Matematicas Primer Año 2 - biblioteca virtual de matematicas unicaes

MATEMÁTICA
Unidad 2
Continuemos con el
estudio de la
estadística descriptiva
Conozcamos las relaciones
Objetivos de la Unidad:
Utilizarás la estadística descriptiva e inferencial, aplicando
correctamente el tratamiento de la información, al analizar la
información obtenida de los medios de comunicación social,
valorando el aporte de los demás en la propuesta de soluciones.
Construirás e interpretarás correctamente tablas de frecuencia y
gráficas estadísticas a fin de reflexionar y proponer soluciones a
diversas situaciones sociales y culturales.
Resolverás situaciones que impliquen la utilización de relaciones y
funciones matemáticas, aplicando correctamente procedimientos
conceptos y propiedades, y valorando el aporte de los demás.
55
Información de estadísticas
Recolecta
Organiza
Representa
Interpreta
a través de
por medio de
Censos
Encuesta por
muestreo
Registro
administrativos
Relaciones
Tabla de frecuencias
Gráficas
como
para
Variables
discretas
Barras
Variables
continuas
Líneas
Atributos
Sectores
circulares
Pictogramas
subconjunto del
Histograma
Producto
cartesiano
Ojiva
se expresan por
Polígono de
frecuencias
Par ordenado
se representa en
Gráficas
Descripción del proyecto
Al finalizar la unidad podrás graficar e interpretar una información donde aplicarás lo
estudiado en una situación real.
56 Matemática - Primer Año
Segunda Unidad
Lección 1
Recolección, organización, presentación
e interpretación de la información
Motivación
Un profesor decide realizar una investigación
con sus estudiantes sobre algunas situaciones
relacionadas con características de dicho grupo
de estudiantes.El profesor, en vez de revisar los
expedientes de cada alumno y alumna, decide hacer
una serie de entrevistas a los integrantes de una
sección de primer año de bachillerato.
Pero, como el grupo seleccionado es bastante
numeroso y el tiempo con que cuenta es muy poco,
entonces, pide ayuda a sus mismos estudiantes
para recoger la información necesaria a través
de un contacto directo con ellos. Al final sacará
conclusiones de la investigación.
Indicadores de logro
Organizarás, presentarás y explicarás la información estadística
recolectada, valorando la importancia del orden.
Resolverás problemas interpretando la información
extraída y presentada, mostrando interés y respeto por las
estrategias y soluciones a problemas estadísticos distintos a
los propios.
Organización y presentación de la información estadística recolectada
Los 32 estudiantes de primer año de bachillerato de un
instituto, realizarán un trabajo de investigación para lo
cual se organizan en equipos y se distribuyen el trabajo
así:
Para efectuar los trabajos de investigación, los alumnos
y alumnas realizarán una recolección o recopilación
de la información necesaria para llevar a cabo dicha
investigación.
El equipo 1 investigará las profesiones u oficios de los
padres de familia de sus compañeros y compañeras de
sección.
El equipo 2 investigará las edades de los alumnos y
alumnas de su grado.
El equipo 3 investigará el estado civil de los hermanos y
hermanas mayores de sus compañeros.
El equipo 4 investigará las estaturas de los compañeros y
compañeras.
Primer Año - Matemática 57
UNIDAD 2
La recolección de datos se refiere al uso de una gran
diversidad de técnicas y herramientas que pueden
ser utilizadas por el investigador para desarrollar su
estudio. Las técnicas y herramientas para la recolección
de la información depende en gran medida del tipo de
investigación y el problema que se estudia.
Esta fase del trabajo incluye: seleccionar un instrumento
de medición válido y confiable, aplicar el instrumento y
codificar las mediciones o datos. La medición requiere
que se defina tanto lo que se está midiendo y también
la manera como se hace, con el fin de que los lectores
del informe de investigación sepan de lo que se está
hablando.
Punto de apoyo
Cuando un estudio estadístico se realiza sobre toda la
población se llama censo y cuando se realiza sobre una
parte de la población se llama muestreo.
Censo
Es un método de recolección de datos mediante el
cual la información se obtiene de la totalidad de los
elementos que componen la población o universo
bajo estudio. Un censo debe cumplir las condiciones
de universalidad (censar a todos los elementos de la
población) y simultaneidad (realizarse en un momento
determinado). Un censo es equivalente a una fotografía
de la población bajo estudio. Por ejemplo en el año 2007
en nuestro país se llevo a cabo el censo de población.
Evolución de la Población
desde el
Censo dede1930
hasta el Censo 2007
Evolución
la Población
Encuesta por muestreo
Es un método de recolección mediante el cual la
información que obtienes revela sólo un subconjunto
o muestra de elementos del universo en estudio, te
permite obtener información sobre el mismo.
Para que la información obtenida con la encuesta sea
generalizable a la población, la muestra utilizada debe ser
representativa de la población de la que proviene.
Para lograrlo, se utilizan métodos de selección de
unidades especialmente diseñados con este fin. Fíjate
que la encuesta también se utiliza para el censo.
Instrumentos de recolección
de datos
La entrevista
En la entrevista los datos estadísticos necesarios para
una investigación, se reúnen de manera frecuente
mediante un proceso que consiste en entrevistar,
directamente a la persona investigada.
El investigador efectuará a esta persona una serie de
preguntas previamente escritas en un cuestionario o
boleta, donde anotará las respuestas correspondientes.
desde el Censo de 1930 hasta el Censo 2007
5,744,113
5,118,599
5,744,113
5,118,599
3,554,648
Este procedimiento permite obtener una información
más veraz y completa que la que proporcionan otros
instrumentos, debido a que al tener contacto directo con
la persona entrevistada, el entrevistador podrá aclarar
cualquier duda que se presente sobre el cuestionario o
investigación.
3,554,648
2,510,984
1,855,9172,510,984
1,434,361
1,855,917
1,434,361
1930
1930
1950
1950
1961
1961
1971
1971
58 Matemática - Primer Año
1992
1992
2007
2007
UNIDAD 2
Cuestionarios
Cualquiera que sea el instrumento por el que se decida
el investigador para recabar información, es necesario
elaborar una serie de preguntas.
El cuestionario debe ser conciso; tratar en lo posible
de que con el menor número de preguntas, se obtenga
la mejor información.
Claridad de la redacción; evitar preguntas ambiguas o
que sugieran respuestas incorrectas, por lo que deben
estar formuladas de la forma más sencilla.
Discreción: un cuestionario hecho a conciencia, no
debe tener preguntas indiscretas o curiosas, sobre
datos personales que puedan ofender al entrevistado.
Facilidad de contestación: se deben evitar, en lo
posible, las preguntas de respuestas libres o abiertas y
también la formulación de preguntas que requieran
cálculos numéricos por parte del entrevistado.
Orden de las preguntas: estas deben tener una
secuencia y un orden lógico, agruparlas procurando
que se relacionen unas con otras.
En algunos estudios no se entrevista a nadie. El
cuestionario o boleta se elabora por ejemplo para
evaluar instalaciones físicas: edificios, escuelas,
hospitales etc.
Registro administrativo
Existen oficinas públicas o privadas que llevan registros
administrativos para sus propios fines.
Por ejemplo, los Registros Civiles que registran los
nacimientos, los casamientos, las defunciones, etc. El
Ministerio de Educación que lleva registros de matrícula
de alumnos, deserción escolar, egresados de educación
media, etc.; la Aduana que registra las importaciones y
exportaciones, las universidades que tienen su registro
de alumnos matriculados por carrera, los egresados en
cada carrera, etc.
Esta información puede ser utilizada con fines
estadísticos y se obtiene tal como está disponible.
Por ejemplo, para un estudio sobre determinada
enfermedad se puede recurrir a los registros disponibles
en hospitales, unidades de salud, etc. Estos registros
habrán sido diseñados para dar respuesta a ciertos
requerimientos administrativos.
Los registros constituyen la forma más económica de
obtener información estadística de una población.
Organización de la información
Después que recolectas la información relacionada con
una investigación, pasas a la organización de los datos.
Toma la situación planteada al inicio de la lección:
El equipo 1 que investigó sobre las profesiones u
oficios de los padres de familia; obtuvo la siguiente
información: carpintero, maestro, albañil, comerciante,
odontólogo, maestro, oficios domésticos, carpintero,
médico, comerciante, enfermera, maestro, albañil,
comerciante, médico, maestro, carpintero, maestro,
albañil, comerciante, maestro, oficios domésticos,
carpintero, médico, comerciante, enfermera,
odontólogo, maestro, médico, carpintero, comerciante y
oficios domésticos.
Los datos recolectados presentados en esta forma no te
proporcionan mayor información, por lo que se hace
necesaria su organización.
Primer Año - Matemática 59
UNIDAD 2
Ahora, organizas la información recolectada, como, en este caso la variable en estudio es cualitativa,
ordenas los datos siguiendo cualquier criterio personal, en este caso puedes ordenar la información
por orden alfabético así:
albañil
albañil
albañil
carpintero
carpintero
carpintero
carpintero comerciante
carpintero comerciante
comerciante enfermera
comerciante enfermera
comerciante
maestro
comerciante
maestro
maestro
maestro
maestro
maestro
maestro
médico
médico
oficios domésticos
médico
oficios domésticos
médico
odontólogo
odontólogo
oficios domésticos
El equipo 2 recolectó los datos siguientes: 18, 17, 15, 16,
17, 19, 18, 15, 16, 17, 16, 15, 18, 18, 17, 19, 16, 17, 20, 17, 18,
16, 16, 15, 19, 20, 18, 17, 15, 16, 16, 17.
En este caso la variable en estudio es cuantitativa,
ordenas los datos en forma creciente, es decir, de menor
a mayor, así:
15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17,
17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20.
O de forma vertical:
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
19
19
19
20
20
El equipo 4 realizó la siguiente recolección: 157, 159,
156, 155, 160, 161, 156, 162, 159, 158, 163, 158, 157, 155,
160, 161, 158, 166, 164, 162, 158, 156, 165, 162, 160,
156,158, 162, 163, 158, 164, 155.
Ordenas los datos recolectados de menor a mayor:
155, 155, 155, 156, 156, 156, 156, 157, 157, 158, 158,
158, 158, 158, 158, 159, 159, 160, 160, 160, 161, 161,
162, 162, 162, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 166.
60 Matemática - Primer Año
Ejemplo 1:
En una investigación sobre el tipo de película de mayor
preferencia, se consultó a 20 personas, recolectándose la
siguiente información:
terror, comedia, policíaca, terror, policíaca, comedia,
drama, comedia, comedia, terror, policíaca, drama,
comedia, terror, comedia, drama, policíaca, drama,
terror, comedia, drama, terror, comedia, drama
Solución:
Organiza dicha información.
terror
terror
terror
terror
terror
comedia
comedia
comedia
comedia
comedia
comedia
comedia
policiaca
policiaca
policiaca
drama
drama
drama
drama
drama
UNIDAD 2
Ejemplo 2:
Una tabla de frecuencias recoge los distintos valores o
modalidades de la variable o atributo junto con
sus frecuencias.
Organiza la siguiente información.
Se consultó a 28 estudiantes universitarios sobre la
cantidad de materias cursadas hasta este momento y las
respuestas son las siguientes: 5, 4, 7, 6, 8, 4, 5, 9, 5, 6, 8, 6,
5 ,5, 8, 9, 6, 6, 7, 5, 8, 6, 8, 5, 4, 4, 7, 5
Solución:
Ordenas de menor a mayor en forma vertical:
4
5
7
4
5
8
4
6
8
4
6
8
5
6
8
5
6
8
5
6
9
5
6
9
5
7
5
7
Actividad
El método utilizado para la elaboración de la tabla de
frecuencias dependerá de si nos encontramos ante una
variable discreta, atributo o una variable continua.
En la tabla de frecuencias se detalla cada uno de
los valores diferentes del conjunto de datos
recolectados con el número de veces que aparece, es
decir, su frecuencia.
Si tomamos nuevamente el ejemplo de la investigación
realizada por los equipos 1 y 2, tenemos que dicha
información se puede presentar en las siguientes tablas
de frecuencia:
Para el equipo 1, que recolectó información
sobre las profesiones de los padres y
madres de familia.
1
Organiza la información presentada en cada una de las
situaciones siguientes:
a)Los colores preferidos por 25 personas son: celeste, amarillo,
rojo, azul, rojo, rosado, verde, celeste, amarillo, rojo, verde,
rosado, negro, rojo, amarillo, celeste, rosado, rojo, verde, rojo,
azul, negro, rojo, rosado, celeste.
b)Los pesos en libras de 32 estudiantes universitarios: 145,
123, 139,140, 132, 120,142, 130, 125, 138, 145, 150, 142, 138,
135,128, 130, 140,142, 136, 135, 142, 150, 146,148, 137, 136,
128, 133, 147, 126, 138.
Presentación e interpretación de
la información
Después de la etapa de recogida y organización de
los datos en una investigación, se debe proceder a la
presentación de la información recolectada. Una
buena forma de presentar la información es mediante la
elaboración de tablas de frecuencias.
Profesión
Frecuencia
Albañil
3
Carpintero
5
Comerciante
6
Enfermera
2
Maestro
7
Médico
4
Odontólogo
2
Oficios domésticos
3
Total
32
Para el equipo 2, que recolectó
información sobre las edades de sus
compañeros y compañeras.
Edad
15
16
17
18
19
20
Total
Frecuencia
5
8
8
5
4
2
32
Observa, ahora se facilita la lectura e interpretación de la
información recolectada.
Primer Año - Matemática 61
UNIDAD 2
En el caso del equipo 1, tenemos que de los 32 padres y madres de familia, la profesión
que tiene la mayoría de ellos es la de maestro y las que tienen el menor número son
enfermeras y odontólogos.
En el caso del equipo 2, la edad que tiene menos estudiantes es 20, pues sólo tiene 2 de
frecuencia. ¿Qué edades tienen la mayoría de ellos?
Punto de apoyo
Frecuencia es el número de veces que
se repite un dato se denota por: f
Ejemplo 3:
Organiza en una tabla de frecuencias el número de hermanos que tienen 22 jóvenes:
4, 1, 3, 2, 5, 1, 4, 0, 3, 2, 3, 1, 5, 4, 2, 3, 0, 1, 4, 1, 4, 5.
Solución:
Por tratarse de una variable cuantitativa discreta, ordenas de menor a mayor:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
Luego construyes la tabla de frecuencias.
Te das cuenta que con una tabla es más fácil contestar cualquier pregunta como por
ejemplo:
¿Cuántos jóvenes tienen 3 hermanos? Respondes 4 jóvenes.
¿Cuántos hermanos tienen la mayoría de jóvenes? Como 5 es la mayor frecuencia
respondes un hermano o cuatro hermanos.
¿Cuántos jóvenes no tienen hermanos? Respondes 2 jóvenes.
Haz otras preguntas y respóndelas.
Nº de hermanos
0
1
2
3
4
5
Total
62 Matemática - Primer Año
Frecuencia
2
5
3
4
5
3
22
UNIDAD 2
2
Actividad
Presenta en una tabla de frecuencias la siguiente información.
a)El estado civil de 20 personas : soltero, casado, soltero, viudo, casado, divorciado, soltero, viudo, soltero,
casado, soltero, divorciado, casado, viudo, casado, soltero, soltero, casado, viudo, soltero.
¿Qué comentario puedes hacer de la información presentada en la tabla?
b)El número de hijos que tienen 24 matrimonios: 1,
3, 2, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 0, 3, 2, 1, 3,
2, 0, 1, 2.
¿Cuál es el número más frecuente de hijos en las familias?
¿Cuántas familias no tienen hijos?
c)¿Qué información nos presenta la siguiente tabla?
Edad
32
35
40
44
48
52
Total
Nº de personas
8
5
7
3
9
6
38
Resumen
La recolección de la información depende en gran medida del tipo de investigación y el problema que se
estudia. Algunos métodos de recolección de datos son:
Censo: es un método de recolección de datos mediante el cual la información se obtiene de la totalidad de los
elementos que componen la población o universo bajo estudio.
Encuesta por muestreo: es un método de recolección de datos mediante el cual la información se obtiene
revelando sólo un subconjunto o muestra de elementos del universo en estudio.
La entrevista: en la entrevista los datos estadísticos necesarios para una investigación, se reúnen
frecuentemente mediante un proceso que consiste en entrevistar, directamente a la persona investigada. El
investigador efectuará a esta persona una serie de preguntas previamente escritas en un cuestionario.
Cuestionarios: cualquiera que sea el instrumento se decida el investigador para recabar información, es
necesario elaborar una serie de preguntas. El cuestionario debe ser conciso; tratar en lo posible de que con el
menor número de preguntas, se obtenga la mejor información.
Registro administrativo: existen oficinas públicas o privadas que llevan registros administrativos para sus
propios fines. Los registros constituyen la forma más económica de obtener información estadística de
una población.
Primer Año - Matemática 63
UNIDAD 2
Autocomprobación
1
Una interpretación que se puede hacer de la
información dada en la tabla es:
El total en monedas es 0.41
b) El total de dinero que tiene es $9.84
c) El mayor número de monedas es la mayor
cantidad de dinero
d) Hay más monedas de 1 ctv.
2
a)
a)
La tabla de frecuencia que presenta correctamente los
datos correspondientes a la edad en años cumplidos
por 16 personas: 28, 26, 30, 24, 26, 28, 30, 32, 26,
28, 32, 24, 28, 26, 25, 26.
28 28 28 28 30 30 32 32
24 24 25 26 26 26 26 26
b)
24 25 26 27 28 29 30 32
c)
Edad(años) 24 25 26 28 30 32 Total
16
Frecuencia 2 1 5 4 2 2
d)
Edad(años) 24 25 26 27 28 30 32 Total
16
Frecuencia 2 1 4 1 4 2 2
1. d.
Frecuencia
9
3
7
5
24
Soluciones
Monedas(ctvs.)
1
5
10
25
Total
2. c.
INTERPRETANDO LA INFORMACIÓN
En nuestros días, la estadística se ha convertido
en un método efectivo para describir los valores
de los datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como
herramienta para relacionar y analizar
dichos datos.
El trabajo del experto estadístico no consiste
sólo en reunir y tabular los datos, sino implica
también gráficar como histogramas, poligonos
de frecuencia, pictogramas, gráficas de líneas
y otros, los cuales sirven para el proceso de
interpretación de información.
64 Matemática - Primer Año
Lección 2
Segunda Unidad
VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS
Motivación
L
a bibliotecaria de un centro escolar quiere dar a
conocer la cantidad de libros que son consultados
por los estudiantes y docentes de la institución y
tiene un recuento de los libros prestados a diario.
Para dar a conocer información como ésta puedes
utilizar tablas o gráficos.
Puedes tú ayudarle a presentar gráficamente dicha
información:
Indicadores de logro
Construirás con orden y aseo tabulaciones de datos
organizados en categorías.
Elaborarás con precisión y orden las presentaciones gráficas:
de barras, lineal, circular y pictograma.
Interpretarás gráficos de datos referidos a situaciones sociales,
ambientales, sanitarios y deportivas, valorando su utilidad.
Organización de datos
Para ordenar los datos de una variable cuantitativa
discreta que tome pocos valores distintos y estudiarlos
más fácilmente, lo expresas en forma de tabla, que está
formada por dos columnas, una donde se colocan los
distintos valores de la variable en orden creciente y
la otra el recuento de los datos, es decir, la frecuencia
absoluta que se representa por f.
Ejemplo 1:
Se realizó la siguiente recolección sobre las estaturas
(cm) de un grupo de 30 personas y se obtuvo: 157, 159,
156, 160, 161, 156, 162, 159, 158, 163, 158, 157, 155, 160,
161, 158, 166, 164, 162, 158, 156, 165, 162, 160, 156,
158, 162, 163, 158, 164.
Ordenas los datos recolectados de menor a mayor:
155, 156, 156, 156, 156, 157, 157, 158, 158, 158, 158,
158, 158, 159, 159, 160, 160, 160, 161, 161, 162, 162,
162, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 166
Luego los organizas en una tabla de frecuencias.
Al observar los datos en la tabla puedes decir que la
mayor frecuencia está en los que miden 158 cm.
Estaturas (cm)
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
F : Número de personas
1
4
2
6
2
3
2
4
2
2
1
1
30
Primer Año - Matemática 65
UNIDAD 2
Ejemplo 2:
Gráfica de barras
En un grupo de 9º grado se realizó una colecta
obteniéndose monedas de diferentes nominaciones,
siendo en total las siguientes: 5, 1, 25, 5, 10, 1, 5, 25, 10, 5,
10, 1, 25, 5, 1, 5, 10, 5, 25, 10, 1, 5, 10, 25.
Solución:
Primero lo ordenas de menor a mayor a: 1, 1, 1, 1, 1, 5,
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 25, 25,25, 25,25.
Luego los organizas en una tabla de frecuencias:
Monedas Frecuencia
1
5
5
8
10
6
25
5
Total
24
¿Cuántas monedas de 0.01 ctvs tienen? ¿Cuántas
monedas de 0.05 ctvs tienen? ¿Cuántas monedas de 0.10
ctvs tienen? ¿Cuántas monedas de 0.25 ctvs tienen?
Presentación gráfica
Un gráfico en estadística es una representación
de variables que puede estar formado por líneas,
rectángulos, figuras, mapas, utilizados para representar
datos estadísticos, o bien las divisiones o subdivisiones
de una clasificación.
Es utilizado para variables cuantitativas y cualitativas
discretas. En el eje OX se señalan los valores de la
variable y en el eje OY los valores de la frecuencia
absoluta. Se levantan barras de altura igual a la
frecuencia o porcentajes.
Barra simple
Se emplean para graficar hechos únicos. Consiste en
dibujar un rectángulo por cada uno de los valores de
la variable, de modo que las bases sean todas iguales,
y la altura de cada rectángulo represente la frecuencia
o porcentajes.También se suelen utilizar para series
cronológicas y pueden asimismo representarse
horizontalmente intercambiando los ejes.
Ejemplo 3:
Representa en un gráfico de barras simples verticales la
siguiente información: el número de hermanos de 30
estudiantes de primer año de bachillerato de un centro
escolar.
Número de hermanos/as
1
2
3
4
5
Total
Entre las funciones que cumplen los gráficos, se pueden
señalar las siguientes:
Hacen más visible el comportamiento de los datos.
Frecuencia
8
4
6
5
7
30
Solución:
Ponen de manifiesto sus variaciones y su evolución
8
Pueden evidenciar las relaciones entre los diversos
6
histórica o espacial.
datos y representar la correlación entre dos o más
variables.
Aclaran y complementan las tablas y las exposiciones
4
teóricas o cuantitativas.
Las representaciones gráficas deben conseguir que un
simple análisis visual ofrezca la mayor información
posible. Según el tipo de la variable que se esté
estudiando, así será la representación gráfica que
se utilice.
66 Matemática - Primer Año
2
0
1
2
3
4
Número de hermanos
5
UNIDAD 2
Al observar el gráfico notas que la barra más alta
corresponde a los que tienen sólo un hermano, es decir
representa la mayor frecuencia. La menor frecuencia
corresponde al rectángulo o barra más baja, es decir a los
que tienen dos hermanos.
Ejemplo 4:
Representa en un gráfico de barras simples horizontales
la siguiente información: el número de aparatos
eléctricos en 20 hogares de una colonia.
Frecuencia
Femenino
Masculino
4
8
5
3
20
Solución:
Número de aparatos eléctricos
Con la siguiente información construye un gráfico
de barras múltiples. Número de estudiantes por sexo,
matriculados en segundo año de bachillerato en un
centro escolar, durante los años de 2005 a 2008.
Años
Femenino
Masculino
2005
27
23
2006
20
30
2007
35
15
2008
18
32
Número de estudiantes
Número de
aparatos eléctricos
2
3
4
5
Total
Ejemplo 5:
5
4
3
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
2005
2006
2007
Años
2008
Coloca en el eje horizontal los años y en el vertical las
frecuencias, en este caso tomas una escala de 3 en 3.
2
Gráfico lineal
0
2
4
6
8
Frecuencia
Barras múltiples
Es muy recomendable para comparar una serie
estadística con otra, para ello se emplean barras simples
de distinto color o tramado, una al lado de la otra.
En el eje OX u horizontal, señalas los valores de la
variable y en el eje OY o vertical, los valores de las
frecuencias o porcentajes. Levantas barras de altura
igual a las frecuencias o porcentajes
El gráfico lineal lo utilizas para presentar datos
estadísticos en los que la variable corresponde a
períodos de tiempo. Por medio de este gráfico se pueden
establecer comparaciones entre distintos períodos de
tiempo, y puedes observar claramente las alzas y bajas.
Para su construcción, sobre el eje horizontal colocas
los períodos de tiempo. Luego el primer período en el
origen de las coordenadas. Sobre el eje vertical colocas
las frecuencias o porcentajes.
Para cada período de tiempo y su respectiva frecuencia,
graficas un punto, luego los unes por medio de
segmentos de recta.
Primer Año - Matemática 67
UNIDAD 2
Ejemplo 6:
Solución:
8
Representa en un gráfico lineal la siguiente situación:
6
Exportación
Exportación de frijol (toneladas métricas) en los años
2000 - 2004
Años
Exportación ( TM )
2000
2
2001
5
2002
5
2003
2
2004
8
4
2
2000
1
2001
2002
Años
2003
2004
Actividad
1.Representa en gráficas de barras cada una de las siguientes situaciones.
a) Barras simples verticales:
Importación de maíz blanco durante los años 2000 2004
Años
Importación (TM)
2000
59 963
2001
92 673
2002
38 006
2003
19 419
2004
59 924
b)
Barras simples horizontales:
Importación de carne de cerdo durante los años 2000 2004
Años
Importación (TM)
2000
839
2001
346
2002
1 064
2003
1 401
2004
1 605
Fuente: CAFTA-DR Agricultura y soberanía alimentaria, Agosto/2006
c)
Barras múltiples
Estructura de las fuentes de divisas 1978 y 2004 en porcentajes
Fuente de divisas
1978 2004
Exportaciones no tradicionales fuera de C.A.
8% 13%
Maquila
3% 12%
Agro exportaciones tradicionales
81%
6%
Remesas
8% 70%
2.Construye un gráfico de líneas con la siguiente información.
Precio del frijol rojo de seda a mayorista, de 1999 a 2003.
68 Matemática - Primer Año
Año Precio ( dólares × quintal )
1999
47.2
2000
36.18
2001
35.29
2002
35.95
2003
27.36
UNIDAD 2
Gráfico de sectores, circular o de pastel
Son gráficos en los que a cada valor o modalidad se le asigna un sector circular de área
proporcional a la frecuencia que representan. Se utilizan si el carácter es cualitativo o
cuantitativo discreto.
Para su construcción se divide el círculo en sectores circulares de ángulos
proporcionales a las frecuencias absolutas de cada valor de la variable. Para calcular los
grados de cada sector se divide la frecuencia entre el número de datos y se multiplica
f
por 360. Así: x 360º
n
Cada sector representa un porcentaje de los datos para lo cual hay que realizar los
f
cálculos respectivos. Para esto utilizas: x 100%
n
Ejemplo 7:
Ahora, ayuda a la bibliotecaria a representar en
un gráfico de sectores la siguiente situación.
Cantidad de libros prestados por asignatura, en
una biblioteca escolar durante un día.
Solución:
Asignaturas
Frecuencia
Lenguaje
20
Matemáticas
12
Ciencias Naturales
30
Estudios sociales
18
Total
80
Para su construcción, lo primero que haces, es trazar un círculo, recuerda que el círculo
mide 360º, entonces para el cálculo de la abertura de cada sector, realizas el siguiente
proceso.
f
20
Para Lenguaje tienes x 360º =
x 360 = 90
n
80
Ahora mira en porcentaje
f
20
x 100% =
x 100% = 25% . Continúa con los cálculos.
n
80
La tabla completa y el gráfico te quedan para que lo verifiques:
15 %
37 %
23 %
25 %
Asignaturas
Frecuencia Porcentajes
Lenguaje
20
25%
Matemáticas
12
15%
Ciencias Naturales
30
37.5%
Estudios Sociales
18
22.5%
Total
80
100%
Angulo
90º
54º
135º
81º
360º
Ciencias Naturales
Lenguaje
Estudios Sociales
Matemática
Primer Año - Matemática 69
UNIDAD 2
Pictogramas
Ejemplo 8:
Vas a representar la siguiente situación en forma gráfica.
En la tabla a continuación se detallan el número de casas construidas en cuatro colonias de una ciudad.
= 20 casas
Colonias
A
B
C
D
Total
Nº de casas
120
80
60
100
360
Número de casas
Colonia
A
B
C
D
Solución:
En este caso puedes representar con una casa el total de 20 casas, observa el dibujo. La nueva tabla con esta conversión
queda así:
Colonias
Nº de casas
A
6
B
4
C
3
D
5
Observa que con el dibujo de 18 casas haz representado
a las 360 casas.
A un dibujo como el anterior de las casas se le llama
pictograma.
Un pictograma consiste en realizar dibujos alusivos a la
distribución que se desea representar y cuyo tamaño es
proporcional a la frecuencia que representan.
En muchas ocasiones son gráficos poco precisos,
aunque fáciles de interpretar a simple vista.
Para representar datos estadísticos por medio de este
tipo de gráfico debe realizarse con mucha creatividad,
pues se busca atraer la atención del público y que éste
pueda captar la información fácilmente.
70 Matemática - Primer Año
UNIDAD 2
2
Actividad
1.Representa en un gráfico circular las siguientes situaciones:
a)
Los niños y niñas de parvularia matriculados en un centro escolar
Secciones
4
5
6
Total
Nº de niños
27
32
21
80
2.Representa en pictograma las siguientes situaciones.
a)
Partidos ganados por los equipos
de fútbol
Equipos
Acuario
Pericos
Montañas
Panteras
Total
Partidos ganados
5
9
8
3
25
b)
Cantidad de libros en una biblioteca
por asignatura
Asignatura
Matemáticas
Física
Estadística
Biología
Química
Total
Nº de libros
10
8
14
12
16
60
Resumen
En esta lección estudiaste lo relacionado a la organización y presentación de
información para variables discretas como:
El gráfico lineal se utiliza para presentar datos estadísticos en los que la
variable corresponde a períodos de tiempo. Mediante él se pueden establecer
comparaciones, observándose claramente las alzas y bajas.
Gráfica de barras: usado para variables cuantitativas discretas.
Se levantan barras sobre el eje “X” y cuya altura igual a la frecuencia o
porcentajes. Éstas pueden ser barras simples o múltiples.
El gráfico de sectores, circular o de pastel. Son aquellos en los que a cada valor
o modalidad se le asigna un sector circular de área proporcional a la frecuencia
que representan. Se utilizan si el carácter es cualitativo o cuantitativo discreto.
Los pictogramas que presentan dibujos alusivos a la distribución que se desea
representar y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia indicada.
Primer Año - Matemática 71
UNIDAD 2
Autocomprobación
El tiempo
d) Las estaturas
El medio de transporte más usado por los
estudiantes es:
Caminando
b) Transporte escolar
c) Bus
d) Automóvil de padres
c)
a)
Para las preguntas 2, 3, y 4 observa el gráfico dado:
Automóvil de padres
Automóvil de padres
3
Transporte escolar
Transporte escolar
El total de estudiantes consultados sobre el medio
de transporte que utilizan para llegar a la escuela es:
a)
Caminando
Caminando
4
Bus
Bus
0
0
5
5
10
10
15
15
20
20
25
25
30
30
Números de alumnos
Números de alumnos
30
b) 80
50
d) 70
c)
El tipo de gráfico utilizado para presentar la
información sobre el medio de transportes es:
Barras simple
b) Pictograma
a)
Lineal
d) Barras múltiples
c)
1. c.
El sexo
b) Las edades
a)
2
En general el gráfico lineal generalmente se
emplea para representar variables como:
Soluciones
1
2. c.
3. b.
4. a.
EL CENSO EN ROMA
2.5
Traslación (años)
2
1.5
1
0.5
100
200
Distancia al Sol (mill. de km)
72 Matemática - Primer Año
300
En Roma, con su perfecta organización política,
jurídica y administrativa; favoreció para el
desarrollo de la Estadística. Una muestra es
el Censo que se realizaba cada 5 años y que
tenía por objeto no sólo saber el número de
habitantes, sino también su cantidad de bienes.
Bajo el mandato de Servio Tulio, éstos pasaron
a ser base constitucional del gobierno. También
en un inicio se llevaba un registro de nacimientos
y de fallecimientos; pero fue bajo Antoninos
que la declaración de nacimientos adquirió una
verdadera institución legal que era necesaria
hacerla ante el "prefecto del Erario" en el templo
de Saturno y no después de 30 días
de nacimiento.
Lección 3
Segunda Unidad
Variables cuantitativas continuas
Motivación
I
magínate que el Centro Nacional de Registro
(CNR), quiere dar a conocer los resultados
obtenidos después de realizar las mediciones de los
terrenos ubicados en la ciudad de Mejicanos.
¿Cuáles son los gráficos más utilizados para
representar este tipo de variable?
Indicadores de logro
Utilizarás y explicarás las fórmulas del número de clases,
ancho de clases, límites de clase y punto medio de clase con
seguridad.
Construirás y explicarás con esmero tablas de frecuencia
determinando las frecuencias absoluta, relativa y acumulada
de datos.
Calcularás con seguridad la frecuencia absoluta, relativa y
acumulada.
Graficarás con orden y aseo, los datos mediante histogramas,
polígono de frecuencias y ojiva.
Resolverás problemas utilizando histogramas, polígono de
frecuencias y ojiva, con seguridad.
Tablas de distribución de frecuencias
En las lecciones anteriores elaboraste tablas de
frecuencias para conocer de manera fácil la frecuencia
de cada dato, también utilizaste tablas de frecuencias
para la construcción de gráficos.
Ahora, verás como organizar o resumir una cantidad
grande de datos.
Para representarlos en una tabla de distribución de
frecuencias; se agrupan los diversos valores en un
número reducido de grupos llamados clases o intervalos
de clase.
Ejemplo 1
La siguiente información corresponde a la investigación
realizada por un grupo de estudiantes sobre el peso en
libras de 40 personas:
156, 158, 145, 144, 125, 134, 156, 155, 143, 135, 150,
124, 132, 128, 126, 136, 142, 140, 130, 135, 127, 125, 118,
144, 152, 145, 132, 128, 143, 136, 126, 130, 142, 150,138,
125, 145, 148, 132, 128.
Solución:
Para organizar los datos en clases o intervalos de clase
seguimos el siguiente proceso:
Organiza en una tabla de distribución de frecuencias la
siguiente situación:
Primer Año - Matemática 73
UNIDAD 2
a)Ordenas los datos de menor a mayor.
118, 124, 125, 125, 125, 126, 126, 127, 128, 128, 128,
130, 130, 132, 132, 132, 134, 135, 135, 136, 136, 138,
140, 142, 142, 143, 143, 144, 144, 145, 145, 145, 148,
150, 150, 152, 155, 156, 156, 158
La suma de las frecuencias es igual al número de datos.
Los valores que limitan a cada una de las clases reciben
el nombre de límites de clase:
Pesos
118 - 123
124 - 129
130 - 135
136 - 141
142 - 147
148 - 153
154 - 159
Total
b)Tienes que decidir cuántas clases o intervalos de clase se quieren formar
En este caso puedes formar 7 clases.
c)Se encuentra el recorrido o amplitud total,
que es igual al mayor menos el menor de los datos recolectados, es decir:
AT = valor máximo – valor mínimo
AT = 158 – 118 = 40
d) Se divide la amplitud total o recorrido entre el número de intervalos de clase que se desean formar.
c =
Frecuencia
1
10
8
4
9
4
4
40
Punto de apoyo
Cuando la división no es exacta, el valor calculado
se puede aproximar al entero inmediato superior.
AT
40
⇒
⇒ 5.7 ⇒ 6
K
7
c: ancho de clase.
AT: amplitud total o recorrido.
K: número de clases.
e)Se forman los intervalos, iniciando con el menor de los datos, se agrega el ancho de clase calculado anteriormente, así:
Partiendo del valor mínimo de los datos, sumamos
sucesivamente 6, hasta completar las 7 clases
Pesos
118 - 123
124 - 129
130 - 135
136 - 141
142 - 147
148 - 153
154 - 159
f)Se determinan, de entre todas las observaciones, aquellas que pertenecen a cada clase o intervalo de clase, es decir la frecuencia absoluta o simplemente frecuencia.
74 Matemática - Primer Año
A partir de los datos presentados en la tabla podemos
decir que 9 personas tienen pesos entre 142 y 147.
¿En cuál clase hay mayor frecuencia?
La clase es 124 – 129, la frecuencia es 10.
Ejemplo 2
Presenta en una tabla de distribución de frecuencias lo
siguiente: medidas realizadas por expertos a diferentes
terrenos en una comunidad marginal de la ciudad de
Mejicanos.
UNIDAD 2
Estas medidas están dadas en metros cuadrados (m 2)
25, 28, 30, 26, 20, 18, 19, 36, 35, 40, 24, 22, 34, 20, 26, 31,
28, 19, 36, 24, 32, 25, 31, 41, 29, 32, 27, 18, 20, 30, 35, 36,
28, 27, 36, 41, 20, 19, 38, 32, 40, 19, 25, 29, 33, 36, 41, 26,
38, 37.
Solución:
En general se cumple: ls – li = c – 1. Luego al menor
valor le sumas c – 1.Es decir 18 + 3 = 21 y así la primera
clase es 18-21. La segunda clase la formas así: le sumas
c = 4 a 18 y a éste el valor 3. La segunda clase es 22 - 25.
Continúa este procedimiento.
La distribución de clases y frecuencias queda resumida
de la siguiente forma:
a)Ordenar los datos, en este caso utilizaras la técnica de
Medidas
18 - 21
22 - 25
26 - 29
30 - 33
34 - 37
38 - 41
Total
tallo y hoja para lo cual, los números se dividen en dos
partes: una es el tallo que está formado por uno o más
dígitos principales y la otra parte es la hoja formada
por los otros dígitos. Así por ejemplo de 25 el tallo es 2
y la hoja es 5. Al ordenarlos tenemos:
Tallo
1
2
3
4
Hoja
89
58
06
01
9
6
5
1
8
0
4
0
99
4206845970870596
162120566823687
1
Tallo
1
2
3
4
Hoja
88
00
00
00
9
0
1
1
9
0
1
1
99
2445556667788899
222345566666788
1
b)Forma 6 clases, para lo cual encontrarás el ancho de
clases.
AT 41 − 18 23
c=
=
= = 3.83 = 4
K
6
6
c)Formas las clases.
Considera las edades entre 18 y 21
Frecuencia
10
6
10
8
9
7
50
Más adelante utilizarás el cálculo del punto medio o
marca de clase, que es igual a la semisuma de los límites
de cada clase:
li + ls
Pm =
2
Retoma el ejemplo 1 y calcula el punto medio para la
siguiente distribución.
Pesos
118 - 123
124 - 129
130 - 135
136 - 141
142 - 147
148 - 153
154 - 159
Total
Frecuencia
1
10
8
4
9
4
4
40
Pm
120.5
126.5
132.5
138.5
144.5
150.5
156.5
17.5
18
21
21.5
Pm =
ls + li
118 + 123
⇒ 120.5
⇒
2
2
Límite
inferior
real
Límite
inferior
aparente (li)
Límite
superior
aparente
(ls)
Límite
superior
real
Pm =
li + ls
124 + 129
⇒ 126.5
⇒
2
2
Pm =
li + ls
130 + 135
⇒ 132.5
⇒
2
2
Observa que el ancho entre 17.5 y 21.5 es de 4, que
coincide con el que encontraste en la fórmula anterior.
Trabajas con los límites aparentes y observas que el
ancho es 3.
Continúa efectuando las operaciones.
Primer Año - Matemática 75
UNIDAD 2
1
Solución:
Actividad
Para la clase 118 – 123, se tiene
Organiza en una distribución de frecuencias las siguientes
situaciones:
a)Los puntajes obtenidos por 50 estudiantes de 2º año en
la PAES:
75, 80, 66, 74, 85, 92, 70, 68, 74, 59, 68, 73, 88, 90, 68, 64, 77,
87, 76, 69, 88, 73, 67, 60, 66, 78, 83, 85, 75, 62, 79, 84, 89, 87,
63, 75, 79, 85, 82, 87,62, 65, 84, 90, 80,61, 87, 91, 92, 64. Forma
7 clases y luego calcula el punto medio.
b)Salarios en dólares, de 40 trabajadores:
380, 255, 280, 215, 350, 200, 230, 260, 310, 380, 275, 400,
390, 270, 225, 408, 260, 405, 220, 290, 348, 365, 288, 300,
395, 285, 302, 297, 405, 315, 295, 268, 376, 400, 274, 210, 340,
290, 370, 320. Forma 6 clases y encuentra el punto medio.
Frecuencia relativa, frecuencia porcentual
y frecuencia acumulada
La frecuencia relativa fr, es el cociente de dividir la
f
frecuencia absoluta entre el total de datos fr = ,
n
la suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La
frecuencia porcentual o frecuencia relativa porcentual,
se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100%
f
× 100%, la suma de las
fr% = fr × 100% ó fr% =
n
frecuencias relativas porcentual es igual a 100%
Ejemplo 3
Calcula la frecuencia relativa y porcentual en lasiguiente
distribución de frecuencias que corresponde al peso de
40 personas.
Pesos
118 - 123
124 - 129
130 - 135
136 - 141
142 - 147
148 - 153
154 - 159
Total
Frecuencia
1
10
8
4
9
4
4
40
76 Matemática - Primer Año
Fr
0.025
0.25
0.2
0.1
0.225
0.1
0.1
1.00
Fr %
2.5%
25%
20%
10%
22.5%
10%
10%
100%
fr =
1
= 0.025
40
1
× 100% = 2.5%
40
10
Para 124 – 129 fr =
= 0.25
40
fr% = 0.25 × 100% = 25%
8
Para 130 – 135 fr =
= 0.2 fr% = 0.2 × 100% =20%
40
Continúa haciendo los cálculos
fr % =
La frecuencia acumulada (fa) correspondiente a una
clase es la suma de las frecuencias absolutas de esa clase
con las frecuencias de todas las clases anteriores a él que
aparecen en la tabla.
La primera frecuencia acumulada coincide con la
primera frecuencia absoluta y la última con el total
de datos.
Ejemplo 4
Utilizas la información anterior sobre los pesos de 40
personas para calcular la frecuencia acumulada ( fa).
Solución:
Pesos
118 - 123
124 - 129
130 - 135
136 - 141
142 - 147
148 - 153
154 - 159
Total
Frecuencia
1
10
8
4
9
4
4
40
Fr
0.025
0.25
0.2
0.1
0.225
0.1
0.1
1.00
Fr %
2.5%
25%
20%
10%
22.5%
10%
10%
100%
Fa
1
11
19
23
32
36
40
A partir de la información presentada, puedes afirmar
que:
a) 19 personas tienen pesos menores que 136 libras.
b) el 25% de personas tiene pesos entre 124 y 129 libras.
UNIDAD 2
Medidas
18 - 21
22 - 25
26 - 29
30 - 33
34 - 37
38 - 41
Total
La nueva tabla de distribución te queda así:
Medidas
17.5 - 21.5
21.5 - 25.5
25.5 - 29.5
29.5 - 33.5
33.5 - 37.5
37.5 - 41.5
Total
Gráficos para variables continuas
8
7
6
5
4
3
2
1
41.5
En estadística, un histograma es una representación
gráfica de una variable en forma de barras unidas,
donde la superficie de cada barra es proporcional a la
frecuencia de los valores representados. En el eje vertical
se representan las frecuencias, y en el eje horizontal
los valores de las variables, que están dados en clases,
entonces se colocan los límites reales de cada clase.Este
tipo de gráfico, se utiliza cuando se estudia una variable
continua, como edades, altura, peso, calificaciones, etc.
Los límites reales se obtienen restando 0.5 al límite
inferior y sumando 0.5 al límite superior
9
37.5
Histograma
Frecuencia
10
6
10
8
9
7
50
10
Frecuencia
Cuando las variables son continuas, utilizas como
gráficas los histogramas, los polígonos de frecuencias,
las ojivas.
Frecuencia
8
4
6
5
7
30
50
33.5
Estaturas ( m )
Frecuencia
1.52 - 1.55
3
1.56 - 1.59
15
1.60 - 1.63
10
1.64 - 1.67
12
1.68 - 1.71
6
1.72 - 1.75
4
Total
50
b)Puntajes obtenidos en una prueba de admisión, 60 estudiantes
Puntajes
Frecuencia
42 - 49
2
50 - 57
8
58 - 65
9
66 - 73
15
74 - 81
7
82 - 89
11
90 - 97
8
Total
60
Primero encuentras los límites reales de cada clase que
serán ubicados en el eje horizontal.
29.5
a)Estaturas en metros de 50 estudiantes de bachillerato
Solución:
25.5
Para cada una de las siguientes distribuciones de frecuencias,
calcula fr, fr% y fa, haz alguna interpretación de la
información presentada.
Representa en un histograma la siguiente situación:
Medida de 50 terrenos de una comunidad.
21.5
2
17.5
Actividad
Ejemplo 5
medida m2
Gráficos como estos son utilizados por instituciones
para dar a conocer la información recolectada, por
ejemplo el CNR que mencionábamos.
Primer Año - Matemática 77
UNIDAD 2
Para cada punto medio o marca de clase y su respectiva
frecuencia se grafica un punto.
Se colocan dos puntos adicionales en dos puntos medios
imaginarios; uno de ellos al inicio, antes de la marca de
clase menor, donde iniciará el polígono de frecuencias
y el otro punto se coloca al final de la última marca de
clase, que es donde terminará el polígono.
Todos los puntos se unen con segmentos de recta.
7
6
5
Frecuencia
4
3
41.5
37.5
33.5
29.5
25.5
21.5
1
17.5
2
medida (m2)
Ejemplo 7
Construye un polígono de frecuencias dada la siguiente
situación: puntajes obtenido por 50 estudiantes en una
prueba de admisión.
Puntajes
50 - 57
58 - 65
66 - 73
74 - 81
82 - 89
90 - 97
Total
Frecuencia
6
8
11
15
7
3
50
78 Matemática - Primer Año
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ojiva
101.5
Frecuencia
8
Pm
53.5
61.5
69.5
77.5
85.5
93.5
93.5
9
85.5
10
77.5
Tomaremos el histograma anterior y a partir de los
puntos medios de cada rectángulo construiremos
el polígono.
Frecuencia
6
8
11
15
7
3
50
69.5
Puntajes
50 - 57
58 - 65
66 - 73
74 - 81
82 - 89
90 - 97
Total
Ejemplo 6
61.5
El polígono de frecuencias se construye de manera facil
si tenemos representado previamente el histograma, ya
que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos
del histograma que corresponden a las marcas de
clase. Para representar el polígono de frecuencias en el
primer y último intervalo, supones que adyacentes a
ellos existen otros intervalos de la misma amplitud, con
frecuencia cero para unir el polígono al eje horizontal.
Primero hay que calcular los puntos medios de cada
clase que serán colocados en el eje horizontal.
53.5
Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las
frecuencias absolutas de los valores de una distribución
en el cual la altura del punto asociado a un valor de las
variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
Solución:
45.5
Polígono de frecuencias
Puntajes
Una ojiva o polígono de frecuencias acumuladas es una
gráfica que se construye con segmentos de recta que
une los puntos obtenidos al colocar en el eje horizontal
los límites superiores de cada clase y en el vertical a las
frecuencias acumuladas
La ojiva inicia en el límite inferior de la primera clase y se
asigna una frecuencia acumulada de cero.
UNIDAD 2
Ejemplo 8
Representa mediante una ojiva la siguiente información.
Puntajes obtenido por 50 estudiantes en una prueba de
admisión.
Puntajes
Frecuencia
50 - 57
6
58 - 65
8
66 - 73
11
74 - 81
15
82 - 89
7
90 - 97
3
Total
50
Solución:
Lo primero que haces es calcular la frecuencia
acumulada.
Puntajes
Frecuencia
Fa
50 - 57
6
6
58 - 65
8
14
66 - 73
11
25
74 - 81
15
40
82 - 89
7
47
90 - 97
3
50
Total
50
97
89
81
73
65
57
50
Frecuencia
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
3
Actividad
a)Representa en un histograma y una ojiva la siguiente
información. Salarios en dólares de 80 trabajadores.
Salarios ( $ )
225 - 255
256 - 286
287 - 317
318 - 348
349 - 379
380 - 410
411 - 441
Total
Frecuencia
12
9
15
22
10
8
4
80
b)Grafica en un polígono de frecuencias y una ojiva la
siguiente situación. Puntajes obtenido por 70 estudiantes
en una prueba.
Puntajes
40 - 48
49 - 57
58 - 66
67 - 75
76 - 84
85 - 93
94 - 102
Total
Frecuencia
5
12
9
15
7
14
8
70
Puntaje
Resumen
Histograma
Gráficos para
variables continuas
Poligono de frecuencias
Ojiva
Formado por barras unidas, la altura representa la
frecuencia y el ancho el intervalo de clase.
Gráfico lineal que relaciona los puntos medios de cada
clase con la frecuencia.
Se construye con segmentos de recta que une los puntos
de relacionar límites superiores de cada clase y las
frecuencias acumuladas.
Primer Año - Matemática 79
UNIDAD 2
Autocomprobación
que relaciona las frecuencias con los puntos
1Gráfica
1
medios de cada clase:
Histograma
d) Ojiva
18%
b) 53%
a)
Estaturas en cm de 60 estudiantes:
2
Estaturas ( cm )
152 - 154
155 - 157
158 - 160
161 - 163
164 - 166
167 - 169
170 - 172
Total
c)
d)
50%
30%
de estudiantes que tiene una estatura entre
3 Cantidad
155 y 160cm es:
Frecuencia
8
7
12
5
18
6
4
60
7
b) 19
a)
4
c)
d)
17
32
de estudiantes que tiene una estatura menor
4 Elquenúmero
164 cm es:
A partir de la tabla de distribución de frecuencias dada,
responde:
32
b) 18
a)
2.d.
3.b.
c)
c)
d)
5
28
1.a.
a)
Soluciones
Polígono de frecuencias
b) Gráfica de barras
de estudiantes que tiene una estatura entre
2 El1643porcentaje
cm y 166 cm es:
4.a.
COMUNICANDO CON LAS GRÁFICAS
Los gráficos son un elemento importante en
la comunicación de resultados, ayudando a su
interpretación, y cumpliendo también, como el
buen lenguaje, una función estética que facilita
atraer la atención del lector y convencerle del
mensaje que le trasmitimos.
Es fácil crear, con o sin intención, una ilusión
óptica con una imagen, sobre todo si se emplea
la representación de las tres dimensiones. Como
arte es genial, pero no hagamos lo mismo con
nuestros datos.
Observa el gráfico de la par y dime ¿que
observas en él?
80 Matemática - Primer Año
Lección 4
Segunda Unidad
Relaciones
Motivación
S
¿ abes en que consiste la moda de las
superposiciones?
Consiste en ponerse una prenda encima de otra y que
se vea la de abajo.
Imagínate que tiene tres camisetas manga larga: una
roja, una verde y una blanca.
Y que también tienes tres camisetas manga corta:
una negra, una amarilla y una rosada.
¿De cuántas formas puedes combinar una camiseta
manga larga con una camiseta manga corta?
Si te pones debajo una camiseta verde manga larga
y encima la camiseta amarilla manga corta. Fíjate
como lo expresamos: {verde, amarilla} y observa que
hay superposición porque se ven las mangas de la
camiseta verde.
Ahora piensa, ¿Qué sucede si cambias el orden de las
camisetas al ponertelas?
Indicadores de logro
Expresarás con seguridad un producto cartesiano por
comprensión y/o por extensión.
Graficarás pares ordenados, en el plano cartesiano, con orden
y aseo.
Aplicarás de manera correcta las relaciones ordenadas
a situaciones del entorno, valorando el uso del lenguaje
matemático al explicar las características de una relación.
Aplicarás y explicarás las características de la relaciones a
situaciones del entorno, con seguridad.
Identificarás con certeza el conjunto de partida y llegada en
una relación.
Producto cartesiano
Pares ordenados
Considera el caso que se plantea al inicio sobre la
moda de superpociones, es decir, de ponerte debajo
una camiseta verde manga larga y encima la camiseta
amarilla manga corta. Lo expresas así: {verde, amarilla}
en este caso se ven las mangas de la camiseta verde.
Pero qué sucede si te pones debajo la camiseta amarilla
de manga corta y encima la camiseta verde manga larga.
Lo expresas así: {amarilla, verde}.
Observarás que no se ve la camiseta que llevas debajo.
Entonces, {verde, amarilla} y {amarilla, verde} no
significan lo mismo, porque aunque en los dos casos
te pones las camisetas verde y amarilla, lo haces en
distinto orden.Podemos decir que {verde, amarilla} y
{amarilla, verde} son pares ordenados, porque son pares
de elementos y además indican orden.
Un par ordenado indica orden entre dos elementos y, en
general, se expresa así: (a, b) a, es el primer componente
del par y b el segundo.
El par (a, b) es distinto del (b, a) porque, aunque los
elementos son los mismos, están en distinto orden. Así
tenemos: (2, 3) ≠ (3, 2); (–5, –9) ≠ (–9, –5).
Primer Año - Matemática 81
UNIDAD 2
Igualdad de pares ordenados
El par ordenado (a, b) es igual al par (c, d), si y solo si a = c y b = d
Ejemplo 1
Encuentra los valores de “x” y de “y” para que cumpla la igualdad de pares ordenados:
(5, y) = (x + 2, 6)
Solución:
Sabemos que (a, b) = (c, d), si y solo si a = c y b = d.
Por definición (5, y) = (x + 2, 6), sí y solo sí 5 = x + 2 y y = 6, despejando:
5 = x + 2 tenemos
5–2=x
x=3
Luego, obtienes x = 3 y y = 6
Ejemplo 2
Dado (7, 12) = (x + 4, y – 2), ¿cuál es el valor de x, y?
Solución:
Por definición (7,12) = (x + 4, y – 2), si y solo si 7 = x + 4 y 12 = y – 2
Despejando tenemos
7=x +4
y 12 = y − 2
7−4=x
12 + 2 = y
3=x
14 = y
Entonces x = 3 y y = 14
Los pares ordenados pueden
representarse gráficamente
en los ejes cartesianos o plano
cartesiano. Para ello dibujas
dos rectas perpendiculares
que divide al plano en cuatro
partes llamadas cuadrantes y
sobre las que representamos
los números, así
El eje horizontal es el eje de las
abscisas o eje de las x.
El eje vertical es el eje de las
ordenadas o eje de las y.
82 Matemática - Primer Año
5
2 cuadrante
o
1er cuadrante
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
3er cuadrante
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
4o cuadrante
UNIDAD 2
Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro cuadrantes, que se enumeran en
sentido contrario a las agujas del reloj asi: 1º cuadrante, 2º cuadrante, 3º cuadrante y 4º
cuadrante.
El punto donde se cortan los dos ejes es el punto (0, 0), llamado origen.
Ejemplo 3
Ubica en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados:
(2, 3), (–2, 5), ( 3, –3), (0, –5), ( 4, 2 ), (–4, 0), (–1, –5)
Solución:
(-2, 5)
Para ubicarlos debes partir del origen así:
(2, 3)
(2, 3): 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
(–2, 5): 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba.
(3, –3): 3 unidades a la derecha y 3 hacia abajo.
(0, –5): cero unidades sobre el eje x y 5 hacia abajo.
Cada punto del plano cartesiano está representado
por un par ordenado y de manera recíproca cada par
ordenado está representado por un punto de este plano.
(-4, 0)
0
(-4, -3)
(0, -5)
Actividad
a)Ubica en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados
1
(0, 8), (5, –2), (–1, 6), (–3, -4), (–4, 0), (3, 4), (2, 0), (0, –3)
Producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto
formado por todos los pares ordenados que puedas
formar, que tengan el primer componente del primer
conjunto y el segundo componente del segundo
conjunto.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A
y B se escribe así: A × B y se lee A cruz B.
A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados cuya
primera componente pertenece al primer conjunto
A y cuya segunda componente pertenece al segundo
conjunto B.
Primer Año - Matemática 83
UNIDAD 2
En símbolos tenemos que:
A × B = {(x, y) / × ∈ A ∧ y ∈ B}
Ejemplo 4
B × A ={ (2, –1),( 2, 0) ,( 2, 1), (2, 2),(3, –1), (3, 0),( 3, 1),
( 3, 2)}
A×B
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5},
Determina: A × B, B × A, A × A y B × B.
B
(-1, 3)
Solución:
3
(-1, 2)
A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
2
B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
(0, 3) (1, 3) (2, 3)
(0, 2) (1, 2) (2, 2)
1
A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1),(3, 2), (3, 3)}
-1
0
1
A
2
3
(2, 3)
(3, 3)
B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}.
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir,
A × B ≠ B × A, observa los resultados en el ejemplo.
B×B
B
Ejemplo 5
3
Si A = {x ∈  /–1 ≤ x < 3} y B = {x ∈  /1 < x < 4}
Encuentra: A × B, A × A. B × B y B × A
2
Representa gráficamente A × B y B × B
1
(2, 2) (2, 2)
Solución:
Los elementos de los conjuntos son:
-1
0
1
2
A = {–1, 0, 1, 2} B = {2, 3}
A × B = {(–1, 2), (–1, 3), (0, 2), (0. 3), (1, 2). (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
Observa como A × B posee 8 elementos, éste resultado
lo obtienes de multiplicar el número de elementos de A
por el de B, es decir, 4 × 2 = 8.
En general, si A posee “m” elementos y B “n” elementos,
entonces A × B tendrá “m × n” elementos.
A × A = {(–1, –1), (–1, 0), (–1,1), (–1,2), (0, –1), (0, 0),
(0, 1), (0, 2), (1, –1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, –1),
(2, 0), (2, 1), (2, 2)}
Número de elementos: 4 × 4 = 16
B × B = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
84 Matemática - Primer Año
En tu cuaderno grafica A × A y B × B
3
B
UNIDAD 2
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Dado A = {x ∈  /1 ≤ x < 4} y B = {x ∈  /2 < x ≤ 4}
Si M = {x ∈  /1 ≤ x < 3} y N = {x ∈  /– 4 ≤ x ≤ –2}
Encuentra y grafica M × N y N × M
Encuentra A × B y grafica los conjuntos.
Solución:
Solución:
Los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto
de los números reales, por lo tanto está constituido por
infinitos elementos y su representación es dada por una
notación de intervalo.
En este caso los elementos de ambos conjuntos
pertenecen al conjunto de los números reales, por lo
tanto está constituido por infinitos elementos y su
representación es dada por una notación de intervalo.
A = {x ∈ N/1 ≤ × < 4} = {1, 2, 3}
1
B = {x ∈ R/ 2 < × ≤ 4} =]2, 4]
Entonces, A × B consta de infinitos pares ordenados
por lo que no pueden especificarse uno por uno. Por lo
tanto, el conjunto buscado solo puede presentarse por
comprensión así:
A × B = {(x, y)  ×  /1 ≤ x < 4, 2 < x ≤ 4}
= {1, 2, 3} ×] 2, 4]
Como el producto cartesiano está dado como un
subconjunto de N × R, entonces su gráfica está dada por
segmentos de recta verticales.
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
M = {x ∈  /1 ≤ x < 3} = [1, 3[
N = {x ∈  /4 ≤ x ≤ 2} = [2, 4]
M × N = {(x, y) ∈  X  /1 ≤ x < 3, 4 ≤ y ≤ 2}
= [1, 3 [ × [4, 2]
4
Como el producto cartesiano está dado como un
subconjunto de  ×  , entonces su gráfica está dada
por una superficie plana.
3
2
1
0
1
2
3
Los puntos rojos indican que los puntos están incluidos
en el gráfico y los huecos, que no están incluidos.
Primer Año - Matemática 85
UNIDAD 2
Ejemplo 8
Si se tiene A = {2, 3, 4} y B = {4, 6, 8}
Entonces A × B = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (4, 4), (4, 6), (4, 8)}
Del producto A × B, puedes establecerse algunas
relaciones como:
a)R1 = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
2
Observa como los elementos del primer conjunto están
asociados a los elementos del segundo conjunto. Piensa,
cómo es el segundo elemento con respecto al primero.
Actividad
Para cada par de conjuntos, encuentra los productos cartesianos
indicados y luego grafícalos.
a)C = {–3, –1, 1}, D= {–2, –1, 0}; C × D
b)M = {x
∈  /–4 ≤ x < –1}, P = {x ∈  /2 ≤ x < 6}; M × N
c) A = {x
∈  /2 < x ≤ 4}, B = {x ∈  /–2 ≤ x < 2}; A × B, B × A
d)P = {x
∈  /–5 ≤ x ≤ –3}, K = {x ∈  /–3 ≤ x < 5}; P × K
Relaciones
R1 está formado por todos los pares ordenados que
cumplen con que “y” sea el doble de “x”, al expresarlo por
comprensión se tiene:
R1 = {(x, y) A × B/y es el doble de x} ó
R1= {(x, y) A × B/y = 2 x}
b)R 2 = {(4, 4)} si lo expresas por comprensión:
R 2 = {(x, y) A × B/y es igual a x} ó
R 2 = {(x, y) A × B/y = x}
c)R 3 = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (4, 6),
En la vida cotidiana es frecuente oír que las personas
se relacionan, por ejemplo: “es amigo o amiga de”, “es
hermana o hermano de”, “es esposo o esposa de”, “es
menor que”, y otras.
En matemática, el concepto de relación implica la idea
de correspondencia entre los elementos de los conjuntos
que forman pares ordenados.
En toda relación se distinguen: un primer conjunto A,
llamado conjunto de partida, un segundo conjunto B,
llamado conjunto de llegada, y un conjunto de pares
ordenados (x, y) ∈A × B, llamado conjunto solución.
Una relación es un subconjunto de pares ordenados que
cumplen con cierta propiedad. Así por ejemplo:
Si A = {1, 4, 6} y B = {2, 3, 7}
Una relación que exista entre A y B puede ser “x es mayor
que y”, entonces: R = {(4, 2), (4, 3), (6, 2) (6, 3)} ⊂ A ×B
Una relación de A en B, denotada R: A → B, es cualquier
subconjunto R del producto cartesiano A × B.
R: A → B se lee: “Relación de A en B"
86 Matemática - Primer Año
(4, 8)}
R 3 = {(x, y) A × B/y es mayor que x} ó
R 3 = {(x, y) A × B/y > x}
Ejemplo 9
Si A = {1, 4, 6} y B = {2, 3, 7}. Encuentra la relación “x
mayor que y”.
a) de A en B
b) de B en A
UNIDAD 2
Determina el conjunto de partida y el conjunto de
llegada en cada caso.
Solución:
a) R = {(4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}
El conjunto de partida es A = {1, 4, 6} y el conjunto de
llegada B = {2, 3, 7}.
b) R = {(2, 1), (3, 1), (7, 1), (7, 4), (7,6)}
El conjunto de partida es B = {2, 3, 7}. Y el conjunto de
llegada A = {1, 4, 6}
Ejemplo 10
Sea D el conjunto de los números dígitos, donde
D = {0, 1,2, 3,. . ., 9}
Determina el conjunto R = {(x, y) ∈D × D/y = x2} y
luego encuentra el conjunto de partida y el conjunto de
llegada.
Solución:
R = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
El conjunto de partida y de llegada es D.
Actividad
3
Utiliza los siguientes conjuntos para determinar las
relaciones que se indiquen:
1.M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) ∈M × M/y < x}
b) R = {(x, y) ∈M × M/y = x}
2.A = {-2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
a)
R = {(x, y) ∈A × A/y = x –5}
b) R = {(x, y) ∈A × B/y = x2 –1}
c) R = {(x, y) ∈A × B/y = x + 2}
d) R = {(x, y) ∈B × B/y = 3 – x}
a)
Resumen
En esta lección estudiaste lo relacionado a que un par ordenado indica orden entre dos elementos y, en general,
se expresa así: (a, b).
El par ordenado (a, b) es igual al par (c, d), si y solo si a = c y b = d
También estudiaste el producto cartesiano de dos conjuntos. El producto cartesiano de dos conjuntos es el
conjunto formado por todos los pares ordenados obtenidos de tal manera que, tengan el primer componente en
el primer conjunto y el segundo componente en el segundo conjunto.
Una relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de los conjuntos que forman pares
ordenados, por lo que, una relación es un subconjunto de pares ordenados que cumplen con cierta propiedad.
Primer Año - Matemática 87
UNIDAD 2
En la igualdad (x + 1, 3 x) = (4, y – 1) los valores de
“x” e “y” son:
3
x = 5 y = 9 c) x = 5 y = 10
b) x = 3 y = 10
d) x = 3 y = 9
En la relación R anterior cuál es el conjunto de
llegada:
a)
2
{0, 1,2, 3, 9}
b) {0, 1, 2,3,…,9}
a)
Dado el conjunto de los números dígitos
D = {0, 1,2, 3,. . ., 9} y R = {(x, y) ∈D × D/y = x + 2},
por extensión esta relación está dada por:
4
{0, 1, 2,3}
d) {2,3, 4, 5,…,9}
c)
Para A = {0, 1, 2, 3} B = {2, 3, 4} El producto
cartesiano A × B es:
R= {(0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3),
(1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2),
(3, 3), (3,4)}
b) R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3),
(3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
c) R = {(0, 2),(0, 3),(0, 4),(1, 2),(1, 3),
(1, 4), (2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 2),
(3, 3),(3, 4)}
d) R = {(2, 2), (3, 3), (4, 4)}
a)
R = {(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5). (4, 6),(5, 7),
(6, 8) (7, 9)}
b) R = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
c) R = {(2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6. 4),
(7, 5), (8, 6), (9, 7)}
d) R = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2),
(5, 2), (6, 2), (7, 2), (8, 2), (9,2)}
a)
1. b.
1
Soluciones
Autocomprobación
2. a.
3. b.
4. c.
COORDENADAS EN LA CIUDAD
Existen varios movimientos que a diario efectúan
nuestros cuerpos por el espacio. Imagínate los
desplazamientos que realizas cuando sales de tú
casa, por ejemplo: Avanzas tres cuadras, giras a
la derecha y continúas por cinco cuadras más.
Y luego llegas a la Escuela. Estos
desplazamientos los puedes ubicar en el plano
cartesiano. Se denominan plano cartesiano
en honor a René Descartes (1596-1650), el
célebre filósofo y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un punto de partida sobre el
que edificar todo el conocimiento.
88 Matemática - Primer Año
Lección 5
Segunda Unidad
Gráfica de relaciones
Motivación
O
bserva la gráfica de una circunferencia.
¿Sabías que los puntos por los que pasa forman pares
ordenados y que corresponden a un subconjunto del
producto cartesiano R × R?
¿Podrías expresar esa relación?
Indicadores de logro
Determinarás, con seguridad, el dominio y recorrido de una
relación.
Graficarás, con orden y aseo, en el plano cartesiano diferentes
tipos de relación e identificarás los dominios y recorridos.
Conjunto de partida y conjunto de llegada
Dado los conjuntos A = {x ∈  /1 ≤ x < 5}
B = {x ∈  /–4 ≤ x ≤ 0}
Encuentra la relación R = {(x, y) ∈ A × B/y = x –4}
Determina el conjunto de partida y el conjunto de
llegada.
x
1
2
3
4
y=x – 4
–3
–2
–1
0
( x, y )
( 1, –3 ) ∈ A × B
( 2, –2 ) ∈ A × B
( 3, –1 ) ∈ A × B
( 4, 0 ) ∈ A × B
Solución:
A = {1, 2, 3, 4},
B = {-4, –3, –2, –1, 0}
El conjunto de partida es el conjunto A y el de llegada B
Para encontrar la relación y no formar todo el producto
cartesiano, puedes utilizar una tabla como la siguiente,
en la que puedes calcular solamente los pares que
cumplen con la relación
Punto de apoyo
Conjunto de partida es el designado como el
primer conjunto de la relación.
Conjunto de llegada es el que en la relación se
define como el segundo conjunto.
Primer Año - Matemática 89
UNIDAD 2
Entonces R = {(1, –3), (2, –2), (3, –1), (4, 0)}
×
Observa que en la relación todos los primeros
componentes forman el conjunto A y los segundos
componentes forman el conjunto B, es decir A es el
conjunto de partida y B es el conjunto de llegada. Ahora,
utiliza los mismos conjuntos para:
R = {(x, y) ∈  ×  /y = x –2}
Solución:
( x, y )
( 1, –1 ) ∈ A × B
( 2, 0 ) ∈ A × B
( 3, 1 ) ∉ A × B
( 4, 2 ) ∉ A × B
En este caso solamente hay dos pares ordenados que
satisfacen la relación: R = {(1, –1), (2, 0)}
x
1
2
3
4
y=x – 2
–1
0
1
2
Notarás que las primeras componentes de los pares
ordenados que cumplen con la relación son {1, 2} y no
son todos los elementos del conjunto de partida, es decir
los elementos del conjunto A. Lo mismo sucede con
los segundos elementos de cada par, que cumple con
la relación, no son todos los elementos del conjunto de
llegada.
Dominio y recorrido
Observa la siguiente situación. Para los conjuntos
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Encuentra la relación R = {(x, y) ∈ A × B/y = 4 – x} y
determina las componentes de cada par de la relación.
Las primeras componentes de los pares que forman la
relación son {0, 1, 2} y las segundas componentes son
{2, 3, 4}.
Notarás que los elementos no son todos los que
corresponden al conjunto de partida ni al conjunto de
llegada.
Tomando como base este ejemplo se puede decir que:
El conjunto de las primeras componentes de los pares
que pertenecen a una relación R, se llama dominio de la
relación y se denota por DR .
El conjunto de las segundas componentes de los pares
que pertenecen a una relación R, se llama recorrido o
rango de la relación y se denota por R R .
Ejemplo 1
Dado el conjunto de los números dígitos
D = {0, 1, 2, 3,. . ., 9}
Encuentra la relación R = {(x, y) ∈ D × D/y = x2} y
determina el dominio y recorrido de la relación.
Solución:
Como los elementos del producto cartesiano son
muchos, entonces para encontrar los pares ordenados
que cumplen con la relación se obtienen dándole valores
a “x” tomando del conjunto de partida y se observa
cuáles valores de “y” en el conjunto de llegada cumplen
con la relación:
Para x = 0, y = 02 = 0; (0, 0) D × D
Solución:
En este caso solamente tres pares ordenados cumplen
con la relación dada:
x
0
1
2
3
4
5
y=4 – x
4
3
2
1
0
–1
( x, y )
( 0, 4 ) ∈ A × B
( 1, 3 ) ∈ A × B
( 2, 2 ) ∈ A × B
( 3, 1 ) ∉ A × B
( 4, 0 ) ∉ A × B
( 5, –1 ) ∉ A × B
R = {(0, 4), (1, 3), (2, 2)}
90 Matemática - Primer Año
Para x = 1, y = 12 = 1; (1, 1) D × D
Para x = 2, y = 22 = 4; (2, 4) D × D
Para x = 3, y = 32 = 9; (3, 9) D × D
Si tomas x = 4, al elevarlo al cuadrado resulta 16 y este
valor ya no pertenece a D, por lo que llegas hasta x = 3
Entonces R = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)} por lo tanto
Dominio de R = {0, 1, 2, 3} y Recorrido de R = {0, 1, 4, 9}
UNIDAD 2
Ejemplo 2
Solución:
Dado el conjunto de los números enteros:
Z = {. . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,. . .}
Los pares de la relación son:
Encuentra la relación R = {(x, y) ∈Z × Z/y = 2x + 1} y
determina el dominio y recorrido de la relación.
Solución:
Notarás que Z es un conjunto infinito, por lo tanto es
mejor encontrar algunos valores utilizando una tabla,
así:
x
...
y = 2x + 1
–3 –2 –1 0
–5 –3 –1 1
1
3
2
5
3 ...
7
Observarás que para cualquier valor de “x”, siempre
encontrarás un valor para “y”, entonces:
Para x = 0, y = 0 –1 = –1 ∉ A, entonces el par (0, –1) no
es parte de la relación
Para x = 1, y = 1 – 1 = 0, (1, 0)
Para x = 2, y = 2 – 1 = 1, (2, 1)
Para x = 3, y = 3 – 1 = 2, (3, 2)
Para x = 4, y = 4 – 1 = 3, (4, 3)
Para x = 5, y = 5 – 1 = 4, (5, 4)
Para x =6, y = 6 – 1 = 5, (6, 5)
Para x = 7, y = 7 – 1 = 6, (7, 6)
DR = Z y R R = Z
A
Actividad
1
7
Determina dominio y recorrido para cada una de las
situaciones siguientes:
6
1.Para B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}
5
R1 = {(x, y) ∈ B × B/y = 2x}
b) R2 = {(x, y) ∈ B × B/y = x}
c) R3 = {(x, y) ∈ B × B/y = x – 1}
2.Sea  el conjunto de los números enteros
a)
R1 = {(x, y) ∈  ×  /y = 2x + 3}
b) R2 = {(x, y) ∈  ×  /y = 8 – x}
a)
Gráfica de relaciones
(7, 6)
(6, 5)
(5, 4)
4
(4, 3)
3
(3, 2)
2
(2, 1)
1
(1, 0)
0
1
2
3
4
5
6
7
Como los elementos de una relación son pares
ordenados, entonces esta puede ser representada en el
plano cartesiano, es decir, puede graficarse.
Entonces R = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5),(7,6)}
Ejemplo 3
Dominio de R = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7} y
Para A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Recorrido de R = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6}
Representa gráficamente la relación:
R = {(x, y) ∈ A × A/y = x – 1} y determina el dominio y
recorrido.
Primer Año - Matemática 91
A
UNIDAD 2
Ejemplo 4
Grafica la relación R = {(x, y) ∈ R × R/y = x + 1} e indica
el dominio y recorrido.
Solución:
Esta relación está dada en el conjunto de los números
reales, entonces, no puede expresarse por extensión ya
que está constituida por infinitos pares ordenados.
Encuentra algunos valores para su representación
gráfica en el plano cartesiano.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y=x+1
–2
–1
0
1
2
3
4
En los números reales, las raíces cuadradas de
números negativos no tienen solución.
Solución:
Como estas trabajando con números reales, entonces
la relación está formada por un conjunto infinito de
pares ordenados, pero para graficar, encuentras algunos
valores, por conveniencia, lo haces con números enteros.
La variable “x” puede tomar únicamente los valores
que están en el intervalo [–3, 3] porque si toma valores
menores o mayores, se obtendrán valores negativos
dentro de la raíz.
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
Punto de apoyo
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-3
x
y = ± 9− x 2
–3
–2
0
± 5
–1
± 8
0
±3
1
± 8
2
± 5
5
3
0
4
3
2
-4
-5
1
Ahora une los puntos y te darás cuenta que se obtiene
una línea recta.
La variable “x” puede ser sustituida por cualquier
número real y se obtiene otro número real, entonces:
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
DR = R y R R = R
Ejemplo 5
Encuentra dominio, recorrido y grafica la relación :
R=
{( x , y ) ∈ R × R / y =
± 9− x 2
92 Matemática - Primer Año
}
Observa la tabla de los valores y el gráfico, identificarás
que DR = [–3, 3] y R R = [–3, 3]:
Además es la gráfica que observaste al inicio de la
lección.
UNIDAD 2
Ejemplo 6
{
Solución:
}
Dada R = ( x , y ) ∈R × R / y = ± x }, grafícala y
encuentra su dominio y recorrido.
Solución:
Encuentras algunos valores para graficar la relación en el
plano cartesiano.
En este caso, la variable “x” solamente puede tomar
valores positivos y el cero.
y=± x
x
0
1
4
9
16
y
0
±1
±2
±3
±4
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
-2
-3
-4
Grafica los puntos y luego únelos mediante una línea
curva. El dominio, es decir todos los valores posibles que
puede tomar la variable “x”, inicia en 0, hasta el infinito,
mientras que la variable “y” puede tomar cualquier valor
de los reales.
Para graficar esta relación, primero tienes que
representar gráficamente la igualdad y = x. Encuentra
algunos valores.
x
y=x
–2
–2
–1
–1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
En este caso los puntos que cumplen la igualdad no
son parte de la relación, primero tienes que representar
la frontera punteada, es decir, línea frontera. Esta línea
divide al plano en dos partes, una de ellas satisface la
desigualdad.
El procedimiento que se sigue para saber cuál de esas
partes es la que cumple con la relación dada, es tomar
un punto que pertenezca a cualquiera de las dos partes
(no de la línea frontera) y determinar si cumple con la
relación dada.
En nuestro caso tomas el punto (1, 4) que está en la parte
superior, y se observa que 4 no es menor que 1, es decir
que no cumple con la relación planteada.
Luego se procede a sombrear la parte del gráfico a la cual
no pertenece el par (1, 4). Observa que el gráfico de la
relación es una superficie.
4
3
2
1
Entonces:
DR = [0, ∞ [. Lo que también se puede expresar de la
siguiente manera DR = Ro+ que representa al conjunto de
los números reales positivos incluyendo el cero R R = R
Ejemplo 7
Encuentra la gráfica y determina el dominio y recorrido
de la relación R = {(x, y) ∈ R × R/y < x}
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
Como “x” puede tomar cualquier valor de R y siempre se
obtiene un valor de “y” en R, entonces:
DR =  y  R = 
Primer Año - Matemática 93
UNIDAD 2
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Grafica la relación R = {(x, y) ∈ R × R/y ≥ x}, luego
determina su dominio y recorrido.
Grafica e indica el dominio y recorrido de la relación
R = {(x, y) ∈ R × R/y ≤ 3 – x}.
Solución:
El producto cartesiano R × R, también puede expresarse
como R 2, entonces la relación puede expresarse así:
R = {(x, y) ∈ R 2/y ≤ 3 – x}
Para graficar esta relación, al igual que en la anterior,
primero tienes que representar gráficamente la igualdad
y = x algunos valores son:
Solución:
x
y=x+1
–3
–2
–2
–1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
En este caso la igualdad es parte de la relación, entonces,
primero tienes que graficar la igualdad, es decir, línea
frontera. Esta línea divide al plano en dos partes, una de
esas partes satisface la desigualdad.
Para graficar esta relación, primero tienes que
representar gráficamente la igualdad y = 3 – x,
Para saber cuál de esas partes es la que cumple con
la relación dada, tomas un punto que pertenezca a
cualquiera de las dos partes (no de la línea frontera) y
determinas si cumple con la relación dada.
En este caso la igualdad es parte de la relación, entonces
se traza la línea que corresponde a dicha igualdad,
conocida también como línea frontera. Esta línea divide
al plano en dos partes, una de esas partes satisface la
desigualdad.
En este caso hazlo con el punto (2, 4), observa que 4
es mayor que 2, es decir que cumple con la relación
planteada. Ahora, sombrea la parte del gráfico a la cual
pertenece el par (2, 4) y observa que el gráfico de la
relación siempre es una superficie.
3
2
1
-1
x
–1
0
1
2
3
4
5
y=3–x
4
3
2
1
0
–1
–2
El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior,
es decir, toma un punto que pertenezca a cualquiera
de las dos partes (no de la línea frontera) y determina si
cumple con la relación dada.
En nuestro caso tomas el punto (4, 2) que está en la
parte superior, y lo sustituyes en y ≤ 3–x. Observa que
2 ≤ 3 – 4 es decir que cumple con la relación planteada.
4
-4 -3 -2 -1
Encuentra algunos valores:
1
2
-2
-3
94 Matemática - Primer Año
3
4
5
Luego se procede a sombrear la parte del gráfico a la cual
no pertenece el par (4, 2), y el gráfico de la relación es
una superficie. Para cada valor de x ∈ R siempre hay un
valor para “y”. Entonces: DR = R y R R = R.
UNIDAD 2
8
4
3
6
2
1
-4 -3 -2 -1
4
-1
1
2
3
4
5
2
-2
-3
-3 -2 -1
Ejemplo 10
Grafica la relación R = {(x, y) ∈ R 2/y > x2}
Solución:
Para elaborar este gráfico, primero tienes que representar
y= x2 la frontera punteada. Los puntos de la igualdad:
y = x2 no son parte de la relación.
Algunos valores de la igualdad son:
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y = x2
9
4
1
0
1
4
9
Ahora, para saber cuál de esas partes es la que cumple
con la relación dada, al igual que en los ejemplos
anteriores, toma un punto que pertenezca a cualquiera
de las dos partes (no de la línea frontera) y determina si
cumple con la relación dada.
En este caso, puedes tomar el punto (2, 1), ahora
sustitúyelo en la relación dada y > x2 .
1 > 22 es decir 1 > 4, lo que es falso, entonces (2, 1) no
pertenece a la relación planteada; por lo tanto esta parte
no pertenece a la desigualdad, la solución será la otra
parte del gráfico, sombréala.
1
2
3
Observa que el dominio son los números reales, pero el
recorrido comienza a partir de 0 al infinito.
Entonces DR = R y R R = [0, ∞ [
Actividad
2
Grafica y encuentra el dominio y el recorrido de cada una de
las relaciones siguientes:
R1 = {(x, y) ∈  2/y ≤ x + 3}
b) R2 = {(x, y) ∈  2/y = –x2}
c) R3 = {(x, y) ∈  2/y > 1 –x}
x +1
d) R4 = {(x, y) ∈  2/y =
}
a)
2
Resumen
Esta lección trató sobre la gráfica de relaciones y sobre
el dominio y recorrido de la relación.
Tenemos entonces que:
Toda relación puede ser representada gráficamente
en el plano cartesiano.
El conjunto de los primeros componentes de los
pares que pertenecen a una relación R, se llama
dominio de la relación y se denota por DR .
El conjunto de los segundos componentes de los
pares que pertenecen a una relación R, se llama
recorrido o rango de la relación y se denota por R R .
Primer Año - Matemática 95
UNIDAD 2
Autocomprobación
3
El dominio y recorrido de la relación:
R = {(x, y) ∈ R × R/y = 2 – 3x} es
DR = R, RR = R
b) DR = R, RR = [–3, ∞ [
c) DR = R, RR = [3, ∞ [
d) DR = R, RR =] –∞, –3]
DR = R, RR = R
b) DR = R, RR = [2, ∞ [
c) DR =]– ∞, 2] y RR = [3, ∞ [
d) DR = [3, ∞ [, RR = [2, ∞ [
a)
a)
Dado A = {–4, –3, –2}, un par que cumple con la
relación R = {(x, y) ∈ A × A/y > x} es:
4
(–2, –3)
b) (–2, –4)
c) (–3, –4)
d) (–4, –2)
a)
En la relación:
R =
{( x , y ) ∈ R
2
/ y = ± 16 − x 2
El dominio es:
}
[–16, 16]
b) R
c) [–4, 4],
d) ]–4, 4[
a)
1. a.
2. d.
2
En la relación R = {(x, y) ∈ R2/y ≥ x2 –3} el
dominio y recorrido es:
Soluciones
1
3. b.
4. c.
LAS RELACIONES EN LAS CIENCIAS
La relación entre la ciencia y la matemática tiene
una larga historia, que data de muchos siglos.
La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas
interesantes para investigar, y éstas le brindan
a aquella herramientas poderosas para el
análisis de datos. La matemática y la tecnología
también han desarrollado una relación productiva
mutua. La matemática de las relaciones y
cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido
de manera considerable al diseño del hardware
computacional y a las técnicas de programación.
La matemática también ayudan de manera
importante a la ingeniería, como en la descripción
de sistemas complejos cuyo comportamiento
puede ser simulado por la computadora.
96 Matemática - Primer Año
Solucionario
Lección 1
b)
Años
2004
Actividad 1:
2003
a) Colores preferidos por 25 personas ordenados
alfabéticamente
amarillo
amarillo
amarillo
azul
azul
celeste
celeste
celeste
celeste
negro
negro
rojo
rojo
rojo
rojo
rojo
rojo
rojo
rojo
rosado
rosado
2002
2001
2000
rosado
verde
verde
verde
0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Importación (TM)
c)
90%
80%
70%
60%
50%
b) Peso de 32 estudiantes ordenados de menor a mayor: 120,
123, 125, 126, 128, 128, 130, 130, 132, 133, 135, 135, 136,
136, 137, 138, 138, 138, 139, 140, 140, 142, 142, 142, 142,
145, 145, 146, 147, 148, 150, 150
40%
10%
0%
2.
Nº de hijos
0
1
2
3
4
Total
Exportacion no
tradicional
Maquila
Agro exportacíon
tradicional
Remesas
Fuentes de divisas
a) Estado civil de 20 personas b) Número de hijos de 24 familias
Nº de personas
8
6
2
4
20
2004
20%
Actividad 2:
Estado civil
soltero
casado
divorciado
viudo
Total
1978
30%
50
40
Nº de matrimonios
4
6
8
5
1
24
30
20
10
1999
c) La edad que tienen el menor de número de personas es 44
años. La mayor cantidad de personas se ubica en 48 años. De
las 38 personas encuestadas la edad menor de ellas es
38 años.
Lección 2
Actividad 1:
2000
2001
Actividad 2:
2002
40 %
2003
Años
27 %
1.
Secciones Nº de niños Porcentaje Angulo
4
27
33.75% 121.5º
5
32
40%
144º
6
21
26.25% 94.5º
Total
80
100%
360º
33 %
1. a)
2. a)
100000
b)
= 3 partidos
= 4 libros
80000
Importación (TM)
Equipos
Partidos Ganados
60000
Acuario
Matemática
40000
Física
Pericos
20000
Estadística
0
2000
2001
2002
2003
2004
Años
Montañas
Panteras
Biología
Química
Primer Año - Matemática 97
Solucionario
Lección 3
b)
65
14
Actividad 1:
Frecuencia
6
0
4
8
6
11
6
50
b)
Pm
61
66
71
76
81
86
91
Salarios Frecuencia Pm
200 - 234
6
217
235 - 269
4
252
270 - 304
12
287
305 - 339
3
322
340 - 374
5
357
375 - 409
10
392
Total
40
Estaturas
1.52 – 1.55
1.56 – 1.59
1.60 – 1.63
1.64 – 1.67
1.68 – 1.71
1.72 – 1.75
Total
F
3
15
10
12
6
4
50
Fr
0.06
0.3
0.2
0.24
0.12
0.08
1.00
Fr %
6%
30%
20%
24%
12%
8%
100%
F
2
8
9
15
7
11
8
60
Fr
0.033
0.133
0.15
0.25
0.12
0.18
0.133
0.999
80
20
70
10
5
35
44
53
62
71
80
89
98
40
107
12
10
8
6
4
Fa
2
10
19
34
41
52
60
(2, 0)
(5, -2)
Actividad 2:
a) C × D = {(–3, –2), (–3, –1), (–3, 0), (–1, –2), (–1, –1), (–1, 0), (1, –2), (1, –1),
(1, 0)}
-3
-2
-1
1
(-3, 0)
(-1, 0)
0
(1, 0)
(-3, -1)
(-1, -1)
-1
(1, -1)
(-3, -2)
(-1, -2)
-2
(1, -2)
C
M × N = {(–4, 2), (–4, 3), (–4, 4), (–4, 5), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 4), (–3, 5),
(–2, 2), (–2, 3), (–2, 4), (–2, 5)}
5
4
3
2
441
410
379
348
317
286
255
102
(0, 8)
N
225
93
D
20
441.5
410.5
379.5
348.5
317.5
286.5
255.5
84
Lección 4
(0, -3)
30
0
Salarios
-4 -3 -2 -1
98 Matemática - Primer Año
75
(-3, -4)
40
Salarios
66
Puntajes
50
0
224.5
57
0
10
2
48
Puntajes
(-4 (-4 (-4 (-4
,2) ,3 ,4) ,5)
(-3 (-3 ) (-3 (-3
,2) ,3) ,4) ,5)
(-2 (-2 (-2 (-2
,2) ,3) ,4) ,5
)
14
0
25
60
16
Número de trabajadores
Número de trabajadores
18
30
15
2
0
35
20
4
b)
22
6
40
(-4, 0)
Actividad 3:
a)
8
(3, 4)
Fa
3
18
28
40
46
50
Fr %
3.3%
13.3%
15%
25%
12%
18%
13.3%
99.9%
45
(-1, 6)
Puntajes obtenidos en una prueba de admisión, 60 estudiantes
Puntajes
42 – 49
50 – 57
58 – 65
66 – 73
74 – 81
82 – 89
90 – 97
Total
50
10
Actividad 1:
Actividad 2:
a) Estarturas en metros de 50 estudiantes de
bachillerato
b)
55
Frecuencia
Puntajes
59 - 63
64 - 83
69 - 73
74 - 78
79 - 83
84 - 88
89 - 93
Total
60
12
Frecuencia
a)
70
16
1
M
Solucionario
c)
Actividad 2:
a) DR = R RR = R
A X B =] 2, 4] X {–2, –1, 0, 1}
B
y
1
-1
-2
d)
1
2
3
5
A
4
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
[–5, –3] X [–3, 5[
1
-1
2
3
4
1
2
3
x
5
-2
-3
k
-4
-5
5
4
3
2
b)
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
p
DR = R
RR = ]–∞, 0]
-2
y
-3
-4
-3 -2 -1
-5
Actividad 3:
1. a) R = {(2, 0), (3, 0), (3, 2), (4, 0), (4, 2),
(4, 3), (5, 0), (5, 2), (5, 3), (5, 4),
(6, 0), (6, 2),(6, 3), (6, 4), (6, 5)}
b) R = {(0, 0), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5),
(6, 6)}
2. a) R = {(3, –2), (4, –1)}
b) R = {(–2, 3), (–1, 0), (1, 0), (2, 3)}
c) R = {(–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4),
(3, 5), (4, 6)}
d) R = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)}
-2
-4
-6
-8
c)
DR = R
RR = R
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-3
Lección 5
Actividad 1:
1. a) DR = {0, 2, 3} RR = {0, 4, 6}
b) DR = B y RR = B
c) DR = {0, 3, 4, 5, 6} y RR = {–1, 2, 3, 4, 5}
2. a) DR = N RR = {5, 6, 7, 8,. . . . .}
b) DR = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y
RR = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
x
d)
DR = R
RR = R
y
2
1
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
x
-1
Primer Año - Matemática 99
Proyecto
Una empresa constructora tiene a su cargo un proyecto habitacional en la finca “El coyolito” y quiere conocer
el impacto que tendría en la población, la construcción de un centro recreativo en esa colonia. Para esto, se
administra una encuesta y así recolecta la información requerida para decir si se lleva acabo el centro recreativo.
La información obtenida se clasificó por sexo y edad, y es la siguiente:
Sexo
Si
No
Total
Edad
Si
No
15 - 25
11
7
Masculino
18
17
26 - 36
15
8
Femenino
14
11
37 - 47
10
9
a) ¿De todos los encuestados qué porcentaje están a favor del proyecto y qué porcentaje no?
Total
b) En la muestra qué grupo es más numeroso, las mujeres o los hombres?
c) ¿Quines están más de acuerdo con el proyecto, las mujeres o los hombres?
d) ¿Quienes están más en desacuerdo con el proyecto, las mujeres o los hombres?
e) ¿Qué grupo de edades están más de acuerdo con el proyecto?
f) Grafica la información, puedes utilizar un gráfico de pastel o cualquier otro que tú creas conveniente. Resume
con tus palabras
Recursos
Materiales: Regla, transportador
AGUILERA Liborio Raúl, Matemática Primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA, San Salvador, El
Salvador 1996, 455p.
BONILLA Gildaberto, Estadística, elementos de estadística descriptiva y probabilidad, UCA Editores, 6ª
Edición, San Salvador, El Salvador, 1999, 558p.
CHRISTENSEN, Howard B, Estadística paso a paso, Editorial Trillas, 2ª Edición. México, 1990, 682p.
GALO de Navarro, Gloria, Matemática Primer año de bachillerato, UCA Editores, 1ª Edición, San Salvador, El
Salvador, 2006, 604p.
INFANTE Gil, Said y Zárate de Lara Guillermo, Métodos estadísticos, Editorial Trillas, 10ª Edición, México,
2000, 643p.
www.cescar, edu.do/Hojas%20Matemática 02/01/2008
www.liceopaula.com.ar/Areas/Exactas_y_natur/naturales/Matemática 2006
100 Matemática - Primer Año