna las mediciones de las magnitudes
involucradas. Se puede así mismo producir la
gráfica a partir de las expresiones algebraicas
que se obtuvieron de la tabla. Tradicionalmente,
la introducción de las funciones numéricas en
el aula de clase se ha hecho desde un principio
de acuerdo a la complejidad de su expresión
algebraica. Es decir, se estudiaban primero
las variaciones lineales, luego las cuadráticas,
las cúbicas, y así sucesivamente. Quedaba la
impresión en muchos estudiantes que las únicas
funciones que existían eran las lineales y las
cuadráticas, lo que se pretende cambiar con el
enfoque que presenta las situaciones de variación y cambio desde un punto de vista cualita-
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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL
tivo primero. Esto no quiere decir que a partir
de un cierto momento no se haga un acercamiento sistemático al estudio de los fenómenos
mediante una clasificación de los modelos de
acuerdo a la complejidad de su representación
algebraica.
lación a partir de las representaciones. Estas
simulaciones pueden incluir representaciones
teatrales.
El pensamiento variacional está relacionado con los pensamientos numérico (tablas,
patrones numéricos), geométrico (mecanismos
geométricos y gráficas cartesianas), algebraico
(expresiones y ecuaciones), métrico (medición
de magnitudes en situaciones de variación y
cambio) y estadístico (tratamiento de datos y
regresiones), a través de las formas de representación cuantitativas de las situaciones de
variación y cambio. Esto quiere decir que no
es posible dejar de lado los otros pensamientos
cuando se estudian situaciones de variación y
cambio.
Para la clasificación y estudio de los fenómenos
de variación y cambio desde este punto de vista
se requiere profundizar un poco en los aspectos
algebraicos de las expresiones que representan
dichos fenómenos. Es la oportunidad de hacer
un estudio contextualizado del álgebra con el
propósito de que el estudiante de sentido a los
objetos de estudio.
Los análisis y descripciones que pueda hacer
un estudiante de las diferentes representaciones
serán de vital importancia en el entendimiento del
fenómeno de variación. Por ejemplo, la lectura
de una gráfica, una tabla, una fórmula, etc., en
términos cualitativos, describiendo la forma en
que una variable se comporta con respecto a otra
y explicando la relación que existe entre las diferentes formas de representación.
3.2 La variable y el concepto de
función
Muy a menudo se asocia la variable con la letra x
que aparece con mucha frecuencia en el álgebra
junto con todas las letras del alfabeto. Esta letra,
o letras, deben interpretarse dentro del contexto
conveniente.
3.1.4
Interpretación de representaciones
de situaciones de variación y cambio Su aparición en una expresión algebraica hace
de ella una indeterminada. Es decir, como la
La calidad de la comprensión de la situación abstracción de un objeto que es susceptible de
de variación dependerá de las relaciones que el ser operado con el mismo o con otros mediante
estudiante pueda establecer entre las diferentes las operaciones explícitas en la expresión. Es
representaciones. Para lograr esto se pueden un representante general de una estructura algeproponer diferentes representaciones de una braica, que no necesariamente es el cuerpo de
situación de cambio para que sean contextua- los números reales. Podrían ser cualquier otra
lizados e interpretados por los estudiantes. Se estructura que contemple las operaciones en la
debe también plantear problemas para que el expresión como por ejemplo un espacio vectoestudiante pueda producir una representación a rial o un anillo.
partir de otra.
Cuando dos expresiones algebraicas se conectan
Lo anterior también es posible mediante la con un signo de igualdad (o de desigualdad)
presentación de simulaciones a los estudiantes nos encontramos con lo que se conoce como
o mediante la petición de producir una simu- una ecuación (o inecuación), si el interés parti-
21
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
cular se centra en encontrar objetos particulares que la hacen válida. En este contexto las
indeterminadas en las expresiones algebraicas
se convierten en incógnitas (El concepto de
incognita se puede ubicar en el contexto más
general de la lógica cuando se hace una afirmación acerca de los individuos de una colección y se quiere saber cuales son los individuos
que hacen verdadera la afirmación.), hasta que
encontremos el, o los objetos particulares que
hacen de la ecuación un enunciado verdadero.
aquí a indeterminadas. El término correcto
en este contexto debería ser objeto general de
una estructura determinada. Las variables se
representan mediante objetos generales en la
estructura algebraica (R, +, *) en el caso de las
funciones numéricas).
La mayoría de las veces, cuando se habla de
funciones, sobre todo en el contexto de la matemática escolar, se piensa en las funciones numéricas. Por lo tanto, su enseñanza se centra, a
veces en exceso, en el estudio de las ecuaciones,
objetos algebraicos que las definen. La ecuación
y = f(x) que define a la función f, o que está definida por la función f es una representación algebraica de la relación funcional f : x → y. Este
aspecto de las funciones, sin embargo, es de
gran importancia para lograr la representación
geométrica de las mismas a través del método
de las coordenadas, corazón de la geometría
analítica. Las soluciones (x, y) de la ecuación
y = f(x) se pueden representar como puntos en un
plano mediante la introducción de un sistema de
coordenadas cartesianas. El lugar geométrico de
estos puntos es la gráfica de la función (gráfica
de la ecuación y = f(x)).
Cuando una ecuación se trata como un mecanismo para relacionar dos indeterminadas x, y
(dos valores de las indeterminadas están relacionados si al remplazarlas simultáneamente en
la ecuación se obtiene una proposición verdadera). En este caso tenemos una relación de
dependencia que eventualmente podría terminar
siendo una relación funcional. En la mayoría de
los contextos estas indeterminadas reciben el
nombre de variables, pero más que todo cuando
la ecuación se lee en el contexto de los números
reales. Las funciones son en este contexto
funciones reales de variable real, o funciones
numéricas.
Es en el contexto de las funciones numéricas,
tema de estudio de la matemática escolar y del
cálculo diferencial e integral, en el que mejor
‘encaja’ el término variable (Aparece en el
contexto de las funciones numéricas - variable
dependiente, variable independiente - . La
terminología se extiende por abuso al contexto
de las funciones generales). Por eso es que se
relaciona el estudio de funciones con el pensamiento variacional. Es de aquí que se ha tomado
el nombre para referirse a la indeterminada en el
dominio de una función como variable independiente y a la indeterminada en el recorrido de
una función como variable dependiente, siendo
en principio términos que se usaron en análisis
para el tipo especial de funciones que mencionamos (En realidad no deberíamos referirnos
En el contexto de la recolección de datos y la
búsqueda de modelos para fenómenos de la
vida real, aparecen de manera natural las tablas
de valores. En estas tablas se buscan dependencias funcionales a través de su representación
gráfica y de regularidades en el estudio de su
comportamiento y técnicas sofisticadas como la
regresión, con el objetivo de obtener un modelo
algebraico (ecuación) que represente la dependencia funcional.
Así, las funciones numéricas, corazón del
pensamiento variacional, están íntimamente
relacionadas con el álgebra a través de la ecuación y = f(x), con la geometría por la gráfica
de la ecuación y = f(x), con los números por
la correspondencia entre los mismos y con la
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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL
variación a través de la noción de ‘cambio con como el tiempo y de la cual dependen otras
respecto al tiempo’.
magnitudes en la situación. Diremos que dichos
problemas o situaciones se pueden modelar
La variable x (tiempo) se representa sobre un variacionalmente. Los problemas de optimizaeje numérico. El trazo (o re-trazo) del eje ‘repre- ción son un ejemplo de problemas que se pueden
senta’ el transcurso del tiempo. La variable “modelar variacionalmente”. Para ilustrar esto
independiente es una abstracción de la variable consideremos el siguiente problema:
tiempo. El cambio que se produce en la variable
independiente es un reflejo de la idea de cambio Encontrar entre todos los rectángulos de igual
en el tiempo. La variable dependiente es una perímetro el que (los que) tienen área máxima.
abstracción del suceso (hecho o fenómeno
observable) que cambia con el transcurrir del Vamos a describir en la forma más explícita
tiempo. La variación o cambio en el suceso posible, el proceso al que hay que seguir para
que se observa con el transcurso del tiempo modelar variacionalmente este problema. Se
está relacionado con la idea de cambio de la puede ver que en su planteamiento este problema
variable dependiente con respecto al cambio de no es un problema de variación por excelencia
ya que el tiempo no interviene explícitamente
la variable independiente (tiempo).
como variable. Sin embargo, el problema es
El movimiento es uno de los ejemplos más susceptible de ser “modelado variacionalrepresentativos y contundentes de variación, mente”. Es decir, se puede introducir de manera
siendo este el cambio de posición con respecto explícita la variable duración (magnitud para
al transcurso del tiempo. Este contexto se tiempo) para activar el “movimiento”
convierte así en una fuente inagotable de actividades y problemas que permitiría el desarrollo Los rectángulos de igual perímetro son demasiados considerados como objetos geométricos
del pensamiento variacional.
de un plano. Esto nos obliga a confinarnos a las
clases de congruencia en la familia de rectánLa falta de claridad sobre los aspectos mencio- gulos de igual perímetro ya que dos rectánnados antes y sus diferencias, introduce en las gulos congruentes tendrán la misma área. Pero,
actividades de aprendizaje del pensamiento trabajar con las clases de congruencia no es
variacional, manejo del modelo general de práctico. Es mejor trabajar con un representante
función en el contexto de los números reales, de cada clase. La forma en que se escojan los
confusiones entre maestros y estudiantes. Es representantes facilitará la modelación variamuy importante mantener un balance entre los cional (o no).
diferentes aspectos de las funciones numéricas.
Tomemos en el plano dos semirrectas perpendiculares que por comodidad una será horizontal
3.3 La modelación variacional: un
y la otra vertical. Escogemos en la familia de
ejemplo
rectángulos de perímetro p los que tienen lados
sobre las semirrectas escogidas. Es decir, los
No todos los problemas o situaciones de varia- representantes buscados comparten un vértice
ción involucran la variable tiempo. Sin embargo, y tienen lados que se traslapan. Tomemos uno
muchos problemas involucran una variable (de de estos rectángulos que tiene lado a sobre la
manera implícita o explícita) que se comporta semirrecta horizontal. Imaginamos ahora que,
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
usamos la expresión A = a · b, que se puede
escribir también en la forma A = a · (1/2p a), debido a la última expresión escrita arriba.
Geométricamente tenemos que si u = 1/4p, el
rectángulo de lados a = u + k y 1/2p - a = u - k
tendrá área a(1/2p - a) = u 2 - k 2 < u 2
por alguna acción mágica el lado a comienza
a variar su tamaño a medida que transcurre el
tiempo. Algo así como si pudiésemos estirar el
lado a. Si queremos permanecer dentro de la
familia de rectángulos de perímetro p, el lado
b correspondiente al lado a (a + b = 1/2p) que
se encuentra sobre la semirrecta vertical debe
variar también con el tiempo. A medida que
estiramos a, b se encoge.
u-k
k
En términos tal vez muy matemáticos lo que
hemos hecho es parametrizar con el tiempo la
familia de rectángulos de perímetro p que tienen
dos de sus lados sobre las semirrectas perpendiculares al hacer depender del tiempo uno de los
lados. Obtenemos así la siguiente interpretación
variacional del problema original:
b=u-k
u-k
u
k
a=u+k
Dada la familia de rectángulos “parametrizada”
como se dijo arriba, encontrar el momento en el
que el área de los rectángulos es máxima.
Fig. 4
Esto muestra que el área máxima se obtiene con
un rectángulo de lados a = b = 1/4p. Si pensamos
en términos de medición, la expresión anterior
se puede interpretar como una expresión que
relaciona las medidas de los segmentos involucrados. Esto quiere decir que el problema planteado originalmente se formularía así: ¿Para qué
valor de a se obtiene el valor más grande de A?
Identificar el momento en el que el área es
máxima, equivale a encontrar el lado a del
rectángulo de área máxima y por ende el lado b
del rectángulo de área máxima. Una vez modelado el problema variacionalmente, podemos
introducir la modelación algebraica que aparece
al tener en cuenta el álgebra de las magnitudes
involucradas.
Esta forma de abordar el problema da cabida a la
construcción de rectángulos con medidas dadas
y el cálculo de su área, con el objeto de producir
una tabla de valores que compararían las diferentes longitudes de a con las respectivas áreas
A. La lectura de esta tabla permitiría conjeturar
acerca de las posibles dimensiones del rectángulo de perímetro p para los que el área es
máxima. En este contexto de trabajo, interviene
de manera explícita la medida de las longitudes
Otras expresiones algebraicas equivalentes son de los lados por lo que se requiere trabajar con
las siguientes: 2(a+b) = p, 2a+2b = p, b = 1/2p casos concretos. Es decir, construyendo rectán- a, etc. Para expresar el área del rectángulo gulos de perímetro 12 cm, por ejemplo.
Obsérvese que hasta el momento no hemos
introducido en los argumentos la medición de
las magnitudes ni los números reales producto
de estas mediciones. El perímetro de un rectángulo de lados a y b es p, si al “poner uno de los
lados a continuación del otro” (alineados), se
produce un segmento congruente con la mitad
de un segmento p dado. Este hecho lo escribimos así: a + b = 1/2p
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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL
Longitud del lado a
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
Longitud del lado b
5 cm
4 cm
3 cm
2 cm
1 cm
0 cm
Longitud del lado a.b
5 cm
8 cm
9 cm
8 cm
5 cm
0 cm
Rectángulos de perímetro 12 cm
Longitud del lado a
2.6 cm
2.8 cm
3.0 cm
3.2 cm
3.4 cm
3.6 cm
Longitud del lado b
3.4 cm
3.2 cm
3.0 cm
2.8 cm
2.6 cm
2.4 cm
Longitud del lado a.b
8.84 cm
8.96 cm
9.00 cm
8.96 cm
8.84 cm
8.64 cm
Rectángulos de perímetro 12 cm
La manipulación algebraica de la (o las) expresión para el área permitirá de alguna forma
validar las conclusiones encontradas en la exploración tabular: el área máxima se encuentra
cuando a = 1/4p = b. En efecto, sea a0 otro lado
“horizontal” de un rectángulo de perímetro p. Si
a0 es más grande que a, es decir, si hay un k > 0
tal que a0 = a + k, se tiene entonces que el área
del rectángulo de lado a0 es.
Si a0 es más pequeño que a, es decir, si hay un
k > 0 tal que a0 = a - k, se tiene entonces que el
área del rectángulo de lado a0 es
a0(1/2p - a0) = (1/4p + k)(1/2p - (1/4p + k))
= (1/4p + k)(1/4p - k)
= (1/4p)2- k 2
< (1/4p)2
= área del cuadrado de lado 1/4p
En ambos casos el área del rectángulo de lados
a = b = 1/4p es mayor. Es decir no podremos
encontrar otro de área mayor.
a0(1/2p - a0) = (1/4p - k)(1/2p - (1/4p - k))
= (1/4p - k)(1/4p + k)
= (1/4p)2- k 2
< (1/4p)2
= área del cuadrado de lado 1/4p
25
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4
USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Con la aparición de las tecnologías computacionales, como calculadoras graficadoras, sistemas
de álgebra computacional (CAS), geometría
dinámica, programación, etc. se ampliaron las
posibilidades de representación de los fenómenos de variación y de poder pasar de manera
versátil de un sistema de representación a otro.
diante) sino que puede tejerse alrededor de ellas
y con ellas, una red entre ideas y conceptos que
dé como resultado una mayor familiaridad con
este complejo conceptual (MORENO, L.)
4.1 Los programas de geometría
dinámica
En la actualidad, los instrumentos computacionales (calculadoras algebraicas como la TI92, las computadoras) encarnan sistemas de
representación que presentan características
novedosas: son sistemas ejecutables de representación, que virtualmente ejecutan funciones
cognitivas que anteriormente eran privativas de
los seres humanos. Por ejemplo, graficar una
función. Es un proceso que el estudiante ve
desplegándose en la pantalla de su calculadora,
sin su intervención directa.
Comenzamos con los programas de geometría
dinámica (como Cabri y Regla y Compás) ya
que este es un medio al cual se puede tener
acceso con relativa facilidad, no solamente por
las posibilidades físicas en una calculadora o en
un computador, sino también porque se puede
interactuar con éstos sin mayores conocimientos
de matemáticas. Unos pocos conocimientos de
geometría y una breve instrucción sobre los
comandos de dichos programas ponen a disposición del aprendiz una herramienta poderosísima
Los nuevos sistemas de representación hacen para la investigación en geometría y la modelaposible también un campo de experiencia que no ción de situaciones de variación y cambio.
estaba antes a disposición del estudiante, como
por ejemplo el acceso a los sensores (CBL, Con estos programas estamos en la posibilidad
CBR) que pueden articularse a las calculadoras. de representar magnitudes mediante segmentos
El estudiante puede representar gráficamente y a su vez establecer relaciones de dependencia
fenómenos naturales como las variaciones de que se mantienen al hacer variaciones en los
temperatura, de intensidad sonora, intensidad objetos iniciales. Para mostrar su potencial en
luminosa, Ph, etc. Es decir, todo un mundo la modelación de la variación presentamos la
de variación y cambio queda a su disposición solución del problema planteado en la sección
como parte de su campo de experiencias. Estas anterior en este ambiente.
nociones de variación y cambio no tienen que
ser estudiadas de modo abstracto (en el sentido Podemos simular la parametrización temporal
en que son extrañas a las experiencias del estu- del lado a y observar la forma en que el lado b
27
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
depende del lado a. Para hacer esto, representamos en la pantalla una semirrecta recta horizontal h de izquierda a derecha y de origen O.
Sobre h representamos un punto P y el segmento
OP que hará las veces de medio perímetro del
rectángulo.
v
C
B
Sobre este segmento representamos un punto A
y el segmento OA que hará las veces del lado
a del rectángulo. Ahora, trazamos una semirrecta v perpendicular a h de origen O y con
la ayuda del compás construimos un punto B
sobre v de tal forma que OB sea congruente con
AP (Recordemos que a + b = 1/2p). Completamos el rectángulo. Al desplazar el punto A
sobre el segmento OP desde O hasta P estamos
simulando la dependencia del segmento a con
respecto al tiempo. Es decir, tenemos nuestra
primera experiencia variacional en el ambiente
dinámico. Pero además, podemos observar la
forma en que b depende de a. A medida que a
crece, b disminuye.
O
A
U
h
P
Fig. 6
Además, se puede hacer más explícita la dependencia que el área tiene del lado a, trazando una
perpendicular a h por A y una perpendicular a
v por C. El punto G de intersección entre estas
rectas “amarra” el lado a y el área del rectángulo.
El lugar geométrico de G cuando A se mueve
sobre OP representa todas las posibilidades
existentes de lados y áreas en las condiciones
impuestas. Más aún, podemos observar como se
produce este lugar geométrico haciendo mover
A sobre OP y siguiendo el recorrido de G. En
este lugar geométrico se puede observar que el
área máxima se obtiene cuando a = 1/4p = u.
v
B
G
C
b
B
O
A
a
P
h
Fig. 5
O
Usando como referencia el punto medio U
entre O y P, construimos un punto C sobre
V de tal forma que a/c = u/b, siendo u es el
segmento OU y c es el segmento OV. Es decir,
el segmento AC debe ser paralelo a UB. El
segmento OC representa el área del rectángulo de lados a y b y al mover A sobre OP
podremos ver la forma en que el área del
rectángulo depende de a.
U
A
P
Fig. 7
4.2 Las calculadoras graficadoras
Por último hagamos la gráfica del área de los
rectángulos de perímetro p con respecto a sus
lados en la ventana de graficación de la calcu-
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USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
ladora. Para esto tendremos que escribir en el
editor de funciones la expresión del área correspondiente y1(x) = x _ (6 – x) Se obtiene la
gráfica de una parábola que abre hacia abajo.
Se pueden comparar descripciones de la gráfica
con la tabla de valores dada por la misma y
comportamientos de los valores numéricos de
las tablas con las características de la gráfica.
significado de la gráfica cuándo la variable
x está por fuera del intervalo [0, 1/4p]. En
general, la posibilidad de definir la ventana y
de hacer ampliaciones y disminuciones (zoom)
de las graficas de la función, no solo permitirá
sacar conclusiones del problema en estudio
sino también aportar a la conceptualización de
función, modelo general para los problemas
variacionales.
La ventana de graficación permitirá discutir
acerca del dominio de la función de área y el La meta sería que un estudiante sea capaz de
hacer uso de los sistemas de representación
descritos en el análisis de problemas variacionales. La calculadora graficadora juega aquí un
papel muy importante al ser un medio de representación ejecutable que propicia los aspectos
que se mencionan en el marco teórico del
Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia.
29
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5
SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
En este capítulo se plantean orientaciones para
aprovechar el potencial mediador de las nuevas
tecnologías computacionales en el estudio sistemático y la comprensión de procesos de variación y cambio y se presentan algunas situaciones
didácticas a través de las cuales se promueve el
desarrollo del pensamiento variacional.
escolaridad y que no necesariamente siguen una
secuencia lineal de contenidos. El énfasis del
tratamiento de la situación se hará de acuerdo
con el nivel de desarrollo cognitivo en el que
se encuentren los estudiantes, tendiendo en
cuenta las recomendaciones de los lineamientos
curriculares de matemáticas en cuanto a que
el estudio de la variación puede ser iniciado
Se comienza indicando los propósitos, momentos pronto en el currículo de matemáticas.
del trabajo de aula y los lineamientos generales
para la organización y gestión del trabajo con Para efectos de elevar el impacto del trabajo
los estudiantes ante una situación determinada. que se realice, se considera pertinente tener
Posteriormente, se expone de manera deta- en cuenta los siguientes indicadores de logro
llada el planteamiento y desarrollo de situa- referentes al desarrollo del pensamiento variaciones didácticas relacionadas con el estudio cional, planteados en la resolución 2343, por el
de la variación y el cambio con nuevas tecno- Consejo Nacional de Profesores de los Estados
logías diseñadas con el propósito de ilustrar los Unidos (NCTM) y en el Currículo inglés, entre
momentos de gestión y desarrollo propuestos otros:
en este documento y se incorporan situaciones
didácticas diseñadas e implementadas por los • Detectar, reproducir y extender patrones
docentes del país, que constituyen un excelente
o esquemas que se repiten en varias situareferente sobre la implementación en el aula de
ciones y analizar situaciones de cambio en
clase del trabajo con nuevas tecnologías en el
varios contextos.
estudio de procesos de variación y cambio.
• Modelar diversas situaciones de cambio
a través de funciones y expresar dichas
5.1 Propósitos y lineamientos
funciones inicialmente en palabras y luego
generales
simbólicamente, representándolas en forma
gráfica, tabular y mediante expresiones algeReconociendo que el significado y el sentido
braicas.
acerca de la variación se establece a partir de
situaciones cuyos contextos sean los referidos • Representar y analizar funciones utilizando
a fenómenos de cambio y variación, las activipara ello tablas, expresiones orales, expredades que se proponen como ejemplo son plansiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y
teadas como situaciones problema que pueden
hacer traducciones entre estas representaser desarrolladas en los diferentes niveles de
ciones.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
• Formular conjeturas sobre el comportamiento
de una gráfica teniendo en cuenta el fenómeno que representa y usar la calculadora
para comprender dicho comportamiento.
puede ser presentado a partir de una situación
experimental, situaciones del contexto, datos
registrados sobre el comportamiento de una
situación de cambio y variación o una simulación. A través de esto se pretende que los estu• Interpretar gráficos que describen diversas diantes hagan una descripción de la variación,
formulen conjeturas, hagan predicciones y las
situaciones.
verifiquen.
• Analizar tablas y gráficas para descubrir
patrones, hacer predicciones e identificar Como uno de los momentos finales se propone
la modelación del fenómeno a través de la
propiedades y relaciones.
expresión algebraica. Sin embargo, debe
• Investigar y comprender contenidos matemá- tenerse presente que es necesario enfrentar a
ticos a través del uso de distintos enfoques los estudiantes a situaciones donde la función
para el tratamiento y resolución de problemas no exhiba una regularidad, con el fin de alejar
del mundo real aplicando modelos matemá- la idea de que su existencia o definición está
ticos e interpretar resultados a la luz de la determinada por la existencia de la expresión
algebraica (MEN, 1997).
situación inicial.
• Organizar y modelar matemáticamente
situaciones y problemas tanto de la actividad
práctica del hombre como de las ciencias y las
matemáticas donde la variación se encuentra
como sustrato de ellos.
Se sugieren entonces los siguientes momentos
que se implementarán y profundizarán de
acuerdo con el nivel del desarrollo cognitivo de
los estudiantes y con los logros que se pretendan
alcanzar:
• Elaborar modelos de fenómenos del mundo • Observación de la simulación del fenómeno:
descripción, predicción, verificación.
real y de las matemáticas con funciones
polinómicas, escalonadas, exponenciales,
logarítmicas, circulares y trigonométricas; • Aproximación al tipo de gráfica que se
producirá al relacionar las magnitudes que
representarlas y traducirlas mediante exprevarían.
siones orales, tablas, gráficas y expresiones
algebraicas.
• Registro de los datos en una tabla y análisis
de la información suministrada.
5.2 Momentos del trabajo de aula
con tecnología en situaciones de
variación y cambio
• Visualización de la gráfica formada por el
conjunto de valores registrados y análisis de
la misma.
Durante el desarrollo de las actividades
propuestas, se plantean diferentes momentos. • Relación entre los registros (tabular y
gráfico)
En el momento inicial se propone la observación, descripción y análisis cualitativo del
fenómeno (situaciones donde estén involu- • Aproximación a la expresión algebraica que
mejor relaciona las variables.
crados procesos de variación y cambio), el cual
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
• Cálculo de regresión.
o Verificar (en la medida en que la situación lo
permita) las hipótesis.
• Análisis de la función y de su relación con el
fenómeno en estudio
5.3.2
Predicción de la gráfica
• Otras extensiones al estudio de la función:
construcción geométrica de la derivada, Imaginar y esbozar el tipo de gráfica que se
análisis de la derivada, cálculo de la deri- espera obtener, en el plano cartesiano, si se
relaciona la variable que se considera indepenvada, interpretación, etc.
diente con la variable que se considera dependiente. No deben aparecer valores, únicamente
la gráfica esbozada.
5.3 Propuesta del tratamiento
didáctico de las actividades
5.3.3
El proceso de gestión del trabajo de aula con
situaciones didácticas relacionadas con la variación y el cambio teniendo como uno de los
mediadores importantes los sistemas computacionales gráficos y algebraicos, se caracteriza
por las fases integradas y no necesariamente
secuenciadas linealmente, que se indican a
continuación:
5.3.1
Registro de los datos en una tabla y
descripción de la variación
Teniendo presente que la información obtenida
por la tabla da cuenta de la variación numérica
de los fenómenos de variación, se proponen los
siguientes aspectos para su análisis:
o Describir cualitativamente la variación, a
través de preguntas como:
Observación y descripción de la situación
• ¿Cuál es el rango de valores que puede
tomar la variable independiente?
o Inicialmente se propone una descripción
libre de lo que se observa y posteriormente
precisar aspectos como:
• ¿Cuál es el rango de valores que puede
tomar la variable dependiente?
• ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de la variable
independiente se acercan a cero?
• ¿Qué elementos varían? ¿Cómo
varían?
• ¿Qué elementos permanecen constantes?
• ¿Qué valores pueden o podrían tomar
las magnitudes en observación? ¿Por
qué?
• ¿Qué sucede con una de las magnitudes
a medida que varía la otra? Explicar la
respuesta.
• ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de variable independiente aumentan?
• ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de variable independiente disminuyen?
• ¿Existe un valor de la variable independiente para el que se obtenga el valor
o Con base en lo observado, realizar predicciones, formular hipótesis.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
máximo de la variable dependiente? • ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar
¿Uno para el que se obtenga el valor
la variable independiente?
mínimo? ¿Cuáles son estos valores?
• ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar
la variable dependiente?
• ¿Se podrían encontrar otros? Explicar.
• En general, ¿cómo varían los valores de • ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de la variable indela variable dependiente a medida que
pendiente se acercan a cero?
varían los valores de la variable independiente?
• ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de variable indepen• ¿Existen valores en la variable independiente aumentan?
diente a los que les corresponda más de
un valor? Explicar
• ¿Cómo varía la variable dependiente a
medida que los valores de variable indepen• ¿Existen valores diferentes para la
diente disminuyen?
variable independiente a los que les
corresponda un mismo valor? Explicar.
• ¿Existe un valor de la variable independiente
para el que se obtenga el valor máximo de
o Cuantificar la variación mediante la
la variable dependiente? ¿Uno para el que se
realización de diferencias al interior de
obtenga el valor mínimo? ¿Cuáles son estos
cada columna y de cocientes entre estas
valores?
diferencias.
• ¿Se podrían encontrar otros? Explicar.
o Esbozar la gráfica que se producirá al relacionar la variable independiente con la
• ¿En general, cómo varían los valores de la
variable dependiente
variable dependiente medida que varían los
valores de la variable independiente?
5.3.4
Visualización de la gráfica formada • ¿Existen valores en la variable independiente
por un conjunto de valores regisa los que les corresponda más de un valor?
trados
Explicar.
Teniendo presente que la información obtenida • ¿Existen valores diferentes para la variable
por la gráfica hace posible el estudio dinámico
independiente a los que les corresponda un
de la variación y posibilita abordar los aspectos
mismo valor? Explicar.
de la dependencia entre variables, se proponen
los siguientes aspectos para su análisis:
5.3.5 Relacionar la información obtenida
en la gráfica con la información obte• ¿Qué forma aproximada tendría la gráfica
nida en la tabla.
que une los puntos?
Comparar las respuestas obtenidas en los puntos
• ¿En qué coincide con las gráficas esbozadas anteriores y relacionar la información con el
anteriormente? ¿En qué difieren?
fenómeno en estudio.
34
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
5.3.6
Hacer aproximaciones de la expre- 5.4.1 Modelación del Movimiento
Pendular
sión algebraica que mejor relaciona
las variables
Profesor:
Oscar Alberto Narváez
Guerrero
De acuerdo con la descripción cualitativa y
Institución
cuantitativa de la relación entre las variables,
INEM de Pasto Departaintentar formular expresiones algebraicas Educativa:
mento de Nariño
aproximadas que establezcan su mejor relaDécimo
ción. Verificar estas hipótesis introduciendo la Grado:
Asesoría
y
expresión algebraica en el editor de funciones y
comparando la gráfica producida por ésta y por acompañamiento: Universidad de Nariño.
el conjunto de puntos tomados del fenómeno en
I. Guía para los estudiantes
estudio.
5.3.7
Un péndulo es un cuerpo sujeto a la acción de su
propio peso y que puede girar alrededor de un
punto o de un eje horizontal superior a su centro
de gravedad. Un péndulo se puede construir con
una cuerda delgada y una esfera (o cualquier otro
objeto) atada a uno de sus extremos. Un péndulo
se pone en movimiento de la siguiente manera:
se asegura el extremo que no tiene atada la esfera
de tal manera que la esfera cuelgue libremente,
se levanta la esfera manteniendo tensa la cuerda
y se deja caer la esfera.
Hacer el cálculo de regresión
De acuerdo con la función que mejor modela los
datos responder a las preguntas planteadas para
el análisis de los registros anteriores y comparar
las respuestas.
Analizar la función obtenida en el conjunto de
todos los reales (ceros, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, etc.)
Queremos con esta actividad encontrar un
modelo matemático (tablas de datos, gráficas,
ecuaciones, etc.) que describa el movimiento
del péndulo con la mayor precisión posible.
Para esto necesitaremos un CBL, una calculadora TI92 y diferentes péndulos.
5.4 Situaciones didácticas que
promueven el desarrollo del
pensamiento variacional y
potencian el papel mediador
de las nuevas tecnologías
computacionales
A) Actividades.
Las situaciones didácticas que se presentan a
continuación surgieron de actividades que los
profesores que participan en el “Proyecto Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria” desarrollaron en el aula de clase con sus
estudiantes. Se han organizado en un mismo
formato tratando de destacar los puntos más
importantes de cada actividad y los posibles
momentos de gestión en el aula.
a) Construir péndulos de diferentes longitudes
de cuerda y de diferentes pesos.
b) Identificar magnitudes en el movimiento del
péndulo y clasificarlas según cambien con el
transcurso del tiempo o no.
c) Discutir la forma en que se medirían estas
magnitudes y decidir acerca de las unidades
que se utilizarían.
d) Discutir la forma en que se usaría el CBL
para obtener datos de las medidas de una
35
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
e)
f)
g)
h)
de las magnitudes involucradas en el movimiento del péndulo.
Discutir la forma en que se representarían
los datos tomados por el CBL en una gráfica
cartesiana. Explicar el significado de los ejes
coordenados en esta situación.
Predecir el comportamiento de la gráfica en
cuestión relacionándola con el movimiento
real del péndulo.
Proponer, de acuerdo a las predicciones hechas
en el ítem (f), expresiones matemáticas que
conozcan como modelos funcionales para
establecer el comportamiento de la magnitud
en cuestión al transcurrir el tiempo.
Montar el péndulo y el CBL de una forma
conveniente, según lo discutido en el ítem
(d), y tomar los datos.
cias y haga los ajustes que sean necesarios en
la expresión para acercarse mejor a la gráfica
obtenida experimentalmente.
D) Actividades complementarias
a) ¿Cuánto dura cada una de las oscilaciones de
un péndulo? Explique.
b) Si en el péndulo anterior aumentamos el
peso dejando igual la longitud de la cuerda,
¿la duración de cada una de las oscilaciones
es mayor o es menor?
c) Si cambiamos la longitud del péndulo dejando
el mismo peso, ¿en qué cambia la duración
de cada una de las oscilaciones? Si puede,
exprese mediante una expresión matemática
la relación que existe entre la longitud del
péndulo y la duración de cada oscilación.
B) Análisis de datos y gráficas
II. Guía para el profesor
a) Discutir el significado de los datos tomados
por el CBL, explicando con precisión el
significado de la medida de la magnitud en
cuestión a medida que se recorre la tabla.
b) Discutir el significado de la gráfica producida por la calculadora TI92 en términos del
movimiento del péndulo y en términos de los
datos de la tabla.
c) Comparar la gráfica de la calculadora con las
predicciones hechas en el item (f).
A) Actividades.
Las actividades propuestas tienen el propósito
de que los estudiantes entiendan con mayor
profundidad la situación de variación que se
les presenta, identifiquen las magnitudes que
cambian y que no cambian en la misma, le
den sentido al modelo matemático que se va a
producir (tablas, gráficas, expresiones matemáticas, etc.), en términos de la situación real.
C) Conclusiones
Una de las magnitudes que no aparece en forma
explícita en el movimiento del péndulo es el
tiempo pero que debe aparecer en las discusiones acerca del comportamiento de otras
magnitudes involucradas como longitud de
la cuerda, amplitud del ángulo que forma la
cuerda del péndulo en movimiento con respecto
a la cuerda del péndulo en equilibrio, la masa o
el peso del péndulo, entre otros.
a) Hacer en un papel una gráfica del movimiento pendular que represente el comportamiento del de la magnitud medida en la
parte (A) a medida que transcurre el tiempo.
b) Incluir en la gráfica los datos que sean necesarios para la interpretación de la misma.
c) Escribir con sus propias palabras la descripción de la gráfica en términos del movimiento
del péndulo.
d) Hacer la gráfica en la TI92 de la función
propuesta en el ítem (g)-(A) y compararla
con la del ítem (a)-(C). Explique las diferen-
Seguramente la magnitud que se puede medir
con el CBL será la distancia entre el objeto que
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
cuelga en el péndulo y el CBL, que sirve de I. Guía para los estudiantes
punto de referencia.
La simulación que se les presenta en la calculaB) Análisis de datos y gráficas.
dora, representa el movimiento de tres aviones
A, B y C que viajan paralelamente en línea recta
En esta parte es importante socializar los resul- con velocidades distintas siguiendo el mismo
tados obtenidos por cada uno de los equipos de rumbo. El avión A viaja a 400 km/h, el avión
estudiantes mediante la presentación al grupo B a 750 km/h y el avión C viaja con aceleracompleto de estudiantes de las gráficas y expre- ción constante de 0.5 km/h2. En la pantalla 2
siones algebraicas producidas.
cm representan 1000 km. Los tres puntos A, B
y C representan a cada uno de los aviones y el
C) Conclusiones.
número que aparece representa el tiempo que
transcurre. Para dar comienzo a la simulación,
En la parte de conclusiones es donde se propone aplique Animación al número. (En ningún caso
el modelo matemático definitivo para describir borre el número, pues la simulación dejará de
el comportamiento de una de las magnitudes funcionar). El propósito de esta actividad es el
involucradas en el movimiento. Para los estu- de elaborar un informe que de cuenta del estudio
diantes más avanzados se puede recurrir a las del movimiento de cada uno de ellos y de sus
herramientas de regresión que provee la calcu- relaciones utilizando los diferentes sistemas de
ladora TI92. El profesor puede hacer preguntas representación.
acerca del comportamiento del péndulo en
movimiento que se pueda predecir a partir del
A) Actividades.
modelo encontrado. También puede preguntar a
los estudiantes acerca de la relación existente
Primera parte
entre otras magnitudes involucradas y la que se
estudio en la actividad.
a) Observe cómo varía el movimiento de los
aviones a medida que el tiempo transcurre y
D) Actividades complementarias
describa lo sucedido. No olvide mencionar
explícitamente las magnitudes involucradas.
Los problemas propuestos deberán usar, no solamente los modelos matemáticos encontrados,
sino que requerirán de los estudiantes la propuesta b) ¿Hay algún momento en el que dos de
los aviones se encuentren sobre la misma
de tomas adicionales de datos y producción de
vertical? ¿Si la respuesta es afirmativa,
nuevos modelos que se deben comparar con el
cuáles son esos aviones y, aproximadamente,
ya propuesto para sacar conclusiones.
al cabo de cuánto tiempo se encuentran?
de c) ¿Habrá algún momento en el que los tres
aviones se encuentren sobre la misma
vertical? Si la respuesta es afirmativa, ¿al
cabo de cuánto tiempo? De lo contrario,
Profesora: Fabiola Rodríguez García
explicar porqué.
Institución
Educativa: Instituto Pedagógico Nacional de
d) ¿Qué avión ha recorrido mayor distancia al
Bogotá D.C.
cabo de 7 horas? ¿Por qué?
Grados:
Séptimo a Once
5.4.2
Simulación
Aviones
del
Movimiento
37
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
e) Observe el movimiento de cada uno de los
aviones por separado y descríbalo en la
siguiente tabla.
Cociente
Cociente
Cociente
Avión A
Avión B
Avión C
Intervalo
de tiempo
Avión 1
(1, 2.5)
Avión 2
(2, 3.5)
Avión 3
(1, 4)
f) ¿Cómo varía la distancia recorrida por avión
A a medida que transcurre el tiempo?
(3.5, 4)
c) De acuerdo con estos resultados, ¿qué
concluye con respecto al movimiento de
cada uno de los aviones?
g) Haga un bosquejo de la gráfica cartesiana
que relaciona el tiempo de recorrido y la
distancia recorrida por el avión A?
Tercera parte
h) Responder las preguntas f y g para los aviones
B y C.
d) Mida la distancia recorrida por el avión A, en
cualquier instante de tiempo.
Segunda parte
a) Mida y registre en la siguiente tabla las
distancias recorridas por cada avión en cada
uno de los siguientes tiempos, a partir el
momento inicial:
Tiempo Distancia
(horas) avión A
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Distancia
avión B
b) Calcule los cocientes
Distancia
avión C
para cada uno
Fig. 8
de los aviones, en los siguientes intervalos e) Re-edite nuevamente el valor del tiempo y a
de tiempo:
partir del instante 0.00, registre en una tabla
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
los datos obtenidos de tiempo y distancia g) Realice algunas diferencias de los valores
registrados para el tiempo, entre un dato y el
para el avión A1.
anterior. ¿Qué valor obtuvo? Tenga presente
este resultado ya que nos referiremos a él
como .
h) Calcule las diferencia de distancias entre un
dato y el anterior y almacene estos resultados
en otra columna2.
Fig. 10
i) Calcule en otra columna el cociente
.
Fig. 9
Nota: este cociente calcula la velocidad casi
instantánea del avión A ya que el intervalo de
tiempo considerado es relativamente pequeño
(fue por esta razón que se editó el valor del
tiempo con dos cifras decimales). De esta
manera puede comenzar a fundamentarse la
idea de velocidad instantánea y velocidad
media de un móvil.
f) Teniendo en cuenta los valores registrados en
la tabla: ¿cómo varía la distancia del avión A
a medida que transcurre el tiempo? Aproximadamente, ¿en qué momento el avión A ha
recorrido una distancia de 0.5 km? (recuerde
que su correspondiente en la pantalla es de
1cm).
1
2
Para realizar este registro se procede de la siguiente manera:
1. Asegúrese de que no haya datos en el archivo SYSDATA.
2. Una vez esté ubicado en el archivo de Cabri Gémètre sobre el cual se está trabajando, seleccione F6 + 7 Collect data
(agrupar datos), y luego Define Entry (definir entrada).
3. Seleccione los datos que se van a relacionar. Para este caso, seleccione en su orden el tiempo y la distancia del avión A.
4. Almacene los datos: seleccione F6 + 7 Colect data (agrupar datos) Store Data (almacenar datos).
5. Anime el tiempo. Para esto seleccione F7 + 3 Animation (animación) y anime el valor que define el tiempo. Cuando
quiera detener la animación oprima la tecla ESC.
6. Visualice la tabla arrojada por estos valores. Para esto oprima la tecla de Aplicaciones y seleccione 6: Data/Matrix
Editor + Open + Sysdata.
Suponiendo que estos datos de distancia se encuentran en la columna 2, se procede así:
1. Para copiar en otra columna (por ejemplo en C3) y desplazar hacia arriba una celda, los datos obtenidos en C2 (correspondientes a la distancia del aviónA), se oprime F4 con el fin de definir la cabecera de la columna donde se va a copiar y se
digite allí C3 = shift (C2,1). ( Si la calculadora está en español, se debe digitar desplaz (C2,1)
2. En otra columna (por ejemplo C4), se calcula C3-C2. Para esto se ubica en la cabecera de la columna y se digita C3-C2.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Para digitar la expresión no olvide tener
presente el uso adecuado de los paréntesis.
Fig. 12
Fig. 11
n) ¿Qué forma aproximada tendría la gráfica
que une los puntos?
j) ¿Qué valores se obtienen al realizar este
cálculo?
o) ¿Cómo varía la distancia a medida que transcurre el tiempo?
k) ¿Que representa este resultado con relación
al movimiento del avión A?
p) ¿Cuál es la distancia recorrida al cabo de dos
horas? ¿Existe otro valor? Explicar
l) ¿Qué concluye acerca del movimiento del
avión A?
q) ¿En qué momento ha recorrido 0.5 km? (su
correspondiente en la pantalla, de acuerdo
Cuarta parte
con la escala es de 3cm).
m) Construya la gráfica de distancia contra r) Escriba una expresión general que relacione
tiempo del avión A3.
adecuadamente al tiempo transcurrido y la
distancia recorrida por el avión A. Tenga en
cuenta sus observaciones con respecto a la
variación y los resultados numéricos obtenidos en la tabla.
s) Introduzca esta expresión en el editor de
funciones y grafíquela. Compare las gráficas
y escoja la expresión que mejor modela los
datos.
3
Para construir la gráfica se sigue este procedimiento:
1. Ubicados en el editor de datos, seleccionar F2 Plot Setup
2. Seleccionar F1 para definir las características de la gráfica
3. Seleccionar el tipo de gráfica (Scatter) y el tipo de marca para los puntos (Box).
4. Asignar a la variable x los valores correspondientes a la columna 1 (c1)
5. Asignar a la variable y los valores correspondientes a la columna 2 (c2)
6. Oprimir ENTER dos veces
7. Graficar los puntos (♦GRAPH). Para visualizarlos mejor seleccionar ZoomData en F2 + 9.
40
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
t) Realice el cálculo de regresión4 y almacene
el resultado en la variable y1.
ventana apropiada para observar mejor la
función. ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?
Fig. 13
Fig. 14
u) Escriba la función que mejor modela los
datos y de acuerdo con esta expresión: ¿en
qué coincide y en qué difiere con la expresión que usted encontró? ¿ Qué representa
cada coeficiente con relación a los resultados
obtenidos en el análisis de la tabla? ¿ Qué
representa cada coeficiente con relación al
movimiento del avión A?
x) Describa el comportamiento de la gráfica.
Quinta parte.
Repita con los aviones B y C las actividades
realizadas con el avión A
Conclusiones
v) Describa la variación de la distancia con Haga un informe describiendo el movimiento
respecto al tiempo teniendo en cuenta los de los aviones mediante tablas, gráficas y expreresultados obtenidos.
siones algebraicas. Describa las diferencias que
se encuentran en los movimientos de los tres
w) Visualice la función obtenida y los datos aviones sustentando los argumentos por medio
tomados de la simulación y seleccione una de la información recopilada en la actividad.
4
Para hacer el cálculo de regresión:
Ubicados en el editor de datos, seleccionar F5 Calc y escoger el tipo de regresión que se considera mejor ajusta a los datos.
Guardar esta función en y1.
41
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Haga una comparación entre las predicciones
o suposiciones que hizo en el transcurso de la
actividad y los resultados obtenidos.
de escolaridad, teniendo en cuenta el nivel
de desarrollo cognitivo de los estudiantes.
Es decir, es potencialmente realizable desde
grado sexto hasta grado undécimo.
Actividades complementarias
c) Se pretende que los alumnos modelen la
situación a través de la función lineal y la
función cuadrática y exploren en cada una
de ellas los elementos que las definen en sus
diferentes representaciones: tabular, gráfica
b) Haga un análisis de la forma cómo varía la
y algebraica.
distancia entre los aviones A y B con respecto
al transcurrir del tiempo.
d) Es importante que el profesor esté familiarizado tanto con el manejo técnico de la calcuc) Repita lo mismo que en el ítem (b) con los
ladora requerido para la actividad, como con
aviones A y C.
el desarrollo de la misma. Por tal razón es
aconsejable que desarrolle previamente toda
d) Repita lo mismo que en el ítem (b) con
la actividad y dimensione su potencial, para
los aviones A y B pero suponiendo que los
que pueda hacer adaptaciones, cambios y
aviones viajan en direcciones que forman un
extensiones de la misma, teniendo en cuenta
ángulo de 90°
las características de sus estudiantes y lo que
quiere desarrollar en ellos.
II. Guía para el profesor
e) Debido a que esta actividad puede realizarse
A) Actividades.
desde los primeros grados de secundaria,
los conocimientos previos dependerán del
a) Se presenta un archivo construido en Cabri,
aspecto de la modelación sobre el que se
el cual debe ser elaborado previamente por el
quiera enfatizar. Por ejemplo, si se quiere
profesor y grabado en las calculadoras de los
hacer la modelación algebraica del problema
estudiantes. En dicho archivo está construida
(esta se propone como una de las últimas
la simulación del movimiento de tres aviones
etapas), es conveniente que los estudiantes
que viajan paralelamente en línea recta y en
estén familiarizados con los términos y las
el mismo sentido. Se pretende que a través
operaciones con polinomios.
de la observación, la exploración y la sistematización de los resultados, los estudiantes B) Análisis de datos y gráficas.
modelen las situaciones de cambio presentes
en la simulación y expresen el modelo en a) En la segunda parte, donde se toman
palabras y simbólicamente, representándolo
medidas, puede desarrollarse con distintos
en forma tabular, gráfica y mediante exprematices dependiendo del grado en el que
siones algebraicas.
se desarrolle. Por ejemplo, puede aprovecharse para analizar la información obtenida
b) La actividad está propuesta para ser desaen la tabla en términos de la variación de las
rrollada en diferentes momentos, los cuales
distancias a medida que varía el tiempo, para
pueden implementarse en diferentes niveles
introducir el significado de pendiente de una
a) Haga un análisis de la manera cómo varía
la velocidad del avión C con respecto al
tiempo.
42
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
recta como cociente entre las diferencias f) Vale la pena detenerse en la reflexión sobre
la diferencia de resultados obtenidos para el
de las ordenadas y de las abscisas, o puede
avión A y para el avión C.
aprovecharse para reforzar el concepto de
velocidad media.
C) Conclusiones
b) Antes de registrar los datos se sugiere
re-editar el valor numérico del tiempo t y Algo que es muy ilustrativo es el comparar los
asignarle 0.00. De esta manera los intervalos resultados obtenidos en el estudio y los que se
de tiempo que se consideran serán más esperaban inicialmente. Se puede pedir a los
pequeños y facilitará el análisis posterior de estudiantes que vayan registrando sus conjela velocidad media, aunque la simulación turas con respecto a la forma de las gráficas,
del movimiento se haga más lenta. Se expresiones algebraicas y al comportamiento de
aconseja tomar valores hasta el momento las tablas, para poder hacer las comparaciones
t=3.7 aproximadamente. Esta toma de datos en el informe.
tomará un tiempo.
D) Actividades complementarias.
c) El cociente que se calcula en la actividad es la
velocidad casi instantánea del avión A ya que
el intervalo de tiempo considerado es relativamente pequeño (fue por esta razón que
se editó el valor del tiempo con dos cifras
decimales). De esta manera puede comenzar
a fundamentarse la idea de velocidad instantánea y velocidad media de un móvil. Para
digitar la expresión no olvide tener presente
el uso adecuado de los paréntesis.
Dentro de los problemas se pueden incluir los
que planteen los estudiantes. Frecuentemente
se presentan problemas muy interesantes cuya
solución pone a prueba lo aprendido en la actividad. A los estudiantes más avanzados se les
puede pedir que construyan la simulación y
simulaciones similares.
E) Construcción de la simulación.
La construcción propuesta utiliza una
característica del programa de geometría
dinámica Cabri, el cual ofrece la posibilidad de
animar un número. De esta manera, si se escribe
un número cualquiera utilizando Edición
Numérica (Numerical Edit) y luego se le anima,
éste comenzará a aumentar o a disminuir su
valor. Teniendo en cuenta que además podemos
efectuar cálculos utilizando este número y
transferir esas medidas a objetos geométricos
de la pantalla, podemos hacer la simulación del
movimiento de tres puntos que representan el
movimiento de los aviones.
d) Una variación a la estrategia aquí presentada
consiste en hacer primero la construcción de
la gráfica directamente en Cabri y a partir de
allí orientar la reflexión. Es decir se puede
aprovechar para hacer un análisis eminentemente geométrico.
e) La actividad que se desarrolla con el avión C
se puede usar para introducir el estudio de la
función cuadrática Su desarrollo se realizará
de manera similar al realizado en el análisis
del movimiento del avión A. Debe tener
presente que el archivo en el que se guardan
los datos, está ocupado con los datos ante- La simulación consiste en definir un número t
riores así que debe borrarse el archivo para que representará el tiempo en horas, y con base
registrar allí los nuevos datos.
en él se calcularán las distancias recorridas por
43
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
cada avión. Estas distancias son: para el avión
A, t*400; para el avión B, t*750 y para el avión
C, 0.5*t2. Sin embargo, como tenemos una
restricción de tamaño en la pantalla, y teniendo
en cuenta que las medidas se hacen en centímetros, debemos hacer un ajuste de escalas para
representar las distancias. Consideremos por
ejemplo la equivalencia de 2cm con 1000km.
Esto quiere decir que 1km equivale a 0,002cm.
De esta manera las ecuaciones para calcular las
distancias de cada avión, se convierten respectivamente en: t*0.8, t*1.5 y 0.5*t2.
Para construir la simulación se pueden seguir
los siguientes pasos:
1. Con la herramienta Edición Numérica,
escriba el número 0.0 (la cifra decimal determina la rapidez de variación del número).
2. Con la herramienta Calcular, obtenga el
número que representa la distancia recorrida
por el avión A, es decir t*0.8.
3. Use el mismo procedimiento para las distancias recorridas por el avión B( t*1.5) y por el
avión C (0.5*t2)
4. Construya la ruta de los aviones: dibuje tres
semirrectas paralelas (de manera que ocupen
la pantalla a lo ancho)
5. Transfiera la distancia calculada de cada uno
de los aviones en la semirrecta respectiva.
6. Marque cada punto que representa los aviones
con las etiquetas correspondientes A, B y C.
7. Oculte los resultados obtenidos en los puntos
2 y 3.
8. Para que la simulación funcione, anime el
valor de t
44
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
Para animar el número seleccione Animación
(menú F7) y luego haga clic sobre el número.
Luego desplace el cursor hacia abajo si
quiere que el número aumente, o hacia arriba
si quiere que el número disminuya.
Para detener la animación oprima ENTER.
Un segundo ENTER reanuda la animación.
Si desea salir de la animación oprima ESC.
Para recomenzar la animación edite el
número colocándolo en 0.00 y luego aplíquele animación.
A los estudiantes se les entregará el archivo
con la simulación considerando el tiempo t
= 0.0 y a partir de la exploración y la manipulación de los objetos se desarrollarán los
diferentes momentos.
5.4.3
La función seno y su gráfica.
Fig 15. Simulación del Movimiento de los Aviones
Profesor:
Alcides Fernández
Nota: Es importante dominar el procedimiento
Guerrero
de animación de un número; de lo contrario Institución
puede dañarse la construcción y detener el desa- Educativa:
Colegio Nacional Loperrollo de la actividad. Por lo tanto debe tenerse
rena de Valledupar Cesar.
en cuenta lo siguiente:
Grado:
Décimo
Asesoría y
El número puede editarse de dos maneras: acompañamiento: Álvaro Solano Solano,
haciendo doble clic sobre él, o seleccioProf. Univ. Popular del
nando Edición Numérica y luego clic sobre
Cesar.
el número. Al editar el número usted puede
cambiarlo, añadirle o eliminarle cifras deci- I. Guía para los estudiantes
males.
Establecer e interpretar en forma clara y precisa
El número animado variará a una velocidad la relación que existe entre el ángulo que se
constante en las unidades, decenas, décimas, encuentra en posición normal y el cociente de
centésimas, etc. dependiendo de dónde esté el la longitud del lado opuesto al ángulo del triáncursor de edición. Si el número está variando gulo rectángulo correspondiente y su hipoteen unidades y desea que varíe en centésimas, nusa (radio de la circunferencia). Se trabajará
edítelo y luego oprima ♦y mueva el cursor con la simulación propuesta en la calculadora
hasta las centésimas.
TI92 plus.
45
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
c) Detenga en cualquier momento el punto P en
cada cuadrante y observe los valores de la
ordenada.
A) Actividades.
Primera parte
En la simulación que se presenta en la calcula- d) Calcule el cociente entre la ordenada y la
dora, el punto P se mueve libremente sobre la
longitud del radio. Anime otra vez el punto P,
circunferencia.
observe y escriba en su cuaderno el comportamiento del cociente.
e) Duplique el radio de la circunferencia y
detenga el punto P en cada cuadrante
1. ¿Qué relación hay entre estas razones
obtenidas y las del inciso anterior?
2. Haga un bosquejo de la gráfica que relaciona el cociente con la amplitud del
ángulo.
Segunda parte
Fig. 16
Animar el punto P y registrar datos.
a) Mueva el punto P sobre la circunferencia.
Observe y escriba en su cuaderno lo que pasa a) Agrupe datos para una circunferencia de
con el ángulo t y el segmento (dirigido) QP.
radio unidad y deje que el punto P de una
Describa las relaciones que encuentra en los
vuelta completa.
casos que usted crea más representativos.
b) Abra el archivo Sysdata, cambie el nombre
b) Si x representa la magnitud del ángulo t y
del archivo por Sysdata1 y pídale a la calcus la magnitud del segmento QP, haga un
ladora hacer la gráfica.
bosquejo en su cuaderno de lo que usted cree
que puede ser la gráfica que representa la c) Repita los pasos anteriores para una circunrelación entre s y t.
ferencia de radio 2.
c) Pida a la calculadora que presente las coordenadas del punto P. Anime el punto P,
observe y escriba lo que observa en relación
con:
1. Abra el archivo Sysdata y compare los
datos con los del archivo anterior
2. ¿Cómo son las gráficas?
Las coordenadas del punto P en los 4
cuadrantes y sus signos.
3. Analice el comportamiento de la gráfica
en cada cuadrante.
Valor de la ordenada en las distintas
posiciones del punto P.
4. ¿Observe la tabla y la gráfica y determine en ambos casos cual es el mayor
46
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
valor de la ordenada y el menor valor de
la ordenada?
aconsejable que desarrolle previamente toda
la actividad y dimensione su potencial, para
que pueda hacer adaptaciones, cambios y
extensiones de la misma, teniendo en cuenta
las características de sus estudiantes y lo que
quiere desarrollar en ellos.
B) Conclusiones
Escriba un reporte completo en el que compara
los resultados obtenidos en la primera parte de
la actividad y en la segunda. No olvide incluir
tanto los bosquejos que propuso inicialmente
como las gráficas producidas por la calculadora.
Presente una tabla representativa con valores de
la amplitud del ángulo y los valores correspondientes de la ordenada de P para una circunferencia de radio 1.
B) Análisis de datos y gráficas
En esta parte es importante socializar los resultados obtenidos por cada uno de los equipos de
estudiantes mediante la presentación al grupo
completo de estudiantes de las gráficas y expresiones algebraicas producidas.
C) Actividades complementarias
C) Conclusiones
Repetir todo el estudio anterior con la abscisa
del punto P en lugar de la ordenada. Haga una
comparación de los dos casos estableciendo las
diferencias y las semejanzas.
Algo que es muy ilustrativo es el comparar los
resultados obtenidos en el estudio y los que se
esperaban inicialmente. Se puede pedir a los
estudiantes que vayan registrando sus conjeturas con respecto a la forma de las gráficas,
expresiones algebraicas y al comportamiento de
las tablas, para poder hacer las comparaciones
en el informe.
II. Guía para los profesores
A) Actividades.
En la parte de conclusiones es donde se propone
el modelo matemático definitivo para describir
el comportamiento de las magnitudes involucradas en el movimiento. Para los estudiantes
más avanzados se puede recurrir a las herramientas de regresión que provee la calculadora
TI92. El profesor puede preguntar acerca de la
relación existente entre otras magnitudes involucradas y las que se estudiaron en la actividad.
Se presenta un archivo construido en Cabri,
el cual debe ser elaborado previamente por el
profesor y grabado en las calculadoras de los
estudiantes. En dicho archivo está construida
la simulación del movimiento de un punto
P sobre una circunferencia. Se pretende
que a través de la observación, la exploración y la sistematización de los resultados,
los estudiantes modelen las situaciones de
variación cambio presentes en la simulación
y expresen el modelo en palabras y simbólicamente, representándolo en forma tabular,
gráfica y mediante expresiones algebraicas.
D) Actividades complementarias
Se puede pedir a los estudiantes diseñar situaciones similares a la planteada, por ejemplo,
cambiando la circunferencia por un polígono
Es importante que el profesor esté familiari- (triángulo, cuadrado, etc.), construir las simuzado tanto con el manejo técnico de la calcu- laciones, obtener las conclusiones corresponladora requerido para la actividad, como con dientes y hacer las comparaciones entre las
el desarrollo de la misma. Por tal razón es diferentes situaciones.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
E) Construcción de la simulación.
I. Guía para los estudiantes
Para construir la simulación se pueden seguir Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia
los siguientes pasos:
arriba con una velocidad inicial en las proximidades de la tierra. Debemos establecer la rela1. Abrir un nuevo archivo de Cabri en la calcu- ción entre las distintas velocidades que adquiere
ladora y nombrarlo Fseno.
el cuerpo y el tiempo empleado para adquirir
cada una de ellas, lo mismo que la relación
2. Pedir al programa que muestre los ejes.
entre el desplazamiento del objeto y el tiempo
transcurrido. Modelaremos las situaciones de
3. Con centro en el origen de coordenadas trazar cambio presentadas y hallaremos una expreuna circunferencia de radio arbitrario.
sión algebraica que relaciona estas variables.
Usaremos para esto los diferentes sistemas de
4. Representar un punto P sobre la circunfe- representación que ofrece la TI-92 Plus. La
rencia.
situación se presenta en una simulación diseñada para que podamos observar, conjeturar,
5. Trazar una recta perpendicular al eje x que tomar datos, graficar etc.
pasa por el punto P y llamar Q su intersección con el eje x.
A) Actividades.
6. Nombrar O el origen de coordenadas y trazar
Primera parte
el segmento OP.
a) Anime el número que representa el tiempo.
7. Trazar el vector QP.
b) Observe la variación del movimiento del
objeto a medida que transcurre el tiempo y
describa lo sucedido.
8. Ocultar los ejes de coordenadas y la recta
perpendicular al eje x.
9. Transferir el archivo Fseno a las calculadoras
c) ¿Cómo cree que varía la velocidad al transde los estudiantes.
currir el tiempo en el movimiento de subida
y de bajada?
5.4.4
Estudio de la simulación del lanzad) ¿Cómo cree que varía la distancia desde
miento de un cuerpo
el punto de lanzamiento al transcurrir el
tiempo?
Profesores:
Luis Ortiz Padilla y Pedro
Juan Torres Flórez
e) ¿Qué tipo de grafica se producirá al relaInstitución
cionar la variable velocidad y la variable
Educativa:
Colegio Técnico la Espetiempo?
ranza Valledupar Cesar.
Grado:
Noveno
f) ¿Qué tipo de grafica se producirá al relaAsesoría y
cionar la variable distancia y la variable
Acompañamiento: Álvaro Solano Solano, Prof.
tiempo?
Univ. Popular del Cesar.
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
e) ¿Qué tipo de función representa la expresión
algebraica obtenida?
Segunda parte
a) Registre en la siguiente tabla las velocidades y los desplazamientos del objeto para f) ¿Qué representan cada uno de los términos
de la ecuación?
cada uno de los intervalos de tiempo que se
g) Elabore la grafica en el plano v t.
indican en la tabla:
Tiempo en
segundos
Velocidad en
metros por
segundo
Distancia en
metros
7.5
0.000
0.000
0.111
0.222
0.333
0.444
0.555
0.666
0.765
0.888
0.999
1.111
1.222
1.333
1.531
h) Verifique y constate que tipo de gráfica
representa la velocidad contra el tiempo,
agrupando datos y almacenándolos.
i) Compara esta gráfica con la que obtuviste
anteriormente (v t).
j) Calcule la regresión que mejor modela la
situación problema con ayuda de la TI-92+ y
compara con la obtenida en la pregunta 2 b.
k) ¿Qué significado tienen los términos que
aparecen en esta regresión?
l) Observación: con este mismo procedimiento
se puede abordar la función cuadrática, pero
tomando desplazamiento - tiempo.
II. Guía para los profesores
b) Calcule los cocientes (V2 – V1)/ (t2 – t1)
A) Actividades.
El poder utilizar los diferentes sistemas de
representación: geométrico, tabular, grafico,
algebraico y la misma ejecución de la simulación construida, ayudará a los estudiantes
a interpretar la variación que se evidencia
entre las magnitudes presentes en la simulación. Se busca que los estudiantes a través de
la manipulación, observación, exploración
y análisis de resultados de la situación planteada, modelen las situaciones de cambios
c) ¿Son significativamente iguales estos
presentes en esta y logren establecer relacocientes?
ciones entre los elementos que intervienen,
elaborando un modelo simbólico cuya estrucd) Escriba una ecuación que relacione las variatura esté basada en tabulaciones, graficas y
bles V y t.
expresiones algebraicas.
Intervalos
0.000-0.111
0.111-0.222
0.333-0.444
0.444-0.555
0.555-0.666
0.666-0.765
(V2 – V1)/ (t2 – t1)
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
Es importante que el profesor esté familiarizado tanto con el manejo técnico de la calculadora requerido para la actividad, como con
el desarrollo de la misma. Por tal razón es
aconsejable que desarrolle previamente toda
la actividad y dimensione su potencial, para
que pueda hacer adaptaciones, cambios y
extensiones de la misma, teniendo en cuenta
las características de sus estudiantes y lo que
quiere desarrollar en ellos.
esperaban inicialmente. Se puede pedir a los
estudiantes que vayan registrando sus conjeturas con respecto a la forma de las gráficas,
expresiones algebraicas y al comportamiento de
las tablas, para poder hacer las comparaciones
en el informe.
D) Actividades complementarias.
Dentro de los problemas se pueden incluir los
que planteen los estudiantes. Frecuentemente
se presentan problemas muy interesantes cuya
B) Análisis de datos y gráficas.
solución pone a prueba lo aprendido en la actia) En la segunda parte, donde se toman medidas, vidad. A los estudiantes más avanzados se les
puede desarrollarse con distintos matices puede pedir que construyan la simulación y
dependiendo del grado en el que se desa- simulaciones similares.
rrolle. Por ejemplo, puede aprovecharse para
analizar la información obtenida en la tabla E) Construcción de la simulación.
en términos de la variación de las distancias
a medida que varía el tiempo, para introducir La construcción propuesta se logra a través del
el significado de pendiente de una recta como siguiente procedimiento:
cociente entre las diferencias de las ordenadas
y de las abscisas, o puede aprovecharse para 1. Ingrese a la edición Numérica- Enter y se
edita 0.000 (tiempo)
reforzar el concepto de velocidad media.
b) Antes de registrar los datos se sugiere re- 2. Se hace otra edición Numérica : 7.5 (Velocidad inicial)
editar el valor numérico del tiempo t y asigSe construye un punto A que representará el
narle 0.00. De esta manera los intervalos
cuerpo.
de tiempo que se consideran serán más
pequeños y facilitará el análisis posterior de
la velocidad media, aunque la simulación del 3. Se construye una semirrecta que tenga como
punto inicial A, en forma vertical hacia
movimiento se haga más lenta.
arriba.
c) Una variación a la estrategia aquí presentada
consiste en hacer primero la construcción de 4. Para introducir la ecuación del movimiento
del cuerpo A (movimiento rectilíneo uniforla gráfica directamente en Cabri y a partir de
memente acelerado):
allí orientar la reflexión. Es decir se puede
aprovechar para hacer un análisis eminentea) Calcular
mente geométrico.
b) Introduzca la ecuación
Vi xt – 9.8xt2 /2 de la siguiente forma:
7.5x0.000-(9.8x0.0002)/2, Enter; esto
representará la distancia “Y” recorrida
C) Conclusiones.
Algo que es muy ilustrativo es el comparar los
resultados obtenidos en el estudio y los que se
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
por el punto (cuerpo) . Observación: rectas representará la dependencia del radio de
Seleccione las variables Vi y t con el la circunferencia y su longitud. Esconda las dos
mouse, no las escriba directamente.
últimas rectas. Al marcar la traza al punto D y
desplazar B sobre la recta AB observaremos el
c) Introduzca la ecuación Vi – gt, de la cambio de posición de D.
siguiente forma: 7.5 – 9.8x0.000, enter
(esto representará la velocidad del
cuerpo A en cada instante)
d) Luego Escape(Esc)
5. Transfiera la medida R: 0.00 a la semirrecta.
6. a) Colóquele las letras y signos que aparecen
en la gráfica de la guía
b) oculte la edición numérica 7.5
c) coloque la semirrecta punteada.
7. Anime el tiempo
8. Para detener la animación utilice Enter
9. Para volver el tiempo a 0.000 coloque el
puntero sobre el número que representa el
tiempo, oprima 2 veces enter, borre cada
digito con “Del” y escriba de nuevo 0.000.
Fig. 17
5.4.5
Simulaciones en Cabri para diseñar 5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un
rectángulo con perímetro fijo
otras actividades
Trace un segmento horizontal AB. Tome un
punto C sobre el segmento. Trace dos rectas
perpendiculares (horizontal y vertical). Con
el compás traslade la longitud de AC sobre la
recta horizontal a partir del punto de intersección. Determine el punto de intersección de la
circunferencia con el eje horizontal. Oculte la
circunferencia.
5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia.
Trace una semirrecta vertical de origen A hacia
arriba. Trace una recta perpendicular a la semirrecta que pase por A. Tome un punto B sobre
la recta y trace una circunferencia con centro en
B y radio BA. Mida la longitud de la circunferencia y transfiera la medida sobre la semirrecta.
Se obtiene un punto C sobre la semirrecta (AC
representa la longitud de la circunferencia) Trace
una recta perpendicular a AB que pasa por B y
una recta perpendicular a AC que pasa por C.
El punto D de intersección de estas dos últimas
Haga lo mismo con la longitud de CB pero sobre
la recta vertical. Usando perpendiculares construya un rectángulo con la información transferida a las rectas vertical y horizontal. (Recuerde
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
que debe usar la opción polígono y ocultar las 5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del
rectas). Al mover el punto C en el segmento AB
rectángulo inscrito en una circunfese observa la variación del ancho y la altura de
rencia y su área
un rectángulo con perímetro fijo.
Trace una circunferencia y construya su
diámetro (trace una recta que pase por el centro
de la circunferencia y construya el segmento que
pasa por los puntos de intersección. Oculte la
recta). Ubique un punto sobre la circunferencia
y llámelo A. Una los vértices del segmento con
este punto y trace las paralelas respectivas para
construir el rectángulo. Construya el rectángulo
(con la opción polígono) sobre estos vértices.
Oculte las rectas. Varíe la posición del punto
y relacione la longitud de uno de los lados del
rectángulo con el área del mismo.
Fig. 18
5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área
de un rectángulo con perímetro fijo.
En la construcción anterior mida los segmentos
AC y CB y calcule el producto con la calculadora. Transfiera el resultado a la recta vertical
desde el punto de intersección. Construya el
punto que representa la variación del lado horizontal del rectángulo y de su área con rectas
perpendiculares. Al mover C sobre AB se
observa la variación del área con respecto al
lado horizontal.
Fig. 19
5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio
inscrito en una semicircunferencia y la
altura del trapecio
5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo
Haga lo mismo que en la construcción 1 pero
en lugar de transferir la longitud de la circunfe- Trace una circunferencia de centro O y cualquier radio OB. Coloque un punto A sobre la
rencia, transfiera el área.
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
circunferencia. Trace la paralela al radio que
pase por el punto A. Determine el otro punto
de corte de dicha paralela con la circunferencia y llámelo C. Trace el polígono determinado por estos cuatro puntos. Para trazar la
altura de éste trapecio, trace la perpendicular
a OB por A y construya el segmento que une
a A con el pie de la perpendicular. Oculte la
recta.
5.4.6
La derivada como razón de cambio5
Profesor: Jorge Enrique Fiallo Leal
Institución
Educativa: Universidad
Industrial
de
Santander
Grado:
11 y Cálculo a Nivel Universitario.
I. Guía para los estudiantes.
Calcule la medida del ángulo AOB y la longitud
de la altura del trapecio. Mueva el punto A y Objetivos
analice la variación de la medida del ángulo y la
- Utilizar la simulación en Cabri como un
longitud de la altura.
modelo de representación visual que permita
comprender el concepto de derivada como
razón de cambio.
- Utilizar otras aplicaciones de la TI-92 Plus
para el análisis y la comprensión de los
conceptos del problema planteado
El problema
Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho,
2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en
el otro; se está llenando de agua como se observa
en la siguiente simulación. (Por convención
en la calculadora se ha tomado 1cm por cada
metro y una unidad de tiempo la consideramos
como un minuto).
A) Actividades
Abra el archivo ALBERCA y responda las
siguientes preguntas:
Fig. 20
5
Actividad resultado de un proceso de construcción de la simulación del problema de razones afines “Una alberca de 4mts de
largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro; se está llenando de agua con una rapidez
constante de 3.3 mts3 por minuto”, presentado en el libro de Cálculo con Geometría Analítica de Edwin. J. Purcell y adaptado
por el autor de esta propuesta, con el objetivo de tener una ayuda de visualización en este tipo de problemas, que generalmente
involucran dos o más variables con la variable tiempo de una manera indirecta y que no necesariamente necesitan ser expresadas cada una de ellas en función del tiempo
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
1. Asegúrese que el tiempo está es 0.0
B) Análisis de datos y gráficas.
2. Anime el tiempo durante 17 minutos (recuerde 8. Represente gráficamente esta función. ¿Cuál
es el dominio y el rango?
que cada unidad del número que representa el
tiempo lo consideramos como un minuto) y
9. Exprese algebraicamente el volumen en
describa lo que observa.
función de la altura. Represente gráficamente esta función y determine su dominio
3. ¿Cuáles son las magnitudes variables en
y rango.
el problema? ¿Estas magnitudes siempre
varían hasta llenarse la alberca?
10.Exprese algebraicamente el volumen en
función del tiempo. Represente gráfica4. Halle el valor de la altura (h), el largo (l) y
mente esta función y determine su dominio
el volumen (V) cuando el tiempo es igual a:
y rango.
1min, 5min, 10min, 12min, 15min, 17min,
18min.
11.Cambie el tiempo a 0.90 y almacene los
datos del tiempo y la altura hasta un tiempo
5. Utilizando la opción agrupar datos consigual a 1.10.
truya una tabla con los valores de t, h, l y V
en las columnas C1, C2, C3, C4 respectiva12.Para los datos anteriores calcule
mente para 0 ≤ t < 10
a) ¿Qué relación existe entre la altura y el 13.¿Aproximadamente cuál es la razón de
cambio de la altura con respecto al tiempo
largo de la alberca?
alrededor de 1 minuto?
b) ¿Esta relación se mantiene durante todo
el tiempo en que dura llenándose la 14.Para ser más exacto tome más datos alrededor de t = 1 de la siguiente manera:
alberca?
1. Borre los datos tomados anteriormente
en el archivo sysdata.
2. Cambie el tiempo a 0.990
3. Seleccione el tiempo, la altura, el
volumen y registre los datos en sysdata,
hasta que el tiempo sea 1.010.
( = 0.001)
c) ¿Cuál es el valor de h, l, y V en la tabla
cuando t = 1, 2, 5, 7, 10 minutos?
d) ¿Qué sucede con el largo y el volumen
cuando t ≥ 10?, ¿Cómo interpreta este
hecho?
6. En la calculadora defina (F2-F1) la relación entre el largo y la altura y cópiela 15.Halle la razón de cambio entre la altura y
el tiempo para
= 0.001 de la siguiente
en plot 1. Visualice los datos en el editor
manera:
gráfico.
a) Ubíquese en C5 y escriba C5=
shift(C2,1). Compare las columnas C5 y
C2. ¿Qué observa?
7. Exprese algebraicamente el largo en función
de la altura. Según esta expresión, ¿Cuál es
el largo cuando h = 1.6?
54
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
se está llenando de agua con una rapidez constante de 3.3 mts3 por minuto”, presentado en
el libro de Cálculo con Geometría Analítica de
Edwin. J. Purcell y adaptado por el autor de esta
propuesta, con el objetivo de tener una ayuda
de visualización en este tipo de problemas, que
generalmente involucran dos o más variables
con la variable tiempo de una manera indirecta
y que no necesariamente necesitan ser expresadas cada una de ellas en función del tiempo;
éste hecho crea a veces confusión en el estudiante y terminan por aceptar que en este tipo
de problemas lo que se debe hacer es buscar una
expresión algebraica que relacione las variables
del problema para luego derivar (sin saber por
qué) en función del tiempo.
b) Ubíquese en C6 y escriba C5-C2
c) Halle la razón entre la variación de
la altura y la variación del tiempo
0.001 ubicándose en C7 y escribiendo
C7= C6 ÷ 0.001
d) ¿Aproximadamente a qué valor tiende
esta razón alrededor de 1?
16.Repita el anterior proceso variando el tiempo
desde 0.9990 hasta 1.0010 ( = 0.0001)
a) ¿Aproximadamente a qué valor tiende
la razón de cambio entre la altura y el
tiempo (rapidez) alrededor de t=1?
b) ¿Cuál es la razón de cambio entre la Para llegar a esta construcción fue necesario
altura y el tiempo para t=1 cuando
primero iniciar con algunos otros problemas
tiende a cero?
más sencillos de simular, como por ejemplo,
determinar la rapidez en un tiempo determinado
C) Conclusiones
con que se aleja un globo que sube verticalmente de un observador parado a una distancia
17.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua dada, y otros planteados en los libros clásicos
cuando tiene 1mt de altura en el extremo de Cálculo I, en estos problemas se entendió
más hondo? (razón de cambio de la altura la relación directa que existe entre las variacon respecto al tiempo)
bles involucradas en el problema y la variable
tiempo, puesto que para la construcción de la
18.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua simulación es necesario determinar primero
cuando tiene 1.7mt de altura en el extremo esta variación, por ejemplo, si queremos que la
más hondo?
rapidez con que suba el globo sea de 1 cm (que
podrían ser 10 mts) cada 10 segundos (o cual19.¿Con qué rapidez aumenta el volumen quier otra unidad de tiempo), debemos partir
cuando la altura es de 1 mts, 1.7 mts?.
de la edición de un número que represente el
tiempo y realizar el cálculo del cociente entre la
II. Guía para el profesor
variable tiempo y 10, para luego transferir este
resultado a una semirrecta vertical situada a la
A) Orientaciones generales
distancia dada del observador.
La presente actividad es el resultado de un
proceso de construcción de la simulación del
problema de razones afines “Una alberca
de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de
profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro;
Estas construcciones también permitieron ver la
relación existente entre la derivación y la integración, puesto que para realizar la construcción
debemos entender que si se quiere que la rapidez
sea constante, entonces la ecuación inicial que
55
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
involucra la variable con el tiempo debe ser el
de las aplicaciones de la calculadora que se
producto de esta constante por el tiempo, o en
involucran en la solución del problema.
caso que se quiera que la rapidez no sea constante se debe partir de otras relaciones alge- 3. Por tratarse de un problema que algebraibraicas como lo veremos en la construcción del
camente tendría que plantearse para cualproblema que nos ocupa. La belleza de esta
quier instante como una función definida por
simulación radica en el esfuerzo que fue neceintervalos, la calculadora sólo toma datos de
sario para llegar a representar dinámicamente
acuerdo al intervalo que se esté trabajando
lo que se quería a través de una construcción
como lo explicaremos más adelante, por lo
geométrica teniendo en cuanta los diferentes
tanto la toma de datos debe realizarse de
aportes, preguntas, inquietudes y sugerencias
acuerdo al intervalo y para otro intervalo se
que se recibieron en cada una de las oportunideben eliminar los datos tomados anteriordades que se fue presentando alguna versión
mente.
de la construcción y de las preguntas del taller
que buscan llevar al estudiante a la compren- 4. Por lo extensa y cuidadosa que es la construcsión del concepto de derivada como razón de
ción de la simulación se recomienda que el
cambio.
docente la lleve ya guardada en un archivo y
no pida que los estudiantes la realicen, auque
El taller contribuirá a procesos más generales
sería conveniente y formativo enseñarles la
tales, como:
simulación de otros problemas más sencillos
ya que estos le permiten comprender mejor
• La comprensión del concepto de derivada
las relaciones existentes entre las variables
como razón de cambio, los proceso de
del problema y la variable tiempo.
análisis, de generalización y de formalización que se puede lograr con el uso de las B) Actividades
nuevas tecnologías.
5. Todo el taller consta de dos partes (la construcción para el profesor y el taller para
• Iniciar o continuar proceso de transformalos estudiantes), En el taller para los estución de las prácticas educativas con miras a
diantes se han agregado otras preguntas y el
lograr una mayor comprensión de las mateestudiante no sabe la rapidez del volumen,
máticas por parte de sus estudiantes.
la rapidez de la altura ni la rapidez del
largo de la piscina (estos cálculos los
Antes de iniciar con el taller planteado y con
encuentra con la ayuda de la calculadora
la construcción de la simulación, es bueno
y del profesor), también debe encontrar
realizar los siguientes comentarios para la mejor
la relación entre el largo y el alto de la
comprensión del profesor que lleve a su aula
piscina, realizar graficas, etc.; si el docente
esta propuesta:
lo considera necesario se pueden suprimir
algunas de las preguntas y dejar sólo las
1. Es necesario que el profesor domine en gran
correspondientes al estudio de la derivada
medida el programa Cabri de la calculadora,
como razón de cambio.
para la construcción de la simulación.
2. Es fundamental que tanto el profesor como 6. Se recomienda entregar el archivo con la
simulación asegurándose el docente que
el estudiante, tengan un excelente dominio
56
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
número que representa el tiempo esté • Trace el cuadrilátero con vértices en el
en 0.0
inicio de la primera semirrecta vertical,
el punto que representa la longitud 2, el
C) Construcción de la simulación
que representa la longitud 4 y el punto de
intersección de las dos perpendiculares
Construcción del sólido
(figura 10).
• Edite los números 4, 2, 1.5, 1.1 y 1.0
(Medidas de la alberca y el tiempo)
• Ubique el número 1.0 al lado inferior derecho
de la pantalla y llámelo tiempo: Comentario
al lado izquierdo del número.
• Represente una semirrecta vertical hacia
arriba en el lado izquierdo de la pantalla.
• Transfiera sobre la semirrecta las medidas 2
y 1.5.
Fig. 21
• Trace un segmento desde donde inicia la
• Trace una semirrecta desde el vértice
semirrecta hasta el punto que representa
superior izquierdo con una inclinación
la longitud de 1.5 y otro segmento desde
respecto a la horizontal de aproximadaeste punto hasta el punto que representa la
mente 45 grados y transfiera sobre ella el
longitud 2.
número 1.1.
• Trace una perpendicular a la semirrecta o al
• Trace un vector desde el inicio de la anterior
segmento desde este último punto.
semirrecta hasta el punto que representa la
longitud 1.1.
• Trace una semirrecta desde el punto que
representa la longitud 2 sobre la recta perpendicular y oculte el punto que queda sobre la • Traslade el cuadrilátero en la dirección del
vector y oculte la semirrecta y el vector.
recta y la semirrecta.
• Transfiera el número 4 a la semirrecta hori- • Una con segmentos cada vértice del polígono
y su respectiva imagen.
zontal y trace una perpendicular a ésta desde
el punto transferido.
• Represente a trazos el polígono imagen y el
segmento que une el vértice inferior izquierdo
• Trace una perpendicular desde el punto
con su imagen.
superior del segmento de longitud 1.5 a este
segmento o a la semirrecta inicial.
• En el polígono imagen trace un segmento
desde el vértice superior izquierdo hasta el
• Halle el punto de intersección entre estas dos
superior derecho y otro desde este punto
perpendiculares y ocúltelas con la semirrecta
hasta el vértice inferior derecho.
horizontal.
57
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
• Marque un punto en algún lado de la pantalla
y transfiera el anterior resultado a este punto,
luego con la opción compás, transfiera esta
medida al segmento de longitud 1.5 y halle la
intersección entre este segmento y la circunferencia formada.
• Trace una perpendicular al segmento por este
punto y halle la intersección entre la perpendicular y el otro lado del cuadrilátero.
• Trace paralelas al segmento que representa el
ancho de la alberca (medida 1.1) que pasen
por los dos últimos puntos.
Fig. 22
Simulando el llenado con agua
Para
• Halle las intersecciones de estas rectas con
• Calcule la raíz cuadrada del producto de
los lados del polígono imagen.
0.225 por el número 1.0 (tiempo)
• Trace el cuadrilátero que tiene como vértices
• NOTA: Este cálculo resulta del despeje de la
estos últimos cuatro puntos.
altura en función del tiempo de la siguiente
manera: Sabemos que el volumen total del
• Oculte las rectas, la circunferencia y los
sólido que se forma cuando h varía entre 0 y
puntos transferidos.
1.5 es 3.3 =(1.5*4*1.1/2), si queremos que la
variación del volumen con respecto al tiempo
sea constante y empiece en 0 entonces el
volumen en función del tiempo tendrá la
ecuación de una línea recta que pasa por (0,0)
y tiene pendiente constante. En este caso
queremos que la variación sea 0.33 unidades
cúbicas por cada unidad de tiempo, entonces
V=0.33t , entonces, 0.33t= l*h*p/2 profundidad (p) = 1.1
• largo(l) = varía en función de h, entonces,
•
Fig. 23
Para
, por lo
• Trace una semirrecta hacia arriba, desde el
vértice inferior derecho hasta el vértice superior derecho.
tanto,
• 0.3 t =
h2 entonces
h=
• Cambie el número que representa el tiempo a
12 (después de t =10 sólo varía h).
entonces
58
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
• Calcule la diferencia entre el producto de • Halle la intersección entre la perpendicular y
0.075 por 12 (tiempo) y 0.75.
el segmento del lado izquierdo del polígono
de longitud 0.5.
NOTA 1:
• Por este punto trace una paralela al segmento
Para
el volumen se calcula con la
de longitud 1.1 y otra paralela por el punto
ecuación: V=3.3+l*p*h1
transferido a la semirrecta vertical.
l=4 , p=1.1 y h1=h-1.5
V=3.3+4(1.1)(h-1.5)
• Halle la intersección de estas paralelas y el
V=4.4h-3.3
polígono imagen. Trace el polígono que tiene
Como V=0.33t (volumen en función del
como vértices estos últimos cuatro puntos.
• Oculte las rectas.
tiempo)
0.33t=4.4h-3.3 entonces h=0.33t+3.3/4.4
luego, h 3
3
t  h 0.075t 0.75
40
4
Fig. 25
Calculando el volumen
Para
• Cambie el número que representa el tiempo a
1.0.
Fig.24
NOTA 2:
• Calcule la distancia entre los dos puntos
que representan la profundidad de la alberca
Por construcción para que se visualice el nuevo
cuando esta es menor que 1.5 y llámelo (h=).
polígono que va a representar el agua, puesto
que el anterior desaparece después de h=1.5,
tomamos la diferencia de h y 1.5 para trans- • Calcule la longitud entre los dos puntos
del polígono que representan el largo de la
ferir esta medida al sólido que se forma después
alberca y llámelo (l=). (Asegúrese que sean
de 1.5, entonces h=0.075t+0.75-1.5 luego:
los vértices del polígono).
h=0.075t-0.75
• Transfiera este resultado hasta la última • Calcule el volumen para l menor que 1.5
como el cociente entre el producto de 1.1 por
semirrecta y trace una perpendicular a ella
h=0.47cm por l=1.26cm y 2.
por este punto.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
• Mueva este resultado al lado derecho y
llámelo V=
Fig. 27
Para h >2
• Cambie el número que representa el tiempo a
25.
Fig. 26
Para
• Muestre (si están ocultas) la primera semirrecta vertical del lado izquierdo y la recta
perpendicular a la última semirrecta del lado
derecho.
• Cambie el tiempo a 12
• Calcule la distancia entre los dos puntos
que representan la profundidad de la alberca • Trace una semirrecta desde el extremo supecuando esta es mayor que 1.5 y llámelo
rior izquierdo del polígono inicial sobre la
(h=).
semirrecta.
• Calcule la longitud entre los dos puntos • Halle la intersección entre esta semirrecta y
la perpendicular.
del polígono que representan el largo de la
alberca y llámelo (l=). (Asegúrese que sean
• Halle la distancia entre el vértice superior
los vértices del polígono).
izquierdo del polígono y este último punto.
• Calcule el volumen (V=) para h mayor que
• Calcule el nuevo volumen como la suma entre
1.5 como la suma de 3.3 y el producto de 1.1
5.5 y la diferencia de este último resultado
por 0.15 por l = 4.00cm.
con él mismo: 5.5 + (0.63cm) - (0.63cm).
• Llame este resultado V= y muévalo de tal • Llame este resultado V= y muévalo de tal
manera que la V= quede sobre la otra V= del
manera que la V= quede sobre la otra V= del
cálculo anterior.
cálculo anterior.
• Oculte los números R:0.15, alto 2, largo
1.5 y R:1.64 y mueva los números editados
inicialmente 4 y 1.1 al lado correspondiente.
NOTA: Como para t>50/3 el volumen es fijo
entonces necesitamos que este permanezca
así para ello la última construcción y el
último cálculo.
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SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA
• Oculte los objetos que considere necesarios
para visualizar mejor la simulación.
• Engrose las líneas del polígono inicial (cara
frontal) los segmentos de la cara superior y
de la lateral derecha.
• Cambie el número que representa el tiempo
a 0.0, anime hasta 25 o más y verifique que
la simulación está correcta (se ve lo que se
quiere representar).
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