Actividad 10.

2n D’ EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
MATEMÁTICAS
UNIDAD 6
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
¿qué jugador es más regular?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Presentación
Evaluación Inicial
Conceptos
Actividades
Autoevaluación/reflexión
Otros recursos: bibliografía y recursos en red
Refuerzos Educativos
Ampliaciones / Propuesta de investigación
Nombre……………………………………………......................................................
Grupo.……………….
Fecha…………………
A/ PRESENTACIÓN
Un constructor quiere saber cuál es la calidad de los coches que produce. Es
evidente que no pueden probar todos los coches, puesto que esto implicaría que no
los podría vender como nuevos: serían coches usados. Sabe, pero, que probando
unos cuántos puede hacerse una idea de la calidad de sus coches. La aplicación de
las técnicas estadísticas le será de gran utilidad: podrá extender los resultados
obtenidos
al
conjunto
de
los
vehículos
producidos.
Una muestra es un subconjunto o parte del total de individuos o entidades que
quieres estudiar. Cómo elegirías la muestra para probar la calidad de los coches
producidos?
INGENIO HUMANO
APRENDER IDIOMAS PARA LA ESTADÍSTICA
Ya hay muchos programas de traducción automática de palabras entre muchos
tipos de idiomas. Es más complicado hacer buenas traducciones de textos largos,
pero ya hay programas capaces de hacerlo con una cierta fiabilidad.
Lo que es complicado, todavía, es que los textos que redacta el programa estén
escritos perfectamente... se nota que no los ha redactado un ser humano. Por eso
el ordenador tendría que aprender el idioma no por medio del diccionario, sino tal
como lo hacen los niños. Para avanzar en este objetivo, científicos norteamericanos
e israelíes han diseñado un programa, denominado “Adios”, que permite al
ordenador aprender un idioma y llegar a generar frases no estudiadas. Para hacerlo
se utilizan pequeños textos donde la estructura lingüística de los cuales analiza el
programa, mediante métodos estadísticos y algebraicos. Despacio aprende el
idioma casi como un nativo. El programa se ha probado con éxito en idiomas tan
diferentes como el inglés y el chino.
Criterios de evaluación:
Criterio
A: Conocimiento y comprensión
B: Investigación de patrones
C: Comunicación en
matemáticas
D: Reflexión en matemáticas
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Puntuación
1-8
1-8
1-6
1-6
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
1
B/ EVALUACIÓN INICIAL
Criterio
Puntuación
A B C D
1. El profesor de matemáticas ha propuesto una prueba a sus alumnos y han
obtenido las calificaciones siguientes:
5 6 7 6 4 5 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 7 5 4 5 5 4 4 6 8
a) Elabora una tabla con las calificaciones y sus frecuencias.
b) Determinar la mediana aritmética.
c) Determinar la moda.
2. Una jugadora de básquet consigue hacer los puntos siguientes durante las fases
de un torneo de seis partidos:
· 1a fase de clasificación (cuatro partidos): 10, 12, 8 y 15 puntos.
· 2a fase (semifinal y final): 20 y 16 puntos.
a) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en la final respeto de la segunda fase?
b) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en el último partido respeto los otros
partidos jugados?
3. Indica si estas acciones son acciones seguras, posibles o imposibles:
a) Cuando lanzo una moneda sale un tres.
b) Cando lanzamos un dado con las caras numeradas del 1 al 6, sale un número
inferior a 7.
c) Cuando sacamos una carta de una baraja española, salen espadas.
d) Cuando lanzamos un palillo hacia arriba, cae de punta.
e) Si sacamos una carta de una baraja de póquer, sale el nueve de copas.
4. Juan y Laura juegan a adivinar el nombre que saldrá en un dado de seis caras
numeradas del 1 al 6. Juan apuesta que saldrá el 2 o el 4, y Laura, que saldrá el 6.
¿Quién crees que tiene más posibilidades de ganar?
2
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
C/ CONCEPTOS
1. Estadística
1.1. Población y muestra
1.2. Tipos de variables
1.3. Frecuencias. Tablas de frecuencias
1.4. Gráficos estadísticos
1.5. Medidas de centralización
1.6. Medidas de dispersión
2. Probabilidad
2.1. Experimentos aleatorios.
2.2. Idea de probabilidad. Regla de Laplace
2.3. Probabilidad. Propiedades
2.4. Cálculo de probabilidades a partir de diagramas de árbol
D/ ACTIVIDADES
1. ESTADÍSTICA
La estadística es la ciencia que se ocupa de recoger y ordenar datos referidos a
distintos fenómenos para, posteriormente, analizarlos e interpretarlos.
1.1. POBLACIÓN Y MUESTRA
Ahora aprenderemos el significado de algunos términos utilizados de forma
frecuente en los estudios estadísticos:
Población. La población es el conjunto de personas o elementos de los cuales
estudiaremos una característica.
Variable estadística. La variable estadística es la característica de la población
que queremos estudiar.
Muestra. Si la población es numerosa, resulta muy difícil recoger los datos de todos
los individuos. En este caso hay que escoger una muestra o subconjunto de la
población. La condición imprescindible para que el estudio estadístico sea válido es
que la muestra sea representativa de toda la población.
Actividad 1. De los estudios siguientes, indica cuál es la población y cuál es la
variable estadística.
a) En una clase de 2º de la ESO, se ha anotado cuántos hermanos tiene cada
alumno para saber la proporción de familias numerosas.
b) Se ha preguntado a todos los alumnos de un instituto si merecerían aprobar o no
matemáticas según el tiempo que han estudiado.
c) Edades de los componentes de un equipo de futbol.
d) Tipos de trabajos que hacen los jóvenes catalanes que tienen entre 18 y 26
años.
e) Carreras universitarias preferidas para alumnos de bachillerato de la escuela.
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
3
Actividad 2. En cuál de los ejemplos anteriores es más adecuado usar una
muestra?
1.2. TIPOS DE VARIABLES
Aprende:
Tipos
Propiedades
Cualitativas
El valor de la variable no
son números, sino
cualidades
Cuantitativas
Los valores que toman la
variable son números
ejemplos
Género literario (novela,
teatro,…
Colores (azul, amarillo,…)
Edad
Altura
Las variables cuantitativas se clasifican en:
Cuantitativas
Discretas
Continuas
Propiedades
En cada tramos, la
variable solo puede tomar
un número determinado
de valores
En cada tramo, la variable
puede tener infinitos
valores
ejemplos
Número de páginas de un
libro: puede tener 210 o
211, pero no 210’5 ni
210’3,…
Altura; entre 1’70 y 1’80m,
la altura puede ser 1’71m,
1’715,…
Actividad 3. Di si las variables estadísticas de la actividad 1 son cuantitativas o
cualitativas.
Actividad 4. Clasifica como cualitativas o cuantitativas (discretas o continuas)
les siguientes variables:
a) Animal preferido.
b) Peso de un producto.
c) Color de coche preferido.
d) Número de hermanos.
e) Capacidad de un recipiente.
f) Visitantes de una exposición.
g) Asignatura preferida.
h) Tiempo en la ducha.
i) Color de ojos.
Actividad 5. Haz una lista de los temas que podrías utilizar para realizar una
encuesta entre tus compañeros clasificándolos en cuantitativos o cualitativos.
Cualitativos
4
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cuantitativos
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
1.3. FRECUENCIAS. TABLAS DE FRECUENCIAS
Una vez hemos recogido los datos, los tenemos que contar (recuento) y agrupar. A
partir de este recuento, elaboramos unas tablas de frecuencias donde ponemos los
datos en filas y donde también constan las veces que aparecen los datos.
datos
xi
Frecuencia absoluta
fi
Σfi= N
Frecuencia relativa
hi
Σhi= 1
FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA:
La Frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite.
Se representa por la letra fi.
La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos estadísticos, es el
número total de datos.
La Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total
de datos. Se representa por la letra hi.
La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadísticos, es igual
a la unidad.
Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100, obtenemos el porcentaje o tanto por
ciento (%)
En un estudio estadístico hacemos el recuento de datos, que agrupamos en tablas.
Ejemplo:
Hemos preguntado a 12 personas cuantas películas han visto en el cine el mes
pasado. Sus respuestas han sido las siguientes:
3,2,2,4,4,1,1,2,3,2,1,2
Podemos organizar estos datos en una tabla:
Frecuencia relativa
Número de
Frecuencia
(hi)
absoluta (fi)
películas
1
3
2
5
3
2
4
2
Aprende:
La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un mismo dato.
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
5
La frecuencia relativa es el número de veces que se repite un dato dividido entre
el número total de datos. La frecuencia relativa se expresa como el cociente entre
la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de las frecuencias
relativas de una distribución es igual a 1.
Actividad 6. Calcula la frecuencia relativa del ejemplo que hemos tratado con
anterioridad.
Número de
películas
Frecuencia
absoluta
1
3
2
5
3
2
4
2
Frecuencia relativa
Actividad 7. Haz la tabla que agrupe los datos que hemos obtenido cuando
hemos pedido a 20 personas cuantos hermanos tienen:
2,2,1,1,1,2,3,2,1,2,4,3,1,1,1,1,3,2,1,4
Calcula las frecuencias absolutas y relativas.
6
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
Actividad 8. En el mes de julio 25 alumnos de colonias. Para organizar las
actividades al aire libre han presentado una encuesta donde cada alumna ha
escogido su actividad preferida. El resultado ha sido:
PARTICIPANTES
Víctor
Laura
Raül
Rosa
Carlos
Susana
Alberto
Núria
Fernando
José
Luis
Paula
Elena
ACTIVIDAD
escalada
mountain-bike
piragüismo
escalada
Piragüismo
Piragüismo
Escalada
mountain-bike
mountain-bike
Hípica
mountain-bike
hípica
escalada
PARTICIPANTES
Miguel
Carmen
Ana
Jaime
Álvaro
Pablo
Montserrat
Berta
Ignacio
Berta
Jorge
Gara
ACTIVIDAD
escalada
piragüismo
hípica
piragüismo
mountain-bike
hípica
Piragüismo
Hípica
Piragüismo
Escalada
Piragüismo
mountain-bike
Con estos datos, se completa la tabla de frecuencias. Para hacerlo hay que hacer
un recuento y ver cuantos participantes hacen la misma actividad:
ACTIVIDAD (X)
RECUENTO
FRECUENCIA
ABSOLUTA (fx)
FRECUENCIA
RELATIVA (fi)
6
6
25
ESCALADA
HÍPICA
PIRAGÜISMO
MOUNTAIN-BIKE
∑ fx = 25
Ahora puedes contestar las preguntas:
a) ¿Cuál es la actividad al aire libre con más número de participantes?
b) ¿Cuál es la actividad que ha sido menos escogida?
c) ¿Cuántos alumnos participan en cada actividad?
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
7
1.4.GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Otra manera de organizar los datos son las representaciones gráficas. Los gráficos
nos permiten captar inmediatamente las características más relevantes de un
estudio estadístico.
Los más utilizados son:
Diagrama de barras. Se usan para variables cualitativas y cuantitativas discretas.
Diagrama de sectores. Se puede usar para cualquier tipo de variable.
-
Los datos se representan en un círculo dividido en sectores. Cada sector
representa un valor de la variable.
- La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato
que representa.
El ángulo de un sector circular, lo obtenemos aplicando la siguiente fórmula:
Ángulo del sector circular =
𝑓𝑖
𝑁
· 360º = ℎ𝑖 · 360º
Ejemplo:
8
Deportes
fi
hi
%
ángulo
futbol
basquet
tenis
atletismo
handbol
8
12
6
10
4
N=40
0,2
0,3
0,15
0,25
0,1
1
20%
30%
15%
25%
10%
0,2 · 360º = 72º
0,3 · 360º = 108º
0,15 · 360º = 54º
0,25 · 360º = 90º
0,1 · 360º = 36º
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
10%
futbol
20%
basquet
25%
15%
30%
tenis
atletismo
handbol
USUARIOS (Millones de personas
mayores de 14 años)
Diagrama de líneas y pictogramas. Se utilizan para las variables cualitativas o
cuando queremos representar la evolución de una variable en relación al tiempo.
Permiten mostrar tendencias y visualizar las diferencias entre los puntos medidos y
la curva (o recta) que los tiene que representar.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
año
2003
2005
2007
2009
AÑO
Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
9
Actividad 9. ¿Cómo se denominan los gráficos siguientes?
Alumnes
Alumnes
Colònies d'estiu
10
8
106
84
62
40
2
0
Colònies d'estiu
ESCALADA
HÍPICA
ESCALADA
HÍPICA
PIRAGÜISMO
MOUNTAIN-BIKE
Activitats
PIRAGÜISMO
MOUNTAIN-BIKE
Activitats
____________________________________________
10 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
__________________________________________________
Colònies d'estiu
MOUNTAIN-BIKE
24%
ESCALADA
24%
PIRAGÜISMO
32%
HÍPICA
20%
__________________________________________________
Actividad 10. Una tienda de instrumentos ha vendido esta última semana 7
guitarras 10 flautas, 9 harmónicas, 5 violines y 2 baterías. Con estos datos haz la
tabla de frecuencias absolutas y haz el diagrama de barras correspondientes.
Actividad 11. Los goles marcados por un equipo de futbol en 20 partidos
consecutivos han sido: 1, 0, 3, 0, 2, 2, 5, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 3,
2, 1, 2, 2.
Haz el recuento de datos, la tabla de frecuencias absolutas y la de frecuencias
relativas. Haz un diagrama lineal y uno de barras.
Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
11
Actividad 12. Haz un diagrama de sectores de los ejercicios anteriores.
SALUD Y EDUCACION SOCIAL
¿Quieres saber si tus compañeros reciclan? Elabora una encuesta. Prepara dos o
más preguntas, y para cada pregunta da posibles respuestas.
Actividad 13. Se ha pedido a un grupo de 200 personas cuál era su programa
de televisión favorito. Los resultados de la encuesta han sido:
Películas: 46
Informativos: 44
Deportivos: 50
Divulgación científica: 36
Concursos: 24
Representa con el modelo de gráfico que consideres más adecuado. Piensa que
tiene que aportar una buena imagen visual.
Actividad 14. Las calificaciones obtenidas en el primer trimestre por un
grupo de estudiantes son: Tecnología: 12 excelentes, 9 notables, 12 bienes, 6
suficientes y 4 insuficientes. Con estos datos, realizamos las tablas estadísticas:
Con estos datos de las frecuencias absolutas, se construye un diagrama de barras
y con el de los porcentajes uno de sectores.
Cualificación
FRECUÈNCIA
ABSOLUTA (fx)
FRECUÈNCIA
RELATIVA (fi)
PORCENTAJE
EXCEL·LENT
7
7
38
7
 100  18,42%
38
1
100%
ÁNGULO
NOTABLE
BE
SUFICIENT
INSUFICIENT
∑ fx = 38
12 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
360º
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
ENTORNO
Actividad 15. En revisar los botiquines de 30 personas hemos encontrado
medicamentos caducados (que hemos llevado a un punto de recogida para el
reciclaje de medicamentos. Hemos anotado para cada botiquín:
5, 1, 0, 3, 0, 2, 2, 5, 0, 0, 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 2,
4, 1, 2, 5, 0, 0
Haz el recuento, la tabla de frecuencias absolutas, relativas y porcentajes. Haz un
diagrama de barras o lineal y otro de sectores.
Actividad 16. Las actividades deportivas más practicadas en el fin de semana
son:
Tennis………. 18
Natación………. 12
Ciclismo…… 16
Básquet…….. 20
Con estos datos haz la tabla de frecuencias.
Después haz el diagrama de barras y el de sectores.
Patinaje………. 10
Futbol……. 24
1.5. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN:
Ahora que ya hemos organizado los datos de un estudio estadístico, calcularemos
una serie de valores que nos ayudaran a interpretarlas: las medidas de
centralización.
Mediana aritmética: La mediana aritmética de una variable es la suma de todos
los datos observados divididos por la cantidad total de datos. ( )
=
𝑓1·𝑥1+𝑓2·𝑥2+𝑓3·𝑥3+⋯+𝑓𝑛·𝑥𝑛
𝑁
=
∑(𝑓1·𝑥1)
𝑁
Mediana: Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de datos
numéricos ordenados en orden creciente. (Me)
Moda: es el valor de la variable que más veces se observa. Por lo tanto, es el valor
con una frecuencia absoluta más alta. (Mo)
SALUD Y EDUCACION SOCIAL
Actividad 17. Hemos preguntado a 20 compañeros los libros leídos este curso
escolar y los resultados son:
Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
13
5, 3, 8, 2, 4, 1, 5, 4, 6, 4, 5, 3, 7, 6, 5, 5, 4, 2, 5, 4
a) Construye una tabla de frecuencias.
Clase (xi)
Frecuencia (fi)
xi·fi
b) Define y calcula la mediana
aritmética
Mediana aritmética:
c) Define y calcula la moda
Moda:
1.6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
El rango o recorrido de un conjunto de datos es una medida de dispersión.
Expresa la diferencia entre el valor más gran y el más pequeño de todos los datos
observados de la variable. (Rango)
INGENIO HUMANO
Actividad 18. Una empresa detectó los errores siguientes en sus máquinas a lo
largo de los 12 meses en el último año:
1, 2, 1, 5, 5, 4, 6, 5, 1, 2, 6, 5
Determina la mediana aritmética, la moda y el rango.
14 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
Actividad 19. Las temperaturas máximas en julio fueron (en ºC).
32, 33, 31, 32, 34, 34, 27, 28, 30, 32, 32, 34,31, 31, 29, 30, 32, 32, 31, 33, 30, 29,
31, 31, 33, 32, 30, 30, 29, 31, 33
Determina la mediana aritmética, la moda y el rango.
2. PROBABILIDAD
SALUD Y EDUCACION SOCIAL
El albinismo es una ausencia congénita de pigmentación debido a la carencia de
melanina. Es una característica especialmente rara entre los primates, y en el caso
de los gorilas, una posibilidad genética que se produce solamente una vez una vez
entre millones de nacimientos.
El Copito de Nieve era un gorila albino de Guinea que vivió en el zoológico de
Barcelona. Es el único caso conocido, y la probabilidad de que nazca otro como él
es casi 0, es a decir, que nazca otro gorila albino no es imposible, pero sí muy
difícil.
2.1. EXPERIMENTOS ALEATORIS. ESDEVENIMENTS
Un experimento puede ser:
Aleatorio, cuando no podemos predecir el resultado antes de realizarlo y, si lo
repetimos, el resultado puede variar.
Determinista, cuando conocemos el resultado antes que se produzca.
Son ejemplos de experimentos aleatorios el lanzamiento de un dado (no trucado),
la extracción de una carta de una baraja, etc. Un experimento determinista es tirar
una piedra y ver si cae al suelo.
Imposible, cuan no es produce nunca.
Seguro, cuan se produce siempre.
El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
se denomina espacio muestral.
Dos acontecimientos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez. En caso
contrario, los acontecimientos son compatibles.
Dos acontecimientos son contrarios cuando no se pueden dar a la vez y los dos
forman el espacio muestral.
Denominamos acontecimientos equiprobables a los que tienen la misma
probabilidad de suceder.
Ejemplo: describe el espacio muestral asociado a tirar dos monedas diferentes y
mirar si sale cara o cruz.
Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
15
Escribe dos acontecimientos incompatibles que no sean contrarios.
Espacio muestral E = {cc, cx, xc, xx}
Acontecimientos incompatibles que no sean contrarios: A = {xx} B = {cx, xc}
Actividad 20. Describe el espacio muestral asociado a tirar una moneda y un
dado a la vez. Indica dos acontecimientos compatibles y dos incompatibles.
Actividad 21. Inventa un experimento aleatorio y describe su espacio muestral.
Da un acontecimiento imposible, dos acontecimientos incompatibles y dos de
contrarios.
Actividad 22. Adivina cuáles son los acontecimientos aleatorios y cuáles
deterministas:
a) Proyectamos una luz sobre un espejo y observamos si se refleja o no.
b) Tenemos una bolsa con 20 bolas negras. Sacamos una y observamos el
color.
c) Tenemos una bolsa con10 bolas negras y 5 de amarillas sacamos una.
Actividad 23. En una bolsa tenemos 3 bolas negras, 2 de azules y 4 de
amarillas .¿Cuáles son los acontecimientos?
Actividad 24. Calcula cuantos resultados posibles se pueden dar si lanzamos
una vez un dado de ocho caras con las caras numeradas.
2.2. IDEA DE PROBABILITAT. REGLA DE LAPLACE
La probabilidad mide el grado de posibilidad que tiene un acontecimiento
determinado cuando se hace un experimento aleatorio.
Si todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables se verifica,
para un experimento A, la Regla de Laplace:
La probabilidad de un acontecimiento se calcula dividiendo el número de resultados
favorables entre el número de resultados posibles para este acontecimiento.
2.3. PROBABILIDAD. PROPIEDADES
Las propiedades de la probabilidad son:
1. La probabilidad de un acontecimiento está siempre comprendida entre 0 y 1.
2. la probabilidad del acontecimiento seguro es 1.
3. La probabilidad del acontecimiento es 0.
16 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
4. La suma de probabilidades de todos los acontecimientos elementales son
siempre igual a 1.
5. Denominamos acontecimiento contrario a un acontecimiento A que está
formado por todos aquellos acontecimientos elementales que no son A.
Entonces la probabilidad del elemento contrario es 1 – P(A).
Actividad 25. En una urna tenemos 3 bolas blancas, 2 de negras y una de roja
a) Escribe el espacio muestral.
b) Calcula la probabilidad de obtener una bola de cada color.
Actividad 26. En una urna con 2 bola azul y rojas, 1 de azul y 3 de blancas,
calcula la probabilidad de sacar una bola roja y la del acontecimiento contrario.
Actividad 27. Una pareja espera gemelos. Calcula las probabilidades de todos
los acontecimientos relativos al sexo de los gemelos.
Actividad 28. Tenemos un cubo con las caras numeradas del 1 al 6 y un dado
dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12. Asigna probabilidades si
lanzamos cada uno de los dados en los siguientes casos:
a) Obtener un múltiplo de 7.
b) Obtener un número impar.
c) Obtener un número primero.
Actividad 29. De una baraja de 40 cartas, sacamos una al azar. Asigna una
probabilidad a cada uno de los siguientes casos:
a) El 7 de copas.
b) Una figura de espadas.
c) Un oros.
d) Una espada o un oros.
Actividad 30. Tenemos una bolsa con 4 bolas blancas, 6 de azules y 10 de
negras. Si sacamos una sin mirar, de qué color es más probable que salga? ¿Y
menos probable?
Actividad 31. Javi tiene una bolsa con pinturas de color naranja, amarillo y
rosa. Sin mirar, saca dos pinturas para darlas a Susana.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Indica dos acontecimientos compatibles.
c) Escribe dos acontecimientos incompatibles.
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
17
2.4. CÁLCULO DE PROBABILITADES A PARTIR DE DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Para determinar todos los resultados posibles (espacio muestal) y estudiar la
probabilidad de cada acontecimiento elemental, a veces se hace un diagrama que
representa mediante “ramas” el conjunto de acontecimientos elementales y su
probabilidad, de forma que en la rama se pone el acontecimiento y sobre la línea la
probabilidad de este.
Aquí tendríamos las siguientes extracciones de datos:
P(c,c,c)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(c,c,x)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(c,x,c)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(c,x,x)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(x,c,c)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(x,c,x)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(x,x,c)= ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
P(x,x,x) = ½ · ½ ·1/2 = 1/8 = 0,125
Actividad 32 . Utiliza un diagrama de árbol para describir las diferentes
posibilidades de ordenación de los cuatro hijos de una familia según el sexo.
Actividad 33. La Luisa tiene dos pantalones de deporte, tres camisetas y dos
parejas de zapatillas. De cuántas formas diferentes se puede vestir para hacer
deporte? Utiliza un diagrama de árboles para encontrar la respuesta.
18 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
INGENIO HUMANO
A pesar de que el movimiento de la bola en una ruleta puede parecer
completamente del azar, la más mínima imprecisión en la construcción o colocación
induce pequeñísimas alteraciones que hacen más probables algunos números que
otros.
Muchos jugadores han intentado aprovecharse, y algunos lo han conseguido. Al
casino de Madrid hubo un caso famoso hace unos cuántos años en que un
matemático se dedicó a memorizar los números que iban saliendo y después, a
casa suya, fue analizando los datos estadísticamente para descubrir los números
más probables. Así consiguió ganar varias veces, tantas que la empresa lo
demandó. Pero el tribunal lo absolvió, porque el matemático no había hecho
trampa. Y de pasada, el juez dio a los representantes del Casino una
recomendación muy sencilla para evitar casos parecidos: cambiar periódicamente
la posición de la ruleta para no favorecer siempre los mismos números.
E/ AUTOEVALUACIÓN
1. El resultado de una encuesta realizada a 20 personas sobre el número de veces
que van al cine ha sido: 6, 7, 4, 1, 7, 0, 3, 6, 5, 2, 2, 1, 6, 7, 4, 0,
4, 2, 1, 7. Con estos datos realiza una tabla de frecuencias, encuentra la
mediana aritmética y la moda y represéntalos en una tabla adecuada al tipo de
datos.
Clase (xi)
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Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
19
2. Los deportes más practicados durante el fin de semana por un grupo de
personas han sido:
DEPORTE
FRECUÈNCIA
ABSOLUTA (fx)
FRECUÈNCIA
RELATIVA (fi)
PORCENTAJE
Tenis……….... 18
Natación…….. 12
Patinaje……… 10
Ciclismo….….. 16
Básquet ...... 20
Fútbol ... . . ….. 24
Con estos datos completa la tabla de frecuencias absolutas, relativas y
porcentaje. Después realiza los diagramas de barras y de sectores.
20 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
:
∑ fx =
3. En una caja tenemos diez bolas numeradas del 1 al 10. Escribe el espacio
muestral y la probabilidad de obtener un número cualesquiera.
4. En una bolsa tenemos 4 bolas blancas, 7 bolas azules y 6 bolas negras. Calcula
la probabilidad de sacar una bola:
a) Blanca
b) Azul
c) Negra
5. Lanzamos al aire tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos
una cruz?
6. En una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de sacar:
a) El tres de copas
b) Un as
7. Lanzamos al aire dos dados. Calcula la probabilidad que:
a) Salgan dos cincos.
b) Salgan dos números diferentes.
F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED
PÀGINAS WEB SOBRE SOFTWARE MATEMÀTICO
The Math Forum. http://mathforum.org/
www.recursosmatematicos.com/redemat.html
http://usuarios.tripod.es/ijic0000/software.htm
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
21
G) REFUERZO
1. De una encuesta sobre la comida preferida realizada a 120 personas de todas
las edades, se han recogido los resultados:
Pasta…………… 36
Carne…………… 25
Pescado …………15
Verdura….……... 24
Legumbres...…… 20
Con estos datos realiza la tabla de frecuencias absolutas y relativas y el porcentaje.
Realiza también los diagramas de barras y el de sectores.
2. Las temperaturas registradas los primeros quince días de abril han sido:
18º, 19º, 22º, 20º, 23º, 18º, 17º, 23º, 17º, 22º, 20º, 23º, 22º, 22º, 17º.
Con estos datos haz el recuento, la tabla de frecuencias absolutas y calcula la
mediana aritmética y la moda.
3. Pregunta a diez personas el número de horas semanales que miran la televisión.
Agrupa los datos, elabora la tabla de frecuencias, representa los resultados de
forma gráfica y calcula la mediana aritmética.
4. En el experimento de lanzar un dado de parchís, escribe dos ejemplos de cada
uno de estos tipos de sucesos:
a) Incompatibles.
b) Equiprobables.
c) Seguros.
5. ¿Cuál es el espacio muestral de cada uno de los experimentos siguientes:
a) Lanzar una moneda.
b) Sacar una carta en un juego de cartas.
22 Sistema Educatiu SEK – Aula Intel·ligent
Matemáticas 2n ESO Unidad 6
6. En una bolsa hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. Si sacamos una bola:
a) Cuál es la probabilidad de obtener un número más pequeño que 4?
b) Cuál es la probabilidad de que no sea un número impar?
COMIDA
FRECUENCIA
ABSOLUTA (fx)
FRECUENCIA
RELATIVA (fi)
PORCENTAJE
Pasta
∑ fx =
7. Cuando lanzamos un dado:
a) Cuál es la probabilidad de que salga 5?
b) Cuál es la probabilidad de que no salga un número más pequeño que 3?
8. Tenemos una urna con 200 papeletas numeradas del 1 al 200.
a) Cuál es el espacio muestral?
b) Cuando sacamos una papeleta, cuál es la probabilidad de que el número sea
múltiple de cinco?
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Matemáticas 2n ESO Unidad 6
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AMPLIACIÓN
INGENIO HUMANO
Para organizar el servicio de urgencias de un hospital y hacer previsión de las
necesidades futuras hagamos el estudio de su funcionamiento actual.
En sus instalaciones entraron a lo largo de una noche 52 personas que fueron
tratadas directamente por urgencias, 16 personas que fueron derivadas a la planta
de neumología, 24 que fueron enviadas a la planta de traumatología y 10 que
fueron trasladadas a la planta de neurología.
Después de pasar por el servicio de urgencias, fueron dadas de alta 48 de las
personas tratadas directamente por urgencias, 12 de las personas que fueron a
neumología, 22 de las que fueron a traumatología y 8 de las que fueron a
neurología. El resto fueron ingresados en el hospital. Calcula la probabilidad que al
elegir al azar una de las personas que fueron aquella noche a urgencias:
a) Haya sido derivada a la planta de traumatología del servicio de urgencias.
b) No haya sido ingresada.
c) Haya quedado ingresada después de pasar por la planta de pneumonía.
d) No haya quedado ingresada después de pasar por la planta de neurología.
2. En un grupo de 2º ESO hay tantos chicos como chicas. Se hace una votación
para elegir un delegado o delegada. Supongamos que cada uno tiene la misma
probabilidad de ser escogida.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga una chica?
b) ¿Cuál sería la probabilidad de que saliera una chica en un grupo donde
hubiera13 chicos y 15 chicas?
c) ¿Cuál sería la probabilidad de que saliera una delegada en un grupo donde
hubiera el doble de chicos que de chicas?
d) ¿Cuál sería la probabilidad de que saliera un delegado en un grupo donde
hubiera el triple de chicos que de chicas?
e) ¿Cuántos chicos debería haber si sabemos que hay 16 chicas y que la
probabilidad que salga una delegada es de 0,4?
3. En una bolsa hay 1 bola azul, 24 de amarillas y 4 de rojas. Sacamos una bola y
anotamos el color.
a) Escribe el espacio muestral.
b) En el acontecimiento “no puede salir una bola amarilla”, es elemental o
compuesto?
c) Calcula la probabilidad de los acontecimientos:
· A = sacar una bola azul.
· B = sacar una bola amarilla o roja.
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